Binomial series · practice ladders ชุดไต่ระดับ · อนุกรมทวินาม
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Binomial series · expanding for a negative or fractional power
(a) Find the binomial expansion of $(1 + 4x)^{-3}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^3$, simplifying each coefficient.
(b) State the range of values of $x$ for which the expansion is valid.
For $n = -2$, evaluate $\dfrac{n(n-1)}{2!}$.
เมื่อ $n = -2$ จงหาค่า $\dfrac{n(n-1)}{2!}$
Answershow ▾
This is the pattern that replaces $\binom{n}{k}$ once $n$ is negative or a fraction — it still means exactly the same thing: multiply $k$ falling factors of $n$ together and divide by $k!$.
Expand $(1+x)^{-2}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^2$.
จงกระจาย $(1+x)^{-2}$ ในรูปกำลังเรียงจากน้อยไปมากของ $x$ ถึงพจน์ $x^2$
Answershow ▾
Use $(1+u)^n = 1 + nu + \dfrac{n(n-1)}{2!}u^2$ $+\, \dfrac{n(n-1)(n-2)}{3!}u^3 + \cdots$ with $u = x$ and this $n$ — the series never terminates here, so stop deliberately at $x^2$ rather than because a coefficient became $0$.
The expansion $(1+u)^n = 1 + nu + \cdots$ is only valid when $|u| \lt 1$. If $u = 6x$, write down the range of values of $x$ for which the expansion is valid.
การกระจาย $(1+u)^n = 1 + nu + \cdots$ ใช้ได้เมื่อ $|u| \lt 1$ เท่านั้น ถ้า $u = 6x$ จงหาช่วงของค่า $x$ ที่ทำให้การกระจายใช้ได้
Answershow ▾
Divide the whole inequality $|u| \lt 1$ through by the coefficient of $x$ inside $u$ — this is exactly how part (b) of the exam question is answered.
The formula only knows $(1 + u)^{n}$. For $(1 + 4x)^{-3}$, write down $n$ and write down $u$. A student gives the term in $x$ as $-3x$. Which of the two did they get wrong, and what is the correct term?
สูตรรู้จักแต่รูป $(1 + u)^{n}$ · สำหรับ $(1 + 4x)^{-3}$ จงเขียนค่า $n$ และค่า $u$ · นักเรียนคนหนึ่งตอบพจน์ที่มี $x$ ว่า $-3x$ · เขาผิดที่ตัวไหนในสองตัวนั้น และพจน์ที่ถูกคืออะไร
Answershow ▾
$u$ is everything that sits with the $1$ inside the bracket, and it carries its own coefficient into every single term: $u^2 = 16x^2$, $u^3 = 64x^3$. Take $u = x$ and all three coefficients come out too small by a factor of $4$, $16$ and $64$ respectively — three wrong answers from one unstated decision. Naming $n$ and $u$ out loud before starting costs one line and earns no mark.$u$ คือทุกอย่างที่อยู่กับเลข $1$ ในวงเล็บ และมันพาสัมประสิทธิ์ของตัวเองเข้าไปในทุกพจน์: $u^2 = 16x^2$, $u^3 = 64x^3$ · ถ้าใช้ $u = x$ สัมประสิทธิ์ทั้งสามจะเล็กเกินไป $4$, $16$ และ $64$ เท่าตามลำดับ คือคำตอบผิดสามข้อจากการตัดสินใจที่ไม่เคยเขียนออกมาครั้งเดียว · การเขียน $n$ กับ $u$ ออกมาก่อนเริ่มใช้บรรทัดเดียวและไม่มีคะแนน
Find the first two terms (up to and including the term in $x$) of the expansion of $(1 + 4x)^{-3}$, simplifying the coefficient.
Answershow ▾
$u = 4x$, so the term in $x$ is $nu = -3 \times 4x = -12x$.
Find the coefficients of $x^2$ and $x^3$ in the expansion of $(1 + 4x)^{-3}$, simplified.
Answershow ▾
$\dfrac{n(n-1)}{2!}(4)^2 = 96$ and $\dfrac{n(n-1)(n-2)}{3!}(4)^3 = -640$.
$(1 + x)^{5}$ has six terms and then stops. $(1 + 4x)^{-3}$ never stops. Which feature of $n$ decides that — and since nothing stops it, what tells you where to stop writing?
$(1 + x)^{5}$ มีหกพจน์แล้วจบ · $(1 + 4x)^{-3}$ ไม่มีวันจบ · ลักษณะใดของ $n$ เป็นตัวตัดสิน และเมื่อไม่มีอะไรหยุดมัน อะไรบอกว่าจะหยุดเขียนตรงไหน
Answershow ▾
With $n = 5$ the sixth coefficient contains the factor $(5 - 5) = 0$ and the series dies of its own accord. With $n = -3$ the running product $-3,\, -4,\, -5,\, \ldots$ never hits zero, so the series is infinite and the instruction line is the only thing that ends it. Stopping one term early loses a mark that is written down; carrying on to $x^{4}$ wastes a minute and can lose an accuracy mark for an unasked-for term. Nothing pays for reading the words.เมื่อ $n = 5$ สัมประสิทธิ์ตัวที่หกมีตัวประกอบ $(5 - 5) = 0$ อนุกรมจึงตายไปเอง · เมื่อ $n = -3$ ผลคูณต่อเนื่อง $-3,\, -4,\, -5,\, \ldots$ ไม่มีวันเป็นศูนย์ อนุกรมจึงยาวไม่สิ้นสุด และมีแต่บรรทัดคำสั่งเท่านั้นที่หยุดมันได้ · หยุดเร็วไปหนึ่งพจน์คือเสียคะแนนที่เขียนไว้ให้ ส่วนเขียนต่อถึง $x^{4}$ เสียเวลาหนึ่งนาที และอาจเสียคะแนนความถูกต้องจากพจน์ที่ไม่ได้ถูกถาม · ไม่มีคะแนนให้กับการอ่านคำสั่ง
For the expansion of $(1 + 4x)^{-3}$, state the range of values of $x$ for which it is valid.
Answershow ▾
Same move as question 3, with $u = 4x$: $|4x| \lt 1 \iff - \frac{1}{4} \lt x \lt \frac{1}{4}$. This is part (b) in full.
The expansion is valid when $|u| \lt 1$, and $u$ is not $x$. Which of these is the answer to part (b), and where does each of the other two come from?
(A) $-1 \lt x \lt 1$ (B) $-\dfrac{1}{4} \lt x \lt \dfrac{1}{4}$ (C) $-4 \lt x \lt 4$
การกระจายใช้ได้เมื่อ $|u| \lt 1$ และ $u$ ไม่ใช่ $x$ · ข้อไหนคือคำตอบของข้อ (b) และอีกสองข้อมาจากไหน
(A) $-1 \lt x \lt 1$ (B) $-\dfrac{1}{4} \lt x \lt \dfrac{1}{4}$ (C) $-4 \lt x \lt 4$
Answershow ▾
(A) is the range for $u$ itself, written down without translating it into $x$. (C) multiplies by $4$ where it should divide, which is the same slip in reverse. The rule is one line long: whatever the bracket calls $u$, divide the whole inequality by the coefficient of $x$ inside it. Note also that the range depends only on $u$ — it is the same whether you stopped at $x^{3}$ or at $x^{30}$. The B1 pays for the finished inequality; nothing pays for noticing that $u \ne x$.(A) คือช่วงของ $u$ เอง เขียนลงไปโดยไม่แปลงกลับเป็น $x$ · (C) คูณด้วย $4$ ทั้งที่ต้องหาร คือความพลาดเดียวกันกลับด้าน · กฎยาวบรรทัดเดียว: ไม่ว่า $u$ ในวงเล็บคืออะไร ให้หารอสมการทั้งอันด้วยสัมประสิทธิ์ของ $x$ ที่อยู่ในนั้น · สังเกตด้วยว่าช่วงนี้ขึ้นกับ $u$ อย่างเดียว จะหยุดที่ $x^{3}$ หรือ $x^{30}$ ก็ได้ช่วงเดียวกัน · B1 ให้กับอสมการที่เขียนเสร็จ ไม่มีคะแนนให้กับการสังเกตว่า $u \ne x$
Hence expand $(1 + 4x)^{-3}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^3$.
Answershow ▾
Questions 4 and 5 side by side, in order — this is part (a) of the exam question in full.
The expansion of $(1 + 4x)^{-3}$ is $1 - 12x + 96x^2 - 640x^3$. State the range of values of $x$ for which this expansion is valid.
Answershow ▾
Same as question 6 — the validity range depends only on $u = ax$, not on how far the series has been expanded. This is part (b).
(a) Find the binomial expansion of $(1+x)^{- \frac{1}{2}}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^3$, simplifying each coefficient.
(b) State the range of values of $x$ for which the expansion is valid.
Answershow ▾
Same two parts as the exam question, but with easier numbers throughout.
(a) Find the binomial expansion of $(1 + 4x)^{-3}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^3$, simplifying each coefficient.
(b) State the range of values of $x$ for which the expansion is valid.
Answershow ▾
7 marks. Questions 4 and 5 build part (a); question 6 (same as question 8) is part (b).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Binomial series · factor out first, then expand
(a) Express $\dfrac{1}{\sqrt{9 + 2x}}$ in the form $\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{9}x\right)^{- \frac{1}{2}}$, and hence find its binomial expansion in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^3$, simplifying each coefficient.
(b) State the range of values of $x$ for which the expansion is valid.
(c) Use the expansion, with a suitable value of $x$, to estimate $\dfrac{1}{\sqrt{9.02}}$, giving your answer to 3 decimal places.
Write $4 + x$ in the form $4\left(1+cx\right)$, stating the value of $c$.
จงเขียน $4 + x$ ในรูป $4(1+cx)$ พร้อมระบุค่า $c$
Answershow ▾
Take out the factor of $4$ from every term: $4 + x = 4\left(1+\dfrac{1}{4}x\right)$ — this is the step the whole exam question depends on.
Find the value of $4^{- \frac{1}{2}}$.
จงหาค่า $4^{- \frac{1}{2}}$
Answershow ▾
$A^n$ becomes an ordinary root once you remember what the power means — a negative power flips it to a fraction, and a power of $\tfrac12$ or $\tfrac13$ is a square or cube root.
Given that $\left(1+\frac{1}{4}x\right)^m$ is valid for $\left|\frac{1}{4}x\right| \lt 1$, state the range of values of $x$.
กำหนดให้ $\left(1+\frac{1}{4}x\right)^m$ ใช้ได้เมื่อ $\left|\frac{1}{4}x\right| \lt 1$ จงหาช่วงของค่า $x$
Answershow ▾
Divide $|u| \lt 1$ through by the coefficient of $x$ inside $u$ — exactly as in the unfactored case, just with a fraction for a coefficient now.
$(9 + 2x)^{-1/2}$ is not in the shape the formula knows. Which of these puts it there, and what happens to the number you took out?
(A) $\left(9 + 2x\right)^{-1/2}$ as it stands (B) $9^{-1/2}\left(1 + \frac{2}{9}x\right)^{-1/2}$ (C) $\left(1 + \frac{2}{9}x\right)^{-1/2}$
$(9 + 2x)^{-1/2}$ ยังไม่อยู่ในรูปที่สูตรรู้จัก · ข้อไหนจัดให้อยู่ในรูปนั้น และตัวเลขที่ดึงออกมาเกิดอะไรขึ้น
(A) $\left(9 + 2x\right)^{-1/2}$ ตามเดิม (B) $9^{-1/2}\left(1 + \frac{2}{9}x\right)^{-1/2}$ (C) $\left(1 + \frac{2}{9}x\right)^{-1/2}$
Answershow ▾
(A) has no $1$ to expand around, so the formula simply does not apply. (C) drops the $9$ altogether, which changes the function: every term of the answer would be three times too big. The factor does not disappear — it comes out through the power and lands in front as $\tfrac13$. The question hands you the finished form this time; next time it will not, and the M1 is written for the expansion, not for the factorisation that made it possible.(A) ไม่มีเลข $1$ ให้กระจายรอบ ๆ สูตรจึงใช้ไม่ได้เลย · (C) ทิ้งเลข $9$ ไปทั้งตัว ซึ่งเปลี่ยนฟังก์ชัน ทุกพจน์ของคำตอบจะใหญ่เกินไปสามเท่า · ตัวประกอบไม่ได้หายไป มันออกมาผ่านเลขชี้กำลังแล้วมายืนอยู่ข้างหน้าเป็น $\tfrac13$ · ข้อนี้โจทย์เขียนรูปสำเร็จมาให้ ครั้งหน้าจะไม่เขียนให้ และ M1 เขียนไว้สำหรับการกระจาย ไม่ใช่สำหรับการแยกตัวประกอบที่ทำให้กระจายได้
Write $9 + 2x$ in the form $9\left(1+\frac{2}{9}x\right)$, and state the value of $9^{- \frac{1}{2}}$.
Answershow ▾
Same move as questions 1 and 2 together — this turns $\dfrac{1}{\sqrt{9 + 2x}}$ into $\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{9}x\right)^{- \frac{1}{2}}$, which now has the standard $(1+u)^n$ shape.
Expand $\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{9}x\right)^{- \frac{1}{2}}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^3$, simplifying each coefficient.
Answershow ▾
Use $(1+u)^n = 1 + nu + \dfrac{n(n-1)}{2!}u^2$ $+\, \dfrac{n(n-1)(n-2)}{3!}u^3 + \cdots$ with $u = \frac{2}{9}x$, then multiply every term by $\frac{1}{3}$.
The $\tfrac{1}{3}$ sits outside the bracket. Which of these two is the expansion of $\tfrac{1}{3}\left(1 + \tfrac{2}{9}x\right)^{-1/2}$, and what has the other one done?
(A) $\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{27}x + \dfrac{1}{162}x^2 - \dfrac{5}{4374}x^3$ (B) $\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{9}x + \dfrac{1}{54}x^2 - \dfrac{5}{1458}x^3$
$\tfrac{1}{3}$ อยู่นอกวงเล็บ · ข้อไหนคือการกระจายของ $\tfrac{1}{3}\left(1 + \tfrac{2}{9}x\right)^{-1/2}$ และอีกข้อทำอะไรผิด
(A) $\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{27}x + \dfrac{1}{162}x^2 - \dfrac{5}{4374}x^3$ (B) $\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{9}x + \dfrac{1}{54}x^2 - \dfrac{5}{1458}x^3$
Answershow ▾
The $\tfrac13$ is a factor of the WHOLE bracket, so it multiplies every term of the expansion, not just the leading $1$. (B) is what you get by expanding the bracket, writing the $\tfrac13$ in front of the first term out of habit, and forgetting it thereafter — and it looks convincing, because its first term is right. Multiply through as the last action, on every term at once. The A1 marks are per coefficient, so this single lapse loses three of them.$\tfrac13$ เป็นตัวประกอบของวงเล็บ "ทั้งก้อน" มันจึงคูณทุกพจน์ของการกระจาย ไม่ใช่แค่เลข $1$ ตัวแรก · (B) คือสิ่งที่ได้จากการกระจายวงเล็บ แล้วเขียน $\tfrac13$ ไว้หน้าพจน์แรกตามความเคยชิน แล้วลืมมันหลังจากนั้น และมันดูน่าเชื่อเพราะพจน์แรกถูก · ให้คูณเป็นขั้นสุดท้าย ทุกพจน์พร้อมกัน · คะแนน A1 ให้เป็นรายสัมประสิทธิ์ ความพลาดครั้งเดียวนี้จึงเสียไปสามคะแนน
For the expansion of $\dfrac{1}{\sqrt{9 + 2x}}$, state the range of values of $x$ for which it is valid.
Answershow ▾
Same move as question 3: $\left|\frac{2}{9}x\right| \lt 1 \iff - \frac{9}{2} \lt x \lt \frac{9}{2}$. This is part (b) in full.
Express $\dfrac{1}{\sqrt{9 + 2x}}$ in the form $\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{9}x\right)^{- \frac{1}{2}}$, hence expand it up to and including the term in $x^3$, and state the range of values of $x$ for which the expansion is valid.
Answershow ▾
Questions 4, 5 and 6 chained — parts (a) and (b) of the exam question, in order.
The expansion of $\dfrac{1}{\sqrt{9 + 2x}}$ is $\frac{1}{3} - \frac{1}{27}x + \frac{1}{162}x^2 - \frac{5}{4374}x^3$. Use a suitable small value of $x$ to estimate $\dfrac{1}{\sqrt{9.02}}$, giving your answer to 3 decimal places.
Answershow ▾
$9 + 2x$ equals $9.02$ when $x = 0.01$ — a value well inside the validity range from question 6, which is exactly why the estimate is trustworthy. Substitute it into every term of the expansion, then round.
Part (c) says use a suitable value of $x$. Solve $9 + 2x = 9.02$ for $x$, then check that value against the range you found in part (b). Then say what would go wrong if the question had asked you to estimate $\dfrac{1}{\sqrt{19}}$ from the same expansion.
ข้อ (c) สั่งให้ใช้ค่า $x$ ที่ เหมาะสม · จงแก้ $9 + 2x = 9.02$ หาค่า $x$ แล้วตรวจค่านั้นกับช่วงที่ได้จากข้อ (b) · แล้วบอกว่าถ้าโจทย์ให้ประมาณ $\dfrac{1}{\sqrt{19}}$ จากการกระจายเดียวกัน จะเกิดอะไรขึ้น
Answershow ▾
“Suitable” does two jobs: the value has to reproduce the number you want, and it has to lie inside the validity range, or the series is not approaching anything. $x = 0.01$ is tiny, so the $x^{3}$ term is around $10^{-8}$ and three decimal places are safe. $x = 5$ sits beyond $\tfrac92$, where the terms grow instead of shrinking and the four-term answer is nonsense that still looks like a number. Part (b) exists to make part (c) trustworthy, and no mark connects them.คำว่า "suitable" ทำสองหน้าที่: ค่านั้นต้องให้ตัวเลขที่ต้องการ และต้องอยู่ในช่วงที่ใช้ได้ ไม่อย่างนั้นอนุกรมไม่ได้ลู่เข้าหาอะไรเลย · $x = 0.01$ เล็กมาก พจน์ $x^{3}$ จึงประมาณ $10^{-8}$ และทศนิยมสามตำแหน่งปลอดภัย · $x = 5$ อยู่เลย $\tfrac92$ ออกไป ตรงนั้นพจน์โตขึ้นแทนที่จะเล็กลง และคำตอบสี่พจน์เป็นเรื่องไร้สาระที่ยังดูเหมือนตัวเลข · ข้อ (b) มีอยู่เพื่อทำให้ข้อ (c) เชื่อถือได้ และไม่มีคะแนนไหนเชื่อมสองข้อนี้เข้าด้วยกัน
(a) Express $\dfrac{1}{\sqrt{4 + x}}$ in the form $\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{4}x\right)^{- \frac{1}{2}}$, and hence find its binomial expansion up to and including the term in $x^3$, simplifying each coefficient.
(b) State the range of values of $x$ for which the expansion is valid.
(c) Use the expansion to estimate $\dfrac{1}{\sqrt{4.08}}$, to 3 decimal places.
Answershow ▾
Same three parts as the exam question, but with easier numbers throughout.
(a) Express $\dfrac{1}{\sqrt{9 + 2x}}$ in the form $\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{9}x\right)^{- \frac{1}{2}}$, and hence find its binomial expansion in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^3$, simplifying each coefficient.
(b) State the range of values of $x$ for which the expansion is valid.
(c) Use the expansion, with a suitable value of $x$, to estimate $\dfrac{1}{\sqrt{9.02}}$, giving your answer to 3 decimal places.
Answershow ▾
8 marks. Questions 4 and 5 build part (a); question 6 is part (b); question 8 is part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Already in 1+u form, a negative power อยู่ในรูป 1+u แล้ว กำลังเป็นลบ
Find, in ascending powers of $x$ up to and including the term in $x^{3}$, the binomial expansion of $(1-4x)^{-3}$, $x\lt\tfrac14$, fully simplifying each term.
หาการกระจายทวินาม (binomial expansion) ของ $(1-4x)^{-3}$ เรียงกำลัง $x$ จากน้อยไปมาก ถึงพจน์ $x^{3}$ เมื่อ $x\lt\tfrac14$ โดยทำแต่ละพจน์ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด
Work out $\dfrac{n(n-1)}{2!}$ when $n=-3$.
จงหา $\dfrac{n(n-1)}{2!}$ เมื่อ $n=-3$
Answershow ▾
A negative times a negative is positive; then divide by $2!=2$.ลบคูณลบได้บวก แล้วหารด้วย $2!=2$
Expand $(-4x)^{2}$.
จงกระจาย $(-4x)^{2}$
Answershow ▾
A negative squared is positive.ลบยกกำลังสองได้บวก
Work out $\dfrac{n(n-1)(n-2)}{3!}$ when $n=-3$.
จงหา $\dfrac{n(n-1)(n-2)}{3!}$ เมื่อ $n=-3$
Answershow ▾
Three negatives multiply to a negative; $3!=6$.ลบสามตัวคูณกันได้ลบ และ $3!=6$
$(1-4x)^{-3}$ is already in the form $(1+u)^{n}$. Pick the correct $n$ and $u$ to substitute.
(A) $n=-3$, $u=-4x$
(B) $n=-3$, $u=4x$
(C) $n=3$, $u=-4x$
$(1-4x)^{-3}$ อยู่ในรูป $(1+u)^{n}$ แล้ว จงเลือก $n$ และ $u$ ที่ถูกต้อง
(A) $n=-3$, $u=-4x$
(B) $n=-3$, $u=4x$
(C) $n=3$, $u=-4x$
Answershow ▾
(B) uses $u=4x$, which matches the bracket $1+4x$, not $1-4x$ - the minus sign on the $4x$ term has to carry over into $u$. (C) drops the minus sign on the power, giving $n=3$ - that is the expansion of $(1-4x)^{3}$, a different, finite expression.(B) ใช้ $u=4x$ ซึ่งตรงกับวงเล็บ $1+4x$ ไม่ใช่ $1-4x$ เครื่องหมายลบของ $4x$ ต้องติดไปกับ $u$ด้วย · (C) ทิ้งเครื่องหมายลบของกำลัง ได้ $n=3$ ซึ่งเป็นการกระจาย $(1-4x)^{3}$ ที่เป็นพหุนามจบ ไม่ใช่โจทย์นี้
Work out the $x$ term of $(1-4x)^{-3}$: $nu$ with $n=-3$, $u=-4x$.
จงหาพจน์ $x$ ของ $(1-4x)^{-3}$: $nu$ เมื่อ $n=-3$, $u=-4x$
Answershow ▾
Multiply $n$ by $u$.คูณ $n$ ด้วย $u$
Work out the $x^{2}$ term: $\dfrac{n(n-1)}{2!}u^{2}$, using question 1 and question 2.
จงหาพจน์ $x^{2}$: $\dfrac{n(n-1)}{2!}u^{2}$ โดยใช้ผลจากข้อ 1 และข้อ 2
Answershow ▾
Multiply question 1's $6$ by question 2's $16x^{2}$.คูณ $6$ จากข้อ 1 ด้วย $16x^{2}$ จากข้อ 2
Work out the $x^{3}$ term: $\dfrac{n(n-1)(n-2)}{3!}u^{3}$, using question 3.
จงหาพจน์ $x^{3}$: $\dfrac{n(n-1)(n-2)}{3!}u^{3}$ โดยใช้ผลจากข้อ 3
Answershow ▾
$(-4x)^{3}=-64x^{3}$; question 3's $-10$ times a negative is positive.$(-4x)^3=-64x^3$ และ $-10$ จากข้อ 3 คูณกับค่าลบได้บวก
Write $(1-4x)^{-3}$ as $1$ plus the $x$, $x^{2}$ and $x^{3}$ terms from questions 4, 5 and 6.
จงเขียน $(1-4x)^{-3}$ เป็น $1$ บวกพจน์ $x$, $x^{2}$ และ $x^{3}$ จากข้อ 4, 5 และ 6
Answershow ▾
Same three terms, now in one line after the leading $1$.สามพจน์เดิม นำมาต่อกันหลังเลข $1$
Check that $(1-4x)^{-3}$ and $1+12x+96x^{2}+640x^{3}$ agree numerically at $x=0.01$.
จงตรวจเชิงตัวเลขว่า $(1-4x)^{-3}$ กับ $1+12x+96x^{2}+640x^{3}$ ได้ค่าใกล้เคียงกันเมื่อ $x=0.01$
Answershow ▾
$x$ is small, so the two sides are close but not exactly equal.$x$ มีค่าน้อย ทั้งสองข้างจึงใกล้เคียงกันแต่ไม่เท่ากันพอดี
Find, in ascending powers of $x$ up to and including the term in $x^{3}$, the binomial expansion of $(1-2x)^{-3}$.
จงหาการกระจายทวินามของ $(1-2x)^{-3}$ เรียงกำลัง $x$ จากน้อยไปมาก ถึงพจน์ $x^{3}$
Answershow ▾
Same three steps: $n=-3$, $u=-2x$ this time.สามขั้นเดิม แต่ครั้งนี้ $n=-3$, $u=-2x$
Find, in ascending powers of $x$ up to and including the term in $x^{3}$, the binomial expansion of $(1-4x)^{-3}$, $x\lt\tfrac14$, fully simplifying each term.
หาการกระจายทวินาม (binomial expansion) ของ $(1-4x)^{-3}$ เรียงกำลัง $x$ จากน้อยไปมาก ถึงพจน์ $x^{3}$ เมื่อ $x\lt\tfrac14$ โดยทำแต่ละพจน์ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด
Answershow ▾
4 marks: one method mark for the series with $n=-3$, $u=-4x$, then one accuracy mark per term.4 คะแนน: M1 ใส่สูตรอนุกรมด้วย $n=-3$, $u=-4x$ แล้ว A1 ต่อพจน์
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Factor out the constant first ดึงค่าคงที่ออกก่อน
(a) Find the first four terms, in ascending powers of $x$, of the binomial expansion of $(2-5x)^{-2}$, writing each term in simplest form.
(b) Find the range of values of $x$ for which this expansion is valid.
(ก) หาสี่พจน์แรกของการกระจายทวินามของ $(2-5x)^{-2}$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก แต่ละพจน์ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด
(ข) หาช่วงค่าของ $x$ ที่ทำให้การกระจายนี้ใช้ได้
Write $(2-5x)^{-2}$ as $2^{-2}$ multiplied by a bracket starting with $1$.
จงเขียน $(2-5x)^{-2}$ เป็น $2^{-2}$ คูณวงเล็บที่ขึ้นต้นด้วย $1$
Answershow ▾
Divide $-5x$ by the $2$ you are factoring out.หาร $-5x$ ด้วย $2$ ที่ดึงออกมา
Work out $2^{-2}$.
จงหา $2^{-2}$
Answershow ▾
A negative power flips the base to a fraction.กำลังเป็นลบ กลับฐานเป็นเศษส่วน
Work out $\dfrac{n(n-1)}{2!}$ when $n=-2$.
จงหา $\dfrac{n(n-1)}{2!}$ เมื่อ $n=-2$
Answershow ▾
A negative times a negative is positive; then divide by $2!=2$.ลบคูณลบได้บวก แล้วหารด้วย $2!=2$
After factoring, $(2-5x)^{-2}=2^{-2}\left(1-\tfrac52x\right)^{-2}$. Pick the correct $n$ and $u$ for the series.
(A) $n=-2$, $u=-\tfrac52x$
(B) $n=-2$, $u=-5x$
(C) $n=-2$, $u=\tfrac52x$
หลังดึง $2^{-2}$ ออกแล้ว $(2-5x)^{-2}=2^{-2}\left(1-\tfrac52x\right)^{-2}$ จงเลือก $n$ และ $u$ ที่ถูกต้อง
(A) $n=-2$, $u=-\tfrac52x$
(B) $n=-2$, $u=-5x$
(C) $n=-2$, $u=\tfrac52x$
Answershow ▾
(B) uses $-5x$, the coefficient BEFORE factoring - but the bracket is now $1-\tfrac52x$, so $u$ must match what is inside it. (C) drops the minus sign, matching $1+\tfrac52x$ instead of $1-\tfrac52x$.(B) ใช้ $-5x$ ซึ่งเป็นสัมประสิทธิ์ก่อนดึงตัวประกอบออก แต่วงเล็บตอนนี้คือ $1-\tfrac52x$ แล้ว $u$ ต้องตรงกับข้างในวงเล็บ · (C) ทิ้งเครื่องหมายลบ กลายเป็นตรงกับ $1+\tfrac52x$ ไม่ใช่ $1-\tfrac52x$
Work out the inner $x$ term: $nu$ with $n=-2$, $u=-\tfrac52x$.
จงหาพจน์ $x$ ในวงเล็บ: $nu$ เมื่อ $n=-2$, $u=-\tfrac52x$
Answershow ▾
Multiply $n$ by $u$; this is before the $\tfrac14$ is applied.คูณ $n$ ด้วย $u$ ก่อนคูณด้วย $\tfrac14$
Work out the inner $x^{2}$ term: $\dfrac{n(n-1)}{2!}u^{2}$, using question 3's $3$.
จงหาพจน์ $x^{2}$ในวงเล็บ: $\dfrac{n(n-1)}{2!}u^{2}$ โดยใช้ $3$ จากข้อ 3
Answershow ▾
$\left(-\tfrac52x\right)^{2}=\tfrac{25}{4}x^{2}$, then multiply by $3$.$\left(-\tfrac52x\right)^2=\tfrac{25}{4}x^2$ แล้วคูณด้วย $3$
Work out the inner $x^{3}$ term: $\dfrac{n(n-1)(n-2)}{3!}u^{3}$.
จงหาพจน์ $x^{3}$ในวงเล็บ: $\dfrac{n(n-1)(n-2)}{3!}u^{3}$
Answershow ▾
$\left(-\tfrac52x\right)^{3}=-\tfrac{125}{8}x^{3}$; a negative times a negative is positive.$\left(-\tfrac52x\right)^3=-\tfrac{125}{8}x^3$ และลบคูณลบได้บวก
Multiply the inner terms $1$, $5x$, $\tfrac{75}{4}x^{2}$, $\tfrac{125}{2}x^{3}$ by $\tfrac14$.
จงคูณพจน์ในวงเล็บ $1$, $5x$, $\tfrac{75}{4}x^{2}$, $\tfrac{125}{2}x^{3}$ ด้วย $\tfrac14$
Answershow ▾
Multiply each term by $\tfrac14$ in turn.คูณแต่ละพจน์ด้วย $\tfrac14$ ทีละพจน์
Find the range of values of $x$ for which the expansion is valid.
จงหาช่วงค่าของ $x$ ที่ทำให้การกระจายนี้ใช้ได้
Answershow ▾
The series needs $|u|\lt1$.อนุกรมต้องมี $|u|\lt1$
Find the first four terms, in ascending powers of $x$, of the binomial expansion of $(2-4x)^{-2}$, and the range of values of $x$ for which it is valid.
จงหาสี่พจน์แรกของการกระจายทวินามของ $(2-4x)^{-2}$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก และหาช่วงค่าของ $x$ ที่ใช้ได้
Answershow ▾
Same five steps: factor, series, three terms, then validity.ห้าขั้นเดิม: ดึงตัวประกอบ ใส่สูตรอนุกรม หาสามพจน์ แล้วหาช่วงที่ใช้ได้
(a) Find the first four terms, in ascending powers of $x$, of the binomial expansion of $(2-5x)^{-2}$, writing each term in simplest form.
(b) Find the range of values of $x$ for which this expansion is valid.
(ก) หาสี่พจน์แรกของการกระจายทวินามของ $(2-5x)^{-2}$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก แต่ละพจน์ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด
(ข) หาช่วงค่าของ $x$ ที่ทำให้การกระจายนี้ใช้ได้
Answershow ▾
5 marks: factor the constant, apply the series, three terms, then the validity mark.5 คะแนน: ดึงค่าคงที่ ใส่สูตรอนุกรม หาสามพจน์ แล้วคะแนนช่วงที่ใช้ได้
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
An unknown constant inside the bracket ค่าคงที่ที่ไม่รู้ค่าในวงเล็บ
The binomial expansion of $(3+kx)^{-2}$, $|kx|\lt3$, where $k$ is a non-zero constant, may be written in the form $A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}+\cdots$ where $A$, $B$, $C$ and $D$ are constants.
(a) Find the value of $A$.
(b) Given that $C=3B$, show that $k^{2}+6k=0$.
(c) (i) find the value of $k$, (ii) find the value of $D$.
การกระจายทวินาม (binomial expansion) ของ $(3+kx)^{-2}$ เมื่อ $|kx|\lt3$ และ $k$ เป็นค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ เขียนได้ในรูป $A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}+\cdots$ โดยที่ $A$, $B$, $C$ และ $D$ เป็นค่าคงที่
(ก) หาค่าของ $A$
(ข) กำหนดให้ $C=3B$ จงแสดงว่า $k^{2}+6k=0$
(ค) (i) หาค่าของ $k$ (ii) หาค่าของ $D$
Work out $A=(3+kx)^{-2}$ at $x=0$.
จงหา $A=(3+kx)^{-2}$ เมื่อ $x=0$
Answershow ▾
At $x=0$ every $x$ term vanishes, leaving $3^{-2}$.เมื่อ $x=0$ พจน์ $x$ ทุกพจน์หายไป เหลือ $3^{-2}$
Write $(3+kx)^{-2}$ as $3^{-2}$ multiplied by a bracket starting with $1$.
จงเขียน $(3+kx)^{-2}$ เป็น $3^{-2}$ คูณวงเล็บที่ขึ้นต้นด้วย $1$
Answershow ▾
Divide $kx$ by the $3$ you are factoring out.หาร $kx$ ด้วย $3$ ที่ดึงออกมา
Work out $\dfrac{n(n-1)}{2!}$ when $n=-2$.
จงหา $\dfrac{n(n-1)}{2!}$ เมื่อ $n=-2$
Answershow ▾
A negative times a negative is positive; then divide by $2!=2$.ลบคูณลบได้บวก แล้วหารด้วย $2!=2$
After factoring, $(3+kx)^{-2}=3^{-2}\left(1+\tfrac{k}3x\right)^{-2}$. Pick the correct $n$ and $u$.
(A) $n=-2$, $u=\tfrac{k}3x$
(B) $n=-2$, $u=kx$
(C) $n=2$, $u=\tfrac{k}3x$
หลังดึง $3^{-2}$ ออกแล้ว $(3+kx)^{-2}=3^{-2}\left(1+\tfrac{k}3x\right)^{-2}$ จงเลือก $n$ และ $u$ ที่ถูกต้อง
(A) $n=-2$, $u=\tfrac{k}3x$
(B) $n=-2$, $u=kx$
(C) $n=2$, $u=\tfrac{k}3x$
Answershow ▾
(B) uses $kx$, the coefficient before factoring out the $3$ - but the bracket is now $1+\tfrac{k}3x$, so $u$ must match what is inside it. (C) drops the minus sign on the power, matching $(3+kx)^{+2}$ instead.(B) ใช้ $kx$ ซึ่งเป็นสัมประสิทธิ์ก่อนดึง $3$ ออก แต่วงเล็บตอนนี้คือ $1+\tfrac{k}3x$ แล้ว $u$ ต้องตรงกับข้างใน · (C) ทิ้งเครื่องหมายลบของกำลัง กลายเป็นตรงกับ $(3+kx)^{+2}$ แทน
Work out $n\times\tfrac{k}3$ with $n=-2$ (the coefficient of $x$ inside the bracket).
จงหา $n\times\tfrac{k}3$ เมื่อ $n=-2$ (สัมประสิทธิ์ของ $x$ ในวงเล็บ)
Answershow ▾
Multiply $n$ by $\tfrac{k}3$.คูณ $n$ ด้วย $\tfrac{k}3$
Multiply by $\tfrac19$ to get $B$: work out $\tfrac19\times\left(-\tfrac{2k}3\right)$.
คูณด้วย $\tfrac19$ เพื่อหา $B$: จงหา $\tfrac19\times\left(-\tfrac{2k}3\right)$
Answershow ▾
$9\times3=27$ on the denominator.ตัวส่วนคือ $9\times3=27$
Work out $C=\tfrac19\times3\times\left(\tfrac{k}3\right)^{2}$, using the $3$ from question 3.
จงหา $C=\tfrac19\times3\times\left(\tfrac{k}3\right)^{2}$ โดยใช้ $3$ จากข้อ 3
Answershow ▾
$\left(\tfrac{k}3\right)^{2}=\tfrac{k^{2}}9$, then multiply by $3$ and $\tfrac19$.$\left(\tfrac{k}3\right)^2=\tfrac{k^2}9$ แล้วคูณด้วย $3$ และ $\tfrac19$
Given that $C=3B$, substitute question 5 and question 6, then show that $k^{2}+6k=0$.
กำหนดให้ $C=3B$ จงแทนค่าจากข้อ 5 และข้อ 6 แล้วแสดงว่า $k^{2}+6k=0$
Answershow ▾
A "show that" needs every line - the given result cannot just be quoted.โจทย์ "แสดงว่า" ต้องเขียนทุกบรรทัด เขียนผลลัพธ์ที่ให้มาเฉยๆ ไม่ได้
Solve $k^{2}+6k=0$, given that $k$ is a non-zero constant.
จงแก้ $k^{2}+6k=0$ โดยที่ $k$ เป็นค่าคงที่ไม่เป็นศูนย์
Answershow ▾
Factorising gives $k=0$ or $k=-6$; $k=0$ is rejected because $k$ is non-zero.แยกตัวประกอบได้ $k=0$ หรือ $k=-6$ ตัด $k=0$ ทิ้งเพราะ $k$ ไม่เป็นศูนย์
The binomial expansion of $(2+kx)^{-2}$, where $k$ is a non-zero constant, is $A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}+\cdots$. Given that $C=3B$, find the value of $k$ and the value of $D$.
การกระจายทวินามของ $(2+kx)^{-2}$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ไม่เป็นศูนย์ คือ $A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}+\cdots$ กำหนดให้ $C=3B$ จงหาค่าของ $k$ และค่าของ $D$
Answershow ▾
Same four moves: factor by $2$, find $B$ and $C$, use $C=3B$, then find $D$.สี่ขั้นเดิม: ดึง $2$ ออก หา $B$ กับ $C$ ใช้ $C=3B$ แล้วหา $D$
The binomial expansion of $(3+kx)^{-2}$, $|kx|\lt3$, where $k$ is a non-zero constant, may be written in the form $A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}+\cdots$ where $A$, $B$, $C$ and $D$ are constants.
(a) Find the value of $A$.
(b) Given that $C=3B$, show that $k^{2}+6k=0$.
(c) (i) find the value of $k$, (ii) find the value of $D$.
การกระจายทวินาม (binomial expansion) ของ $(3+kx)^{-2}$ เมื่อ $|kx|\lt3$ และ $k$ เป็นค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ เขียนได้ในรูป $A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}+\cdots$ โดยที่ $A$, $B$, $C$ และ $D$ เป็นค่าคงที่
(ก) หาค่าของ $A$
(ข) กำหนดให้ $C=3B$ จงแสดงว่า $k^{2}+6k=0$
(ค) (i) หาค่าของ $k$ (ii) หาค่าของ $D$
Answershow ▾
7 marks: $A$ is one mark, the show-that is three, and finding $k$ then $D$ are three more.7 คะแนน: $A$ หนึ่งคะแนน แสดงว่าสามคะแนน แล้วหา $k$ และ $D$ อีกสามคะแนน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Match a coefficient to find k, then approximate เทียบสัมประสิทธิ์หา k แล้วประมาณค่า
Given that $k$ is a constant and the binomial expansion of $(1+kx)^{\frac12}$, $|kx|\lt1$, in ascending powers of $x$ up to the term in $x^{3}$ is $1+\tfrac18x+Ax^{2}+Bx^{3}$
(a) (i) find the value of $k$, (ii) find the value of the constant $A$ and the constant $B$.
(b) Use the expansion to find an approximate value to $\sqrt{1.15}$. Show your working and give your answer to 6 decimal places.
กำหนดให้ $k$ เป็นค่าคงที่ และการกระจายทวินาม (binomial expansion) ของ $(1+kx)^{\frac12}$ เมื่อ $|kx|\lt1$ เรียงกำลัง $x$ จากน้อยไปมาก ถึงพจน์ $x^{3}$ คือ $1+\tfrac18x+Ax^{2}+Bx^{3}$
(ก) (i) หาค่าของ $k$ (ii) หาค่าของค่าคงที่ $A$ และค่าคงที่ $B$
(ข) ใช้การกระจายนี้หาค่าประมาณของ $\sqrt{1.15}$ แสดงวิธีทำให้ชัดเจน และให้คำตอบถึง 6 ตำแหน่งทศนิยม
The coefficient of $x$ in the expansion of $(1+kx)^{\frac12}$ is $n\times k=\tfrac12k$. Solve $\tfrac12k=\tfrac18$.
สัมประสิทธิ์ของ $x$ ในการกระจาย $(1+kx)^{1/2}$ คือ $n\times k=\tfrac12k$ จงแก้ $\tfrac12k=\tfrac18$
Answershow ▾
Multiply both sides by $2$.คูณทั้งสองข้างด้วย $2$
Work out $\dfrac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)}{2!}$.
จงหา $\dfrac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)}{2!}$
Answershow ▾
$\tfrac12\times\left(-\tfrac12\right)=-\tfrac14$, then divide by $2!=2$.$\tfrac12\times\left(-\tfrac12\right)=-\tfrac14$ แล้วหารด้วย $2!=2$
Work out $\dfrac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)}{3!}$.
จงหา $\dfrac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)}{3!}$
Answershow ▾
The top multiplies to $\tfrac38$, then divide by $3!=6$.ตัวเศษคูณกันได้ $\tfrac38$ แล้วหารด้วย $3!=6$
To approximate $\sqrt{1.15}$ using $(1+kx)^{\frac12}$ with $k=\tfrac14$, pick the correct value of $x$.
(A) $x=0.6$, since $1+\tfrac14(0.6)=1.15$
(B) $x=1.15$
(C) $x=0.15$, since $1.15-1=0.15$
เพื่อประมาณค่า $\sqrt{1.15}$ ด้วย $(1+kx)^{1/2}$ เมื่อ $k=\tfrac14$ จงเลือกค่า $x$ ที่ถูกต้อง
(A) $x=0.6$ เพราะ $1+\tfrac14(0.6)=1.15$
(B) $x=1.15$
(C) $x=0.15$ เพราะ $1.15-1=0.15$
Answershow ▾
(B) substitutes the target VALUE straight in for $x$ - but it is $1+kx$ that must equal $1.15$, not $x$ itself. (C) finds the right difference $0.15$, but forgets that this difference is $kx$, not $x$ alone, so it still needs dividing by $k=\tfrac14$.(B) แทนค่าเป้าหมายลงไปที่ $x$ ตรงๆ แต่ที่ต้องเท่ากับ $1.15$ คือ $1+kx$ ไม่ใช่ $x$ เอง · (C) ได้ผลต่าง $0.15$ ถูกแล้ว แต่ลืมว่าผลต่างนี้คือ $kx$ ไม่ใช่ $x$ อย่างเดียว จึงต้องหารด้วย $k=\tfrac14$ อีกที
Work out $A$: multiply question 2's $-\tfrac18$ by $k^{2}=\left(\tfrac14\right)^{2}$.
จงหา $A$: คูณ $-\tfrac18$ จากข้อ 2 ด้วย $k^{2}=\left(\tfrac14\right)^{2}$
Answershow ▾
$\left(\tfrac14\right)^{2}=\tfrac1{16}$, then multiply by $-\tfrac18$.$\left(\tfrac14\right)^2=\tfrac1{16}$ แล้วคูณด้วย $-\tfrac18$
Work out $B$: multiply question 3's $\tfrac1{16}$ by $k^{3}=\left(\tfrac14\right)^{3}$.
จงหา $B$: คูณ $\tfrac1{16}$ จากข้อ 3 ด้วย $k^{3}=\left(\tfrac14\right)^{3}$
Answershow ▾
$\left(\tfrac14\right)^{3}=\tfrac1{64}$, then multiply by $\tfrac1{16}$.$\left(\tfrac14\right)^3=\tfrac1{64}$ แล้วคูณด้วย $\tfrac1{16}$
Write $(1+\tfrac14x)^{\frac12}$ as $1+\tfrac18x+Ax^{2}+Bx^{3}$, using questions 4 and 5.
จงเขียน $(1+\tfrac14x)^{1/2}$ เป็น $1+\tfrac18x+Ax^{2}+Bx^{3}$ โดยใช้ผลจากข้อ 4 และข้อ 5
Answershow ▾
Same two values, now in one line.สองค่าเดิม นำมาต่อกันในบรรทัดเดียว
Check that $1+\tfrac14(0.6)$ equals $1.15$.
จงตรวจว่า $1+\tfrac14(0.6)$ เท่ากับ $1.15$
Answershow ▾
$\tfrac14\times0.6=0.15$, and $1+0.15=1.15$.$\tfrac14\times0.6=0.15$ และ $1+0.15=1.15$
Substitute $x=0.6$ into question 6's expansion to approximate $\sqrt{1.15}$, to 6 decimal places.
จงแทน $x=0.6$ ในการกระจายจากข้อ 6 เพื่อประมาณค่า $\sqrt{1.15}$ ถึง 6 ตำแหน่งทศนิยม
Answershow ▾
Add the four decimal terms in order.บวกสี่พจน์ทศนิยมตามลำดับ
Given that $(1+kx)^{\frac12}=1+\tfrac14x+Ax^{2}+Bx^{3}+\cdots$, find $k$, $A$, $B$, then use the expansion to approximate $\sqrt{1.3}$, to 4 decimal places.
กำหนดให้ $(1+kx)^{1/2}=1+\tfrac14x+Ax^{2}+Bx^{3}+\cdots$ จงหา $k$, $A$, $B$ แล้วใช้การกระจายประมาณค่า $\sqrt{1.3}$ ถึง 4 ตำแหน่งทศนิยม
Answershow ▾
Same four moves: match the coefficient, find $A$ and $B$, then substitute.สี่ขั้นเดิม: เทียบสัมประสิทธิ์ หา $A$ กับ $B$ แล้วแทนค่า
Given that $k$ is a constant and the binomial expansion of $(1+kx)^{\frac12}$, $|kx|\lt1$, in ascending powers of $x$ up to the term in $x^{3}$ is $1+\tfrac18x+Ax^{2}+Bx^{3}$
(a) (i) find the value of $k$, (ii) find the value of the constant $A$ and the constant $B$.
(b) Use the expansion to find an approximate value to $\sqrt{1.15}$. Show your working and give your answer to 6 decimal places.
กำหนดให้ $k$ เป็นค่าคงที่ และการกระจายทวินาม (binomial expansion) ของ $(1+kx)^{\frac12}$ เมื่อ $|kx|\lt1$ เรียงกำลัง $x$ จากน้อยไปมาก ถึงพจน์ $x^{3}$ คือ $1+\tfrac18x+Ax^{2}+Bx^{3}$
(ก) (i) หาค่าของ $k$ (ii) หาค่าของค่าคงที่ $A$ และค่าคงที่ $B$
(ข) ใช้การกระจายนี้หาค่าประมาณของ $\sqrt{1.15}$ แสดงวิธีทำให้ชัดเจน และให้คำตอบถึง 6 ตำแหน่งทศนิยม
Answershow ▾
7 marks: matching the coefficient is two marks, $A$ and $B$ are three, and the approximation is two more.7 คะแนน: เทียบสัมประสิทธิ์สองคะแนน $A$ กับ $B$ สามคะแนน แล้วการประมาณค่าอีกสองคะแนน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A linear factor times a binomial series ตัวประกอบเชิงเส้นคูณอนุกรมทวินาม
(a) Find the first 4 terms, in ascending powers of $x$, of the binomial expansion of $\left(1-\tfrac{x}{20}\right)(4+5x)^{\frac12}$, giving each coefficient in its simplest form.
(b) By substituting $x=\tfrac{1}{100}$ into the answer for part (a), find an approximation for $\sqrt5$. Give your answer in the form $\tfrac{a}{b}$ where $a$ and $b$ are integers to be found.
(ก) หาสี่พจน์แรกของการกระจายทวินามของ $\left(1-\tfrac{x}{20}\right)(4+5x)^{\frac12}$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก แต่ละสัมประสิทธิ์ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด
(ข) โดยแทน $x=\tfrac{1}{100}$ ในคำตอบข้อ (a) หาค่าประมาณของ $\sqrt5$ ให้คำตอบในรูป $\tfrac{a}{b}$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มที่ต้องหา
Write $(4+5x)^{\frac12}$ as $4^{\frac12}$ multiplied by a bracket starting with $1$.
จงเขียน $(4+5x)^{1/2}$ เป็น $4^{1/2}$ คูณวงเล็บที่ขึ้นต้นด้วย $1$
Answershow ▾
$4^{\frac12}=2$, and divide $5x$ by the $4$ you are factoring out.$4^{1/2}=2$ และหาร $5x$ ด้วย $4$ ที่ดึงออกมา
Work out $\dfrac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)}{2!}$.
จงหา $\dfrac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)}{2!}$
Answershow ▾
$\tfrac12\times\left(-\tfrac12\right)=-\tfrac14$, then divide by $2!=2$.$\tfrac12\times\left(-\tfrac12\right)=-\tfrac14$ แล้วหารด้วย $2!=2$
Work out $\dfrac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)}{3!}$.
จงหา $\dfrac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)}{3!}$
Answershow ▾
The top multiplies to $\tfrac38$, then divide by $3!=6$.ตัวเศษคูณกันได้ $\tfrac38$ แล้วหารด้วย $3!=6$
After factoring, $(4+5x)^{\frac12}=2\left(1+\tfrac54x\right)^{\frac12}$. Pick the correct $n$ and $u$.
(A) $n=\tfrac12$, $u=\tfrac54x$
(B) $n=\tfrac12$, $u=5x$
(C) $n=2$, $u=\tfrac54x$
หลังดึง $4^{1/2}$ ออกแล้ว $(4+5x)^{1/2}=2\left(1+\tfrac54x\right)^{1/2}$ จงเลือก $n$ และ $u$ ที่ถูกต้อง
(A) $n=\tfrac12$, $u=\tfrac54x$
(B) $n=\tfrac12$, $u=5x$
(C) $n=2$, $u=\tfrac54x$
Answershow ▾
(B) uses $5x$, the coefficient before factoring out the $4$ - but the bracket is now $1+\tfrac54x$, so $u$ must match what is inside it. (C) uses the power from inside the bracket operation, not the actual power $\tfrac12$ on $(4+5x)$.(B) ใช้ $5x$ ซึ่งเป็นสัมประสิทธิ์ก่อนดึง $4$ ออก แต่วงเล็บตอนนี้คือ $1+\tfrac54x$ แล้ว $u$ ต้องตรงกับข้างใน · (C) ใช้กำลังผิดตัว ไม่ใช่กำลังจริง $\tfrac12$ ของ $(4+5x)$
Work out the $x$ term of $(4+5x)^{\frac12}$: $2\times n\times\tfrac54$ with $n=\tfrac12$.
จงหาพจน์ $x$ ของ $(4+5x)^{1/2}$: $2\times n\times\tfrac54$ เมื่อ $n=\tfrac12$
Answershow ▾
Multiply the factored $2$ by $n$, then by $\tfrac54$.คูณ $2$ ที่ดึงออกมาด้วย $n$ แล้วคูณด้วย $\tfrac54$
Work out the $x^{2}$ term: $2\times\left(-\tfrac18\right)\times\left(\tfrac54\right)^{2}$, using question 2's $-\tfrac18$.
จงหาพจน์ $x^{2}$: $2\times\left(-\tfrac18\right)\times\left(\tfrac54\right)^{2}$ โดยใช้ $-\tfrac18$ จากข้อ 2
Answershow ▾
$\left(\tfrac54\right)^{2}=\tfrac{25}{16}$, then multiply by $2$ and $-\tfrac18$.$\left(\tfrac54\right)^2=\tfrac{25}{16}$ แล้วคูณด้วย $2$ และ $-\tfrac18$
Work out the $x^{3}$ term: $2\times\tfrac1{16}\times\left(\tfrac54\right)^{3}$, using question 3's $\tfrac1{16}$.
จงหาพจน์ $x^{3}$: $2\times\tfrac1{16}\times\left(\tfrac54\right)^{3}$ โดยใช้ $\tfrac1{16}$ จากข้อ 3
Answershow ▾
$\left(\tfrac54\right)^{3}=\tfrac{125}{64}$, then multiply by $2$ and $\tfrac1{16}$.$\left(\tfrac54\right)^3=\tfrac{125}{64}$ แล้วคูณด้วย $2$ และ $\tfrac1{16}$
Multiply $\left(1-\tfrac{x}{20}\right)$ into $2+\tfrac54x-\tfrac{25}{64}x^{2}+\tfrac{125}{512}x^{3}$ and simplify each coefficient.
จงคูณ $\left(1-\tfrac{x}{20}\right)$ เข้ากับ $2+\tfrac54x-\tfrac{25}{64}x^{2}+\tfrac{125}{512}x^{3}$ แล้วย่อแต่ละสัมประสิทธิ์
Answershow ▾
Each new coefficient is the old one, plus $-\tfrac1{20}$ times the term before it.สัมประสิทธิ์ใหม่คือตัวเดิม บวกด้วย $-\tfrac1{20}$ คูณพจน์ก่อนหน้า
Substitute $x=\tfrac1{100}$ into $\left(1-\tfrac{x}{20}\right)(4+5x)^{\frac12}$ to show it equals $\tfrac{17991}{20000}\sqrt5$.
จงแทน $x=\tfrac1{100}$ ใน $\left(1-\tfrac{x}{20}\right)(4+5x)^{1/2}$ แล้วแสดงว่าเท่ากับ $\tfrac{17991}{20000}\sqrt5$
Answershow ▾
$4+5\left(\tfrac1{100}\right)=\tfrac{81}{20}$, and $81$ is a perfect square.$4+5\left(\tfrac1{100}\right)=\tfrac{81}{20}$ และ $81$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์
Find the first four terms of $\left(1-\tfrac{x}{10}\right)(4+4x)^{\frac12}$, then substitute $x=\tfrac14$ to approximate $\sqrt5$ as $\tfrac{a}{b}$.
จงหาสี่พจน์แรกของ $\left(1-\tfrac{x}{10}\right)(4+4x)^{1/2}$ แล้วแทน $x=\tfrac14$ เพื่อประมาณค่า $\sqrt5$ ในรูป $\tfrac{a}{b}$
Answershow ▾
Same moves: factor, series, multiply by the linear factor, then substitute.ขั้นตอนเดิม: ดึงตัวประกอบ ใส่สูตรอนุกรม คูณด้วยตัวประกอบเชิงเส้น แล้วแทนค่า
(a) Find the first 4 terms, in ascending powers of $x$, of the binomial expansion of $\left(1-\tfrac{x}{20}\right)(4+5x)^{\frac12}$, giving each coefficient in its simplest form.
(b) By substituting $x=\tfrac{1}{100}$ into the answer for part (a), find an approximation for $\sqrt5$. Give your answer in the form $\tfrac{a}{b}$ where $a$ and $b$ are integers to be found.
(ก) หาสี่พจน์แรกของการกระจายทวินามของ $\left(1-\tfrac{x}{20}\right)(4+5x)^{\frac12}$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก แต่ละสัมประสิทธิ์ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด
(ข) โดยแทน $x=\tfrac{1}{100}$ ในคำตอบข้อ (a) หาค่าประมาณของ $\sqrt5$ ให้คำตอบในรูป $\tfrac{a}{b}$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มที่ต้องหา
Answershow ▾
7 marks: five for the expansion and the linear factor, two for the substitution and the final fraction.7 คะแนน: ห้าคะแนนสำหรับการกระจายและตัวประกอบเชิงเส้น สองคะแนนสำหรับการแทนค่าและเศษส่วนคำตอบ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A bracket not starting at 1, then a cube root วงเล็บที่ไม่ได้ขึ้นต้นด้วย 1 แล้วประมาณค่ารากที่สาม
(a) Find, in ascending powers of $x$, the first three non-zero terms of the binomial series expansion of $(27+12x)^{\frac13}$, $|x|\lt\tfrac94$, giving each coefficient as a simplified fraction.
(b) Use the expansion from part (a) with $x=\tfrac13$ to find a rational approximation to $\sqrt[3]{31}$.
(ก) หาสามพจน์แรกที่ไม่เป็นศูนย์ของการกระจายอนุกรมทวินามของ $(27+12x)^{\frac13}$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก เมื่อ $|x|\lt\tfrac94$ ให้แต่ละสัมประสิทธิ์อยู่ในรูปเศษส่วนอย่างง่าย
(ข) ใช้การกระจายจากข้อ (a) โดยแทน $x=\tfrac13$ เพื่อหาค่าประมาณ $\sqrt[3]{31}$ ในรูปเศษส่วน
Write $(27+12x)^{\frac13}$ as $27^{\frac13}$ multiplied by a bracket starting with $1$.
จงเขียน $(27+12x)^{1/3}$ เป็น $27^{1/3}$ คูณวงเล็บที่ขึ้นต้นด้วย $1$
Answershow ▾
$27^{\frac13}=3$, and $\tfrac{12}{27}$ simplifies to $\tfrac49$.$27^{1/3}=3$ และ $\tfrac{12}{27}$ ย่อได้เป็น $\tfrac49$
Work out $\dfrac{\tfrac13\left(-\tfrac23\right)}{2!}$.
จงหา $\dfrac{\tfrac13\left(-\tfrac23\right)}{2!}$
Answershow ▾
$\tfrac13\times\left(-\tfrac23\right)=-\tfrac29$, then divide by $2!=2$.$\tfrac13\times\left(-\tfrac23\right)=-\tfrac29$ แล้วหารด้วย $2!=2$
Work out $\left(\tfrac49\right)^{2}$.
จงหา $\left(\tfrac49\right)^{2}$
Answershow ▾
Square the top and the bottom separately.ยกกำลังสองทั้งเศษและส่วนแยกกัน
After factoring, $(27+12x)^{\frac13}=3\left(1+\tfrac49x\right)^{\frac13}$. Pick the correct $n$ and $u$.
(A) $n=\tfrac13$, $u=\tfrac49x$
(B) $n=\tfrac13$, $u=12x$
(C) $n=3$, $u=\tfrac49x$
หลังดึง $27^{1/3}$ ออกแล้ว $(27+12x)^{1/3}=3\left(1+\tfrac49x\right)^{1/3}$ จงเลือก $n$ และ $u$ ที่ถูกต้อง
(A) $n=\tfrac13$, $u=\tfrac49x$
(B) $n=\tfrac13$, $u=12x$
(C) $n=3$, $u=\tfrac49x$
Answershow ▾
(B) uses $12x$, the coefficient before factoring out the $27$ - but the bracket is now $1+\tfrac49x$, so $u$ must match what is inside it. (C) uses the root index $3$ as the power, instead of the actual power $\tfrac13$ on $(27+12x)$.(B) ใช้ $12x$ ซึ่งเป็นสัมประสิทธิ์ก่อนดึง $27$ ออก แต่วงเล็บตอนนี้คือ $1+\tfrac49x$ แล้ว $u$ ต้องตรงกับข้างใน · (C) ใช้เลข $3$ ของรากที่สามเป็นกำลัง ไม่ใช่กำลังจริง $\tfrac13$ ของ $(27+12x)$
Work out the $x$ term: $3\times n\times\tfrac49$ with $n=\tfrac13$.
จงหาพจน์ $x$: $3\times n\times\tfrac49$ เมื่อ $n=\tfrac13$
Answershow ▾
Multiply the factored $3$ by $n$, then by $\tfrac49$.คูณ $3$ ที่ดึงออกมาด้วย $n$ แล้วคูณด้วย $\tfrac49$
Work out the inner $x^{2}$ coefficient: $-\tfrac19\times\tfrac{16}{81}$, using question 3's $\tfrac{16}{81}$.
จงหาสัมประสิทธิ์ $x^{2}$ในวงเล็บ: $-\tfrac19\times\tfrac{16}{81}$ โดยใช้ $\tfrac{16}{81}$ จากข้อ 3
Answershow ▾
Multiply question 2's $-\tfrac19$ by question 3's $\tfrac{16}{81}$.คูณ $-\tfrac19$ จากข้อ 2 ด้วย $\tfrac{16}{81}$ จากข้อ 3
Multiply question 5's $-\tfrac{16}{729}$ by the factored $3$ to get the $x^{2}$ term.
จงคูณ $-\tfrac{16}{729}$ จากข้อ 5 ด้วย $3$ ที่ดึงออกมา เพื่อหาพจน์ $x^{2}$
Answershow ▾
$3\times\tfrac{16}{729}=\tfrac{16}{243}$.$3\times\tfrac{16}{729}=\tfrac{16}{243}$
Write $(27+12x)^{\frac13}$ as $3$ plus the $x$ and $x^{2}$ terms from questions 4 and 6.
จงเขียน $(27+12x)^{1/3}$ เป็น $3$ บวกพจน์ $x$ และ $x^{2}$ จากข้อ 4 และข้อ 6
Answershow ▾
Same two terms, now after the leading $3$.สองพจน์เดิม นำมาต่อกันหลังเลข $3$
Substitute $x=\tfrac13$ into question 7's expansion to approximate $\sqrt[3]{31}$.
จงแทน $x=\tfrac13$ ในการกระจายจากข้อ 7 เพื่อประมาณค่า $\sqrt[3]{31}$
Answershow ▾
$27+12\left(\tfrac13\right)=31$, then combine the three terms over $2187$.$27+12\left(\tfrac13\right)=31$ แล้วรวมสามพจน์บนตัวส่วน $2187$
Find, in ascending powers of $x$, the first three non-zero terms of $(8+6x)^{\frac13}$, then substitute $x=1$ to approximate $\sqrt[3]{14}$.
จงหาสามพจน์แรกที่ไม่เป็นศูนย์ของ $(8+6x)^{1/3}$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก แล้วแทน $x=1$ เพื่อประมาณค่า $\sqrt[3]{14}$
Answershow ▾
Same moves: factor $8^{\frac13}=2$, apply the series with $u=\tfrac34x$, then substitute.ขั้นตอนเดิม: ดึง $8^{1/3}=2$ ใส่สูตรอนุกรมด้วย $u=\tfrac34x$ แล้วแทนค่า
(a) Find, in ascending powers of $x$, the first three non-zero terms of the binomial series expansion of $(27+12x)^{\frac13}$, $|x|\lt\tfrac94$, giving each coefficient as a simplified fraction.
(b) Use the expansion from part (a) with $x=\tfrac13$ to find a rational approximation to $\sqrt[3]{31}$.
(ก) หาสามพจน์แรกที่ไม่เป็นศูนย์ของการกระจายอนุกรมทวินามของ $(27+12x)^{\frac13}$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก เมื่อ $|x|\lt\tfrac94$ ให้แต่ละสัมประสิทธิ์อยู่ในรูปเศษส่วนอย่างง่าย
(ข) ใช้การกระจายจากข้อ (a) โดยแทน $x=\tfrac13$ เพื่อหาค่าประมาณ $\sqrt[3]{31}$ ในรูปเศษส่วน
Answershow ▾
7 marks: four for the expansion, three for substituting and combining the fractions.7 คะแนน: สี่คะแนนสำหรับการกระจาย สามคะแนนสำหรับการแทนค่าและรวมเศษส่วน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A squared x inside the bracket x กำลังสองอยู่ในวงเล็บ
$g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}$
(a) Find, in ascending powers of $x$, the first four non-zero terms of the binomial expansion of $g(x)$. Give each coefficient in simplest form.
(b) State the range of values of $x$ for which this expansion is valid.
(c) Use the expansion from part (a) to find a fully simplified rational approximation for $\sqrt3$. Show your working and make your method clear.
$g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}$
(ก) หาสี่พจน์แรกที่ไม่เป็นศูนย์ของการกระจายทวินามของ $g(x)$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก ให้แต่ละสัมประสิทธิ์อยู่ในรูปอย่างง่าย
(ข) ระบุช่วงค่าของ $x$ ที่ทำให้การกระจายนี้ใช้ได้
(ค) ใช้การกระจายจากข้อ (a) หาค่าประมาณของ $\sqrt3$ ในรูปเศษส่วนอย่างง่ายที่สุด แสดงวิธีทำให้ชัดเจน
$g(x)=(4-x^{2})^{-\frac12}$. Write it as $4^{-\frac12}$ multiplied by a bracket starting with $1$.
$g(x)=(4-x^2)^{-1/2}$ จงเขียนเป็น $4^{-1/2}$ คูณวงเล็บที่ขึ้นต้นด้วย $1$
Answershow ▾
$4^{-\frac12}=\tfrac12$, and divide $x^{2}$ by the $4$ you are factoring out.$4^{-1/2}=\tfrac12$ และหาร $x^2$ ด้วย $4$ ที่ดึงออกมา
Work out $\dfrac{\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)}{2!}$.
จงหา $\dfrac{\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)}{2!}$
Answershow ▾
A negative times a negative is positive; then divide by $2!=2$.ลบคูณลบได้บวก แล้วหารด้วย $2!=2$
Work out $\dfrac{\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)\left(-\tfrac52\right)}{3!}$.
จงหา $\dfrac{\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)\left(-\tfrac52\right)}{3!}$
Answershow ▾
Three negatives multiply to a negative; $3!=6$.ลบสามตัวคูณกันได้ลบ และ $3!=6$
After factoring, $g(x)=\tfrac12\left(1-\tfrac{x^{2}}4\right)^{-\frac12}$. Pick the correct $n$ and $u$.
(A) $n=-\tfrac12$, $u=-\tfrac{x^{2}}4$
(B) $n=-\tfrac12$, $u=-x^{2}$
(C) $n=\tfrac12$, $u=-\tfrac{x^{2}}4$
หลังดึง $4^{-1/2}$ ออกแล้ว $g(x)=\tfrac12\left(1-\tfrac{x^2}4\right)^{-1/2}$ จงเลือก $n$ และ $u$ ที่ถูกต้อง
(A) $n=-\tfrac12$, $u=-\tfrac{x^{2}}4$
(B) $n=-\tfrac12$, $u=-x^{2}$
(C) $n=\tfrac12$, $u=-\tfrac{x^{2}}4$
Answershow ▾
(B) uses $-x^{2}$, the coefficient before factoring out the $4$ - but the bracket is now $1-\tfrac{x^{2}}4$, so $u$ must match what is inside it. (C) drops the minus sign on the power, matching $(4-x^{2})^{+\frac12}$ instead.(B) ใช้ $-x^2$ ซึ่งเป็นสัมประสิทธิ์ก่อนดึง $4$ ออก แต่วงเล็บตอนนี้คือ $1-\tfrac{x^2}4$ แล้ว $u$ ต้องตรงกับข้างใน · (C) ทิ้งเครื่องหมายลบของกำลัง กลายเป็นตรงกับ $(4-x^2)^{+1/2}$ แทน
Work out the $x^{2}$ term: $\tfrac12\times n\times\left(-\tfrac14\right)$ with $n=-\tfrac12$.
จงหาพจน์ $x^{2}$: $\tfrac12\times n\times\left(-\tfrac14\right)$ เมื่อ $n=-\tfrac12$
Answershow ▾
Multiply the factored $\tfrac12$ by $n$, then by $-\tfrac14$.คูณ $\tfrac12$ ที่ดึงออกมาด้วย $n$ แล้วคูณด้วย $-\tfrac14$
Work out the $x^{4}$ term: $\tfrac12\times\tfrac38\times\tfrac1{16}$, using question 2's $\tfrac38$.
จงหาพจน์ $x^{4}$: $\tfrac12\times\tfrac38\times\tfrac1{16}$ โดยใช้ $\tfrac38$ จากข้อ 2
Answershow ▾
$\left(-\tfrac{x^{2}}4\right)^{2}=\tfrac1{16}x^{4}$, then multiply by $\tfrac12$ and $\tfrac38$.$\left(-\tfrac{x^2}4\right)^2=\tfrac1{16}x^4$ แล้วคูณด้วย $\tfrac12$ และ $\tfrac38$
Work out the $x^{6}$ term using question 3's $-\tfrac5{16}$, then write $g(x)$ as the full expansion with questions 4 and 5.
จงหาพจน์ $x^{6}$ โดยใช้ $-\tfrac5{16}$ จากข้อ 3 แล้วเขียน $g(x)$ เป็นการกระจายทั้งหมดร่วมกับข้อ 4 และข้อ 5
Answershow ▾
$\left(-\tfrac{x^{2}}4\right)^{3}=-\tfrac1{64}x^{6}$; a negative times a negative is positive.$\left(-\tfrac{x^2}4\right)^3=-\tfrac1{64}x^6$ และลบคูณลบได้บวก
Find the range of values of $x$ for which the expansion is valid.
จงหาช่วงค่าของ $x$ ที่ทำให้การกระจายนี้ใช้ได้
Answershow ▾
The series needs $|u|\lt1$.อนุกรมต้องมี $|u|\lt1$
Substitute $x=1$ into question 6's expansion, then take the reciprocal to approximate $\sqrt3$. Note $g(1)=\dfrac1{\sqrt3}$, not $\sqrt3$ itself.
จงแทน $x=1$ ในการกระจายจากข้อ 6 แล้วหาส่วนกลับเพื่อประมาณค่า $\sqrt3$ สังเกตว่า $g(1)=\dfrac1{\sqrt3}$ ไม่ใช่ $\sqrt3$ โดยตรง
Answershow ▾
$g(1)$ approximates $\tfrac1{\sqrt3}$, so the approximation has to be inverted at the very last step.$g(1)$ ประมาณค่า $\tfrac1{\sqrt3}$ จึงต้องกลับเศษส่วนในขั้นตอนสุดท้าย
Let $h(x)=\dfrac1{\sqrt{9-x^{2}}}$. Find, in ascending powers of $x$, the first four non-zero terms of the expansion of $h(x)$, then substitute $x=1$ to approximate $\sqrt8$.
กำหนด $h(x)=\dfrac1{\sqrt{9-x^2}}$ จงหาสี่พจน์แรกที่ไม่เป็นศูนย์ของการกระจาย $h(x)$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก แล้วแทน $x=1$ เพื่อประมาณค่า $\sqrt8$
Answershow ▾
Same moves: factor $9^{-\frac12}=\tfrac13$, apply the series with $u=-\tfrac{x^{2}}9$, then substitute and invert.ขั้นตอนเดิม: ดึง $9^{-1/2}=\tfrac13$ ใส่สูตรอนุกรมด้วย $u=-\tfrac{x^2}9$ แล้วแทนค่าและกลับเศษส่วน
$g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}$
(a) Find, in ascending powers of $x$, the first four non-zero terms of the binomial expansion of $g(x)$. Give each coefficient in simplest form.
(b) State the range of values of $x$ for which this expansion is valid.
(c) Use the expansion from part (a) to find a fully simplified rational approximation for $\sqrt3$. Show your working and make your method clear.
$g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}$
(ก) หาสี่พจน์แรกที่ไม่เป็นศูนย์ของการกระจายทวินามของ $g(x)$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก ให้แต่ละสัมประสิทธิ์อยู่ในรูปอย่างง่าย
(ข) ระบุช่วงค่าของ $x$ ที่ทำให้การกระจายนี้ใช้ได้
(ค) ใช้การกระจายจากข้อ (a) หาค่าประมาณของ $\sqrt3$ ในรูปเศษส่วนอย่างง่ายที่สุด แสดงวิธีทำให้ชัดเจน
Answershow ▾
8 marks: five for the expansion, one for the validity, two for the approximation.8 คะแนน: ห้าคะแนนสำหรับการกระจาย หนึ่งคะแนนช่วงที่ใช้ได้ สองคะแนนสำหรับการประมาณค่า
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A quotient with an unknown constant อัตราส่วนที่มีค่าคงที่ไม่รู้ค่า
(a) Use the binomial expansion to expand $(4-5x)^{-\frac12}$, $x\lt\tfrac45$, in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^{2}$, giving each coefficient as a fully simplified fraction.
(b) $f(x)=\dfrac{2+kx}{\sqrt{4-5x}}$ where $k$ is a constant and $x\lt\tfrac45$. Given that the series expansion of $f(x)$, in ascending powers of $x$, is $1+\tfrac{3}{10}x+mx^{2}+\cdots$ where $m$ is a constant, find the value of $k$.
(c) find the value of $m$.
(ก) ใช้การกระจายทวินามหา $(4-5x)^{-\frac12}$ เมื่อ $x\lt\tfrac45$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก ถึงพจน์ $x^{2}$ ให้แต่ละสัมประสิทธิ์อยู่ในรูปเศษส่วนอย่างง่ายที่สุด
(ข) $f(x)=\dfrac{2+kx}{\sqrt{4-5x}}$ โดยที่ $k$ เป็นค่าคงที่และ $x\lt\tfrac45$ กำหนดให้การกระจายอนุกรมของ $f(x)$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก คือ $1+\tfrac{3}{10}x+mx^{2}+\cdots$ โดยที่ $m$ เป็นค่าคงที่ จงหาค่าของ $k$
(ค) หาค่าของ $m$
Write $(4-5x)^{-\frac12}$ as $4^{-\frac12}$ multiplied by a bracket starting with $1$.
จงเขียน $(4-5x)^{-1/2}$ เป็น $4^{-1/2}$ คูณวงเล็บที่ขึ้นต้นด้วย $1$
Answershow ▾
$4^{-\frac12}=\tfrac12$, and divide $5x$ by the $4$ you are factoring out.$4^{-1/2}=\tfrac12$ และหาร $5x$ ด้วย $4$ ที่ดึงออกมา
Work out $\dfrac{\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)}{2!}$.
จงหา $\dfrac{\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)}{2!}$
Answershow ▾
A negative times a negative is positive; then divide by $2!=2$.ลบคูณลบได้บวก แล้วหารด้วย $2!=2$
Work out $\left(\tfrac54\right)^{2}$.
จงหา $\left(\tfrac54\right)^{2}$
Answershow ▾
Square the top and the bottom separately.ยกกำลังสองทั้งเศษและส่วนแยกกัน
After factoring, $(4-5x)^{-\frac12}=\tfrac12\left(1-\tfrac54x\right)^{-\frac12}$. Pick the correct $n$ and $u$.
(A) $n=-\tfrac12$, $u=-\tfrac54x$
(B) $n=-\tfrac12$, $u=-5x$
(C) $n=\tfrac12$, $u=-\tfrac54x$
หลังดึง $4^{-1/2}$ ออกแล้ว $(4-5x)^{-1/2}=\tfrac12\left(1-\tfrac54x\right)^{-1/2}$ จงเลือก $n$ และ $u$ ที่ถูกต้อง
(A) $n=-\tfrac12$, $u=-\tfrac54x$
(B) $n=-\tfrac12$, $u=-5x$
(C) $n=\tfrac12$, $u=-\tfrac54x$
Answershow ▾
(B) uses $-5x$, the coefficient before factoring out the $4$ - but the bracket is now $1-\tfrac54x$, so $u$ must match what is inside it. (C) drops the minus sign on the power, matching $(4-5x)^{+\frac12}$ instead.(B) ใช้ $-5x$ ซึ่งเป็นสัมประสิทธิ์ก่อนดึง $4$ ออก แต่วงเล็บตอนนี้คือ $1-\tfrac54x$ แล้ว $u$ ต้องตรงกับข้างใน · (C) ทิ้งเครื่องหมายลบของกำลัง กลายเป็นตรงกับ $(4-5x)^{+1/2}$ แทน
Work out the $x$ term: $\tfrac12\times n\times\left(-\tfrac54\right)$ with $n=-\tfrac12$.
จงหาพจน์ $x$: $\tfrac12\times n\times\left(-\tfrac54\right)$ เมื่อ $n=-\tfrac12$
Answershow ▾
Multiply the factored $\tfrac12$ by $n$, then by $-\tfrac54$.คูณ $\tfrac12$ ที่ดึงออกมาด้วย $n$ แล้วคูณด้วย $-\tfrac54$
Work out the $x^{2}$ term: $\tfrac12\times\tfrac38\times\tfrac{25}{16}$, using questions 2 and 3.
จงหาพจน์ $x^{2}$: $\tfrac12\times\tfrac38\times\tfrac{25}{16}$ โดยใช้ข้อ 2 และข้อ 3
Answershow ▾
Multiply the factored $\tfrac12$ by question 2 and question 3.คูณ $\tfrac12$ ที่ดึงออกมาด้วยผลจากข้อ 2 และข้อ 3
$f(x)=(2+kx)\left(\tfrac12+\tfrac5{16}x+\cdots\right)$. Write the coefficient of $x$ in $f(x)$, in terms of $k$.
$f(x)=(2+kx)\left(\tfrac12+\tfrac5{16}x+\cdots\right)$ จงเขียนสัมประสิทธิ์ของ $x$ ใน $f(x)$ ในรูปของ $k$
Answershow ▾
The $x$ term comes from $2\times\tfrac5{16}x$ and from $kx\times\tfrac12$.พจน์ $x$ มาจาก $2\times\tfrac5{16}x$ และ $kx\times\tfrac12$
The coefficient of $x$ in $f(x)$ is $\tfrac3{10}$. Solve $\tfrac58+\tfrac{k}2=\tfrac3{10}$ for $k$.
สัมประสิทธิ์ของ $x$ ใน $f(x)$ คือ $\tfrac3{10}$ จงแก้ $\tfrac58+\tfrac{k}2=\tfrac3{10}$ หา $k$
Answershow ▾
Subtract $\tfrac58$ from both sides, then multiply by $2$.ลบ $\tfrac58$ ทั้งสองข้าง แล้วคูณด้วย $2$
Work out $m=2\times\tfrac{75}{256}+k\times\tfrac5{16}$, using $k=-\tfrac{13}{20}$.
จงหา $m=2\times\tfrac{75}{256}+k\times\tfrac5{16}$ โดยใช้ $k=-\tfrac{13}{20}$
Answershow ▾
The $x^{2}$ term comes from $2\times\tfrac{75}{256}x^{2}$ and $kx\times\tfrac5{16}x$, the same pairing as question 6.พจน์ $x^2$ มาจาก $2\times\tfrac{75}{256}x^2$ และ $kx\times\tfrac5{16}x$ จับคู่แบบเดียวกับข้อ 6
Expand $(4-4x)^{-\frac12}$ up to the term in $x^{2}$. Given that $f(x)=(2+kx)(4-4x)^{-\frac12}$ has $x$ coefficient $\tfrac34$, find $k$, then find the $x^{2}$ coefficient $m$ of $f(x)$.
จงกระจาย $(4-4x)^{-1/2}$ ถึงพจน์ $x^2$ กำหนดให้ $f(x)=(2+kx)(4-4x)^{-1/2}$ มีสัมประสิทธิ์ $x$ เท่ากับ $\tfrac34$ จงหา $k$ แล้วหาสัมประสิทธิ์ $x^2$ คือ $m$ ของ $f(x)$
Answershow ▾
Same moves: factor, find the two terms, write the coefficient in terms of $k$, then solve.ขั้นตอนเดิม: ดึงตัวประกอบ หาสองพจน์ เขียนสัมประสิทธิ์ในรูป $k$ แล้วแก้สมการ
(a) Use the binomial expansion to expand $(4-5x)^{-\frac12}$, $x\lt\tfrac45$, in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^{2}$, giving each coefficient as a fully simplified fraction.
(b) $f(x)=\dfrac{2+kx}{\sqrt{4-5x}}$ where $k$ is a constant and $x\lt\tfrac45$. Given that the series expansion of $f(x)$, in ascending powers of $x$, is $1+\tfrac{3}{10}x+mx^{2}+\cdots$ where $m$ is a constant, find the value of $k$.
(c) find the value of $m$.
(ก) ใช้การกระจายทวินามหา $(4-5x)^{-\frac12}$ เมื่อ $x\lt\tfrac45$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก ถึงพจน์ $x^{2}$ ให้แต่ละสัมประสิทธิ์อยู่ในรูปเศษส่วนอย่างง่ายที่สุด
(ข) $f(x)=\dfrac{2+kx}{\sqrt{4-5x}}$ โดยที่ $k$ เป็นค่าคงที่และ $x\lt\tfrac45$ กำหนดให้การกระจายอนุกรมของ $f(x)$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก คือ $1+\tfrac{3}{10}x+mx^{2}+\cdots$ โดยที่ $m$ เป็นค่าคงที่ จงหาค่าของ $k$
(ค) หาค่าของ $m$
Answershow ▾
8 marks: four for the expansion, two for finding $k$, two more for finding $m$.8 คะแนน: สี่คะแนนสำหรับการกระจาย สองคะแนนสำหรับหา $k$ และอีกสองคะแนนสำหรับหา $m$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Partial fractions, then two series added เศษส่วนย่อยแล้วบวกอนุกรมสองพจน์
$f(x)=\dfrac{5x+10}{(1-x)(2+3x)}$
(a) Write $f(x)$ in partial fraction form.
(b)(i) Hence find, in ascending powers of $x$ up to and including the term in $x^{2}$, the binomial series expansion of $f(x)$. Give each coefficient as a simplified fraction.
(b)(ii) Find the range of values of $x$ for which this expansion is valid.
$f(x)=\dfrac{5x+10}{(1-x)(2+3x)}$
(ก) เขียน $f(x)$ ในรูปเศษส่วนย่อย (partial fraction)
(b)(i) จากนั้นหาการกระจายอนุกรมทวินามของ $f(x)$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก ถึงพจน์ $x^{2}$ ให้แต่ละสัมประสิทธิ์อยู่ในรูปเศษส่วนอย่างง่าย
(b)(ii) หาช่วงค่าของ $x$ ที่ทำให้การกระจายนี้ใช้ได้
$5x+10\equiv A(2+3x)+B(1-x)$. Substitute $x=1$ to find $A$.
$5x+10\equiv A(2+3x)+B(1-x)$ จงแทน $x=1$ เพื่อหา $A$
Answershow ▾
At $x=1$, the $B$ term vanishes since $1-x=0$.เมื่อ $x=1$ พจน์ $B$ หายไป เพราะ $1-x=0$
$5x+10\equiv A(2+3x)+B(1-x)$. Substitute $x=-\tfrac23$ to find $B$.
$5x+10\equiv A(2+3x)+B(1-x)$ จงแทน $x=-\tfrac23$ เพื่อหา $B$
Answershow ▾
At $x=-\tfrac23$, the $A$ term vanishes since $2+3x=0$.เมื่อ $x=-\tfrac23$ พจน์ $A$ หายไป เพราะ $2+3x=0$
Expand $(1-x)^{-1}$, in ascending powers of $x$, up to the term in $x^{2}$.
จงกระจาย $(1-x)^{-1}$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก ถึงพจน์ $x^{2}$
Answershow ▾
With $n=-1$ and $u=-x$, every term has coefficient $1$.เมื่อ $n=-1$ และ $u=-x$ ทุกพจน์มีสัมประสิทธิ์เป็น $1$
To expand $(2+3x)^{-1}$ as a series, pick the correct first move.
(A) factor out $2^{-1}$: $(2+3x)^{-1}=\tfrac12\left(1+\tfrac32x\right)^{-1}$
(B) expand directly with $u=3x$
(C) factor out $3^{-1}$: $(2+3x)^{-1}=\tfrac13\left(\tfrac23+x\right)^{-1}$
เพื่อกระจาย $(2+3x)^{-1}$ เป็นอนุกรม จงเลือกขั้นแรกที่ถูกต้อง
(A) ดึง $2^{-1}$ ออก: $(2+3x)^{-1}=\tfrac12\left(1+\tfrac32x\right)^{-1}$
(B) กระจายตรงๆด้วย $u=3x$
(C) ดึง $3^{-1}$ ออก: $(2+3x)^{-1}=\tfrac13\left(\tfrac23+x\right)^{-1}$
Answershow ▾
(B) treats the bracket as if it already started with $1$ - but it is $2+3x$, not $1+3x$, so $u=3x$ is not valid yet. (C) factors by the wrong number - $\tfrac23+x$ still does not start with $1$.(B) มองว่าวงเล็บขึ้นต้นด้วย $1$ แล้ว แต่จริงๆคือ $2+3x$ ไม่ใช่ $1+3x$ จึงใช้ $u=3x$ ยังไม่ได้ · (C) ดึงตัวเลขผิด เพราะ $\tfrac23+x$ ก็ยังไม่ขึ้นต้นด้วย $1$
Write $(2+3x)^{-1}$ as $2^{-1}$ multiplied by a bracket starting with $1$.
จงเขียน $(2+3x)^{-1}$ เป็น $2^{-1}$ คูณวงเล็บที่ขึ้นต้นด้วย $1$
Answershow ▾
Divide $3x$ by the $2$ you are factoring out.หาร $3x$ ด้วย $2$ ที่ดึงออกมา
Expand $\left(1+\tfrac32x\right)^{-1}$, up to the term in $x^{2}$.
จงกระจาย $\left(1+\tfrac32x\right)^{-1}$ ถึงพจน์ $x^2$
Answershow ▾
With $n=-1$ and $u=\tfrac32x$, the signs alternate $+,-,+,-$.เมื่อ $n=-1$ และ $u=\tfrac32x$ เครื่องหมายสลับ $+,-,+,-$
Multiply question 5's series by $4\times\tfrac12$, using $B=4$ from question 2.
จงคูณอนุกรมจากข้อ 5 ด้วย $4\times\tfrac12$ โดยใช้ $B=4$ จากข้อ 2
Answershow ▾
$4\times\tfrac12=2$; multiply every term of question 5 by $2$.$4\times\tfrac12=2$ คูณทุกพจน์ของข้อ 5 ด้วย $2$
Add $3+3x+3x^{2}$ (from $A=3$ and question 3) and $2-3x+\tfrac92x^{2}$ (question 6) to get $f(x)$.
จงบวก $3+3x+3x^{2}$ (จาก $A=3$ และข้อ 3) กับ $2-3x+\tfrac92x^{2}$ (ข้อ 6) เพื่อหา $f(x)$
Answershow ▾
The $x$ terms $3x$ and $-3x$ cancel exactly.พจน์ $x$ คือ $3x$ กับ $-3x$ หักกันพอดี
$(1-x)^{-1}$ needs $|x|\lt1$ and $(2+3x)^{-1}$ needs $\left|\tfrac32x\right|\lt1$. State the range for which $f(x)$ is valid.
$(1-x)^{-1}$ ต้องมี $|x|\lt1$ และ $(2+3x)^{-1}$ ต้องมี $\left|\tfrac32x\right|\lt1$ จงหาช่วงที่ $f(x)$ ใช้ได้
Answershow ▾
Both must hold at once, so the TIGHTER (smaller) range wins.ต้องเป็นจริงทั้งสองเงื่อนไข จึงใช้ช่วงที่แคบกว่า
$f(x)=\dfrac{7x+5}{(1-x)(1+3x)}$. Write $f(x)$ in partial fractions, hence expand it to the term in $x^{2}$, and state the range of values of $x$ for which this expansion is valid.
$f(x)=\dfrac{7x+5}{(1-x)(1+3x)}$ จงเขียน $f(x)$ ในรูปเศษส่วนย่อย แล้วกระจายถึงพจน์ $x^2$ และหาช่วงค่าของ $x$ ที่ใช้ได้
Answershow ▾
Same moves: partial fractions, two separate series, add them, then the tighter range.ขั้นตอนเดิม: เศษส่วนย่อย สองอนุกรมแยกกัน บวกกัน แล้วหาช่วงที่แคบกว่า
$f(x)=\dfrac{5x+10}{(1-x)(2+3x)}$
(a) Write $f(x)$ in partial fraction form.
(b)(i) Hence find, in ascending powers of $x$ up to and including the term in $x^{2}$, the binomial series expansion of $f(x)$. Give each coefficient as a simplified fraction.
(b)(ii) Find the range of values of $x$ for which this expansion is valid.
$f(x)=\dfrac{5x+10}{(1-x)(2+3x)}$
(ก) เขียน $f(x)$ ในรูปเศษส่วนย่อย (partial fraction)
(b)(i) จากนั้นหาการกระจายอนุกรมทวินามของ $f(x)$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก ถึงพจน์ $x^{2}$ ให้แต่ละสัมประสิทธิ์อยู่ในรูปเศษส่วนอย่างง่าย
(b)(ii) หาช่วงค่าของ $x$ ที่ทำให้การกระจายนี้ใช้ได้
Answershow ▾
9 marks: three for the partial fractions, five for the expansion, one for the range.9 คะแนน: สามคะแนนสำหรับเศษส่วนย่อย ห้าคะแนนสำหรับการกระจาย หนึ่งคะแนนสำหรับช่วงที่ใช้ได้
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two related expansions by symmetry การกระจายสองแบบที่สัมพันธ์กันด้วยความสมมาตร
(a) Find the first 4 terms of the binomial expansion, in ascending powers of $x$, of $\left(\tfrac14+\tfrac12x\right)^{\frac12}$, $x\lt\tfrac12$, giving each term in simplest form.
(b) Given that $\left(\tfrac14+\tfrac12x\right)^{\frac12}=\left(\tfrac14\right)^{\frac12}(1+2x)^{n}$, write down the value of $n$.
(c) Hence, or otherwise, find the first 3 terms of the binomial expansion, in ascending powers of $x$, of $\left(\tfrac14-\tfrac12x\right)^{\frac12}$, $x\lt\tfrac12$, giving each term in simplest form.
(ก) หาสี่พจน์แรกของการกระจายทวินามของ $\left(\tfrac14+\tfrac12x\right)^{\frac12}$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก เมื่อ $x\lt\tfrac12$ แต่ละพจน์ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด
(ข) กำหนดให้ $\left(\tfrac14+\tfrac12x\right)^{\frac12}=\left(\tfrac14\right)^{\frac12}(1+2x)^{n}$ จงเขียนค่าของ $n$
(ค) จากนั้น (หรือด้วยวิธีอื่น) หาสามพจน์แรกของการกระจายทวินามของ $\left(\tfrac14-\tfrac12x\right)^{\frac12}$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก เมื่อ $x\lt\tfrac12$ แต่ละพจน์ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด
Write $\left(\tfrac14+\tfrac12x\right)^{\frac12}$ as $\left(\tfrac14\right)^{\frac12}$ multiplied by a bracket starting with $1$.
จงเขียน $\left(\tfrac14+\tfrac12x\right)^{1/2}$ เป็น $\left(\tfrac14\right)^{1/2}$ คูณวงเล็บที่ขึ้นต้นด้วย $1$
Answershow ▾
Divide $\tfrac12x$ by the $\tfrac14$ you are factoring out: $\tfrac12\div\tfrac14=2$.หาร $\tfrac12x$ ด้วย $\tfrac14$ ที่ดึงออกมา: $\tfrac12\div\tfrac14=2$
Work out $\dfrac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)}{2!}$.
จงหา $\dfrac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)}{2!}$
Answershow ▾
$\tfrac12\times\left(-\tfrac12\right)=-\tfrac14$, then divide by $2!=2$.$\tfrac12\times\left(-\tfrac12\right)=-\tfrac14$ แล้วหารด้วย $2!=2$
Work out $\dfrac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)}{3!}$.
จงหา $\dfrac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)}{3!}$
Answershow ▾
The top multiplies to $\tfrac38$, then divide by $3!=6$.ตัวเศษคูณกันได้ $\tfrac38$ แล้วหารด้วย $3!=6$
After factoring, $\left(\tfrac14+\tfrac12x\right)^{\frac12}=\tfrac12(1+2x)^{\frac12}$. Pick the correct $n$ and $u$.
(A) $n=\tfrac12$, $u=2x$
(B) $n=\tfrac12$, $u=\tfrac12x$
(C) $n=\tfrac14$, $u=2x$
หลังดึง $\left(\tfrac14\right)^{1/2}$ ออกแล้ว $\left(\tfrac14+\tfrac12x\right)^{1/2}=\tfrac12(1+2x)^{1/2}$ จงเลือก $n$ และ $u$ ที่ถูกต้อง
(A) $n=\tfrac12$, $u=2x$
(B) $n=\tfrac12$, $u=\tfrac12x$
(C) $n=\tfrac14$, $u=2x$
Answershow ▾
(B) uses $\tfrac12x$, the original coefficient of $x$ before factoring - but the bracket is now $1+2x$, so $u$ must match what is inside it. (C) confuses the factored constant $\tfrac14$ with the power $n$, which is really $\tfrac12$.(B) ใช้ $\tfrac12x$ ซึ่งเป็นสัมประสิทธิ์ของ $x$ ก่อนดึงตัวประกอบออก แต่วงเล็บตอนนี้คือ $1+2x$ แล้ว $u$ ต้องตรงกับข้างใน · (C) สับสนค่าคงที่ที่ดึงออก $\tfrac14$ กับกำลัง $n$ ซึ่งจริงๆคือ $\tfrac12$
Work out the $x$ term: $\tfrac12\times n\times2$ with $n=\tfrac12$.
จงหาพจน์ $x$: $\tfrac12\times n\times2$ เมื่อ $n=\tfrac12$
Answershow ▾
Multiply the factored $\tfrac12$ by $n$, then by $2$.คูณ $\tfrac12$ ที่ดึงออกมาด้วย $n$ แล้วคูณด้วย $2$
Work out the $x^{2}$ term: $\tfrac12\times\left(-\tfrac18\right)\times4$, using question 2's $-\tfrac18$.
จงหาพจน์ $x^{2}$: $\tfrac12\times\left(-\tfrac18\right)\times4$ โดยใช้ $-\tfrac18$ จากข้อ 2
Answershow ▾
$(2x)^{2}=4x^{2}$, then multiply by $\tfrac12$ and $-\tfrac18$.$(2x)^2=4x^2$ แล้วคูณด้วย $\tfrac12$ และ $-\tfrac18$
Work out the $x^{3}$ term: $\tfrac12\times\tfrac1{16}\times8$, using question 3's $\tfrac1{16}$.
จงหาพจน์ $x^{3}$: $\tfrac12\times\tfrac1{16}\times8$ โดยใช้ $\tfrac1{16}$ จากข้อ 3
Answershow ▾
$(2x)^{3}=8x^{3}$, then multiply by $\tfrac12$ and $\tfrac1{16}$.$(2x)^3=8x^3$ แล้วคูณด้วย $\tfrac12$ และ $\tfrac1{16}$
Write $\left(\tfrac14+\tfrac12x\right)^{\frac12}$ as $\tfrac12$ plus the $x$, $x^{2}$ and $x^{3}$ terms from questions 4, 5 and 6.
จงเขียน $\left(\tfrac14+\tfrac12x\right)^{1/2}$ เป็น $\tfrac12$ บวกพจน์ $x$, $x^2$ และ $x^3$ จากข้อ 4, 5 และ 6
Answershow ▾
Same three terms, now after the leading $\tfrac12$.สามพจน์เดิม นำมาต่อกันหลังเลข $\tfrac12$
State the value of $n$ from $\left(\tfrac14+\tfrac12x\right)^{\frac12}=\left(\tfrac14\right)^{\frac12}(1+2x)^{n}$, then replace $x$ with $-x$ in question 7 to find the expansion of $\left(\tfrac14-\tfrac12x\right)^{\frac12}$.
จงบอกค่า $n$ จาก $\left(\tfrac14+\tfrac12x\right)^{1/2}=\left(\tfrac14\right)^{1/2}(1+2x)^{n}$ แล้วแทน $x$ ด้วย $-x$ ในข้อ 7 เพื่อหาการกระจายของ $\left(\tfrac14-\tfrac12x\right)^{1/2}$
Answershow ▾
Only the odd powers of $x$ change sign; the $x^{2}$ coefficient stays $-\tfrac14$.มีแค่กำลังคี่ของ $x$ที่เปลี่ยนเครื่องหมาย สัมประสิทธิ์ $x^2$ ยังเป็น $-\tfrac14$ เหมือนเดิม
Find the first three terms of $\left(\tfrac19+\tfrac13x\right)^{\frac12}$, then use $x\to-x$ to find the first three terms of $\left(\tfrac19-\tfrac13x\right)^{\frac12}$.
จงหาสามพจน์แรกของ $\left(\tfrac19+\tfrac13x\right)^{1/2}$ แล้วใช้ $x\to-x$ เพื่อหาสามพจน์แรกของ $\left(\tfrac19-\tfrac13x\right)^{1/2}$
Answershow ▾
Same factor-then-expand method, with $\tfrac19$ and $\tfrac13x$ this time.วิธีเดิม ดึงตัวประกอบแล้วกระจาย คราวนี้ใช้ $\tfrac19$ และ $\tfrac13x$
(a) Find the first 4 terms of the binomial expansion, in ascending powers of $x$, of $\left(\tfrac14+\tfrac12x\right)^{\frac12}$, $x\lt\tfrac12$, giving each term in simplest form.
(b) Given that $\left(\tfrac14+\tfrac12x\right)^{\frac12}=\left(\tfrac14\right)^{\frac12}(1+2x)^{n}$, write down the value of $n$.
(c) Hence, or otherwise, find the first 3 terms of the binomial expansion, in ascending powers of $x$, of $\left(\tfrac14-\tfrac12x\right)^{\frac12}$, $x\lt\tfrac12$, giving each term in simplest form.
(ก) หาสี่พจน์แรกของการกระจายทวินามของ $\left(\tfrac14+\tfrac12x\right)^{\frac12}$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก เมื่อ $x\lt\tfrac12$ แต่ละพจน์ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด
(ข) กำหนดให้ $\left(\tfrac14+\tfrac12x\right)^{\frac12}=\left(\tfrac14\right)^{\frac12}(1+2x)^{n}$ จงเขียนค่าของ $n$
(ค) จากนั้น (หรือด้วยวิธีอื่น) หาสามพจน์แรกของการกระจายทวินามของ $\left(\tfrac14-\tfrac12x\right)^{\frac12}$ เรียงตามกำลังของ $x$ จากน้อยไปมาก เมื่อ $x\lt\tfrac12$ แต่ละพจน์ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด
Answershow ▾
9 marks: five for part (a), one for stating $n$, three for applying the symmetry in part (c).9 คะแนน: ห้าคะแนนสำหรับข้อ (a) หนึ่งคะแนนสำหรับบอกค่า $n$ สามคะแนนสำหรับใช้ความสมมาตรในข้อ (c)