Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ
Trig identities & equationsเอกลักษณ์และสมการตรีโกณ
A-Level Pure 2 · Edexcel IAL WMA12 · CAIE: Pure 1 (9709/1) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ
1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม
Two ratios off one right-angled triangleสองอัตราส่วนจากสามเหลี่ยมมุมฉากอันเดียว
- A right-angled triangle has the side opposite $\theta$ equal to $3$ and hypotenuse $5$. Write down $\sin\theta$.สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุม $\theta$ ยาว $3$ และด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $5$ · เขียน $\sin\theta$
Answer:เฉลย: $\sin\theta=\dfrac{3}{5}=0.6$Sine is never above 1: $\sin\theta=\dfrac{3}{5}=0.6$ $\text{hypotenuse is the longest side}\ \Rightarrow\ \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}<1$ Later this lets you reject an answer with no working.ค่า sin ไม่มีทางเกิน 1: $\sin\theta=\dfrac{3}{5}=0.6$ $\text{hypotenuse is the longest side}\ \Rightarrow\ \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}<1$ ตอนหลังจะใช้ตัดคำตอบทิ้งได้เลย ไม่ต้องคิด
- Same triangle: the third side is $4$. Which one is $\tan\theta$?สามเหลี่ยมเดิม: ด้านที่สามยาว $4$ · ตัวไหนคือ $\tan\theta$?
Answer:เฉลย: $\tan\theta=\dfrac{3}{4}$$\tan\theta$ is $\sin\theta$ over $\cos\theta$: $\tan\theta=\dfrac{3}{4}$ $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{3/5}{4/5}=\dfrac{3}{4}$ $\text{same answer — not a coincidence}$$\tan$ คือ $\sin$ หารด้วย $\cos$: $\tan\theta=\dfrac{3}{4}$ $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{3/5}{4/5}=\dfrac{3}{4}$ $\text{same answer — not a coincidence}$
- A right-angled triangle has both short sides equal to $1$. Find the hypotenuse as an exact value.สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านสั้นทั้งสองยาว $1$ เท่ากัน · หาด้านตรงข้ามมุมฉากแบบ exact
Answer:เฉลย: $\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$Exact values come from this triangle: $\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$ $\sin 45^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt2}$ Nothing today is memorised for its own sake.ค่า exact มาจากสามเหลี่ยมรูปนี้: $\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$ $\sin 45^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt2}$ วันนี้ไม่มีอะไรต้องท่องลอยๆ
2. The unit circle and exact valuesวงกลมหนึ่งหน่วยกับค่า exact
A point on the circle of radius $1$ has coordinates $(\cos\theta,\ \sin\theta)$. That one line replaces every triangle.จุดบนวงกลมรัศมี $1$ มีพิกัด $(\cos\theta,\ \sin\theta)$ · บรรทัดเดียวนี้แทนสามเหลี่ยมได้ทั้งหมด
The unit circle, from Pure 1วงกลมหนึ่งหน่วย จาก Pure 1
Turn anticlockwise through $\theta$. It works past $90^{\circ}$ too.หมุนทวนเข็มไป $\theta$ · เลย $90^{\circ}$ ก็ยังใช้ได้
- On the unit circle the point at $\theta=60^{\circ}$ (degrees) is $\left(\dfrac{1}{2},\ \dfrac{\sqrt3}{2}\right)$. Which number is $\cos 60^{\circ}$?บนวงกลมหนึ่งหน่วย จุดที่ $\theta=60^{\circ}$ (องศา) คือ $\left(\dfrac{1}{2},\ \dfrac{\sqrt3}{2}\right)$ · ตัวเลขไหนคือ $\cos 60^{\circ}$?
Answer:เฉลย: $\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}$ (the $x$-coordinate)cos across, sin up: $(\cos\theta,\ \sin\theta)=(x,\ y)$ $\cos 60^{\circ}=\tfrac12,\qquad \sin 60^{\circ}=\tfrac{\sqrt3}{2}$ $\tan\theta=\dfrac{y}{x}$ Mixing up cos and sin is the most common lost mark here.cos คือแนวนอน · sin คือแนวตั้ง: $(\cos\theta,\ \sin\theta)=(x,\ y)$ $\cos 60^{\circ}=\tfrac12,\qquad \sin 60^{\circ}=\tfrac{\sqrt3}{2}$ $\tan\theta=\dfrac{y}{x}$ สลับ cos กับ sin คือจุดเสียคะแนนอันดับหนึ่ง
- Write down the exact value of $\sin 30^{\circ}$ (degrees).เขียนค่า exact ของ $\sin 30^{\circ}$ (องศา)
Answer:เฉลย: $\sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$Ask how high the point sits: $30^{\circ}\ \Rightarrow\ y=\tfrac12$ $\sin 30^{\circ}=\tfrac12$ถามว่าจุดนั้นสูงเท่าไร: $30^{\circ}\ \Rightarrow\ y=\tfrac12$ $\sin 30^{\circ}=\tfrac12$
3. The three graphsกราฟทั้งสามตัว
Read period, range and sign from the picture, before any algebra.อ่านคาบ พิสัย และเครื่องหมายจากรูปได้เลย ก่อนจะแตะพีชคณิต
Three graphs, one pageสามกราฟ จบในหน้าเดียว
- One of these equations has no solution at all, for any angle in degrees. Which one?มีสมการหนึ่งข้อที่ไม่มีคำตอบเลย ไม่ว่ามุมจะเป็นกี่องศา · ข้อไหน?
Answer:เฉลย: $\sin\theta=1.2$ has no solution — $\sin$ never leaves $-1$ to $1$.$\sin\theta=1.2$ ไม่มีคำตอบ — $\sin$ ไม่เคยออกนอกช่วง $-1$ ถึง $1$Radius 1 caps sin and cos: $-1\le\sin\theta\le 1$ $-1\le\cos\theta\le 1$ $1.2>1\ \Rightarrow\ \text{no solution}$ $\tan\theta:\ \text{no limit}$ Later a quadratic gives $\sin\theta=2$. Reject it in one line.รัศมี 1 คุมค่า sin กับ cos: $-1\le\sin\theta\le 1$ $-1\le\cos\theta\le 1$ $1.2>1\ \Rightarrow\ \text{no solution}$ $\tan\theta:\ \text{no limit}$ เดี๋ยวจะมีสมการกำลังสองให้ $\sin\theta=2$ · ตัดทิ้งได้ในบรรทัดเดียว
- $y=\sin\theta$ repeats every $360^{\circ}$. Given that $\sin 20^{\circ}=0.342$ (degrees), write down $\sin 380^{\circ}$.$y=\sin\theta$ ซ้ำทุก $360^{\circ}$ · ถ้า $\sin 20^{\circ}=0.342$ (องศา) จงเขียนค่า $\sin 380^{\circ}$
Answer:เฉลย: $\sin 380^{\circ}=\sin 20^{\circ}=0.342$One full lap changes nothing: $\sin(\theta+360^{\circ})=\sin\theta$ $\sin 380^{\circ}=\sin 20^{\circ}=0.342$ That is why every exam question pins you to an interval.หมุนครบรอบ ค่าไม่เปลี่ยน: $\sin(\theta+360^{\circ})=\sin\theta$ $\sin 380^{\circ}=\sin 20^{\circ}=0.342$ เพราะงี้ทุกข้อสอบถึงต้องกำหนดช่วงมาให้
- For $0^{\circ}\lt\theta\lt360^{\circ}$ (degrees), for which angles is $\cos\theta$ negative?เมื่อ $0^{\circ}\lt\theta\lt360^{\circ}$ (องศา) · $\cos\theta$ ติดลบ ที่มุมช่วงไหน?
Answer:เฉลย: $90^{\circ}\lt\theta\lt270^{\circ}$ — the whole left half of the circle$90^{\circ}\lt\theta\lt270^{\circ}$ — ครึ่งซ้ายของวงกลมทั้งหมด$\cos\theta=x$, negative on the left: $\cos\theta=x<0\ \text{on the left half}$ $90^{\circ}<\theta<270^{\circ}$ $\sin\theta=y<0\ \text{on the bottom half}$ Which functions are positive in each quarter is the CAST diagram.$\cos\theta=x$ · ติดลบครึ่งซ้าย: $\cos\theta=x<0\ \text{on the left half}$ $90^{\circ}<\theta<270^{\circ}$ $\sin\theta=y<0\ \text{on the bottom half}$ ฟังก์ชันไหนบวกในแต่ละควอดรันต์ ก็คือ CAST นั่นแหละ
4. Swapping sin, cos and tanสลับ sin cos tan
Two identities turn any one function into another. They are the only rewriting tools P2 gives you.เอกลักษณ์สองตัวเปลี่ยนฟังก์ชันหนึ่งเป็นอีกฟังก์ชันได้ · เป็นเครื่องมือจัดรูปทั้งหมดที่ P2 ให้มา
- $\theta$ is acute (degrees), with $\sin\theta=\dfrac{3}{5}$ and $\cos\theta=\dfrac{4}{5}$. Which substitution into $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ is correct?$\theta$ เป็นมุมแหลม (องศา) โดย $\sin\theta=\dfrac{3}{5}$ และ $\cos\theta=\dfrac{4}{5}$ · แทนค่าลงใน $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ แบบไหนถูก?
Answer:เฉลย: $\tan\theta=\dfrac{3/5}{4/5}=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{5}{4}=\dfrac{3}{4}$The hypotenuses cancel: $\tan\theta=\dfrac{3/5}{4/5}=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{5}{4}=\dfrac{3}{4}$ $\text{same }\tan\theta\text{, with no triangle in sight}$ The $5$s cancel for every angle, which is why the identity always holds.ด้านตรงข้ามมุมฉาก ตัดกันทิ้ง: $\tan\theta=\dfrac{3/5}{4/5}=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{5}{4}=\dfrac{3}{4}$ $\text{same }\tan\theta\text{, with no triangle in sight}$ เลข $5$ ตัดกันทุกมุม เอกลักษณ์นี้เลยจริงเสมอ
- $\theta$ is acute (degrees) and $\cos\theta=\dfrac{5}{13}$. Find $\sin\theta$ as an exact fraction.$\theta$ เป็นมุมแหลม (องศา) และ $\cos\theta=\dfrac{5}{13}$ · หา $\sin\theta$ เป็นเศษส่วนแบบ exact
Answer:เฉลย: $\sin^{2}\theta=1-\left(\tfrac{5}{13}\right)^{2}=\tfrac{144}{169}$, so $\sin\theta=\dfrac{12}{13}$Rearrange before you substitute: $\sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta$ $=1-\left(\tfrac{5}{13}\right)^{2}=\tfrac{144}{169}$ $\sin\theta=\tfrac{12}{13}$ $\theta\text{ acute}\ \Rightarrow\ \text{take}+$ The interval decides the sign at the end.จัดรูปก่อน แล้วค่อยแทนค่า: $\sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta$ $=1-\left(\tfrac{5}{13}\right)^{2}=\tfrac{144}{169}$ $\sin\theta=\tfrac{12}{13}$ $\theta\text{ acute}\ \Rightarrow\ \text{take}+$ ช่วงที่โจทย์ให้ เป็นตัวตัดสินเครื่องหมายตอนท้าย
5. Every solution in the intervalเก็บคำตอบให้ครบทั้งช่วง
The calculator gives one angle.
The interval usually contains two. The second one is worth a mark.เครื่องคิดเลขให้มุมมาตัวเดียว
แต่ในช่วงมักมีสองตัว · ตัวที่สองมีค่าหนึ่งคะแนน
$\sin\theta=\tfrac12$ has two answers between $0^{\circ}$ and $360^{\circ}$$\sin\theta=\tfrac12$ มีคำตอบสองตัวระหว่าง $0^{\circ}$ ถึง $360^{\circ}$
One answer over a full turn is usually an unfinished answerช่วงเต็มรอบแต่ตอบค่าเดียว มักแปลว่ายังทำไม่จบ
- For $\sin\theta=\tfrac12$ the calculator gives $\theta=30^{\circ}$. Where is the second solution in $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ (degrees)?สำหรับ $\sin\theta=\tfrac12$ เครื่องคิดเลขให้ $\theta=30^{\circ}$ · คำตอบตัวที่สองในช่วง $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ (องศา) อยู่ที่ไหน?
Answer:เฉลย: $\theta=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}$For $\sin$ the partner is $180^{\circ}-\alpha$: $\sin 30^{\circ}=\tfrac12$ $180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}$ $\sin 150^{\circ}=\tfrac12\ \checkmark$ของ $\sin$ คู่หูคือ $180^{\circ}-\alpha$: $\sin 30^{\circ}=\tfrac12$ $180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}$ $\sin 150^{\circ}=\tfrac12\ \checkmark$
- Solve $\cos\theta=\tfrac12$ for $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ (degrees). Give both roots, separated by a comma.แก้ $\cos\theta=\tfrac12$ เมื่อ $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ (องศา) · ตอบทั้งสองราก คั่นด้วยจุลภาค
Answer:เฉลย: $\theta=60^{\circ},\ 300^{\circ}$Each function has its own line: $\cos:\ 360^{\circ}-\alpha\ \Rightarrow\ \theta=60^{\circ},\ 300^{\circ}$ $\sin:\ 180^{\circ}-\alpha$ $\tan:\ 180^{\circ}+\alpha$แต่ละฟังก์ชัน สะท้อนคนละเส้น: $\cos:\ 360^{\circ}-\alpha\ \Rightarrow\ \theta=60^{\circ},\ 300^{\circ}$ $\sin:\ 180^{\circ}-\alpha$ $\tan:\ 180^{\circ}+\alpha$
6. Change the interval firstแปลงช่วงก่อนแก้
If the bracket is not only $\theta$, solve for the bracket. Move its interval before you touch the equation.ถ้าในวงเล็บไม่ใช่ $\theta$ ตัวเดียว ให้แก้หาค่าของทั้งก้อน · และย้ายช่วงของมันก่อนแตะสมการ
$\sin 2\theta=\tfrac12$ is not a question about $\theta$$\sin 2\theta=\tfrac12$ ไม่ใช่คำถามเกี่ยวกับ $\theta$
Transform the interval before you solve, never afterแปลงช่วงก่อนแก้สมการ ห้ามแปลงทีหลัง
Solve $\sin2\theta=0.5$ for $0\le\theta\le360^{\circ}$แก้ $\sin2\theta=0.5$ เมื่อ $0\le\theta\le360^{\circ}$
- $\sin2\theta=0.5$The bracket is $2\theta$, not $\theta$. Solve for the bracket first.ในวงเล็บคือ $2\theta$ ไม่ใช่ $\theta$ · แก้หาค่าในวงเล็บก่อน
- $0\le\theta\le360^{\circ}$The range is given, so write it down before solving.โจทย์ให้ช่วงมา เขียนลงไปก่อนจะแก้
- $0\le 2\theta\le720^{\circ}$Double the interval too. Miss this and you lose half your answers.ช่วงก็ต้องคูณสองด้วย · ลืมตรงนี้คำตอบหายไปครึ่งหนึ่ง
- $2\theta=30^{\circ},\,150^{\circ}$The two you would give in $0$ to $360$.สองค่าที่จะตอบถ้าช่วงเป็น $0$ ถึง $360$
- $2\theta=390^{\circ},\,510^{\circ}$Add $360^{\circ}$ to each. Both still fit inside $720^{\circ}$.บวก $360^{\circ}$ เข้าไปทั้งคู่ · ยังอยู่ใน $720^{\circ}$ ทั้งสองค่า
- $\theta=15^{\circ},\,75^{\circ},\,195^{\circ},\,255^{\circ}$Divide every one by $2$ at the very end. Four answers, not two.หาร $2$ ทุกค่าตอนท้ายสุด · ได้สี่คำตอบ ไม่ใช่สอง
- $\theta$ satisfies $0^{\circ}\le\theta\le180^{\circ}$ (degrees). What interval does $2\theta$ run over?$\theta$ อยู่ในช่วง $0^{\circ}\le\theta\le180^{\circ}$ (องศา) · แล้ว $2\theta$ วิ่งอยู่ในช่วงไหน?
Answer:เฉลย: $0^{\circ}\le 2\theta\le 360^{\circ}$Double the angle, double the interval: $0^{\circ}\le\theta\le 180^{\circ}$ $\times 2:\ 0^{\circ}\le 2\theta\le 360^{\circ}$ Examiners give this line a mark of its own.คูณสองที่มุม ก็ต้องคูณสองที่ช่วง: $0^{\circ}\le\theta\le 180^{\circ}$ $\times 2:\ 0^{\circ}\le 2\theta\le 360^{\circ}$ บรรทัดนี้มีคะแนนของมันเอง
- With $A=2\theta$ the problem is $\sin A=\tfrac12$ for $0^{\circ}\le A\le360^{\circ}$ (degrees). Which values of $A$ are in that interval?ให้ $A=2\theta$ โจทย์จะกลายเป็น $\sin A=\tfrac12$ เมื่อ $0^{\circ}\le A\le360^{\circ}$ (องศา) · ค่า $A$ ตัวไหนบ้างที่อยู่ในช่วงนี้?
Answer:เฉลย: $A=30^{\circ},\ 150^{\circ}$$A$ is not the answer yet: $\sin A=\tfrac12,\quad 0^{\circ}\le A\le 360^{\circ}$ $A=30^{\circ},\ 150^{\circ}$ $\text{the question asked for }\theta$$A$ ยังไม่ใช่คำตอบ: $\sin A=\tfrac12,\quad 0^{\circ}\le A\le 360^{\circ}$ $A=30^{\circ},\ 150^{\circ}$ $\text{the question asked for }\theta$
- Finish it: solve $\sin 2\theta=\tfrac12$ for $0^{\circ}\le\theta\le180^{\circ}$ (degrees). Give both roots, separated by a comma.ทำต่อให้จบ: แก้ $\sin 2\theta=\tfrac12$ เมื่อ $0^{\circ}\le\theta\le180^{\circ}$ (องศา) · ตอบสองราก คั่นด้วยจุลภาค
Answer:เฉลย: $2\theta=30^{\circ},150^{\circ}\Rightarrow\theta=15^{\circ},\ 75^{\circ}$Change interval, solve, undo: $2\theta=30^{\circ},\ 150^{\circ}$ $\div 2:\ \theta=15^{\circ},\ 75^{\circ}$ You halve at the end because you doubled at the start.เปลี่ยนช่วง · แก้ · แล้วย้อนกลับ: $2\theta=30^{\circ},\ 150^{\circ}$ $\div 2:\ \theta=15^{\circ},\ 75^{\circ}$ หารสองตอนท้าย เพราะคูณสองไว้ตอนต้น
- $\sin(\theta-30^{\circ})=\tfrac12$ for $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$. Before solving: the bracket $\theta-30^{\circ}$ runs between two end values. Give both, separated by a comma.$\sin(\theta-30^{\circ})=\tfrac12$ เมื่อ $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ · ก่อนแก้: ก้อน $\theta-30^{\circ}$ วิ่งระหว่างค่าปลายสองค่า · ตอบทั้งสองค่า คั่นด้วยจุลภาค
Answer:เฉลย: $-30^{\circ}\le\theta-30^{\circ}\le330^{\circ}$A shift moves, never stretches: $0^{\circ}\le\theta\le 360^{\circ}$ $-30^{\circ}:\ -30^{\circ}\le\theta-30^{\circ}\le 330^{\circ}$ The negative end matters. A root at $-10^{\circ}$ is now allowed.การเลื่อน แค่ขยับ ไม่ได้ยืด: $0^{\circ}\le\theta\le 360^{\circ}$ $-30^{\circ}:\ -30^{\circ}\le\theta-30^{\circ}\le 330^{\circ}$ ปลายที่ติดลบสำคัญ · รากที่ $-10^{\circ}$ ใช้ได้แล้ว
- Exam: Solve $\sin(\theta-30^{\circ})=\tfrac12$ for $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ (degrees). Give both roots, separated by a comma. (4 marks)ข้อสอบ: แก้ $\sin(\theta-30^{\circ})=\tfrac12$ เมื่อ $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ (องศา) · ตอบสองราก คั่นด้วยจุลภาค (4 คะแนน)
Answer:เฉลย: $\theta-30^{\circ}=30^{\circ},150^{\circ}\Rightarrow\theta=60^{\circ},\ 180^{\circ}$4 marks: $\text{M1}\quad -30^{\circ}\le\theta-30^{\circ}\le 330^{\circ}$ $\text{A1}\quad \theta-30^{\circ}=30^{\circ}$ $\text{A1}\quad \theta-30^{\circ}=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}$ $\text{A1}\quad \theta=60^{\circ},\ 180^{\circ}$ Same three steps as $\sin 2\theta$, sliding instead of stretching.4 คะแนน: $\text{M1}\quad -30^{\circ}\le\theta-30^{\circ}\le 330^{\circ}$ $\text{A1}\quad \theta-30^{\circ}=30^{\circ}$ $\text{A1}\quad \theta-30^{\circ}=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}$ $\text{A1}\quad \theta=60^{\circ},\ 180^{\circ}$ สามสเต็ปเดิมกับ $\sin 2\theta$ · แค่เลื่อนแทนยืด
7. Quadratics in disguiseสมการกำลังสองที่แฝงตัวมา
Factorise in $\sin\theta$. Then use the interval steps on each root.
Reject the root that is impossible.แยกตัวประกอบในตัวแปร $\sin\theta$ · แล้วใช้ขั้นตอนเรื่องช่วงกับรากแต่ละตัว
ตัดรากที่เป็นไปไม่ได้ทิ้ง
$2\sin^{2}\theta-\sin\theta-1=0$ is $2s^{2}-s-1=0$$2\sin^{2}\theta-\sin\theta-1=0$ ก็คือ $2s^{2}-s-1=0$
Solve for $s$, then put $\sin\theta$ back: two $\sin\theta=k$ equations.แก้หา $s$ แล้วแทน $\sin\theta$ กลับ · ได้สมการ $\sin\theta=k$ สองอัน
- From $(2s+1)(s-1)=0$ with $s=\sin\theta$, what does $2\sin^{2}\theta-\sin\theta-1=0$ give you?จาก $(2s+1)(s-1)=0$ โดย $s=\sin\theta$ · แล้ว $2\sin^{2}\theta-\sin\theta-1=0$ ให้อะไรออกมา?
Answer:เฉลย: $\sin\theta=-\dfrac{1}{2}$ or $\sin\theta=1$Solve for $\sin\theta$, not $\theta$: $(2s+1)(s-1)=0,\quad s=\sin\theta$ $\sin\theta=-\tfrac12\quad\text{or}\quad \sin\theta=1$ $\text{two trig equations, each needs the interval}$ Writing $\theta=$ instead of $\sin\theta=$ is the expensive slip.แก้หาค่า $\sin\theta$ ไม่ใช่ $\theta$: $(2s+1)(s-1)=0,\quad s=\sin\theta$ $\sin\theta=-\tfrac12\quad\text{or}\quad \sin\theta=1$ $\text{two trig equations, each needs the interval}$ เขียน $\theta=$ แทน $\sin\theta=$ คือพลาดที่แพงที่สุด
- Hence solve $2\sin^{2}\theta-\sin\theta-1=0$ for $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ (degrees). Give all three roots, separated by commas.จากนั้นแก้ $2\sin^{2}\theta-\sin\theta-1=0$ เมื่อ $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ (องศา) · ตอบให้ครบทั้งสามราก คั่นด้วยจุลภาค
Answer:เฉลย: $\sin\theta=-\tfrac12\Rightarrow\theta=210^{\circ},330^{\circ}$; $\sin\theta=1\Rightarrow\theta=90^{\circ}$Count the roots on the graph: $\sin\theta=-\tfrac12\ \Rightarrow\ \theta=210^{\circ},\ 330^{\circ}$ $\sin\theta=1\ \Rightarrow\ \theta=90^{\circ}$ $\theta=90^{\circ},\ 210^{\circ},\ 330^{\circ}$ $1$ sits at the very top of the curve, so it gives one angle.นับรากจากกราฟ: $\sin\theta=-\tfrac12\ \Rightarrow\ \theta=210^{\circ},\ 330^{\circ}$ $\sin\theta=1\ \Rightarrow\ \theta=90^{\circ}$ $\theta=90^{\circ},\ 210^{\circ},\ 330^{\circ}$ $1$ อยู่ยอดกราฟพอดี เลยได้มุมเดียว
- Exam: Solve $2\cos^{2}\theta-3\sin\theta=0$ for $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ (degrees). Give all roots, separated by a comma. (5 marks)ข้อสอบ: แก้ $2\cos^{2}\theta-3\sin\theta=0$ เมื่อ $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ (องศา) · ตอบรากให้ครบ คั่นด้วยจุลภาค (5 คะแนน)
Answer:เฉลย: $2(1-\sin^{2}\theta)-3\sin\theta=0\Rightarrow 2\sin^{2}\theta+3\sin\theta-2=0\Rightarrow(2\sin\theta-1)(\sin\theta+2)=0$. $\sin\theta=-2$ is impossible, so $\sin\theta=\tfrac12$ and $\theta=30^{\circ},\ 150^{\circ}$5 marks: $\text{M1}\quad \cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta$ $\text{A1}\quad 2\sin^{2}\theta+3\sin\theta-2=0$ $\text{M1}\quad (2\sin\theta-1)(\sin\theta+2)=0$ $\text{A1}\quad \sin\theta=\tfrac12;\quad \sin\theta=-2\ \text{rejected}$ $\text{A1}\quad \theta=30^{\circ},\ 150^{\circ}$ Write “no solutions since $-1\le\sin\theta\le1$”. Dropping it silently earns nothing.5 คะแนน: $\text{M1}\quad \cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta$ $\text{A1}\quad 2\sin^{2}\theta+3\sin\theta-2=0$ $\text{M1}\quad (2\sin\theta-1)(\sin\theta+2)=0$ $\text{A1}\quad \sin\theta=\tfrac12;\quad \sin\theta=-2\ \text{rejected}$ $\text{A1}\quad \theta=30^{\circ},\ 150^{\circ}$ ต้องเขียน “no solutions since $-1\le\sin\theta\le1$” ตัดทิ้งเฉยๆ ไม่ได้คะแนน
- Exam: Solve $3\sin(2\theta-40^{\circ})=2$ for $0^{\circ}\le\theta\le180^{\circ}$ (degrees), giving your answers to 1 decimal place. Give both roots, separated by a comma. (6 marks)ข้อสอบ: แก้สมการ $3\sin(2\theta-40^{\circ})=2$ ในช่วง $0^{\circ}\le\theta\le180^{\circ}$ (องศา) · ตอบทศนิยม 1 ตำแหน่ง · ตอบทั้งสองราก คั่นด้วยลูกน้ำ (6 คะแนน)
Answer:เฉลย: $2\theta-40^{\circ}=41.8^{\circ},\,138.2^{\circ} \Rightarrow \theta=40.9^{\circ},\,89.1^{\circ}$6 marks: $\text{M1}\quad \sin(2\theta-40^{\circ})=\tfrac23$ $\text{M1}\quad -40^{\circ}\le 2\theta-40^{\circ}\le 320^{\circ}$ $\text{A1}\quad 2\theta-40^{\circ}=41.8^{\circ}$ $\text{A1}\quad 180^{\circ}-41.8^{\circ}=138.2^{\circ}$ $\text{A1}\quad \theta=\dfrac{41.8+40}{2}=40.9^{\circ}$ $\text{A1}\quad \theta=\dfrac{138.2+40}{2}=89.1^{\circ}$ $401.8^{\circ}$ and $-221.8^{\circ}$ fall outside the shifted interval.6 คะแนน: $\text{M1}\quad \sin(2\theta-40^{\circ})=\tfrac23$ $\text{M1}\quad -40^{\circ}\le 2\theta-40^{\circ}\le 320^{\circ}$ $\text{A1}\quad 2\theta-40^{\circ}=41.8^{\circ}$ $\text{A1}\quad 180^{\circ}-41.8^{\circ}=138.2^{\circ}$ $\text{A1}\quad \theta=\dfrac{41.8+40}{2}=40.9^{\circ}$ $\text{A1}\quad \theta=\dfrac{138.2+40}{2}=89.1^{\circ}$ $401.8^{\circ}$ กับ $-221.8^{\circ}$ หลุดช่วงที่เลื่อนแล้ว
- Solve $5\sin\theta=2\cos\theta$ for $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ (degrees), giving your answers to 1 decimal place. Give both roots, separated by a comma.แก้สมการ $5\sin\theta=2\cos\theta$ ในช่วง $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ (องศา) · ตอบทศนิยม 1 ตำแหน่ง · ตอบทั้งสองราก คั่นด้วยลูกน้ำ
Answer:เฉลย: $\tan\theta=\tfrac25 \Rightarrow \theta=21.8^{\circ},\,201.8^{\circ}$Count the powers first: $\text{all first powers}\ \Rightarrow\ \div\cos\theta$ $5\tan\theta=2\ \Rightarrow\ \tan\theta=\tfrac{2}{5}$ $\theta=21.8^{\circ}$ $\tan\text{ repeats every }180^{\circ}\ \Rightarrow\ 21.8+180=201.8^{\circ}$ $\text{a squared term}\ \Rightarrow\ \text{use }\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1\ \text{instead}$ Never $180-21.8$. That partner rule belongs to $\sin$.นับกำลังก่อน: $\text{all first powers}\ \Rightarrow\ \div\cos\theta$ $5\tan\theta=2\ \Rightarrow\ \tan\theta=\tfrac{2}{5}$ $\theta=21.8^{\circ}$ $\tan\text{ repeats every }180^{\circ}\ \Rightarrow\ 21.8+180=201.8^{\circ}$ $\text{a squared term}\ \Rightarrow\ \text{use }\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1\ \text{instead}$ ห้ามใช้ $180-21.8$ · กฎคู่หูอันนั้นของ $\sin$
8. Exercise setชุดโจทย์
The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว
- Solve $2\sin\theta=1$ for $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ (degrees).
Answer:เฉลย: $\sin\theta=\tfrac12$, so $\theta=30^{\circ},\ 150^{\circ}$Same as level 3, with one simplifying step first: divide by 2, then use the partner rule $180^{\circ}-\alpha$.เหมือนขั้นที่ 3 มีขั้นจัดรูปนำหน้าหนึ่งขั้น: หารสองก่อน แล้วใช้กฎมุมคู่ $180^{\circ}-\alpha$
- Solve $\tan\theta=-\sqrt{3}$ for $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ (degrees).
Answer:เฉลย: $\alpha=60^{\circ}$; tan is negative in the 2nd and 4th quarters, so $\theta=120^{\circ},\ 300^{\circ}$Same method, but the value is negative. Take $\alpha=60^{\circ}$ as the size, then place roots by the sign.วิธีเดิม แต่ค่าติดลบ · ให้ใช้ $\alpha=60^{\circ}$ เป็นขนาด แล้ววางรากตามเครื่องหมาย
- Solve $\cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ for $0\le x\le 2\pi$ (radians).
Answer:เฉลย: $x=\dfrac{3\pi}{4},\ \dfrac{5\pi}{4}$New letter and radians instead of degrees. The reference angle is $\tfrac{\pi}{4}$; cos is negative on the left half.เปลี่ยนตัวอักษรและเป็นเรเดียน · มุมอ้างอิงคือ $\tfrac{\pi}{4}$ ส่วน cos ติดลบที่ครึ่งซ้าย
- Solve $\sin 2\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}$ for $0^{\circ}\le\theta\le180^{\circ}$ (degrees).
Answer:เฉลย: $0^{\circ}\le2\theta\le360^{\circ}$, so $2\theta=60^{\circ},120^{\circ}$ and $\theta=30^{\circ},\ 60^{\circ}$Here the interval change joins the solving steps: double the interval, find both roots for $2\theta$, then halve.ข้อนี้เอาการแปลงช่วงมาต่อกับขั้นตอนแก้สมการ: คูณสองที่ช่วง หารากของ $2\theta$ แล้วหารสอง
- (4 marks) (a)(ก) Show that $2\sin^{2}\theta+3\cos\theta-3=0$ can be written as $2\cos^{2}\theta-3\cos\theta+1=0$. (2 marks) (b)(ข) Hence solve $2\sin^{2}\theta+3\cos\theta-3=0$ for $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$.
Answer:เฉลย: (a) $2(1-\cos^{2}\theta)+3\cos\theta-3=0\Rightarrow-2\cos^{2}\theta+3\cos\theta-1=0\Rightarrow2\cos^{2}\theta-3\cos\theta+1=0$ (b) $(2\cos\theta-1)(\cos\theta-1)=0$, so $\cos\theta=\tfrac12$ or $1$: $\theta=0^{\circ},\ 60^{\circ},\ 300^{\circ},\ 360^{\circ}$Full exam shape: 'show that' is the identity step, 'hence' starts part (b) from it. $\cos\theta=1$ gives both endpoints.หน้าตาข้อสอบเต็มรูปแบบ: 'show that' คือขั้นพิสูจน์เอกลักษณ์ 'hence' แปลว่าข้อ (b) เริ่มจากบรรทัดนั้น · สังเกตว่า $\cos\theta=1$ ให้ปลายช่วงทั้งสอง
- A student solves $\sin 2\theta=\tfrac12$ for $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ and writes: "$2\theta=30^{\circ}$ or $150^{\circ}$, so $\theta=15^{\circ}$ or $75^{\circ}$." Find the error and give the full solution.
Answer:เฉลย: The interval was never doubled: $0^{\circ}\le2\theta\le720^{\circ}$, so $2\theta=30^{\circ},150^{\circ},390^{\circ},510^{\circ}$ and $\theta=15^{\circ},\ 75^{\circ},\ 195^{\circ},\ 255^{\circ}$Every line the student wrote is correct. The missing line comes first: two roots should be four.ทุกบรรทัดที่นักเรียนเขียนถูกหมด · บรรทัดที่หายไปคือบรรทัดแรกสุด: สองรากควรเป็นสี่ราก
- (5 marks) (a)(ก) Show that $3\sin^{2}\theta=2+2\cos\theta$ can be written as $3\cos^{2}\theta+2\cos\theta-1=0$. (2 marks) (b)(ข) Hence solve $3\sin^{2}\theta=2+2\cos\theta$ for $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$, giving your answers to $1$ decimal place where appropriate.
Answer:เฉลย: (a) $3(1-\cos^{2}\theta)=2+2\cos\theta\Rightarrow3\cos^{2}\theta+2\cos\theta-1=0$ (b) $(3\cos\theta-1)(\cos\theta+1)=0$, so $\cos\theta=\tfrac13$ or $\cos\theta=-1$: $\theta=70.5^{\circ},\ 289.5^{\circ},\ 180^{\circ}$This uses an identity, a quadratic, both roots of one factor, and the single root from $\cos\theta=-1$: allowed.ข้อนี้ใช้เอกลักษณ์ สมการกำลังสอง รากทั้งสองจากตัวประกอบหนึ่ง และรากเดี่ยวจาก $\cos\theta=-1$ ซึ่งใช้ได้
All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี