Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ
Trigonometryตรีโกณมิติ
A-Level Pure 1 · CAIE 9709/1 & Edexcel IAL WMA11 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ
1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม
Two things you already knowสองอย่างที่ทำเป็นอยู่แล้ว
From radians: swap $180^\circ$ for $\pi$.จากเรเดียน: สลับ $180^\circ$ เป็น $\pi$
The hypotenuse is $1$. Pythagoras says $a^{2}+b^{2}=\;?$ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $1$ · พีทาโกรัสบอกว่า $a^{2}+b^{2}=\;?$ Answer:เฉลย: $a^{2}+b^{2}=1$Remember this line. It is the most used identity in A-Level.จำบรรทัดนี้ไว้ · มันคือเอกลักษณ์ที่ใช้บ่อยที่สุดใน A-Level
2. Sine and cosine leave the triangleไซน์กับโคไซน์ออกจากสามเหลี่ยม
Past 90 degrees there is nothing new to work out. cos and sin become coordinates.เกิน 90 องศาไม่มีอะไรใหม่ให้คิด · cos กับ sin กลายเป็นพิกัด
Put your IGCSE triangle inside a circle of radius 1เอาสามเหลี่ยม IGCSE ใส่ลงในวงกลมรัศมี 1
$P=(\cos 60^\circ,\;\sin 60^\circ)$: the two sides are the two coordinates.$P=(\cos 60^\circ,\;\sin 60^\circ)$ · ด้านสองด้าน คือ พิกัดสองตัว
The point walks on to $150^\circ$. $Q$ is the mirror image of the $30^\circ$ point in the $y$-axis. What are its coordinates?จุดเดินต่อไปถึง $150^\circ$ · $Q$ คือภาพสะท้อนของจุดที่ $30^\circ$ ผ่านแกน $y$ · พิกัดของ $Q$ คืออะไร? Answer:เฉลย: $Q(-\cos30^\circ,\;\sin30^\circ)$Read the signs off the picture: $\sin 150^\circ=\sin 30^\circ$ $\cos 150^\circ=-\cos 30^\circ$ Every angle past $90^\circ$ is an IGCSE angle wearing its quadrant's signs.อ่านเครื่องหมายจากรูป: $\sin 150^\circ=\sin 30^\circ$ $\cos 150^\circ=-\cos 30^\circ$ มุมที่เกิน $90^\circ$ คือมุม IGCSE ที่ใส่เครื่องหมายตามควอดรันต์
So $\cos150^\circ=\;?$ (exact value)ดังนั้น $\cos150^\circ=\;?$ (ตอบเป็นค่า exact) Answer:เฉลย: $\cos150^\circ=-\dfrac{\sqrt3}{2}$$\cos150^\circ=-\cos30^\circ=-\tfrac{\sqrt3}{2}$. One IGCSE value, plus one sign taken from the circle. Trig past $90^\circ$ is only those two things.$\cos150^\circ=-\cos30^\circ=-\tfrac{\sqrt3}{2}$ ค่า IGCSE หนึ่งตัว บวกเครื่องหมายหนึ่งตัวที่ดูจากวงกลม ตรีโกณเกิน $90^\circ$ มีแค่สองอย่างนี้
3. Three graphs to readอ่านกราฟสามเส้น
Shape, period, amplitude, and the symmetries in the graphs.รูปร่าง คาบ แอมพลิจูด และความสมมาตรในกราฟ
Plot the height of the walking point: that is the sine graphพลอตความสูงของจุดที่เดิน นั่นคือกราฟไซน์
For $y=\sin x$: the amplitude and the period are…สำหรับ $y=\sin x$: แอมพลิจูดกับคาบคือ… Answer:เฉลย:amplitude $1$, period $360^\circ$แอมพลิจูด $1$ · คาบ $360^\circ$Period repeats, amplitude reaches: $\sin,\ \cos:\ \text{period }360^\circ,\ \text{amplitude }1$ $\tan:\ \text{period }180^\circ,\ \text{no amplitude}$คาบคือระยะซ้ำ แอมพลิจูดคือความสูง: $\sin,\ \cos:\ \text{period }360^\circ,\ \text{amplitude }1$ $\tan:\ \text{period }180^\circ,\ \text{no amplitude}$
