Differential equations · practice ladders ชุดไต่ระดับ · สมการเชิงอนุพันธ์
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Differential equations · separating, where one side needs partial fractions
A population is modelled by the differential equation $\dfrac{dP}{dt} = kP(30-P)$, where $k = \frac{1}{10}$ is a constant. Given that $P = 5$ when $t = 0$, find $P$ in terms of $t$.
Show that $\dfrac{dw}{dt} = 2w(6-w)$ can be separated, writing it in the form $\displaystyle\int \ldots\,dw = \int \ldots\,dt$.
จงแสดงว่าสมการ $\dfrac{dw}{dt} = 2w(6-w)$ แยกตัวแปรได้ โดยเขียนในรูป $\displaystyle\int \ldots\,dw = \int \ldots\,dt$
Answershow ▾
Every $w$ (including the $dw$) belongs on the left, divided by the whole product $w(6-w)$-style expression; every $t$ (including $dt$) belongs on the right. The partial fractions come later — this step is purely rearranging.
Express $\dfrac{1}{w(6-w)}$ in partial fractions.
จงเขียน $\dfrac{1}{w(6-w)}$ ในรูปเศษส่วนย่อย
Answershow ▾
Write $\dfrac{1}{w(6-w)} = \dfrac{A}{w} + \dfrac{B}{6-w}$, multiply both sides by $w(6-w)$, then substitute $w=0$ and $w=6$ in turn — each substitution kills one of the two unknowns and hands you the other directly.
Using the partial fractions from question 2, find $\displaystyle\int \dfrac{1}{w(6-w)}\,dw$.
ใช้เศษส่วนย่อยจากข้อ 2 จงหา $\displaystyle\int \dfrac{1}{w(6-w)}\,dw$
Answershow ▾
$\int \frac{1}{w}\,dw = \ln w$, and $\int \frac{1}{c-w}\,dw = -\ln(c-w)$ by the chain rule (the derivative of $c-w$ is $-1$) — both scaled by the coefficient found in question 2. Left as a DIFFERENCE of two logs for now; combining them is the next skill.
A student separates and then writes $\displaystyle\int \dfrac{1}{P(30-P)}\,dP = \ln\!\left(P(30-P)\right)$. Name the rule they have misused, say why it does not apply here, and state what has to happen to the left-hand side first.
นักเรียนคนหนึ่งแยกตัวแปรแล้วเขียนว่า $\displaystyle\int \dfrac{1}{P(30-P)}\,dP = \ln\!\left(P(30-P)\right)$ · จงบอกชื่อกฎที่เขาใช้ผิด บอกว่าทำไมใช้ที่นี่ไม่ได้ และบอกว่าฝั่งซ้ายต้องทำอะไรก่อน
Answershow ▾
The log rule needs the numerator to BE the derivative of the denominator, up to a constant. Here the derivative is $30 - 2P$ and the numerator is $1$, so the rule is not available and the integral has to be taken apart instead. Checking that in one line, before reaching for either method, is what separates this question from an ordinary separable equation. The M1 is for the partial fractions; nothing warns you that the faster-looking route is closed.กฎลอการิทึมต้องการให้ตัวเศษ "เป็น" อนุพันธ์ของตัวส่วน (คูณค่าคงที่ได้) · ที่นี่อนุพันธ์คือ $30 - 2P$ ส่วนตัวเศษคือ $1$ กฎจึงใช้ไม่ได้ และต้องแยกอินทิกรัลออกเป็นส่วน ๆ แทน · การตรวจข้อนี้ในบรรทัดเดียวก่อนจะเลือกวิธี คือสิ่งที่แยกโจทย์ข้อนี้ออกจากสมการแยกตัวแปรธรรมดา · M1 ให้กับเศษส่วนย่อย ไม่มีอะไรเตือนว่าทางที่ดูเร็วกว่านั้นปิดอยู่
Given that $\dfrac{dP}{dt} = kP(30-P)$, where $k = \frac{1}{10}$ is a constant, separate the variables, writing the equation in the form $\displaystyle\int \ldots\,dP = \int \ldots\,dt$.
Answershow ▾
Same move as question 1, with the real capacity and rate. This is the first mark of the exam question — recognising the equation separates at all.
Express $\dfrac{1}{P(30-P)}$ in partial fractions.
Answershow ▾
Same move as question 2, with the real capacity. This is the step that makes this question genuinely harder than a plain separable equation — without it, $\frac{1}{P(M-P)}$ cannot be integrated directly.
Using the partial fractions from question 5, find $\displaystyle\int \dfrac{1}{P(30-P)}\,dP$.
Answershow ▾
Same move as question 3, with the real capacity. Together with the right-hand side $\int k\,dt = kt$, this is the general solution — still two separate logarithms.
You have $\frac{1}{30}\ln P - \frac{1}{30}\ln(30-P) = \frac{1}{10}t + c$. Before combining the logs, multiply every term by $30$ and write the new line. What does $\frac{1}{10}t$ become, and what happens to $c$?
ได้ $\frac{1}{30}\ln P - \frac{1}{30}\ln(30-P) = \frac{1}{10}t + c$ · ก่อนจะรวมลอการิทึม ให้คูณทุกพจน์ด้วย $30$ แล้วเขียนบรรทัดใหม่ · $\frac{1}{10}t$ กลายเป็นอะไร และ $c$ เกิดอะไรขึ้น
Answershow ▾
Clearing the $\frac{1}{30}$ first is what makes the log law usable: $\ln P - \ln(30-P)$ combines, but $\frac{1}{30}\ln P - \frac{1}{30}\ln(30-P)$ has to be factorised before it will. And the $3$ in $e^{3t}$ — which the “show that” in question 7 demands — comes from $30 \times \frac{1}{10}$, not from anywhere in the original equation. A constant multiplied by a constant is still just a constant, so renaming it is free. The M1 pays for the combined log; nothing pays for the order of operations that made it possible.การกำจัด $\frac{1}{30}$ ก่อนคือสิ่งที่ทำให้กฎลอการิทึมใช้ได้: $\ln P - \ln(30-P)$ รวมกันได้ แต่ $\frac{1}{30}\ln P - \frac{1}{30}\ln(30-P)$ ต้องดึงตัวประกอบออกก่อนจึงจะรวมได้ · และเลข $3$ ใน $e^{3t}$ ซึ่งคำสั่ง "show that" ในข้อ 7 เรียกร้อง มาจาก $30 \times \frac{1}{10}$ ไม่ได้มาจากที่ไหนในสมการเดิม · ค่าคงที่คูณค่าคงที่ก็ยังเป็นค่าคงที่ การตั้งชื่อใหม่จึงไม่เสียอะไร · M1 ให้กับลอการิทึมที่รวมแล้ว ไม่มีคะแนนให้กับลำดับการทำที่ทำให้มันเกิดขึ้น
Given that $\frac{1}{30}\ln P - \frac{1}{30}\ln(30-P) = \frac{1}{10}t + c$, show that this can be written as $\dfrac{P}{30-P} = Ae^{3t}$, for some constant $A$.
Answershow ▾
Multiply every term by $30$ first, which turns the $\frac{1}{30}$ coefficients into $1$s and turns $kt$ into $3t$; then $\ln P - \ln(30-P) = \ln\left(\frac{P}{30-P}\right)$ combines the two logs into one. Exponentiating both sides (using $\ln y = X + c \Rightarrow y = Ae^X$) clears the log completely — the constant $C$ becomes the constant $A$.
$\dfrac{P}{30-P} = Ae^{3t}$, and $P = 5$ when $t = 0$. Find $A$, then rearrange to express $P$ explicitly in terms of $t$.
Answershow ▾
At $t=0$, $e^0=1$, so $\dfrac{5}{30-5} = A$ gives $A$ directly. Then cross-multiply, $P = A\left(30-P\right)e^{3t}$, collect every term containing $P$ onto the left, factorise $P$ out, and divide — the same 'gather the unknown on one side' rearranging used for any equation, just with $e^{3t}$ playing the role of an ordinary coefficient.
The question says find $P$ in terms of $t$. Three students stop at three different lines. Which one has answered it, and what is still wrong with the other two?
(A) $\ln\!\left(\dfrac{P}{30-P}\right) = 3t + C$ (B) $\dfrac{P}{30-P} = \dfrac{1}{5}e^{3t}$ (C) $P = \dfrac{6e^{3t}}{1 + \frac{1}{5}e^{3t}}$
โจทย์สั่งว่า find $P$ in terms of $t$ · นักเรียนสามคนหยุดที่บรรทัดต่างกัน · ข้อไหนตอบโจทย์แล้ว และอีกสองข้อยังขาดอะไร
(A) $\ln\!\left(\dfrac{P}{30-P}\right) = 3t + C$ (B) $\dfrac{P}{30-P} = \dfrac{1}{5}e^{3t}$ (C) $P = \dfrac{6e^{3t}}{1 + \frac{1}{5}e^{3t}}$
Answershow ▾
(A) still has $P$ inside a logarithm and an unknown $C$ on the page. (B) has cleared the log and found the constant, but $P$ appears twice and on the wrong side of a fraction. Only (C) has $P$ alone on the left with nothing but $t$ on the right. Getting from (B) to (C) is ordinary algebra — cross-multiply, gather every $P$ on one side, factorise, divide — with $e^{3t}$ behaving exactly like an ordinary coefficient. The final A1 is for the explicit form, and stopping at (B) is the commonest way to lose it.(A) ยังมี $P$ อยู่ในลอการิทึม และยังมี $C$ ที่ไม่ทราบค่าค้างอยู่บนกระดาษ · (B) กำจัดลอการิทึมและหาค่าคงที่แล้ว แต่ $P$ ปรากฏสองที่และอยู่ผิดฝั่งของเศษส่วน · มีแต่ (C) ที่ $P$ อยู่ตัวเดียวทางซ้าย และทางขวามีแต่ $t$ · การไปจาก (B) ถึง (C) คือพีชคณิตธรรมดา คูณไขว้ รวบ $P$ ไว้ข้างเดียว ดึงตัวประกอบ แล้วหาร โดย $e^{3t}$ ทำตัวเหมือนสัมประสิทธิ์ธรรมดาทุกประการ · A1 สุดท้ายให้กับรูปที่ $P$ อยู่โดด ๆ และการหยุดที่ (B) คือวิธีเสียคะแนนนั้นที่พบบ่อยที่สุด
A population is modelled by $\dfrac{dP}{dt} = \frac{1}{5}P(10-P)$. Given that $P = 5$ when $t = 0$, find $P$ in terms of $t$.
Answershow ▾
The exact same five moves as the exam question — separate, split into partial fractions, integrate, combine and exponentiate, use the initial condition and rearrange — with the smallest numbers that still show every step ($A=1$ here, since the starting population is exactly half the capacity).
A population is modelled by the differential equation $\dfrac{dP}{dt} = kP(30-P)$, where $k = \frac{1}{10}$ is a constant. Given that $P = 5$ when $t = 0$, find $P$ in terms of $t$.
Answershow ▾
8 marks. Question 4 is separating; question 5 is the partial fractions; question 6 integrates; question 7 combines and exponentiates; question 8 uses the initial condition and rearranges to the explicit form.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
M1 attempt partial fractions for $\dfrac{1}{P(30-P)}$.
A1 correct split: $\dfrac{\frac{1}{30}}{P} + \dfrac{\frac{1}{30}}{30-P}$.
A1 integrate: $\frac{1}{30}\ln P - \frac{1}{30}\ln(30-P) = \frac{1}{10}t + c$.
M1 multiply by $30$ and combine the logs: $\ln\left(\dfrac{P}{30-P}\right) = 3t + C$.
A1 exponentiate and use $P = 5$ at $t=0$: $\dfrac{P}{30-P} = \frac{1}{5}e^{3t}$.
A1 rearrange: $P\left(1+\frac{1}{5}e^{3t}\right) = 6e^{3t}$.
A1 $P = \dfrac{6e^{3t}}{1 + \frac{1}{5}e^{3t}}$.
Differential equations · a rate in and a rate out
Water flows into a tank at a constant rate of $450$ litres per minute. At the same time, water leaks out of the tank at a rate proportional to the volume of water present, with constant of proportionality $3$. At time $t$ minutes, the volume of water in the tank is $V$ litres, and $V = 15$ when $t = 0$.
(a) Show that $\dfrac{dV}{dt} = 450 - 3V$.
(b) Solve the differential equation to find $V$ in terms of $t$.
(c) State the volume that $V$ approaches as $t \to \infty$, and justify your answer.
Water flows into a tank at a constant rate of $30$ litres per minute. At the same time, water leaks out at a rate proportional to the volume of water present, with constant of proportionality $3$. Using $V$ for the volume (litres) at time $t$ minutes, write down a differential equation connecting $\dfrac{dV}{dt}$ and $V$.
น้ำไหลเข้าถังด้วยอัตราคงที่ $30$ ลิตรต่อนาที ในขณะเดียวกันน้ำไหลออกด้วยอัตรา ที่แปรผันตรงกับปริมาตรน้ำที่มีอยู่ โดยมีค่าคงตัวสัดส่วน $3$ กำหนดให้ $V$ เป็นปริมาตร (ลิตร) ที่เวลา $t$ นาที จงเขียนสมการเชิงอนุพันธ์เชื่อมโยง $\dfrac{dV}{dt}$ กับ $V$
Answershow ▾
'Flows in at a constant rate' contributes a plain constant to $\dfrac{dV}{dt}$; 'leaks out at a rate proportional to $V$' contributes a term $-kV$ — the MINUS because it is leaving, not entering. Rate of change $=$ rate in $-$ rate out.
Find $\displaystyle\int \dfrac{1}{16-3w}\,dw$.
หา $\displaystyle\int \dfrac{1}{16-3w}\,dw$
Answershow ▾
The derivative of $(16-3w)$ is $-3$, so integrating $\frac{1}{16-3w}$ produces $\ln(16-3w)$ divided by that $-3$ — the minus sign in front is not optional, it comes from the chain rule.
The general solution of a differential equation is $-\dfrac{1}{3}\ln(36-3V) = t + c$. Given that $V = 4$ when $t = 0$, find the value of $c$.
คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์คือ $-\dfrac{1}{3}\ln(36-3V) = t + c$ กำหนดให้ $V = 4$ เมื่อ $t = 0$ จงหาค่าคงตัว $c$
Answershow ▾
At $t=0$ the right side collapses to $c$ alone, so substitute $V=4$ into the left side and simplify the number inside the logarithm before leaving it as the answer.
Part (a) is one line built from two sentences. Water flows IN at a constant $450$, and leaks OUT at a rate proportional to $V$ with constant $3$. Which of these is part (a), and what would each of the other two describe?
(A) $\dfrac{dV}{dt} = 450 + 3V$ (B) $\dfrac{dV}{dt} = 3V - 450$ (C) $\dfrac{dV}{dt} = 450 - 3V$
ข้อ (a) เป็นบรรทัดเดียวที่สร้างจากสองประโยค · น้ำไหลเข้าคงที่ $450$ และรั่วออกในอัตราแปรผันตรงกับ $V$ โดยมีค่าคงที่ $3$ · ข้อไหนคือข้อ (a) และอีกสองข้อบรรยายอะไร
(A) $\dfrac{dV}{dt} = 450 + 3V$ (B) $\dfrac{dV}{dt} = 3V - 450$ (C) $\dfrac{dV}{dt} = 450 - 3V$
Answershow ▾
“Rate in minus rate out” is the whole model, and every sign in it comes from that one sentence: the inflow is a plain constant because it does not depend on how full the tank is, and the outflow carries a minus because it leaves. (B) is (C) with both signs flipped, which is what happens if you write “out minus in” by mistake — and it produces a perfectly sensible-looking solution that grows without limit. Part (a) is a “show that”, so the line is given to you here; the reading behind it never is."อัตราเข้า ลบ อัตราออก" คือแบบจำลองทั้งหมด และทุกเครื่องหมายในนั้นมาจากประโยคเดียวนี้: อัตราไหลเข้าเป็นค่าคงที่เพราะไม่ขึ้นกับว่าถังเต็มแค่ไหน ส่วนอัตรารั่วออกติดลบเพราะมันออกไป · (B) คือ (C) ที่พลิกเครื่องหมายทั้งคู่ ซึ่งเกิดจากการเขียน "ออก ลบ เข้า" โดยพลาด และมันให้คำตอบที่ดูสมเหตุสมผลแต่โตขึ้นไม่มีที่สิ้นสุด · ข้อ (a) เป็นแบบ "show that" บรรทัดนี้จึงถูกให้มา แต่การอ่านที่อยู่เบื้องหลังไม่เคยถูกให้
Water flows into a tank at a constant rate of $450$ litres per minute. At the same time, water leaks out at a rate proportional to the volume of water present, with constant of proportionality $3$. Using $V$ for the volume (litres) at time $t$ minutes, write down a differential equation connecting $\dfrac{dV}{dt}$ and $V$.
Answershow ▾
Same translation as question 1, with the real rates. This is part (a) of the exam question.
Find $\displaystyle\int \dfrac{1}{450-3V}\,dV$.
Answershow ▾
Same move as question 2, with the real numbers. This is the heart of part (b) — everything else is rearranging around it.
The chain rule leaves a fingerprint on $\displaystyle\int \dfrac{1}{450 - 3V}\,dV$. Differentiate the bracket, then pick the right integral and say what the other two forgot.
(A) $\dfrac{1}{3}\ln(450 - 3V)$ (B) $-\dfrac{1}{3}\ln(450 - 3V)$ (C) $\ln(450 - 3V)$
กฎลูกโซ่ทิ้งรอยนิ้วมือไว้บน $\displaystyle\int \dfrac{1}{450 - 3V}\,dV$ · จงหาอนุพันธ์ของวงเล็บ แล้วเลือกอินทิกรัลที่ถูก และบอกว่าอีกสองข้อลืมอะไร
(A) $\dfrac{1}{3}\ln(450 - 3V)$ (B) $-\dfrac{1}{3}\ln(450 - 3V)$ (C) $\ln(450 - 3V)$
Answershow ▾
Integrating $\dfrac{1}{ax + b}$ divides by $a$, and here $a$ is $-3$, not $3$: the letter is being subtracted, so the minus is part of the coefficient. Differentiate your answer back and the sign announces itself in one line. Lose the minus and the exponential in question 7 comes out as $e^{+3t}$, and the tank fills forever instead of levelling off — a wrong answer that still looks like physics. The M1 pays for the integration; the check costs nothing and is never asked for.การอินทิเกรต $\dfrac{1}{ax + b}$ ต้องหารด้วย $a$ และที่นี่ $a$ คือ $-3$ ไม่ใช่ $3$ เพราะตัวแปรถูกลบ เครื่องหมายลบจึงเป็นส่วนหนึ่งของสัมประสิทธิ์ · หาอนุพันธ์ของคำตอบย้อนกลับ แล้วเครื่องหมายจะประกาศตัวเองในบรรทัดเดียว · ถ้าเครื่องหมายลบหาย เอกซ์โพเนนเชียลในข้อ 7 จะกลายเป็น $e^{+3t}$ และถังจะเติมไปเรื่อย ๆ แทนที่จะเข้าที่ ซึ่งเป็นคำตอบผิดที่ยังดูเหมือนฟิสิกส์ · M1 ให้กับการอินทิเกรต การตรวจไม่เสียอะไรและไม่เคยมีใครสั่งให้ทำ
The general solution of $\dfrac{dV}{dt} = 450-3V$ is $-\dfrac{1}{3}\ln(450-3V) = t + c$. Given that $V = 15$ when $t = 0$, find the value of $c$.
Answershow ▾
Same move as question 3, with the real starting volume.
Water flows into a tank at $450$ litres per minute; it leaks out at a rate proportional to the volume present, with constant $3$. When $t = 0$, $V = 15$. Find $V$ in terms of $t$.
Answershow ▾
Questions 4, 5 and 6 chained: form the equation, separate and integrate to the general solution, use the initial condition to pin down $c$, then substitute that value back in and rearrange to make $V$ explicit — combining the two logarithms and exponentiating exactly as in a partial-fractions question, just with a single log here instead of two.
$V = 150 - 135e^{-3t}$ gives the volume of water in the tank after $t$ minutes. State the volume that $V$ approaches as $t \to \infty$, and justify your answer.
Answershow ▾
This is why an inflow AND an outflow together give a limiting volume, unlike a tank that only drains: the inflow stops the volume reaching zero, and the outflow stops it growing forever — the two rates balance exactly when $V = a/k$, which is the value the exponential term is decaying towards.
Part (c) asks for the long-term volume with justification. Give the value and the phrase that justifies it, then answer this: the Pure 3 draining tank emptied completely, but this one settles at $150$. What is present here that was absent there, and what equation does $V = 150$ satisfy?
ข้อ (c) ถามปริมาตรระยะยาว พร้อมเหตุผล · จงให้ค่าและวลีที่เป็นเหตุผล แล้วตอบว่า: ถังใน Pure 3 แห้งสนิท แต่ถังนี้นิ่งที่ $150$ · ที่นี่มีอะไรที่ที่นั่นไม่มี และ $V = 150$ สอดคล้องกับสมการอะไร
Answershow ▾
The limit is not a coincidence of the algebra: it is the volume at which the leak carries away exactly as much as the tap brings in, so $\dfrac{dV}{dt}$ is zero and nothing changes any more. Setting the right-hand side of the ORIGINAL equation to zero finds it in one line, without solving the equation at all — a check on the whole of part (b). “With justification” means the phrase $e^{-3t} \to 0$ must be written; the B1 is for value and reason together, and the number alone earns nothing.ค่าลิมิตไม่ใช่ความบังเอิญของพีชคณิต แต่คือปริมาตรที่การรั่วพาน้ำออกไปเท่ากับที่ก๊อกเติมเข้ามาพอดี $\dfrac{dV}{dt}$ จึงเป็นศูนย์และไม่มีอะไรเปลี่ยนอีก · การตั้งฝั่งขวาของสมการเดิมให้เท่ากับศูนย์หาค่านี้ได้ในบรรทัดเดียวโดยไม่ต้องแก้สมการเลย และเป็นการตรวจข้อ (b) ทั้งข้อ · "with justification" แปลว่าต้องเขียนวลี $e^{-3t} \to 0$ ลงไป · B1 ให้กับค่าและเหตุผลรวมกัน ตัวเลขอย่างเดียวไม่ได้คะแนน
Water flows into a tank at a constant rate of $10$ litres per minute. At the same time, water leaks out at a rate proportional to the volume present, with constant of proportionality $1$. When $t = 0$, $V = 4$.
(a) Show that $\dfrac{dV}{dt} = 10 - V$.
(b) Solve the differential equation to find $V$ in terms of $t$.
(c) State the volume that $V$ approaches as $t \to \infty$, and justify your answer.
Answershow ▾
Same three parts as the exam question, but with numbers chosen so every intermediate value is a whole number.
Water flows into a tank at a constant rate of $450$ litres per minute. At the same time, water leaks out of the tank at a rate proportional to the volume of water present, with constant of proportionality $3$. At time $t$ minutes, the volume of water in the tank is $V$ litres, and $V = 15$ when $t = 0$.
(a) Show that $\dfrac{dV}{dt} = 450 - 3V$.
(b) Solve the differential equation to find $V$ in terms of $t$.
(c) State the volume that $V$ approaches as $t \to \infty$, and justify your answer.
Answershow ▾
8 marks. Question 4 is part (a); questions 5 and 6 build part (b); question 7 finishes part (b) in full; question 8 is part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 separate: $\displaystyle\int \dfrac{1}{450-3V}\,dV = \int dt$ A1 integrate: $-\dfrac{1}{3}\ln(450-3V) = t + c$ M1 substitute $t=0$, $V=15$: $c = -\dfrac{1}{3}\ln\left(405\right)$ A1 combine and rearrange: $450-3V = 405e^{-3t}$ A1 $V = 150 - 135e^{-3t}$.
(c) M1 as $t \to \infty$, $e^{-3t} \to 0$ since $3 \gt 0$ A1 $V \to 150$ litres.