Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ
Perimeter, Area & Volumeเส้นรอบรูป พื้นที่ และปริมาตร
IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ
1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม
Counting squares: forwards, then backwardsนับช่องสี่เหลี่ยม: ไปหน้า แล้วย้อนกลับ
Area counts unit squares, so the unit is $\text{cm}^{2}$. Every shape today is this rectangle, cut or stacked.พื้นที่คือการนับช่องเล็ก หน่วยจึงเป็น $\text{cm}^{2}$ · ทุกรูปวันนี้คือสี่เหลี่ยมนี้ ที่ถูกตัดหรือซ้อนกัน
This rectangle is $6$ cm by $4$ cm. What is its area, in cm$^2$?สี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปนี้กว้าง $4$ ยาว $6$ cm พื้นที่เท่ากับกี่ cm$^2$? Answer:เฉลย: $24\text{ cm}^2$Every formula counts squares: $6\times 4=24\text{ cm}^2$ $l\times w=\text{counting unit squares}$ทุกสูตรคือการนับช่องสี่เหลี่ยม: $6\times 4=24\text{ cm}^2$ $l\times w=\text{counting unit squares}$
A square has area $25$ cm$^2$. How long is one side?สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีพื้นที่ $25$ cm$^2$ ด้านหนึ่งยาวเท่าไร? Answer:เฉลย: $\sqrt{25}=5$ cmUn-square with a square root: $s^{2}=25$ $s=\sqrt{25}=5\text{ cm}$ In 20 minutes this same move finds a radius from an area.ถอดกำลังสองด้วยรากที่สอง: $s^{2}=25$ $s=\sqrt{25}=5\text{ cm}$ อีก 20 นาที ท่านี้จะใช้หารัศมีจากพื้นที่
2. Cut the rectangleตัดสี่เหลี่ยมดู
Triangle and parallelogram are the rectangle, recycled.สามเหลี่ยมกับด้านขนาน คือสี่เหลี่ยมผืนผ้าแปลงร่าง
Cut the rectangle along a diagonalตัดสี่เหลี่ยมตามแนวทแยง
The warm-up $6\times4$ rectangle, cut on a diagonal: two identical triangles. No new shape.สี่เหลี่ยม $6\times4$ จากวอร์มอัพ ตัดตามแนวทแยง · ได้สามเหลี่ยมสองรูปที่เหมือนกันทุกประการ · ไม่มีรูปใหม่
The rectangle's area is $24$ cm$^2$. What is the area of one shaded triangle?สี่เหลี่ยมมีพื้นที่ $24$ cm$^2$ แล้วสามเหลี่ยมแรเงาหนึ่งรูปมีพื้นที่เท่าไร? Answer:เฉลย: $\tfrac12\times24=12$ cm$^2$A triangle is half a rectangle: $6\times 4=24$ $\tfrac12\times 24=12\text{ cm}^2$ $A=\tfrac12 bh$สามเหลี่ยม = ครึ่งสี่เหลี่ยม: $6\times 4=24$ $\tfrac12\times 24=12\text{ cm}^2$ $A=\tfrac12 bh$
The rectangle got pushed over. Area of the parallelogram?สี่เหลี่ยมโดนดันให้เอียง · พื้นที่ด้านขนานเท่าไร? Answer:เฉลย: $A=bh=24$ cm$^2$A parallelogram is a pushed rectangle: $A=bh=6\times 4=24\text{ cm}^2$ $\text{triangle}=\tfrac12 bh\ \ \text{(half)}$ $\text{parallelogram}=bh\ \ \text{(no half)}$สี่เหลี่ยมด้านขนาน = สี่เหลี่ยมที่ถูกดันเอียง: $A=bh=6\times 4=24\text{ cm}^2$ $\text{triangle}=\tfrac12 bh\ \ \text{(half)}$ $\text{parallelogram}=bh\ \ \text{(no half)}$
$A=\pi r^{2}$More slices, straighter edges. Same area.ยิ่งตัดถี่ ขอบยิ่งตรง พื้นที่เท่าเดิม
Rim is a length, inside is an areaขอบคือความยาว ข้างในคือพื้นที่
The radius is half the diameter: $d=10$ means $r=5$. Halve it first, every time.รัศมีคือครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลาง: $d=10$ แปลว่า $r=5$ · หารสองก่อนเสมอ
A circle has diameter $d=10$ cm. Which of these is its area?วงกลมมีเส้นผ่านศูนย์กลาง $d=10$ cm อันไหนคือพื้นที่ของมัน? Answer:เฉลย: $A=\pi\times5^{2}=25\pi$ cm$^2$Area needs the radius, squared: $d=10\ \Rightarrow\ r=5$ $A=\pi r^{2}=25\pi\text{ cm}^2$ $2\pi r=\text{circumference},\ \ \pi r^{2}=\text{area}$พื้นที่ใช้รัศมี และต้องยกกำลังสอง: $d=10\ \Rightarrow\ r=5$ $A=\pi r^{2}=25\pi\text{ cm}^2$ $2\pi r=\text{circumference},\ \ \pi r^{2}=\text{area}$
A circle has radius $r=3$ cm. Find its circumference, in terms of $\pi$. (Type e.g. 12pi)วงกลมรัศมี $r=3$ cm หาเส้นรอบวง ตอบติด $\pi$ (พิมพ์แบบ 12pi) Answer:เฉลย: $C=2\pi r=6\pi$ cmLeave answers in terms of $\pi$ unless the paper asks for decimals. Exact answers have no rounding.ตอบติด $\pi$ ไว้ ถ้าโจทย์ไม่ได้บังคับเป็นทศนิยม · คำตอบ exact ไม่มีการปัดเศษ
4. Shapes made of shapesรูปที่ประกอบจากรูป
No new formulas. Cut, or subtract.ไม่มีสูตรใหม่ · แค่ตัด หรือหักออก
This shape has no formula. Good.รูปนี้ไม่มีสูตร · ยิ่งดี
No formula? Decompose: two rectangles, or an $8\times6$ with the corner cut off.ไม่มีสูตร? แยกชิ้น: สี่เหลี่ยมสองอัน หรือ $8\times6$ ที่ตัดมุมออก · ได้เท่ากัน
Find the area of this L-shape, in cm$^2$.หาพื้นที่รูปตัว L นี้ เป็น cm$^2$ Answer:เฉลย: $24+12=36$ cm$^2$ (or $48-12$)Choose a cut, not a formula: $24+12=36\text{ cm}^2$ $48-12=36\text{ cm}^2$เลือกวิธีแยกชิ้น ไม่ใช่หาสูตรใหม่: $24+12=36\text{ cm}^2$ $48-12=36\text{ cm}^2$
A metal plate has a circular hole. The shaded metal that remains has area:แผ่นโลหะเจาะรูวงกลม · พื้นที่โลหะแรเงาที่เหลือคือ: Answer:เฉลย: $80-9\pi$ cm$^2$Area minus area: $80-9\pi\text{ cm}^2$ $\text{check: piece removed}<\text{whole shape}$ That check catches a radius-diameter mix-up.พื้นที่ลบพื้นที่: $80-9\pi\text{ cm}^2$ $\text{check: piece removed}<\text{whole shape}$ การตรวจนี้เองที่จับได้ว่าสับสนรัศมีกับเส้นผ่านศูนย์กลาง
5. Run the formula backwardsย้อนสูตรกลับ
Given the area, find $r$: make $r$ the subject.รู้พื้นที่ หา $r$ · ทำ $r$ ให้เป็นตัวตั้ง
Make r the subjectทำ r ให้เป็นตัวตั้ง
$A=\pi r^{2}$Same move under both sides: divide by $\pi$.เขียนสิ่งที่ทำใต้ทั้งสองข้าง: หารด้วย $\pi$
$\frac{A}{\pi}=r^{2}$Divide both sides by $\pi$.หารทั้งสองข้างด้วย $\pi$
$r^{2}=\frac{A}{\pi}$Swap sides: the letter we want sits on the left.สลับข้างให้ตัวที่เราอยากได้มาอยู่ซ้าย
$r=\sqrt{\frac{A}{\pi}}$Square-root both sides. $r$ is a length: positive root only.ถอดรากทั้งสองข้าง · $r$ เป็นความยาว เอาค่าบวกอย่างเดียว
$A=\pi r^{2}$. Read it as a machine acting on $r$: what does it do?$A=\pi r^{2}$ มองเป็นเครื่องที่กระทำกับ $r$: มันทำอะไรบ้าง? Answer:เฉลย:square, then $\times\pi$ยกกำลังสอง แล้ว $\times\pi$Same method as the Functions lesson: before you reverse a machine, list what it does, in order.วิธีเดียวกับบทฟังก์ชัน: ก่อนจะย้อนเครื่องได้ ต้องไล่ก่อนว่ามันทำอะไรบ้าง ตามลำดับ
Now the area is known and $r$ is not. What undoes the machine, and in what order?คราวนี้รู้พื้นที่ แต่ไม่รู้ $r$ · อะไรย้อนเครื่องนี้ได้ · เรียงลำดับยังไง? Answer:เฉลย:$\div\pi$, then square root$\div\pi$ แล้วถอดรากLast on, first off: $\text{on:}\ \ \text{square},\ \text{then}\ \times\pi$ $\text{off:}\ \ \div\pi,\ \text{then}\ \sqrt{\;}$ Same rule as inverse functions; the warm-up was secretly this move.ทำทีหลัง ถอดก่อน: $\text{on:}\ \ \text{square},\ \text{then}\ \times\pi$ $\text{off:}\ \ \div\pi,\ \text{then}\ \sqrt{\;}$ กฎเดียวกับอินเวอร์สฟังก์ชัน · วอร์มอัพก็คือท่านี้
A circle has area $64\pi$ cm$^2$. Find $r$.วงกลมมีพื้นที่ $64\pi$ cm$^2$ หา $r$ Answer:เฉลย: $r^{2}=64 \Rightarrow r=8$ cmDivide, then root: $\pi r^{2}=64\pi$ $r^{2}=64$ $r=\sqrt{64}=8\text{ cm}$ $\text{calculator paper: }r=\sqrt{201\div\pi}\approx 8$หารก่อน แล้วถอดราก: $\pi r^{2}=64\pi$ $r^{2}=64$ $r=\sqrt{64}=8\text{ cm}$ $\text{calculator paper: }r=\sqrt{201\div\pi}\approx 8$
6. Into three dimensionsเข้าสู่สามมิติ
Every prism: $V=$ cross-section $\times$ length.ปริซึมทุกตัว: $V=$ พื้นที่หน้าตัด $\times$ ความยาว
One formula covers every prismสูตรเดียวคลุมปริซึมทุกแบบ
$A$ = cross-section area. A prism keeps that cross-section all the way through.$A$ = พื้นที่หน้าตัด · ปริซึมคือทรงที่หน้าตัดเหมือนกันตลอดแท่ง
Surface area = all 6 faces addedพื้นที่ผิว = 6 หน้ารวมกัน
Opposite faces match: work out 3, then double.หน้าตรงข้ามเท่ากัน: หา 3 หน้าแล้วคูณสอง
A cylinder has radius $3$ cm and height $10$ cm. Find its volume, in terms of $\pi$.ทรงกระบอกรัศมี $3$ cm สูง $10$ cm หาปริมาตร ตอบติด $\pi$ Answer:เฉลย: $V=\pi r^{2}h=9\pi\times10=90\pi$ cm$^3$Cross-section, then push it through: $\pi r^{2}=9\pi\text{ cm}^2$ $9\pi\times 10=90\pi\text{ cm}^3$หาหน้าตัด แล้วดันไปตามความยาว: $\pi r^{2}=9\pi\text{ cm}^2$ $9\pi\times 10=90\pi\text{ cm}^3$
A cube of side $2$ cm: volume $=8$, surface area $=24$. Which units?ลูกบาศก์ด้านยาว $2$ cm: ปริมาตร $=8$ พื้นที่ผิว $=24$ · ใช้หน่วยอะไร? Answer:เฉลย:$8$ cm$^3$, $24$ cm$^2$$8$ cm$^3$, $24$ cm$^2$The power counts the lengths: $\text{cm}\ \to\ \text{cm}^2\ \to\ \text{cm}^3$ $2\times 2\times 2=8\text{ cm}^3$ A right number with the wrong power still loses the mark.เลขยกกำลังนับจำนวนความยาวที่คูณกัน: $\text{cm}\ \to\ \text{cm}^2\ \to\ \text{cm}^3$ $2\times 2\times 2=8\text{ cm}^3$ เลขถูกแต่กำลังผิด ก็ยังเสียคะแนน
A cuboid measures $4\times3\times2$ cm. Find its total surface area, in cm$^2$.ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก (กล่อง) ขนาด $4\times3\times2$ cm หาพื้นที่ผิวทั้งหมด เป็น cm$^2$ Answer:เฉลย: $2(12+8+6)=52$ cm$^2$$SA=2(12+8+6)=52$ cm$^2$. Volume fills. Surface area wraps. The jobs differ, so the powers of cm differ.$SA=2(12+8+6)=52$ cm$^2$ · ปริมาตรคือเติมให้เต็ม พื้นที่ผิวคือห่อรอบนอก · คนละงาน คนละกำลังของ cm
7. Slices of the circleแบ่งชิ้นวงกลม
A sector is a fraction of a circle you already know.เซกเตอร์คือเศษส่วนของวงกลมที่รู้จักอยู่แล้ว
One slice of pizza, $60^\circ$ at the centre. What fraction of the whole pizza is it?พิซซ่าหนึ่งชิ้น มุมที่ศูนย์กลาง $60^\circ$ · คิดเป็นเศษส่วนเท่าไรของพิซซ่าทั้งถาด? Answer:เฉลย: $\dfrac{60}{360}=\dfrac{1}{6}$The fraction is always over $360$: $\dfrac{60}{360}=\dfrac16$ $\text{sector}=\dfrac{\theta}{360}\times(\text{circle formula})$เศษส่วนหารด้วย $360$ เสมอ: $\dfrac{60}{360}=\dfrac16$ $\text{sector}=\dfrac{\theta}{360}\times(\text{circle formula})$
A sector has $r=9$ cm and angle $40^\circ$. Find the arc length, in terms of $\pi$.เซกเตอร์มี $r=9$ cm มุม $40^\circ$ หาความยาวส่วนโค้ง ตอบติด $\pi$ Answer:เฉลย: $\tfrac{40}{360}\times2\pi\times9=\tfrac19\times18\pi=2\pi$ cmFraction $\times$ circumference: $\dfrac{40}{360}=\dfrac19$ $2\pi r=18\pi$ $\tfrac19\times 18\pi=2\pi\text{ cm}$เศษส่วน $\times$ เส้นรอบวง: $\dfrac{40}{360}=\dfrac19$ $2\pi r=18\pi$ $\tfrac19\times 18\pi=2\pi\text{ cm}$
Exam: A sector has radius $6$ cm and angle $120^\circ$. Find the perimeter of the sector, in terms of $\pi$ or to 1 d.p. (4 marks)ข้อสอบ: เซกเตอร์รัศมี $6$ cm มุม $120^\circ$ หาเส้นรอบรูปของเซกเตอร์ ตอบติด $\pi$ หรือทศนิยม 1 ตำแหน่ง (4 คะแนน) Answer:เฉลย: $\tfrac{120}{360}\times12\pi+2\times6=4\pi+12\approx24.6$ cm4 marks: $\text{M1}\ \ \dfrac{120}{360}=\dfrac13$ $\text{M2}\ \ \text{arc}=\tfrac13\times 12\pi=4\pi$ $\text{M3}\ \ +\,2\times 6\ \Rightarrow\ 4\pi+12$ $\text{A1}\ \ \approx 24.6\text{ cm}$ Perimeter is the whole boundary. The two radii count for a mark.4 คะแนน: $\text{M1}\ \ \dfrac{120}{360}=\dfrac13$ $\text{M2}\ \ \text{arc}=\tfrac13\times 12\pi=4\pi$ $\text{M3}\ \ +\,2\times 6\ \Rightarrow\ 4\pi+12$ $\text{A1}\ \ \approx 24.6\text{ cm}$ เส้นรอบรูปคือขอบทั้งหมด · รัศมีสองเส้นคือหนึ่งคะแนน
8. Solids with a fraction in frontทรงที่มีเศษส่วนนำหน้า
Pyramid, cone, sphere: the same volume method, with $\tfrac13$ or $\tfrac43$ in front.พีระมิด กรวย ทรงกลม · ใช้วิธีหาปริมาตรเดิม แค่มี $\tfrac13$ หรือ $\tfrac43$ นำหน้า
The pyramid inside has the same base and the same height as the box. Fill it with water and pour it in: how many pyramid-fulls fill the box?พีระมิดข้างในมีฐานเดียวกันและสูงเท่ากันกับกล่อง · เติมน้ำแล้วเทลงกล่อง: ต้องเทกี่พีระมิดถึงจะเต็ม? Answer:เฉลย: $3$Three pyramids fill the box: $\text{box}=A\times h$ $\text{pyramid}=\tfrac13\times A\times h$ Every pointed solid carries that $\tfrac13$, and it is the number everyone drops.พีระมิดสามอัน เต็มกล่องพอดี: $\text{box}=A\times h$ $\text{pyramid}=\tfrac13\times A\times h$ ทรงที่มียอดแหลมมี $\tfrac13$ ทุกอัน · และเป็นเลขที่คนลืมบ่อยที่สุด
A pyramid has base area $15$ cm$^2$ and height $4$ cm. Find its volume.พีระมิดมีพื้นที่ฐาน $15$ cm$^2$ สูง $4$ cm หาปริมาตร Answer:เฉลย: $\tfrac13\times15\times4=20$ cm$^3$The fraction in front scores: $15\times 4=60$ $\tfrac13\times 60=20\text{ cm}^3$เศษส่วนข้างหน้า คือคะแนน: $15\times 4=60$ $\tfrac13\times 60=20\text{ cm}^3$
A cone has radius $3$ cm and height $4$ cm. Find its volume, in terms of $\pi$.กรวยรัศมี $3$ cm สูง $4$ cm หาปริมาตร ตอบติด $\pi$ Answer:เฉลย: $\tfrac13\pi\times9\times4=12\pi$ cm$^3$If you can do a cylinder, a cone is one extra move: take $\tfrac13$ of it. $36\pi\to12\pi$.ถ้าทำทรงกระบอกเป็น กรวยคือเพิ่มท่าเดียว: เอา $\tfrac13$ ของมัน · $36\pi\to12\pi$
A sphere has radius $3$ cm. Find its volume, in terms of $\pi$.ทรงกลมรัศมี $3$ cm หาปริมาตร ตอบติด $\pi$ Answer:เฉลย: $\tfrac43\pi\times27=36\pi$ cm$^3$Cube it, and keep the $3$: $r^{3}=27$ $\tfrac43\pi\times 27=36\pi\text{ cm}^3$ยกกำลังสาม และอย่าลืม $3$: $r^{3}=27$ $\tfrac43\pi\times 27=36\pi\text{ cm}^3$
Exam: A solid is a cone of radius $6$ cm joined to a hemisphere of radius $6$ cm at its base. The total volume of the solid is $240\pi$ cm$^3$. Find the height of the cone. (5 marks)ข้อสอบ: ทรงตันอันหนึ่งคือกรวยรัศมี $6$ cm ต่อกับ hemisphere (ครึ่งทรงกลม) รัศมี $6$ cm ที่ฐาน · ปริมาตรรวมทั้งก้อน $240\pi$ cm$^3$ · หาความสูงของกรวย (5 คะแนน) Answer:เฉลย: $144\pi+12\pi h=240\pi \Rightarrow h=8$ cm5 marks: $\text{M1}\ \ \tfrac12\times\tfrac43\pi(6)^{3}=144\pi$ $\text{M2}\ \ 240\pi-144\pi=96\pi$ $\text{M3}\ \ \tfrac13\pi(6)^{2}h=12\pi h$ $\text{M4}\ \ 12h=96$ $\text{A1}\ \ h=8\text{ cm}$ It is a hemisphere, so halve the sphere before subtracting.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ \tfrac12\times\tfrac43\pi(6)^{3}=144\pi$ $\text{M2}\ \ 240\pi-144\pi=96\pi$ $\text{M3}\ \ \tfrac13\pi(6)^{2}h=12\pi h$ $\text{M4}\ \ 12h=96$ $\text{A1}\ \ h=8\text{ cm}$ เป็นครึ่งทรงกลม ต้องหารสองก่อนเอาไปลบ
A cone of radius $6$ cm and height $15$ cm is full of water. All the water is poured into an empty cylinder of radius $5$ cm. Find the depth of the water in the cylinder.กรวยรัศมี $6$ cm สูง $15$ cm มีน้ำเต็ม · เทน้ำทั้งหมดลงในทรงกระบอกเปล่ารัศมี $5$ cm · หาความลึกของน้ำในทรงกระบอก Answer:เฉลย: $\tfrac13\pi(6)^{2}(15)=180\pi$, $180\pi\div25\pi=7.2$ cmLook for an apex: $\text{narrows to a point}\ \Rightarrow\ V=\tfrac13\pi r^{2}h$ $\text{same cross-section}\ \Rightarrow\ V=\pi r^{2}h$ $\text{out of the cone: }\tfrac13\pi(6)^{2}(15)=180\pi$ $\text{into the cylinder: }180\pi=25\pi d$ $d=7.2\text{ cm}$ If you put the $\tfrac13$ on the cylinder, you get $21.6$: right numbers, wrong solid.ดูว่ามียอดแหลมไหม: $\text{narrows to a point}\ \Rightarrow\ V=\tfrac13\pi r^{2}h$ $\text{same cross-section}\ \Rightarrow\ V=\pi r^{2}h$ $\text{out of the cone: }\tfrac13\pi(6)^{2}(15)=180\pi$ $\text{into the cylinder: }180\pi=25\pi d$ $d=7.2\text{ cm}$ เอา $\tfrac13$ ไปใส่ทรงกระบอก จะได้ $21.6$ · เลขชุดเดียวกัน แต่ผิดทรง
9. Exercise setชุดโจทย์
The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว
A circle has radius $4$ cm. Find its circumference and its area, in terms of $\pi$. Answer:เฉลย: $C=8\pi$ cm, $A=16\pi$ cm$^2$Identical to the worked slides, numbers changed. It checks the $2\pi r$/$\pi r^{2}$ pair once more.เหมือนในสไลด์ แค่เปลี่ยนตัวเลข เอาความมั่นใจก่อน แล้วตรวจคู่ $2\pi r$/$\pi r^{2}$ อีกรอบ
A circle has diameter $9$ cm. Find its area in terms of $\pi$. Answer:เฉลย: $r=4.5$: $A=\dfrac{81\pi}{4}=20.25\pi\approx63.6$ cm$^2$An odd diameter forces the halving step. If you skip $d\to r$, you get $81\pi$: a clear error.เส้นผ่านศูนย์กลางเลขคี่บังคับให้หารครึ่งจริงๆ · ใครข้ามขั้น $d\to r$ จะได้ $81\pi$ แล้วรู้ตัวทันที
A metal washer is a ring: outer radius $5$ cm, inner radius $2$ cm. Find the area of the metal, in terms of $\pi$. Answer:เฉลย: $25\pi-4\pi=21\pi$ cm$^2$New context (a washer), same move: area minus area. It is the plate-with-a-hole idea again.บริบทใหม่ (แหวนรอง) แต่ท่าเดิม: พื้นที่ลบพื้นที่ · เป็นแนวคิดแผ่นเจาะรูเดิมอีกครั้ง
A triangular prism: the cross-section is a triangle with base $6$ cm and height $4$ cm, and the prism is $10$ cm long. Find its volume. Answer:เฉลย: $\tfrac12\times6\times4=12$, $V=12\times10=120$ cm$^3$Level 1's triangle area feeds level 5's prism formula. Nothing is new: two known moves in a chain.พื้นที่สามเหลี่ยมจากขั้นแรก ป้อนเข้าสูตรปริซึมของขั้นที่ 5 ไม่มีอะไรใหม่ แค่ต่อสองท่าที่รู้แล้วเข้าด้วยกัน
A circle has circumference $14\pi$ cm. Find its area, in terms of $\pi$. Answer:เฉลย: $r=\dfrac{14\pi}{2\pi}=7$, $A=49\pi$ cm$^2$Backwards then forwards: get $r$ from $C$, then use the area formula. This checks understanding, not memorised steps.ย้อนก่อนแล้วค่อยเดินหน้า: ถอด $r$ จาก $C$ แล้วเข้าสูตรพื้นที่ · ข้อนี้วัดความเข้าใจ ไม่ใช่การท่องขั้นตอน
A sector has radius $8$ cm and angle $135^\circ$. (5 marks)(a)(ก) Find the arc length. (b)(ข) Find the area of the sector. Give both in terms of $\pi$. Answer:เฉลย: $\tfrac{135}{360}=\tfrac38$: (a) $\tfrac38\times16\pi=6\pi$ cm (b) $\tfrac38\times64\pi=24\pi$ cm$^2$Multi-part, marks stated, awkward fraction $\tfrac38$: the same style as the paper. Fraction: 1 mark; arc: 2; area: 2.หลายข้อย่อย มีคะแนนกำกับ เศษส่วน $\tfrac38$ ไม่สวย · สไตล์เดียวกับข้อสอบ · เศษส่วน 1 คะแนน · ส่วนโค้ง 2 · พื้นที่ 2
A circle has diameter $12$ cm. A student writes: $A=\pi\times12^{2}=144\pi$ cm$^2$. Find the mistake and the correct area. Answer:เฉลย: They squared the diameter. $r=6$: $A=36\pi$ cm$^2$Spotting someone else's $r$-$d$ slip is harder than avoiding your own. This is the last check here.จับความพลาด $r$-$d$ ของคนอื่นยากกว่าการไม่พลาดเอง เป็นด่านสุดท้ายก่อนปิดหัวข้อนี้