Fold the cos graph along the vertical line $x=180^\circ$. The two halves match. Which equation is that picture?พับกราฟ cos ตามเส้นดิ่ง $x=180^\circ$ · สองซีกทับกันสนิท · ภาพนี้ตรงกับสมการไหน? Answer:เฉลย: $\cos(360^\circ-x)=\cos x$One mirror per graph: $\sin:\ \text{mirror at }90^\circ\ \Rightarrow\ 180^\circ-x$ $\cos:\ \text{mirror at }180^\circ\ \Rightarrow\ 360^\circ-x$ Next level these become the second-solution rules.กราฟละหนึ่งกระจก: $\sin:\ \text{mirror at }90^\circ\ \Rightarrow\ 180^\circ-x$ $\cos:\ \text{mirror at }180^\circ\ \Rightarrow\ 360^\circ-x$ ระดับถัดไป สองบรรทัดนี้กลายเป็นกฎหาคำตอบที่สอง
4. One equation, two answersสมการเดียว สองคำตอบ
The graph shows why, and gives you the second solution.กราฟบอกเหตุผล และให้คำตอบที่สองมาด้วย
sin x = 0.5: the line cuts the wave twicesin x = 0.5 · เส้นตัดคลื่นสองครั้ง
Read the second cut off the graph: $\sin x=0.5$, so $x=30^\circ$ or $x=\;?$อ่านจุดตัดที่สองจากกราฟ: $\sin x=0.5$ ได้ $x=30^\circ$ หรือ $x=\;?$ Answer:เฉลย: $x=150^\circ$The pair straddles the peak: $\sin x=0.5\ \Rightarrow\ x=30^\circ$ $180^\circ-30^\circ=150^\circ$คำตอบคู่นี้ขนาบยอดคลื่น: $\sin x=0.5\ \Rightarrow\ x=30^\circ$ $180^\circ-30^\circ=150^\circ$
$\cos x=0.5$. The calculator gives $x=60^\circ$. The second solution in $0^\circ$–$360^\circ$ is:$\cos x=0.5$ · เครื่องคิดเลขให้ $x=60^\circ$ · คำตอบที่สองในช่วง $0^\circ$–$360^\circ$ คือ: Answer:เฉลย: $x=300^\circ$sin mirrors $180$, cos $360$: $\sin x=0.5\ \to\ 30^\circ,\ 150^\circ$ $\cos x=0.5\ \to\ 60^\circ,\ 300^\circ$sin สะท้อนที่ $180$ · cos ที่ $360$: $\sin x=0.5\ \to\ 30^\circ,\ 150^\circ$ $\cos x=0.5\ \to\ 60^\circ,\ 300^\circ$
5. Two identities that come from the circleสองเอกลักษณ์ที่ได้จากวงกลม
Pythagoras and gradient, translated into trig.พีทาโกรัสกับความชัน แปลงร่างเป็นตรีโกณ
Back to the circle. What does Pythagoras say about the triangle at angle $\theta$?กลับไปที่วงกลม · พีทาโกรัสพูดว่าอะไรกับสามเหลี่ยมที่มุม $\theta$? Answer:เฉลย: $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$Pythagoras on the unit circle: $a^{2}+b^{2}=1$ $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ True for every angle, so it is an identity.พีทาโกรัสบนวงกลมหนึ่งหน่วย: $a^{2}+b^{2}=1$ $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ จริงกับทุกมุม จึงเรียกว่าเอกลักษณ์
