Sequences & seriesลำดับและอนุกรม

A-Level Pure 2 · Edexcel IAL WMA12 · CAIE: Pure 1 (9709/1) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

Two patterns: one adds each time, one multipliesสองแพตเทิร์น: อันหนึ่งบวกทุกก้าว อันหนึ่งคูณ

Adds each time → arithmetic. Multiplies each time → geometric. Spotting which is the first mark.บวกทุกก้าว → เลขคณิต · คูณทุกก้าว → เรขาคณิต · แยกให้ออกคือคะแนนแรก

1. Write the next term of $4,\;7,\;10,\;13,\;\dots$เขียนพจน์ถัดไปของ $4,\;7,\;10,\;13,\;\dots$
   Answer:เฉลย: $16$Same jump every step: $7-4=3$   $10-7=3$   $13+3=16$ก้าวเท่ากันทุกครั้ง: $7-4=3$   $10-7=3$   $13+3=16$
2. In $2,\;6,\;18,\;54,\;\dots$ what single operation takes every term to the next one?ใน $2,\;6,\;18,\;54,\;\dots$ ใช้การกระทำอะไรเพียงอย่างเดียว ที่พาทุกพจน์ไปพจน์ถัดไป?
   Answer:เฉลย: multiply by $3$คูณด้วย $3$Multiplied, not added: $2\times 3=6$   $6\times 3=18$   $18\times 3=54$ Add the same number each time, or multiply by the same number. Only these two.คูณ ไม่ใช่บวก: $2\times 3=6$   $6\times 3=18$   $18\times 3=54$ บวกเลขเดิมทุกครั้ง หรือคูณเลขเดิมทุกครั้ง · ทั้งบทมีแค่สองแบบนี้

2. Two ways to growโตได้สองแบบ

Add the same number each time, or multiply by the same number. Decide from the numbers alone.บวกด้วยของเดิมทุกครั้ง หรือคูณด้วยของเดิมทุกครั้ง · ตัดสินจากตัวเลขล้วนๆ

Two patterns, and one test eachสองแพตเทิร์น มีวิธีทดสอบแบบละหนึ่ง

Subtract neighbours: same each time → arithmetic, $d$. Divide: same each time → geometric, $r$. Some are neither.ลบพจน์ที่ติดกัน · ได้เท่ากันทุกคู่ → เลขคณิต ค่านั้นคือ $d$ · หาร · ได้เท่ากันทุกคู่ → เรขาคณิต ค่านั้นคือ $r$ · บางลำดับไม่ใช่ทั้งคู่

1. Which one of these is arithmetic?ข้อไหนเป็นลำดับเลขคณิต?
   Answer:เฉลย: $5,\;9,\;13,\;17,\;\dots$Constant difference: $9-5=4$   $13-9=4$   $17-13=4$   $\Rightarrow\ \text{arithmetic},\ d=4$ผลต่างคงที่: $9-5=4$   $13-9=4$   $17-13=4$   $\Rightarrow\ \text{arithmetic},\ d=4$
2. $100,\;50,\;25,\;12.5,\;\dots$ is geometric. What number is each term multiplied by?$100,\;50,\;25,\;12.5,\;\dots$ เป็นลำดับเรขาคณิต · แต่ละพจน์ถูกคูณด้วยเลขอะไร?
   Answer:เฉลย: $\tfrac{1}{2}$  (or $0.5$ — same number)Halving is $\times\tfrac12$: $50\div 100=\tfrac12$   $25\div 50=\tfrac12$   $r=\tfrac12$หารสอง คือคูณ $\tfrac12$: $50\div 100=\tfrac12$   $25\div 50=\tfrac12$   $r=\tfrac12$

3. The nth term of an APพจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิต

$u_{n}=a+(n-1)d$. The $(n-1)$ is the part that needs care.$u_{n}=a+(n-1)d$ · ส่วนที่ต้องระวังคือ $(n-1)$

