Implicit differentiation · practice ladders ชุดไต่ระดับ · อนุพันธ์โดยปริยาย
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Implicit differentiation · the tangent to an implicit curve
A curve has equation $x^2 - 3xy + y^2 = 20$. The point $P(2,\,-2)$ lies on the curve.
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $x$ and $y$.
(b) Find the gradient of the curve at $P$.
(c) Find the equation of the tangent to the curve at $P$.
If $y$ is a function of $x$, use the chain rule to differentiate $2y^{2}$ with respect to $x$.
ถ้า $y$ เป็นฟังก์ชันของ $x$ จงใช้กฎลูกโซ่หาอนุพันธ์ของ $2y^{2}$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
This is the toolkit rule $\dfrac{d}{dx}f(y) = f'(y)\dfrac{dy}{dx}$: differentiate the power as if $y$ were $x$, then multiply on a $\dfrac{dy}{dx}$ — that extra factor is the one students forget.
Use the product rule to differentiate $2xy$ with respect to $x$.
จงใช้กฎผลคูณหาอนุพันธ์ของ $2xy$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
Product rule: $u = x$, $v = y$, so $\dfrac{d}{dx}(xy) = 1 \times y + x \times \dfrac{dy}{dx}$. The $\dfrac{dy}{dx}$ appears because $v = y$ needs the chain rule too, exactly as in question 1.
Given that $3x + 2y + \left(x + 2y\right)\dfrac{dy}{dx} = 0$, make $\dfrac{dy}{dx}$ the subject.
กำหนด $3x + 2y + \left(x + 2y\right)\dfrac{dy}{dx} = 0$ จงทำให้ $\dfrac{dy}{dx}$ อยู่โดดเดี่ยวข้างหนึ่ง
Answershow ▾
Every $\dfrac{dy}{dx}$ term is already inside the bracket — move everything else to the other side, then divide by the bracket. This is the algebra step that finishes every implicit differentiation question.
$x^2 - 3xy + y^2 = 20$ has four terms and they do not all behave the same way. Name the rule each one needs, and say which of them produce a $\dfrac{dy}{dx}$ and which do not.
$x^2 - 3xy + y^2 = 20$ มีสี่พจน์ และแต่ละพจน์ทำตัวไม่เหมือนกัน · จงบอกกฎที่แต่ละพจน์ต้องใช้ และบอกว่าพจน์ไหนให้ $\dfrac{dy}{dx}$ ออกมา พจน์ไหนไม่ให้
Answershow ▾
Sorting the terms first is what stops the two classic slips: differentiating $y^2$ to $2y$ and forgetting the $\dfrac{dy}{dx}$, and differentiating $xy$ to $y$ or to $x\dfrac{dy}{dx}$ instead of both. Every term containing a $y$ produces a $\dfrac{dy}{dx}$, and the $xy$ term produces one piece with it and one piece without. Counting them tells you in advance that two pieces will have to be collected. The M1 marks pay for the differentiated line; the sorting is free and decides all of it.การจัดประเภทพจน์ก่อนคือสิ่งที่กันความพลาดคลาสสิกสองอย่าง: หาอนุพันธ์ $y^2$ ได้ $2y$ แล้วลืม $\dfrac{dy}{dx}$ และหาอนุพันธ์ $xy$ ได้แค่ $y$ หรือแค่ $x\dfrac{dy}{dx}$ แทนที่จะได้ทั้งสอง · ทุกพจน์ที่มี $y$ ให้ $\dfrac{dy}{dx}$ ออกมา และพจน์ $xy$ ให้ชิ้นหนึ่งที่มีและอีกชิ้นที่ไม่มี · การนับบอกล่วงหน้าว่าจะต้องรวบสองชิ้น · คะแนน M1 ให้กับบรรทัดที่หาอนุพันธ์แล้ว การจัดประเภทไม่เสียอะไรและตัดสินทุกอย่าง
A curve satisfies $x^2 - 3xy + y^2 = 20$. Find $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $x$ and $y$.
Answershow ▾
Same two rules as questions 1 and 2, applied to the real curve: chain rule on the $y^2$ term, product rule on the $xy$ term, giving $2x - 3y - 3x\dfrac{dy}{dx} + 2y\dfrac{dy}{dx} = 0$; then collect and solve as in question 3. This is part (a).
A curve satisfies $x^2 - 3xy + y^2 = 20$, and $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2x - 3y}{-3x + 2y}$. Find the gradient of the curve at the point $P(2,\,-2)$.
เส้นโค้ง $x^2 - 3xy + y^2 = 20$ มี $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2x - 3y}{-3x + 2y}$ จงหาความชันที่จุด $P(2,\,-2)$
Answershow ▾
Substitute $x = 2$ and $y = -2$ into $\dfrac{dy}{dx}$ — both coordinates, since the formula involves both $x$ and $y$. This is part (b).
$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2x - 3y}{-3x + 2y}$ is not like the derivatives of Pure 1. A student substitutes $x = 2$ and stops, saying the gradient is a function of $y$. What have they missed, and how many numbers does this formula need before it produces one?
$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2x - 3y}{-3x + 2y}$ ไม่เหมือนอนุพันธ์ใน Pure 1 · นักเรียนคนหนึ่งแทน $x = 2$ แล้วหยุด บอกว่าความชันเป็นฟังก์ชันของ $y$ · เขาพลาดอะไร และสูตรนี้ต้องการตัวเลขกี่ตัวก่อนจะให้ตัวเลขออกมาหนึ่งตัว
Answershow ▾
An implicit derivative names the gradient at a POINT, not at a value of $x$, because the curve can pass over the same $x$ more than once with different gradients — and this one does: above $P$ the other branch runs through $(2,\,8)$. The question gives $P(2,\,-2)$ complete for exactly this reason. The A1 is for the number $1$; the habit of substituting both coordinates is worth nothing and is the difference between a number and a stuck student.อนุพันธ์แบบไม่ชัดแจ้งบอกความชันที่ "จุด" ไม่ใช่ที่ค่าของ $x$ เพราะเส้นโค้งผ่านค่า $x$ เดิมได้มากกว่าหนึ่งครั้งด้วยความชันต่างกัน และเส้นนี้ก็เป็นอย่างนั้น: เหนือ $P$ ขึ้นไป อีกกิ่งหนึ่งผ่านจุด $(2,\,8)$ · โจทย์ให้ $P(2,\,-2)$ มาครบก็ด้วยเหตุผลนี้พอดี · A1 ให้กับตัวเลข $1$ นิสัยการแทนพิกัดทั้งสองไม่มีคะแนน และคือความต่างระหว่างการได้ตัวเลขกับการติดอยู่ตรงนั้น
A curve has a point $P(2,\,-2)$, and the gradient of the curve at $P$ is $1$. Find the equation of the tangent to the curve at $P$.
Answershow ▾
$y + 2 = 1(x - 2)$, then rearrange to $y = mx + c$ form. This is part (c).
Part (c) asks for the tangent at $P$. Say which gradient the tangent uses and which the normal would use, then write both lines through $P(2,\,-2)$ and state which one answers part (c).
ข้อ (c) ถามเส้น สัมผัส ที่ $P$ · จงบอกว่าเส้นสัมผัสใช้ความชันไหน และเส้นตั้งฉากจะใช้ความชันไหน แล้วเขียนสมการทั้งสองเส้นที่ผ่าน $P(2,\,-2)$ และบอกว่าข้อไหนตอบข้อ (c)
Answershow ▾
The tangent takes the gradient exactly as the derivative gives it; the normal takes $-\dfrac{1}{m}$. Both lines pass through the same point, both look like perfectly good answers, and only one of them is what the word in the question asked for. Here the two gradients are $1$ and $-1$, so a sign slip lands you on the other line entirely. The A1 is for the tangent equation; nothing pays for reading which of the two words appeared.เส้นสัมผัสใช้ความชันตามที่อนุพันธ์ให้มาตรง ๆ ส่วนเส้นตั้งฉากใช้ $-\dfrac{1}{m}$ · ทั้งสองเส้นผ่านจุดเดียวกัน ดูเป็นคำตอบที่ดีทั้งคู่ และมีข้อเดียวที่ตรงกับคำในโจทย์ · ที่นี่ความชันสองค่าคือ $1$ กับ $-1$ ความพลาดเรื่องเครื่องหมายจึงพาไปอยู่อีกเส้นหนึ่งเลย · A1 ให้กับสมการเส้นสัมผัส ไม่มีคะแนนให้กับการอ่านว่าโจทย์ใช้คำไหนในสองคำ
A curve satisfies $x^2 - 3xy + y^2 = 20$. Find $\dfrac{dy}{dx}$, and hence find the gradient of the curve at the point $P(2,\,-2)$.
Answershow ▾
Questions 4 and 5 chained together: differentiate implicitly, then substitute the point. This is parts (a) and (b) in full.
A curve satisfies $x^2 - 3xy + y^2 = 20$, with $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2x - 3y}{-3x + 2y}$. Find the gradient of the curve at $P(2,\,-2)$, and hence find the equation of the tangent to the curve at $P$.
Answershow ▾
Questions 5 and 6 chained together: evaluate the gradient at the point, then use that gradient and the point to build the tangent line. This is parts (b) and (c) in full.
A curve has equation $x^2 + xy + y^2 = 3$. The point $P(1,\,1)$ lies on the curve.
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $x$ and $y$.
(b) Find the gradient of the curve at $P$.
(c) Find the equation of the tangent to the curve at $P$.
Answershow ▾
Same three parts as the exam question, but with easier numbers throughout.
A curve has equation $x^2 - 3xy + y^2 = 20$. The point $P(2,\,-2)$ lies on the curve.
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $x$ and $y$.
(b) Find the gradient of the curve at $P$.
(c) Find the equation of the tangent to the curve at $P$.
Answershow ▾
7 marks. Question 4 is part (a); question 5 is part (b); question 6 is part (c) — questions 7 and 8 show the same three parts chained in pairs.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Implicit differentiation · a connected rate on an implicit relation
A ladder of length $17$ m leans against a vertical wall, with its foot on horizontal ground. At time $t$ seconds, the foot of the ladder is a distance $x$ m from the wall, and the top of the ladder is a height $y$ m up the wall, so that $x^2 + y^2 = 17^2$. The foot of the ladder is pulled away from the wall at a constant rate $\dfrac{dx}{dt} = 2$ m/s.
(a) Show that $x\dfrac{dx}{dt} + y\dfrac{dy}{dt} = 0$.
(b) Find $\dfrac{dy}{dt}$ at the instant when $x = 15$ m.
(c) Interpret the sign of your answer to part (b).
If $\dfrac{dy}{dx} = 6$ and $\dfrac{dx}{dt} = 5$, find $\dfrac{dy}{dt}$.
ถ้า $\dfrac{dy}{dx} = 6$ และ $\dfrac{dx}{dt} = 5$ จงหา $\dfrac{dy}{dt}$
Answershow ▾
The chain rule for connected rates: $\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx} \times \dfrac{dx}{dt}$ — multiply the two known rates together. Every connected-rate question is built from this one idea.
If $x$ is a function of $t$, use the chain rule to differentiate $3x^2$ with respect to $t$.
ถ้า $x$ เป็นฟังก์ชันของ $t$ จงใช้กฎลูกโซ่หาอนุพันธ์ของ $3x^2$ เทียบกับ $t$
Answershow ▾
$\dfrac{d}{dt}(x^2) = 2x\dfrac{dx}{dt}$: differentiate the power as usual, then multiply by $\dfrac{dx}{dt}$ — the same toolkit rule as for $y$, but with $t$ as the variable everything is differentiated with respect to.
A ladder of length $10$ m leans against a vertical wall; its foot is a distance $x$ m from the wall and its top is a height $y$ m up the wall, so that $x^2 + y^2 = 10^2$. The foot is pulled away from the wall at a constant rate $\dfrac{dx}{dt} = 3$ m/s. Using calculus notation, write down what you are GIVEN, and what you WANT to find, if the question asks for $\dfrac{dy}{dt}$ when $x = 8$ m.
บันไดยาว $10$ ม. พิงกำแพงตั้งฉาก เท้าบันไดอยู่ห่างกำแพง $x$ ม. และปลายบันได สูงจากพื้น $y$ ม. โดยที่ $x^2+y^2=10^2$ เท้าบันไดถูกดึงออกจากกำแพงด้วยอัตราคงที่ $\dfrac{dx}{dt}=3$ ม./วินาที จงเขียนในรูปสัญลักษณ์แคลคูลัสว่าโจทย์ 'กำหนด' อะไรมาให้ และ 'ต้องการ' หาอะไร ถ้าโจทย์ถามหา $\dfrac{dy}{dt}$ ขณะที่ $x=8$ ม.
Answershow ▾
Before any calculus happens, turn the words into symbols: a 'rate' is always some $\dfrac{d(\ )}{dt}$, and whatever the question asks you to find is the 'want'. Getting this right decides which relation you differentiate.
You are given $\dfrac{dx}{dt}$ and you want $\dfrac{dy}{dt}$. Which relation do you differentiate, and with respect to which letter? Say why differentiating $x^2 + y^2 = 17^2$ with respect to $x$ would not answer the question.
โจทย์ให้ $\dfrac{dx}{dt}$ มา และต้องการ $\dfrac{dy}{dt}$ · จะหาอนุพันธ์ของความสัมพันธ์ไหน และเทียบกับตัวอักษรไหน · บอกด้วยว่าทำไมการหาอนุพันธ์ของ $x^2 + y^2 = 17^2$ เทียบกับ $x$ จึงไม่ตอบโจทย์
Answershow ▾
Both rates in this question are measured against $t$, so $t$ is the letter everything must be differentiated with respect to — even though $t$ does not appear in the relation at all. That is what makes both $x$ and $y$ into functions of $t$ and gives every term its own rate. Differentiating with respect to $x$ is not wrong mathematics; it simply answers a different question. Part (a) is a “show that”, so the answer is printed; the choice of variable is not.อัตราทั้งสองในข้อนี้วัดเทียบกับ $t$ ดังนั้น $t$ คือตัวที่ทุกอย่างต้องหาอนุพันธ์เทียบกับมัน แม้ว่า $t$ จะไม่ปรากฏในความสัมพันธ์เลย · นั่นคือสิ่งที่ทำให้ทั้ง $x$ และ $y$ เป็นฟังก์ชันของ $t$ และทำให้ทุกพจน์มีอัตราของตัวเอง · การหาอนุพันธ์เทียบกับ $x$ ไม่ผิดทางคณิตศาสตร์ แต่ตอบคนละคำถาม · ข้อ (a) เป็นแบบ "show that" คำตอบจึงพิมพ์มาให้ แต่การเลือกตัวแปรไม่ได้พิมพ์มา
A ladder of length $17$ m leans against a vertical wall, so that $x^2 + y^2 = 17^2$ at every instant. Show that $x\dfrac{dx}{dt} + y\dfrac{dy}{dt} = 0$.
Answershow ▾
Differentiate each term with respect to $t$ using the chain rule: $x^2 \to 2x\dfrac{dx}{dt}$ and $y^2 \to 2y\dfrac{dy}{dt}$, while the constant $L^2$ differentiates to $0$. Dividing by $2$ gives part (a).
A ladder of length $17$ m satisfies $x^2 + y^2 = 17^2$. Find $y$ at the instant when $x = 15$ m.
บันไดยาว $17$ ม. โดยที่ $x^2+y^2=17^2$ จงหา $y$ ขณะที่ $x=15$ ม.
Answershow ▾
Substitute the given $x$ into the relation and solve for $y$ — you need this value before you can find $\dfrac{dy}{dt}$.
A student substitutes $x = 15$ into $x^2 + y^2 = 289$ FIRST, getting $225 + y^2 = 289$, then differentiates with respect to $t$ and concludes $2y\dfrac{dy}{dt} = 0$, so $\dfrac{dy}{dt} = 0$. The ladder is not still. Say exactly what went wrong, and state the rule about WHEN a given instant may be substituted.
นักเรียนคนหนึ่งแทน $x = 15$ ลงใน $x^2 + y^2 = 289$ ก่อน ได้ $225 + y^2 = 289$ แล้วหาอนุพันธ์เทียบกับ $t$ สรุปว่า $2y\dfrac{dy}{dt} = 0$ ดังนั้น $\dfrac{dy}{dt} = 0$ · แต่บันไดไม่ได้หยุดนิ่ง · จงบอกว่าผิดตรงไหนแน่ ๆ และบอกกฎว่า "เมื่อไร" จึงจะแทนค่าที่ขณะหนึ่งได้
Answershow ▾
A number written into a relation before differentiating is a promise that it never changes, and $x$ changes at $2$ m/s. Only the relation itself holds at every instant, so only the relation may be differentiated; the instant is a set of values to feed in afterwards. This is the single most destructive error in connected rates, and it produces a clean, confident, completely wrong answer. The M1 pays for the substituted rate equation, and no mark exists for doing the two things in the right order.ตัวเลขที่เขียนลงในความสัมพันธ์ก่อนหาอนุพันธ์ คือคำสัญญาว่ามันไม่เคยเปลี่ยน แต่ $x$ เปลี่ยนด้วยอัตรา $2$ m/s · มีแต่ตัวความสัมพันธ์เองที่เป็นจริงทุกขณะ จึงมีแต่ความสัมพันธ์ที่หาอนุพันธ์ได้ ส่วน "ขณะหนึ่ง" คือชุดตัวเลขที่ป้อนเข้าไปทีหลัง · นี่คือความผิดพลาดที่ทำลายล้างที่สุดของโจทย์อัตราสัมพัทธ์ และมันให้คำตอบที่สะอาด มั่นใจ และผิดสนิท · M1 ให้กับสมการอัตราที่แทนค่าแล้ว และไม่มีคะแนนสำหรับการทำสองอย่างนี้ให้ถูกลำดับ
Given $x\dfrac{dx}{dt} + y\dfrac{dy}{dt} = 0$, with $x = 15$, $y = 8$ and $\dfrac{dx}{dt} = 2$, find $\dfrac{dy}{dt}$.
Answershow ▾
Substitute the three known numbers into the relation from question 4 and solve for the one unknown rate — this is the second half of part (b).
A ladder of length $17$ m leans against a vertical wall, with $x^2 + y^2 = 17^2$. The foot is pulled away from the wall at a constant rate $\dfrac{dx}{dt} = 2$ m/s.
(a) Show that $x\dfrac{dx}{dt} + y\dfrac{dy}{dt} = 0$.
(b) Find $\dfrac{dy}{dt}$ at the instant when $x = 15$ m.
Answershow ▾
Questions 4, 5 and 6 chained together: differentiate implicitly, find $y$ at the instant, then substitute to get $\dfrac{dy}{dt}$. This is parts (a) and (b) in full.
At the instant when $x = 15$ m, $\dfrac{dy}{dt} = - \frac{15}{4}$ m/s. Interpret the sign of this rate in the context of the ladder.
Answershow ▾
A negative rate of change of height means the height is decreasing — a negative $\dfrac{dy}{dt}$ here means the top of the ladder is moving down the wall, not up it. This is part (c).
Part (c) says interpret the sign. Which of these three answers the question, and what is wrong with the other two?
(A) $\dfrac{dy}{dt}$ is negative (B) the top of the ladder is sliding down the wall at $\frac{15}{4}$ m/s (C) the ladder is getting shorter
ข้อ (c) สั่งให้ interpret เครื่องหมาย · ข้อไหนตอบโจทย์ และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) $\dfrac{dy}{dt}$ ติดลบ (B) ปลายบนของบันไดกำลังไถลลงกำแพงด้วยอัตรา $\frac{15}{4}$ m/s (C) บันไดกำลังสั้นลง
Answershow ▾
(A) restates the sign instead of interpreting it, and “interpret” asks what the sign MEANS about the ladder. (C) confuses $y$ with the ladder itself — the ladder is $17$ m long throughout, which is exactly why the relation could be differentiated to zero on the right. $y$ is the height of the top, and a negative rate of change of height means the height is decreasing. The B1 pays for a sentence about the ladder, in words; a correct number with no sentence scores nothing.(A) พูดซ้ำเครื่องหมายแทนที่จะตีความมัน และคำว่า "interpret" ถามว่าเครื่องหมายนั้น "หมายความว่าอะไร" กับบันได · (C) สับสนระหว่าง $y$ กับตัวบันได บันไดยาว $17$ m ตลอดเวลา ซึ่งเป็นเหตุผลที่ฝั่งขวาของความสัมพันธ์หาอนุพันธ์ได้เป็นศูนย์ · $y$ คือความสูงของปลายบน และอัตราการเปลี่ยนความสูงที่ติดลบแปลว่าความสูงกำลังลดลง · B1 ให้กับประโยคเกี่ยวกับบันไดที่เขียนเป็นคำ ตัวเลขที่ถูกแต่ไม่มีประโยคไม่ได้คะแนน
A ladder of length $5$ m leans against a vertical wall, with its foot on horizontal ground. At time $t$ seconds, the foot of the ladder is a distance $x$ m from the wall, and the top of the ladder is a height $y$ m up the wall, so that $x^2 + y^2 = 5^2$. The foot of the ladder is pulled away from the wall at a constant rate $\dfrac{dx}{dt} = 1$ m/s.
(a) Show that $x\dfrac{dx}{dt} + y\dfrac{dy}{dt} = 0$.
(b) Find $\dfrac{dy}{dt}$ at the instant when $x = 3$ m.
(c) Interpret the sign of your answer to part (b).
Answershow ▾
Same three parts as the exam question, but with the smallest numbers that still make the point.
A ladder of length $17$ m leans against a vertical wall, with its foot on horizontal ground. At time $t$ seconds, the foot of the ladder is a distance $x$ m from the wall, and the top of the ladder is a height $y$ m up the wall, so that $x^2 + y^2 = 17^2$. The foot of the ladder is pulled away from the wall at a constant rate $\dfrac{dx}{dt} = 2$ m/s.
(a) Show that $x\dfrac{dx}{dt} + y\dfrac{dy}{dt} = 0$.
(b) Find $\dfrac{dy}{dt}$ at the instant when $x = 15$ m.
(c) Interpret the sign of your answer to part (b).
Answershow ▾
7 marks. Question 4 is part (a); questions 5 and 6 build part (b); question 8 is part (c). Question 3 identifies what the question is even asking before any of that starts.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two product rules, one tangent กฎผลคูณสองครั้ง หาเส้นสัมผัสหนึ่งเส้น
The curve $C$ has equation $xy^{2}=x^{2}y+6$, $x\ne0$, $y\ne0$.
Find an equation for the tangent to $C$ at the point $P(2,3)$, giving your answer in the form $ax+by+c=0$ where $a$, $b$ and $c$ are integers.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $xy^{2}=x^{2}y+6$, $x\ne0$, $y\ne0$
หาสมการเส้นสัมผัส (tangent) ของ $C$ ที่จุด $P(2,3)$ โดยตอบในรูป $ax+by+c=0$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
Differentiate $x^{2}y$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $x^{2}y$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
Two factors, $x^{2}$ and $y$: each one is differentiated while the other stays.มีสองตัวประกอบคือ $x^{2}$ กับ $y$ หาอนุพันธ์ตัวหนึ่งทีละตัว โดยอีกตัวคงไว้
Differentiate $xy^{2}$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $xy^{2}$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
Same rule, with $x$ and $y^{2}$ as the two factors.กฎเดียวกัน แต่สองตัวประกอบคือ $x$ กับ $y^{2}$
Work out the value of $2xy-y^{2}$ when $x=2$ and $y=3$.
จงหาค่าของ $2xy-y^{2}$ เมื่อ $x=2$ และ $y=3$
Answershow ▾
Multiply first, then subtract.คูณก่อน แล้วค่อยลบ
Differentiate $xy^{2}=x^{2}y+6$ with respect to $x$. Pick the correct first move.
(A) use the กฎผลคูณ (product rule) on both $xy^{2}$ and $x^{2}y$
(B) differentiate $xy^{2}$ as $x\times2y$, treating $y$ as an ordinary number
(C) differentiate $x^{2}y$ as $2x$ only, and drop the $y$ factor entirely
จงหาอนุพันธ์ของ $xy^{2}=x^{2}y+6$ เทียบกับ $x$ จงเลือกขั้นแรกที่ถูกต้อง
(A) ใช้กฎผลคูณ (product rule) กับทั้ง $xy^{2}$ และ $x^{2}y$
(B) หาอนุพันธ์ $xy^{2}$ เป็น $x\times2y$ โดยมองว่า $y$ เป็นตัวเลขธรรมดา
(C) หาอนุพันธ์ $x^{2}y$ เป็น $2x$ เท่านั้น แล้วตัดตัวประกอบ $y$ ทิ้งไปเลย
Answershow ▾
$y$ changes as $x$ does along the curve, so every $y$ carries a hidden $\dfrac{dy}{dx}$. (B) skips that $\dfrac{dy}{dx}$ on the $y^{2}$ factor. (C) is half a product rule: $x^{2}y$ has TWO factors, and the $y$ is the one that gets dropped.$y$ เปลี่ยนค่าตาม $x$ ไปตามเส้นโค้ง จึงมี $\dfrac{dy}{dx}$ แฝงอยู่ในทุกพจน์ที่มี $y$ · (B) ลืม $\dfrac{dy}{dx}$ ที่ตัวประกอบ $y^{2}$ · (C) ใช้กฎผลคูณมาแค่ครึ่งเดียว $x^{2}y$ มีสองตัวประกอบ และ $y$ คือตัวที่หล่นหายไป
Differentiate $xy^{2}=x^{2}y+6$ with respect to $x$, using questions $1$ and $2$.
จงหาอนุพันธ์ของ $xy^{2}=x^{2}y+6$ เทียบกับ $x$ โดยใช้ผลจากข้อ $1$ และ $2$
Answershow ▾
The $6$ is a constant: its derivative is $0$.$6$ เป็นค่าคงที่ อนุพันธ์ของมันคือ $0$
Collect the $\dfrac{dy}{dx}$ terms of $y^{2}+2xy\dfrac{dy}{dx}=2xy+x^{2}\dfrac{dy}{dx}$ on the left, and factorise.
จงรวมพจน์ $\dfrac{dy}{dx}$ ของ $y^{2}+2xy\dfrac{dy}{dx}=2xy+x^{2}\dfrac{dy}{dx}$ ไว้ทางซ้าย แล้วแยกตัวประกอบ
Answershow ▾
Move $x^{2}\dfrac{dy}{dx}$ to the left and $y^{2}$ to the right, then factor out $\dfrac{dy}{dx}$.ย้าย $x^{2}\dfrac{dy}{dx}$ ไปทางซ้าย และย้าย $y^{2}$ ไปทางขวา แล้วดึง $\dfrac{dy}{dx}$ เป็นตัวประกอบ
Divide $\dfrac{dy}{dx}(2xy-x^{2})=2xy-y^{2}$ by $(2xy-x^{2})$.
จงหารสมการ $\dfrac{dy}{dx}(2xy-x^{2})=2xy-y^{2}$ ด้วย $(2xy-x^{2})$
Answershow ▾
Divide both sides by the bracket.หารทั้งสองข้างด้วยวงเล็บ
Substitute $x=2,y=3$ into $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2xy-y^{2}}{2xy-x^{2}}$ to find the gradient at $P$.
จงแทน $x=2,y=3$ ใน $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2xy-y^{2}}{2xy-x^{2}}$ เพื่อหาความชันที่จุด $P$
Answershow ▾
The numerator is question $3$; the denominator is the same working with $12$ in place of $9$.ตัวเศษคือข้อ $3$ ส่วนตัวส่วนคือการคำนวณแบบเดียวกัน แต่ใช้ $12$ แทน $9$
Rearrange $y-3=\dfrac38(x-2)$ into the form $ax+by+c=0$.
จงจัด $y-3=\dfrac38(x-2)$ ให้อยู่ในรูป $ax+by+c=0$
Answershow ▾
Multiply by $8$ first, then move everything to one side.คูณด้วย $8$ ก่อน แล้วย้ายทุกพจน์ไปข้างเดียว
The curve $C$ has equation $xy^{2}=x^{2}y-6$. Find an equation for the tangent to $C$ at the point $(3,2)$, giving your answer in the form $ax+by+c=0$ where $a$, $b$ and $c$ are integers.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $xy^{2}=x^{2}y-6$ จงหาสมการเส้นสัมผัสของ $C$ ที่จุด $(3,2)$ โดยตอบในรูป $ax+by+c=0$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
Same four moves: differentiate, collect and factorise, substitute, clear the fraction.สี่ขั้นเดิม: หาอนุพันธ์ รวมพจน์แล้วแยกตัวประกอบ แทนค่า แล้วคูณล้างเศษส่วน
The curve $C$ has equation $xy^{2}=x^{2}y+6$, $x\ne0$, $y\ne0$.
Find an equation for the tangent to $C$ at the point $P(2,3)$, giving your answer in the form $ax+by+c=0$ where $a$, $b$ and $c$ are integers.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $xy^{2}=x^{2}y+6$, $x\ne0$, $y\ne0$
หาสมการเส้นสัมผัส (tangent) ของ $C$ ที่จุด $P(2,3)$ โดยตอบในรูป $ax+by+c=0$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
6 marks. Four are for method: show the differentiation, the collecting, and the substitution.6 คะแนน · สี่คะแนนเป็นคะแนนวิธีทำ ต้องแสดงการหาอนุพันธ์ การรวมพจน์ และการแทนค่า
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Chain rule, product rule, then a normal กฎลูกโซ่ กฎผลคูณ แล้วหาเส้นตั้งฉาก
The curve $C$ has equation $2x-4y^{2}+3x^{2}y=4x^{2}+8$. The point $P(3,2)$ lies on $C$.
Find the equation of the normal to $C$ at the point $P$, writing your answer in the form $ax+by+c=0$ where $a$, $b$ and $c$ are integers to be found.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $2x-4y^{2}+3x^{2}y=4x^{2}+8$ จุด $P(3,2)$ อยู่บน $C$
หาสมการเส้นตั้งฉาก (normal) ของ $C$ ที่จุด $P$ โดยตอบในรูป $ax+by+c=0$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็มที่ต้องหา
Differentiate $-4y^{2}$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $-4y^{2}$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
$y$ is a function of $x$, so differentiating $y^{2}$ needs an extra $\dfrac{dy}{dx}$ on the end.$y$ เป็นฟังก์ชันของ $x$ จึงต้องมี $\dfrac{dy}{dx}$ ติดมาท้ายเสมอเมื่อหาอนุพันธ์ $y^{2}$
Differentiate $3x^{2}y$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $3x^{2}y$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
Two factors, $3x^{2}$ and $y$: each one is differentiated while the other stays.มีสองตัวประกอบคือ $3x^{2}$ กับ $y$ หาอนุพันธ์ตัวหนึ่งทีละตัว โดยอีกตัวคงไว้
Find the negative reciprocal of $-\dfrac{14}{11}$.
จงหาส่วนกลับติดลบ (negative reciprocal) ของ $-\dfrac{14}{11}$
Answershow ▾
Flip the fraction, then change the sign.กลับเศษส่วน แล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย
Differentiate $2x-4y^{2}+3x^{2}y=4x^{2}+8$ term by term. Pick the correct way to differentiate $-4y^{2}$.
(A) $-8y\dfrac{dy}{dx}$
(B) $-8y$
(C) $-8x\dfrac{dy}{dx}$
จงหาอนุพันธ์ของ $2x-4y^{2}+3x^{2}y=4x^{2}+8$ ทีละพจน์ จงเลือกอนุพันธ์ของ $-4y^{2}$ ที่ถูกต้อง
(A) $-8y\dfrac{dy}{dx}$
(B) $-8y$
(C) $-8x\dfrac{dy}{dx}$
Answershow ▾
(B) is the missing $\dfrac{dy}{dx}$: differentiating $y^{2}$ by the power rule alone, as if $y$ were $x$, forgets that $y$ changes with $x$ along the curve. (C) differentiates with respect to $x$, but the term being differentiated has $y$ in it, not $x$.(B) คือการลืม $\dfrac{dy}{dx}$ หาอนุพันธ์ $y^{2}$ ด้วยกฎกำลังเฉยๆ เหมือน $y$ คือ $x$ ลืมว่า $y$ เปลี่ยนตาม $x$ ไปตามเส้นโค้ง · (C) หาอนุพันธ์เทียบกับ $x$ แต่พจน์นี้มี $y$ ไม่ใช่ $x$
Differentiate $2x-4y^{2}+3x^{2}y=4x^{2}+8$ with respect to $x$, using questions $1$ and $2$.
จงหาอนุพันธ์ของ $2x-4y^{2}+3x^{2}y=4x^{2}+8$ เทียบกับ $x$ โดยใช้ผลจากข้อ $1$ และ $2$
Answershow ▾
$2x$ differentiates to $2$; $4x^{2}+8$ differentiates to $8x$.$2x$ หาอนุพันธ์ได้ $2$ · $4x^{2}+8$ หาอนุพันธ์ได้ $8x$
Substitute $x=3,y=2$ into $2-8y\dfrac{dy}{dx}+6xy+3x^{2}\dfrac{dy}{dx}=8x$.
จงแทน $x=3,y=2$ ใน $2-8y\dfrac{dy}{dx}+6xy+3x^{2}\dfrac{dy}{dx}=8x$
Answershow ▾
Put the numbers in only after differentiating - never before.แทนตัวเลขหลังหาอนุพันธ์แล้วเท่านั้น ห้ามแทนก่อน
Solve $2-16\dfrac{dy}{dx}+36+27\dfrac{dy}{dx}=24$ for $\dfrac{dy}{dx}$.
จงแก้สมการ $2-16\dfrac{dy}{dx}+36+27\dfrac{dy}{dx}=24$ หา $\dfrac{dy}{dx}$
Answershow ▾
Collect the numbers ($2+36=38$) and the $\dfrac{dy}{dx}$ terms ($-16+27=11$) separately.รวมตัวเลข ($2+36=38$) และรวมพจน์ $\dfrac{dy}{dx}$ ($-16+27=11$) แยกกัน
You have $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{14}{11}$ at $P$, and the question asks for the normal. Pick the next step.
(A) use $m_{\text{normal}}=-\dfrac{1}{m_{\text{curve}}}$
(B) use $-\dfrac{14}{11}$ itself, since the normal touches the curve at the same point
(C) use $m_{\text{normal}}=\dfrac{1}{m_{\text{curve}}}$, reciprocal with no sign change
ได้ $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{14}{11}$ ที่จุด $P$ แล้ว โจทย์ถามหาเส้นตั้งฉาก (normal) จงเลือกขั้นต่อไป
(A) ใช้ $m_{\text{normal}}=-\dfrac{1}{m_{\text{curve}}}$
(B) ใช้ $-\dfrac{14}{11}$ ตรงๆ เพราะเส้นตั้งฉากสัมผัสเส้นโค้งที่จุดเดียวกัน
(C) ใช้ $m_{\text{normal}}=\dfrac{1}{m_{\text{curve}}}$ กลับเศษส่วนโดยไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย
Answershow ▾
(B) gives the tangent, not the normal. (C) misses the sign flip: perpendicular gradients multiply to $-1$, not $+1$.(B) ให้เส้นสัมผัส ไม่ใช่เส้นตั้งฉาก · (C) ลืมเปลี่ยนเครื่องหมาย ความชันของเส้นตั้งฉากกันคูณกันได้ $-1$ ไม่ใช่ $+1$
Use question $3$ to find the gradient of the normal to $C$ at $P$.
จงใช้ข้อ $3$ หาความชันของเส้นตั้งฉากของ $C$ ที่จุด $P$
Answershow ▾
Same move as question $3$, applied to $-\dfrac{14}{11}$ itself.ขั้นเดียวกับข้อ $3$ ใช้กับ $-\dfrac{14}{11}$ โดยตรง
Rearrange $y-2=\dfrac{11}{14}(x-3)$ into the form $ax+by+c=0$.
จงจัด $y-2=\dfrac{11}{14}(x-3)$ ให้อยู่ในรูป $ax+by+c=0$
Answershow ▾
Multiply by $14$ first, then move everything to one side.คูณด้วย $14$ ก่อน แล้วย้ายทุกพจน์ไปข้างเดียว
The curve $C$ has equation $2x-4y^{2}+3x^{2}y=4x^{2}-4$. The point $P(2,1)$ lies on $C$. Find the equation of the normal to $C$ at $P$, writing your answer in the form $ax+by+c=0$.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $2x-4y^{2}+3x^{2}y=4x^{2}-4$ จุด $P(2,1)$ อยู่บน $C$ จงหาสมการเส้นตั้งฉากของ $C$ ที่จุด $P$ โดยตอบในรูป $ax+by+c=0$
Answershow ▾
Same moves: differentiate, substitute, collect, negative reciprocal, clear the fraction.ขั้นตอนเดิม: หาอนุพันธ์ แทนค่า รวมพจน์ หาส่วนกลับติดลบ แล้วคูณล้างเศษส่วน
The curve $C$ has equation $2x-4y^{2}+3x^{2}y=4x^{2}+8$. The point $P(3,2)$ lies on $C$.
Find the equation of the normal to $C$ at the point $P$, writing your answer in the form $ax+by+c=0$ where $a$, $b$ and $c$ are integers to be found.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $2x-4y^{2}+3x^{2}y=4x^{2}+8$ จุด $P(3,2)$ อยู่บน $C$
หาสมการเส้นตั้งฉาก (normal) ของ $C$ ที่จุด $P$ โดยตอบในรูป $ax+by+c=0$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็มที่ต้องหา
Answershow ▾
7 marks. Six are for method: differentiate every term correctly, substitute, then flip the gradient.7 คะแนน · หกคะแนนเป็นคะแนนวิธีทำ ต้องหาอนุพันธ์ทุกพจน์ให้ถูก แทนค่า แล้วกลับความชัน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A curve that disappears for a while เส้นโค้งที่หายไปชั่วขณะ
Figure 2 shows a sketch of the curve with equation $y^{2}=2x^{2}+15x+10y$.
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $x$ and $y$.
(b) The curve is not defined for values of $x$ in the interval $(p,q)$, as shown in Figure 2. Using your answer to part (a) or otherwise, find the value of $p$ and the value of $q$. (Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.)
รูปที่ 2 แสดงภาพร่างของเส้นโค้งที่มีสมการ $y^{2}=2x^{2}+15x+10y$
(ก) หา $\dfrac{dy}{dx}$ ในรูปของ $x$ และ $y$
(ข) เส้นโค้งไม่นิยามเมื่อ $x$ อยู่ในช่วง $(p,q)$ ดังแสดงในรูปที่ 2 โดยใช้คำตอบจากข้อ (a) หรือวิธีอื่น หาค่า $p$ และค่า $q$ (คำตอบที่ได้จากเครื่องคิดเลขล้วน ๆ ไม่ได้คะแนน)
Differentiate $y^{2}$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $y^{2}$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
$y$ changes with $x$, so an extra $\dfrac{dy}{dx}$ comes along.$y$ เปลี่ยนตาม $x$ จึงมี $\dfrac{dy}{dx}$ ติดมาด้วย
Differentiate $10y$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $10y$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
A constant times $y$: the constant stays, and $\dfrac{dy}{dx}$ comes along.ค่าคงที่คูณ $y$ ค่าคงที่คงเดิม และมี $\dfrac{dy}{dx}$ ติดมาด้วย
Factorise $2x^{2}+15x+25$.
จงแยกตัวประกอบ $2x^{2}+15x+25$
Answershow ▾
$2\times25=50$. Two numbers that multiply to $50$ and add to $15$: $5$ and $10$.$2\times25=50$ หาสองจำนวนที่คูณกันได้ $50$ และบวกกันได้ $15$ คือ $5$ กับ $10$
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4x+15}{2y-10}$. To find where the curve is not defined - the gap $(p,q)$ - pick what you set equal to $0$.
(A) the denominator, $2y-10$
(B) the numerator, $4x+15$
(C) the whole fraction, $\dfrac{dy}{dx}$, set equal to a number
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4x+15}{2y-10}$ หาจุดที่เส้นโค้งไม่นิยาม (ช่วง $(p,q)$) จงเลือกสิ่งที่ต้องให้เท่ากับ $0$
(A) ตัวส่วน $2y-10$
(B) ตัวเศษ $4x+15$
(C) ทั้งเศษส่วน $\dfrac{dy}{dx}$ ให้เท่ากับตัวเลขหนึ่ง
Answershow ▾
A fraction is undefined only when its denominator is $0$. (B) numerator $=0$ finds a HORIZONTAL tangent instead, a different feature.เศษส่วนจะไม่นิยามก็ต่อเมื่อตัวส่วนเป็น $0$ · (B) ตัวเศษ $=0$ หาเส้นสัมผัสแนวนอน ซึ่งเป็นลักษณะอื่น
Differentiate $y^{2}=2x^{2}+15x+10y$ with respect to $x$, using questions $1$ and $2$.
จงหาอนุพันธ์ของ $y^{2}=2x^{2}+15x+10y$ เทียบกับ $x$ โดยใช้ผลจากข้อ $1$ และ $2$
Answershow ▾
$2x^{2}+15x$ differentiates to $4x+15$; $10y$ is question $2$.$2x^{2}+15x$ หาอนุพันธ์ได้ $4x+15$ · $10y$ คือข้อ $2$
Collect the $\dfrac{dy}{dx}$ terms of $2y\dfrac{dy}{dx}=4x+15+10\dfrac{dy}{dx}$ on the left, and factorise.
จงรวมพจน์ $\dfrac{dy}{dx}$ ของ $2y\dfrac{dy}{dx}=4x+15+10\dfrac{dy}{dx}$ ไว้ทางซ้าย แล้วแยกตัวประกอบ
Answershow ▾
Move $10\dfrac{dy}{dx}$ to the left, then factor out $\dfrac{dy}{dx}$.ย้าย $10\dfrac{dy}{dx}$ ไปทางซ้าย แล้วดึง $\dfrac{dy}{dx}$ เป็นตัวประกอบ
Divide $\dfrac{dy}{dx}(2y-10)=4x+15$ by $(2y-10)$.
จงหารสมการ $\dfrac{dy}{dx}(2y-10)=4x+15$ ด้วย $(2y-10)$
Answershow ▾
Divide both sides by the bracket.หารทั้งสองข้างด้วยวงเล็บ
Substitute $y=5$ (question $4$'s decision) into $y^{2}=2x^{2}+15x+10y$, and rearrange so one side is $0$.
จงแทน $y=5$ (คำตอบจากข้อตัดสินใจก่อนหน้า) ลงใน $y^{2}=2x^{2}+15x+10y$ แล้วจัดให้ข้างหนึ่งเป็น $0$
Answershow ▾
$5^{2}=25$ and $10(5)=50$.$5^{2}=25$ และ $10(5)=50$
Use question $3$ to solve $2x^{2}+15x+25=0$, and state the value of $p$ and the value of $q$.
จงใช้ข้อ $3$ แก้สมการ $2x^{2}+15x+25=0$ แล้วระบุค่าของ $p$ และค่าของ $q$
Answershow ▾
$p$ is the smaller value of $x$.$p$ คือค่า $x$ ที่น้อยกว่า
The curve has equation $y^{2}=x^{2}+10x+8y$. The curve is not defined for values of $x$ in the interval $(p,q)$. Find the value of $p$ and the value of $q$.
เส้นโค้งมีสมการ $y^{2}=x^{2}+10x+8y$ เส้นโค้งไม่นิยามเมื่อ $x$ อยู่ในช่วง $(p,q)$ จงหาค่าของ $p$ และค่าของ $q$
Answershow ▾
Same four moves: differentiate, collect, set the denominator to $0$, then solve the resulting quadratic.สี่ขั้นเดิม: หาอนุพันธ์ รวมพจน์ ให้ตัวส่วนเท่ากับ $0$ แล้วแก้สมการกำลังสองที่ได้
Figure 2 shows a sketch of the curve with equation $y^{2}=2x^{2}+15x+10y$.
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $x$ and $y$.
(b) The curve is not defined for values of $x$ in the interval $(p,q)$, as shown in Figure 2. Using your answer to part (a) or otherwise, find the value of $p$ and the value of $q$. (Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.)
รูปที่ 2 แสดงภาพร่างของเส้นโค้งที่มีสมการ $y^{2}=2x^{2}+15x+10y$
(ก) หา $\dfrac{dy}{dx}$ ในรูปของ $x$ และ $y$
(ข) เส้นโค้งไม่นิยามเมื่อ $x$ อยู่ในช่วง $(p,q)$ ดังแสดงในรูปที่ 2 โดยใช้คำตอบจากข้อ (a) หรือวิธีอื่น หาค่า $p$ และค่า $q$ (คำตอบที่ได้จากเครื่องคิดเลขล้วน ๆ ไม่ได้คะแนน)
Answershow ▾
7 marks: differentiate, collect, divide for part (a); set the denominator to $0$ and solve for part (b).7 คะแนน: หาอนุพันธ์ รวมพจน์ หารสำหรับข้อ (a) · ให้ตัวส่วนเท่ากับ $0$ แล้วแก้สมการสำหรับข้อ (b)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A minimum hiding in an implicit curve จุดต่ำสุดที่แฝงในเส้นโค้งแบบนัย
The curve $C$, shown in Figure 1, has equation $xy^{2}+3y=4x^{2}+k$, $y\gt0$, where $k$ is a constant.
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $x$ and $y$.
(b) The point $P(p,2)$, where $p$ is a constant, lies on $C$. Given that $P$ is the minimum turning point on $C$, find (i) the value of $p$ (ii) the value of $k$.
เส้นโค้ง $C$ ในรูปที่ 1 มีสมการ $xy^{2}+3y=4x^{2}+k$, $y\gt0$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่
(ก) หา $\dfrac{dy}{dx}$ ในรูปของ $x$ และ $y$
(ข) จุด $P(p,2)$ โดยที่ $p$ เป็นค่าคงที่ อยู่บน $C$ กำหนดให้ $P$ เป็นจุดต่ำสุด (minimum turning point) ของ $C$ จงหา (i) ค่าของ $p$ (ii) ค่าของ $k$
Differentiate $xy^{2}$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $xy^{2}$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
Two factors, $x$ and $y^{2}$: each one is differentiated while the other stays.มีสองตัวประกอบคือ $x$ กับ $y^{2}$ หาอนุพันธ์ตัวหนึ่งทีละตัว โดยอีกตัวคงไว้
Differentiate $3y$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $3y$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
A constant times $y$: the constant stays, and $\dfrac{dy}{dx}$ comes along.ค่าคงที่คูณ $y$ ค่าคงที่คงเดิม และมี $\dfrac{dy}{dx}$ ติดมาด้วย
Work out the value of $8x-y^{2}$ when $x=1$ and $y=2$.
จงหาค่าของ $8x-y^{2}$ เมื่อ $x=1$ และ $y=2$
Answershow ▾
Multiply first, then subtract.คูณก่อน แล้วค่อยลบ
$P$ is the minimum turning point of the curve. Pick what that tells you about $\dfrac{dy}{dx}$ at $P$.
(A) $\dfrac{dy}{dx}=0$ there
(B) $\dfrac{dy}{dx}$ is undefined there
(C) $x$ is undefined there
$P$ เป็นจุดต่ำสุด (minimum turning point) ของเส้นโค้ง จงเลือกสิ่งที่บอกเกี่ยวกับ $\dfrac{dy}{dx}$ ที่จุด $P$
(A) $\dfrac{dy}{dx}=0$ ที่จุดนั้น
(B) $\dfrac{dy}{dx}$ ไม่นิยามที่จุดนั้น
(C) $x$ ไม่นิยามที่จุดนั้น
Answershow ▾
A minimum is momentarily flat, so gradient $=0$, not undefined. (B) describes a vertical tangent instead. (C) has no meaning: $p$ is an ordinary number, just not known yet.จุดต่ำสุดคือจุดที่เส้นโค้งแบนชั่วขณะ ความชันเป็น $0$ ไม่ใช่ไม่นิยาม · (B) อธิบายเส้นสัมผัสแนวตั้งแทน · (C) ไม่มีความหมาย $p$ เป็นตัวเลขธรรมดา เพียงแค่ยังไม่รู้ค่า
Differentiate $xy^{2}+3y=4x^{2}+k$ with respect to $x$, using questions $1$ and $2$.
จงหาอนุพันธ์ของ $xy^{2}+3y=4x^{2}+k$ เทียบกับ $x$ โดยใช้ผลจากข้อ $1$ และ $2$
Answershow ▾
$k$ is a constant: its derivative is $0$.$k$ เป็นค่าคงที่ อนุพันธ์ของมันคือ $0$
Collect the $\dfrac{dy}{dx}$ terms of $y^{2}+2xy\dfrac{dy}{dx}+3\dfrac{dy}{dx}=8x$ on the left, and factorise.
จงรวมพจน์ $\dfrac{dy}{dx}$ ของ $y^{2}+2xy\dfrac{dy}{dx}+3\dfrac{dy}{dx}=8x$ ไว้ทางซ้าย แล้วแยกตัวประกอบ
Answershow ▾
Move $y^{2}$ to the right, then factor out $\dfrac{dy}{dx}$.ย้าย $y^{2}$ ไปทางขวา แล้วดึง $\dfrac{dy}{dx}$ เป็นตัวประกอบ
Divide $\dfrac{dy}{dx}(2xy+3)=8x-y^{2}$ by $(2xy+3)$.
จงหารสมการ $\dfrac{dy}{dx}(2xy+3)=8x-y^{2}$ ด้วย $(2xy+3)$
Answershow ▾
Divide both sides by the bracket.หารทั้งสองข้างด้วยวงเล็บ
$p=\dfrac12$ and $y=2$. Pick how to find $k$.
(A) substitute $x=\dfrac12,y=2$ into the ORIGINAL curve, $xy^{2}+3y=4x^{2}+k$
(B) substitute $x=\dfrac12,y=2$ into $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{8x-y^{2}}{2xy+3}$
(C) substitute $x=\dfrac12,y=2$ into $8x-y^{2}=0$ again
$p=\dfrac12$ และ $y=2$ แล้ว จงเลือกวิธีหา $k$
(A) แทน $x=\dfrac12,y=2$ ลงในสมการเส้นโค้งเดิม $xy^{2}+3y=4x^{2}+k$
(B) แทน $x=\dfrac12,y=2$ ลงใน $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{8x-y^{2}}{2xy+3}$
(C) แทน $x=\dfrac12,y=2$ ลงใน $8x-y^{2}=0$ อีกครั้ง
Answershow ▾
$k$ was a constant, so it differentiated to $0$: it is not in $\dfrac{dy}{dx}$ at all, so (B) has no $k$ to find. (C) is the SAME equation already used to find $p$ - it never contained $k$ either, so it gives nothing new.$k$ เป็นค่าคงที่ อนุพันธ์ของมันเป็น $0$ จึงไม่มี $k$ อยู่ใน $\dfrac{dy}{dx}$ เลย (B) จึงไม่มี $k$ ให้หา · (C) เป็นสมการเดียวกับที่ใช้หา $p$ ไปแล้ว ไม่มี $k$ อยู่ในนั้นเช่นกัน จึงไม่ได้ข้อมูลใหม่
Set the numerator $8x-y^{2}=0$ at $y=2$ (question $4$'s decision), and solve for $x$.
จงให้ตัวเศษ $8x-y^{2}=0$ ที่ $y=2$ (คำตอบจากข้อตัดสินใจก่อนหน้า) แล้วแก้สมการหา $x$
Answershow ▾
$y=2$ means $y^{2}=4$.$y=2$ หมายความว่า $y^{2}=4$
Substitute $x=\dfrac12,y=2$ into $xy^{2}+3y=4x^{2}+k$ to find $k$.
จงแทน $x=\dfrac12,y=2$ ลงใน $xy^{2}+3y=4x^{2}+k$ เพื่อหาค่า $k$
Answershow ▾
$\dfrac12(2)^{2}=2$ and $4\left(\dfrac12\right)^{2}=1$.$\dfrac12(2)^{2}=2$ และ $4\left(\dfrac12\right)^{2}=1$
The curve $C$, with equation $xy^{2}+3y=2x^{2}+k$ where $y>0$, has a minimum turning point at $P(p,2)$. Find (i) the value of $p$ (ii) the value of $k$.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $xy^{2}+3y=2x^{2}+k$ เมื่อ $y>0$ มีจุดต่ำสุด (minimum turning point) ที่ $P(p,2)$ จงหา (i) ค่าของ $p$ (ii) ค่าของ $k$
Answershow ▾
Same moves: differentiate, collect and factorise, numerator $=0$ for $p$, then the original equation for $k$.ขั้นตอนเดิม: หาอนุพันธ์ รวมพจน์แล้วแยกตัวประกอบ ให้ตัวเศษเท่ากับ $0$ หา $p$ แล้วใช้สมการเดิมหา $k$
The curve $C$, shown in Figure 1, has equation $xy^{2}+3y=4x^{2}+k$, $y\gt0$, where $k$ is a constant.
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $x$ and $y$.
(b) The point $P(p,2)$, where $p$ is a constant, lies on $C$. Given that $P$ is the minimum turning point on $C$, find (i) the value of $p$ (ii) the value of $k$.
เส้นโค้ง $C$ ในรูปที่ 1 มีสมการ $xy^{2}+3y=4x^{2}+k$, $y\gt0$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่
(ก) หา $\dfrac{dy}{dx}$ ในรูปของ $x$ และ $y$
(ข) จุด $P(p,2)$ โดยที่ $p$ เป็นค่าคงที่ อยู่บน $C$ กำหนดให้ $P$ เป็นจุดต่ำสุด (minimum turning point) ของ $C$ จงหา (i) ค่าของ $p$ (ii) ค่าของ $k$
Answershow ▾
9 marks: differentiate, collect, divide for part (a); numerator $=0$ for $p$, then the original equation for $k$.9 คะแนน: หาอนุพันธ์ รวมพจน์ หารสำหรับข้อ (a) · ตัวเศษ $=0$ หา $p$ แล้วใช้สมการเดิมหา $k$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A constant tangled in the product rule ค่าคงที่ที่พันอยู่ในกฎผลคูณ
In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable. A curve has equation $16x^{3}-9kx^{2}y+8y^{3}=875$ where $k$ is a constant.
(a) Show that $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{6kxy-16x^{2}}{8y^{2}-3kx^{2}}$.
(b) Given that the curve has a turning point at $x=\dfrac52$, find the value of $k$.
ในข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน คำตอบที่ได้จากเครื่องคิดเลขล้วน ๆ ไม่ได้คะแนน เส้นโค้งหนึ่งมีสมการ $16x^{3}-9kx^{2}y+8y^{3}=875$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่
(ก) จงแสดงว่า $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{6kxy-16x^{2}}{8y^{2}-3kx^{2}}$
(ข) กำหนดให้เส้นโค้งมีจุดคงที่ (turning point) ที่ $x=\dfrac52$ จงหาค่า $k$
Differentiate $16x^{3}$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $16x^{3}$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
The power rule: bring the $3$ down, then reduce the power by $1$.กฎกำลัง: ดึง $3$ ลงมาคูณ แล้วลดกำลังลง $1$
Differentiate $8y^{3}$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $8y^{3}$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
Same power rule, then $\dfrac{dy}{dx}$ comes along because $y$ changes with $x$.กฎกำลังเดียวกัน แล้วมี $\dfrac{dy}{dx}$ ติดมาเพราะ $y$ เปลี่ยนตาม $x$
Differentiate $9kx^{2}y$ with respect to $x$ ($k$ is a constant).
จงหาอนุพันธ์ของ $9kx^{2}y$ เทียบกับ $x$ ($k$ เป็นค่าคงที่)
Answershow ▾
$9k$ is a constant factor that rides along. The product rule acts on $x^{2}$ and $y$.$9k$ เป็นตัวประกอบคงที่ที่ติดไปด้วยตลอด กฎผลคูณใช้กับ $x^{2}$ และ $y$
$y=\dfrac{20}{3k}$ (in terms of $k$) at the turning point. Pick how to find a number for $k$.
(A) substitute $x=\dfrac52,\ y=\dfrac{20}{3k}$ into the ORIGINAL equation $16x^{3}-9kx^{2}y+8y^{3}=875$
(B) substitute into $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{6kxy-16x^{2}}{8y^{2}-3kx^{2}}$ again
(C) substitute into $6kxy-16x^{2}=0$ again
ได้ $y=\dfrac{20}{3k}$ (ในรูปของ $k$) ที่จุดคงที่ (turning point) จงเลือกวิธีหาค่า $k$
(A) แทน $x=\dfrac52,\ y=\dfrac{20}{3k}$ ลงในสมการเดิม $16x^{3}-9kx^{2}y+8y^{3}=875$
(B) แทนลงใน $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{6kxy-16x^{2}}{8y^{2}-3kx^{2}}$ อีกครั้ง
(C) แทนลงใน $6kxy-16x^{2}=0$ อีกครั้ง
Answershow ▾
(B) just gives $0=0$ again, true for every $k$. (C) is the SAME equation already used to find $y$ - only the ORIGINAL curve still ties $k$ to a number.(B) จะได้ $0=0$ อีกครั้ง ซึ่งจริงเสมอไม่ว่า $k$ เป็นเท่าใด · (C) คือสมการเดียวกับที่ใช้หา $y$ ไปแล้ว มีแต่สมการเส้นโค้งเดิมเท่านั้นที่ยังผูก $k$ กับตัวเลขค่าหนึ่ง
Differentiate $16x^{3}-9kx^{2}y+8y^{3}=875$ with respect to $x$, using questions $1$, $2$ and $3$.
จงหาอนุพันธ์ของ $16x^{3}-9kx^{2}y+8y^{3}=875$ เทียบกับ $x$ โดยใช้ผลจากข้อ $1$, $2$ และ $3$
Answershow ▾
$+24y^{2}\dfrac{dy}{dx}=0$$48x^{2}-18kxy-9kx^{2}\dfrac{dy}{dx}$
$+24y^{2}\dfrac{dy}{dx}=0$
$875$ is a constant: its derivative is $0$.$875$ เป็นค่าคงที่ อนุพันธ์ของมันคือ $0$
Collect the $\dfrac{dy}{dx}$ terms of the equation from question $4$ on the left, and factorise.
จงรวมพจน์ $\dfrac{dy}{dx}$ ของสมการจากข้อ $4$ ไว้ทางซ้าย แล้วแยกตัวประกอบ
Answershow ▾
Move the number terms to the right, then factor out $\dfrac{dy}{dx}$.ย้ายพจน์ที่ไม่มี $\dfrac{dy}{dx}$ ไปทางขวา แล้วดึง $\dfrac{dy}{dx}$ เป็นตัวประกอบ
Divide $\dfrac{dy}{dx}(24y^{2}-9kx^{2})=18kxy-48x^{2}$ by $3$, then by $(8y^{2}-3kx^{2})$.
จงหารสมการ $\dfrac{dy}{dx}(24y^{2}-9kx^{2})=18kxy-48x^{2}$ ด้วย $3$ แล้วด้วย $(8y^{2}-3kx^{2})$
Answershow ▾
Dividing by $3$ first gives nicer numbers before dividing by the bracket.หารด้วย $3$ ก่อน จะได้ตัวเลขที่ง่ายกว่าก่อนไปหารด้วยวงเล็บ
The curve has a turning point at $x=\dfrac52$. Set the numerator $6kxy-16x^{2}=0$ at $x=\dfrac52$, and find $y$ in terms of $k$.
เส้นโค้งมีจุดคงที่ (turning point) ที่ $x=\dfrac52$ จงให้ตัวเศษ $6kxy-16x^{2}=0$ ที่ $x=\dfrac52$ แล้วหา $y$ ในรูปของ $k$
Answershow ▾
$6k\left(\tfrac52\right)=15k$ and $16\left(\tfrac52\right)^{2}=100$.$6k\left(\tfrac52\right)=15k$ และ $16\left(\tfrac52\right)^{2}=100$
Substitute $x=\dfrac52,\ y=\dfrac{20}{3k}$ into $16x^{3}-9kx^{2}y+8y^{3}=875$ to find $k$.
จงแทน $x=\dfrac52,\ y=\dfrac{20}{3k}$ ลงใน $16x^{3}-9kx^{2}y+8y^{3}=875$ เพื่อหาค่า $k$
Answershow ▾
The $9kx^{2}y$ term loses its $k$: $9k\left(\tfrac52\right)^{2}\left(\tfrac{20}{3k}\right)=375$ no matter what $k$ is.พจน์ $9kx^{2}y$ จะไม่มี $k$ เหลืออยู่: $9k\left(\tfrac52\right)^{2}\left(\tfrac{20}{3k}\right)=375$ ไม่ว่า $k$ จะเป็นเท่าใด
A curve has equation $2x^{3}-3kx^{2}y+2y^{3}=15$ where $k$ is a constant. Given that the curve has a turning point at $x=1$, find the value of $k$.
เส้นโค้งหนึ่งมีสมการ $2x^{3}-3kx^{2}y+2y^{3}=15$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ กำหนดให้เส้นโค้งมีจุดคงที่ (turning point) ที่ $x=1$ จงหาค่า $k$
Answershow ▾
Same moves: differentiate, collect and factorise, numerator $=0$ for $y$ in terms of $k$, then the original equation for $k$.ขั้นตอนเดิม: หาอนุพันธ์ รวมพจน์แล้วแยกตัวประกอบ ตัวเศษ $=0$ หา $y$ ในรูปของ $k$ แล้วใช้สมการเดิมหา $k$
In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable. A curve has equation $16x^{3}-9kx^{2}y+8y^{3}=875$ where $k$ is a constant.
(a) Show that $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{6kxy-16x^{2}}{8y^{2}-3kx^{2}}$.
(b) Given that the curve has a turning point at $x=\dfrac52$, find the value of $k$.
ในข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน คำตอบที่ได้จากเครื่องคิดเลขล้วน ๆ ไม่ได้คะแนน เส้นโค้งหนึ่งมีสมการ $16x^{3}-9kx^{2}y+8y^{3}=875$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่
(ก) จงแสดงว่า $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{6kxy-16x^{2}}{8y^{2}-3kx^{2}}$
(ข) กำหนดให้เส้นโค้งมีจุดคงที่ (turning point) ที่ $x=\dfrac52$ จงหาค่า $k$
Answershow ▾
8 marks: differentiate, collect, divide by $3$ for part (a); numerator $=0$ for $y$ in terms of $k$, then the original equation for $k$.8 คะแนน: หาอนุพันธ์ รวมพจน์ หารด้วย $3$ สำหรับข้อ (a) · ตัวเศษ $=0$ หา $y$ ในรูปของ $k$ แล้วใช้สมการเดิมหา $k$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two rates chained together สองอัตราที่เชื่อมต่อกัน
Figure 1 shows a cube which is increasing in size. At time $t$ seconds, the length of each edge of the cube is $x$ cm, the surface area of the cube is $S$ cm$^{2}$, and the volume of the cube is $V$ cm$^{3}$. Given that the surface area of the cube is increasing at a constant rate of $4$ cm$^{2}$s$^{-1}$
(a) show that $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac kx$ where $k$ is a constant to be found,
(b) show that $\dfrac{dV}{dt}=V^{p}$ where $p$ is a constant to be found.
รูปที่ 1 แสดงลูกบาศก์ที่กำลังขยายขนาด ณ เวลา $t$ วินาที ความยาวแต่ละด้านของลูกบาศก์คือ $x$ ซม. พื้นที่ผิวของลูกบาศก์คือ $S$ ตร.ซม. และปริมาตรของลูกบาศก์คือ $V$ ลบ.ซม. กำหนดให้พื้นที่ผิวของลูกบาศก์เพิ่มขึ้นด้วยอัตราคงที่ $4$ ตร.ซม.ต่อวินาที
(ก) จงแสดงว่า $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac kx$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ที่ต้องหา
(ข) จงแสดงว่า $\dfrac{dV}{dt}=V^{p}$ เมื่อ $p$ เป็นค่าคงที่ที่ต้องหา
Differentiate $S=6x^{2}$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $S=6x^{2}$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
The power rule: bring the $2$ down, then reduce the power by $1$.กฎกำลัง: ดึง $2$ ลงมาคูณ แล้วลดกำลังลง $1$
Differentiate $V=x^{3}$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $V=x^{3}$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
The power rule: bring the $3$ down, then reduce the power by $1$.กฎกำลัง: ดึง $3$ ลงมาคูณ แล้วลดกำลังลง $1$
Given $\dfrac{dS}{dt}=4$ and $\dfrac{dS}{dx}=12$, find $\dfrac{dx}{dt}$.
กำหนด $\dfrac{dS}{dt}=4$ และ $\dfrac{dS}{dx}=12$ จงหา $\dfrac{dx}{dt}$
Answershow ▾
Divide the rate you have by the one you do not want.หารอัตราที่มีด้วยอัตราที่ไม่ต้องการ
To find $\dfrac{dx}{dt}$ from $\dfrac{dS}{dt}$ and $\dfrac{dS}{dx}$, pick the correct chain-rule relationship.
(A) $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{dS}{dt}\div\dfrac{dS}{dx}$
(B) $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{dS}{dt}\times\dfrac{dS}{dx}$
(C) $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{dS}{dx}\div\dfrac{dS}{dt}$
จงเลือกความสัมพันธ์ตามกฎลูกโซ่ (chain rule) ที่ถูกต้องสำหรับหา $\dfrac{dx}{dt}$ จาก $\dfrac{dS}{dt}$ และ $\dfrac{dS}{dx}$
(A) $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{dS}{dt}\div\dfrac{dS}{dx}$
(B) $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{dS}{dt}\times\dfrac{dS}{dx}$
(C) $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{dS}{dx}\div\dfrac{dS}{dt}$
Answershow ▾
The chain rule says $\dfrac{dS}{dt}=\dfrac{dS}{dx}\times\dfrac{dx}{dt}$. Dividing both sides by $\dfrac{dS}{dx}$ isolates $\dfrac{dx}{dt}$ - that is (A). (B) multiplies the two given rates together instead, which does not come from that relationship. (C) has the fraction upside down.กฎลูกโซ่กล่าวว่า $\dfrac{dS}{dt}=\dfrac{dS}{dx}\times\dfrac{dx}{dt}$ หารทั้งสองข้างด้วย $\dfrac{dS}{dx}$ จะได้ $\dfrac{dx}{dt}$ โดดๆ ซึ่งคือ (A) · (B) คูณอัตราทั้งสองเข้าด้วยกันแทน ไม่ได้มาจากความสัมพันธ์นั้น · (C) เอาเศษส่วนกลับหัวกลับหาง
Use $\dfrac{dS}{dx}=12x$ (question $1$) and $\dfrac{dS}{dt}=4$ to find $\dfrac{dx}{dt}$ in terms of $x$.
จงใช้ $\dfrac{dS}{dx}=12x$ (ข้อ $1$) และ $\dfrac{dS}{dt}=4$ หา $\dfrac{dx}{dt}$ ในรูปของ $x$
Answershow ▾
Same division as question $3$, with $12x$ in place of $12$.การหารแบบเดียวกับข้อ $3$ แต่ใช้ $12x$ แทน $12$
Write $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{1}{3x}$ in the form $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac kx$, and state the value of $k$.
จงเขียน $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{1}{3x}$ ในรูป $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac kx$ แล้วระบุค่า $k$
Answershow ▾
$\dfrac{1}{3x}=\dfrac{1/3}{x}$.$\dfrac{1}{3x}=\dfrac{1/3}{x}$
Use $\dfrac{dV}{dx}=3x^{2}$ (question $2$) and $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{1}{3x}$ (question $4$) to find $\dfrac{dV}{dt}$.
จงใช้ $\dfrac{dV}{dx}=3x^{2}$ (ข้อ $2$) และ $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{1}{3x}$ (ข้อ $4$) หา $\dfrac{dV}{dt}$
Answershow ▾
The chain rule the other way round: $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{dx}\times\dfrac{dx}{dt}$.กฎลูกโซ่ในทิศทางตรงข้าม: $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{dx}\times\dfrac{dx}{dt}$
Given $V=x^{3}$, write $x$ in terms of $V$, then use question $6$ to write $\dfrac{dV}{dt}$ in terms of $V$.
กำหนด $V=x^{3}$ จงเขียน $x$ ในรูปของ $V$ แล้วใช้ข้อ $6$ เขียน $\dfrac{dV}{dt}$ ในรูปของ $V$
Answershow ▾
Take the cube root of both sides of $V=x^{3}$.ถอดรากที่สามทั้งสองข้างของ $V=x^{3}$
State the value of $p$ in $\dfrac{dV}{dt}=V^{p}$.
จงระบุค่า $p$ ใน $\dfrac{dV}{dt}=V^{p}$
Answershow ▾
Read the power straight off question $7$.อ่านเลขชี้กำลังจากข้อ $7$ ได้โดยตรง
A cube is increasing in size. At time $t$ seconds the edge is $x$ cm, the surface area is $S$ cm$^{2}$ and the volume is $V$ cm$^{3}$. Given that $\dfrac{dS}{dt}=8$, (a) find the value of $k$ such that $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac kx$, (b) write $\dfrac{dV}{dt}$ in terms of $V$.
ลูกบาศก์กำลังขยายขนาด ณ เวลา $t$ วินาที ด้านยาว $x$ ซม. พื้นที่ผิว $S$ ตร.ซม. และปริมาตร $V$ ลบ.ซม. กำหนด $\dfrac{dS}{dt}=8$ (ก) จงหาค่า $k$ โดยที่ $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac kx$ (ข) จงเขียน $\dfrac{dV}{dt}$ ในรูปของ $V$
Answershow ▾
Same chain twice: divide for $\dfrac{dx}{dt}$, then multiply for $\dfrac{dV}{dt}$.ใช้กฎลูกโซ่สองครั้งเหมือนเดิม: หารหา $\dfrac{dx}{dt}$ แล้วคูณหา $\dfrac{dV}{dt}$
Figure 1 shows a cube which is increasing in size. At time $t$ seconds, the length of each edge of the cube is $x$ cm, the surface area of the cube is $S$ cm$^{2}$, and the volume of the cube is $V$ cm$^{3}$. Given that the surface area of the cube is increasing at a constant rate of $4$ cm$^{2}$s$^{-1}$
(a) show that $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac kx$ where $k$ is a constant to be found,
(b) show that $\dfrac{dV}{dt}=V^{p}$ where $p$ is a constant to be found.
รูปที่ 1 แสดงลูกบาศก์ที่กำลังขยายขนาด ณ เวลา $t$ วินาที ความยาวแต่ละด้านของลูกบาศก์คือ $x$ ซม. พื้นที่ผิวของลูกบาศก์คือ $S$ ตร.ซม. และปริมาตรของลูกบาศก์คือ $V$ ลบ.ซม. กำหนดให้พื้นที่ผิวของลูกบาศก์เพิ่มขึ้นด้วยอัตราคงที่ $4$ ตร.ซม.ต่อวินาที
(ก) จงแสดงว่า $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac kx$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ที่ต้องหา
(ข) จงแสดงว่า $\dfrac{dV}{dt}=V^{p}$ เมื่อ $p$ เป็นค่าคงที่ที่ต้องหา
Answershow ▾
7 marks: differentiate $S$ and $V$, divide for $\dfrac{dx}{dt}$, multiply for $\dfrac{dV}{dt}$, then rewrite $x$ in terms of $V$.7 คะแนน: หาอนุพันธ์ $S$ และ $V$ หารหา $\dfrac{dx}{dt}$ คูณหา $\dfrac{dV}{dt}$ แล้วเขียน $x$ ในรูปของ $V$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A rate hidden behind a minus sign อัตราที่ซ่อนอยู่หลังเครื่องหมายลบ
A spherical ball of ice with radius $r$ cm is melting. The volume of the ball of ice, $V$ cm$^{3}$, is decreasing at a constant rate, $k$ cm$^{3}$ per second, where $k$ is a constant. Given that $V=\dfrac43\pi r^{3}$
show that the rate of decrease of the radius of the ball of ice with respect to time is inversely proportional to the square of the radius.
ก้อนน้ำแข็งทรงกลม รัศมี $r$ ซม. กำลังละลาย ปริมาตรของก้อนน้ำแข็ง $V$ ลบ.ซม. ลดลงด้วยอัตราคงที่ $k$ ลบ.ซม.ต่อวินาที เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ กำหนดให้ $V=\dfrac43\pi r^{3}$
จงแสดงว่าอัตราการลดลงของรัศมีก้อนน้ำแข็งเทียบกับเวลาแปรผกผันกับกำลังสองของรัศมี
Differentiate $V=\dfrac43\pi r^{3}$ with respect to $r$.
จงหาอนุพันธ์ของ $V=\dfrac43\pi r^{3}$ เทียบกับ $r$
Answershow ▾
The power rule: $\dfrac43\times3=4$, then reduce the power by $1$.กฎกำลัง: $\dfrac43\times3=4$ แล้วลดกำลังลง $1$
Given $\dfrac{dV}{dt}=-5$ and $\dfrac{dV}{dr}=20$, find $\dfrac{dr}{dt}$.
กำหนด $\dfrac{dV}{dt}=-5$ และ $\dfrac{dV}{dr}=20$ จงหา $\dfrac{dr}{dt}$
Answershow ▾
Divide the rate you have by the one you do not want. Keep the sign.หารอัตราที่มีด้วยอัตราที่ไม่ต้องการ และรักษาเครื่องหมายไว้
Write $\dfrac{-k}{4\pi r^{2}}$ as a constant times a power of $r$.
จงเขียน $\dfrac{-k}{4\pi r^{2}}$ เป็นค่าคงที่คูณพจน์กำลังของ $r$
Answershow ▾
$-k$ and $4\pi$ do not involve $r$: they form the constant.$-k$ และ $4\pi$ ไม่มี $r$ อยู่เลย ทั้งสองจึงรวมกันเป็นค่าคงที่
The ball of ice is melting, so its volume is DECREASING at a constant rate. Pick the correct way to write $\dfrac{dV}{dt}$.
(A) $\dfrac{dV}{dt}=-k$
(B) $\dfrac{dV}{dt}=k$
(C) $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac1k$
ก้อนน้ำแข็งกำลังละลาย ปริมาตรจึงลดลงด้วยอัตราคงที่ จงเลือกวิธีเขียน $\dfrac{dV}{dt}$ ที่ถูกต้อง
(A) $\dfrac{dV}{dt}=-k$
(B) $\dfrac{dV}{dt}=k$
(C) $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac1k$
Answershow ▾
A decreasing quantity has a NEGATIVE rate of change, so the constant rate is written $-k$. (B) would mean $V$ is increasing - the opposite of melting. (C) has no reason to appear here; nothing in the question divides anything by $k$ at this stage.ปริมาณที่ลดลงมีอัตราการเปลี่ยนแปลงเป็นลบ อัตราคงที่จึงเขียนเป็น $-k$ · (B) จะหมายความว่า $V$ เพิ่มขึ้น ซึ่งตรงข้ามกับการละลาย · (C) ไม่มีเหตุผลให้ปรากฏตรงนี้ ยังไม่มีการหารด้วย $k$ ในขั้นนี้
Use question $1$ and $\dfrac{dV}{dt}=-k$ to find $\dfrac{dr}{dt}$ in terms of $r$.
จงใช้ข้อ $1$ และ $\dfrac{dV}{dt}=-k$ หา $\dfrac{dr}{dt}$ ในรูปของ $r$
Answershow ▾
Same division as question $2$, with $4\pi r^{2}$ in place of $20$.การหารแบบเดียวกับข้อ $2$ แต่ใช้ $4\pi r^{2}$ แทน $20$
Use question $3$ to write $\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{-k}{4\pi r^{2}}$ as a constant times a power of $r$.
จงใช้ข้อ $3$ เขียน $\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{-k}{4\pi r^{2}}$ เป็นค่าคงที่คูณพจน์กำลังของ $r$
Answershow ▾
$-k$ and $4\pi$ are both constants.$-k$ และ $4\pi$ เป็นค่าคงที่ทั้งคู่
In $\dfrac{dr}{dt}=-\dfrac{k}{4\pi}\times\dfrac{1}{r^{2}}$, write what $\dfrac{dr}{dt}$ is proportional to.
ใน $\dfrac{dr}{dt}=-\dfrac{k}{4\pi}\times\dfrac{1}{r^{2}}$ จงระบุว่า $\dfrac{dr}{dt}$ แปรผันตามสิ่งใด
Answershow ▾
A constant multiple of $\dfrac{1}{r^{2}}$ is "inversely proportional to $r^{2}$".ค่าคงที่คูณ $\dfrac{1}{r^{2}}$ คือ "แปรผกผันกับ $r^{2}$"
Starting from $V=\dfrac43\pi r^{3}$ and $\dfrac{dV}{dt}=-k$, find $\dfrac{dr}{dt}$ in one chain.
จงเริ่มจาก $V=\dfrac43\pi r^{3}$ และ $\dfrac{dV}{dt}=-k$ แล้วหา $\dfrac{dr}{dt}$ เป็นลำดับเดียว
Answershow ▾
Differentiate first, then divide: the two moves of questions $1$ and $2$ back to back.หาอนุพันธ์ก่อน แล้วหาร: สองขั้นของข้อ $1$ และ $2$ ต่อกัน
Check that $\dfrac{dr}{dt}=-\dfrac{k}{4\pi r^{2}}$ gives a NEGATIVE rate when $r=2$ and $k=8$.
จงตรวจว่า $\dfrac{dr}{dt}=-\dfrac{k}{4\pi r^{2}}$ ให้อัตราที่เป็นลบ เมื่อ $r=2$ และ $k=8$
Answershow ▾
Negative makes sense: the radius shrinks as the ice melts.ค่าเป็นลบสมเหตุสมผล เพราะรัศมีเล็กลงเมื่อน้ำแข็งละลาย
A spherical balloon of radius $r$ cm is being inflated. Its volume, $V$ cm$^{3}$, is increasing at a constant rate, $c$ cm$^{3}$ per second, where $c$ is a constant. Given that $V=\dfrac43\pi r^{3}$, show that the rate of increase of the radius is inversely proportional to the square of the radius.
ลูกโป่งทรงกลมรัศมี $r$ ซม. กำลังถูกเป่าให้พองขึ้น ปริมาตร $V$ ลบ.ซม. เพิ่มขึ้นด้วยอัตราคงที่ $c$ ลบ.ซม.ต่อวินาที เมื่อ $c$ เป็นค่าคงที่ กำหนด $V=\dfrac43\pi r^{3}$ จงแสดงว่าอัตราการเพิ่มขึ้นของรัศมี แปรผกผันกับกำลังสองของรัศมี
Answershow ▾
Same three moves, with $+c$ in place of $-k$ since the balloon is growing, not shrinking.สามขั้นตอนเดิม แต่ใช้ $+c$ แทน $-k$ เพราะลูกโป่งกำลังพองขึ้น ไม่ได้หดลง
A spherical ball of ice with radius $r$ cm is melting. The volume of the ball of ice, $V$ cm$^{3}$, is decreasing at a constant rate, $k$ cm$^{3}$ per second, where $k$ is a constant. Given that $V=\dfrac43\pi r^{3}$
show that the rate of decrease of the radius of the ball of ice with respect to time is inversely proportional to the square of the radius.
ก้อนน้ำแข็งทรงกลม รัศมี $r$ ซม. กำลังละลาย ปริมาตรของก้อนน้ำแข็ง $V$ ลบ.ซม. ลดลงด้วยอัตราคงที่ $k$ ลบ.ซม.ต่อวินาที เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ กำหนดให้ $V=\dfrac43\pi r^{3}$
จงแสดงว่าอัตราการลดลงของรัศมีก้อนน้ำแข็งเทียบกับเวลาแปรผกผันกับกำลังสองของรัศมี
Answershow ▾
4 marks: differentiate $V$, divide the two rates, then split off the constant $-\dfrac{k}{4\pi}$.4 คะแนน: หาอนุพันธ์ $V$ หารอัตราทั้งสอง แล้วแยกค่าคงที่ $-\dfrac{k}{4\pi}$ ออกมา
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
An exponential term inside a product rule พจน์เลขชี้กำลังที่อยู่ในกฎผลคูณ
A curve has equation $4y^{2}+3x=6ye^{-2x}$.
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $x$ and $y$.
(b) The curve crosses the $y$-axis at the origin and at the point $P$. Find the equation of the normal to the curve at $P$, writing your answer in the form $y=mx+c$ where $m$ and $c$ are constants to be found.
เส้นโค้งหนึ่งมีสมการ $4y^{2}+3x=6ye^{-2x}$
(ก) หา $\dfrac{dy}{dx}$ ในรูปของ $x$ และ $y$
(ข) เส้นโค้งตัดแกน $y$ ที่จุดกำเนิด (origin) และที่จุด $P$ จงหาสมการเส้นตั้งฉากของเส้นโค้งที่จุด $P$ โดยตอบในรูป $y=mx+c$ เมื่อ $m$ และ $c$ เป็นค่าคงที่ที่ต้องหา
Differentiate $4y^{2}$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $4y^{2}$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
$y$ changes with $x$, so an extra $\dfrac{dy}{dx}$ comes along.$y$ เปลี่ยนตาม $x$ จึงมี $\dfrac{dy}{dx}$ ติดมาด้วย
Differentiate $6ye^{-2x}$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $6ye^{-2x}$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
Two factors, $6y$ and $e^{-2x}$: differentiate $6y$ (gives $6\dfrac{dy}{dx}$) times $e^{-2x}$, plus $6y$ times the derivative of $e^{-2x}$ (which is $-2e^{-2x}$).สองตัวประกอบคือ $6y$ กับ $e^{-2x}$ หาอนุพันธ์ $6y$ (ได้ $6\dfrac{dy}{dx}$) คูณ $e^{-2x}$ บวกกับ $6y$ คูณอนุพันธ์ของ $e^{-2x}$ (ซึ่งคือ $-2e^{-2x}$)
Solve $4y^{2}=6y$ for $y$.
จงแก้สมการ $4y^{2}=6y$ หา $y$
Answershow ▾
Move everything to one side and factorise - do not divide by $y$, or the solution $y=0$ disappears.ย้ายทุกพจน์มาข้างเดียวแล้วแยกตัวประกอบ ห้ามหารด้วย $y$ เพราะคำตอบ $y=0$ จะหายไป
The curve crosses the $y$-axis at $y=0$ and $y=\tfrac32$ (question $3$). The origin is $(0,0)$. Pick which value is $P$.
(A) $y=\dfrac32$, since the origin already accounts for $y=0$
(B) $y=0$, the same point can be both
(C) whichever value gives the larger gradient
เส้นโค้งตัดแกน $y$ ที่ $y=0$ และ $y=\dfrac32$ (ข้อ $3$) จุดกำเนิดคือ $(0,0)$ จงเลือกว่าค่าใดคือ $P$
(A) $y=\dfrac32$ เพราะจุดกำเนิดใช้ $y=0$ ไปแล้ว
(B) $y=0$ จุดเดียวกันเป็นได้ทั้งสองอย่าง
(C) ค่าที่ให้ความชันมากกว่า
Answershow ▾
The question names TWO crossing points, the origin and $P$ - they must be different points. The origin is already $y=0$, so $P$ has to be the other root. (C) has no basis: $P$ is a named point, not whichever root happens to look steeper.โจทย์ระบุจุดตัดสองจุด คือจุดกำเนิดและ $P$ ซึ่งต้องเป็นจุดที่ต่างกัน จุดกำเนิดคือ $y=0$ ไปแล้ว $P$ จึงต้องเป็นรากอีกตัว · (C) ไม่มีหลักการ $P$ คือจุดที่ถูกระบุไว้ ไม่ใช่รากที่ดูชันกว่า
Differentiate $4y^{2}+3x=6ye^{-2x}$ with respect to $x$, using questions $1$ and $2$.
จงหาอนุพันธ์ของ $4y^{2}+3x=6ye^{-2x}$ เทียบกับ $x$ โดยใช้ผลจากข้อ $1$ และ $2$
Answershow ▾
$3x$ differentiates to $3$.$3x$ หาอนุพันธ์ได้ $3$
Collect the $\dfrac{dy}{dx}$ terms of $8y\dfrac{dy}{dx}+3=6e^{-2x}\dfrac{dy}{dx}-12ye^{-2x}$ on the left, and factorise.
จงรวมพจน์ $\dfrac{dy}{dx}$ ของ $8y\dfrac{dy}{dx}+3=6e^{-2x}\dfrac{dy}{dx}-12ye^{-2x}$ ไว้ทางซ้าย แล้วแยกตัวประกอบ
Answershow ▾
Move $6e^{-2x}\dfrac{dy}{dx}$ and $3$ to the left, then factor out $\dfrac{dy}{dx}$.ย้าย $6e^{-2x}\dfrac{dy}{dx}$ และ $3$ ไปทางซ้าย แล้วดึง $\dfrac{dy}{dx}$ เป็นตัวประกอบ
Divide $\dfrac{dy}{dx}(8y-6e^{-2x})=-12ye^{-2x}-3$ by $(8y-6e^{-2x})$, then multiply the top and the bottom by $-1$.
จงหารสมการ $\dfrac{dy}{dx}(8y-6e^{-2x})=-12ye^{-2x}-3$ ด้วย $(8y-6e^{-2x})$ แล้วคูณเศษและส่วนด้วย $-1$
Answershow ▾
Multiplying top and bottom by $-1$ flips every sign, but not the value of the fraction.คูณเศษและส่วนด้วย $-1$ เปลี่ยนเครื่องหมายทุกตัว แต่ค่าของเศษส่วนไม่เปลี่ยน
Substitute $x=0,y=\dfrac32$ (question $3$'s decision) into $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{12ye^{-2x}+3}{6e^{-2x}-8y}$.
จงแทน $x=0,y=\dfrac32$ (คำตอบจากข้อตัดสินใจก่อนหน้า) ลงใน $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{12ye^{-2x}+3}{6e^{-2x}-8y}$
Answershow ▾
$e^{-2(0)}=1$.$e^{-2(0)}=1$
Find the negative reciprocal of $-\dfrac72$, then use it to write the normal at $P\left(0,\dfrac32\right)$ in the form $y=mx+c$.
จงหาส่วนกลับติดลบของ $-\dfrac72$ แล้วใช้หาสมการเส้นตั้งฉากที่ $P\left(0,\dfrac32\right)$ ในรูป $y=mx+c$
Answershow ▾
$x=0$ makes the point-gradient form especially short.$x=0$ ทำให้รูปจุด-ความชันสั้นเป็นพิเศษ
A curve has equation $y^{2}+2x=2ye^{-2x}$. The curve crosses the $y$-axis at the origin and at the point $P$. Find the equation of the normal to the curve at $P$, in the form $y=mx+c$.
เส้นโค้งหนึ่งมีสมการ $y^{2}+2x=2ye^{-2x}$ เส้นโค้งตัดแกน $y$ ที่จุดกำเนิดและที่จุด $P$ จงหาสมการเส้นตั้งฉากของเส้นโค้งที่จุด $P$ ในรูป $y=mx+c$
Answershow ▾
Same moves: differentiate, collect and factorise, find where the curve meets the axis, substitute, then flip the gradient.ขั้นตอนเดิม: หาอนุพันธ์ รวมพจน์แล้วแยกตัวประกอบ หาจุดตัดแกน แทนค่า แล้วกลับความชัน
A curve has equation $4y^{2}+3x=6ye^{-2x}$.
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $x$ and $y$.
(b) The curve crosses the $y$-axis at the origin and at the point $P$. Find the equation of the normal to the curve at $P$, writing your answer in the form $y=mx+c$ where $m$ and $c$ are constants to be found.
เส้นโค้งหนึ่งมีสมการ $4y^{2}+3x=6ye^{-2x}$
(ก) หา $\dfrac{dy}{dx}$ ในรูปของ $x$ และ $y$
(ข) เส้นโค้งตัดแกน $y$ ที่จุดกำเนิด (origin) และที่จุด $P$ จงหาสมการเส้นตั้งฉากของเส้นโค้งที่จุด $P$ โดยตอบในรูป $y=mx+c$ เมื่อ $m$ และ $c$ เป็นค่าคงที่ที่ต้องหา
Answershow ▾
9 marks: differentiate, collect, divide for part (a); find where the curve meets the axis, substitute, flip the gradient, for part (b).9 คะแนน: หาอนุพันธ์ รวมพจน์ หารสำหรับข้อ (a) · หาจุดตัดแกน แทนค่า กลับความชัน สำหรับข้อ (b)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two tangents that meet เส้นสัมผัสสองเส้นที่ตัดกัน
A curve has equation $y^{2}=ye^{-2x}-3x$.
(a) Show that $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2ye^{-2x}+3}{e^{-2x}-2y}$.
(b) The curve crosses the $y$-axis at the origin and at the point $P$. The tangent to the curve at the origin and the tangent to the curve at $P$ meet at the point $R$. Find the coordinates of $R$.
เส้นโค้งหนึ่งมีสมการ $y^{2}=ye^{-2x}-3x$
(ก) จงแสดงว่า $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2ye^{-2x}+3}{e^{-2x}-2y}$
(ข) เส้นโค้งตัดแกน $y$ ที่จุดกำเนิดและที่จุด $P$ เส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่จุดกำเนิดกับเส้นสัมผัสที่จุด $P$ ตัดกันที่จุด $R$ จงหาพิกัดของ $R$
Differentiate $y^{2}$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $y^{2}$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
$y$ changes with $x$, so an extra $\dfrac{dy}{dx}$ comes along.$y$ เปลี่ยนตาม $x$ จึงมี $\dfrac{dy}{dx}$ ติดมาด้วย
Differentiate $ye^{-2x}$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $ye^{-2x}$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
Two factors, $y$ and $e^{-2x}$: differentiate $y$ (gives $\dfrac{dy}{dx}$) times $e^{-2x}$, plus $y$ times the derivative of $e^{-2x}$ (which is $-2e^{-2x}$).สองตัวประกอบคือ $y$ กับ $e^{-2x}$ หาอนุพันธ์ $y$ (ได้ $\dfrac{dy}{dx}$) คูณ $e^{-2x}$ บวกกับ $y$ คูณอนุพันธ์ของ $e^{-2x}$ (ซึ่งคือ $-2e^{-2x}$)
Solve $3x=-5x+1$ for $x$.
จงแก้สมการ $3x=-5x+1$ หา $x$
Answershow ▾
Collect the $x$ terms on one side first.รวมพจน์ $x$ ไว้ข้างเดียวก่อน
To find where the tangent at the origin and the tangent at $P$ meet, pick the correct method.
(A) find both gradients, write both tangent equations, then solve them simultaneously
(B) average the two gradients to get the gradient at the meeting point
(C) assume the meeting point is the midpoint of the origin and $P$
หาจุดที่เส้นสัมผัสที่จุดกำเนิดกับเส้นสัมผัสที่ $P$ ตัดกัน จงเลือกวิธีที่ถูกต้อง
(A) หาความชันทั้งสองค่า เขียนสมการเส้นสัมผัสทั้งสองเส้น แล้วแก้สมการพร้อมกัน
(B) เฉลี่ยความชันทั้งสองค่าเป็นความชันของจุดตัด
(C) สมมติว่าจุดตัดเป็นจุดกึ่งกลางระหว่างจุดกำเนิดกับ $P$
Answershow ▾
Two lines meet where their equations agree, like question $3$. (B) averaging gradients has no basis. (C) lines rarely cross at a midpoint.เส้นตรงสองเส้นตัดกันที่จุดที่สมการทั้งสองเท่ากัน เหมือนข้อ $3$ · (B) การเฉลี่ยความชันไม่มีหลักการ · (C) เส้นตรงมักไม่ตัดกันที่จุดกึ่งกลาง
Differentiate $y^{2}=ye^{-2x}-3x$ with respect to $x$, using questions $1$ and $2$.
จงหาอนุพันธ์ของ $y^{2}=ye^{-2x}-3x$ เทียบกับ $x$ โดยใช้ผลจากข้อ $1$ และ $2$
Answershow ▾
$-3x$ differentiates to $-3$.$-3x$ หาอนุพันธ์ได้ $-3$
Collect the $\dfrac{dy}{dx}$ terms of $2y\dfrac{dy}{dx}=e^{-2x}\dfrac{dy}{dx}-2ye^{-2x}-3$ on the left, and factorise.
จงรวมพจน์ $\dfrac{dy}{dx}$ ของ $2y\dfrac{dy}{dx}=e^{-2x}\dfrac{dy}{dx}-2ye^{-2x}-3$ ไว้ทางซ้าย แล้วแยกตัวประกอบ
Answershow ▾
Move $e^{-2x}\dfrac{dy}{dx}$ to the left, then factor out $\dfrac{dy}{dx}$.ย้าย $e^{-2x}\dfrac{dy}{dx}$ ไปทางซ้าย แล้วดึง $\dfrac{dy}{dx}$ เป็นตัวประกอบ
Divide $\dfrac{dy}{dx}(2y-e^{-2x})=-2ye^{-2x}-3$ by $(2y-e^{-2x})$, then multiply top and bottom by $-1$.
จงหารสมการ $\dfrac{dy}{dx}(2y-e^{-2x})=-2ye^{-2x}-3$ ด้วย $(2y-e^{-2x})$ แล้วคูณเศษและส่วนด้วย $-1$
Answershow ▾
Multiplying top and bottom by $-1$ flips every sign, but not the value of the fraction.คูณเศษและส่วนด้วย $-1$ เปลี่ยนเครื่องหมายทุกตัว แต่ค่าของเศษส่วนไม่เปลี่ยน
Set $x=0$ in $y^{2}=ye^{-2x}-3x$ and solve for $y$.
จงให้ $x=0$ ใน $y^{2}=ye^{-2x}-3x$ แล้วแก้สมการหา $y$
Answershow ▾
$e^{0}=1$. Do not divide by $y$, or the solution $y=0$ disappears.$e^{0}=1$ ห้ามหารด้วย $y$ เพราะคำตอบ $y=0$ จะหายไป
Find the gradient at $(0,0)$ and at $(0,1)$ using $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2ye^{-2x}+3}{e^{-2x}-2y}$, then write both tangent equations.
จงหาความชันที่ $(0,0)$ และที่ $(0,1)$ ด้วย $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2ye^{-2x}+3}{e^{-2x}-2y}$ แล้วเขียนสมการเส้นสัมผัสทั้งสองเส้น
Answershow ▾
At $(0,0)$ the tangent passes through the origin, so $y=mx$ with no constant.เส้นสัมผัสที่ $(0,0)$ ผ่านจุดกำเนิด จึงเป็น $y=mx$ ไม่มีค่าคงที่
A curve has equation $y^{2}=2ye^{-2x}-4x$. The curve crosses the $y$-axis at the origin and at the point $P$. The tangent to the curve at the origin and the tangent at $P$ meet at the point $R$. Find the coordinates of $R$.
เส้นโค้งหนึ่งมีสมการ $y^{2}=2ye^{-2x}-4x$ เส้นโค้งตัดแกน $y$ ที่จุดกำเนิดและที่จุด $P$ เส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่จุดกำเนิดกับเส้นสัมผัสที่จุด $P$ ตัดกันที่จุด $R$ จงหาพิกัดของ $R$
Answershow ▾
Same moves: differentiate, find the axis crossings, find both gradients, then solve the two tangents together.ขั้นตอนเดิม: หาอนุพันธ์ หาจุดตัดแกน หาความชันทั้งสอง แล้วแก้สมการเส้นสัมผัสทั้งสองพร้อมกัน
A curve has equation $y^{2}=ye^{-2x}-3x$.
(a) Show that $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2ye^{-2x}+3}{e^{-2x}-2y}$.
(b) The curve crosses the $y$-axis at the origin and at the point $P$. The tangent to the curve at the origin and the tangent to the curve at $P$ meet at the point $R$. Find the coordinates of $R$.
เส้นโค้งหนึ่งมีสมการ $y^{2}=ye^{-2x}-3x$
(ก) จงแสดงว่า $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2ye^{-2x}+3}{e^{-2x}-2y}$
(ข) เส้นโค้งตัดแกน $y$ ที่จุดกำเนิดและที่จุด $P$ เส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่จุดกำเนิดกับเส้นสัมผัสที่จุด $P$ ตัดกันที่จุด $R$ จงหาพิกัดของ $R$
Answershow ▾
9 marks: differentiate, collect, divide for part (a); find the crossings, find both gradients, solve the tangents together, for part (b).9 คะแนน: หาอนุพันธ์ รวมพจน์ หารสำหรับข้อ (a) · หาจุดตัดแกน หาความชันทั้งสอง แก้สมการเส้นสัมผัสพร้อมกัน สำหรับข้อ (b)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A chain rule inside a closed curve กฎลูกโซ่ในเส้นโค้งปิด
Figure 4 shows a sketch of the closed curve with equation $(x+y)^{3}+10y^{2}=108x$.
(a) Show that $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{108-3(x+y)^{2}}{20y+3(x+y)^{2}}$.
(b) The curve is used to model the shape of a cycle track with both $x$ and $y$ measured in km. The points $P$ and $Q$ represent points that are furthest north and furthest south of the origin $O$, as shown in Figure 4. Using the result given in part (a), find how far the point $Q$ is south of $O$. Give your answer to the nearest 100 m.
รูปที่ 4 แสดงภาพร่างของเส้นโค้งปิด (closed curve) ที่มีสมการ $(x+y)^{3}+10y^{2}=108x$
(ก) จงแสดงว่า $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{108-3(x+y)^{2}}{20y+3(x+y)^{2}}$
(ข) เส้นโค้งนี้ใช้จำลองรูปร่างของสนามปั่นจักรยาน โดย $x$ และ $y$ วัดเป็นกิโลเมตร จุด $P$ และ $Q$ คือจุดที่อยู่เหนือสุดและใต้สุดจากจุดกำเนิด $O$ ดังแสดงในรูปที่ 4 โดยใช้ผลลัพธ์จากข้อ (a) จงหาว่าจุด $Q$ อยู่ทางใต้ของ $O$ เป็นระยะเท่าใด ตอบเป็นเมตร ปัดให้ละเอียดถึง 100 เมตรที่ใกล้ที่สุด
Differentiate $(x+y)^{3}$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $(x+y)^{3}$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
The power rule on the bracket, times the derivative of what is INSIDE it: $\dfrac{d}{dx}(x+y)=1+\dfrac{dy}{dx}$.กฎกำลังกับวงเล็บ คูณด้วยอนุพันธ์ของสิ่งที่อยู่ข้างใน: $\dfrac{d}{dx}(x+y)=1+\dfrac{dy}{dx}$
Differentiate $10y^{2}$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ของ $10y^{2}$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
$y$ changes with $x$, so an extra $\dfrac{dy}{dx}$ comes along.$y$ เปลี่ยนตาม $x$ จึงมี $\dfrac{dy}{dx}$ ติดมาด้วย
Solve $(x+y)^{2}=36$ for $x+y$.
จงแก้สมการ $(x+y)^{2}=36$ หา $x+y$
Answershow ▾
A squared quantity equal to $36$ has TWO square roots, $\pm6$.ปริมาณยกกำลังสองที่เท่ากับ $36$ มีรากที่สองสองค่า คือ $\pm6$
$(x+y)^{2}=36$ gives $x+y=6$ or $x+y=-6$ (question $3$). Pick which branch actually lies on the curve.
(A) $x+y=6$: check it by substituting back - it gives a real $y$
(B) $x+y=-6$, since $Q$ is south of $O$ and that branch looks more negative
(C) both branches, and average the resulting $y$ values
$(x+y)^{2}=36$ ให้ $x+y=6$ หรือ $x+y=-6$ (ข้อ $3$) จงเลือกกิ่งที่อยู่บนเส้นโค้งจริง
(A) $x+y=6$: ตรวจด้วยการแทนกลับ จะได้ $y$ ที่เป็นจริง
(B) $x+y=-6$ เพราะ $Q$ อยู่ทางใต้ของ $O$ และกิ่งนี้ดูติดลบมากกว่า
(C) ทั้งสองกิ่ง แล้วเฉลี่ยค่า $y$ ที่ได้
Answershow ▾
Substituting $x+y=-6$ gives a quadratic with no real $y$: that branch is not on the curve. $P$ AND $Q$ both come from $x+y=6$ - one root north, one south.แทน $x+y=-6$ จะได้สมการที่ไม่มี $y$ จริง กิ่งนั้นไม่ได้อยู่บนเส้นโค้ง · $P$ และ $Q$ มาจาก $x+y=6$ ทั้งคู่ รากหนึ่งอยู่ทางเหนือ อีกรากทางใต้
Differentiate $(x+y)^{3}+10y^{2}=108x$ with respect to $x$, using questions $1$ and $2$.
จงหาอนุพันธ์ของ $(x+y)^{3}+10y^{2}=108x$ เทียบกับ $x$ โดยใช้ผลจากข้อ $1$ และ $2$
Answershow ▾
$108x$ differentiates to $108$.$108x$ หาอนุพันธ์ได้ $108$
Expand the bracket in $3(x+y)^{2}\left(1+\dfrac{dy}{dx}\right)+20y\dfrac{dy}{dx}=108$, then collect the $\dfrac{dy}{dx}$ terms on the left, and factorise.
จงกระจายวงเล็บใน $3(x+y)^{2}\left(1+\dfrac{dy}{dx}\right)+20y\dfrac{dy}{dx}=108$ แล้วรวมพจน์ $\dfrac{dy}{dx}$ ไว้ทางซ้าย และแยกตัวประกอบ
Answershow ▾
Move $3(x+y)^{2}$ (the part with no $\dfrac{dy}{dx}$) to the right, then factor out $\dfrac{dy}{dx}$.ย้าย $3(x+y)^{2}$ (ส่วนที่ไม่มี $\dfrac{dy}{dx}$) ไปทางขวา แล้วดึง $\dfrac{dy}{dx}$ เป็นตัวประกอบ
Divide $\dfrac{dy}{dx}\left(3(x+y)^{2}+20y\right)=108-3(x+y)^{2}$ by $\left(3(x+y)^{2}+20y\right)$.
จงหารสมการ $\dfrac{dy}{dx}\left(3(x+y)^{2}+20y\right)=108-3(x+y)^{2}$ ด้วย $\left(3(x+y)^{2}+20y\right)$
Answershow ▾
Divide both sides by the bracket.หารทั้งสองข้างด้วยวงเล็บ
$P$ and $Q$ are where the tangent is horizontal. Set the numerator $108-3(x+y)^{2}=0$, then use question $3$ and the decision above.
$P$ และ $Q$ คือจุดที่เส้นสัมผัสแนวนอน จงให้ตัวเศษ $108-3(x+y)^{2}=0$ แล้วใช้ข้อ $3$ และคำตอบจากข้อตัดสินใจก่อนหน้า
Answershow ▾
Add $3(x+y)^{2}$ to both sides, then divide by $3$.บวก $3(x+y)^{2}$ ทั้งสองข้าง แล้วหารด้วย $3$
Substitute $x=6-y$ into $(x+y)^{3}+10y^{2}=108x$, solve for $y$, and round the SOUTH value to the nearest $100$ m.
จงแทน $x=6-y$ ลงใน $(x+y)^{3}+10y^{2}=108x$ แก้สมการหา $y$ แล้วปัดค่าทางใต้ให้ละเอียดถึง $100$ เมตร
Answershow ▾
$x+y=6$, so the cube term is just $6^{3}=216$ - a constant, not an unknown any more.$x+y=6$ ดังนั้นพจน์กำลังสามคือ $6^{3}=216$ ซึ่งเป็นค่าคงที่แล้ว ไม่ใช่ตัวไม่รู้ค่า
A closed curve has equation $(x+y)^{3}+4y^{2}=12x$. Find the value of $y$ at each point where the tangent to the curve is horizontal.
เส้นโค้งปิดเส้นหนึ่งมีสมการ $(x+y)^{3}+4y^{2}=12x$ จงหาค่า $y$ ที่จุดทุกจุดที่เส้นสัมผัสของเส้นโค้งเป็นแนวนอน
Answershow ▾
Same moves: differentiate, factorise, numerator $=0$ for $x+y$, then substitute back for $y$.ขั้นตอนเดิม: หาอนุพันธ์ แยกตัวประกอบ ตัวเศษ $=0$ หา $x+y$ แล้วแทนกลับหา $y$
Figure 4 shows a sketch of the closed curve with equation $(x+y)^{3}+10y^{2}=108x$.
(a) Show that $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{108-3(x+y)^{2}}{20y+3(x+y)^{2}}$.
(b) The curve is used to model the shape of a cycle track with both $x$ and $y$ measured in km. The points $P$ and $Q$ represent points that are furthest north and furthest south of the origin $O$, as shown in Figure 4. Using the result given in part (a), find how far the point $Q$ is south of $O$. Give your answer to the nearest 100 m.
รูปที่ 4 แสดงภาพร่างของเส้นโค้งปิด (closed curve) ที่มีสมการ $(x+y)^{3}+10y^{2}=108x$
(ก) จงแสดงว่า $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{108-3(x+y)^{2}}{20y+3(x+y)^{2}}$
(ข) เส้นโค้งนี้ใช้จำลองรูปร่างของสนามปั่นจักรยาน โดย $x$ และ $y$ วัดเป็นกิโลเมตร จุด $P$ และ $Q$ คือจุดที่อยู่เหนือสุดและใต้สุดจากจุดกำเนิด $O$ ดังแสดงในรูปที่ 4 โดยใช้ผลลัพธ์จากข้อ (a) จงหาว่าจุด $Q$ อยู่ทางใต้ของ $O$ เป็นระยะเท่าใด ตอบเป็นเมตร ปัดให้ละเอียดถึง 100 เมตรที่ใกล้ที่สุด
Answershow ▾
9 marks: differentiate, collect, divide for part (a); numerator $=0$ for the right branch, then solve and round for part (b).9 คะแนน: หาอนุพันธ์ รวมพจน์ หารสำหรับข้อ (a) · ตัวเศษ $=0$ หากิ่งที่ถูก แล้วแก้สมการและปัดเศษสำหรับข้อ (b)