Same picture, one more question. SOHCAHTOA says $\tan\theta=\dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}$. On the unit circle, that ratio is…รูปเดิม คำถามเพิ่มอีกข้อ · SOHCAHTOA บอกว่า $\tan\theta={}$ข้ามชิด · บนวงกลมหนึ่งหน่วย อัตราส่วนนั้นคือ… Answer:เฉลย: $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$tan is the radius gradient: $\tan\theta=\dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ $\cos 90^\circ=0\ \Rightarrow\ \tan 90^\circ\ \text{undefined}$tan คือความชันของเส้นรัศมี: $\tan\theta=\dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ $\cos 90^\circ=0\ \Rightarrow\ \tan 90^\circ\ \text{undefined}$
Use the identity: $(1-\cos x)(1+\cos x)=\;?$ (answer is one squared term)ใช้เอกลักษณ์: $(1-\cos x)(1+\cos x)=\;?$ (คำตอบเป็นพจน์กำลังสองตัวเดียว) Answer:เฉลย: $\sin^2x$Difference of squares, then swap: $(1-\cos x)(1+\cos x)=1-\cos^{2}x$ $1-\cos^{2}x=\sin^{2}x$ The rearranged forms get used more than the original.ผลต่างกำลังสอง แล้วค่อยสลับ: $(1-\cos x)(1+\cos x)=1-\cos^{2}x$ $1-\cos^{2}x=\sin^{2}x$ รูปที่ย้ายข้างแล้ว ได้ใช้บ่อยกว่ารูปตั้งต้น
$2\sin^{2}x+3\cos x=3$Two different functions in one equation. You cannot solve that yet.มีสองฟังก์ชันปนกันในสมการเดียว · ยังแก้ไม่ได้
$2(1-\cos^{2}x)+3\cos x=3$$\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$. Swap so only $\cos$ is left.$\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ · แทนให้เหลือแต่ $\cos$
$2-2\cos^{2}x+3\cos x=3$Expand.กระจายวงเล็บ
$2\cos^{2}x-3\cos x+1=0$Everything to one side. It is a quadratic in $\cos x$.ย้ายไปข้างเดียว · กลายเป็นสมการกำลังสองใน $\cos x$
$(2\cos x-1)(\cos x-1)=0$Factorise as if $\cos x$ were a single letter.แยกตัวประกอบเหมือน $\cos x$ เป็นตัวอักษรตัวเดียว
$\cos x=\tfrac{1}{2}$Two cases. Both must be answered.ได้สองกรณี ต้องตอบทั้งคู่
$\cos x=1$Second bracket on its own line.วงเล็บอีกอันอยู่คนละบรรทัด
$x=60^{\circ},\,300^{\circ},\,0^{\circ},\,360^{\circ}$$\cos$ is positive in quadrants 1 and 4: $60^\circ$, $300^\circ$.$\cos$ เป็นบวกในควอดรันต์ 1 กับ 4: $60^\circ$, $300^\circ$
Substitute $\sin^2x=1-\cos^2x$ and move everything to one side. Which quadratic appears?แทน $\sin^2x=1-\cos^2x$ แล้วย้ายทุกพจน์ไปไว้ข้างเดียว · ได้สมการกำลังสองตัวไหน? Answer:เฉลย: $2\cos^2x+\cos x-1=0$One substitution, then pure quadratics: $\sin^{2}x=1-\cos^{2}x$ $2\cos^{2}x+\cos x-1=0$ $c=\cos x:\ \ 2c^{2}+c-1=0$แทนค่าครั้งเดียว ที่เหลือคือควอดราติก: $\sin^{2}x=1-\cos^{2}x$ $2\cos^{2}x+\cos x-1=0$ $c=\cos x:\ \ 2c^{2}+c-1=0$
Factorise $2c^2+c-1=0$ (where $c=\cos x$). The two cases are $\cos x=\;?$ Give both values, e.g. 1/2,-1.แยกตัวประกอบ $2c^2+c-1=0$ (โดย $c=\cos x$) · สองกรณีคือ $\cos x=\;?$ ตอบทั้งสองค่า เช่น 1/2,-1 Answer:เฉลย: $(2c-1)(c+1)=0\;\Rightarrow\;\cos x=\tfrac12\;\text{or}\;\cos x=-1$Both brackets count: $(2c-1)(c+1)=0$ $\cos x=\tfrac12\ \ \text{or}\ \ \cos x=-1$วงเล็บทั้งสองอันนับหมด: $(2c-1)(c+1)=0$ $\cos x=\tfrac12\ \ \text{or}\ \ \cos x=-1$
Finish it: $\cos x=\tfrac12$ or $\cos x=-1$, for $0^\circ\le x\le360^\circ$. Collect all the solutions, e.g. 10,20,30.ปิดจ๊อบ: $\cos x=\tfrac12$ หรือ $\cos x=-1$ ในช่วง $0^\circ\le x\le360^\circ$ · เก็บคำตอบให้ครบทุกตัว เช่น 10,20,30 Answer:เฉลย: $x=60^\circ,\;180^\circ,\;300^\circ$$\cos x=-1$ gives one solution: $\cos x=\tfrac12\ \to\ 60^\circ,\ 300^\circ$ $\cos x=-1\ \to\ 180^\circ$ The line $y=-1$ touches the bottom of the wave instead of cutting it.$\cos x=-1$ ได้คำตอบเดียว: $\cos x=\tfrac12\ \to\ 60^\circ,\ 300^\circ$ $\cos x=-1\ \to\ 180^\circ$ เส้น $y=-1$ แตะก้นคลื่น ไม่ได้ตัดผ่าน
New equation, same danger: solve $\sin x\cos x=\cos x$ for $0^\circ\le x\le360^\circ$.สมการใหม่ อันตรายเดิม: แก้ $\sin x\cos x=\cos x$ ในช่วง $0^\circ\le x\le360^\circ$ Answer:เฉลย: $\cos x(\sin x-1)=0\;\Rightarrow\;x=90^\circ,\;270^\circ$Factorise, never divide by $\cos x$: $\cos x(\sin x-1)=0$ $\cos x=0\ \to\ 90^\circ,\ 270^\circ$ $\sin x=1\ \to\ 90^\circ$ Dividing by $\cos x$ assumes it is not zero, and $270^\circ$ disappears.แยกตัวประกอบ ห้ามหารด้วย $\cos x$: $\cos x(\sin x-1)=0$ $\cos x=0\ \to\ 90^\circ,\ 270^\circ$ $\sin x=1\ \to\ 90^\circ$ หารด้วย $\cos x$ คือสมมติว่ามันไม่เป็นศูนย์ แล้ว $270^\circ$ ก็หายไป
7. Exam formรูปแบบข้อสอบ
Prove the identity, then solve in radians. This is the 9709 two-part question.พิสูจน์เอกลักษณ์แล้วแก้สมการเป็นเรเดียน · ข้อสอบ 9709 ตัวจริง
The interval comes in radiansช่วงคำตอบมาเป็นเรเดียน
Exam, part (a): Show that $2\cos^2\theta+\sin\theta=1$ can be written as a quadratic in $\sin\theta$. Which one? (2 marks)ข้อสอบ ข้อ (a): แสดงว่า $2\cos^2\theta+\sin\theta=1$ เขียนเป็นสมการกำลังสองของ $\sin\theta$ ได้ · ได้ตัวไหน? (2 คะแนน) Answer:เฉลย: $2\sin^2\theta-\sin\theta-1=0$2 marks: $\text{M1}\ \ \cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta$ $\text{A1}\ \ 2\sin^{2}\theta-\sin\theta-1=0$ In a 'show that' question the middle line has to be written down.2 คะแนน: $\text{M1}\ \ \cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta$ $\text{A1}\ \ 2\sin^{2}\theta-\sin\theta-1=0$ ข้อ show that ต้องเขียนบรรทัดกลางให้เห็น
Part (b): Hence solve $2\cos^2\theta+\sin\theta=1$ for $0\le\theta\le2\pi$. Exact answers in radians, e.g. pi/3,5pi/6. (4 marks)ข้อ (b): จากข้อ (a) จงแก้ $2\cos^2\theta+\sin\theta=1$ ในช่วง $0\le\theta\le2\pi$ · ตอบเป็นเรเดียนแบบ exact เช่น pi/3,5pi/6 (4 คะแนน) Answer:เฉลย: $\theta=\dfrac{\pi}{2},\;\dfrac{7\pi}{6},\;\dfrac{11\pi}{6}$Mark 1: factorising to $(2\sin\theta+1)(\sin\theta-1)=0$. Mark 2: $\theta=\tfrac{\pi}{2}$ from $\sin\theta=1$. Marks 3–4: $\tfrac{7\pi}{6}$ and $\tfrac{11\pi}{6}$ from $\sin\theta=-\tfrac12$.คะแนนที่ 1: แยกตัวประกอบเป็น $(2\sin\theta+1)(\sin\theta-1)=0$ คะแนนที่ 2: $\theta=\tfrac{\pi}{2}$ จาก $\sin\theta=1$ คะแนนที่ 3–4: $\tfrac{7\pi}{6}$ กับ $\tfrac{11\pi}{6}$ จาก $\sin\theta=-\tfrac12$
Exam: Solve $3\tan x\sin x=8$ for $0^{\circ}\le x\le360^{\circ}$, giving your answers to 1 decimal place. Type both, e.g. 20.1,150.4 (5 marks)ข้อสอบ: แก้สมการ $3\tan x\sin x=8$ สำหรับ $0^{\circ}\le x\le360^{\circ}$ · ตอบทศนิยม 1 ตำแหน่ง พิมพ์ทั้งสองค่า เช่น 20.1,150.4 (5 คะแนน) Answer:เฉลย: $x=70.5^{\circ}$ or $x=289.5^{\circ}$5 marks: $\text{M1}\ \ \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\ \Rightarrow\ 3\sin^{2}x=8\cos x$ $\text{M2}\ \ 3-3\cos^{2}x=8\cos x$ $\text{M3}\ \ (3\cos x-1)(\cos x+3)=0$ $\text{M4}\ \ \cos x=\tfrac13;\ \ \text{reject }\cos x=-3$ $\text{A1}\ \ x=70.5^{\circ},\ 289.5^{\circ}$ The rejection is a mark of its own: $\cos x$ never leaves $[-1,1]$.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\ \Rightarrow\ 3\sin^{2}x=8\cos x$ $\text{M2}\ \ 3-3\cos^{2}x=8\cos x$ $\text{M3}\ \ (3\cos x-1)(\cos x+3)=0$ $\text{M4}\ \ \cos x=\tfrac13;\ \ \text{reject }\cos x=-3$ $\text{A1}\ \ x=70.5^{\circ},\ 289.5^{\circ}$ การตัดคำตอบทิ้งคือคะแนนหนึ่งจุด: $\cos x$ ออกนอก $[-1,1]$ ไม่ได้
Solve $4\sin x+3=0$ for $0^{\circ}\le x\le360^{\circ}$, giving your answers to 1 decimal place. Type both, e.g. 20.1,150.4แก้สมการ $4\sin x+3=0$ สำหรับ $0^{\circ}\le x\le360^{\circ}$ · ตอบทศนิยม 1 ตำแหน่ง พิมพ์ทั้งสองค่า เช่น 20.1,150.4 Answer:เฉลย: $x=228.6^{\circ}$ or $x=311.4^{\circ}$The lone function picks the rule: $\sin x=k\ \to\ x,\ \ 180^{\circ}-x$ $\cos x=k\ \to\ x,\ \ 360^{\circ}-x$ $\tan x=k\ \to\ x,\ \ x+180^{\circ}$ $\sin x=-\tfrac34\ \Rightarrow\ x=-48.6^{\circ}$ $180-(-48.6)=228.6^{\circ},\ \ -48.6+360=311.4^{\circ}$ $\sin x$ is negative, so both answers sit in the third and fourth quadrants.ฟังก์ชันที่เหลือโดดๆ เป็นคนเลือกกฎ: $\sin x=k\ \to\ x,\ \ 180^{\circ}-x$ $\cos x=k\ \to\ x,\ \ 360^{\circ}-x$ $\tan x=k\ \to\ x,\ \ x+180^{\circ}$ $\sin x=-\tfrac34\ \Rightarrow\ x=-48.6^{\circ}$ $180-(-48.6)=228.6^{\circ},\ \ -48.6+360=311.4^{\circ}$ $\sin x$ ติดลบ คำตอบทั้งสองจึงอยู่ควอดรันต์ที่สามกับสี่
8. Exercise setชุดโจทย์
The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว
Solve $\sin x=\dfrac{\sqrt3}{2}$ for $0^\circ\le x\le360^\circ$. Answer:เฉลย: $x=60^\circ,\;120^\circ$Identical to the drill: calculator value, then the sin mirror $180^\circ-x$. Confidence first, both answers every time.เหมือนตอนซ้อม: ค่าจากเครื่องคิดเลข แล้วต่อด้วยกระจกของ sin $180^\circ-x$ · เอาความมั่นใจก่อน และตอบครบสองตัวทุกครั้ง
Solve $\cos x=-0.4$ for $0^\circ\le x\le360^\circ$, answers to 1 d.p. Answer:เฉลย: $x=113.6^\circ,\;246.4^\circ$A negative decimal: the calculator now gives an obtuse first answer, and you still use $360^\circ-x$.ทศนิยมติดลบ: เครื่องคิดเลขจะให้มุมป้านเป็นคำตอบแรก แล้วก็ยังใช้ $360^\circ-x$ ต่อเหมือนเดิม
Solve $\tan t=\sqrt3$ for $0^\circ\le t\le360^\circ$. Answer:เฉลย: $t=60^\circ,\;240^\circ$New letter, new function: tan has its own rule, $180^\circ+t$, not the sin mirror.เปลี่ยนตัวอักษร เปลี่ยนฟังก์ชัน: tan มีกฎของตัวเอง $180^\circ+t$ ไม่ใช่กระจกของ sin
Solve $\sin^2x-\sin x=0$ for $0^\circ\le x\le360^\circ$. Answer:เฉลย: $\sin x(\sin x-1)=0$; $x=0^\circ,\;90^\circ,\;180^\circ,\;360^\circ$Factorising from the Quadratics lesson chained with the circle. Dividing by $\sin x$ instead of factorising silently deletes $0^\circ,180^\circ,360^\circ$.แยกตัวประกอบจากบทสมการกำลังสอง ต่อท่อกับวงกลม · ถ้าหารด้วย $\sin x$ แทนที่จะแยกตัวประกอบ คำตอบ $0^\circ,180^\circ,360^\circ$ จะหายไปเงียบๆ
The equation $\cos x=k$ has exactly two solutions in $0^\circ\le x\le360^\circ$, and one of them is $x=40^\circ$. Find the other solution and the value of $k$. Answer:เฉลย: $x=320^\circ$; $k=\cos40^\circ\approx0.766$Given the answer, rebuild the equation: memorised steps give nothing to start from here.ให้คำตอบมา แล้วให้สร้างสมการกลับ · คนท่องขั้นตอนจะเริ่มไม่ถูกเลย
(a)(ก) Show that $3\cos^2x-\sin x-1=0$ can be written as $3\sin^2x+\sin x-2=0$. (2 marks)(b)(ข) Hence solve the equation for $0\le x\le2\pi$, giving answers to 3 s.f. where needed. (4 marks) Answer:เฉลย: (b) $(3\sin x-2)(\sin x+1)=0$; $x=0.730,\;2.41,\;\tfrac{3\pi}{2}\,(\approx4.71)$The full 9709 two-parter: identity, factorise, both cases, radian interval. It is the level 6 routine with fresh numbers.ข้อสอบ 9709 สองตอนเต็มรูปแบบ: เอกลักษณ์ แยกตัวประกอบ ครบทุกกรณี ช่วงเป็นเรเดียน · ใช้ขั้นตอนเดียวกับขั้นที่ 6 แค่เปลี่ยนตัวเลข
A student solves $\sin x\cos x=0.5\cos x$ on $0^\circ\le x\le360^\circ$ by dividing both sides by $\cos x$, getting $\sin x=0.5$ and answering $x=30^\circ,150^\circ$. What did they lose, and what is the full answer? Answer:เฉลย: Dividing by $\cos x$ deleted the case $\cos x=0$: $x=90^\circ,270^\circ$. Full answer: $x=30^\circ,90^\circ,150^\circ,270^\circ$Find the mistake in someone else's working. Dividing by a trig factor is the most expensive habit in this topic.หาจุดผิดในวิธีทำของคนอื่น · การหารด้วยตัวประกอบตรีโกณ คือนิสัยที่จ่ายแพงที่สุดของหัวข้อนี้