1. The AP $5,\;8,\;11,\;14,\;\dots$: which letter is which?ลำดับเลขคณิต $5,\;8,\;11,\;14,\;\dots$ · ตัวไหนคือตัวไหน?
   Answer:เฉลย: $a=5$ and $d=3$$a=5$ และ $d=3$Label before you calculate: $a=\text{first term}=5$   $d=8-5=3$ติดป้ายก่อน ค่อยคิดเลข: $a=\text{first term}=5$   $d=8-5=3$
2. Same AP ($a=5$, $d=3$). Which line substitutes correctly for the 12th term? Write the numbers in. Do not calculate yet.ลำดับเดิม ($a=5$, $d=3$) · บรรทัดไหนแทนค่าหาพจน์ที่ 12 ได้ถูกต้อง? ยังไม่ต้องคิดเลข · ใส่ตัวเลขลงไปก่อน
   Answer:เฉลย: $u_{12}=5+(12-1)\times3$Numbers in, nothing worked out: $u_n=a+(n-1)d$   $u_{12}=5+(12-1)\times 3$ This line on its own earns the method mark, even if the arithmetic after it fails.ใส่ตัวเลข ยังไม่ต้องคิด: $u_n=a+(n-1)d$   $u_{12}=5+(12-1)\times 3$ บรรทัดนี้บรรทัดเดียวได้คะแนนวิธีทำ ต่อให้คิดเลขต่อผิด
3. Now finish it: $u_{12}=5+11\times3=\;?$ทีนี้ปิดจ๊อบ: $u_{12}=5+11\times3=\;?$
   Answer:เฉลย: $u_{12}=38$Twelve terms in one line: $u_{12}=5+11\times 3=38$   $\text{check: }5,8,11,\dots,35,38$สิบสองพจน์ ในบรรทัดเดียว: $u_{12}=5+11\times 3=38$   $\text{check: }5,8,11,\dots,35,38$
4. A student writes $u_{20}=a+20d$. Which term does that expression give?นักเรียนคนหนึ่งเขียน $u_{20}=a+20d$ · นิพจน์นั้นให้พจน์ที่เท่าไรกันแน่?
   Answer:เฉลย: the 21st termพจน์ที่ 21Jump count is one behind: $a+20d=a+(21-1)d$   $\Rightarrow\ u_{21}$ Writing $nd$ for $(n-1)d$ is the most common lost accuracy mark in this topic.จำนวนก้าว น้อยกว่าเลขพจน์อยู่หนึ่ง: $a+20d=a+(21-1)d$   $\Rightarrow\ u_{21}$ เขียน $nd$ แทน $(n-1)d$ คือจุดที่เสียคะแนนบ่อยที่สุดในบทนี้
5. An AP has first term $7$ and common difference $5$. Which term is equal to $152$?ลำดับเลขคณิตมีพจน์แรก $7$ และผลต่างร่วม $5$ · พจน์ที่เท่าไรมีค่าเป็น $152$?
   Answer:เฉลย: $n=30$  (check: $7+29\times5=152$)Steps first, then add one: $7+(n-1)5=152$   $(n-1)5=145$   $n-1=29$   $n=30$หาจำนวนก้าวก่อน แล้วบวกหนึ่ง: $7+(n-1)5=152$   $(n-1)5=145$   $n-1=29$   $n=30$

4. Adding an AP upบวกลำดับเลขคณิตทั้งชุด

$S_{n}=\tfrac{n}{2}\big[2a+(n-1)d\big]$, or $\tfrac{n}{2}(a+l)$ when the last term is handed to you.$S_{n}=\tfrac{n}{2}\big[2a+(n-1)d\big]$ หรือ $\tfrac{n}{2}(a+l)$ ถ้าโจทย์ยื่นพจน์สุดท้ายมาให้

Pair the ends and the adding becomes easyจับหัวกับท้ายมาเข้าคู่กัน แล้วการบวกจะง่ายขึ้น

Write $1+\dots+100$ forwards, then backwards: $100$ columns, each (first + last) $=101$.เขียน $1+\dots+100$ ไปข้างหน้า แล้วย้อนกลับไว้ข้างใต้ · $100$ คอลัมน์ คอลัมน์ละ (พจน์แรก + พจน์สุดท้าย) $=101$

1. The AP $5,\;8,\;11,\;\dots$  Which line substitutes correctly for $S_{20}$?ลำดับเลขคณิต $5,\;8,\;11,\;\dots$  บรรทัดไหนแทนค่าหา $S_{20}$ ได้ถูกต้อง?
   Answer:เฉลย: $S_{20}=\dfrac{20}{2}\big[2(5)+19(3)\big]$The bracket is first $+$ last: $2a+(n-1)d=a+\big[a+(n-1)d\big]$   $S_{20}=\tfrac{20}{2}\big[2(5)+(20-1)(3)\big]$ในวงเล็บคือ พจน์แรก $+$ พจน์สุดท้าย: $2a+(n-1)d=a+\big[a+(n-1)d\big]$   $S_{20}=\tfrac{20}{2}\big[2(5)+(20-1)(3)\big]$
2. Finish it: $S_{20}=10\big[10+57\big]=\;?$ปิดจ๊อบ: $S_{20}=10\big[10+57\big]=\;?$
   Answer:เฉลย: $S_{20}=670$Check against a middle term: $S_{20}=10\big[10+57\big]=670$   $l=5+19\times 3=62$   $\tfrac{5+62}{2}\times 20=670$ตรวจด้วยพจน์กลาง: $S_{20}=10\big[10+57\big]=670$   $l=5+19\times 3=62$   $\tfrac{5+62}{2}\times 20=670$
3. The last term is given this time. Find $4+8+12+\dots+100$.คราวนี้โจทย์ให้พจน์สุดท้ายมา · หาค่า $4+8+12+\dots+100$
   Answer:เฉลย: $\dfrac{25}{2}(4+100)=25\times52=1300$Find $n$ first, then sum: $4+(n-1)4=100$   $n=25$   $S=\tfrac{25}{2}(4+100)=1300$ Last term given, use $\tfrac{n}{2}(a+l)$; not given, use $\tfrac{n}{2}\big[2a+(n-1)d\big]$.หา $n$ ก่อน แล้วค่อยรวม: $4+(n-1)4=100$   $n=25$   $S=\tfrac{25}{2}(4+100)=1300$ โจทย์ให้พจน์สุดท้าย ใช้ $\tfrac{n}{2}(a+l)$ · ไม่ให้ ใช้ $\tfrac{n}{2}\big[2a+(n-1)d\big]$

5. Geometric: multiply, don't addเรขาคณิต: คูณ ไม่ใช่บวก

$u_{n}=ar^{\,n-1}$ and $S_{n}=\dfrac{a(1-r^{n})}{1-r}$. Also the $\pm$ that appears when you find $r$ from $r^{2}$.$u_{n}=ar^{\,n-1}$ และ $S_{n}=\dfrac{a(1-r^{n})}{1-r}$ · และ $\pm$ ที่ปรากฏเมื่อหา $r$ จาก $r^{2}$

Multiply the whole line by $r$ and subtractคูณทั้งบรรทัดด้วย $r$ แล้วจับลบกัน

Write $S_{n}$ and $rS_{n}$, then subtract: the middle cancels. If $r=1$, you cannot divide: $S_{n}=na$.เขียน $S_{n}$ กับ $rS_{n}$ แล้วลบกัน · ตรงกลางตัดกันหมด · ถ้า $r=1$ หารไม่ได้ · $S_{n}=na$

Sum the first 6 terms: $a=5$, $r=3$บวก 6 พจน์แรก · $a=5$, $r=3$

1. $S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}$$r>1$, so the $\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ version is tidier. Either version works.$r>1$ ใช้รูป $\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ จะสวยกว่า แต่ใช้รูปไหนก็ได้
2. $S_{6}=\frac{5(1-3^{6})}{1-3}$$n=6$ goes in the power, not anywhere else.$n=6$ ไปอยู่บนเลขชี้กำลัง ไม่ใช่ที่อื่น
3. $S_{6}=\frac{5(1-729)}{-2}$$3^{6}=729$.$3^{6}=729$
4. $S_{6}=\frac{-3640}{-2}=1820$Two negatives make a positive. Check by listing: $5+15+45+135+405+1215=1820$ ✓ลบเจอลบเป็นบวก · ตรวจด้วยการไล่: $5+15+45+135+405+1215=1820$ ✓

1. For $3,\;12,\;48,\;192,\;\dots$: what are $a$ and $r$?จาก $3,\;12,\;48,\;192,\;\dots$ · $a$ กับ $r$ เป็นเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $a=3$ and $r=4$$a=3$ และ $r=4$Divide, then check a second pair: $a=3$   $12\div 3=4$   $48\div 12=4$   $r=4$หาร แล้วตรวจอีกคู่: $a=3$   $12\div 3=4$   $48\div 12=4$   $r=4$
2. Find the 7th term of $3,\;12,\;48,\;\dots$หาพจน์ที่ 7 ของ $3,\;12,\;48,\;\dots$
   Answer:เฉลย: $u_{7}=3\times4^{6}=3\times4096=12288$Power is one below the term: $u_n=ar^{\,n-1}$   $u_{7}=3\times 4^{6}=12288$เลขชี้กำลัง น้อยกว่าเลขพจน์อยู่หนึ่ง: $u_n=ar^{\,n-1}$   $u_{7}=3\times 4^{6}=12288$
3. For $3,\;12,\;48,\;\dots$ ($a=3$, $r=4$), which line gives $S_{8}$?จาก $3,\;12,\;48,\;\dots$ ($a=3$, $r=4$) บรรทัดไหนให้ $S_{8}$?
   Answer:เฉลย: $S_{8}=\dfrac{3(4^{8}-1)}{4-1}=\dfrac{3\times65535}{3}=65535$One formula, two faces: $r>1:\ \dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}$   $|r|<1:\ \dfrac{a(1-r^{n})}{1-r}$   $S_{8}=\dfrac{3(4^{8}-1)}{4-1}=65535$ Pick the version that keeps every bracket positive.สูตรเดียว เขียนได้สองหน้า: $r>1:\ \dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}$   $|r|<1:\ \dfrac{a(1-r^{n})}{1-r}$   $S_{8}=\dfrac{3(4^{8}-1)}{4-1}=65535$ เลือกแบบที่ทำให้ทุกวงเล็บเป็นบวก
4. A geometric sequence has $u_{2}=6$ and $u_{4}=54$. Find all possible values of $r$.ลำดับเรขาคณิตมี $u_{2}=6$ และ $u_{4}=54$ · หาค่า $r$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
   Answer:เฉลย: $r=\pm3$Divide terms, the $a$ cancels: $\dfrac{u_{4}}{u_{2}}=r^{2}=\dfrac{54}{6}=9$   $r=\pm 3$ An even power gives two answers; an odd power, like $r^{3}=8$, gives one.หารพจน์กัน $a$ ตัดทิ้ง: $\dfrac{u_{4}}{u_{2}}=r^{2}=\dfrac{54}{6}=9$   $r=\pm 3$ กำลังคู่ได้สองคำตอบ · กำลังคี่ เช่น $r^{3}=8$ ได้คำตอบเดียว

6. Adding foreverบวกไปเรื่อยๆ ไม่รู้จบ

$S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$. It exists only when $|r|\lt1$.$S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$ · มีค่าเฉพาะตอน $|r|\lt1$ เท่านั้น

1. Which one of these series has a sum to infinity?อนุกรมข้อไหนมีผลบวกอนันต์?
   Answer:เฉลย: $5+2.5+1.25+\dots$, because $r=\tfrac12$ and $|r|\lt1$$5+2.5+1.25+\dots$ เพราะ $r=\tfrac12$ และ $|r|\lt1$The test is $|r|$ alone: $|r|<1\ \Rightarrow\ S_{\infty}\text{ exists}$   $r=\tfrac12:\ |r|=\tfrac12<1\ \checkmark$   $r=2\text{ or }-2:\ |r|=2\ \times$ Write the condition $|r|\lt1$ every time you use $S_{\infty}$. It carries a mark.ตรวจแค่ $|r|$ อย่างเดียว: $|r|<1\ \Rightarrow\ S_{\infty}\text{ exists}$   $r=\tfrac12:\ |r|=\tfrac12<1\ \checkmark$   $r=2\text{ or }-2:\ |r|=2\ \times$ เขียนเงื่อนไข $|r|\lt1$ ทุกครั้งที่ใช้ $S_{\infty}$ · มันมีคะแนนของมันเอง
2. Find the sum to infinity of $20+10+5+2.5+\dots$หาผลบวกอนันต์ของ $20+10+5+2.5+\dots$
   Answer:เฉลย: $S_{\infty}=\dfrac{20}{1-\tfrac12}=\dfrac{20}{0.5}=40$Dividing by under $1$ grows it: $r=\dfrac{10}{20}=\tfrac12$   $S_{\infty}=\dfrac{20}{1-\tfrac12}=\dfrac{20}{0.5}=40$   $\text{check: }40>a=20$หารด้วยเลขน้อยกว่าหนึ่ง ผลลัพธ์โต: $r=\dfrac{10}{20}=\tfrac12$   $S_{\infty}=\dfrac{20}{1-\tfrac12}=\dfrac{20}{0.5}=40$   $\text{check: }40>a=20$

7. Exam formรูปแบบข้อสอบ

Decide arithmetic or geometric first, then decide term or sum. Always in that order.ตัดสินก่อนว่าเป็นเลขคณิตหรือเรขาคณิต แล้วค่อยตัดสินว่าเป็นพจน์เดียวหรือผลบวก · ตามลำดับนี้เสมอ

The paper never tells you which type it isข้อสอบไม่เคยบอกว่าเป็นแบบไหน

Interest and depreciation are always geometric.ดอกเบี้ยกับค่าเสื่อมราคา เป็นเรขาคณิตเสมอ

1. Anna's salary in year $1$ is £24000 and it rises by $3\%$ each year. Which expression gives her salary in year $10$?เงินเดือนของแอนนาในปีที่ $1$ คือ £24000 และขึ้นปีละ $3\%$ · นิพจน์ไหนคือเงินเดือนของเธอในปีที่ $10$?
   Answer:เฉลย: $24000(1.03)^{9}$Up $3\%$ means $\times 1.03$: $a=24000,\ r=1.03$   $\text{year }10=u_{10}=ar^{9}$   $=24000(1.03)^{9}$ Percentage growth is always geometric. Spotting that is the first mark.เพิ่ม $3\%$ คือคูณ $1.03$: $a=24000,\ r=1.03$   $\text{year }10=u_{10}=ar^{9}$   $=24000(1.03)^{9}$ โตเป็นเปอร์เซ็นต์ คือ geometric เสมอ · เห็นตรงนี้ได้คะแนนแรก
2. Now evaluate it: Anna's salary in year $10$, to the nearest pound.  (2 marks)ทีนี้คิดค่าออกมา: เงินเดือนของแอนนาในปีที่ $10$ ปัดเป็นจำนวนเต็มปอนด์  (2 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $24000(1.03)^{9}=31314.55\dots$, so £$31315$ to the nearest poundRound once, at the end: $24000\times 1.03^{9}=31314.55\ldots$   $\to\ 31315\ \text{(nearest pound)}$ปัดเศษครั้งเดียว ตอนจบ: $24000\times 1.03^{9}=31314.55\ldots$   $\to\ 31315\ \text{(nearest pound)}$
3. Exam: A savings plan is described by $u_{1}=150$ and $u_{n+1}=u_{n}+20$, where $u_{n}$ is the amount saved in month $n$, in pounds. Find the total saved over the first $12$ months.  (4 marks)ข้อสอบ: แผนการออมกำหนดโดย $u_{1}=150$ และ $u_{n+1}=u_{n}+20$ เมื่อ $u_{n}$ คือเงินที่ออมในเดือนที่ $n$ (หน่วยเป็นปอนด์) · หาเงินรวมที่ออมได้ใน $12$ เดือนแรก  (4 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $S_{12}=\dfrac{12}{2}\big[2(150)+11(20)\big]=6\times520=3120$  (£3120)4 marks: $\text{M1}\ \ \text{recurrence is arithmetic},\ a=150,\ d=20$   $\text{M1}\ \ S_{12}=\tfrac{12}{2}\big[2(150)+(12-1)20\big]$   $\text{A1}\ \ 6\times 520$   $\text{A1}\ \ 3120$ $u_{n+1}=u_{n}+k$ is arithmetic with $d=k$; $u_{n+1}=ku_{n}$ is geometric with $r=k$.4 คะแนน: $\text{M1}\ \ \text{recurrence is arithmetic},\ a=150,\ d=20$   $\text{M1}\ \ S_{12}=\tfrac{12}{2}\big[2(150)+(12-1)20\big]$   $\text{A1}\ \ 6\times 520$   $\text{A1}\ \ 3120$ $u_{n+1}=u_{n}+k$ คือเลขคณิต $d=k$ · $u_{n+1}=ku_{n}$ คือเรขาคณิต $r=k$
4. Exam: A geometric series has second term $6$ and sum to infinity $25$. Given that the common ratio $r$ satisfies $r\gt\tfrac12$, find the first term.  (6 marks)ข้อสอบ: อนุกรม geometric ชุดหนึ่งมีพจน์ที่สองเท่ากับ $6$ และ sum to infinity เท่ากับ $25$ · กำหนดว่า common ratio $r$ มีค่า $r\gt\tfrac12$ · หาพจน์แรก  (6 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $25r^{2}-25r+6=0 \Rightarrow r=\tfrac35$ (since $r\gt\tfrac12$), so $a=25\left(1-\tfrac35\right)=10$6 marks: $\text{M1}\ \ ar=6$   $\text{M1}\ \ \dfrac{a}{1-r}=25\ \Rightarrow\ a=25(1-r)$   $\text{M1}\ \ 25r(1-r)=6\ \Rightarrow\ 25r^{2}-25r+6=0$   $\text{A1}\ \ (5r-3)(5r-2)=0,\ r=\tfrac35\text{ or }\tfrac25$   $\text{B1}\ \ r>\tfrac12\ \Rightarrow\ r=\tfrac35$   $\text{A1}\ \ a=25\left(1-\tfrac35\right)=10$ The condition $r\gt\tfrac12$ rejects one root. Write down which one you drop.6 คะแนน: $\text{M1}\ \ ar=6$   $\text{M1}\ \ \dfrac{a}{1-r}=25\ \Rightarrow\ a=25(1-r)$   $\text{M1}\ \ 25r(1-r)=6\ \Rightarrow\ 25r^{2}-25r+6=0$   $\text{A1}\ \ (5r-3)(5r-2)=0,\ r=\tfrac35\text{ or }\tfrac25$   $\text{B1}\ \ r>\tfrac12\ \Rightarrow\ r=\tfrac35$   $\text{A1}\ \ a=25\left(1-\tfrac35\right)=10$ เงื่อนไข $r\gt\tfrac12$ มีไว้ตัดรากทิ้งหนึ่งตัว · ต้องเขียนว่าตัดตัวไหน
5. A machine is worth £$800$ at the start of year $1$. Each year its value falls by $15\%$ of its value at the start of that year. Find its value at the start of year $6$, to the nearest pound.เครื่องจักรเครื่องหนึ่งมีมูลค่า £$800$ ตอนต้นปีที่ $1$ · แต่ละปีมูลค่าลดลง $15\%$ ของมูลค่าตอนต้นปีนั้น · หามูลค่าตอนต้นปีที่ $6$ ปัดเป็นจำนวนเต็มปอนด์
   Answer:เฉลย: $u_{6}=800(0.85)^{5}=354.96\ldots$, so £$355$Percent of a changing value: $-15\%\text{ of the current value}\ \Rightarrow\ \times 0.85$   $\text{start of year }6\ \Rightarrow\ 5\text{ drops}$   $u_{6}=800(0.85)^{5}=354.96\ldots$   $\to\ 355$ "Falls by £120 a year" would be arithmetic instead. A fixed amount shows it.เปอร์เซ็นต์ของค่าที่เปลี่ยนไปเรื่อย ๆ: $-15\%\text{ of the current value}\ \Rightarrow\ \times 0.85$   $\text{start of year }6\ \Rightarrow\ 5\text{ drops}$   $u_{6}=800(0.85)^{5}=354.96\ldots$   $\to\ 355$ ถ้าโจทย์เขียนว่า "ลดปีละ £120" จะเป็น arithmetic แทน · จำนวนคงที่คือตัวชี้

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. The arithmetic sequence $6,\;10,\;14,\;\dots$  Find the 20th term and the sum of the first 20 terms.
   Answer:เฉลย: $u_{20}=6+19(4)=82$;  $S_{20}=\tfrac{20}{2}\big[2(6)+19(4)\big]=880$Same as the worked examples, numbers changed. Quick if levels 1 and 2 landed.เหมือนตัวอย่างที่ทำไปแล้ว เปลี่ยนแค่ตัวเลข · เร็วถ้าขั้น 1 กับ 2 แน่นแล้ว
2. An arithmetic sequence has $a=-7$ and $d=2.5$. Find $u_{15}$ and $S_{15}$.
   Answer:เฉลย: $u_{15}=-7+14(2.5)=28$;  $S_{15}=\tfrac{15}{2}(-7+28)=157.5$Same method, with a negative first term and a decimal difference. $S_{15}$ need not be a whole number.วิธีเดิม แต่พจน์แรกติดลบและผลต่างเป็นทศนิยม · $S_{15}$ ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม
3. A geometric sequence has second term $6$ and fifth term $48$. Find $r$ and $a$.
   Answer:เฉลย: $\dfrac{u_{5}}{u_{2}}=r^{3}=8$, so $r=2$ and $a=\dfrac{6}{2}=3$Geometric, three terms apart: the power is $r^{3}$, an odd power, so only one value of $r$.เรขาคณิต ห่างกันสามพจน์ · กำลังเป็น $r^{3}$ กำลังคี่ จึงมีคำตอบเดียว
4. Find the number of terms in the arithmetic series $5+9+13+\dots+401$, and hence its sum.
   Answer:เฉลย: $5+(n-1)4=401\Rightarrow n=100$;  $S_{100}=\tfrac{100}{2}(5+401)=20300$The $n$th-term formula feeds the sum formula, run in the right order. Here $n=100$, not $99$.สูตรพจน์ที่ $n$ ป้อนต่อให้สูตรผลบวก เรียงลำดับให้ถูก · ที่นี่ $n=100$ ไม่ใช่ $99$
5. A geometric series has first term $20$ and common ratio $0.8$.  (2 marks) (a)(ก) Find the sum of the first $10$ terms, giving your answer to 3 significant figures. (3 marks) (b)(ข) Find the sum to infinity.
   Answer:เฉลย: (a) $S_{10}=\dfrac{20(1-0.8^{10})}{1-0.8}=89.2625\dots=89.3$  (b) $S_{\infty}=\dfrac{20}{1-0.8}=100$Full exam wording with marks split by part. $S_{10}$ is already $89\%$ of $S_{\infty}$.ภาษาข้อสอบเต็มรูปแบบ มีแบ่งคะแนนตามข้อย่อย · $S_{10}$ เป็น $89\%$ ของ $S_{\infty}$ แล้ว
6. A student writes: "The series $4+6+9+13.5+\dots$ has $a=4$ and $r=1.5$, so $S_{\infty}=\dfrac{4}{1-1.5}=-8$." Find the error and state the correct conclusion.
   Answer:เฉลย: $|r|=1.5$, which is not less than $1$, so the series diverges and has no sum to infinity. The formula was applied outside its condition; the negative answer is the giveaway.The calculator still gives $-8$. Always check $|r|\lt1$ before using the sum to infinity formula.เครื่องคิดเลขก็ยังให้ $-8$ ออกมา · ต้องตรวจ $|r|\lt1$ ก่อนใช้สูตร sum to infinity เสมอ
7. A company's sales in year $1$ were $50\,000$ units and grew by $8\%$ each year.  (3 marks) (a)(ก) Write down an expression for the sales in year $n$. (2 marks) (b)(ข) Find the total sales over the first $10$ years, to the nearest $1000$ units. (3 marks) (c)(ค) In which year do annual sales first exceed $100\,000$ units?
   Answer:เฉลย: (a) $50000(1.08)^{\,n-1}$  (b) $S_{10}=\dfrac{50000(1.08^{10}-1)}{0.08}=724328\dots\approx724\,000$  (c) $1.08^{\,n-1}\gt2\Rightarrow n-1\gt9.006\Rightarrow n=11$Everything at once: percentage growth, $n-1$, choosing $S_{n}$ for total, then an inequality in the exponent.รวมทุกอย่าง: เปอร์เซ็นต์การเติบโต $n-1$ เลือก $S_{n}$ เพราะคำว่ารวม แล้วปิดท้ายด้วยอสมการ

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี