Differentiationอนุพันธ์

A-Level Pure 2 · Edexcel IAL WMA12 · CAIE: Pure 1 (9709/1) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

The power rule, then a gradient at a pointกฎยกกำลัง แล้วหาความชันที่จุดหนึ่ง

Differentiate first, substitute second. New powers change only panel 1.ดิฟก่อน แทนค่าทีหลัง · กำลังแบบใหม่เปลี่ยนแค่ช่อง 1

1. Differentiate $y=x^{4}+3x^{2}$.ดิฟ $y=x^{4}+3x^{2}$
   Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=4x^{3}+6x$Nothing replaces $nx^{n-1}$: $x^{4}\ \to\ 4x^{3}$   $3x^{2}\ \to\ 6x$   $\frac{dy}{dx}=4x^{3}+6x$ The new rules only say what to do when $x$ is wrapped inside something.ไม่มีอะไรมาแทน $nx^{n-1}$: $x^{4}\ \to\ 4x^{3}$   $3x^{2}\ \to\ 6x$   $\frac{dy}{dx}=4x^{3}+6x$ กฎใหม่แค่บอกว่า ถ้า $x$ ถูกห่ออยู่ข้างใน ต้องทำยังไง
2. $y=x^{2}-4x+1$. Find the gradient of the curve at $x=3$.$y=x^{2}-4x+1$ · หาความชันของเส้นโค้งที่ $x=3$
   Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=2x-4$, so at $x=3$ the gradient is $2$Differentiate first, then substitute: $\frac{dy}{dx}=2x-4$   $x=3:\ \ 2(3)-4=2$ Every question in this lesson ends with these two moves.ดิฟก่อน แล้วค่อยแทนค่า: $\frac{dy}{dx}=2x-4$   $x=3:\ \ 2(3)-4=2$ ทุกข้อในบทนี้ จบด้วยสองท่านี้

2. Negative and fractional powersกำลังติดลบและกำลังเศษส่วน

$nx^{n-1}$ still works on $\frac{1}{x^{2}}$ and $\sqrt{x}$. Rewrite as a power first.$nx^{n-1}$ ใช้กับ $\frac{1}{x^{2}}$ และ $\sqrt{x}$ ได้เหมือนเดิม · แค่ต้องเขียนเป็นเลขยกกำลังก่อน

The rule never said $n$ had to be a whole numberกฎไม่เคยบอกว่า $n$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม

Same rule, one extra step: rewrite as one power of $x$, then differentiate.กฎเดิม เพิ่มขั้นเดียว: เขียนเป็นกำลังของ $x$ ตัวเดียวก่อน แล้วค่อยดิฟ

1. Rewrite before you differentiate: $\dfrac{3}{x^{2}}$ is the same as…จัดรูปก่อนดิฟ: $\dfrac{3}{x^{2}}$ ก็คือ…
   Answer:เฉลย: $3x^{-2}$Rewrite before you differentiate: $\frac{3}{x^{2}}=3x^{-2}$   $n=-2$   $\frac{dy}{dx}=-6x^{-3}$ The power rule cannot touch a term that is still a fraction.เขียนใหม่ก่อนดิฟ: $\frac{3}{x^{2}}=3x^{-2}$   $n=-2$   $\frac{dy}{dx}=-6x^{-3}$ กฎกำลังใช้กับพจน์ที่ยังเป็นเศษส่วนไม่ได้
2. $y=\dfrac{3}{x^{2}}$.  Find the gradient at $x=1$.$y=\dfrac{3}{x^{2}}$  หาความชันที่ $x=1$
   Answer:เฉลย: $y=3x^{-2}\Rightarrow\dfrac{dy}{dx}=-6x^{-3}=-\dfrac{6}{x^{3}}$, so the gradient at $x=1$ is $-6$Down by one, from $-2$: $y=3x^{-2}$   $\frac{dy}{dx}=-6x^{-3}=-\frac{6}{x^{3}}$   $x=1:\ \ -6$ $-2-1=-3$. Subtracting one from a negative makes it more negative.ลดกำลังหนึ่ง จาก $-2$: $y=3x^{-2}$   $\frac{dy}{dx}=-6x^{-3}=-\frac{6}{x^{3}}$   $x=1:\ \ -6$ $-2-1=-3$ · ลบหนึ่งจากเลขติดลบ ยิ่งติดลบมากขึ้น

