Exponentials & logarithmsเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม

A-Level Pure 2 · Edexcel IAL WMA12 · CAIE: Pure 2 & 3 (9709) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

A power worked out, and two powers combinedคิดค่ากำลังออกมา กับรวมกำลังสองตัว

A log reads panel 1 backwards: $\log_3 81=4$. Panel 2 becomes $\log ab=\log a+\log b$.ล็อกคืออ่านช่อง 1 ย้อนกลับ: $\log_3 81=4$ · ช่อง 2 กลายเป็น $\log ab=\log a+\log b$

1. Evaluate $3^{4}$.หาค่า $3^{4}$
   Answer:เฉลย: $3^{4}=81$Read the index line backwards: $3^{4}=81$   $\log_{3}81=4$   $\text{“the power of }3\text{ that gives }81\text{ is }4\text{”}$ You have been writing logs all along, without the symbol.อ่านบรรทัดกำลัง ย้อนกลับ: $3^{4}=81$   $\log_{3}81=4$   $\text{“the power of }3\text{ that gives }81\text{ is }4\text{”}$ จริงๆ เขียน log มาตลอด แค่ยังไม่มีสัญลักษณ์
2. Write $2^{5}\times2^{3}$ as a single power of $2$.เขียน $2^{5}\times2^{3}$ ให้เป็นกำลังของ $2$ ตัวเดียว
   Answer:เฉลย: $2^{5}\times2^{3}=2^{8}$Multiply numbers, add indices: $2^{5}\times 2^{3}=2^{8}$   $\log(xy)=\log x+\log y$ Same sentence in ten minutes, with the letters moved.คูณเลข บวกกำลัง: $2^{5}\times 2^{3}=2^{8}$   $\log(xy)=\log x+\log y$ อีกสิบนาที ประโยคเดิม แค่ย้ายตัวอักษร

2. Read it backwardsอ่านย้อนกลับ

$2^{3}=8$ IS $\log_{2}8=3$: the same statement, read the other way.$2^{3}=8$ ก็คือ $\log_{2}8=3$ · ประโยคเดียวกัน อ่านคนละทิศ

1. You found $3^{4}=81$ in the warm-up. Which log statement says the same thing?ตอนวอร์มอัพได้ $3^{4}=81$ ไปแล้ว · ประโยคลอการิทึมข้อไหนพูดเรื่องเดียวกัน?
   Answer:เฉลย: $\log_{3}81=4$The index becomes the answer: $3^{4}=81$   $\log_{3}81=4$   $\text{base}\to\text{base},\quad \text{big number}\to\text{inside},\quad \text{index}\to\text{answer}$กำลัง กลายเป็นคำตอบ: $3^{4}=81$   $\log_{3}81=4$   $\text{base}\to\text{base},\quad \text{big number}\to\text{inside},\quad \text{index}\to\text{answer}$
2. Find $\log_{2}32$.หาค่า $\log_{2}32$
   Answer:เฉลย: $\log_{2}32=5$  (since $2^{5}=32$)Every log asks “what power?”: $2^{5}=32$   $\log_{2}32=5$log ทุกตัว ถามว่า “กำลังเท่าไร”: $2^{5}=32$   $\log_{2}32=5$
3. Now the other direction: $\log_{x}49=2$.  Find $x$.คราวนี้กลับทิศ: $\log_{x}49=2$  หา $x$
   Answer:เฉลย: $x=7$  (because $7^{2}=49$)Rewrite the log as an index: $\log_{x}49=2$   $x^{2}=49$   $x=7$   $\text{a base must be positive}\ \Rightarrow\ -7\ \text{rejected}$ This one rewrite handles most of this level and many exam questions.เปลี่ยน log เป็นรูปเลขยกกำลัง: $\log_{x}49=2$   $x^{2}=49$   $x=7$   $\text{a base must be positive}\ \Rightarrow\ -7\ \text{rejected}$ แค่เปลี่ยนรูปนี้ ใช้ได้เกือบทั้งเลเวล และข้อสอบอีกเยอะ

3. The three lawsกฎสามข้อ

Product, quotient, power: the index laws you already know, read backwards.ผลคูณ ผลหาร กำลัง · กฎเลขชี้กำลังที่รู้อยู่แล้ว อ่านย้อนกลับ

1. Label the pieces.  Which of these is equal to $\log_{2}12$?ระบุชิ้นส่วนก่อน  ข้อไหนเท่ากับ $\log_{2}12$?
   Answer:เฉลย: $\log_{2}12=\log_{2}(4\times3)=\log_{2}4+\log_{2}3$Spot the product inside: $\log_{a}(xy)=\log_{a}x+\log_{a}y$   $12=4\times 3\ \Rightarrow\ x=4,\ y=3$   $\log_{2}12=\log_{2}4+\log_{2}3$ The law sees only a product. Finding the product is the skill.มองหาผลคูณที่ซ่อนอยู่: $\log_{a}(xy)=\log_{a}x+\log_{a}y$   $12=4\times 3\ \Rightarrow\ x=4,\ y=3$   $\log_{2}12=\log_{2}4+\log_{2}3$ กฎมองเห็นแค่ผลคูณ · การหาผลคูณให้เจอคือทักษะ
2. Substitute, do not evaluate.  $\log_{a}\dfrac{x^{5}}{y}=\,?\,\log_{a}x-\log_{a}y$.  What number goes in the gap?แทนค่า ยังไม่ต้องคิดเลข  $\log_{a}\dfrac{x^{5}}{y}=\,?\,\log_{a}x-\log_{a}y$  ช่องว่างคือเลขอะไร?
   Answer:เฉลย: $\log_{a}\dfrac{x^{5}}{y}=5\log_{a}x-\log_{a}y$Quotient law, then power law: $\log_{a}\dfrac{x^{5}}{y}=\log_{a}x^{5}-\log_{a}y$   $=5\log_{a}x-\log_{a}y$ CAIE gives a mark for the substitution, before any arithmetic.กฎผลหารก่อน แล้วค่อยกฎกำลัง: $\log_{a}\dfrac{x^{5}}{y}=\log_{a}x^{5}-\log_{a}y$   $=5\log_{a}x-\log_{a}y$ CAIE ให้คะแนนตอนแทนค่าเข้ากฎ ก่อนคิดเลขด้วยซ้ำ
3. Now evaluate.  $2\log_{5}3+\log_{5}2$ can be written as a single logarithm $\log_{5}N$.  Find $N$.คราวนี้คิดเลขจริง  $2\log_{5}3+\log_{5}2$ เขียนเป็นลอการิทึมก้อนเดียว $\log_{5}N$ ได้  หา $N$
   Answer:เฉลย: $N=18$  ($2\log_{5}3+\log_{5}2=\log_{5}9+\log_{5}2=\log_{5}18$)Coefficients first, then combine: $2\log_{5}3=\log_{5}3^{2}=\log_{5}9$   $\log_{5}9+\log_{5}2=\log_{5}18$   $N=18$ “Write as a single logarithm” is on almost every P2 paper.เคลียร์สัมประสิทธิ์ก่อน แล้วค่อยรวม: $2\log_{5}3=\log_{5}3^{2}=\log_{5}9$   $\log_{5}9+\log_{5}2=\log_{5}18$   $N=18$ “Write as a single logarithm” มีเกือบทุกชุด P2

4. Solving a to the x = bแก้สมการเลขชี้กำลัง

Take logs of both sides. The power law moves $x$ out of the index.ใส่ log ทั้งสองข้าง · กฎกำลังย้าย $x$ ลงมาจากเลขชี้กำลัง

$2^{x}=10$: no whole number works$2^{x}=10$ · ไม่มีจำนวนเต็มไหนใช้ได้

Guessing cannot give an exact $x$. Take $\log$ of both sides, then use the power law.เดาไม่มีทางได้ $x$ พอดี · ใส่ $\log$ ทั้งสองข้าง แล้วใช้กฎกำลัง

Solve $3^{x}=20$แก้ $3^{x}=20$

1. $3^{x}=20$$x$ is stuck up in the power. No amount of dividing gets it down.$x$ ติดอยู่บนเลขชี้กำลัง · หารยังไงก็ไม่ลงมา
2. $\ln(3^{x})=\ln20$Take logs of both sides. Any base works; $\ln$ is on the calculator.ใส่ log ทั้งสองข้าง · ฐานอะไรก็ได้ แต่ $\ln$ มีปุ่มบนเครื่องคิดเลข
3. $x\ln3=\ln20$$\ln3$ is a number. Divide both sides by it.$\ln3$ เป็นแค่ตัวเลข หารทั้งสองข้างได้เลย
4. $x=\frac{\ln20}{\ln3}$Now it is ordinary algebra. Divide.ตอนนี้เป็นพีชคณิตธรรมดาแล้ว · หารไป
5. $x=2.73$Check the size: $3^{2}=9$, $3^{3}=27$, and $20$ sits between them ✓ตรวจขนาด: $3^{2}=9$, $3^{3}=27$ และ $20$ อยู่ตรงกลางพอดี ✓

1. Take $\log$ of both sides of $2^{x}=10$. Which line is correct?ใส่ $\log$ ทั้งสองข้างของ $2^{x}=10$ · บรรทัดไหนถูก?
   Answer:เฉลย: $\log(2^{x})=\log10 \Rightarrow x\log2=\log10$The power law brings $x$ down: $\log(a^{x})=x\log a$   $\log(2^{x})=\log 10$   $x\log 2=\log 10$ Writing $(\log a)^{x}$ loses the method mark and everything after it.กฎกำลัง ดึง $x$ ลงมา: $\log(a^{x})=x\log a$   $\log(2^{x})=\log 10$   $x\log 2=\log 10$ เขียน $(\log a)^{x}$ เสียคะแนนวิธี และคะแนนหลังจากนั้นด้วย
2. Finish it: solve $2^{x}=10$, giving $x$ correct to 3 significant figures.ทำต่อให้จบ: แก้ $2^{x}=10$ ตอบ $x$ ให้ถูกต้องถึงเลขนัยสำคัญ 3 ตำแหน่ง
   Answer:เฉลย: $x=\dfrac{\log10}{\log2}=3.32$  (3 s.f.)Divide, do not subtract: $x=\dfrac{\log 10}{\log 2}=3.3219\ldots=3.32$   $3<3.32<4\ \checkmark$   $2^{3.32}\approx 9.99\ \checkmark$ The two marks go on subtracting instead of dividing, or dividing upside down.หาร ไม่ใช่ลบ: $x=\dfrac{\log 10}{\log 2}=3.3219\ldots=3.32$   $3<3.32<4\ \checkmark$   $2^{3.32}\approx 9.99\ \checkmark$ สองคะแนนหายที่ ลบแทนหาร หรือหารกลับหัว
3. A colony of bacteria is modelled by $N=200\times3^{t}$, where $t$ is in hours. Find the value of $t$ when $N=5000$, correct to 3 significant figures.  (3 marks)อาณานิคมแบคทีเรียใช้แบบจำลอง $N=200\times3^{t}$ โดย $t$ มีหน่วยเป็นชั่วโมง · หาค่า $t$ เมื่อ $N=5000$ ให้ถูกต้องถึงเลขนัยสำคัญ 3 ตำแหน่ง  (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $3^{t}=25 \Rightarrow t=\dfrac{\log25}{\log3}=2.93$  (3 s.f.)3 marks: $\text{M1}\quad \div 200:\ 3^{t}=25$   $\text{M1}\quad \log:\ t\log 3=\log 25$   $\text{A1}\quad t=\dfrac{\log 25}{\log 3}=2.93$ Get the power on its own first, or a $\log 200$ is left to remove.3 คะแนน: $\text{M1}\quad \div 200:\ 3^{t}=25$   $\text{M1}\quad \log:\ t\log 3=\log 25$   $\text{A1}\quad t=\dfrac{\log 25}{\log 3}=2.93$ แยกตัวยกกำลังให้โดดก่อน ไม่งั้นเหลือ $\log 200$ ให้กำจัด

5. e and lne กับ ln

A special base with a short name. Not one law changes.ฐานพิเศษที่มีชื่อเรียกสั้นๆ · ไม่มีกฎข้อไหนเปลี่ยนเลย

1. Solve $e^{2x}=5$.แก้สมการ $e^{2x}=5$
   Answer:เฉลย: $e^{2x}=5 \Rightarrow 2x=\ln5 \Rightarrow x=\dfrac{\ln5}{2}$$\ln$ removes base $e$ at once: $e^{2x}=5$   $2x=\ln 5$   $x=\dfrac{\ln 5}{2}$   $\text{no }\dfrac{\log b}{\log a}\text{ needed}$$\ln$ ลบฐาน $e$ ได้ทันที: $e^{2x}=5$   $2x=\ln 5$   $x=\dfrac{\ln 5}{2}$   $\text{no }\dfrac{\log b}{\log a}\text{ needed}$
2. Solve $\ln(x-4)=3$, giving your answer in exact form.แก้ $\ln(x-4)=3$ ตอบในรูป exact
   Answer:เฉลย: $x=e^{3}+4$$\ln(x-4)=3 \Rightarrow x-4=e^{3} \Rightarrow x=e^{3}+4$. This is the Level 1 rewrite $\log_{a}b=c \Leftrightarrow a^{c}=b$ with $a=e$. Only the notation is new.$\ln(x-4)=3 \Rightarrow x-4=e^{3} \Rightarrow x=e^{3}+4$ · มันคือท่าเขียนกลับจากขั้นที่ 1 คือ $\log_{a}b=c \Leftrightarrow a^{c}=b$ โดยให้ $a=e$ · สัญลักษณ์เปลี่ยน แต่ท่าไม่เปลี่ยน
3. The laws are unchanged. Prove it: $3\ln2+\ln5$ can be written as $\ln N$.  Find $N$.กฎไม่เปลี่ยน · พิสูจน์ให้ดู: $3\ln2+\ln5$ เขียนเป็น $\ln N$ ได้  หา $N$
   Answer:เฉลย: $N=40$  ($3\ln2+\ln5=\ln8+\ln5=\ln40$)Same laws, new base: $3\ln 2=\ln 2^{3}=\ln 8$   $\ln 8+\ln 5=\ln 40$   $N=40$ There is no separate set of “$\ln$ laws” to learn.กฎเดิม แค่เปลี่ยนฐาน: $3\ln 2=\ln 2^{3}=\ln 8$   $\ln 8+\ln 5=\ln 40$   $N=40$ ไม่มีชุด “กฎของ $\ln$” แยกต่างหากให้ท่อง

6. Reduction to linear formจัดให้เป็นรูปเส้นตรง

Take logs of a curved law and a straight line appears. Read $n$ from the gradient and $k$ from the intercept.ใส่ log ให้กฎที่เป็นเส้นโค้ง แล้วเส้นตรงจะโผล่มา · อ่าน $n$ จากความชัน และ $k$ จากจุดตัดแกน

Curved data, straightened by logsข้อมูลโค้งๆ ถูกดัดให้ตรงด้วย log

Both are $Y=mX+c$. Plot $\log y$ against $\log x$ for $kx^{n}$, against $x$ for $kb^{x}$.ทั้งคู่คือ $Y=mX+c$ · $kx^{n}$ พล็อต $\log y$ กับ $\log x$ · $kb^{x}$ พล็อต $\log y$ กับ $x$

1. Label the pieces.  For $y=kx^{n}$ we have $\log y=n\log x+\log k$, and $\log y$ is plotted against $\log x$. What is the gradient of that line?ระบุชิ้นส่วนก่อน  สำหรับ $y=kx^{n}$ เราได้ $\log y=n\log x+\log k$ และพล็อต $\log y$ กับ $\log x$ · ความชันของเส้นนั้นคืออะไร?
   Answer:เฉลย: gradient $=n$, intercept $=\log k$ความชัน $=n$ · จุดตัดแกน $=\log k$Label the four pairs first: $\log y=n\log x+\log k$   $Y=mX+c$   $Y=\log y,\quad X=\log x,\quad m=n,\quad c=\log k$จับคู่ทั้งสี่ให้ครบก่อน: $\log y=n\log x+\log k$   $Y=mX+c$   $Y=\log y,\quad X=\log x,\quad m=n,\quad c=\log k$
2. Experimental data for $y=kx^{n}$ is plotted as $\log_{10}y$ against $\log_{10}x$, giving the straight line shown.  Find $k$, correct to 3 significant figures.ข้อมูลจากการทดลองของ $y=kx^{n}$ ถูกพล็อตเป็น $\log_{10}y$ กับ $\log_{10}x$ ได้เส้นตรงตามรูป  หา $k$ ให้ถูกต้องถึงเลขนัยสำคัญ 3 ตำแหน่ง
   Answer:เฉลย: $\log_{10}k=0.5 \Rightarrow k=10^{0.5}=3.16$  (3 s.f.)$n$ is free, $k$ is not: $m=2\ \Rightarrow\ n=2$   $c=0.5\ \Rightarrow\ \log_{10}k=0.5$   $k=10^{0.5}=3.16$   $y=3.16x^{2}$ That extra step to undo the log is where the mark is.$n$ อ่านจากกราฟได้ · $k$ ไม่ได้: $m=2\ \Rightarrow\ n=2$   $c=0.5\ \Rightarrow\ \log_{10}k=0.5$   $k=10^{0.5}=3.16$   $y=3.16x^{2}$ สเต็ปถอด log อันนั้นแหละ คือที่มีคะแนน
3. A different model: $y=kb^{x}$, so $\log y=(\log b)x+\log k$. To get a straight line, what must be plotted?อีกแบบจำลองหนึ่ง: $y=kb^{x}$ ดังนั้น $\log y=(\log b)x+\log k$ · ถ้าจะให้ได้เส้นตรง ต้องพล็อตอะไร?
   Answer:เฉลย: $\log y$ against $x$ — gradient $\log b$, intercept $\log k$$\log y$ กับ $x$ — ความชัน $\log b$ · จุดตัดแกน $\log k$Find where the $x$ sits: $y=kx^{n}\ (x\text{ in the base})\ \Rightarrow\ \log y\ \text{against}\ \log x$   $y=kb^{x}\ (x\text{ in the index})\ \Rightarrow\ \log y\ \text{against}\ x$ดูก่อนว่า $x$ อยู่ตรงไหน: $y=kx^{n}\ (x\text{ in the base})\ \Rightarrow\ \log y\ \text{against}\ \log x$   $y=kb^{x}\ (x\text{ in the index})\ \Rightarrow\ \log y\ \text{against}\ x$
4. Exam: The population of a town is modelled by $P=kb^{t}$. Plotting $\log_{10}P$ against $t$ gives a straight line with gradient $0.25$ and intercept $0.6$. Find $b$, correct to 3 significant figures.  (4 marks)ข้อสอบ: ประชากรของเมืองหนึ่งใช้แบบจำลอง $P=kb^{t}$ · พล็อต $\log_{10}P$ กับ $t$ ได้เส้นตรงความชัน $0.25$ และตัดแกนที่ $0.6$ · หา $b$ ให้ถูกต้องถึงเลขนัยสำคัญ 3 ตำแหน่ง  (4 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $\log_{10}b=0.25 \Rightarrow b=10^{0.25}=1.78$  (3 s.f.)4 marks: $\text{M1}\quad \log_{10}P=(\log_{10}b)\,t+\log_{10}k$   $\text{A1}\quad \log_{10}b=0.25$   $\text{M1}\quad b=10^{0.25}$   $\text{A1}\quad b=1.78$ Both constants sit inside a log. Undo it for the one asked.4 คะแนน: $\text{M1}\quad \log_{10}P=(\log_{10}b)\,t+\log_{10}k$   $\text{A1}\quad \log_{10}b=0.25$   $\text{M1}\quad b=10^{0.25}$   $\text{A1}\quad b=1.78$ ค่าคงที่อยู่ใน log ทั้งคู่ · ถอดเฉพาะตัวที่โจทย์ถาม

7. Exam formรูปแบบข้อสอบ

Logs on both sides, one equation, two roots. One root has to go.log อยู่ทั้งสองข้าง สมการเดียว ได้สองราก · ต้องตัดทิ้งหนึ่งตัว

“Solve $\log_{2}(x+3)+\log_{2}(x-1)=5$”“Solve $\log_{2}(x+3)+\log_{2}(x-1)=5$”

Test each root in the original. Reject any that gives a log of zero or a negative.เอาทุกรากไปแทนในสมการเดิม · รากไหนทำให้ log ของศูนย์หรือค่าติดลบ ตัดทิ้ง

1. Logs on both sides.  Solve $\log_{5}(3x+1)=1+\log_{5}(x-1)$.  (4 marks)log อยู่ทั้งสองข้าง  แก้ $\log_{5}(3x+1)=1+\log_{5}(x-1)$  (4 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $\log_{5}\dfrac{3x+1}{x-1}=1 \Rightarrow \dfrac{3x+1}{x-1}=5 \Rightarrow x=3$4 marks: $\text{M1}\quad \log_{5}(3x+1)-\log_{5}(x-1)=1$   $\text{M1}\quad \log_{5}\dfrac{3x+1}{x-1}=1$   $\text{M1}\quad \dfrac{3x+1}{x-1}=5$   $\text{A1}\quad x=3$   $\text{check}:\ \log_{5}10=\log_{5}(5\times 2)=1+\log_{5}2\ \checkmark$ A plain number beside logs can always become a log: $1=\log_{5}5$.4 คะแนน: $\text{M1}\quad \log_{5}(3x+1)-\log_{5}(x-1)=1$   $\text{M1}\quad \log_{5}\dfrac{3x+1}{x-1}=1$   $\text{M1}\quad \dfrac{3x+1}{x-1}=5$   $\text{A1}\quad x=3$   $\text{check}:\ \log_{5}10=\log_{5}(5\times 2)=1+\log_{5}2\ \checkmark$ เลขโดดๆ ข้าง log เปลี่ยนเป็น log ได้เสมอ: $1=\log_{5}5$
2. Before solving anything: for $\log_{2}(x-1)$ to have a value at all, which values of $x$ are allowed?ก่อนจะแก้อะไร: $\log_{2}(x-1)$ จะมีค่าได้ ต้องใช้ $x$ ค่าไหนบ้าง?
   Answer:เฉลย: $x\gt1$, because the inside must satisfy $x-1\gt0$$x\gt1$ เพราะข้างในต้องสอดคล้อง $x-1\gt0$Write the condition before solving: $2^{c}>0\ \text{for every }c$   $\Rightarrow\ \text{the inside of a log is}>0$   $x-1>0\ \Rightarrow\ x>1$ Then rejecting a bad root is a decision you already made.เขียนเงื่อนไขก่อน แล้วค่อยแก้: $2^{c}>0\ \text{for every }c$   $\Rightarrow\ \text{the inside of a log is}>0$   $x-1>0\ \Rightarrow\ x>1$ พอถึงตอนตัดรากทิ้ง มันคือสิ่งที่ตัดสินไว้แล้ว
3. Exam: Solve $\log_{2}(x+3)+\log_{2}(x-1)=5$.  (5 marks)ข้อสอบ: แก้ $\log_{2}(x+3)+\log_{2}(x-1)=5$  (5 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $(x+3)(x-1)=32 \Rightarrow x^{2}+2x-35=0 \Rightarrow x=5$  ($x=-7$ rejected)5 marks: $\text{M1}\quad \log_{2}\big((x+3)(x-1)\big)=5$   $\text{M1}\quad (x+3)(x-1)=2^{5}=32$   $\text{A1}\quad x^{2}+2x-35=0$   $\text{A1}\quad x=5,\ x=-7$   $\text{A1}\quad x=-7\ \text{rejected since}\ x>1$ Most students lose that last mark by writing down both roots.5 คะแนน: $\text{M1}\quad \log_{2}\big((x+3)(x-1)\big)=5$   $\text{M1}\quad (x+3)(x-1)=2^{5}=32$   $\text{A1}\quad x^{2}+2x-35=0$   $\text{A1}\quad x=5,\ x=-7$   $\text{A1}\quad x=-7\ \text{rejected since}\ x>1$ ส่วนใหญ่เสียคะแนนสุดท้าย เพราะตอบทั้งสองราก
4. Exam: The number of insects in a colony is modelled by $N=ka^{t}$, where $t$ is the time in weeks and $k$ and $a$ are constants. When $t=2$, $N=18$; when $t=5$, $N=486$. Find the value of $t$ when $N=1000$, correct to 3 significant figures.  (6 marks)ข้อสอบ: จำนวนแมลงในอาณานิคมหนึ่งใช้โมเดล $N=ka^{t}$ · $t$ คือเวลาเป็นสัปดาห์ · $k$ กับ $a$ เป็นค่าคงที่ · เมื่อ $t=2$ ได้ $N=18$ · เมื่อ $t=5$ ได้ $N=486$ · หาค่า $t$ ตอนที่ $N=1000$ ตอบ 3 significant figures  (6 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $a=3$, $k=2$, so $3^{t}=500$ and $t=\dfrac{\log500}{\log3}=5.66$6 marks: $\text{M1}\quad 18=ka^{2},\qquad 486=ka^{5}$   $\text{M1}\quad \div:\ a^{3}=27$   $\text{A1}\quad a=3,\ \ 18=9k\ \Rightarrow\ k=2$   $\text{M1}\quad 2\times 3^{t}=1000\ \Rightarrow\ 3^{t}=500$   $\text{M1}\quad t=\dfrac{\log 500}{\log 3}$   $\text{A1}\quad t=5.66$ Dividing the two equations cancels $k$. Only $a$ is left.6 คะแนน: $\text{M1}\quad 18=ka^{2},\qquad 486=ka^{5}$   $\text{M1}\quad \div:\ a^{3}=27$   $\text{A1}\quad a=3,\ \ 18=9k\ \Rightarrow\ k=2$   $\text{M1}\quad 2\times 3^{t}=1000\ \Rightarrow\ 3^{t}=500$   $\text{M1}\quad t=\dfrac{\log 500}{\log 3}$   $\text{A1}\quad t=5.66$ หารสองสมการกัน $k$ หักล้างหายไป เหลือ $a$ ตัวเดียว
5. Solve each equation, giving your answers to 3 significant figures.แก้สมการทั้งสองข้อ ตอบ 3 เลขนัยสำคัญ
   Answer:เฉลย: (i) $x=200^{1/5}=2.89$  (ii) $x=\dfrac{\log200}{\log5}=3.29$Look at where the $x$ sits: $x^{5}=200:\ \ x\ \text{is the base}\ \Rightarrow\ x=200^{1/5}=2.89$   $5^{x}=200:\ \ x\ \text{is the exponent}\ \Rightarrow\ x\log 5=\log 200$   $x=\dfrac{\log 200}{\log 5}=3.29$ Unknown upstairs, take logs; unknown downstairs, take a root.ดูว่า $x$ อยู่ตรงไหน: $x^{5}=200:\ \ x\ \text{is the base}\ \Rightarrow\ x=200^{1/5}=2.89$   $5^{x}=200:\ \ x\ \text{is the exponent}\ \Rightarrow\ x\log 5=\log 200$   $x=\dfrac{\log 200}{\log 5}=3.29$ ไม่รู้ค่าอยู่ข้างบน ใช้ log · อยู่ข้างล่าง ถอดราก

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. Solve $5^{x}=40$, giving your answer correct to 3 significant figures.
   Answer:เฉลย: $x=\dfrac{\log40}{\log5}=2.29$Same method as the level 2 example, numbers changed. One clean minute if logs on both sides landed.เหมือนตัวอย่างในขั้นที่ 2 เปลี่ยนแค่ตัวเลข · ถ้าใส่ log ทั้งสองข้างแน่นแล้ว จบในหนึ่งนาที
2. Solve $7^{2x-1}=30$, giving your answer correct to 3 significant figures.
   Answer:เฉลย: $2x-1=\dfrac{\log30}{\log7}=1.7479$, so $x=1.37$Same method, but the index is a whole expression. The log gives $2x-1$, not $x$: algebra continues.วิธีเดิม แต่เลขชี้กำลังกลายเป็นนิพจน์ทั้งก้อน · log ให้ค่า $2x-1$ ไม่ใช่ $x$ ต้องทำพีชคณิตต่ออีก
3. Solve $e^{3x}=12$, giving your answer in exact form.
   Answer:เฉลย: $3x=\ln12$, so $x=\dfrac{\ln12}{3}$Base $e$ now, and 'exact' instead of 3 s.f. Reaching for the calculator here loses the mark.ฐานเปลี่ยนเป็น $e$ และเปลี่ยนจาก 3 เลขนัยสำคัญเป็น exact · คว้าเครื่องคิดเลขตรงนี้จะเสียคะแนน
4. Solve $\log_{2}x+\log_{2}(x-2)=3$.
   Answer:เฉลย: $x(x-2)=8 \Rightarrow x^{2}-2x-8=0 \Rightarrow x=4$  ($x=-2$ rejected: $\log_{2}(-2)$ does not exist)Product law, rewrite, quadratic, rejection: four moves you know, joined in one chain. Writing 'reject' earns its own mark.กฎผลคูณ การเขียนกลับ สมการกำลังสอง การตัดราก: สี่ท่าที่รู้แล้วต่อกัน · เขียนคำว่าตัดทิ้งได้คะแนนเองหนึ่งแต้ม
5. Values of $x$ and $y$ satisfy $y=kx^{n}$. When $\log_{10}y$ is plotted against $\log_{10}x$ the result is a straight line of gradient $-1.5$ passing through $(0,\,0.7)$. Find $n$ and $k$, giving $k$ to 3 significant figures.
   Answer:เฉลย: $n=-1.5$;  $\log_{10}k=0.7 \Rightarrow k=10^{0.7}=5.01$The graph is given, the law is the question. A negative gradient checks you read $n$ with its sign.ให้กราฟมา แล้วถามหากฎ · ความชันติดลบใช้ตรวจว่าอ่านค่า $n$ พร้อมเครื่องหมายครบไหม
6.  (3 marks) (a)(ก) Express $\log_{2}(x+3)-\log_{2}x$ as a single logarithm. (1 mark) (b)(ข) Hence solve $\log_{2}(x+3)-\log_{2}x=2$.
   Answer:เฉลย: (a) $\log_{2}\dfrac{x+3}{x}$  (b) $\dfrac{x+3}{x}=4 \Rightarrow x+3=4x \Rightarrow x=1$Full exam wording with split marks. 'Hence' means use part (a), and $x=1$ checks positive in both logs.ภาษาข้อสอบเต็มรูปแบบ พร้อมแบ่งคะแนน · Hence แปลว่าใช้ผลจากข้อ (a) และ $x=1$ ตรวจแล้วเป็นบวกทั้งสอง log
7. A student writes: $\log_{3}(x+6)+\log_{3}x=3$, so $x^{2}+6x=27$, giving $x=3$ and $x=-9$, and offers both. Find the error and give the correct answer.
   Answer:เฉลย: $x=-9$ must be rejected — it makes $\log_{3}(-9)$ and $\log_{3}(-3)$, neither of which exists. The only solution is $x=3$.Same mistake the whole lesson is about. The algebra was correct, the mark was lost at the checking step.ความผิดพลาดแบบเดียวกับที่ทั้งบทนี้พูดถึง · พีชคณิตถูกหมด คะแนนหายตรงขั้นตอนตรวจคำตอบ

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี