Differential equations · practice ladders ชุดไต่ระดับ · สมการเชิงอนุพันธ์
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Differential equations · separating, where one side needs partial fractions
A population is modelled by the differential equation $\dfrac{dP}{dt} = kP(30-P)$, where $k = \frac{1}{10}$ is a constant. Given that $P = 5$ when $t = 0$, find $P$ in terms of $t$.
Show that $\dfrac{dw}{dt} = 2w(6-w)$ can be separated, writing it in the form $\displaystyle\int \ldots\,dw = \int \ldots\,dt$.
จงแสดงว่าสมการ $\dfrac{dw}{dt} = 2w(6-w)$ แยกตัวแปรได้ โดยเขียนในรูป $\displaystyle\int \ldots\,dw = \int \ldots\,dt$
Answershow ▾
Every $w$ (including the $dw$) belongs on the left, divided by the whole product $w(6-w)$-style expression; every $t$ (including $dt$) belongs on the right. The partial fractions come later — this step is purely rearranging.
Express $\dfrac{1}{w(6-w)}$ in partial fractions.
จงเขียน $\dfrac{1}{w(6-w)}$ ในรูปเศษส่วนย่อย
Answershow ▾
Write $\dfrac{1}{w(6-w)} = \dfrac{A}{w} + \dfrac{B}{6-w}$, multiply both sides by $w(6-w)$, then substitute $w=0$ and $w=6$ in turn — each substitution kills one of the two unknowns and hands you the other directly.
Using the partial fractions from question 2, find $\displaystyle\int \dfrac{1}{w(6-w)}\,dw$.
ใช้เศษส่วนย่อยจากข้อ 2 จงหา $\displaystyle\int \dfrac{1}{w(6-w)}\,dw$
Answershow ▾
$\int \frac{1}{w}\,dw = \ln w$, and $\int \frac{1}{c-w}\,dw = -\ln(c-w)$ by the chain rule (the derivative of $c-w$ is $-1$) — both scaled by the coefficient found in question 2. Left as a DIFFERENCE of two logs for now; combining them is the next skill.
A student separates and then writes $\displaystyle\int \dfrac{1}{P(30-P)}\,dP = \ln\!\left(P(30-P)\right)$. Name the rule they have misused, say why it does not apply here, and state what has to happen to the left-hand side first.
นักเรียนคนหนึ่งแยกตัวแปรแล้วเขียนว่า $\displaystyle\int \dfrac{1}{P(30-P)}\,dP = \ln\!\left(P(30-P)\right)$ · จงบอกชื่อกฎที่เขาใช้ผิด บอกว่าทำไมใช้ที่นี่ไม่ได้ และบอกว่าฝั่งซ้ายต้องทำอะไรก่อน
Answershow ▾
The log rule needs the numerator to BE the derivative of the denominator, up to a constant. Here the derivative is $30 - 2P$ and the numerator is $1$, so the rule is not available and the integral has to be taken apart instead. Checking that in one line, before reaching for either method, is what separates this question from an ordinary separable equation. The M1 is for the partial fractions; nothing warns you that the faster-looking route is closed.กฎลอการิทึมต้องการให้ตัวเศษ "เป็น" อนุพันธ์ของตัวส่วน (คูณค่าคงที่ได้) · ที่นี่อนุพันธ์คือ $30 - 2P$ ส่วนตัวเศษคือ $1$ กฎจึงใช้ไม่ได้ และต้องแยกอินทิกรัลออกเป็นส่วน ๆ แทน · การตรวจข้อนี้ในบรรทัดเดียวก่อนจะเลือกวิธี คือสิ่งที่แยกโจทย์ข้อนี้ออกจากสมการแยกตัวแปรธรรมดา · M1 ให้กับเศษส่วนย่อย ไม่มีอะไรเตือนว่าทางที่ดูเร็วกว่านั้นปิดอยู่
Given that $\dfrac{dP}{dt} = kP(30-P)$, where $k = \frac{1}{10}$ is a constant, separate the variables, writing the equation in the form $\displaystyle\int \ldots\,dP = \int \ldots\,dt$.
Answershow ▾
Same move as question 1, with the real capacity and rate. This is the first mark of the exam question — recognising the equation separates at all.
Express $\dfrac{1}{P(30-P)}$ in partial fractions.
Answershow ▾
Same move as question 2, with the real capacity. This is the step that makes this question genuinely harder than a plain separable equation — without it, $\frac{1}{P(M-P)}$ cannot be integrated directly.
Using the partial fractions from question 5, find $\displaystyle\int \dfrac{1}{P(30-P)}\,dP$.
Answershow ▾
Same move as question 3, with the real capacity. Together with the right-hand side $\int k\,dt = kt$, this is the general solution — still two separate logarithms.
You have $\frac{1}{30}\ln P - \frac{1}{30}\ln(30-P) = \frac{1}{10}t + c$. Before combining the logs, multiply every term by $30$ and write the new line. What does $\frac{1}{10}t$ become, and what happens to $c$?
ได้ $\frac{1}{30}\ln P - \frac{1}{30}\ln(30-P) = \frac{1}{10}t + c$ · ก่อนจะรวมลอการิทึม ให้คูณทุกพจน์ด้วย $30$ แล้วเขียนบรรทัดใหม่ · $\frac{1}{10}t$ กลายเป็นอะไร และ $c$ เกิดอะไรขึ้น
Answershow ▾
Clearing the $\frac{1}{30}$ first is what makes the log law usable: $\ln P - \ln(30-P)$ combines, but $\frac{1}{30}\ln P - \frac{1}{30}\ln(30-P)$ has to be factorised before it will. And the $3$ in $e^{3t}$ — which the “show that” in question 7 demands — comes from $30 \times \frac{1}{10}$, not from anywhere in the original equation. A constant multiplied by a constant is still just a constant, so renaming it is free. The M1 pays for the combined log; nothing pays for the order of operations that made it possible.การกำจัด $\frac{1}{30}$ ก่อนคือสิ่งที่ทำให้กฎลอการิทึมใช้ได้: $\ln P - \ln(30-P)$ รวมกันได้ แต่ $\frac{1}{30}\ln P - \frac{1}{30}\ln(30-P)$ ต้องดึงตัวประกอบออกก่อนจึงจะรวมได้ · และเลข $3$ ใน $e^{3t}$ ซึ่งคำสั่ง "show that" ในข้อ 7 เรียกร้อง มาจาก $30 \times \frac{1}{10}$ ไม่ได้มาจากที่ไหนในสมการเดิม · ค่าคงที่คูณค่าคงที่ก็ยังเป็นค่าคงที่ การตั้งชื่อใหม่จึงไม่เสียอะไร · M1 ให้กับลอการิทึมที่รวมแล้ว ไม่มีคะแนนให้กับลำดับการทำที่ทำให้มันเกิดขึ้น
Given that $\frac{1}{30}\ln P - \frac{1}{30}\ln(30-P) = \frac{1}{10}t + c$, show that this can be written as $\dfrac{P}{30-P} = Ae^{3t}$, for some constant $A$.
Answershow ▾
Multiply every term by $30$ first, which turns the $\frac{1}{30}$ coefficients into $1$s and turns $kt$ into $3t$; then $\ln P - \ln(30-P) = \ln\left(\frac{P}{30-P}\right)$ combines the two logs into one. Exponentiating both sides (using $\ln y = X + c \Rightarrow y$ $= Ae^X$) clears the log completely — the constant $C$ becomes the constant $A$.
$\dfrac{P}{30-P} = Ae^{3t}$, and $P = 5$ when $t = 0$. Find $A$, then rearrange to express $P$ explicitly in terms of $t$.
Answershow ▾
At $t=0$, $e^0=1$, so $\dfrac{5}{30-5} = A$ gives $A$ directly. Then cross-multiply, $P = A\left(30-P\right)e^{3t}$, collect every term containing $P$ onto the left, factorise $P$ out, and divide — the same 'gather the unknown on one side' rearranging used for any equation, just with $e^{3t}$ playing the role of an ordinary coefficient.
The question says find $P$ in terms of $t$. Three students stop at three different lines. Which one has answered it, and what is still wrong with the other two?
(A) $\ln\!\left(\dfrac{P}{30-P}\right) = 3t + C$ (B) $\dfrac{P}{30-P} = \dfrac{1}{5}e^{3t}$ (C) $P = \dfrac{6e^{3t}}{1 + \frac{1}{5}e^{3t}}$
โจทย์สั่งว่า find $P$ in terms of $t$ · นักเรียนสามคนหยุดที่บรรทัดต่างกัน · ข้อไหนตอบโจทย์แล้ว และอีกสองข้อยังขาดอะไร
(A) $\ln\!\left(\dfrac{P}{30-P}\right) = 3t + C$ (B) $\dfrac{P}{30-P} = \dfrac{1}{5}e^{3t}$ (C) $P = \dfrac{6e^{3t}}{1 + \frac{1}{5}e^{3t}}$
Answershow ▾
(A) still has $P$ inside a logarithm and an unknown $C$ on the page. (B) has cleared the log and found the constant, but $P$ appears twice and on the wrong side of a fraction. Only (C) has $P$ alone on the left with nothing but $t$ on the right. Getting from (B) to (C) is ordinary algebra — cross-multiply, gather every $P$ on one side, factorise, divide — with $e^{3t}$ behaving exactly like an ordinary coefficient. The final A1 is for the explicit form, and stopping at (B) is the commonest way to lose it.(A) ยังมี $P$ อยู่ในลอการิทึม และยังมี $C$ ที่ไม่ทราบค่าค้างอยู่บนกระดาษ · (B) กำจัดลอการิทึมและหาค่าคงที่แล้ว แต่ $P$ ปรากฏสองที่และอยู่ผิดฝั่งของเศษส่วน · มีแต่ (C) ที่ $P$ อยู่ตัวเดียวทางซ้าย และทางขวามีแต่ $t$ · การไปจาก (B) ถึง (C) คือพีชคณิตธรรมดา คูณไขว้ รวบ $P$ ไว้ข้างเดียว ดึงตัวประกอบ แล้วหาร โดย $e^{3t}$ ทำตัวเหมือนสัมประสิทธิ์ธรรมดาทุกประการ · A1 สุดท้ายให้กับรูปที่ $P$ อยู่โดด ๆ และการหยุดที่ (B) คือวิธีเสียคะแนนนั้นที่พบบ่อยที่สุด
A population is modelled by $\dfrac{dP}{dt} = \frac{1}{5}P(10-P)$. Given that $P = 5$ when $t = 0$, find $P$ in terms of $t$.
Answershow ▾
The exact same five moves as the exam question — separate, split into partial fractions, integrate, combine and exponentiate, use the initial condition and rearrange — with the smallest numbers that still show every step ($A=1$ here, since the starting population is exactly half the capacity).
A population is modelled by the differential equation $\dfrac{dP}{dt} = kP(30-P)$, where $k = \frac{1}{10}$ is a constant. Given that $P = 5$ when $t = 0$, find $P$ in terms of $t$.
Answershow ▾
8 marks. Question 4 is separating; question 5 is the partial fractions; question 6 integrates; question 7 combines and exponentiates; question 8 uses the initial condition and rearranges to the explicit form.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Differential equations · a rate in and a rate out
Water flows into a tank at a constant rate of $450$ litres per minute. At the same time, water leaks out of the tank at a rate proportional to the volume of water present, with constant of proportionality $3$. At time $t$ minutes, the volume of water in the tank is $V$ litres, and $V = 15$ when $t = 0$.
(a) Show that $\dfrac{dV}{dt} = 450 - 3V$.
(b) Solve the differential equation to find $V$ in terms of $t$.
(c) State the volume that $V$ approaches as $t \to \infty$, and justify your answer.
Water flows into a tank at a constant rate of $30$ litres per minute. At the same time, water leaks out at a rate proportional to the volume of water present, with constant of proportionality $3$. Using $V$ for the volume (litres) at time $t$ minutes, write down a differential equation connecting $\dfrac{dV}{dt}$ and $V$.
น้ำไหลเข้าถังด้วยอัตราคงที่ $30$ ลิตรต่อนาที ในขณะเดียวกันน้ำไหลออกด้วยอัตรา ที่แปรผันตรงกับปริมาตรน้ำที่มีอยู่ โดยมีค่าคงตัวสัดส่วน $3$ กำหนดให้ $V$ เป็นปริมาตร (ลิตร) ที่เวลา $t$ นาที จงเขียนสมการเชิงอนุพันธ์เชื่อมโยง $\dfrac{dV}{dt}$ กับ $V$
Answershow ▾
'Flows in at a constant rate' contributes a plain constant to $\dfrac{dV}{dt}$; 'leaks out at a rate proportional to $V$' contributes a term $-kV$ — the MINUS because it is leaving, not entering. Rate of change $=$ rate in $-$ rate out.
Find $\displaystyle\int \dfrac{1}{16-3w}\,dw$.
หา $\displaystyle\int \dfrac{1}{16-3w}\,dw$
Answershow ▾
The derivative of $(16-3w)$ is $-3$, so integrating $\frac{1}{16-3w}$ produces $\ln(16-3w)$ divided by that $-3$ — the minus sign in front is not optional, it comes from the chain rule.
The general solution of a differential equation is $-\dfrac{1}{3}\ln(36-3V) = t + c$. Given that $V = 4$ when $t = 0$, find the value of $c$.
คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์คือ $-\dfrac{1}{3}\ln(36-3V) = t + c$ กำหนดให้ $V = 4$ เมื่อ $t = 0$ จงหาค่าคงตัว $c$
Answershow ▾
At $t=0$ the right side collapses to $c$ alone, so substitute $V=4$ into the left side and simplify the number inside the logarithm before leaving it as the answer.
Part (a) is one line built from two sentences. Water flows IN at a constant $450$, and leaks OUT at a rate proportional to $V$ with constant $3$. Which of these is part (a), and what would each of the other two describe?
(A) $\dfrac{dV}{dt} = 450 + 3V$ (B) $\dfrac{dV}{dt} = 3V - 450$ (C) $\dfrac{dV}{dt} = 450 - 3V$
ข้อ (a) เป็นบรรทัดเดียวที่สร้างจากสองประโยค · น้ำไหลเข้าคงที่ $450$ และรั่วออกในอัตราแปรผันตรงกับ $V$ โดยมีค่าคงที่ $3$ · ข้อไหนคือข้อ (a) และอีกสองข้อบรรยายอะไร
(A) $\dfrac{dV}{dt} = 450 + 3V$ (B) $\dfrac{dV}{dt} = 3V - 450$ (C) $\dfrac{dV}{dt} = 450 - 3V$
Answershow ▾
“Rate in minus rate out” is the whole model, and every sign in it comes from that one sentence: the inflow is a plain constant because it does not depend on how full the tank is, and the outflow carries a minus because it leaves. (B) is (C) with both signs flipped, which is what happens if you write “out minus in” by mistake — and it produces a perfectly sensible-looking solution that grows without limit. Part (a) is a “show that”, so the line is given to you here; the reading behind it never is."อัตราเข้า ลบ อัตราออก" คือแบบจำลองทั้งหมด และทุกเครื่องหมายในนั้นมาจากประโยคเดียวนี้: อัตราไหลเข้าเป็นค่าคงที่เพราะไม่ขึ้นกับว่าถังเต็มแค่ไหน ส่วนอัตรารั่วออกติดลบเพราะมันออกไป · (B) คือ (C) ที่พลิกเครื่องหมายทั้งคู่ ซึ่งเกิดจากการเขียน "ออก ลบ เข้า" โดยพลาด และมันให้คำตอบที่ดูสมเหตุสมผลแต่โตขึ้นไม่มีที่สิ้นสุด · ข้อ (a) เป็นแบบ "show that" บรรทัดนี้จึงถูกให้มา แต่การอ่านที่อยู่เบื้องหลังไม่เคยถูกให้
Water flows into a tank at a constant rate of $450$ litres per minute. At the same time, water leaks out at a rate proportional to the volume of water present, with constant of proportionality $3$. Using $V$ for the volume (litres) at time $t$ minutes, write down a differential equation connecting $\dfrac{dV}{dt}$ and $V$.
Answershow ▾
Same translation as question 1, with the real rates. This is part (a) of the exam question.
Find $\displaystyle\int \dfrac{1}{450-3V}\,dV$.
Answershow ▾
Same move as question 2, with the real numbers. This is the heart of part (b) — everything else is rearranging around it.
The chain rule leaves a fingerprint on $\displaystyle\int \dfrac{1}{450 - 3V}\,dV$. Differentiate the bracket, then pick the right integral and say what the other two forgot.
(A) $\dfrac{1}{3}\ln(450 - 3V)$ (B) $-\dfrac{1}{3}\ln(450 - 3V)$ (C) $\ln(450 - 3V)$
กฎลูกโซ่ทิ้งรอยนิ้วมือไว้บน $\displaystyle\int \dfrac{1}{450 - 3V}\,dV$ · จงหาอนุพันธ์ของวงเล็บ แล้วเลือกอินทิกรัลที่ถูก และบอกว่าอีกสองข้อลืมอะไร
(A) $\dfrac{1}{3}\ln(450 - 3V)$ (B) $-\dfrac{1}{3}\ln(450 - 3V)$ (C) $\ln(450 - 3V)$
Answershow ▾
Integrating $\dfrac{1}{ax + b}$ divides by $a$, and here $a$ is $-3$, not $3$: the letter is being subtracted, so the minus is part of the coefficient. Differentiate your answer back and the sign announces itself in one line. Lose the minus and the exponential in question 7 comes out as $e^{+3t}$, and the tank fills forever instead of levelling off — a wrong answer that still looks like physics. The M1 pays for the integration; the check costs nothing and is never asked for.การอินทิเกรต $\dfrac{1}{ax + b}$ ต้องหารด้วย $a$ และที่นี่ $a$ คือ $-3$ ไม่ใช่ $3$ เพราะตัวแปรถูกลบ เครื่องหมายลบจึงเป็นส่วนหนึ่งของสัมประสิทธิ์ · หาอนุพันธ์ของคำตอบย้อนกลับ แล้วเครื่องหมายจะประกาศตัวเองในบรรทัดเดียว · ถ้าเครื่องหมายลบหาย เอกซ์โพเนนเชียลในข้อ 7 จะกลายเป็น $e^{+3t}$ และถังจะเติมไปเรื่อย ๆ แทนที่จะเข้าที่ ซึ่งเป็นคำตอบผิดที่ยังดูเหมือนฟิสิกส์ · M1 ให้กับการอินทิเกรต การตรวจไม่เสียอะไรและไม่เคยมีใครสั่งให้ทำ
The general solution of $\dfrac{dV}{dt} = 450-3V$ is $-\dfrac{1}{3}\ln(450-3V) = t + c$. Given that $V = 15$ when $t = 0$, find the value of $c$.
Answershow ▾
Same move as question 3, with the real starting volume.
Water flows into a tank at $450$ litres per minute; it leaks out at a rate proportional to the volume present, with constant $3$. When $t = 0$, $V = 15$. Find $V$ in terms of $t$.
Answershow ▾
Questions 4, 5 and 6 chained: form the equation, separate and integrate to the general solution, use the initial condition to pin down $c$, then substitute that value back in and rearrange to make $V$ explicit — combining the two logarithms and exponentiating exactly as in a partial-fractions question, just with a single log here instead of two.
$V = 150 - 135e^{-3t}$ gives the volume of water in the tank after $t$ minutes. State the volume that $V$ approaches as $t \to \infty$, and justify your answer.
Answershow ▾
This is why an inflow AND an outflow together give a limiting volume, unlike a tank that only drains: the inflow stops the volume reaching zero, and the outflow stops it growing forever — the two rates balance exactly when $V = a/k$, which is the value the exponential term is decaying towards.
Part (c) asks for the long-term volume with justification. Give the value and the phrase that justifies it, then answer this: the Pure 3 draining tank emptied completely, but this one settles at $150$. What is present here that was absent there, and what equation does $V = 150$ satisfy?
ข้อ (c) ถามปริมาตรระยะยาว พร้อมเหตุผล · จงให้ค่าและวลีที่เป็นเหตุผล แล้วตอบว่า: ถังใน Pure 3 แห้งสนิท แต่ถังนี้นิ่งที่ $150$ · ที่นี่มีอะไรที่ที่นั่นไม่มี และ $V = 150$ สอดคล้องกับสมการอะไร
Answershow ▾
The limit is not a coincidence of the algebra: it is the volume at which the leak carries away exactly as much as the tap brings in, so $\dfrac{dV}{dt}$ is zero and nothing changes any more. Setting the right-hand side of the ORIGINAL equation to zero finds it in one line, without solving the equation at all — a check on the whole of part (b). “With justification” means the phrase $e^{-3t} \to 0$ must be written; the B1 is for value and reason together, and the number alone earns nothing.ค่าลิมิตไม่ใช่ความบังเอิญของพีชคณิต แต่คือปริมาตรที่การรั่วพาน้ำออกไปเท่ากับที่ก๊อกเติมเข้ามาพอดี $\dfrac{dV}{dt}$ จึงเป็นศูนย์และไม่มีอะไรเปลี่ยนอีก · การตั้งฝั่งขวาของสมการเดิมให้เท่ากับศูนย์หาค่านี้ได้ในบรรทัดเดียวโดยไม่ต้องแก้สมการเลย และเป็นการตรวจข้อ (b) ทั้งข้อ · "with justification" แปลว่าต้องเขียนวลี $e^{-3t} \to 0$ ลงไป · B1 ให้กับค่าและเหตุผลรวมกัน ตัวเลขอย่างเดียวไม่ได้คะแนน
Water flows into a tank at a constant rate of $10$ litres per minute. At the same time, water leaks out at a rate proportional to the volume present, with constant of proportionality $1$. When $t = 0$, $V = 4$.
(a) Show that $\dfrac{dV}{dt} = 10 - V$.
(b) Solve the differential equation to find $V$ in terms of $t$.
(c) State the volume that $V$ approaches as $t \to \infty$, and justify your answer.
Answershow ▾
Same three parts as the exam question, but with numbers chosen so every intermediate value is a whole number.
Water flows into a tank at a constant rate of $450$ litres per minute. At the same time, water leaks out of the tank at a rate proportional to the volume of water present, with constant of proportionality $3$. At time $t$ minutes, the volume of water in the tank is $V$ litres, and $V = 15$ when $t = 0$.
(a) Show that $\dfrac{dV}{dt} = 450 - 3V$.
(b) Solve the differential equation to find $V$ in terms of $t$.
(c) State the volume that $V$ approaches as $t \to \infty$, and justify your answer.
Answershow ▾
8 marks. Question 4 is part (a); questions 5 and 6 build part (b); question 7 finishes part (b) in full; question 8 is part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
General solution becomes particular ผลเฉลยทั่วไปสู่ผลเฉลยเฉพาะ
The variables $x$ and $y$ satisfy the differential equation
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4y^{2}}{\sqrt{4x+5}},\qquad x\gt-\dfrac54$.
Find the particular solution of the differential equation for which $y=\dfrac13$ at $x=-\dfrac14$, giving your answer in the form $y=\mathrm{f}(x)$.
ตัวแปร $x$ และ $y$ สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ (differential equation)
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4y^{2}}{\sqrt{4x+5}}$ เมื่อ $x\gt-\dfrac54$
จงหาผลเฉลยเฉพาะ (particular solution) ของสมการเชิงอนุพันธ์นี้ โดยที่ $y=\dfrac13$ เมื่อ $x=-\dfrac14$ ตอบในรูป $y=\mathrm{f}(x)$
Find $\displaystyle\int y^{-2}\,dy$.
จงหา $\displaystyle\int y^{-2}\,dy$
Answershow ▾
Power rule: add $1$ to the power, then divide by the new power.กฎกำลัง: เพิ่มเลขชี้กำลังทีละ $1$ แล้วหารด้วยเลขชี้กำลังใหม่
Differentiate $\sqrt{4x+5}$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $\sqrt{4x+5}$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
Chain rule: the derivative of the inside, $4$, multiplies in.กฎลูกโซ่ (chain rule): อนุพันธ์ของข้างใน คือ $4$ คูณเข้ามา
Work out $\sqrt{4x+5}$ when $x=-\dfrac14$.
จงหาค่า $\sqrt{4x+5}$ เมื่อ $x=-\dfrac14$
Answershow ▾
$4\left(-\tfrac14\right)+5=4$, and $\sqrt4=2$.$4\left(-\tfrac14\right)+5=4$ และ $\sqrt4=2$
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4y^{2}}{\sqrt{4x+5}}$. Pick the first move.
(A) divide by $y^{2}$ and multiply by $dx$: $\dfrac{1}{y^{2}}\,dy=\dfrac{4}{\sqrt{4x+5}}\,dx$
(B) keep $dy=\dfrac{4y^{2}}{\sqrt{4x+5}}\,dx$ and integrate both sides as they stand
(C) swap which differential goes with which side: $\sqrt{4x+5}\,dy=4y^{2}\,dx$
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4y^{2}}{\sqrt{4x+5}}$ จงเลือกขั้นแรก
(A) หารด้วย $y^{2}$ แล้วคูณด้วย $dx$: $\dfrac{1}{y^{2}}\,dy=\dfrac{4}{\sqrt{4x+5}}\,dx$
(B) คง $dy=\dfrac{4y^{2}}{\sqrt{4x+5}}\,dx$ ไว้ แล้วหาปริพันธ์ทั้งสองข้างตามเดิม
(C) สลับว่าตัวดิฟเฟอเรนเชียล (differential) ตัวใดอยู่ข้างไหน: $\sqrt{4x+5}\,dy=4y^{2}\,dx$
Answershow ▾
(B) still has $y$ on the side being integrated with respect to $x$ - $y$ is an unknown function of $x$, so that side cannot be integrated without separating first. (C) sends $dy$ to the side carrying the $x$-terms, the opposite of what separating means.(B) ยังมี $y$ อยู่ฝั่งที่จะหาปริพันธ์เทียบกับ $x$ แต่ $y$ เป็นฟังก์ชันของ $x$ ที่ยังไม่รู้ จึงหาปริพันธ์ฝั่งนั้นไม่ได้จนกว่าจะแยกตัวแปรก่อน · (C) ส่ง $dy$ ไปอยู่ฝั่งพจน์ $x$ ซึ่งตรงข้ามกับการแยกตัวแปร
Using question $1$ and question $2$, integrate $\dfrac{1}{y^{2}}\,dy=\dfrac{4}{\sqrt{4x+5}}\,dx$.
ใช้ข้อ $1$ และข้อ $2$ หาปริพันธ์ $\dfrac{1}{y^{2}}\,dy=\dfrac{4}{\sqrt{4x+5}}\,dx$
Answershow ▾
The right side is twice question $2$, so it integrates to $2\sqrt{4x+5}$.ฝั่งขวาเป็นสองเท่าของข้อ $2$ จึงหาปริพันธ์ได้ $2\sqrt{4x+5}$
Use $x=-\dfrac14,\ y=\dfrac13$ in $-\dfrac1y=2\sqrt{4x+5}+c$ to find $c$.
ใช้ $x=-\dfrac14,\ y=\dfrac13$ ใน $-\dfrac1y=2\sqrt{4x+5}+c$ หาค่า $c$
Answershow ▾
$-\dfrac{1}{1/3}=-3$, and $\sqrt{4x+5}=2$ at this $x$.$-\dfrac{1}{1/3}=-3$ และ $\sqrt{4x+5}=2$ ที่ $x$ นี้
Rearrange $-\dfrac1y=2\sqrt{4x+5}-7$ to make $y$ the subject.
จงจัดรูป $-\dfrac1y=2\sqrt{4x+5}-7$ ให้ $y$ เป็นตัวแปรตาม
Answershow ▾
Multiply both sides by $-1$ first, then take the reciprocal.คูณทั้งสองข้างด้วย $-1$ ก่อน แล้วถอดส่วนกลับ
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4y^{2}}{\sqrt{4x+5}}$, with $y=\dfrac13$ at $x=-\dfrac14$. Find the equation connecting $x$ and $y$ before you rearrange for $y$.
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4y^{2}}{\sqrt{4x+5}}$ โดยที่ $y=\dfrac13$ เมื่อ $x=-\dfrac14$ จงหาสมการที่เชื่อม $x$ กับ $y$ ก่อนจัดรูปหา $y$
Answershow ▾
Same three moves: separate, integrate, then use the condition for $c$.สามขั้นเดิม: แยกตัวแปร หาปริพันธ์ แล้วใช้เงื่อนไขหาค่า $c$
Check that $y=\dfrac{1}{7-2\sqrt{4x+5}}$ gives $y=\dfrac13$ when $x=-\dfrac14$.
จงตรวจว่า $y=\dfrac{1}{7-2\sqrt{4x+5}}$ ให้ $y=\dfrac13$ เมื่อ $x=-\dfrac14$
Answershow ▾
A particular solution must give back the condition it was built from.ผลเฉลยเฉพาะต้องให้ค่ากลับไปตามเงื่อนไขที่ใช้สร้างมัน
Solve $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y^{2}}{\sqrt{2x+7}}$ given that $y=\dfrac12$ at $x=1$. Give your answer in the form $y=\mathrm{f}(x)$.
จงแก้ $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y^{2}}{\sqrt{2x+7}}$ โดยที่ $y=\dfrac12$ เมื่อ $x=1$ ตอบในรูป $y=\mathrm{f}(x)$
Answershow ▾
Same moves: separate, integrate, use the condition, then rearrange.ขั้นเดิม: แยกตัวแปร หาปริพันธ์ ใช้เงื่อนไข แล้วจัดรูป
The variables $x$ and $y$ satisfy the differential equation
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4y^{2}}{\sqrt{4x+5}},\qquad x\gt-\dfrac54$.
Find the particular solution of the differential equation for which $y=\dfrac13$ at $x=-\dfrac14$, giving your answer in the form $y=\mathrm{f}(x)$.
ตัวแปร $x$ และ $y$ สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์ (differential equation)
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4y^{2}}{\sqrt{4x+5}}$ เมื่อ $x\gt-\dfrac54$
จงหาผลเฉลยเฉพาะ (particular solution) ของสมการเชิงอนุพันธ์นี้ โดยที่ $y=\dfrac13$ เมื่อ $x=-\dfrac14$ ตอบในรูป $y=\mathrm{f}(x)$
Answershow ▾
6 marks: separate, integrate to a multiple of $\sqrt{4x+5}$, use the condition for $c$, then rearrange.6 คะแนน: แยกตัวแปร หาปริพันธ์เป็นผลคูณของ $\sqrt{4x+5}$ ใช้เงื่อนไขหาค่า $c$ แล้วจัดรูป
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Separable equation, double-angle identity สมการแยกตัวแปรได้ ใช้มุมสองเท่า
The variables $x$ and $y$ satisfy the differential equation
$y\cos^{2}2x\dfrac{dy}{dx}=3\sin2x$.
Given that $y=4$ at $x=\dfrac{\pi}{6}$,
solve the differential equation, giving your answer in the form $y^{2}=\mathrm{g}(x)$.
ตัวแปร $x$ และ $y$ สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์
$y\cos^{2}2x\dfrac{dy}{dx}=3\sin2x$
กำหนดให้ $y=4$ เมื่อ $x=\dfrac{\pi}{6}$
จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์นี้ ตอบในรูป $y^{2}=\mathrm{g}(x)$
Differentiate $\sec2x$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $\sec2x$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
Chain rule on $\sec2x$: the derivative of $2x$ is $2$.กฎลูกโซ่ (chain rule) บน $\sec2x$: อนุพันธ์ของ $2x$ คือ $2$
Write $\dfrac{\sin2x}{\cos^{2}2x}$ as a product of $\sec2x$ and $\tan2x$.
จงเขียน $\dfrac{\sin2x}{\cos^{2}2x}$ เป็นผลคูณของ $\sec2x$ และ $\tan2x$
Answershow ▾
Split the two $\cos2x$ factors in the denominator between the two fractions.แยก $\cos2x$ สองตัวในส่วนไปอยู่ในเศษส่วนสองตัว
Work out $\sec\dfrac{\pi}{3}$.
จงหาค่า $\sec\dfrac{\pi}{3}$
Answershow ▾
$\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12$, and $\sec$ is its reciprocal.$\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12$ และ $\sec$ คือส่วนกลับของมัน
$y\cos^{2}2x\,\dfrac{dy}{dx}=3\sin2x$. Pick the first move.
(A) divide by $\cos^{2}2x$ and multiply by $dx$: $y\,dy=\dfrac{3\sin2x}{\cos^{2}2x}\,dx$
(B) divide both sides by $y$: $\cos^{2}2x\,\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3\sin2x}{y}$
(C) integrate both sides with respect to $x$ without separating
$y\cos^{2}2x\,\dfrac{dy}{dx}=3\sin2x$ จงเลือกขั้นแรก
(A) หารด้วย $\cos^{2}2x$ แล้วคูณด้วย $dx$: $y\,dy=\dfrac{3\sin2x}{\cos^{2}2x}\,dx$
(B) หารทั้งสองข้างด้วย $y$: $\cos^{2}2x\,\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3\sin2x}{y}$
(C) หาปริพันธ์ทั้งสองข้างเทียบกับ $x$ โดยไม่แยกตัวแปรก่อน
Answershow ▾
(B) moves $y$ to the wrong side, backwards from separating. (C) cannot work: the left side is a function of $y$, not $x$, so it has nothing to integrate with respect to $x$.(B) ย้าย $y$ ไปอยู่ฝั่งที่ควรเหลือแต่ $x$ ล้วน ซึ่งผิดทาง เพราะ $dy/dx$ ยังติดอยู่กับฝั่งนิพจน์ $x$ · (C) ทำไม่ได้เพราะฝั่งซ้ายเป็นฟังก์ชันของ $y$ ไม่ใช่ $x$ จึงไม่มีอะไรให้หาปริพันธ์เทียบกับ $x$
Separate the variables in $y\cos^{2}2x\,\dfrac{dy}{dx}=3\sin2x$.
จงแยกตัวแปรใน $y\cos^{2}2x\,\dfrac{dy}{dx}=3\sin2x$
Answershow ▾
Divide both sides by $\cos^{2}2x$, then multiply by $dx$.หารทั้งสองข้างด้วย $\cos^{2}2x$ แล้วคูณด้วย $dx$
Using question $2$, rewrite $\dfrac{3\sin2x}{\cos^{2}2x}\,dx$ as a multiple of $\sec2x\tan2x$.
ใช้ข้อ $2$ จงเขียน $\dfrac{3\sin2x}{\cos^{2}2x}\,dx$ เป็นผลคูณของ $\sec2x\tan2x$
Answershow ▾
$3\times$ the identity from question $2$.$3$ เท่าของเอกลักษณ์ในข้อ $2$
Integrate $y\,dy=3\sec2x\tan2x\,dx$, using question $1$.
จงหาปริพันธ์ $y\,dy=3\sec2x\tan2x\,dx$ โดยใช้ข้อ $1$
Answershow ▾
Question $1$ says $\sec2x\tan2x$ integrates to $\tfrac12\sec2x$.ข้อ $1$ บอกว่า $\sec2x\tan2x$ หาปริพันธ์ได้ $\tfrac12\sec2x$
Use $x=\dfrac{\pi}{6},\ y=4$ in $\dfrac12y^{2}=\dfrac32\sec2x+c$ to find $c$, then write the answer as $y^{2}=\mathrm{g}(x)$.
ใช้ $x=\dfrac{\pi}{6},\ y=4$ ใน $\dfrac12y^{2}=\dfrac32\sec2x+c$ หาค่า $c$ แล้วตอบในรูป $y^{2}=\mathrm{g}(x)$
Answershow ▾
$\sec\dfrac{\pi}{3}=2$, so $8=3+c$.$\sec\dfrac{\pi}{3}=2$ จึงได้ $8=3+c$
Check that $y^{2}=3\sec2x+10$ gives $y=4$ when $x=\dfrac{\pi}{6}$.
จงตรวจว่า $y^{2}=3\sec2x+10$ ให้ $y=4$ เมื่อ $x=\dfrac{\pi}{6}$
Answershow ▾
$4^{2}=16$, and $3\sec(\pi/3)+10$ must also equal $16$.$4^{2}=16$ และ $3\sec(\pi/3)+10$ ต้องได้ $16$ เท่ากัน
Solve $y\cos^{2}2x\,\dfrac{dy}{dx}=4\sin2x$ given that $y=2$ at $x=\dfrac{\pi}{6}$. Give your answer in the form $y^{2}=\mathrm{g}(x)$.
จงแก้ $y\cos^{2}2x\,\dfrac{dy}{dx}=4\sin2x$ โดยที่ $y=2$ เมื่อ $x=\dfrac{\pi}{6}$ ตอบในรูป $y^{2}=\mathrm{g}(x)$
Answershow ▾
Same moves: separate, rewrite with $\sec\tan$, integrate, use the condition.ขั้นเดิม: แยกตัวแปร จัดรูปด้วย sec tan หาปริพันธ์ ใช้เงื่อนไข
The variables $x$ and $y$ satisfy the differential equation
$y\cos^{2}2x\dfrac{dy}{dx}=3\sin2x$.
Given that $y=4$ at $x=\dfrac{\pi}{6}$,
solve the differential equation, giving your answer in the form $y^{2}=\mathrm{g}(x)$.
ตัวแปร $x$ และ $y$ สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์
$y\cos^{2}2x\dfrac{dy}{dx}=3\sin2x$
กำหนดให้ $y=4$ เมื่อ $x=\dfrac{\pi}{6}$
จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์นี้ ตอบในรูป $y^{2}=\mathrm{g}(x)$
Answershow ▾
6 marks: separate, rewrite with $\sec2x\tan2x$, integrate, use the condition for $c$.6 คะแนน: แยกตัวแปร จัดรูปด้วย $\sec2x\tan2x$ หาปริพันธ์ ใช้เงื่อนไขหาค่า $c$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two data points predict a third สองจุดข้อมูลทำนายจุดที่สาม
The depth of water in a cave is being monitored. The rate of increase in the depth of water, $h$ cm, at a particular point in the cave is modelled by the differential equation
$\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{k}{h^{3}}$
where $k$ is a constant and $t$ hours is the time after monitoring began. The depth was $4$cm when monitoring began, and $6$cm after $5$ hours. After $T$ hours the depth was $10$cm.
Solve the differential equation to find the value of $T$. Give your answer to one decimal place.
กำลังมีการเฝ้าติดตามระดับความลึกของน้ำในถ้ำ อัตราการเพิ่มขึ้นของความลึกของน้ำ $h$ เซนติเมตร ณ จุดหนึ่งในถ้ำ สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์
$\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{k}{h^{3}}$
เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ และ $t$ ชั่วโมง คือเวลาหลังจากเริ่มเฝ้าติดตาม ความลึกเท่ากับ $4$ ซม. เมื่อเริ่มเฝ้าติดตาม และ $6$ ซม. หลังจากผ่านไป $5$ ชั่วโมง หลังจากผ่านไป $T$ ชั่วโมง ความลึกเท่ากับ $10$ ซม.
จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์เพื่อหาค่าของ $T$ โดยให้คำตอบเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Find $\displaystyle\int h^{3}\,dh$.
จงหา $\displaystyle\int h^{3}\,dh$
Answershow ▾
Power rule: add $1$ to the power, then divide by the new power.กฎกำลัง: เพิ่มเลขชี้กำลังทีละ $1$ แล้วหารด้วยเลขชี้กำลังใหม่
Find $\displaystyle\int k\,dt$, where $k$ is a constant.
จงหา $\displaystyle\int k\,dt$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่
Answershow ▾
A constant integrates to that constant times the variable.ค่าคงที่หาปริพันธ์ได้เป็นค่าคงที่นั้นคูณตัวแปร
Work out $\dfrac14(4)^{4}$.
จงหาค่า $\dfrac14(4)^{4}$
Answershow ▾
$(4)^{4}=256$, then divide by $4$.$(4)^{4}=256$ แล้วหารด้วย $4$
$\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{k}{h^{3}}$. Pick the first move.
(A) multiply by $h^{3}$ and by $dt$: $h^{3}\,dh=k\,dt$
(B) multiply both sides by $dt$ only: $dh=\dfrac{k}{h^{3}}\,dt$, then integrate as it stands
(C) take the reciprocal of both sides: $\dfrac{h^{3}}{k}=\dfrac{dt}{dh}$
$\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{k}{h^{3}}$ จงเลือกขั้นแรก
(A) คูณด้วย $h^{3}$ และด้วย $dt$: $h^{3}\,dh=k\,dt$
(B) คูณทั้งสองข้างด้วย $dt$ เท่านั้น: $dh=\dfrac{k}{h^{3}}\,dt$ แล้วหาปริพันธ์ตามเดิม
(C) ถอดส่วนกลับทั้งสองข้าง: $\dfrac{h^{3}}{k}=\dfrac{dt}{dh}$
Answershow ▾
(B) still has $h^{3}$ attached to the $dt$-side, so $h$ and $t$ are not separated. (C) inverts the equation but does not isolate $h$ with $dh$ and $t$ with $dt$ either.(B) ยังมี $h^{3}$ ติดอยู่ฝั่ง $dt$ ตัวแปร $h$ กับ $t$ จึงยังไม่ถูกแยก หาปริพันธ์ฝั่งซ้ายเทียบกับ $t$ ไม่ได้ในขณะที่ $h$ ยังไม่รู้ค่า · (C) กลับสมการแต่ก็ยังไม่แยก $h$ ไปกับ $dh$ และ $t$ ไปกับ $dt$
Separate the variables in $\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{k}{h^{3}}$.
จงแยกตัวแปรใน $\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{k}{h^{3}}$
Answershow ▾
Multiply both sides by $h^{3}$, then by $dt$.คูณทั้งสองข้างด้วย $h^{3}$ แล้วด้วย $dt$
Using questions $1$ and $2$, integrate $h^{3}\,dh=k\,dt$.
ใช้ข้อ $1$ และข้อ $2$ หาปริพันธ์ $h^{3}\,dh=k\,dt$
Answershow ▾
The left side integrates as in question $1$, the right as in question $2$.ฝั่งซ้ายหาปริพันธ์ตามข้อ $1$ ฝั่งขวาตามข้อ $2$
Use $t=0,\ h=4$ in $\dfrac14h^{4}=kt+c$ to find $c$.
ใช้ $t=0,\ h=4$ ใน $\dfrac14h^{4}=kt+c$ หาค่า $c$
Answershow ▾
With $t=0$, the $kt$ term vanishes and $c$ equals question $3$.เมื่อ $t=0$ พจน์ $kt$ หายไป และ $c$ มีค่าเท่าข้อ $3$
Use $t=5,\ h=6$ in $\dfrac14h^{4}=kt+64$ to find $k$.
ใช้ $t=5,\ h=6$ ใน $\dfrac14h^{4}=kt+64$ หาค่า $k$
Answershow ▾
Evaluate $\dfrac14(6)^{4}$ first, then solve the linear equation for $k$.คำนวณ $\dfrac14(6)^{4}$ ก่อน แล้วแก้สมการเชิงเส้นหาค่า $k$
Check that $T=\dfrac{2436}{52}$ satisfies $\dfrac14(10)^{4}=52T+64$.
จงตรวจว่า $T=\dfrac{2436}{52}$ สอดคล้องกับ $\dfrac14(10)^{4}=52T+64$
Answershow ▾
$52\times\dfrac{2436}{52}$ cancels straight back to $2436$.$52\times\dfrac{2436}{52}$ ตัดกันกลับไปเป็น $2436$ โดยตรง
$\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{k}{h^{3}}$. Given $h=2$ at $t=0$ and $h=4$ at $t=3$, find the value of $T$ for which $h=6$.
$\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{k}{h^{3}}$ กำหนด $h=2$ เมื่อ $t=0$ และ $h=4$ เมื่อ $t=3$ จงหาค่า $T$ ที่ทำให้ $h=6$
Answershow ▾
Same moves: separate, integrate, use each data point, then substitute $h=6$.ขั้นเดิม: แยกตัวแปร หาปริพันธ์ ใช้จุดข้อมูลทั้งสอง แล้วแทน $h=6$
The depth of water in a cave is being monitored. The rate of increase in the depth of water, $h$ cm, at a particular point in the cave is modelled by the differential equation
$\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{k}{h^{3}}$
where $k$ is a constant and $t$ hours is the time after monitoring began. The depth was $4$cm when monitoring began, and $6$cm after $5$ hours. After $T$ hours the depth was $10$cm.
Solve the differential equation to find the value of $T$. Give your answer to one decimal place.
กำลังมีการเฝ้าติดตามระดับความลึกของน้ำในถ้ำ อัตราการเพิ่มขึ้นของความลึกของน้ำ $h$ เซนติเมตร ณ จุดหนึ่งในถ้ำ สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์
$\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{k}{h^{3}}$
เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ และ $t$ ชั่วโมง คือเวลาหลังจากเริ่มเฝ้าติดตาม ความลึกเท่ากับ $4$ ซม. เมื่อเริ่มเฝ้าติดตาม และ $6$ ซม. หลังจากผ่านไป $5$ ชั่วโมง หลังจากผ่านไป $T$ ชั่วโมง ความลึกเท่ากับ $10$ ซม.
จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์เพื่อหาค่าของ $T$ โดยให้คำตอบเป็นทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
6 marks: separate, integrate, use each data point, then substitute $h=10$ and solve for $T$.6 คะแนน: แยกตัวแปร หาปริพันธ์ ใช้จุดข้อมูลทั้งสอง แล้วแทน $h=10$ แก้สมการหา $T$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Proportionality statement into an equation ข้อความการแปรผันกลายเป็นสมการ
A spherical ball of ice of radius $12$cm is placed in a bucket of water. In a model of the situation: the ball remains spherical as it melts; $t$ minutes after the ball of ice is placed in the bucket, its radius is $r$cm; the rate of decrease of the radius of the ball of ice is inversely proportional to the square of the radius; the radius of the ball of ice is $6$cm after $15$ minutes.
(a) Using the model and the information given, find an equation linking $r$ and $t$.
(b) Find the time taken for the ball of ice to melt completely.
(c) Sketch a graph of $r$ against $t$.
ก้อนน้ำแข็งทรงกลม (spherical) รัศมี $12$ ซม. ถูกวางลงในถังน้ำ ในแบบจำลองของสถานการณ์นี้: ก้อนน้ำแข็งยังคงเป็นทรงกลมขณะละลาย ที่เวลา $t$ นาทีหลังจากวางก้อนน้ำแข็งลงในถัง รัศมีของก้อนน้ำแข็งคือ $r$ ซม. อัตราการลดลงของรัศมีก้อนน้ำแข็งแปรผกผัน (inversely proportional) กับกำลังสองของรัศมี รัศมีของก้อนน้ำแข็งเท่ากับ $6$ ซม. หลังจากผ่านไป $15$ นาที
(ก) โดยใช้แบบจำลองและข้อมูลที่กำหนดให้ จงหาสมการที่เชื่อมโยง $r$ กับ $t$
(ข) จงหาเวลาที่ก้อนน้ำแข็งใช้ในการละลายจนหมด
(ค) จงร่างกราฟของ $r$ เทียบกับ $t$
The rate of decrease of $r$ is inversely proportional to $r^{2}$. Write this as an equation with constant $k$.
อัตราการลดลงของ $r$ แปรผกผันกับ $r^{2}$ จงเขียนเป็นสมการโดยใช้ค่าคงที่ $k$
Answershow ▾
"Rate of decrease" means a negative $\dfrac{dr}{dt}$; "inversely proportional" means $\dfrac{k}{r^{2}}$."อัตราการลดลง" คือ $dr/dt$ ติดลบ · "แปรผกผัน" คือ $k/r^{2}$
Work out $\dfrac13(12)^{3}$.
จงหาค่า $\dfrac13(12)^{3}$
Answershow ▾
$(12)^{3}=1728$, then divide by $3$.$(12)^{3}=1728$ แล้วหารด้วย $3$
Work out $\dfrac13(6)^{3}$.
จงหาค่า $\dfrac13(6)^{3}$
Answershow ▾
$(6)^{3}=216$, then divide by $3$.$(6)^{3}=216$ แล้วหารด้วย $3$
$\dfrac{dr}{dt}=-\dfrac{k}{r^{2}}$. Pick the first move.
(A) multiply by $r^{2}$ and by $dt$: $r^{2}\,dr=-k\,dt$
(B) multiply both sides by $dt$ only: $dr=-\dfrac{k}{r^{2}}\,dt$, then integrate as it stands
(C) take the reciprocal of both sides: $-\dfrac{r^{2}}{k}=\dfrac{dt}{dr}$
$\dfrac{dr}{dt}=-\dfrac{k}{r^{2}}$ จงเลือกขั้นแรก
(A) คูณด้วย $r^{2}$ และด้วย $dt$: $r^{2}\,dr=-k\,dt$
(B) คูณทั้งสองข้างด้วย $dt$ เท่านั้น: $dr=-\dfrac{k}{r^{2}}\,dt$ แล้วหาปริพันธ์ตามเดิม
(C) ถอดส่วนกลับทั้งสองข้าง: $-\dfrac{r^{2}}{k}=\dfrac{dt}{dr}$
Answershow ▾
(B) still has $r^{2}$ attached to the $t$-side, so $r$ and $t$ are not separated yet. (C) rewrites the equation but $r$ is still tangled up with $t$ on the same side.(B) ยังมี $r^{2}$ ติดอยู่ฝั่ง $t$ ตัวแปรยังไม่ถูกแยก · (C) เขียนสมการใหม่แต่ $r$ ก็ยังพันอยู่กับ $t$ ฝั่งเดียวกัน
Separate the variables in $\dfrac{dr}{dt}=-\dfrac{k}{r^{2}}$.
จงแยกตัวแปรใน $\dfrac{dr}{dt}=-\dfrac{k}{r^{2}}$
Answershow ▾
Multiply both sides by $r^{2}$, then by $dt$.คูณทั้งสองข้างด้วย $r^{2}$ แล้วด้วย $dt$
Integrate $r^{2}\,dr=-k\,dt$.
จงหาปริพันธ์ $r^{2}\,dr=-k\,dt$
Answershow ▾
Power rule on the left, a constant times $t$ on the right.ใช้กฎกำลังฝั่งซ้าย และค่าคงที่คูณ $t$ ฝั่งขวา
Use $t=0,\ r=12$ in $\dfrac13r^{3}=-kt+c$ to find $c$.
ใช้ $t=0,\ r=12$ ใน $\dfrac13r^{3}=-kt+c$ หาค่า $c$
Answershow ▾
With $t=0$, the $kt$ term vanishes and $c$ equals question $2$.เมื่อ $t=0$ พจน์ $kt$ หายไป และ $c$ มีค่าเท่าข้อ $2$
$r^{3}=1728-100.8t$ for $0\leqslant t\leqslant\dfrac{120}{7}$. Pick the correct sketch of $r$ against $t$.
(A) a straight line from $(0,12)$ down to $\left(\tfrac{120}{7},0\right)$
(B) a curve from $(0,12)$ that falls gently at first, then plunges steeply to meet the $t$-axis at $\left(\tfrac{120}{7},0\right)$
(C) a curve from $(0,12)$ that rises before falling to $\left(\tfrac{120}{7},0\right)$
$r^{3}=1728-100.8t$ เมื่อ $0\leqslant t\leqslant\dfrac{120}{7}$ จงเลือกภาพร่างกราฟ $r$ เทียบ $t$ ที่ถูกต้อง
(A) เส้นตรงจาก $(0,12)$ ลงไปถึง $\left(\tfrac{120}{7},0\right)$
(B) เส้นโค้งจาก $(0,12)$ ที่ลดลงช้า ๆ ก่อน แล้วดิ่งลงไปแตะแกน $t$ ที่ $\left(\tfrac{120}{7},0\right)$
(C) เส้นโค้งจาก $(0,12)$ ที่สูงขึ้นก่อนแล้วจึงลดลงไปถึง $\left(\tfrac{120}{7},0\right)$
Answershow ▾
$\dfrac{dr}{dt}=-\dfrac{k}{r^{2}}$ gets steeper (more negative) as $r$ shrinks, so the fall cannot be a straight line (A). It also can never rise, since $\dfrac{dr}{dt}$ is always negative, ruling out (C).$dr/dt=-k/r^{2}$ จะชันขึ้น (ติดลบมากขึ้น) เมื่อ $r$ เล็กลง จึงไม่ใช่เส้นตรง (A) และ $dr/dt$ ติดลบตลอด เส้นโค้งจึงสูงขึ้นไม่ได้ ตัด (C) ออกไปด้วย
Use $t=15,\ r=6$ in $\dfrac13r^{3}=-kt+576$ to find $k$, then write $r^{3}$ in terms of $t$.
ใช้ $t=15,\ r=6$ ใน $\dfrac13r^{3}=-kt+576$ หาค่า $k$ แล้วเขียน $r^{3}$ ในเทอมของ $t$
Answershow ▾
Evaluate question $3$ first, then solve the linear equation for $k$.คำนวณตามข้อ $3$ ก่อน แล้วแก้สมการเชิงเส้นหาค่า $k$
Using $r^{3}=1728-100.8t$, find the time taken for the ball to melt completely ($r=0$). Give your answer to $3$ s.f.
ใช้ $r^{3}=1728-100.8t$ จงหาเวลาที่ก้อนน้ำแข็งละลายจนหมด ($r=0$) โดยให้คำตอบเป็นทศนิยม 3 ตำแหน่งสำคัญ
Answershow ▾
Setting $r=0$ leaves a linear equation in $t$.แทน $r=0$ จะได้สมการเชิงเส้นในตัวแปร $t$
$\dfrac{dr}{dt}=-\dfrac{k}{r^{2}}$. Given $r=6$ at $t=0$ and $r=3$ at $t=7$, find the time taken for $r$ to reach $0$.
$\dfrac{dr}{dt}=-\dfrac{k}{r^{2}}$ กำหนด $r=6$ เมื่อ $t=0$ และ $r=3$ เมื่อ $t=7$ จงหาเวลาที่ $r$ ลดลงถึง $0$
Answershow ▾
Same moves: separate, integrate, use both points, then set $r=0$.ขั้นเดิม: แยกตัวแปร หาปริพันธ์ ใช้สองจุดข้อมูล แล้วแทน $r=0$
A spherical ball of ice of radius $12$cm is placed in a bucket of water. In a model of the situation: the ball remains spherical as it melts; $t$ minutes after the ball of ice is placed in the bucket, its radius is $r$cm; the rate of decrease of the radius of the ball of ice is inversely proportional to the square of the radius; the radius of the ball of ice is $6$cm after $15$ minutes.
(a) Using the model and the information given, find an equation linking $r$ and $t$.
(b) Find the time taken for the ball of ice to melt completely.
(c) Sketch a graph of $r$ against $t$.
ก้อนน้ำแข็งทรงกลม (spherical) รัศมี $12$ ซม. ถูกวางลงในถังน้ำ ในแบบจำลองของสถานการณ์นี้: ก้อนน้ำแข็งยังคงเป็นทรงกลมขณะละลาย ที่เวลา $t$ นาทีหลังจากวางก้อนน้ำแข็งลงในถัง รัศมีของก้อนน้ำแข็งคือ $r$ ซม. อัตราการลดลงของรัศมีก้อนน้ำแข็งแปรผกผัน (inversely proportional) กับกำลังสองของรัศมี รัศมีของก้อนน้ำแข็งเท่ากับ $6$ ซม. หลังจากผ่านไป $15$ นาที
(ก) โดยใช้แบบจำลองและข้อมูลที่กำหนดให้ จงหาสมการที่เชื่อมโยง $r$ กับ $t$
(ข) จงหาเวลาที่ก้อนน้ำแข็งใช้ในการละลายจนหมด
(ค) จงร่างกราฟของ $r$ เทียบกับ $t$
Answershow ▾
8 marks: state the equation from the words, separate, integrate, use both data points for (a), set $r=0$ for (b), then the shape of $dr/dt$ gives the sketch for (c).8 คะแนน: เขียนสมการจากข้อความ แยกตัวแปร หาปริพันธ์ ใช้สองจุดข้อมูลสำหรับ (a) แทน $r=0$ สำหรับ (b) แล้วรูปร่างของ $dr/dt$ ให้ภาพร่างสำหรับ (c)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Partial fractions inside separation เศษส่วนย่อยในสมการแยกตัวแปร
(a) Express $\dfrac{1}{(1+3x)(1-x)}$ in partial fractions.
(b) Hence find the solution of the differential equation
$(1+3x)(1-x)\dfrac{dy}{dx}=\tan y,\qquad-\dfrac13\lt x\leqslant\dfrac12$
for which $x=\dfrac12$ when $y=\dfrac{\pi}{2}$. Give your answer in the form $\sin^{n}y=\mathrm{f}(x)$ where $n$ is an integer to be found.
(ก) จงเขียน $\dfrac{1}{(1+3x)(1-x)}$ ในรูปเศษส่วนย่อย (partial fractions)
(ข) จากนั้นจงหาผลเฉลย (solution) ของสมการเชิงอนุพันธ์
$(1+3x)(1-x)\dfrac{dy}{dx}=\tan y$ เมื่อ $-\dfrac13\lt x\leqslant\dfrac12$
โดยที่ $x=\dfrac12$ เมื่อ $y=\dfrac{\pi}{2}$ ตอบในรูป $\sin^{n}y=\mathrm{f}(x)$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มที่ต้องหา
Find $\displaystyle\int\cot y\,dy$.
จงหา $\displaystyle\int\cot y\,dy$
Answershow ▾
$\cot y=\dfrac{\cos y}{\sin y}$, and the top is the derivative of the bottom.$\cot y=\dfrac{\cos y}{\sin y}$ และตัวเศษเป็นอนุพันธ์ของตัวส่วน
Find $\displaystyle\int\dfrac{3}{4(1+3x)}\,dx$.
จงหา $\displaystyle\int\dfrac{3}{4(1+3x)}\,dx$
Answershow ▾
The derivative of $1+3x$ is $3$, which already sits on top.อนุพันธ์ของ $1+3x$ คือ $3$ ซึ่งอยู่ด้านบนอยู่แล้ว
Work out $\ln\!\left(\sin\dfrac{\pi}{2}\right)$.
จงหาค่า $\ln\!\left(\sin\dfrac{\pi}{2}\right)$
Answershow ▾
$\sin\dfrac{\pi}{2}=1$, and $\ln1=0$.$\sin\dfrac{\pi}{2}=1$ และ $\ln1=0$
$\dfrac{1}{(1+3x)(1-x)}\equiv\dfrac{A}{1+3x}+\dfrac{B}{1-x}$, so $1=A(1-x)+B(1+3x)$. Pick the fastest way to find $A$ and $B$.
(A) substitute $x=1$ and $x=-\dfrac13$, the values that make one bracket zero each time
(B) substitute $x=0$ and $x=1$ only
(C) expand both sides and compare the coefficients of $x^{2}$
$\dfrac{1}{(1+3x)(1-x)}\equiv\dfrac{A}{1+3x}+\dfrac{B}{1-x}$ ดังนั้น $1=A(1-x)+B(1+3x)$ จงเลือกวิธีที่เร็วที่สุดในการหา $A$ และ $B$
(A) แทน $x=1$ และ $x=-\dfrac13$ ค่าที่ทำให้วงเล็บตัวหนึ่งเป็น $0$ ในแต่ละครั้ง
(B) แทน $x=0$ และ $x=1$ เท่านั้น
(C) กระจายทั้งสองข้างแล้วเทียบสัมประสิทธิ์ของ $x^{2}$
Answershow ▾
(B) gives two equations that both mix $A$ and $B$ together, needing simultaneous equations - slower than (A). (C) finds nothing: there is no $x^{2}$ term on either side of $1=A(1-x)+B(1+3x)$, so comparing those coefficients only gives $0=0$.(B) ได้สมการสองสมการที่มีทั้ง $A$ และ $B$ ปนกัน ต้องแก้สมการพร้อมกัน ช้ากว่า (A) · (C) ไม่ได้อะไร เพราะไม่มีพจน์ $x^{2}$ ทั้งสองข้างของ $1=A(1-x)+B(1+3x)$ เทียบสัมประสิทธิ์นี้ได้แค่ $0=0$
Substitute $x=1$ and $x=-\dfrac13$ into $1=A(1-x)+B(1+3x)$ to find $A$ and $B$.
จงแทน $x=1$ และ $x=-\dfrac13$ ใน $1=A(1-x)+B(1+3x)$ เพื่อหา $A$ และ $B$
Answershow ▾
Each substitution makes one bracket vanish, leaving one unknown.การแทนแต่ละครั้งทำให้วงเล็บตัวหนึ่งหายไป เหลือตัวไม่ทราบค่าตัวเดียว
Using $A=\dfrac34,\ B=\dfrac14$, state $\dfrac{1}{(1+3x)(1-x)}$ as partial fractions.
ใช้ $A=\dfrac34,\ B=\dfrac14$ จงเขียน $\dfrac{1}{(1+3x)(1-x)}$ ในรูปเศษส่วนย่อย
Answershow ▾
Put each constant over its own bracket.ใส่ค่าคงที่แต่ละตัวไว้บนวงเล็บของตัวมันเอง
Using question $5$, separate the variables in $(1+3x)(1-x)\,\dfrac{dy}{dx}=\tan y$.
ใช้ข้อ $5$ จงแยกตัวแปรใน $(1+3x)(1-x)\,\dfrac{dy}{dx}=\tan y$
Answershow ▾
Divide by $\tan y$ (giving $\cot y$) and by $(1+3x)(1-x)$ (giving question $5$).หารด้วย $\tan y$ (ได้ $\cot y$) และหารด้วย $(1+3x)(1-x)$ (ได้ตามข้อ $5$)
Integrate $\cot y\,dy=\left(\dfrac{3}{4(1+3x)}+\dfrac{1}{4(1-x)}\right)dx$, using question $1$ and question $2$.
จงหาปริพันธ์ $\cot y\,dy=\left(\dfrac{3}{4(1+3x)}+\dfrac{1}{4(1-x)}\right)dx$ โดยใช้ข้อ $1$ และข้อ $2$
Answershow ▾
$\int\dfrac{1}{4(1-x)}\,dx=-\dfrac14\ln(1-x)$ by the same chain rule as question $2$, negative because the derivative of $1-x$ is $-1$.$\int\dfrac{1}{4(1-x)}\,dx=-\dfrac14\ln(1-x)$ ใช้กฎลูกโซ่ (chain rule) เดียวกับข้อ $2$ แต่ติดลบเพราะอนุพันธ์ของ $1-x$ คือ $-1$
Use $x=\dfrac12,\ y=\dfrac{\pi}{2}$ (question $3$) to find $c$, then remove the logs to reach the form $\sin^{n}y=\mathrm{f}(x)$.
ใช้ $x=\dfrac12,\ y=\dfrac{\pi}{2}$ (ข้อ $3$) หาค่า $c$ แล้วกำจัดลอการิทึมให้อยู่ในรูป $\sin^{n}y=\mathrm{f}(x)$
Answershow ▾
$\ln\dfrac52-\ln\dfrac12=\ln5$, so $c=-\dfrac14\ln5$.$\ln\dfrac52-\ln\dfrac12=\ln5$ ดังนั้น $c=-\dfrac14\ln5$
(a) Express $\dfrac{1}{(1+x)(1-x)}$ in partial fractions.
(b) Hence solve $(1+x)(1-x)\,\dfrac{dy}{dx}=\tan y$, given $y=\dfrac{\pi}{6}$ at $x=0$. Give your answer in the form $\sin^{n}y=\mathrm{f}(x)$.
(a) จงเขียน $\dfrac{1}{(1+x)(1-x)}$ ในรูปเศษส่วนย่อย (b) จากนั้นจงแก้ $(1+x)(1-x)\,\dfrac{dy}{dx}=\tan y$ โดยที่ $y=\dfrac{\pi}{6}$ เมื่อ $x=0$ ตอบในรูป $\sin^{n}y=\mathrm{f}(x)$
Answershow ▾
Same moves: partial fractions, separate, integrate, use the condition, remove the logs.ขั้นเดิม: เศษส่วนย่อย แยกตัวแปร หาปริพันธ์ ใช้เงื่อนไข กำจัดลอการิทึม
(a) Express $\dfrac{1}{(1+3x)(1-x)}$ in partial fractions.
(b) Hence find the solution of the differential equation
$(1+3x)(1-x)\dfrac{dy}{dx}=\tan y,\qquad-\dfrac13\lt x\leqslant\dfrac12$
for which $x=\dfrac12$ when $y=\dfrac{\pi}{2}$. Give your answer in the form $\sin^{n}y=\mathrm{f}(x)$ where $n$ is an integer to be found.
(ก) จงเขียน $\dfrac{1}{(1+3x)(1-x)}$ ในรูปเศษส่วนย่อย (partial fractions)
(ข) จากนั้นจงหาผลเฉลย (solution) ของสมการเชิงอนุพันธ์
$(1+3x)(1-x)\dfrac{dy}{dx}=\tan y$ เมื่อ $-\dfrac13\lt x\leqslant\dfrac12$
โดยที่ $x=\dfrac12$ เมื่อ $y=\dfrac{\pi}{2}$ ตอบในรูป $\sin^{n}y=\mathrm{f}(x)$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มที่ต้องหา
Answershow ▾
9 marks: partial fractions for (a), then separate, integrate, use the condition and remove the logs for (b).9 คะแนน: เศษส่วนย่อยสำหรับ (a) จากนั้นแยกตัวแปร หาปริพันธ์ ใช้เงื่อนไข และกำจัดลอการิทึมสำหรับ (b)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Newton's cooling, squared term กฎการเย็นตัวของนิวตันแบบกำลังสอง
In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.
The temperature, $\theta\,^{\circ}\mathrm{C}$, of a car engine, $t$ minutes after the engine is turned off, is modelled by the differential equation
$\dfrac{d\theta}{dt}=-k(\theta-15)^{2}$
where $k$ is a constant. Given that the temperature of the car engine is $85\,^{\circ}\mathrm{C}$ at the instant the engine is turned off, and is $40\,^{\circ}\mathrm{C}$ exactly $10$ minutes after the engine is turned off,
(a) solve the differential equation to show that, according to the model,
$\theta=\dfrac{at+b}{ct+d}$
where $a$, $b$, $c$ and $d$ are integers to be found.
(b) Hence find, according to the model, the time taken for the temperature of the car engine to reach $20\,^{\circ}\mathrm{C}$. Give your answer to the nearest minute.
ในข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน คำตอบที่ได้จากเครื่องคิดเลขล้วน ๆ ไม่สามารถรับได้
อุณหภูมิ $\theta\,^{\circ}$C ของเครื่องยนต์รถ ที่เวลา $t$ นาทีหลังดับเครื่องยนต์ สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์
$\dfrac{d\theta}{dt}=-k(\theta-15)^{2}$
เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ กำหนดให้อุณหภูมิของเครื่องยนต์เท่ากับ $85\,^{\circ}$C ในขณะที่ดับเครื่องยนต์ และเท่ากับ $40\,^{\circ}$C หลังจากดับเครื่องยนต์ไปแล้ว $10$ นาทีพอดี
(ก) จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์เพื่อแสดงว่า ตามแบบจำลองนี้
$\theta=\dfrac{at+b}{ct+d}$
เมื่อ $a$, $b$, $c$ และ $d$ เป็นจำนวนเต็มที่ต้องหา
(ข) จากนั้นจงหาเวลาที่เครื่องยนต์รถใช้ในการเย็นลงถึง $20\,^{\circ}$C ตามแบบจำลองนี้ โดยให้คำตอบเป็นจำนวนเต็มนาทีที่ใกล้เคียงที่สุด
Find $\displaystyle\int\dfrac{1}{(\theta-15)^{2}}\,d\theta$.
จงหา $\displaystyle\int\dfrac{1}{(\theta-15)^{2}}\,d\theta$
Answershow ▾
Power rule on $(\theta-15)^{-2}$: add $1$ to the power, divide by it.กฎกำลังบน $(\theta-15)^{-2}$: เพิ่มเลขชี้กำลังทีละ $1$ แล้วหารด้วยมัน
Work out $-\dfrac{1}{85-15}$.
จงหาค่า $-\dfrac{1}{85-15}$
Answershow ▾
$85-15=70$.$85-15=70$
Work out $-\dfrac{1}{40-15}$.
จงหาค่า $-\dfrac{1}{40-15}$
Answershow ▾
$40-15=25$.$40-15=25$
$\dfrac{d\theta}{dt}=-k(\theta-15)^{2}$. Pick the first move.
(A) divide by $(\theta-15)^{2}$ and multiply by $dt$: $\dfrac{d\theta}{(\theta-15)^{2}}=-k\,dt$
(B) multiply both sides by $dt$ only: $d\theta=-k(\theta-15)^{2}\,dt$, then integrate as it stands
(C) take the square root of both sides first
$\dfrac{d\theta}{dt}=-k(\theta-15)^{2}$ จงเลือกขั้นแรก
(A) หารด้วย $(\theta-15)^{2}$ แล้วคูณด้วย $dt$: $\dfrac{d\theta}{(\theta-15)^{2}}=-k\,dt$
(B) คูณทั้งสองข้างด้วย $dt$ เท่านั้น: $d\theta=-k(\theta-15)^{2}\,dt$ แล้วหาปริพันธ์ตามเดิม
(C) ถอดรากที่สองทั้งสองข้างก่อน
Answershow ▾
(B) still has $(\theta-15)^{2}$ attached to the $t$-side, so $\theta$ and $t$ are not separated. (C) is not valid here: $\dfrac{d\theta}{dt}$ is a derivative, not a squared quantity, so there is nothing to take a square root of term by term.(B) ยังมี $(\theta-15)^{2}$ ติดอยู่ฝั่ง $t$ ตัวแปรยังไม่ถูกแยก · (C) ใช้ไม่ได้ เพราะ $d\theta/dt$ เป็นอนุพันธ์ ไม่ใช่ปริมาณที่ถูกยกกำลังสอง จึงไม่มีอะไรให้ถอดรากทีละพจน์
Separate the variables in $\dfrac{d\theta}{dt}=-k(\theta-15)^{2}$.
จงแยกตัวแปรใน $\dfrac{d\theta}{dt}=-k(\theta-15)^{2}$
Answershow ▾
Divide both sides by $(\theta-15)^{2}$, then multiply by $dt$.หารทั้งสองข้างด้วย $(\theta-15)^{2}$ แล้วคูณด้วย $dt$
Integrate $\dfrac{d\theta}{(\theta-15)^{2}}=-k\,dt$, using question $1$.
จงหาปริพันธ์ $\dfrac{d\theta}{(\theta-15)^{2}}=-k\,dt$ โดยใช้ข้อ $1$
Answershow ▾
The left side integrates as in question $1$.ฝั่งซ้ายหาปริพันธ์ตามข้อ $1$
Use $t=0,\ \theta=85$ in $-\dfrac{1}{\theta-15}=-kt+c$ to find $c$.
ใช้ $t=0,\ \theta=85$ ใน $-\dfrac{1}{\theta-15}=-kt+c$ หาค่า $c$
Answershow ▾
With $t=0$, the $-kt$ term vanishes and $c$ equals question $2$.เมื่อ $t=0$ พจน์ $-kt$ หายไป และ $c$ มีค่าเท่าข้อ $2$
Use $t=10,\ \theta=40$ in $-\dfrac{1}{\theta-15}=-kt-\dfrac{1}{70}$ to find $k$.
ใช้ $t=10,\ \theta=40$ ใน $-\dfrac{1}{\theta-15}=-kt-\dfrac{1}{70}$ หาค่า $k$
Answershow ▾
Question $3$ gives the left side; solve the resulting linear equation for $k$.ข้อ $3$ ให้ฝั่งซ้าย แล้วแก้สมการเชิงเส้นหาค่า $k$
Rearrange $-\dfrac{1}{\theta-15}=-\dfrac{9}{3500}t-\dfrac{1}{70}$ to make $\theta$ the subject, as one fraction.
จงจัดรูป $-\dfrac{1}{\theta-15}=-\dfrac{9}{3500}t-\dfrac{1}{70}$ ให้ $\theta$ เป็นตัวแปรตาม ในรูปเศษส่วนเดียว
Answershow ▾
Write the right side over $3500$ first: $\dfrac{9t+50}{3500}$, then take the reciprocal.เขียนฝั่งขวาบนตัวส่วนร่วม $3500$ ก่อน: $\dfrac{9t+50}{3500}$ แล้วถอดส่วนกลับ
$\dfrac{d\theta}{dt}=-k(\theta-10)^{2}$. Given $\theta=30$ at $t=0$ and $\theta=20$ at $t=5$, find the time taken for $\theta$ to reach $15$.
$\dfrac{d\theta}{dt}=-k(\theta-10)^{2}$ กำหนด $\theta=30$ เมื่อ $t=0$ และ $\theta=20$ เมื่อ $t=5$ จงหาเวลาที่ $\theta$ ลดลงถึง $15$
Answershow ▾
Same moves: separate, integrate, use both conditions, then set $\theta=15$.ขั้นเดิม: แยกตัวแปร หาปริพันธ์ ใช้สองเงื่อนไข แล้วแทน $\theta=15$
In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.
The temperature, $\theta\,^{\circ}\mathrm{C}$, of a car engine, $t$ minutes after the engine is turned off, is modelled by the differential equation
$\dfrac{d\theta}{dt}=-k(\theta-15)^{2}$
where $k$ is a constant. Given that the temperature of the car engine is $85\,^{\circ}\mathrm{C}$ at the instant the engine is turned off, and is $40\,^{\circ}\mathrm{C}$ exactly $10$ minutes after the engine is turned off,
(a) solve the differential equation to show that, according to the model,
$\theta=\dfrac{at+b}{ct+d}$
where $a$, $b$, $c$ and $d$ are integers to be found.
(b) Hence find, according to the model, the time taken for the temperature of the car engine to reach $20\,^{\circ}\mathrm{C}$. Give your answer to the nearest minute.
ในข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน คำตอบที่ได้จากเครื่องคิดเลขล้วน ๆ ไม่สามารถรับได้
อุณหภูมิ $\theta\,^{\circ}$C ของเครื่องยนต์รถ ที่เวลา $t$ นาทีหลังดับเครื่องยนต์ สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์
$\dfrac{d\theta}{dt}=-k(\theta-15)^{2}$
เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ กำหนดให้อุณหภูมิของเครื่องยนต์เท่ากับ $85\,^{\circ}$C ในขณะที่ดับเครื่องยนต์ และเท่ากับ $40\,^{\circ}$C หลังจากดับเครื่องยนต์ไปแล้ว $10$ นาทีพอดี
(ก) จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์เพื่อแสดงว่า ตามแบบจำลองนี้
$\theta=\dfrac{at+b}{ct+d}$
เมื่อ $a$, $b$, $c$ และ $d$ เป็นจำนวนเต็มที่ต้องหา
(ข) จากนั้นจงหาเวลาที่เครื่องยนต์รถใช้ในการเย็นลงถึง $20\,^{\circ}$C ตามแบบจำลองนี้ โดยให้คำตอบเป็นจำนวนเต็มนาทีที่ใกล้เคียงที่สุด
Answershow ▾
9 marks: separate, integrate, use both conditions for (a), then set $\theta=20$ and solve for (b).9 คะแนน: แยกตัวแปร หาปริพันธ์ ใช้สองเงื่อนไขสำหรับ (a) จากนั้นแทน $\theta=20$ แก้สมการสำหรับ (b)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Forming the DE for a leaking tank ตั้งสมการเชิงอนุพันธ์สำหรับถังรั่ว
The diagram shows a cylindrical tank that contains some water. The tank has an internal diameter of $8$m and an internal height of $4.2$m. Water is flowing into the tank at a constant rate of $(0.6\pi)\,\mathrm{m}^{3}$ per minute. There is a tap at point $T$ at the bottom of the tank. At time $t$ minutes after the tap has been opened, the depth of the water is $h$metres, and the water is leaving the tank at a rate of $(0.15\pi h)\,\mathrm{m}^{3}$ per minute.
(a) Show that $\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{12-3h}{320}$.
(b) Given that the depth of the water in the tank is $0.5$m when the tap is opened, find the time taken for the depth of water in the tank to reach $3.5$m.
รูปแสดงถังทรงกระบอก (cylindrical tank) ที่มีน้ำอยู่บางส่วน ถังมีเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน $8$ ม. และความสูงภายใน $4.2$ ม. น้ำไหลเข้าถังด้วยอัตราคงที่ $(0.6\pi)$ ลูกบาศก์เมตรต่อนาที มีก๊อกน้ำที่จุด $T$ ที่ก้นถัง ที่เวลา $t$ นาทีหลังเปิดก๊อกน้ำ ความลึกของน้ำคือ $h$ เมตร และน้ำไหลออกจากถังด้วยอัตรา $(0.15\pi h)$ ลูกบาศก์เมตรต่อนาที
(ก) จงแสดงว่า $\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{12-3h}{320}$
(ข) กำหนดให้ความลึกของน้ำในถังเท่ากับ $0.5$ ม. ขณะเปิดก๊อกน้ำ จงหาเวลาที่ใช้ให้ความลึกของน้ำในถังเพิ่มขึ้นถึง $3.5$ ม.
$V=16\pi h$. Find $\dfrac{dV}{dh}$.
$V=16\pi h$ จงหา $\dfrac{dV}{dh}$
Answershow ▾
$V$ is linear in $h$, so $\dfrac{dV}{dh}$ is just the coefficient of $h$.$V$ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของ $h$ ดังนั้น $dV/dh$ คือสัมประสิทธิ์ของ $h$
Water flows into a tank at a constant $0.6\pi\ \mathrm{m^{3}/min}$ and leaves at $0.15\pi h\ \mathrm{m^{3}/min}$. Write $\dfrac{dV}{dt}$.
น้ำไหลเข้าถังด้วยอัตราคงที่ $0.6\pi$ ลบ.ม./นาที และไหลออกด้วยอัตรา $0.15\pi h$ ลบ.ม./นาที จงเขียน $\dfrac{dV}{dt}$
Answershow ▾
In minus out: the constant inflow minus the $h$-dependent outflow.เข้าลบออก: อัตราไหลเข้าคงที่ลบอัตราไหลออกที่ขึ้นกับ $h$
Simplify $\dfrac{0.6\pi-0.15\pi h}{16\pi}$ to a fraction with integer coefficients.
จงจัดรูป $\dfrac{0.6\pi-0.15\pi h}{16\pi}$ ให้เป็นเศษส่วนที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
$\pi$ cancels top and bottom; multiply the rest by $20$ to clear the decimals.$\pi$ ตัดกันทั้งบนและล่าง คูณส่วนที่เหลือด้วย $20$ เพื่อกำจัดทศนิยม
$\dfrac{dV}{dt}=0.6\pi-0.15\pi h$ and $\dfrac{dV}{dh}=16\pi$. Pick the correct way to get $\dfrac{dh}{dt}$.
(A) $\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{dV/dt}{dV/dh}$
(B) $\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{dV}{dt}\times\dfrac{dV}{dh}$
(C) $\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{dV/dh}{dV/dt}$
$\dfrac{dV}{dt}=0.6\pi-0.15\pi h$ และ $\dfrac{dV}{dh}=16\pi$ จงเลือกวิธีที่ถูกต้องในการหา $\dfrac{dh}{dt}$
(A) $\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{dV/dt}{dV/dh}$
(B) $\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{dV}{dt}\times\dfrac{dV}{dh}$
(C) $\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{dV/dh}{dV/dt}$
Answershow ▾
The chain rule says $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{dh}\times\dfrac{dh}{dt}$, so $\dfrac{dh}{dt}$ must be $\dfrac{dV}{dt}$ divided by $\dfrac{dV}{dh}$, not multiplied (B). (C) puts the two derivatives the wrong way round, which inverts the whole answer.กฎลูกโซ่ (chain rule) บอกว่า $dV/dt=(dV/dh)\times(dh/dt)$ ดังนั้น $dh/dt$ ต้องมาจาก $dV/dt$ หารด้วย $dV/dh$ ไม่ใช่คูณ (B) · (C) สลับตำแหน่งอนุพันธ์ทั้งสองผิดด้าน ทำให้คำตอบกลับด้านทั้งหมด
Combine $\dfrac{dV}{dt}=0.6\pi-0.15\pi h$ and $\dfrac{dV}{dh}=16\pi$ to write $\dfrac{dh}{dt}$ as one fraction.
จงรวม $\dfrac{dV}{dt}=0.6\pi-0.15\pi h$ และ $\dfrac{dV}{dh}=16\pi$ เป็น $\dfrac{dh}{dt}$ ในรูปเศษส่วนเดียว
Answershow ▾
Divide the net rate by $\dfrac{dV}{dh}$, as in the decision.หารอัตราสุทธิด้วย $\dfrac{dV}{dh}$ ตามที่เลือกไว้
Show that $\dfrac{0.6\pi-0.15\pi h}{16\pi}$ simplifies to $\dfrac{12-3h}{320}$.
จงแสดงว่า $\dfrac{0.6\pi-0.15\pi h}{16\pi}$ จัดรูปได้เป็น $\dfrac{12-3h}{320}$
Answershow ▾
Same simplification as question $3$.จัดรูปแบบเดียวกับข้อ $3$
Separate the variables in $\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{12-3h}{320}$.
จงแยกตัวแปรใน $\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{12-3h}{320}$
Answershow ▾
Divide both sides by $12-3h$, then multiply by $dt$.หารทั้งสองข้างด้วย $12-3h$ แล้วคูณด้วย $dt$
Integrate $\dfrac{dh}{12-3h}=\dfrac{dt}{320}$, then use $t=0,\ h=0.5$ to find $c$.
จงหาปริพันธ์ $\dfrac{dh}{12-3h}=\dfrac{dt}{320}$ แล้วใช้ $t=0,\ h=0.5$ หาค่า $c$
Answershow ▾
$\int\dfrac{dh}{12-3h}=-\dfrac13\ln(12-3h)$, the $-3$ coming from the chain rule.$\int\dfrac{dh}{12-3h}=-\dfrac13\ln(12-3h)$ เลข $-3$ มาจากกฎลูกโซ่
Combine the logs from question $7$, then substitute $h=3.5$ to find $t$. Give your answer to the nearest minute.
จงรวมลอการิทึมจากข้อ $7$ แล้วแทน $h=3.5$ หาค่า $t$ โดยให้คำตอบเป็นนาทีที่ใกล้เคียงที่สุด
Answershow ▾
$\dfrac{10.5}{12-3(3.5)}=\dfrac{10.5}{1.5}=7$.$\dfrac{10.5}{12-3(3.5)}=\dfrac{10.5}{1.5}=7$
A cylindrical tank has radius $3$m. Water flows in at $0.9\pi\ \mathrm{m^{3}/min}$ and leaves at $0.3\pi h\ \mathrm{m^{3}/min}$. (a) Show that $\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{3-h}{30}$. (b) Given $h=1$ at $t=0$, find the time taken for $h$ to reach $2$. Give your answer to the nearest minute.
ถังทรงกระบอกมีรัศมี $3$ ม. น้ำไหลเข้าด้วยอัตรา $0.9\pi$ ลบ.ม./นาที และไหลออกด้วยอัตรา $0.3\pi h$ ลบ.ม./นาที (a) จงแสดงว่า $\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{3-h}{30}$ (b) กำหนด $h=1$ เมื่อ $t=0$ จงหาเวลาที่ $h$ เพิ่มขึ้นถึง $2$ โดยให้คำตอบเป็นนาทีที่ใกล้เคียงที่สุด
Answershow ▾
Same moves: form the net rate, chain rule, separate, integrate, use the condition.ขั้นเดิม: ตั้งอัตราสุทธิ กฎลูกโซ่ แยกตัวแปร หาปริพันธ์ ใช้เงื่อนไข
The diagram shows a cylindrical tank that contains some water. The tank has an internal diameter of $8$m and an internal height of $4.2$m. Water is flowing into the tank at a constant rate of $(0.6\pi)\,\mathrm{m}^{3}$ per minute. There is a tap at point $T$ at the bottom of the tank. At time $t$ minutes after the tap has been opened, the depth of the water is $h$metres, and the water is leaving the tank at a rate of $(0.15\pi h)\,\mathrm{m}^{3}$ per minute.
(a) Show that $\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{12-3h}{320}$.
(b) Given that the depth of the water in the tank is $0.5$m when the tap is opened, find the time taken for the depth of water in the tank to reach $3.5$m.
รูปแสดงถังทรงกระบอก (cylindrical tank) ที่มีน้ำอยู่บางส่วน ถังมีเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน $8$ ม. และความสูงภายใน $4.2$ ม. น้ำไหลเข้าถังด้วยอัตราคงที่ $(0.6\pi)$ ลูกบาศก์เมตรต่อนาที มีก๊อกน้ำที่จุด $T$ ที่ก้นถัง ที่เวลา $t$ นาทีหลังเปิดก๊อกน้ำ ความลึกของน้ำคือ $h$ เมตร และน้ำไหลออกจากถังด้วยอัตรา $(0.15\pi h)$ ลูกบาศก์เมตรต่อนาที
(ก) จงแสดงว่า $\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{12-3h}{320}$
(ข) กำหนดให้ความลึกของน้ำในถังเท่ากับ $0.5$ ม. ขณะเปิดก๊อกน้ำ จงหาเวลาที่ใช้ให้ความลึกของน้ำในถังเพิ่มขึ้นถึง $3.5$ ม.
Answershow ▾
10 marks: form the DE from the geometry and the rates for (a), then separate, integrate and solve for (b).10 คะแนน: ตั้งสมการเชิงอนุพันธ์จากรูปทรงและอัตราต่าง ๆ สำหรับ (a) จากนั้นแยกตัวแปร หาปริพันธ์ และแก้สมการสำหรับ (b)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Partial fractions in a periodic model เศษส่วนย่อยในแบบจำลองเป็นคาบ
The height above ground, $h$metres, of a carriage on a fairground ride is modelled by the differential equation
$\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{1}{50}h(2h-1)\cos\!\left(\dfrac{t}{10}\right)$
where $t$ seconds is the time after the start of the ride. Given that, at the start of the ride, the carriage is $2.5$m above ground,
(a) Express $\dfrac{1}{x(2x-1)}$ in partial fractions.
(b) solve the differential equation to show that, according to the model,
$h=\dfrac{5}{10-8e^{k\sin(t/10)}}$
where $k$ is a constant to be found.
(c) Hence find, according to the model, the time taken for the carriage to reach its maximum height above ground for the 3rd time. Give your answer to the nearest second.
ความสูงจากพื้น $h$ เมตร ของรถลากที่นั่งในเครื่องเล่นสวนสนุก (fairground ride) สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์
$\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{1}{50}h(2h-1)\cos\!\left(\dfrac{t}{10}\right)$
เมื่อ $t$ วินาที คือเวลาหลังจากเริ่มการเล่น กำหนดให้ ณ จุดเริ่มต้นของการเล่น รถลากอยู่สูงจากพื้น $2.5$ ม.
(ก) จงเขียน $\dfrac{1}{x(2x-1)}$ ในรูปเศษส่วนย่อย
(ข) จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์เพื่อแสดงว่า ตามแบบจำลองนี้
$h=\dfrac{5}{10-8e^{k\sin(t/10)}}$
เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ที่ต้องหา
(ค) จากนั้นจงหาเวลาที่รถลากใช้ในการขึ้นถึงความสูงสูงสุดจากพื้นเป็นครั้งที่ 3 ตามแบบจำลองนี้ โดยให้คำตอบเป็นวินาทีที่ใกล้เคียงที่สุด
Find $\displaystyle\int\dfrac{2}{2h-1}\,dh$.
จงหา $\displaystyle\int\dfrac{2}{2h-1}\,dh$
Answershow ▾
The derivative of $2h-1$ is $2$, which already sits on top.อนุพันธ์ของ $2h-1$ คือ $2$ ซึ่งอยู่ด้านบนอยู่แล้ว
Find $\displaystyle\int\dfrac{1}{50}\cos\!\left(\dfrac{t}{10}\right)dt$.
จงหา $\displaystyle\int\dfrac{1}{50}\cos\!\left(\dfrac{t}{10}\right)dt$
Answershow ▾
Integrating $\cos(t/10)$ brings a factor of $10$ out front.หาปริพันธ์ของ $\cos(t/10)$ จะมีตัวประกอบ $10$ โผล่ออกมา
Work out $\dfrac{2(2.5)-1}{2.5}$.
จงหาค่า $\dfrac{2(2.5)-1}{2.5}$
Answershow ▾
$2(2.5)-1=4$, then divide by $2.5$.$2(2.5)-1=4$ แล้วหารด้วย $2.5$
Pick the correct partial fraction form for $\dfrac{1}{x(2x-1)}$.
(A) $\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{2x-1}$
(B) $\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{(2x-1)^{2}}$
(C) $\dfrac{Ax+B}{x(2x-1)}$
จงเลือกรูปเศษส่วนย่อยที่ถูกต้องของ $\dfrac{1}{x(2x-1)}$
(A) $\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{2x-1}$
(B) $\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{(2x-1)^{2}}$
(C) $\dfrac{Ax+B}{x(2x-1)}$
Answershow ▾
(B) squares $2x-1$, but the denominator only has it to the power $1$ - a repeated-factor form is for a repeated factor. (C) puts a linear numerator over the whole denominator, which has one unknown too many for two distinct linear factors.(B) ยกกำลังสอง $2x-1$ ทั้งที่ตัวส่วนมีมันแค่กำลัง $1$ รูปแบบตัวประกอบซ้ำใช้กับตัวประกอบที่ซ้ำเท่านั้น · (C) ใส่ตัวเศษเชิงเส้นไว้บนตัวส่วนทั้งหมด ซึ่งมีค่าไม่ทราบมากเกินไปสำหรับตัวประกอบเชิงเส้นสองตัวที่ต่างกัน
$\dfrac{1}{x(2x-1)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{2x-1}$, so $1=A(2x-1)+Bx$. Find $A$ and $B$.
$\dfrac{1}{x(2x-1)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{2x-1}$ ดังนั้น $1=A(2x-1)+Bx$ จงหา $A$ และ $B$
Answershow ▾
Substitute $x=0$ and $x=\dfrac12$ - each makes one bracket vanish.แทน $x=0$ และ $x=\dfrac12$ แต่ละครั้งทำให้วงเล็บตัวหนึ่งหายไป
Using $A=-1,\ B=2$, state $\dfrac{1}{x(2x-1)}$ as partial fractions.
ใช้ $A=-1,\ B=2$ จงเขียน $\dfrac{1}{x(2x-1)}$ ในรูปเศษส่วนย่อย
Answershow ▾
Put each constant over its own factor.ใส่ค่าคงที่แต่ละตัวไว้บนตัวประกอบของตัวมันเอง
Separate the variables in $\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{1}{50}h(2h-1)\cos\!\left(\dfrac{t}{10}\right)$.
จงแยกตัวแปรใน $\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{1}{50}h(2h-1)\cos\!\left(\dfrac{t}{10}\right)$
Answershow ▾
Divide both sides by $h(2h-1)$, then multiply by $dt$.หารทั้งสองข้างด้วย $h(2h-1)$ แล้วคูณด้วย $dt$
Integrate $\dfrac{dh}{h(2h-1)}=\dfrac{1}{50}\cos\!\left(\dfrac{t}{10}\right)dt$ using question $5$, question $1$ and question $2$, then use $t=0,\ h=2.5$ to find $c$.
จงหาปริพันธ์ $\dfrac{dh}{h(2h-1)}=\dfrac{1}{50}\cos\!\left(\dfrac{t}{10}\right)dt$ โดยใช้ข้อ $5$ ข้อ $1$ และข้อ $2$ แล้วใช้ $t=0,\ h=2.5$ หาค่า $c$
Answershow ▾
The left integrates to $\ln(2h-1)-\ln h=\ln\!\left(\dfrac{2h-1}{h}\right)$, and question $3$ gives $c$.ฝั่งซ้ายหาปริพันธ์ได้ $\ln(2h-1)-\ln h=\ln\!\left(\dfrac{2h-1}{h}\right)$ และข้อ $3$ ให้ค่า $c$
Rearrange $\ln\!\left(\dfrac{2h-1}{h}\right)=\dfrac15\sin\!\left(\dfrac{t}{10}\right)+\ln1.6$ to make $h$ the subject, in the form $h=\dfrac{5}{10-8e^{k\sin(t/10)}}$, finding $k$.
จงจัดรูป $\ln\!\left(\dfrac{2h-1}{h}\right)=\dfrac15\sin\!\left(\dfrac{t}{10}\right)+\ln1.6$ ให้ $h$ เป็นตัวแปรตาม ในรูป $h=\dfrac{5}{10-8e^{k\sin(t/10)}}$ แล้วหาค่า $k$
Answershow ▾
Remove the logs, take the reciprocal, then multiply top and bottom by $5$.กำจัดลอการิทึม ถอดส่วนกลับ แล้วคูณทั้งเศษและส่วนด้วย $5$
$\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{1}{10}h(2h-1)\cos\!\left(\dfrac{t}{5}\right)$, with $h=1$ at $t=0$. (a) Solve to show $h=\dfrac{1}{2-e^{k\sin(t/5)}}$, finding $k$. (b) Find the time taken for $h$ to reach its maximum for the $2$nd time. Give your answer to the nearest second.
$\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{1}{10}h(2h-1)\cos\!\left(\dfrac{t}{5}\right)$ โดยที่ $h=1$ เมื่อ $t=0$ (a) จงแก้สมการแสดงว่า $h=\dfrac{1}{2-e^{k\sin(t/5)}}$ แล้วหาค่า $k$ (b) จงหาเวลาที่ $h$ ถึงค่าสูงสุด เป็นครั้งที่ $2$ โดยให้คำตอบเป็นวินาทีที่ใกล้เคียงที่สุด
Answershow ▾
Same moves: separate, integrate, use the condition, rearrange, then solve for a maximum.ขั้นเดิม: แยกตัวแปร หาปริพันธ์ ใช้เงื่อนไข จัดรูป แล้วแก้หาค่าสูงสุด
The height above ground, $h$metres, of a carriage on a fairground ride is modelled by the differential equation
$\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{1}{50}h(2h-1)\cos\!\left(\dfrac{t}{10}\right)$
where $t$ seconds is the time after the start of the ride. Given that, at the start of the ride, the carriage is $2.5$m above ground,
(a) Express $\dfrac{1}{x(2x-1)}$ in partial fractions.
(b) solve the differential equation to show that, according to the model,
$h=\dfrac{5}{10-8e^{k\sin(t/10)}}$
where $k$ is a constant to be found.
(c) Hence find, according to the model, the time taken for the carriage to reach its maximum height above ground for the 3rd time. Give your answer to the nearest second.
ความสูงจากพื้น $h$ เมตร ของรถลากที่นั่งในเครื่องเล่นสวนสนุก (fairground ride) สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์
$\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{1}{50}h(2h-1)\cos\!\left(\dfrac{t}{10}\right)$
เมื่อ $t$ วินาที คือเวลาหลังจากเริ่มการเล่น กำหนดให้ ณ จุดเริ่มต้นของการเล่น รถลากอยู่สูงจากพื้น $2.5$ ม.
(ก) จงเขียน $\dfrac{1}{x(2x-1)}$ ในรูปเศษส่วนย่อย
(ข) จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์เพื่อแสดงว่า ตามแบบจำลองนี้
$h=\dfrac{5}{10-8e^{k\sin(t/10)}}$
เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ที่ต้องหา
(ค) จากนั้นจงหาเวลาที่รถลากใช้ในการขึ้นถึงความสูงสูงสุดจากพื้นเป็นครั้งที่ 3 ตามแบบจำลองนี้ โดยให้คำตอบเป็นวินาทีที่ใกล้เคียงที่สุด
Answershow ▾
10 marks: partial fractions for (a), separate and integrate for (b), then find when $\sin(t/10)$ is largest for the 3rd time for (c).10 คะแนน: เศษส่วนย่อยสำหรับ (a) แยกตัวแปรและหาปริพันธ์สำหรับ (b) จากนั้นหาว่า $\sin(t/10)$ มากที่สุด เป็นครั้งที่ 3 เมื่อไรสำหรับ (c)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Multi-stage separation with logs สมการแยกตัวแปรหลายขั้น ใช้ลอการิทึม
(a) Find $\dfrac{d}{dy}\left(\dfrac{1}{(1+2\ln y)^{2}}\right)$.
(b) Hence find a general solution to the differential equation
$3\operatorname{cosec}(2x)\dfrac{dy}{dx}=y(1+2\ln y)^{3},\qquad y\gt0,\ -\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}$.
(c) Show that the particular solution of this differential equation for which $y=1$ at $x=\dfrac{\pi}{6}$ is given by
$y=e^{Ax\sec x-\frac12}$
where $A$ is an irrational number to be found.
(ก) จงหา $\dfrac{d}{dy}\left(\dfrac{1}{(1+2\ln y)^{2}}\right)$
(ข) จากนั้นจงหาผลเฉลยทั่วไป (general solution) ของสมการเชิงอนุพันธ์
$3\operatorname{cosec}(2x)\dfrac{dy}{dx}=y(1+2\ln y)^{3}$ เมื่อ $y\gt0$, $-\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}$
(ค) จงแสดงว่าผลเฉลยเฉพาะ (particular solution) ของสมการเชิงอนุพันธ์นี้ โดยที่ $y=1$ เมื่อ $x=\dfrac{\pi}{6}$ คือ
$y=e^{A\sec x-\frac12}$
เมื่อ $A$ เป็นจำนวนอตรรกยะ (irrational number) ที่ต้องหา
Find $\dfrac{d}{dy}(1+2\ln y)^{-2}$.
จงหา $\dfrac{d}{dy}(1+2\ln y)^{-2}$
Answershow ▾
Chain rule: bring the power down, then multiply by the derivative of $1+2\ln y$, which is $\dfrac2y$.กฎลูกโซ่ (chain rule): ดึงเลขชี้กำลังลงมา แล้วคูณด้วยอนุพันธ์ของ $1+2\ln y$ ซึ่งคือ $\dfrac2y$
Find $\displaystyle\int\dfrac13\sin2x\,dx$.
จงหา $\displaystyle\int\dfrac13\sin2x\,dx$
Answershow ▾
$\int\sin2x\,dx=-\dfrac12\cos2x$; keep the $\dfrac13$ out front.$\int\sin2x\,dx=-\dfrac12\cos2x$ และคง $\dfrac13$ ไว้ด้านหน้า
Work out $\cos\dfrac{\pi}{3}$.
จงหาค่า $\cos\dfrac{\pi}{3}$
Answershow ▾
A standard angle value.ค่ามุมมาตรฐาน
$3\operatorname{cosec}(2x)\,\dfrac{dy}{dx}=y(1+2\ln y)^{3}$. Pick the first move.
(A) rewrite $\operatorname{cosec}2x$ as $\dfrac{1}{\sin2x}$, then divide by $y(1+2\ln y)^{3}$ and by $3\operatorname{cosec}2x$: $\dfrac{dy}{y(1+2\ln y)^{3}}=\dfrac13\sin2x\,dx$
(B) divide both sides by $3$ only, keeping $\operatorname{cosec}2x\,\dfrac{dy}{dx}=\dfrac13y(1+2\ln y)^{3}$, then integrate as it stands
(C) multiply both sides by $\sin2x$ first, without dividing by $y(1+2\ln y)^{3}$
$3\operatorname{cosec}(2x)\,\dfrac{dy}{dx}=y(1+2\ln y)^{3}$ จงเลือกขั้นแรก
(A) เขียน $\operatorname{cosec}2x$ เป็น $\dfrac{1}{\sin2x}$ แล้วหารด้วย $y(1+2\ln y)^{3}$ และด้วย $3\operatorname{cosec}2x$: $\dfrac{dy}{y(1+2\ln y)^{3}}=\dfrac13\sin2x\,dx$
(B) หารทั้งสองข้างด้วย $3$ เท่านั้น คง $\operatorname{cosec}2x\,\dfrac{dy}{dx}=\dfrac13y(1+2\ln y)^{3}$ แล้วหาปริพันธ์ตามเดิม
(C) คูณทั้งสองข้างด้วย $\sin2x$ ก่อน โดยไม่หารด้วย $y(1+2\ln y)^{3}$
Answershow ▾
(B) still has $y(1+2\ln y)^{3}$ on the side being integrated with respect to $x$, so nothing is separated. (C) only clears the $\operatorname{cosec}$, it does not move $y$ to its own side.(B) ยังมี $y(1+2\ln y)^{3}$ อยู่ฝั่งที่จะหาปริพันธ์เทียบกับ $x$ ยังไม่ได้แยกอะไร · (C) กำจัดแค่ $\operatorname{cosec}$ ยังไม่ได้ย้าย $y$ ไปอยู่ฝั่งของตัวเอง
Separate the variables in $3\operatorname{cosec}(2x)\,\dfrac{dy}{dx}=y(1+2\ln y)^{3}$.
จงแยกตัวแปรใน $3\operatorname{cosec}(2x)\,\dfrac{dy}{dx}=y(1+2\ln y)^{3}$
Answershow ▾
$\operatorname{cosec}2x=\dfrac{1}{\sin2x}$, so dividing by it means multiplying by $\sin2x$.$\operatorname{cosec}2x=\dfrac{1}{\sin2x}$ การหารด้วยมันจึงเท่ากับคูณด้วย $\sin2x$
Using question $1$, integrate $\displaystyle\int\dfrac{dy}{y(1+2\ln y)^{3}}$.
ใช้ข้อ $1$ จงหาปริพันธ์ $\displaystyle\int\dfrac{dy}{y(1+2\ln y)^{3}}$
Answershow ▾
Question $1$ says this integral is $-\dfrac14$ of its own answer, reversed.ข้อ $1$ บอกว่าปริพันธ์นี้คือ $-\dfrac14$ ของคำตอบตัวเอง แบบย้อนกลับ
Using question $5$ and question $2$, integrate $\dfrac{dy}{y(1+2\ln y)^{3}}=\dfrac13\sin2x\,dx$, then multiply by $-4$ to state the general solution.
ใช้ข้อ $5$ และข้อ $2$ หาปริพันธ์ $\dfrac{dy}{y(1+2\ln y)^{3}}=\dfrac13\sin2x\,dx$ แล้วคูณด้วย $-4$ เพื่อเขียนผลเฉลยทั่วไป
Answershow ▾
$-4\times\left(-\dfrac16\cos2x+c\right)=\dfrac23\cos2x-4c$; call $-4c$ the new constant $C$.$-4\times\left(-\dfrac16\cos2x+c\right)=\dfrac23\cos2x-4c$ เรียก $-4c$ ว่าค่าคงที่ใหม่ $C$
Use $x=\dfrac{\pi}{6},\ y=1$ in $(1+2\ln y)^{-2}=\dfrac23\cos2x+C$ to find $C$, then state the particular solution.
ใช้ $x=\dfrac{\pi}{6},\ y=1$ ใน $(1+2\ln y)^{-2}=\dfrac23\cos2x+C$ หาค่า $C$ แล้วเขียนผลเฉลยเฉพาะ
Answershow ▾
$\ln1=0$, so the left side is $1$; use question $3$ for $\cos2x$ at this $x$.$\ln1=0$ ฝั่งซ้ายจึงเป็น $1$ ใช้ข้อ $3$ สำหรับ $\cos2x$ ที่ $x$ นี้
Use $\cos2x=2\cos^{2}x-1$ to rewrite $(1+2\ln y)^{-2}=\dfrac23\cos2x+\dfrac23$ as a power of $\sec x$, then make $y$ the subject in the form $y=e^{Ax\sec x-\frac12}$, finding $A$.
ใช้ $\cos2x=2\cos^{2}x-1$ จัดรูป $(1+2\ln y)^{-2}=\dfrac23\cos2x+\dfrac23$ ให้เป็นผลคูณของ $\sec x$ ยกกำลัง แล้วจัดรูปหา $y$ ในรูป $y=e^{A\sec x-\frac12}$ แล้วหาค่า $A$
Answershow ▾
$\dfrac23(1+\cos2x)=\dfrac43\cos^{2}x$, and $\dfrac{1}{\cos^{2}x}=\sec^{2}x$.$\dfrac23(1+\cos2x)=\dfrac43\cos^{2}x$ และ $\dfrac{1}{\cos^{2}x}=\sec^{2}x$
(a) Find $\dfrac{d}{dy}(1+\ln y)^{-1}$. (b) Hence solve $2\operatorname{cosec}(2x)\,\dfrac{dy}{dx}=y(1+\ln y)^{2}$, given $y=1$ at $x=0$, giving $y$ in terms of $x$.
(a) จงหา $\dfrac{d}{dy}(1+\ln y)^{-1}$ (b) จากนั้นจงแก้ $2\operatorname{cosec}(2x)\,\dfrac{dy}{dx}=y(1+\ln y)^{2}$ โดยที่ $y=1$ เมื่อ $x=0$ ตอบในรูป $y$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
Same moves: chain rule, separate, integrate, use the condition, rearrange for $y$.ขั้นเดิม: กฎลูกโซ่ แยกตัวแปร หาปริพันธ์ ใช้เงื่อนไข จัดรูปหา $y$
(a) Find $\dfrac{d}{dy}\left(\dfrac{1}{(1+2\ln y)^{2}}\right)$.
(b) Hence find a general solution to the differential equation
$3\operatorname{cosec}(2x)\dfrac{dy}{dx}=y(1+2\ln y)^{3},\qquad y\gt0,\ -\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}$.
(c) Show that the particular solution of this differential equation for which $y=1$ at $x=\dfrac{\pi}{6}$ is given by
$y=e^{Ax\sec x-\frac12}$
where $A$ is an irrational number to be found.
(ก) จงหา $\dfrac{d}{dy}\left(\dfrac{1}{(1+2\ln y)^{2}}\right)$
(ข) จากนั้นจงหาผลเฉลยทั่วไป (general solution) ของสมการเชิงอนุพันธ์
$3\operatorname{cosec}(2x)\dfrac{dy}{dx}=y(1+2\ln y)^{3}$ เมื่อ $y\gt0$, $-\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}$
(ค) จงแสดงว่าผลเฉลยเฉพาะ (particular solution) ของสมการเชิงอนุพันธ์นี้ โดยที่ $y=1$ เมื่อ $x=\dfrac{\pi}{6}$ คือ
$y=e^{A\sec x-\frac12}$
เมื่อ $A$ เป็นจำนวนอตรรกยะ (irrational number) ที่ต้องหา
Answershow ▾
11 marks: chain rule for (a), separate and integrate for (b), use the condition and double angle for (c).11 คะแนน: chain rule สำหรับ (a) แยกตัวแปรและหาปริพันธ์สำหรับ (b) ใช้เงื่อนไขและมุมสองเท่าสำหรับ (c)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Forming, solving, long-term behaviour ตั้งสมการ แก้สมการ พฤติกรรมระยะยาว
The depth of water in a storage tank is being monitored. The depth of water in the tank, $H$metres, is modelled by the differential equation
$\dfrac{dH}{dt}=-\dfrac{(H-5)(H+3)}{40}$
where $t$ is the time, in days, from when monitoring began. Given that the initial depth of water in the tank was $13$m,
(a) Write $\dfrac{1}{(H-5)(H+3)}$ in partial fraction form.
(b) solve the differential equation to show that
$H=\dfrac{10+3e^{-0.2t}}{2-e^{-0.2t}}$.
(c) Hence find the time taken for the depth of water in the tank to fall to $8$m.
(d) According to the model, the depth of water in the tank will eventually fall to $k$metres. State the value of the constant $k$.
กำลังมีการเฝ้าติดตามความลึกของน้ำในถังเก็บน้ำ (storage tank) ความลึกของน้ำในถัง $H$ เมตร สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์
$\dfrac{dH}{dt}=-\dfrac{(H-5)(H+3)}{40}$
เมื่อ $t$ คือเวลาเป็นวันนับจากเริ่มเฝ้าติดตาม กำหนดให้ความลึกเริ่มต้นของน้ำในถังเท่ากับ $13$ ม.
(ก) จงเขียน $\dfrac{1}{(H-5)(H+3)}$ ในรูปเศษส่วนย่อย
(ข) จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์เพื่อแสดงว่า
$H=\dfrac{10+3e^{-0.2t}}{2-e^{-0.2t}}$
(ค) จากนั้นจงหาเวลาที่ใช้ให้ความลึกของน้ำในถังลดลงถึง $8$ ม.
(ง) ตามแบบจำลองนี้ ความลึกของน้ำในถังจะลดลงจนเข้าใกล้ $k$ เมตรในที่สุด จงระบุค่าของค่าคงที่ $k$
Work out $\ln8-\ln16$, writing your answer as a single log.
จงหาค่า $\ln8-\ln16$ เขียนคำตอบเป็น log ตัวเดียว
Answershow ▾
$\ln8-\ln16=\ln\dfrac{8}{16}=\ln\dfrac12$.$\ln8-\ln16=\ln\dfrac{8}{16}=\ln\dfrac12$
Find $\displaystyle\int\dfrac{1}{8(H-5)}\,dH$.
จงหา $\displaystyle\int\dfrac{1}{8(H-5)}\,dH$
Answershow ▾
The derivative of $H-5$ is $1$, so it integrates straight to a log.อนุพันธ์ของ $H-5$ คือ $1$ จึงหาปริพันธ์ได้เป็น log ตรง ๆ
$H=13$. Work out $H-5$ and $H+3$.
$H=13$ จงหาค่า $H-5$ และ $H+3$
Answershow ▾
$13-5=8$ and $13+3=16$.$13-5=8$ และ $13+3=16$
$\dfrac{dH}{dt}=-\dfrac{(H-5)(H+3)}{40}$. Pick the first move.
(A) multiply by $dt$ and divide by $(H-5)(H+3)$: $\dfrac{dH}{(H-5)(H+3)}=-\dfrac{dt}{40}$
(B) multiply both sides by $dt$ only: $dH=-\dfrac{(H-5)(H+3)}{40}\,dt$, then integrate as it stands
(C) expand $(H-5)(H+3)$ first, before doing anything else
$\dfrac{dH}{dt}=-\dfrac{(H-5)(H+3)}{40}$ จงเลือกขั้นแรก
(A) คูณด้วย $dt$ และหารด้วย $(H-5)(H+3)$: $\dfrac{dH}{(H-5)(H+3)}=-\dfrac{dt}{40}$
(B) คูณทั้งสองข้างด้วย $dt$ เท่านั้น: $dH=-\dfrac{(H-5)(H+3)}{40}\,dt$ แล้วหาปริพันธ์ตามเดิม
(C) กระจาย $(H-5)(H+3)$ ก่อน แล้วจึงทำอย่างอื่น
Answershow ▾
(B) still has $(H-5)(H+3)$ attached to the $t$-side, so $H$ and $t$ are not separated. (C) expanding first does not separate anything - it only makes the next step messier, since partial fractions need the factorised form, not the expanded one.(B) ยังมี $(H-5)(H+3)$ ติดอยู่ฝั่ง $t$ ตัวแปรยังไม่ถูกแยก · (C) กระจายก่อนไม่ได้ช่วยแยกตัวแปรเลย กลับทำให้ขั้นต่อไปยุ่งยากขึ้น เพราะเศษส่วนย่อยต้องใช้รูปตัวประกอบ ไม่ใช่รูปที่กระจายแล้ว
$\dfrac{1}{(H-5)(H+3)}=\dfrac{A}{H-5}+\dfrac{B}{H+3}$, so $1=A(H+3)+B(H-5)$. Find $A$ and $B$.
$\dfrac{1}{(H-5)(H+3)}=\dfrac{A}{H-5}+\dfrac{B}{H+3}$ ดังนั้น $1=A(H+3)+B(H-5)$ จงหา $A$ และ $B$
Answershow ▾
Substitute $H=5$ and $H=-3$ - each makes one bracket vanish.แทน $H=5$ และ $H=-3$ แต่ละครั้งทำให้วงเล็บตัวหนึ่งหายไป
Using $A=\dfrac18,\ B=-\dfrac18$, state $\dfrac{1}{(H-5)(H+3)}$ as partial fractions.
ใช้ $A=\dfrac18,\ B=-\dfrac18$ จงเขียน $\dfrac{1}{(H-5)(H+3)}$ ในรูปเศษส่วนย่อย
Answershow ▾
Put each constant over its own factor.ใส่ค่าคงที่แต่ละตัวไว้บนตัวประกอบของตัวมันเอง
Separate the variables in $\dfrac{dH}{dt}=-\dfrac{(H-5)(H+3)}{40}$.
จงแยกตัวแปรใน $\dfrac{dH}{dt}=-\dfrac{(H-5)(H+3)}{40}$
Answershow ▾
Multiply both sides by $dt$, then divide by $(H-5)(H+3)$.คูณทั้งสองข้างด้วย $dt$ แล้วหารด้วย $(H-5)(H+3)$
Integrate $\dfrac{dH}{(H-5)(H+3)}=-\dfrac{dt}{40}$ using question $5$ and question $2$, then use $t=0,\ H=13$ (question $3$) to find $c$.
จงหาปริพันธ์ $\dfrac{dH}{(H-5)(H+3)}=-\dfrac{dt}{40}$ โดยใช้ข้อ $5$ และข้อ $2$ แล้วใช้ $t=0,\ H=13$ (ข้อ $3$) หาค่า $c$
Answershow ▾
The left integrates term by term as in question $2$; question $1$ gives $c$.ฝั่งซ้ายหาปริพันธ์ทีละพจน์ตามข้อ $2$ และข้อ $1$ ให้ค่า $c$
Rearrange $\dfrac18\ln\!\left(\dfrac{H-5}{H+3}\right)=-\dfrac{t}{40}-\dfrac18\ln2$ to make $H$ the subject, in the form $H=\dfrac{10+3e^{-0.2t}}{2-e^{-0.2t}}$.
จงจัดรูป $\dfrac18\ln\!\left(\dfrac{H-5}{H+3}\right)=-\dfrac{t}{40}-\dfrac18\ln2$ ให้ $H$ เป็นตัวแปรตาม ในรูป $H=\dfrac{10+3e^{-0.2t}}{2-e^{-0.2t}}$
Answershow ▾
Multiply by $8$, remove the logs, then isolate $H$ and multiply top and bottom by $2$.คูณด้วย $8$ กำจัดลอการิทึม แล้วจัดให้เหลือ $H$ แล้วคูณทั้งเศษและส่วนด้วย $2$
$\dfrac{dH}{dt}=-\dfrac{(H-4)(H+2)}{20}$, with $H=10$ at $t=0$. (a) Write $\dfrac{1}{(H-4)(H+2)}$ in partial fraction form. (b) Solve to show $H=\dfrac{8+2e^{-0.3t}}{2-e^{-0.3t}}$. (c) State the long-term value of $H$.
$\dfrac{dH}{dt}=-\dfrac{(H-4)(H+2)}{20}$ โดยที่ $H=10$ เมื่อ $t=0$ (a) จงเขียน $\dfrac{1}{(H-4)(H+2)}$ ในรูปเศษส่วนย่อย (b) จงแก้สมการแสดงว่า $H=\dfrac{8+2e^{-0.3t}}{2-e^{-0.3t}}$ (c) จงระบุค่าระยะยาวของ $H$
Answershow ▾
Same moves: partial fractions, separate, integrate, use the condition, rearrange, let $t\to\infty$.ขั้นเดิม: เศษส่วนย่อย แยกตัวแปร หาปริพันธ์ ใช้เงื่อนไข จัดรูป แล้วให้ $t\to\infty$
The depth of water in a storage tank is being monitored. The depth of water in the tank, $H$metres, is modelled by the differential equation
$\dfrac{dH}{dt}=-\dfrac{(H-5)(H+3)}{40}$
where $t$ is the time, in days, from when monitoring began. Given that the initial depth of water in the tank was $13$m,
(a) Write $\dfrac{1}{(H-5)(H+3)}$ in partial fraction form.
(b) solve the differential equation to show that
$H=\dfrac{10+3e^{-0.2t}}{2-e^{-0.2t}}$.
(c) Hence find the time taken for the depth of water in the tank to fall to $8$m.
(d) According to the model, the depth of water in the tank will eventually fall to $k$metres. State the value of the constant $k$.
กำลังมีการเฝ้าติดตามความลึกของน้ำในถังเก็บน้ำ (storage tank) ความลึกของน้ำในถัง $H$ เมตร สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์
$\dfrac{dH}{dt}=-\dfrac{(H-5)(H+3)}{40}$
เมื่อ $t$ คือเวลาเป็นวันนับจากเริ่มเฝ้าติดตาม กำหนดให้ความลึกเริ่มต้นของน้ำในถังเท่ากับ $13$ ม.
(ก) จงเขียน $\dfrac{1}{(H-5)(H+3)}$ ในรูปเศษส่วนย่อย
(ข) จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์เพื่อแสดงว่า
$H=\dfrac{10+3e^{-0.2t}}{2-e^{-0.2t}}$
(ค) จากนั้นจงหาเวลาที่ใช้ให้ความลึกของน้ำในถังลดลงถึง $8$ ม.
(ง) ตามแบบจำลองนี้ ความลึกของน้ำในถังจะลดลงจนเข้าใกล้ $k$ เมตรในที่สุด จงระบุค่าของค่าคงที่ $k$
Answershow ▾
14 marks: partial fractions for (a), separate and integrate for (b), set $H=8$ and solve for (c), then let $t\to\infty$ for (d).14 คะแนน: เศษส่วนย่อยสำหรับ (a) แยกตัวแปรและหาปริพันธ์สำหรับ (b) แทน $H=8$ แล้วแก้สมการสำหรับ (c) จากนั้นให้ $t\to\infty$ สำหรับ (d)