3. The chain rule for a bracketกฎลูกโซ่สำหรับวงเล็บ

$(ax+b)^{n}$ differentiates to $n(ax+b)^{n-1}\times a$. The $\times a$ is the mark.$(ax+b)^{n}$ ดิฟได้ $n(ax+b)^{n-1}\times a$ · ส่วน $\times a$ คือตัวที่ได้คะแนน

The power now sits on a whole bracketคราวนี้กำลังนั่งอยู่บนวงเล็บทั้งก้อน

$2(2x+1)$ is the old power rule. The $\times2$ is new: the derivative of the inside.$2(2x+1)$ คือกฎกำลังเดิม · $\times2$ คือของใหม่: อนุพันธ์ของข้างใน

Differentiate $y=(3x+2)^{5}$ดิฟ $y=(3x+2)^{5}$

1. $y=(3x+2)^{5}$Expanding this would take all day. Treat the bracket as one object.ถ้ากระจายคงทำทั้งวัน · มองวงเล็บเป็นก้อนเดียว
2. $\frac{dy}{dx}=5(3x+2)^{4}$Power rule on the bracket: down as a multiplier, power drops by one.กฎกำลังกับวงเล็บ: กำลังลงมาเป็นตัวคูณ แล้วลดลงหนึ่ง
3. $\frac{dy}{dx}=5(3x+2)^{4}\times3$Then times the derivative of the inside. Forgetting this $\times3$ is the classic error.แล้วคูณด้วยดิฟของข้างใน · ลืม $\times3$ ตัวนี้คือความผิดพลาดยอดฮิต
4. $\frac{dy}{dx}=15(3x+2)^{4}$Simplify the numbers. Check at $x=0$: $15(2)^{4}=240$.ทำตัวเลขให้ง่ายขึ้น · ตรวจที่ $x=0$: $15(2)^{4}=240$

1. $y=(3x-4)^{6}$. Before differentiating anything: what is the inside function, and what is its derivative?$y=(3x-4)^{6}$ · ก่อนจะดิฟอะไรทั้งนั้น: ฟังก์ชันข้างในคืออะไร และอนุพันธ์ของมันคือเท่าไร?
   Answer:เฉลย: inside $3x-4$, derivative $3$ข้างในคือ $3x-4$ อนุพันธ์คือ $3$Label the inside first: $\text{inside}=3x-4$   $\text{its derivative}=3$ Write 'derivative of the inside $=3$' now. You use it two lines later.ตั้งชื่อข้างในก่อน: $\text{inside}=3x-4$   $\text{its derivative}=3$ เขียน 'อนุพันธ์ข้างใน $=3$' ไว้เลย · อีกสองบรรทัดได้ใช้
2. Same $y=(3x-4)^{6}$. Which line is the rule with the numbers written in, not yet worked out?โจทย์เดิม $y=(3x-4)^{6}$ · บรรทัดไหนคือสูตรที่แทนตัวเลขลงไปแล้ว โดยยังไม่คิดต่อ?
   Answer:เฉลย: $6(3x-4)^{5}\times3$Write the untidy line: $\frac{dy}{dx}=6(3x-4)^{5}\times 3$ That line earns the method mark on its own, before any simplifying.เขียนบรรทัดรกๆ นี้ไว้: $\frac{dy}{dx}=6(3x-4)^{5}\times 3$ บรรทัดนั้นได้คะแนนวิธีทำเลย ก่อนจะย่ออะไรทั้งนั้น
3. Now simplify: $y=(3x-4)^{6}$, so $\dfrac{dy}{dx}=\;?$ทีนี้ทำให้ง่ายขึ้น: $y=(3x-4)^{6}$ แล้ว $\dfrac{dy}{dx}=\;?$
   Answer:เฉลย: $18(3x-4)^{5}$Never expand the bracket: $6\times 3=18$   $\frac{dy}{dx}=18(3x-4)^{5}$ Factorised is what the mark scheme prints, and what part (b) wants.อย่ากระจายวงเล็บ: $6\times 3=18$   $\frac{dy}{dx}=18(3x-4)^{5}$ แบบแยกตัวประกอบคือที่เฉลยพิมพ์ · และที่ข้อ (b) ต้องใช้
4. A student writes $\;\dfrac{d}{dx}(5x+2)^{3}=3(5x+2)^{2}$.  One factor is missing. What number should that line be multiplied by?นักเรียนคนหนึ่งเขียนว่า $\;\dfrac{d}{dx}(5x+2)^{3}=3(5x+2)^{2}$  มีตัวคูณหายไปหนึ่งตัว · บรรทัดนี้ต้องคูณด้วยเลขอะไร?
   Answer:เฉลย: $\times5$,  giving $15(5x+2)^{2}$The missing $\times 5$: $\frac{d}{dx}(5x+2)^{3}=3(5x+2)^{2}\times 5$   $=15(5x+2)^{2}$ The method mark survives; every accuracy mark after it does not.$\times 5$ ที่หายไป: $\frac{d}{dx}(5x+2)^{3}=3(5x+2)^{2}\times 5$   $=15(5x+2)^{2}$ คะแนนวิธีทำยังได้ · แต่คะแนนความถูกต้องหลังจากนั้นหายหมด

4. e to the x and ln xอนุพันธ์ของ e ยกกำลัง x และ ln x

$e^{x}$ differentiates to itself and $\ln x$ to $\frac{1}{x}$. For a linear inside, use the chain rule.$e^{x}$ ดิฟแล้วได้ตัวเอง · $\ln x$ ดิฟได้ $\frac{1}{x}$ · ถ้าข้างในเป็นเส้นตรง ใช้ chain rule ต่อ

The only two facts this level asks you to memoriseมีแค่สองข้อที่ขั้นนี้ให้ท่อง

$e^{x}$: gradient equals height. Both rows still take $\times$(derivative of the inside).$e^{x}$: ความชันเท่ากับความสูง · ทั้งสองแถวยังต้อง $\times$(อนุพันธ์ของข้างใน)

1. Differentiate $y=e^{4x}$.ดิฟ $y=e^{4x}$
   Answer:เฉลย: $4e^{4x}$$e$ comes down unchanged: $e^{ax+b}\ \to\ a\,e^{ax+b}$   $\frac{dy}{dx}=4e^{4x}$ Not a new rule. It is the last level, used on a new row.$e$ ลงมาเหมือนเดิม: $e^{ax+b}\ \to\ a\,e^{ax+b}$   $\frac{dy}{dx}=4e^{4x}$ ไม่ใช่กฎใหม่ · คือขั้นที่แล้ว มาใช้กับแถวใหม่
2. Differentiate $y=\ln(5x+2)$.ดิฟ $y=\ln(5x+2)$
   Answer:เฉลย: $\dfrac{5}{5x+2}$Inside stays down, derivative up: $\ln(ax+b)\ \to\ \frac{a}{ax+b}$   $\frac{dy}{dx}=\frac{5}{5x+2}$   $\text{check }\ln 3x:\ \frac{3}{3x}=\frac{1}{x}$ข้างในอยู่ล่าง อนุพันธ์ขึ้นบน: $\ln(ax+b)\ \to\ \frac{a}{ax+b}$   $\frac{dy}{dx}=\frac{5}{5x+2}$   $\text{check }\ln 3x:\ \frac{3}{3x}=\frac{1}{x}$

5. The product ruleกฎผลคูณ

Two functions multiplied need $u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$. That is two terms, added.ฟังก์ชันสองตัวคูณกันต้องใช้ $u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$ · สองพจน์ บวกกัน

1. $y=x^{2}e^{x}$, with $u=x^{2}$ and $v=e^{x}$. Which pair of derivatives goes into the formula?$y=x^{2}e^{x}$ โดยให้ $u=x^{2}$ และ $v=e^{x}$ · คู่อนุพันธ์ชุดไหนที่ต้องเอาไปใส่สูตร?
   Answer:เฉลย: $\dfrac{du}{dx}=2x$,  $\dfrac{dv}{dx}=e^{x}$Write all four parts down: $u=x^{2}$   $v=e^{x}$   $\frac{du}{dx}=2x$   $\frac{dv}{dx}=e^{x}$ Written down before the formula, they cannot be paired up wrongly.เขียนทั้งสี่ก้อนลงไปก่อน: $u=x^{2}$   $v=e^{x}$   $\frac{du}{dx}=2x$   $\frac{dv}{dx}=e^{x}$ เขียนก่อนใช้สูตร · จะได้ไม่จับคู่ผิด
2. Same $y=x^{2}e^{x}$. Which line is $u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$ with those four pieces put in?โจทย์เดิม $y=x^{2}e^{x}$ · บรรทัดไหนคือ $u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$ ที่แทนของทั้งสี่ชิ้นลงไปแล้ว?
   Answer:เฉลย: $x^{2}e^{x}+2xe^{x}$Two terms, pairs crossed over: $u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$   $=x^{2}e^{x}+2xe^{x}$ Leave the products unexpanded. The substitution mark is already yours.สองพจน์ จับคู่ไขว้กัน: $u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$   $=x^{2}e^{x}+2xe^{x}$ อย่าเพิ่งคูณออก · คะแนนแทนค่าได้ไปแล้ว
3. Finish it: $y=x^{2}e^{x}$, so $\dfrac{dy}{dx}=\;?$  Give your answer factorised.ทำให้จบ: $y=x^{2}e^{x}$ แล้ว $\dfrac{dy}{dx}=\;?$  ตอบในรูปแยกตัวประกอบ
   Answer:เฉลย: $x^{2}e^{x}+2xe^{x}=xe^{x}(x+2)$Exam answers come factorised: $x^{2}e^{x}+2xe^{x}$   $=xe^{x}(x+2)$ The next part sets $\frac{dy}{dx}=0$. Factorise first, then read the roots.คำตอบข้อสอบต้องแยกตัวประกอบ: $x^{2}e^{x}+2xe^{x}$   $=xe^{x}(x+2)$ ข้อถัดไปให้ $\frac{dy}{dx}=0$ · แยกตัวประกอบแล้วอ่านคำตอบได้เลย
4. New pair, same three steps: differentiate $y=x\ln x$.คู่ใหม่ ท่าเดิมสามขั้น: ดิฟ $y=x\ln x$
   Answer:เฉลย: $\ln x+1$$x\ln x$ differentiates tidily: $x\cdot\frac{1}{x}+\ln x\cdot 1$   $=1+\ln x$ P2 stationary-point questions use $x\ln x$ constantly, and this is why.$x\ln x$ ดิฟแล้วสวย: $x\cdot\frac{1}{x}+\ln x\cdot 1$   $=1+\ln x$ ข้อจุดวิกฤตของ P2 ใช้ $x\ln x$ บ่อยมาก · เพราะเหตุนี้

6. The quotient ruleกฎผลหาร

A fraction needs $\dfrac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^{2}}$. The order of the two products decides the sign.เศษส่วนต้องใช้ $\dfrac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^{2}}$ · ลำดับของสองผลคูณเป็นตัวกำหนดเครื่องหมาย

1. $y=\dfrac{2x+1}{x^{2}+3}$. Label all four pieces.$y=\dfrac{2x+1}{x^{2}+3}$ · ป้ายชื่อทั้งสี่ชิ้น
   Answer:เฉลย: $u=2x+1$,  $v=x^{2}+3$,  $\dfrac{du}{dx}=2$,  $\dfrac{dv}{dx}=2x$Label four, then the formula: $u=2x+1$   $v=x^{2}+3$   $\frac{du}{dx}=2$   $\frac{dv}{dx}=2x$ Almost every quotient-rule error is a labelling error never written down.ตั้งชื่อสี่ก้อน แล้วค่อยใช้สูตร: $u=2x+1$   $v=x^{2}+3$   $\frac{du}{dx}=2$   $\frac{dv}{dx}=2x$ ที่ผิดกฎผลหารเกือบทั้งหมด · คือตั้งชื่อผิดเพราะไม่ได้เขียนไว้
2. Which numerator is the correct one for $y=\dfrac{2x+1}{x^{2}+3}$?ตัวเศษอันไหนถูกสำหรับ $y=\dfrac{2x+1}{x^{2}+3}$?
   Answer:เฉลย: $(x^{2}+3)(2)-(2x+1)(2x)$Bottom first, then subtract: $\frac{dy}{dx}=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^{2}}$   $\text{numerator}=(x^{2}+3)(2)-(2x+1)(2x)$   $\text{check }y=\tfrac{1}{x}:\ \frac{x(0)-1(1)}{x^{2}}=-\frac{1}{x^{2}}$ The minus always lands on the term carrying $\frac{dv}{dx}$.ตัวล่างมาก่อน แล้วลบ: $\frac{dy}{dx}=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^{2}}$   $\text{numerator}=(x^{2}+3)(2)-(2x+1)(2x)$   $\text{check }y=\tfrac{1}{x}:\ \frac{x(0)-1(1)}{x^{2}}=-\frac{1}{x^{2}}$ เครื่องหมายลบตกที่พจน์ที่มี $\frac{dv}{dx}$ เสมอ
3. Same $y=\dfrac{2x+1}{x^{2}+3}$. Find the gradient at $x=1$.  (3 marks)โจทย์เดิม $y=\dfrac{2x+1}{x^{2}+3}$ · หาความชันที่ $x=1$  (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{(x^{2}+3)(2)-(2x+1)(2x)}{(x^{2}+3)^{2}}$;  at $x=1$: $\dfrac{8-6}{16}=\dfrac{1}{8}$Substitute early, keep it small: $\frac{dy}{dx}=\frac{(x^{2}+3)(2)-(2x+1)(2x)}{(x^{2}+3)^{2}}$   $x=1:\ \ \frac{4(2)-3(2)}{4^{2}}$   $=\frac{8-6}{16}=\frac{1}{8}$ No mark for expanding a numerator you are about to evaluate.แทนค่าตั้งแต่แรก จะได้ไม่ยาว: $\frac{dy}{dx}=\frac{(x^{2}+3)(2)-(2x+1)(2x)}{(x^{2}+3)^{2}}$   $x=1:\ \ \frac{4(2)-3(2)}{4^{2}}$   $=\frac{8-6}{16}=\frac{1}{8}$ กระจายตัวเศษที่กำลังจะแทนค่า · ไม่มีคะแนนให้

7. Stationary points, exam formจุดนิ่ง แบบข้อสอบ

One of today's rules gives $\frac{dy}{dx}$; then $\frac{dy}{dx}=0$ locates the point and $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ names it.ใช้กฎวันนี้ตัวใดตัวหนึ่งหา $\frac{dy}{dx}$ · แล้ว $\frac{dy}{dx}=0$ บอกตำแหน่ง ส่วน $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ บอกชนิด

“Find the stationary point of $y=xe^{-x}$ and determine its nature”“หาจุดนิ่งของ $y=xe^{-x}$ พร้อมบอกชนิดของจุดนั้น”

“Determine the nature” is its own mark. Finding $x$ alone never earns it.“บอกชนิดของจุด” เป็นคะแนนแยกอีกข้อ · หา $x$ ได้อย่างเดียวไม่ได้คะแนนนี้

1. Exam: $y=xe^{-x}$. Find $\frac{dy}{dx}$, giving your answer in a factorised form.  (2 marks)ข้อสอบ: $y=xe^{-x}$ · หา $\frac{dy}{dx}$ ตอบในรูปแยกตัวประกอบ  (2 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $e^{-x}-xe^{-x}=(1-x)e^{-x}$2 marks: $\text{M1}\ \ 1\cdot e^{-x}+x\cdot(-e^{-x})$   $\text{A1}\ \ (1-x)e^{-x}$ Product rule outside, chain rule inside $e^{-x}$. Factorise now.2 คะแนน: $\text{M1}\ \ 1\cdot e^{-x}+x\cdot(-e^{-x})$   $\text{A1}\ \ (1-x)e^{-x}$ กฎผลคูณข้างนอก · กฎลูกโซ่ข้างใน $e^{-x}$ · แยกตัวประกอบเลย
2. Hence find the $x$-coordinate of the stationary point.  (2 marks)Hence — หาพิกัด $x$ ของจุดนิ่ง  (2 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $(1-x)e^{-x}=0\Rightarrow x=1$  (since $e^{-x}$ is never $0$),  giving $\left(1,\tfrac{1}{e}\right)$2 marks: $\text{M1}\ \ (1-x)e^{-x}=0$   $\text{A1}\ \ x=1,\ \ y=e^{-1}=\tfrac{1}{e}$ Dividing by $e^{-x}$ is legal because it is never zero. Leave $y$ exact.2 คะแนน: $\text{M1}\ \ (1-x)e^{-x}=0$   $\text{A1}\ \ x=1,\ \ y=e^{-1}=\tfrac{1}{e}$ หารด้วย $e^{-x}$ ได้ เพราะไม่เคยเป็นศูนย์ · ตอบ $y$ แบบไม่ปัดเศษ
3. For this curve $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=(x-2)e^{-x}$. Determine the nature of the stationary point at $x=1$.  (2 marks)เส้นโค้งนี้มี $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=(x-2)e^{-x}$ · บอกชนิดของจุดนิ่งที่ $x=1$  (2 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=-e^{-1}\lt0$, so $\left(1,\frac{1}{e}\right)$ is a maximum$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=-e^{-1}\lt0$ · ดังนั้น $\left(1,\frac{1}{e}\right)$ เป็นจุดสูงสุด2 marks: $\text{M1}\ \ \frac{d^{2}y}{dx^{2}}\Big|_{x=1}=(1-2)e^{-1}=-e^{-1}$   $\text{A1}\ \ -e^{-1}\lt 0\ \Rightarrow\ \text{maximum}$ $e^{-x}\gt 0$ always, so only the bracket's sign matters. Write the word.2 คะแนน: $\text{M1}\ \ \frac{d^{2}y}{dx^{2}}\Big|_{x=1}=(1-2)e^{-1}=-e^{-1}$   $\text{A1}\ \ -e^{-1}\lt 0\ \Rightarrow\ \text{maximum}$ $e^{-x}\gt 0$ เสมอ · ดูแค่เครื่องหมายในวงเล็บ · แล้วต้องเขียนคำสรุปด้วย
4. Exam: The curve $C$ has equation $y=\dfrac{\ln x}{x^{2}}$, $x\gt0$. $C$ has exactly one stationary point. Find its $x$-coordinate, giving your answer in exact form.  (5 marks)ข้อสอบ: เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=\dfrac{\ln x}{x^{2}}$ โดย $x\gt0$ · $C$ มี stationary point จุดเดียว · หาค่า $x$ ของจุดนั้น ตอบเป็น exact form  (5 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1-2\ln x}{x^{3}}=0 \Rightarrow \ln x=\tfrac12 \Rightarrow x=e^{1/2}=\sqrt{e}$5 marks: $\text{M1}\ \ u=\ln x,\ v=x^{2},\ \frac{du}{dx}=\frac{1}{x},\ \frac{dv}{dx}=2x$   $\text{M2}\ \ \frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}\cdot\frac{1}{x}-\ln x\cdot 2x}{x^{4}}$   $\text{M3}\ \ =\frac{1-2\ln x}{x^{3}}$   $\text{M4}\ \ 1-2\ln x=0\ \Rightarrow\ \ln x=\tfrac{1}{2}$   $\text{A1}\ \ x=e^{1/2}=\sqrt{e}$ Leave it exact. A decimal loses the last mark.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ u=\ln x,\ v=x^{2},\ \frac{du}{dx}=\frac{1}{x},\ \frac{dv}{dx}=2x$   $\text{M2}\ \ \frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}\cdot\frac{1}{x}-\ln x\cdot 2x}{x^{4}}$   $\text{M3}\ \ =\frac{1-2\ln x}{x^{3}}$   $\text{M4}\ \ 1-2\ln x=0\ \Rightarrow\ \ln x=\tfrac{1}{2}$   $\text{A1}\ \ x=e^{1/2}=\sqrt{e}$ ตอบแบบไม่ปัดเศษ · ตอบทศนิยมเสียคะแนนสุดท้าย
5. Differentiate $y=\dfrac{1}{(3x-2)^{4}}$ with respect to $x$.หาอนุพันธ์ของ $y=\dfrac{1}{(3x-2)^{4}}$ เทียบกับ $x$
   Answer:เฉลย: $y=(3x-2)^{-4} \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=-12(3x-2)^{-5}=-\dfrac{12}{(3x-2)^{5}}$No $x$ on top: chain rule: $y=\frac{1}{(3x-2)^{4}}=(3x-2)^{-4}$   $\frac{dy}{dx}=-4(3x-2)^{-5}\times 3$   $=-\frac{12}{(3x-2)^{5}}$ Save the quotient rule for when both top and bottom contain $x$.ข้างบนไม่มี $x$ ใช้กฎลูกโซ่: $y=\frac{1}{(3x-2)^{4}}=(3x-2)^{-4}$   $\frac{dy}{dx}=-4(3x-2)^{-5}\times 3$   $=-\frac{12}{(3x-2)^{5}}$ เก็บกฎผลหารไว้ใช้ตอนที่ทั้งบนและล่างมี $x$

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. Differentiate $y=(4x-1)^{6}$.
   Answer:เฉลย: $24(4x-1)^{5}$Same as the level 1 drill, new numbers. The only place to lose a mark is $6\times4=24$.เหมือนดริลขั้นที่ 1 เปลี่ยนแค่ตัวเลข · จุดเดียวที่คะแนนหายได้คือ $6\times4=24$
2. Differentiate $y=\sqrt{3x+2}$.
   Answer:เฉลย: $y=(3x+2)^{\frac12}$, so $\dfrac{dy}{dx}=\tfrac{3}{2}(3x+2)^{-\frac12}=\dfrac{3}{2\sqrt{3x+2}}$Same chain rule, but the power is a fraction. Rewrite the root as a power first.chain rule ตัวเดิม แต่กำลังเป็นเศษส่วน · ต้องเขียนรากเป็นเลขยกกำลังก่อน
3. Find $\dfrac{dp}{dq}$ when $p=\ln(4q-3)$.
   Answer:เฉลย: $\dfrac{dp}{dq}=\dfrac{4}{4q-3}$New letters, same move: derivative of the inside on top, inside stays underneath.เปลี่ยนตัวอักษร ท่าเดิม: อนุพันธ์ข้างในขึ้นบน ข้างในคงเดิมอยู่ล่าง
4. Find $\dfrac{dy}{dx}$ for $y=(2x+1)e^{3x}$, giving your answer in the form $(ax+b)e^{3x}$.
   Answer:เฉลย: $2e^{3x}+3(2x+1)e^{3x}=(6x+5)e^{3x}$Product rule outside, chain rule inside $e^{3x}$: two of today's rules stacked in one question.กฎผลคูณข้างนอก chain rule ข้างใน $e^{3x}$ · สองกฎวันนี้มาซ้อนกันในข้อเดียว
5. The curve $y=x^{2}e^{kx}$ has a stationary point at $x=2$, as well as one at $x=0$. Find the value of $k$.
   Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=2xe^{kx}+kx^{2}e^{kx}=xe^{kx}(2+kx)$;  $2+2k=0$, so $k=-1$The answer is given; the constant is unknown. Differentiate forwards, then read the condition backwards.โจทย์ให้คำตอบมา แล้วถามหาค่าคงที่ · ดิฟไปข้างหน้า แล้วอ่านเงื่อนไขย้อนกลับ
6.  (4 marks) (a)(ก) Given that $y=\dfrac{x^{2}}{2x-1}$, find $\dfrac{dy}{dx}$. (3 marks) (b)(ข) Hence find the coordinates of the stationary points of the curve.
   Answer:เฉลย: (a) $\dfrac{(2x-1)(2x)-x^{2}(2)}{(2x-1)^{2}}=\dfrac{2x^{2}-2x}{(2x-1)^{2}}$  (b) $2x(x-1)=0$, so the points are $(0,\,0)$ and $(1,\,1)$Full exam wording, marks split. A fraction is zero when its numerator is zero: coordinates means both numbers.ภาษาข้อสอบเต็มรูป มีคะแนนกำกับ · เศษส่วนเป็นศูนย์เมื่อตัวเศษเป็นศูนย์ · coordinates แปลว่าตอบทั้งสองตัว
7. A student writes $\dfrac{d}{dx}(5x-2)^{3}=3(5x-2)^{2}$ and $\dfrac{d}{dx}\ln(4x)=\dfrac{1}{4x}$. Both lines are wrong in the same way. Say what the error is, and correct both.
   Answer:เฉลย: Both are missing $\times$(derivative of the inside):  $15(5x-2)^{2}$,  and $\dfrac{4}{4x}=\dfrac{1}{x}$The lost mark of this topic appears twice here, in different forms. Spot it in someone else's work first.จุดเสียคะแนนของบทนี้มาสองครั้งในข้อนี้ คนละรูปแบบ · หาให้เจอในงานคนอื่นก่อน

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี