Binomial series · practice ladders ชุดไต่ระดับ · อนุกรมทวินาม
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Binomial series · expanding for a negative or fractional power
(a) Find the binomial expansion of $(1 + 4x)^{-3}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^3$, simplifying each coefficient.
(b) State the range of values of $x$ for which the expansion is valid.
For $n = -2$, evaluate $\dfrac{n(n-1)}{2!}$.
เมื่อ $n = -2$ จงหาค่า $\dfrac{n(n-1)}{2!}$
Answershow ▾
This is the pattern that replaces $\binom{n}{k}$ once $n$ is negative or a fraction — it still means exactly the same thing: multiply $k$ falling factors of $n$ together and divide by $k!$.
Expand $(1+x)^{-2}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^2$.
จงกระจาย $(1+x)^{-2}$ ในรูปกำลังเรียงจากน้อยไปมากของ $x$ ถึงพจน์ $x^2$
Answershow ▾
Use $(1+u)^n = 1 + nu + \dfrac{n(n-1)}{2!}u^2 + \dfrac{n(n-1)(n-2)}{3!}u^3 + \cdots$ with $u = x$ and this $n$ — the series never terminates here, so stop deliberately at $x^2$ rather than because a coefficient became $0$.
The expansion $(1+u)^n = 1 + nu + \cdots$ is only valid when $|u| \lt 1$. If $u = 6x$, write down the range of values of $x$ for which the expansion is valid.
การกระจาย $(1+u)^n = 1 + nu + \cdots$ ใช้ได้เมื่อ $|u| \lt 1$ เท่านั้น ถ้า $u = 6x$ จงหาช่วงของค่า $x$ ที่ทำให้การกระจายใช้ได้
Answershow ▾
Divide the whole inequality $|u| \lt 1$ through by the coefficient of $x$ inside $u$ — this is exactly how part (b) of the exam question is answered.
The formula only knows $(1 + u)^{n}$. For $(1 + 4x)^{-3}$, write down $n$ and write down $u$. A student gives the term in $x$ as $-3x$. Which of the two did they get wrong, and what is the correct term?
สูตรรู้จักแต่รูป $(1 + u)^{n}$ · สำหรับ $(1 + 4x)^{-3}$ จงเขียนค่า $n$ และค่า $u$ · นักเรียนคนหนึ่งตอบพจน์ที่มี $x$ ว่า $-3x$ · เขาผิดที่ตัวไหนในสองตัวนั้น และพจน์ที่ถูกคืออะไร
Answershow ▾
$u$ is everything that sits with the $1$ inside the bracket, and it carries its own coefficient into every single term: $u^2 = 16x^2$, $u^3 = 64x^3$. Take $u = x$ and all three coefficients come out too small by a factor of $4$, $16$ and $64$ respectively — three wrong answers from one unstated decision. Naming $n$ and $u$ out loud before starting costs one line and earns no mark.$u$ คือทุกอย่างที่อยู่กับเลข $1$ ในวงเล็บ และมันพาสัมประสิทธิ์ของตัวเองเข้าไปในทุกพจน์: $u^2 = 16x^2$, $u^3 = 64x^3$ · ถ้าใช้ $u = x$ สัมประสิทธิ์ทั้งสามจะเล็กเกินไป $4$, $16$ และ $64$ เท่าตามลำดับ คือคำตอบผิดสามข้อจากการตัดสินใจที่ไม่เคยเขียนออกมาครั้งเดียว · การเขียน $n$ กับ $u$ ออกมาก่อนเริ่มใช้บรรทัดเดียวและไม่มีคะแนน
Find the first two terms (up to and including the term in $x$) of the expansion of $(1 + 4x)^{-3}$, simplifying the coefficient.
Answershow ▾
$u = 4x$, so the term in $x$ is $nu = -3 \times 4x = -12x$.
Find the coefficients of $x^2$ and $x^3$ in the expansion of $(1 + 4x)^{-3}$, simplified.
Answershow ▾
$\dfrac{n(n-1)}{2!}(4)^2 = 96$ and $\dfrac{n(n-1)(n-2)}{3!}(4)^3 = -640$.
$(1 + x)^{5}$ has six terms and then stops. $(1 + 4x)^{-3}$ never stops. Which feature of $n$ decides that — and since nothing stops it, what tells you where to stop writing?
$(1 + x)^{5}$ มีหกพจน์แล้วจบ · $(1 + 4x)^{-3}$ ไม่มีวันจบ · ลักษณะใดของ $n$ เป็นตัวตัดสิน และเมื่อไม่มีอะไรหยุดมัน อะไรบอกว่าจะหยุดเขียนตรงไหน
Answershow ▾
With $n = 5$ the sixth coefficient contains the factor $(5 - 5) = 0$ and the series dies of its own accord. With $n = -3$ the running product $-3,\, -4,\, -5,\, \ldots$ never hits zero, so the series is infinite and the instruction line is the only thing that ends it. Stopping one term early loses a mark that is written down; carrying on to $x^{4}$ wastes a minute and can lose an accuracy mark for an unasked-for term. Nothing pays for reading the words.เมื่อ $n = 5$ สัมประสิทธิ์ตัวที่หกมีตัวประกอบ $(5 - 5) = 0$ อนุกรมจึงตายไปเอง · เมื่อ $n = -3$ ผลคูณต่อเนื่อง $-3,\, -4,\, -5,\, \ldots$ ไม่มีวันเป็นศูนย์ อนุกรมจึงยาวไม่สิ้นสุด และมีแต่บรรทัดคำสั่งเท่านั้นที่หยุดมันได้ · หยุดเร็วไปหนึ่งพจน์คือเสียคะแนนที่เขียนไว้ให้ ส่วนเขียนต่อถึง $x^{4}$ เสียเวลาหนึ่งนาที และอาจเสียคะแนนความถูกต้องจากพจน์ที่ไม่ได้ถูกถาม · ไม่มีคะแนนให้กับการอ่านคำสั่ง
For the expansion of $(1 + 4x)^{-3}$, state the range of values of $x$ for which it is valid.
Answershow ▾
Same move as question 3, with $u = 4x$: $|4x| \lt 1 \iff - \frac{1}{4} \lt x \lt \frac{1}{4}$. This is part (b) in full.
The expansion is valid when $|u| \lt 1$, and $u$ is not $x$. Which of these is the answer to part (b), and where does each of the other two come from?
(A) $-1 \lt x \lt 1$ (B) $-\dfrac{1}{4} \lt x \lt \dfrac{1}{4}$ (C) $-4 \lt x \lt 4$
การกระจายใช้ได้เมื่อ $|u| \lt 1$ และ $u$ ไม่ใช่ $x$ · ข้อไหนคือคำตอบของข้อ (b) และอีกสองข้อมาจากไหน
(A) $-1 \lt x \lt 1$ (B) $-\dfrac{1}{4} \lt x \lt \dfrac{1}{4}$ (C) $-4 \lt x \lt 4$
Answershow ▾
(A) is the range for $u$ itself, written down without translating it into $x$. (C) multiplies by $4$ where it should divide, which is the same slip in reverse. The rule is one line long: whatever the bracket calls $u$, divide the whole inequality by the coefficient of $x$ inside it. Note also that the range depends only on $u$ — it is the same whether you stopped at $x^{3}$ or at $x^{30}$. The B1 pays for the finished inequality; nothing pays for noticing that $u \ne x$.(A) คือช่วงของ $u$ เอง เขียนลงไปโดยไม่แปลงกลับเป็น $x$ · (C) คูณด้วย $4$ ทั้งที่ต้องหาร คือความพลาดเดียวกันกลับด้าน · กฎยาวบรรทัดเดียว: ไม่ว่า $u$ ในวงเล็บคืออะไร ให้หารอสมการทั้งอันด้วยสัมประสิทธิ์ของ $x$ ที่อยู่ในนั้น · สังเกตด้วยว่าช่วงนี้ขึ้นกับ $u$ อย่างเดียว จะหยุดที่ $x^{3}$ หรือ $x^{30}$ ก็ได้ช่วงเดียวกัน · B1 ให้กับอสมการที่เขียนเสร็จ ไม่มีคะแนนให้กับการสังเกตว่า $u \ne x$
Hence expand $(1 + 4x)^{-3}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^3$.
Answershow ▾
Questions 4 and 5 side by side, in order — this is part (a) of the exam question in full.
The expansion of $(1 + 4x)^{-3}$ is $1 - 12x + 96x^2 - 640x^3$. State the range of values of $x$ for which this expansion is valid.
Answershow ▾
Same as question 6 — the validity range depends only on $u = ax$, not on how far the series has been expanded. This is part (b).
(a) Find the binomial expansion of $(1+x)^{- \frac{1}{2}}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^3$, simplifying each coefficient.
(b) State the range of values of $x$ for which the expansion is valid.
Answershow ▾
Same two parts as the exam question, but with easier numbers throughout.
(a) Find the binomial expansion of $(1 + 4x)^{-3}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^3$, simplifying each coefficient.
(b) State the range of values of $x$ for which the expansion is valid.
Answershow ▾
7 marks. Questions 4 and 5 build part (a); question 6 (same as question 8) is part (b).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 valid when $|4x| \lt 1$ A1 $- \frac{1}{4} \lt x \lt \frac{1}{4}$.
Binomial series · factor out first, then expand
(a) Express $\dfrac{1}{\sqrt{9 + 2x}}$ in the form $\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{9}x\right)^{- \frac{1}{2}}$, and hence find its binomial expansion in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^3$, simplifying each coefficient.
(b) State the range of values of $x$ for which the expansion is valid.
(c) Use the expansion, with a suitable value of $x$, to estimate $\dfrac{1}{\sqrt{9.02}}$, giving your answer to 3 decimal places.
Write $4 + x$ in the form $4\left(1+cx\right)$, stating the value of $c$.
จงเขียน $4 + x$ ในรูป $4(1+cx)$ พร้อมระบุค่า $c$
Answershow ▾
Take out the factor of $4$ from every term: $4 + x = 4\left(1+\dfrac{1}{4}x\right)$ — this is the step the whole exam question depends on.
Find the value of $4^{- \frac{1}{2}}$.
จงหาค่า $4^{- \frac{1}{2}}$
Answershow ▾
$A^n$ becomes an ordinary root once you remember what the power means — a negative power flips it to a fraction, and a power of $\tfrac12$ or $\tfrac13$ is a square or cube root.
Given that $\left(1+\frac{1}{4}x\right)^m$ is valid for $\left|\frac{1}{4}x\right| \lt 1$, state the range of values of $x$.
กำหนดให้ $\left(1+\frac{1}{4}x\right)^m$ ใช้ได้เมื่อ $\left|\frac{1}{4}x\right| \lt 1$ จงหาช่วงของค่า $x$
Answershow ▾
Divide $|u| \lt 1$ through by the coefficient of $x$ inside $u$ — exactly as in the unfactored case, just with a fraction for a coefficient now.
$(9 + 2x)^{-1/2}$ is not in the shape the formula knows. Which of these puts it there, and what happens to the number you took out?
(A) $\left(9 + 2x\right)^{-1/2}$ as it stands (B) $9^{-1/2}\left(1 + \frac{2}{9}x\right)^{-1/2}$ (C) $\left(1 + \frac{2}{9}x\right)^{-1/2}$
$(9 + 2x)^{-1/2}$ ยังไม่อยู่ในรูปที่สูตรรู้จัก · ข้อไหนจัดให้อยู่ในรูปนั้น และตัวเลขที่ดึงออกมาเกิดอะไรขึ้น
(A) $\left(9 + 2x\right)^{-1/2}$ ตามเดิม (B) $9^{-1/2}\left(1 + \frac{2}{9}x\right)^{-1/2}$ (C) $\left(1 + \frac{2}{9}x\right)^{-1/2}$
Answershow ▾
(A) has no $1$ to expand around, so the formula simply does not apply. (C) drops the $9$ altogether, which changes the function: every term of the answer would be three times too big. The factor does not disappear — it comes out through the power and lands in front as $\tfrac13$. The question hands you the finished form this time; next time it will not, and the M1 is written for the expansion, not for the factorisation that made it possible.(A) ไม่มีเลข $1$ ให้กระจายรอบ ๆ สูตรจึงใช้ไม่ได้เลย · (C) ทิ้งเลข $9$ ไปทั้งตัว ซึ่งเปลี่ยนฟังก์ชัน ทุกพจน์ของคำตอบจะใหญ่เกินไปสามเท่า · ตัวประกอบไม่ได้หายไป มันออกมาผ่านเลขชี้กำลังแล้วมายืนอยู่ข้างหน้าเป็น $\tfrac13$ · ข้อนี้โจทย์เขียนรูปสำเร็จมาให้ ครั้งหน้าจะไม่เขียนให้ และ M1 เขียนไว้สำหรับการกระจาย ไม่ใช่สำหรับการแยกตัวประกอบที่ทำให้กระจายได้
Write $9 + 2x$ in the form $9\left(1+\frac{2}{9}x\right)$, and state the value of $9^{- \frac{1}{2}}$.
Answershow ▾
Same move as questions 1 and 2 together — this turns $\dfrac{1}{\sqrt{9 + 2x}}$ into $\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{9}x\right)^{- \frac{1}{2}}$, which now has the standard $(1+u)^n$ shape.
Expand $\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{9}x\right)^{- \frac{1}{2}}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^3$, simplifying each coefficient.
Answershow ▾
Use $(1+u)^n = 1 + nu + \dfrac{n(n-1)}{2!}u^2 + \dfrac{n(n-1)(n-2)}{3!}u^3 + \cdots$ with $u = \frac{2}{9}x$, then multiply every term by $\frac{1}{3}$.
The $\tfrac{1}{3}$ sits outside the bracket. Which of these two is the expansion of $\tfrac{1}{3}\left(1 + \tfrac{2}{9}x\right)^{-1/2}$, and what has the other one done?
(A) $\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{27}x + \dfrac{1}{162}x^2 - \dfrac{5}{4374}x^3$ (B) $\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{9}x + \dfrac{1}{54}x^2 - \dfrac{5}{1458}x^3$
$\tfrac{1}{3}$ อยู่นอกวงเล็บ · ข้อไหนคือการกระจายของ $\tfrac{1}{3}\left(1 + \tfrac{2}{9}x\right)^{-1/2}$ และอีกข้อทำอะไรผิด
(A) $\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{27}x + \dfrac{1}{162}x^2 - \dfrac{5}{4374}x^3$ (B) $\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{9}x + \dfrac{1}{54}x^2 - \dfrac{5}{1458}x^3$
Answershow ▾
The $\tfrac13$ is a factor of the WHOLE bracket, so it multiplies every term of the expansion, not just the leading $1$. (B) is what you get by expanding the bracket, writing the $\tfrac13$ in front of the first term out of habit, and forgetting it thereafter — and it looks convincing, because its first term is right. Multiply through as the last action, on every term at once. The A1 marks are per coefficient, so this single lapse loses three of them.$\tfrac13$ เป็นตัวประกอบของวงเล็บ "ทั้งก้อน" มันจึงคูณทุกพจน์ของการกระจาย ไม่ใช่แค่เลข $1$ ตัวแรก · (B) คือสิ่งที่ได้จากการกระจายวงเล็บ แล้วเขียน $\tfrac13$ ไว้หน้าพจน์แรกตามความเคยชิน แล้วลืมมันหลังจากนั้น และมันดูน่าเชื่อเพราะพจน์แรกถูก · ให้คูณเป็นขั้นสุดท้าย ทุกพจน์พร้อมกัน · คะแนน A1 ให้เป็นรายสัมประสิทธิ์ ความพลาดครั้งเดียวนี้จึงเสียไปสามคะแนน
For the expansion of $\dfrac{1}{\sqrt{9 + 2x}}$, state the range of values of $x$ for which it is valid.
Answershow ▾
Same move as question 3: $\left|\frac{2}{9}x\right| \lt 1 \iff - \frac{9}{2} \lt x \lt \frac{9}{2}$. This is part (b) in full.
Express $\dfrac{1}{\sqrt{9 + 2x}}$ in the form $\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{9}x\right)^{- \frac{1}{2}}$, hence expand it up to and including the term in $x^3$, and state the range of values of $x$ for which the expansion is valid.
Answershow ▾
Questions 4, 5 and 6 chained — parts (a) and (b) of the exam question, in order.
The expansion of $\dfrac{1}{\sqrt{9 + 2x}}$ is $\frac{1}{3} - \frac{1}{27}x + \frac{1}{162}x^2 - \frac{5}{4374}x^3$. Use a suitable small value of $x$ to estimate $\dfrac{1}{\sqrt{9.02}}$, giving your answer to 3 decimal places.
Answershow ▾
$9 + 2x$ equals $9.02$ when $x = 0.01$ — a value well inside the validity range from question 6, which is exactly why the estimate is trustworthy. Substitute it into every term of the expansion, then round.
Part (c) says use a suitable value of $x$. Solve $9 + 2x = 9.02$ for $x$, then check that value against the range you found in part (b). Then say what would go wrong if the question had asked you to estimate $\dfrac{1}{\sqrt{19}}$ from the same expansion.
ข้อ (c) สั่งให้ใช้ค่า $x$ ที่ เหมาะสม · จงแก้ $9 + 2x = 9.02$ หาค่า $x$ แล้วตรวจค่านั้นกับช่วงที่ได้จากข้อ (b) · แล้วบอกว่าถ้าโจทย์ให้ประมาณ $\dfrac{1}{\sqrt{19}}$ จากการกระจายเดียวกัน จะเกิดอะไรขึ้น
Answershow ▾
“Suitable” does two jobs: the value has to reproduce the number you want, and it has to lie inside the validity range, or the series is not approaching anything. $x = 0.01$ is tiny, so the $x^{3}$ term is around $10^{-8}$ and three decimal places are safe. $x = 5$ sits beyond $\tfrac92$, where the terms grow instead of shrinking and the four-term answer is nonsense that still looks like a number. Part (b) exists to make part (c) trustworthy, and no mark connects them.คำว่า "suitable" ทำสองหน้าที่: ค่านั้นต้องให้ตัวเลขที่ต้องการ และต้องอยู่ในช่วงที่ใช้ได้ ไม่อย่างนั้นอนุกรมไม่ได้ลู่เข้าหาอะไรเลย · $x = 0.01$ เล็กมาก พจน์ $x^{3}$ จึงประมาณ $10^{-8}$ และทศนิยมสามตำแหน่งปลอดภัย · $x = 5$ อยู่เลย $\tfrac92$ ออกไป ตรงนั้นพจน์โตขึ้นแทนที่จะเล็กลง และคำตอบสี่พจน์เป็นเรื่องไร้สาระที่ยังดูเหมือนตัวเลข · ข้อ (b) มีอยู่เพื่อทำให้ข้อ (c) เชื่อถือได้ และไม่มีคะแนนไหนเชื่อมสองข้อนี้เข้าด้วยกัน
(a) Express $\dfrac{1}{\sqrt{4 + x}}$ in the form $\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{4}x\right)^{- \frac{1}{2}}$, and hence find its binomial expansion up to and including the term in $x^3$, simplifying each coefficient.
(b) State the range of values of $x$ for which the expansion is valid.
(c) Use the expansion to estimate $\dfrac{1}{\sqrt{4.08}}$, to 3 decimal places.
Answershow ▾
Same three parts as the exam question, but with easier numbers throughout.
(a) Express $\dfrac{1}{\sqrt{9 + 2x}}$ in the form $\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{9}x\right)^{- \frac{1}{2}}$, and hence find its binomial expansion in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^3$, simplifying each coefficient.
(b) State the range of values of $x$ for which the expansion is valid.
(c) Use the expansion, with a suitable value of $x$, to estimate $\dfrac{1}{\sqrt{9.02}}$, giving your answer to 3 decimal places.
Answershow ▾
8 marks. Questions 4 and 5 build part (a); question 6 is part (b); question 8 is part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 valid when $\left|\frac{2}{9}x\right| \lt 1$ A1 $- \frac{9}{2} \lt x \lt \frac{9}{2}$.
(c) M1 substitute $x = 0.01$, so that $9 + 2x = 9.02$ A1 $\dfrac{1}{\sqrt{9.02}} \approx 0.333$ (to 3 d.p.).