Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ
Quadratics: Completing the Squareกำลังสอง: จัดกำลังสองสมบูรณ์
A-Level Pure 1 · CAIE 9709/1 & Edexcel IAL WMA11 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ
1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม
Expand a perfect square · a square is never negativeกระจายกำลังสองสมบูรณ์ · กำลังสองไม่เคยติดลบ
Panel 2 is why $(x+3)^{2}-1$ has its minimum at $x=-3$.ช่อง 2 คือเหตุผลที่ $(x+3)^{2}-1$ ต่ำสุดที่ $x=-3$
- Expand $(x+3)^{2}$.กระจาย $(x+3)^{2}$
Answer:เฉลย: $x^{2}+6x+9$This one line, read backwards, is the whole lesson. Keep it in view.บรรทัดเดียวนี้ ถ้าอ่านย้อนกลับ ก็คือทั้งบทของวันนี้ วางไว้ตรงหน้าเลย เดี๋ยวได้ใช้แน่
2. Read it backwardsอ่านย้อนกลับ
$x^{2}+6x+9$ is $(x+3)^{2}$. It is the same line, read backwards.$x^{2}+6x+9$ ก็คือ $(x+3)^{2}$ · บรรทัดเดิม อ่านกลับทิศ
Expand them one by one: watch the numbersกระจายทีละตัว · ดูตัวเลข
Middle $=2\times$ the bracket number. Last $=$ its square.ตัวกลาง $=2\times$ เลขในวงเล็บ · ตัวท้าย $=$ เลขนั้นยกกำลังสอง
- Read right-to-left: $x^{2}+6x+9$ is the same as…อ่านจากขวาไปซ้าย: $x^{2}+6x+9$ ก็คือ…
Answer:เฉลย: $(x+3)^{2}$Half the middle number: $6\div 2=3$ $3^{2}=9\ \checkmark$ $x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}$ครึ่งหนึ่งของตัวกลาง: $6\div 2=3$ $3^{2}=9\ \checkmark$ $x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}$
- In $x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}$: where does the $3$ in the bracket come from?ใน $x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}$ · เลข $3$ ในวงเล็บมาจากไหน
Answer:เฉลย: half of the $x$-coefficientครึ่งหนึ่งของเลขหน้า $x$Expanding doubles, reversing halves: $(x+3)^{2}\ \to\ \text{middle}=2\times 3=6$ $\text{reverse}:\ 3=6\div 2$ The constant only checks the bracket. It never chooses it.กระจายคือคูณสอง ย้อนกลับคือหารสอง: $(x+3)^{2}\ \to\ \text{middle}=2\times 3=6$ $\text{reverse}:\ 3=6\div 2$ ตัวเลขท้ายมีไว้ตรวจวงเล็บ ไม่ได้เป็นคนเลือก
- Follow the pattern. Guess the next line: $(x+5)^{2}=x^{2}+10x+\,?$ตามเทรนด์ · ทายบรรทัดถัดไป: $(x+5)^{2}=x^{2}+10x+\,?$
Answer:เฉลย: $25$Middle $10=2\times5$, end $25=5^{2}$. This pattern is the whole tool for today.เลขกลาง $10=2\times5$ เลขท้าย $25=5^{2}$ — เทรนด์นี้คือเครื่องมือหลักของทั้งบทวันนี้
3. Spot the perfect squaresจับกำลังสองสมบูรณ์ให้ได้
The bracket number is always half the $x$-coefficient.เลขในวงเล็บ = ครึ่งหนึ่งของเลขหน้า $x$ เสมอ
- $x^{2}+10x+25=(x+\,?\,)^{2}$. What number goes in the bracket?$x^{2}+10x+25=(x+\,?\,)^{2}$ เลขในวงเล็บคือเท่าไร?
Answer:เฉลย: $(x+5)^{2}$Half of $10$ is $5$, and $5^{2}=25$ matches the constant, so this is a perfect square.ครึ่งหนึ่งของ $10$ คือ $5$ และ $5^{2}=25$ ตรงกับตัวเลขท้ายพอดี · อันนี้เลยเป็นกำลังสองสมบูรณ์
- $x^{2}-8x+16$ is…$x^{2}-8x+16$ คือ…
Answer:เฉลย: $(x-4)^{2}$The minus stays with the number: $(-8)\div 2=-4$ $(-4)^{2}=+16$ $x^{2}-8x+16=(x-4)^{2}$เครื่องหมายลบติดไปกับตัวเลข: $(-8)\div 2=-4$ $(-4)^{2}=+16$ $x^{2}-8x+16=(x-4)^{2}$
4. Fix the constantจัดการตัวเลขท้าย
$x^{2}+6x+4=(x+3)^{2}-5$: the main technique.$x^{2}+6x+4=(x+3)^{2}-5$ · เทคนิคตัวจริงของบทนี้
$x^{2}+6x+4$: the last number no longer matches$x^{2}+6x+4$ · ตัวเลขท้ายไม่ตรงแล้ว
Can we still use the bracket $(x+3)$?ยังใช้วงเล็บ $(x+3)$ ได้อยู่ไหม?
$x^{2}+6x$ is a square with a corner missing$x^{2}+6x$ คือสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ขาดมุมไปหนึ่งชิ้น
The corner is $3\times3=9$.มุมที่ขาดคือ $3\times3=9$
Add $9$, subtract $9$: watch it happenบวก $9$ ลบ $9$ · ดูทีละบรรทัด
$9=(6\div2)^{2}$. In and out on the same line.$9=(6\div2)^{2}$ · ใส่แล้วเอาออกในบรรทัดเดียวกัน
Complete the square on $x^{2}+6x+4$ทำกำลังสองสมบูรณ์ของ $x^{2}+6x+4$
- $x^{2}+6x+4$Half of $6$ is $3$: the bracket is $(x+3)$.ครึ่งของ $6$ คือ $3$ · วงเล็บคือ $(x+3)$
- $(x+3)^{2}=x^{2}+6x+9$That bracket brings an extra $+9$.วงเล็บนี้พา $+9$ เกินมาด้วย
- $x^{2}+6x=(x+3)^{2}-9$Take the $9$ back off. Both sides are equal.หัก $9$ ออก · สองข้างเท่ากันแล้ว
- $x^{2}+6x+4=(x+3)^{2}-9+4$Bring the original $+4$ along.เอา $+4$ ตัวเดิมมาด้วย
- $=(x+3)^{2}-5$Expand it back to check: $x^{2}+6x+9-5=x^{2}+6x+4$ ✓กระจายกลับเพื่อตรวจ: $x^{2}+6x+9-5=x^{2}+6x+4$ ✓
A number in front: $2x^{2}+12x+7$มีตัวเลขนำหน้า: $2x^{2}+12x+7$
The $-9$ leaves the bracket multiplied by $2$.$-9$ ออกจากวงเล็บพร้อมคูณ $2$
- Which line is equal to $x^{2}+6x+4$?บรรทัดไหนเท่ากับ $x^{2}+6x+4$ จริงๆ?
Answer:เฉลย: $(x+3)^{2}-5$Build the bracket, subtract its square: $6\div 2=3$ $x^{2}+6x+4=(x+3)^{2}-9+4$ $=(x+3)^{2}-5$ Expand your answer again to check. Every time.สร้างวงเล็บ แล้วลบกำลังสองของมัน: $6\div 2=3$ $x^{2}+6x+4=(x+3)^{2}-9+4$ $=(x+3)^{2}-5$ กระจายคำตอบกลับมาตรวจทุกครั้ง
- $x^{2}-10x+3 = (x-5)^{2}+k$. Find $k$.$x^{2}-10x+3 = (x-5)^{2}+k$ หา $k$
Answer:เฉลย: $k=-22$A minus in the middle changes nothing about the method: bracket $(x-5)$, subtract $(-5)^{2}=25$, then $3-25=-22$.ตัวกลางติดลบก็ไม่เปลี่ยนวิธีเลย: วงเล็บ $(x-5)$ ลบ $(-5)^{2}=25$ ออก แล้ว $3-25=-22$
- So $2x^{2}+12x+7$ equals…สรุปแล้ว $2x^{2}+12x+7$ เท่ากับ…
Answer:เฉลย: $2(x+3)^{2}-11$The $2$ multiplies the $-9$ too: $2(x^{2}+6x)+7$ $=2\big[(x+3)^{2}-9\big]+7$ $=2(x+3)^{2}-18+7$ $=2(x+3)^{2}-11$ Forgetting that is one of the most common lost marks in P1.เลข $2$ คูณ $-9$ ด้วย: $2(x^{2}+6x)+7$ $=2\big[(x+3)^{2}-9\big]+7$ $=2(x+3)^{2}-18+7$ $=2(x+3)^{2}-11$ ลืมตรงนี้ คือจุดเสียคะแนนที่เจอบ่อยที่สุดใน P1
- Now the number in front is negative: $f(x)=3-12x-2x^{2}$.คราวนี้ตัวเลขหน้า $x^{2}$ ติดลบ · $f(x)=3-12x-2x^{2}$
Answer:เฉลย: $21-2(x+3)^{2}$The $-2$ multiplies the $-9$ too: $3-12x-2x^{2}=3-2(x^{2}+6x)$ $=3-2\big[(x+3)^{2}-9\big]$ $=3-2(x+3)^{2}+18$ $=21-2(x+3)^{2}$ $-2\times(-9)=+18$: a minus outside flips the sign.$-2$ คูณ $-9$ ด้วย: $3-12x-2x^{2}=3-2(x^{2}+6x)$ $=3-2\big[(x+3)^{2}-9\big]$ $=3-2(x+3)^{2}+18$ $=21-2(x+3)^{2}$ $-2\times(-9)=+18$ · ลบข้างนอกทำให้เครื่องหมายกลับ
5. Minus in the middle: the sign-safe squareพจน์กลางติดลบ: เติมกำลังสองไม่พลาดเครื่องหมาย
The square is always $+$ inside and $-$ outside. The bracket copies the sign of the middle term.ตัวยกกำลังสองเป็น $+$ ในวงเล็บ และ $-$ ข้างนอกเสมอ · วงเล็บลอกเครื่องหมายของพจน์กลาง
Only the middle sign changesเปลี่ยนแค่เครื่องหมายตรงกลาง
Solve $x^{2}-10x+5=0$ by completing the squareแก้ $x^{2}-10x+5=0$ ด้วยการเติมกำลังสองสมบูรณ์
- $x^{2}-10x+5=0$Half of $10$ is $5$.ครึ่งของ $10$ คือ $5$
- $(x^{2}-10x+5^{2})-5^{2}+5=0$$+5^{2}$ inside. The same $-5^{2}$ outside.ใส่ $+5^{2}$ ในวงเล็บ · เอา $-5^{2}$ ตัวเดิมออกข้างนอก
- $(x^{2}-10x+25)-25+5=0$Work out $5^{2}=25$.คิด $5^{2}=25$
- $(x-5)^{2}-20=0$Middle $-10x$ gives $(x-5)$. $-25+5=-20$.พจน์กลาง $-10x$ ได้ $(x-5)$ · $-25+5=-20$
- $(x-5)^{2}=20$Move the $20$ across.ย้าย $20$ ข้ามฝั่ง
- $x-5=\pm\sqrt{20}$Square-root both sides. Write $\pm$ on this line.ถอดรูททั้งสองข้าง · เขียน $\pm$ ที่บรรทัดนี้
- $x=5\pm2\sqrt{5}$$\sqrt{20}=\sqrt{4}\times\sqrt{5}=2\sqrt{5}$.$\sqrt{20}=\sqrt{4}\times\sqrt{5}=2\sqrt{5}$
- $x^{2}-10x+\square$ is a perfect square.
What goes in the box?$x^{2}-10x+\square$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์
ในกล่องต้องเป็นอะไร?
Answer:เฉลย: $+25$Half, square, always plus: $10\div2=5$ $5^{2}=+25$ $x^{2}-10x+25=(x-5)^{2}$ครึ่งหนึ่ง ยกกำลังสอง บวกเสมอ: $10\div2=5$ $5^{2}=+25$ $x^{2}-10x+25=(x-5)^{2}$
- Which is the correct first line for $x^{2}-14x+3=0$?บรรทัดแรกที่ถูกของ $x^{2}-14x+3=0$ คือข้อไหน?
Answer:เฉลย: $(x^{2}-14x+7^{2})-7^{2}+3=0$Same first line every time: $14\div2=7$ $(x^{2}-14x+7^{2})-7^{2}+3=0$ $(x-7)^{2}-49+3=0$บรรทัดแรกเหมือนเดิมทุกครั้ง: $14\div2=7$ $(x^{2}-14x+7^{2})-7^{2}+3=0$ $(x-7)^{2}-49+3=0$
- Write $x^{2}-8x+3$ in the form $(x+p)^{2}+q$.
Type it like $(x-1)^2+5$.เขียน $x^{2}-8x+3$ ในรูป $(x+p)^{2}+q$
พิมพ์แบบ $(x-1)^2+5$
Answer:เฉลย: $(x-4)^{2}-13$In, out, fold: $(x^{2}-8x+4^{2})-4^{2}+3$ $=(x-4)^{2}-16+3$ $=(x-4)^{2}-13$ Check: $(x-4)^{2}-13=x^{2}-8x+16-13=x^{2}-8x+3$.ใส่ เอาออก พับ: $(x^{2}-8x+4^{2})-4^{2}+3$ $=(x-4)^{2}-16+3$ $=(x-4)^{2}-13$ ตรวจ: $(x-4)^{2}-13=x^{2}-8x+16-13=x^{2}-8x+3$
- Now the plus version: $x^{2}+10x-5$.
Which is equal to it?ทีนี้ตัวบวก: $x^{2}+10x-5$
ข้อไหนเท่ากับมัน?
Answer:เฉลย: $(x+5)^{2}-30$Plus middle, plus bracket: $(x^{2}+10x+5^{2})-5^{2}-5$ $=(x+5)^{2}-25-5$ $=(x+5)^{2}-30$พจน์กลางบวก วงเล็บบวก: $(x^{2}+10x+5^{2})-5^{2}-5$ $=(x+5)^{2}-25-5$ $=(x+5)^{2}-30$
- $y=x^{2}-10x+5$.
Complete the square. Then write down the minimum point.
Type it as $(x, y)$.$y=x^{2}-10x+5$
เติมกำลังสองสมบูรณ์ แล้วบอกจุดต่ำสุด
พิมพ์เป็น $(x, y)$
Answer:เฉลย: $(x-5)^{2}-20\ \Rightarrow\ (5,\,-20)$Read the point off the form: $y=(x-5)^{2}-20$ $x-5=0\ \Rightarrow\ x=5$ $y=0-20=-20$ A square is never below $0$. So $y$ is smallest when the bracket is $0$.อ่านจุดจากรูปสำเร็จ: $y=(x-5)^{2}-20$ $x-5=0\ \Rightarrow\ x=5$ $y=0-20=-20$ กำลังสองไม่มีทางต่ำกว่า $0$ · $y$ จึงน้อยสุดตอนวงเล็บเป็น $0$
- Solve $x^{2}-6x-2=0$ by completing the square.
Give exact answers.
Type it like 2+-sqrt(5), or use the ± and √ keys.แก้ $x^{2}-6x-2=0$ ด้วยการเติมกำลังสองสมบูรณ์
ตอบแบบ exact
พิมพ์แบบ 2+-sqrt(5) หรือใช้ปุ่ม ± กับ √
Answer:เฉลย: $(x-3)^{2}=11\ \Rightarrow\ x=3\pm\sqrt{11}$Same layout, then unwrap: $(x^{2}-6x+3^{2})-3^{2}-2=0$ $(x-3)^{2}-11=0$ $(x-3)^{2}=11$ $x-3=\pm\sqrt{11}$ $x=3\pm\sqrt{11}$เขียนแบบเดิม แล้วแกะออก: $(x^{2}-6x+3^{2})-3^{2}-2=0$ $(x-3)^{2}-11=0$ $(x-3)^{2}=11$ $x-3=\pm\sqrt{11}$ $x=3\pm\sqrt{11}$
6. Read the formอ่านค่าจากรูปสำเร็จ
From the completed square you can find the vertex and the exact roots.จากรูปกำลังสองสมบูรณ์ หาจุดยอดและรากแบบ exact ได้
$y=x^{2}$ moves $3$ left and $5$ down$y=x^{2}$ ย้ายไปซ้าย $3$ ลง $5$
The vertex moves from $(0,0)$ to $(-3,-5)$.จุดยอดย้ายจาก $(0,0)$ ไป $(-3,-5)$
$y=(x+3)^{2}-5$: the finished form is the graph$y=(x+3)^{2}-5$ · รูปสำเร็จอ่านเป็นกราฟได้ทันที
Lowest point: $(-3,\,-5)$.จุดต่ำสุด: $(-3,\,-5)$
From $(x+3)^{2}-5=0$ to $x$, one line at a timeจาก $(x+3)^{2}-5=0$ ไปหา $x$ · ทีละบรรทัด
A missing $\pm$ loses a mark.ลืม $\pm$ เสียคะแนน
- In $y=(x+3)^{2}-5$ the $-5$ never moves. The lowest point of $y$ is where $(x+3)^{2}$ is lowest. What is the smallest value of $(x+3)^{2}$?ใน $y=(x+3)^{2}-5$ เจ้า $-5$ ไม่ขยับเลย $y$ จึงต่ำสุดพอดีตอนที่ $(x+3)^{2}$ ต่ำสุด แล้ว $(x+3)^{2}$ น้อยสุดได้เท่าไร?
Answer:เฉลย: $0$A square is never negative: $(x+3)^{2}\ge 0$ $\text{smallest}=0$ $y=0-5=-5$กำลังสองไม่มีทางติดลบ: $(x+3)^{2}\ge 0$ $\text{smallest}=0$ $y=0-5=-5$
- When does $(x+3)^{2}$ reach $0$? At which $x$?แล้ว $(x+3)^{2}$ แตะ $0$ เมื่อไหร่ · ที่ $x$ เท่าไร?
Answer:เฉลย: $x=-3$The bracket hits zero at $x=-3$: $x+3=0\ \Rightarrow\ x=-3$ $y=0-5=-5$ You found the lowest point without drawing anything.วงเล็บเป็นศูนย์ตอน $x=-3$: $x+3=0\ \Rightarrow\ x=-3$ $y=0-5=-5$ หาจุดต่ำสุดได้โดยไม่ต้องวาดกราฟเลย
- So the vertex (lowest point) of $y=(x+3)^{2}-5$ is at…สรุป: จุดยอด (จุดต่ำสุด) ของ $y=(x+3)^{2}-5$ อยู่ที่…
Answer:เฉลย: $(-3,-5)$Bracket sign flips, outside stays: $(x+3)^{2}-5$ $+3\ \to\ x=-3$ $-5\ \to\ y=-5$ $\text{vertex}=(-3,\,-5)$เครื่องหมายในวงเล็บพลิก ข้างนอกคงเดิม: $(x+3)^{2}-5$ $+3\ \to\ x=-3$ $-5\ \to\ y=-5$ $\text{vertex}=(-3,\,-5)$
- Do the same move on your own. Solve $x^{2}+6x+4=0$ with $(x+3)^{2}-5=0$. Give the exact answer.ทีนี้ลองทำท่าเดิมเอง: แก้ $x^{2}+6x+4=0$ แบบ exact โดยใช้ $(x+3)^{2}-5=0$
Answer:เฉลย: $x=-3\pm\sqrt{5}$Write $\pm$ at the root line: $(x+3)^{2}=5$ $x+3=\pm\sqrt{5}$ $x=-3\pm\sqrt{5}$ CAIE wants the exact form. A decimal answer scores nothing.ใส่ $\pm$ ตอนถอดรูท: $(x+3)^{2}=5$ $x+3=\pm\sqrt{5}$ $x=-3\pm\sqrt{5}$ CAIE ต้องการรูป exact · ตอบเป็นทศนิยมไม่ได้คะแนน
7. Discriminant: count the roots firstDiscriminant: นับรากก่อนแก้
$b^{2}-4ac$ tells you how many roots before you solve anything.$b^{2}-4ac$ บอกจำนวนรากได้ก่อนลงมือแก้
Stare under the square rootจ้องไปใต้เครื่องหมายราก
Look at one piece only: the part under the root. What could go wrong there?ดูแค่ชิ้นเดียว: ก้อนใต้ราก · ข้างในนั้นมีอะไรพังได้บ้าง?
Slide the parabola down and count the crossingsเลื่อนพาราโบลาลง แล้วนับจุดที่ตัดแกน
$b^{2}-4ac$: negative, zero, positive.$b^{2}-4ac$ · ลบ ศูนย์ บวก
The three cases, as graphsสามกรณีของ discriminant ดูจากกราฟ
$b^{2}-4ac$ counts how many times the curve meets the $x$-axis.$b^{2}-4ac$ นับว่าเส้นโค้งแตะแกน $x$ กี่ครั้ง
- For $x^{2}+2x+5=0$: $b^{2}-4ac=4-20=-16$. What happens in the formula?สำหรับ $x^{2}+2x+5=0$: $b^{2}-4ac=4-20=-16$ แล้วในสูตรจะเกิดอะไรขึ้น?
Answer:เฉลย: no real rootsไม่มีรากจริงMinimum above the axis, no roots: $b^{2}-4ac=4-20=-16$ $x^{2}+2x+5=(x+1)^{2}+4$ $\text{minimum}=4$จุดต่ำสุดอยู่เหนือแกน จึงไม่มีราก: $b^{2}-4ac=4-20=-16$ $x^{2}+2x+5=(x+1)^{2}+4$ $\text{minimum}=4$
- $x^{2}-6x+9=0$ has $b^{2}-4ac=36-36=0$. What does that mean?$x^{2}-6x+9=0$ มี $b^{2}-4ac=36-36=0$ แปลว่าอะไรกันแน่?
Answer:เฉลย: one repeated root ($x=3$)รากซ้ำหนึ่งราก ($x=3$)Three cases, three pictures: $b^{2}-4ac>0\ \to\ \text{cuts twice}$ $b^{2}-4ac=0\ \to\ \text{touches once}$ $b^{2}-4ac<0\ \to\ \text{misses}$สามกรณี สามรูป: $b^{2}-4ac>0\ \to\ \text{cuts twice}$ $b^{2}-4ac=0\ \to\ \text{touches once}$ $b^{2}-4ac<0\ \to\ \text{misses}$
- Find the values of $k$ for which $x^{2}+kx+9=0$ has equal roots.หาทุกค่าของ $k$ ที่ทำให้ $x^{2}+kx+9=0$ มีรากซ้ำ (equal roots)
Answer:เฉลย: $k=\pm6$Equal roots means discriminant zero: $k^{2}-36=0$ $k=\pm 6$ $k=6\ \to\ (x+3)^{2}$ $k=-6\ \to\ (x-3)^{2}$ Writing only $k=6$ loses a mark.รากซ้ำ คือดิสคริมิแนนต์เป็นศูนย์: $k^{2}-36=0$ $k=\pm 6$ $k=6\ \to\ (x+3)^{2}$ $k=-6\ \to\ (x-3)^{2}$ เขียนแค่ $k=6$ เสียหนึ่งคะแนน
8. Line meets curve: substitute, then countเส้นตรงตัดเส้นโค้ง: แทนค่า แล้วนับ
Substitute the line into the curve. $b^{2}-4ac$ of the new quadratic counts the meeting points.แทนเส้นตรงลงในเส้นโค้ง · $b^{2}-4ac$ ของสมการใหม่นับจุดที่ตัดกัน
One curve, three lines: count the meeting pointsเส้นโค้งเดียว เส้นตรงสามเส้น: นับจุดที่ตัดกัน
$y=x^{2}$ with $y=2x+3$, $y=2x-1$, $y=2x-3$: 2, 1 and 0 points.$y=x^{2}$ กับ $y=2x+3$, $y=2x-1$, $y=2x-3$: ตัดกัน 2, 1 และ 0 จุด
Where does $y=3x-2$ meet $y=x^{2}$?$y=3x-2$ ตัด $y=x^{2}$ ที่จุดไหน?
- $x^{2}=3x-2$Both give $y$, so make them equal. Then take $3x-2$ from both sides.ทั้งสองเท่ากับ $y$ · ตั้งให้เท่ากัน · แล้วลบ $3x-2$ ออกทั้งสองข้าง
- $x^{2}-3x+2=0$A quadratic in $x$ only: $a=1$, $b=-3$, $c=2$.เหลือสมการกำลังสองของ $x$ ตัวเดียว: $a=1$, $b=-3$, $c=2$
- $b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4(1)(2)$Count the points before you solve.นับจุดก่อนแก้สมการ
- $=1$$1\gt0$, so the line meets the curve at 2 points.$1\gt0$ · เส้นตรงตัดเส้นโค้ง 2 จุด
- $(x-1)(x-2)=0$Now factorise to find them.ตอนนี้แยกตัวประกอบเพื่อหาจุดทั้งสอง
- $x=1$Substitute into $y=x^{2}$: $y=1$. Point $(1,\,1)$.แทนใน $y=x^{2}$: $y=1$ · ได้จุด $(1,\,1)$
- $x=2$$y=2^{2}=4$. Point $(2,\,4)$. The line gives the same $y$: $3(2)-2=4$.$y=2^{2}=4$ · ได้จุด $(2,\,4)$ · เส้นตรงก็ให้ $y$ เท่ากัน: $3(2)-2=4$
- Substitute $y=x+1$ into $y=x^{2}-1$. Which equation do you get?แทน $y=x+1$ ลงใน $y=x^{2}-1$ · ได้สมการไหน?
Answer:เฉลย: $x^{2}-x-2=0$$x^{2}-x-2=0$Equal $y$, then one side: $x^{2}-1=x+1$ $x^{2}-x-2=0$ตั้ง $y$ เท่ากัน แล้วย้ายมาข้างเดียว: $x^{2}-1=x+1$ $x^{2}-x-2=0$
- $y=x+1$ meets $y=x^{2}-1$ where $x^{2}-x-2=0$. Find both points.$y=x+1$ ตัด $y=x^{2}-1$ ที่ $x^{2}-x-2=0$ · หาจุดตัดทั้งสองจุด
Answer:เฉลย: $(2,\,3)$ and $(-1,\,0)$Each $x$ gives one point: $(x-2)(x+1)=0$ $x=2\ \to\ (2,\,3)$ $x=-1\ \to\ (-1,\,0)$$x$ แต่ละค่าให้หนึ่งจุด: $(x-2)(x+1)=0$ $x=2\ \to\ (2,\,3)$ $x=-1\ \to\ (-1,\,0)$
- How many points do $y=x^{2}-4x+5$ and $y=2x-4$ share?$y=x^{2}-4x+5$ กับ $y=2x-4$ มีจุดร่วมกันกี่จุด?
Answer:เฉลย: $1$ (the line is a tangent at $(3,\,2)$)Zero means a tangent: $x^{2}-6x+9=0$ $(x-3)^{2}=0$ $x=3\ \to\ (3,\,2)$ศูนย์ แปลว่าเส้นสัมผัส: $x^{2}-6x+9=0$ $(x-3)^{2}=0$ $x=3\ \to\ (3,\,2)$
- The line $y=x+c$ is a tangent to the curve $y=x^{2}-3x+7$. Find $c$.เส้นตรง $y=x+c$ สัมผัสเส้นโค้ง $y=x^{2}-3x+7$ · หาค่า $c$
Answer:เฉลย: $c=3$Tangent: discriminant is zero: $x^{2}-4x+(7-c)=0$ $16-4(7-c)=0$ $4c-12=0$ $c=3$ The $c$ in $b^{2}-4ac$ is the constant term $7-c$, not the line's $c$.เส้นสัมผัส: discriminant เป็นศูนย์: $x^{2}-4x+(7-c)=0$ $16-4(7-c)=0$ $4c-12=0$ $c=3$ $c$ ใน $b^{2}-4ac$ คือค่าคงที่ $7-c$ ไม่ใช่ $c$ ของเส้นตรง
- Exam: The line $y=kx+3$ is a tangent to the curve $y=x^{2}+x+7$. Find the possible values of $k$. (4 marks)ข้อสอบ: เส้นตรง $y=kx+3$ สัมผัสเส้นโค้ง $y=x^{2}+x+7$ · หาค่า $k$ ที่เป็นไปได้ (4 คะแนน)
Answer:เฉลย: $k=-3$ or $k=5$4 marks: $\text{M1}\ \ x^{2}+(1-k)x+4=0$ $\text{M1}\ \ (1-k)^{2}-4(1)(4)=0$ $\text{A1}\ \ 1-k=\pm4$ $\text{A1}\ \ k=-3,\ \ k=5$ Students lose marks when they write $b$ as $k$, not $1-k$.4 คะแนน: $\text{M1}\ \ x^{2}+(1-k)x+4=0$ $\text{M1}\ \ (1-k)^{2}-4(1)(4)=0$ $\text{A1}\ \ 1-k=\pm4$ $\text{A1}\ \ k=-3,\ \ k=5$ คะแนนหายเมื่อเขียน $b$ เป็น $k$ แทนที่จะเป็น $1-k$
9. Quadratic inequalities: sketch, then readอสมการกำลังสอง: สเก็ตช์ แล้วอ่านจากกราฟ
Find the roots and sketch the curve. Then read where it is above or below the $x$-axis.หารากแล้วสเก็ตช์กราฟ · แล้วอ่านว่าช่วงไหนอยู่เหนือหรือใต้แกน $x$
$y=x^{2}-2x-3$: where is $y$ negative?$y=x^{2}-2x-3$: $y$ ติดลบตรงไหน?
Below the axis: between the roots, $-1\lt x\lt3$. Above the axis: outside them.ใต้แกน: ระหว่างสองราก $-1\lt x\lt3$ · เหนือแกน: ด้านนอกสองราก
Solve $x^{2}-5x+6\gt0$แก้ $x^{2}-5x+6\gt0$
- $x^{2}-5x+6=0$Change $\gt$ to $=$ to find the critical values.เปลี่ยน $\gt$ เป็น $=$ เพื่อหาค่าวิกฤต
- $(x-2)(x-3)=0$Factorise.แยกตัวประกอบ
- $x=2$First critical value.ค่าวิกฤตตัวแรก
- $x=3$Second critical value.ค่าวิกฤตตัวที่สอง
- $x^{2}-5x+6\gt0$$\gt0$ means above the axis: the two outside arms.$\gt0$ คือเหนือแกน: สองแขนด้านนอก
- $x\lt2$The left arm.แขนซ้าย
- $x\gt3$The right arm. Answer: $x\lt2$ or $x\gt3$.แขนขวา · คำตอบ: $x\lt2$ หรือ $x\gt3$
- Solve $x^{2}\le9$.แก้ $x^{2}\le9$
Answer:เฉลย: $-3\le x\le3$$-3\le x\le3$Between the roots: $x^{2}-9\le0$ $(x+3)(x-3)\le0$ $-3\le x\le3$ระหว่างสองราก: $x^{2}-9\le0$ $(x+3)(x-3)\le0$ $-3\le x\le3$
- Solve $x^{2}+2x-8\le0$.แก้ $x^{2}+2x-8\le0$
Answer:เฉลย: $-4\le x\le2$On or below the axis: between: $(x+4)(x-2)\le0$ $-4\le x\le2$บนหรือใต้แกน: ระหว่างสองราก: $(x+4)(x-2)\le0$ $-4\le x\le2$
- Solve $2x^{2}-x-3\lt0$.แก้ $2x^{2}-x-3\lt0$
Answer:เฉลย: $-1\lt x\lt\tfrac{3}{2}$Same rule when $a=2$: $(2x-3)(x+1)\lt0$ $-1\lt x\lt\tfrac{3}{2}$ $a=2$ is positive, so the curve still opens up.กฎเดิม แม้ $a=2$: $(2x-3)(x+1)\lt0$ $-1\lt x\lt\tfrac{3}{2}$ $a=2$ เป็นบวก · กราฟยังหงายขึ้นเหมือนเดิม
- Exam: $x^{2}+px+9\gt0$ for all values of $x$. Find the set of possible values of $p$. (3 marks)ข้อสอบ: $x^{2}+px+9\gt0$ สำหรับทุกค่าของ $x$ · หาเซตของค่า $p$ ที่เป็นไปได้ (3 คะแนน)
Answer:เฉลย: $-6\lt p\lt6$3 marks: $\text{M1}\ \ p^{2}-4(1)(9)\lt0$ $\text{M1}\ \ (p-6)(p+6)\lt0$ $\text{A1}\ \ -6\lt p\lt6$ Students lose the A1 when they solve $\lt0$ as outside the roots.3 คะแนน: $\text{M1}\ \ p^{2}-4(1)(9)\lt0$ $\text{M1}\ \ (p-6)(p+6)\lt0$ $\text{A1}\ \ -6\lt p\lt6$ A1 หายเมื่อแก้ $\lt0$ แล้วตอบช่วงด้านนอก
10. Hidden quadratics: put u, then go back to xสมการกำลังสองที่ซ่อนอยู่: แทน u แล้วกลับไปหา x
Put $u$ for the repeated piece. Solve the quadratic in $u$. Then go back to $x$.แทนก้อนที่ซ้ำด้วย $u$ · แก้สมการกำลังสองของ $u$ · แล้วกลับไปหา $x$
$y=x^{4}-5x^{2}+4$ cuts the axis 4 times$y=x^{4}-5x^{2}+4$ ตัดแกน 4 ครั้ง
$x^{4}=(x^{2})^{2}$, so it is a quadratic in $x^{2}$: $x^{2}=1$ or $x^{2}=4$.$x^{4}=(x^{2})^{2}$ · จึงเป็นสมการกำลังสองของ $x^{2}$: $x^{2}=1$ หรือ $x^{2}=4$
Solve $x^{4}-5x^{2}+4=0$แก้ $x^{4}-5x^{2}+4=0$
- $u=x^{2}$Then $x^{4}=(x^{2})^{2}=u^{2}$.แล้ว $x^{4}=(x^{2})^{2}=u^{2}$
- $u^{2}-5u+4=0$A quadratic in $u$.สมการกำลังสองของ $u$
- $(u-1)(u-4)=0$Factorise.แยกตัวประกอบ
- $u=1$First value of $u$.ค่า $u$ ตัวแรก
- $u=4$Second value of $u$. You are not finished: the question asks for $x$.ค่า $u$ ตัวที่สอง · ยังไม่จบ: โจทย์ถามหา $x$
- $x=\pm1$$x^{2}=1$ has two roots.$x^{2}=1$ มีสองราก
- $x=\pm2$$x^{2}=4$ has two roots. Four answers in total.$x^{2}=4$ มีสองราก · รวมสี่คำตอบ
Solve $x-\sqrt{x}-6=0$แก้ $x-\sqrt{x}-6=0$
- $u=\sqrt{x}$Then $x=(\sqrt{x})^{2}=u^{2}$.แล้ว $x=(\sqrt{x})^{2}=u^{2}$
- $u^{2}-u-6=0$A quadratic in $u$.สมการกำลังสองของ $u$
- $(u-3)(u+2)=0$Factorise.แยกตัวประกอบ
- $u=3$$\sqrt{x}=3$, so $x=9$.$\sqrt{x}=3$ · จึงได้ $x=9$
- $u=-2$$\sqrt{x}$ is never negative. Reject $u=-2$.$\sqrt{x}$ ไม่มีวันติดลบ · ตัด $u=-2$ ทิ้ง
- $x=9$Check: $9-3-6=0$. The rejected $u=-2$ gives $x=4$, and $4-2-6=-4$.ตรวจ: $9-3-6=0$ · $u=-2$ ที่ตัดทิ้งให้ $x=4$ และ $4-2-6=-4$
- Put $u=x^{2}$ in $x^{4}-7x^{2}+12=0$. Which equation do you get?แทน $u=x^{2}$ ใน $x^{4}-7x^{2}+12=0$ · ได้สมการไหน?
Answer:เฉลย: $u^{2}-7u+12=0$$u^{2}-7u+12=0$Every $x^{2}$ becomes $u$: $x^{4}-7x^{2}+12=0$ $u^{2}-7u+12=0$$x^{2}$ ทุกตัวกลายเป็น $u$: $x^{4}-7x^{2}+12=0$ $u^{2}-7u+12=0$
- Solve $x^{4}-10x^{2}+9=0$.แก้ $x^{4}-10x^{2}+9=0$
Answer:เฉลย: $x=\pm1$ or $x=\pm3$Each $u$ gives two $x$: $(u-1)(u-9)=0$ $x=\pm1$ $x=\pm3$$u$ หนึ่งค่า ให้ $x$ สองค่า: $(u-1)(u-9)=0$ $x=\pm1$ $x=\pm3$
- Solve $x-5\sqrt{x}+6=0$.แก้ $x-5\sqrt{x}+6=0$
Answer:เฉลย: $x=4$ or $x=9$Square each $u$: $(u-2)(u-3)=0$ $x=4$ $x=9$ยกกำลังสอง $u$ แต่ละค่า: $(u-2)(u-3)=0$ $x=4$ $x=9$
- Solve $x^{4}+3x^{2}-4=0$.แก้ $x^{4}+3x^{2}-4=0$
Answer:เฉลย: $x=\pm1$Reject the negative $u$: $(u+4)(u-1)=0$ $x=\pm1$ $x^{2}=-4$ gives no real $x$, so only two answers.ตัด $u$ ที่ติดลบทิ้ง: $(u+4)(u-1)=0$ $x=\pm1$ $x^{2}=-4$ ไม่ให้ $x$ จริง · จึงมีแค่สองคำตอบ
- Exam: Solve the equation $3x-2\sqrt{x}-8=0$. (3 marks)ข้อสอบ: แก้สมการ $3x-2\sqrt{x}-8=0$ (3 คะแนน)
Answer:เฉลย: $x=4$3 marks: $\text{M1}\ \ 3u^{2}-2u-8=0$ $\text{M1}\ \ (3u+4)(u-2)=0$ $\text{A1}\ \ x=4$ Students lose the A1 when they keep $x=\tfrac{16}{9}$ from $\sqrt{x}=-\tfrac{4}{3}$.3 คะแนน: $\text{M1}\ \ 3u^{2}-2u-8=0$ $\text{M1}\ \ (3u+4)(u-2)=0$ $\text{A1}\ \ x=4$ A1 หายเมื่อเก็บ $x=\tfrac{16}{9}$ ที่มาจาก $\sqrt{x}=-\tfrac{4}{3}$
11. Exam formรูปแบบข้อสอบ
'Express in the form': the P1 classic, mark by mark.'Express in the form' · ข้อคลาสสิกของ P1 เก็บทีละคะแนน
“Express $2x^{2}-12x+11$ in the form $a(x+b)^{2}+c$”“Express $2x^{2}-12x+11$ in the form $a(x+b)^{2}+c$”
CAIE 9709 Paper 1 and Edexcel IAL WMA11 both ask this almost every session.ออกแทบทุกรอบ · ทั้ง CAIE 9709 Paper 1 และ Edexcel IAL WMA11
- Exam: Express $2x^{2}-12x+11$ in the form $a(x+b)^{2}+c$. (3 marks)ข้อสอบ: เขียน $2x^{2}-12x+11$ ในรูป $a(x+b)^{2}+c$ (3 คะแนน)
Answer:เฉลย: $2(x-3)^{2}-7$3 marks: $\text{M1}\ \ 2(x^{2}-6x)+11,\ \ (x-3)^{2}$ $\text{M2}\ \ 2(x-3)^{2}-18+11$ $\text{A1}\ \ 2(x-3)^{2}-7$ M2 is the mark students lose. The $-9$ sits inside a bracket times $2$.3 คะแนน: $\text{M1}\ \ 2(x^{2}-6x)+11,\ \ (x-3)^{2}$ $\text{M2}\ \ 2(x-3)^{2}-18+11$ $\text{A1}\ \ 2(x-3)^{2}-7$ M2 คือคะแนนที่หายบ่อย · $-9$ อยู่ในวงเล็บที่คูณ $2$
- Hence state the vertex of $y=2x^{2}-12x+11$ and the range. (2 marks)Hence — บอกจุดยอดของ $y=2x^{2}-12x+11$ และเรนจ์ (2 คะแนน)
Answer:เฉลย: vertex $(3,-7)$, range $y\ge-7$จุดยอด $(3,-7)$ เรนจ์ $y\ge-7$2 marks: $\text{M1}\ \ \text{vertex}=(3,\,-7)$ $\text{A1}\ \ 2(x-3)^{2}\ge 0\ \Rightarrow\ y\ge -7$ Both marks are read straight off the completed square.2 คะแนน: $\text{M1}\ \ \text{vertex}=(3,\,-7)$ $\text{A1}\ \ 2(x-3)^{2}\ge 0\ \Rightarrow\ y\ge -7$ คะแนนทั้งสองอ่านจากรูปกำลังสองสมบูรณ์ได้ตรงๆ
- Exam: $f(x)=7-8x-2x^{2}$. (5 marks)ข้อสอบ: $f(x)=7-8x-2x^{2}$ (5 คะแนน)
Answer:เฉลย: $(-2,\,15)$5 marks: $\text{M1}\ \ 7-2(x^{2}+4x)$ $\text{M2}\ \ x^{2}+4x=(x+2)^{2}-4$ $\text{M3}\ \ 7-2(x+2)^{2}+8=15-2(x+2)^{2}$ $\text{M4}\ \ (x+2)^{2}\ge 0,\ \text{subtracted}\ \Rightarrow\ x=-2$ $\text{A1}\ \ (-2,\,15)$ The $-2$ comes out of both $x$ terms, so $-2\times-4=+8$.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ 7-2(x^{2}+4x)$ $\text{M2}\ \ x^{2}+4x=(x+2)^{2}-4$ $\text{M3}\ \ 7-2(x+2)^{2}+8=15-2(x+2)^{2}$ $\text{M4}\ \ (x+2)^{2}\ge 0,\ \text{subtracted}\ \Rightarrow\ x=-2$ $\text{A1}\ \ (-2,\,15)$ ดึง $-2$ ออกจากพจน์ $x$ ทั้งสอง ทำให้ $-2\times-4=+8$
- The curve $y=x^{2}-8x+k$ has a minimum value of $5$. Find the value of $k$.เส้นโค้ง $y=x^{2}-8x+k$ มีค่าต่ำสุดเท่ากับ $5$ · หาค่า $k$
Answer:เฉลย: $k=21$Read the words, not the numbers: $\text{minimum, vertex, range}\ \to\ \text{complete the square}$ $\text{equal roots, touches}\ \to\ b^{2}-4ac$ $x^{2}-8x+k=(x-4)^{2}+k-16$ $k-16=5\ \Rightarrow\ k=21$ $64-4k=0$ gives $k=16$, the curve that touches the axis. That is a different question.อ่านคำ ไม่ใช่ตัวเลข: $\text{minimum, vertex, range}\ \to\ \text{complete the square}$ $\text{equal roots, touches}\ \to\ b^{2}-4ac$ $x^{2}-8x+k=(x-4)^{2}+k-16$ $k-16=5\ \Rightarrow\ k=21$ $64-4k=0$ ได้ $k=16$ คือกราฟที่แตะแกน ซึ่งคนละคำถามกัน
12. Exercise setชุดโจทย์
The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว
- Express $x^{2}+10x+7$ in the form $(x+a)^{2}+b$.
Answer:เฉลย: $(x+5)^{2}-18$Same as the worked example, with new numbers. If level 3 is clear, this takes one minute. Build confidence first.เหมือนตัวอย่างที่ทำไปทุกอย่าง เปลี่ยนแค่ตัวเลข ถ้าขั้นที่ 3 แน่นจริง ข้อนี้จบในหนึ่งนาที · เอาความมั่นใจก่อน
- Express $x^{2}-3x+1$ in the form $(x+a)^{2}+b$.
Answer:เฉลย: $\left(x-\tfrac{3}{2}\right)^{2}-\tfrac{5}{4}$Half of an odd number is a fraction. The method is the same, but the arithmetic has to be careful.ครึ่งหนึ่งของเลขคี่คือเศษส่วน · วิธีเหมือนเดิม แต่ต้องคิดเลขให้ละเอียด
- Express $p^{2}+6p-2$ in the form $(p+a)^{2}+b$.
Answer:เฉลย: $(p+3)^{2}-11$Same pattern with a new letter. Anyone who memorised 'x' rather than the method stalls here.ตัวอักษรเปลี่ยน วิธีเดิม · ใครท่องมาเป็นตัว 'x' แทนวิธีทำ จะสะดุดตรงนี้
- $f(x)=x^{2}-4x-3$. Write $f(x)$ in the form $(x+a)^{2}+b$ and hence solve $f(x)=0$ exactly.
Answer:เฉลย: $(x-2)^{2}-7$; $x=2\pm\sqrt{7}$Completing the square chained with function notation and exact surds: three old moves in a row.จัดกำลังสองสมบูรณ์ ต่อกับสัญลักษณ์ฟังก์ชันและรูท exact · สามท่าเก่าต่อกันในข้อเดียว
- A curve $y=x^{2}+bx+c$ has vertex $(-4,\,3)$. Find $b$ and $c$.
Answer:เฉลย: $y=(x+4)^{2}+3=x^{2}+8x+19$, so $b=8$, $c=19$The vertex is given and the setup is the question. This checks real understanding, not memorised steps.ให้จุดยอดมา แล้วถามหาโจทย์ · ข้อนี้วัดความเข้าใจจริง ไม่ใช่ท่องขั้นตอน
- Express $3x^{2}+12x+5$ in the form $a(x+b)^{2}+c$. (3 marks) Hence state the minimum value of $3x^{2}+12x+5$ and the value of $x$ at which it occurs. (2 marks)
Answer:เฉลย: $3(x+2)^{2}-7$; minimum $-7$ at $x=-2$Full exam wording with the marks split. 'Hence' means read the answer off part (a).ภาษาข้อสอบเต็มรูปแบบ แบ่งคะแนนชัด · Hence แปลว่าอ่านคำตอบจากข้อ (a)
- A student writes: $x^{2}+6x+1=(x+3)^{2}+1$, so the minimum value is $1$. Find the error and give the correct minimum.
Answer:เฉลย: $(x+3)^{2}$ smuggles in $+9$ — correct form $(x+3)^{2}-8$, minimum $-8$Marking someone else's work makes you name the mistake, which means you understand it well enough to avoid it.ตรวจงานคนอื่น บังคับให้พูดจุดผิดออกมา · เข้าใจมากพอจะไม่พลาดเอง
All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี