Integration · practice ladders ชุดไต่ระดับ · ปริพันธ์
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Integration · volume of revolution
The region under the curve $y = x + \dfrac{1}{x}$ between $x = 1$ and $x = 4$ is rotated through $360°$ about the $x$-axis. Find the exact volume of the solid formed.
For $y = x + \dfrac{1}{x}$, find $y^2$, fully expanded.
กำหนด $y = x + \dfrac{1}{x}$ จงหา $y^2$ แบบกระจายเต็มรูป
Answershow ▾
Square the whole expression like any bracket: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$. The middle term $2\cdot x\cdot\dfrac{k}{x}$ collapses to a plain constant — going straight from $y$ to $y^2$ without actually squaring it is the step students most often skip, and it is always the first move in a volume question.
Find $\displaystyle\int \dfrac{3}{x^2}\,dx$.
จงหา $\displaystyle\int \dfrac{3}{x^2}\,dx$
Answershow ▾
$\dfrac{3}{x^2} = 3x^{-2}$ is an ordinary power of $x$ — raise the power by $1$ and divide by the new power, exactly like any other term. It is $\ln|x|$ only when the power is $-1$; here it is $-2$, so the log rule does not apply.
The region under $y = x$ between $x = 1$ and $x = 2$ is rotated through $360°$ about the $x$-axis. Find the exact volume of the solid formed.
บริเวณใต้กราฟ $y = x$ ระหว่าง $x = 1$ และ $x = 2$ หมุนรอบแกน $x$ ครบ $360°$ จงหาปริมาตรที่แน่นอนของทรงตันที่เกิดขึ้น
Answershow ▾
Square $y=x$ to get $y^2=x^2$, integrate to get $\dfrac{x^3}{3}$, substitute the limits, THEN multiply by $\pi$ once at the very end — not at every step along the way. That order is the whole point of this question type.
The formula is $V = \pi\displaystyle\int_a^b y^2\,dx$, so the squaring and the integrating have to happen in one particular order. Do both orders on $y = x + \dfrac{1}{x}$ and say which is the method and what the other one computes.
(A) square $y$, then integrate (B) integrate $y$, then square
สูตรคือ $V = \pi\displaystyle\int_a^b y^2\,dx$ การยกกำลังสองกับการอินทิเกรตจึงต้องเรียงลำดับกันแบบหนึ่ง · จงลองทั้งสองลำดับกับ $y = x + \dfrac{1}{x}$ แล้วบอกว่าลำดับไหนคือวิธีที่ถูก และอีกลำดับคำนวณอะไร
(A) ยกกำลังสอง $y$ ก่อน แล้วอินทิเกรต (B) อินทิเกรต $y$ ก่อน แล้วยกกำลังสอง
Answershow ▾
$\displaystyle\int y^2\,dx$ and $\left(\displaystyle\int y\,dx\right)^{2}$ are not the same object, and nothing in the notation shouts about it. Squaring first is what turns the awkward $x + \dfrac1x$ into three ordinary powers, and the middle term $2 \times x \times \dfrac1x$ collapses to a plain $2$ — the term students most often lose by squaring the two pieces separately. The M1 pays for $y^2$ correctly expanded; nothing pays for doing the two operations in the order the formula wrote them.$\displaystyle\int y^2\,dx$ กับ $\left(\displaystyle\int y\,dx\right)^{2}$ ไม่ใช่สิ่งเดียวกัน และสัญกรณ์ไม่ได้ตะโกนบอกเลย · การยกกำลังสองก่อนคือสิ่งที่เปลี่ยน $x + \dfrac1x$ ที่ดูยุ่งให้เป็นเลขยกกำลังธรรมดาสามพจน์ และพจน์กลาง $2 \times x \times \dfrac1x$ ยุบเหลือ $2$ เฉย ๆ ซึ่งเป็นพจน์ที่นักเรียนทำหายบ่อยที่สุดจากการยกกำลังสองทีละชิ้น · M1 ให้กับ $y^2$ ที่กระจายถูก ไม่มีคะแนนให้กับการทำสองอย่างตามลำดับที่สูตรเขียนไว้
For $y = x + \dfrac{1}{x}$, find $y^2$, fully expanded.
Answershow ▾
Same move as question 1, with the real numbers from the target. Every attempt at this question must start here.
Using $y^2 = x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2}$ from question 4, find $\displaystyle\int y^2\,dx$.
Answershow ▾
Integrate each of the three terms separately: the power rule on $x^2$ and on $\dfrac{1}{x^2}$ (question 2's move again), and the constant term $2$ integrates to $2x$.
$\dfrac{1}{x^{2}}$ looks like a fraction, and fractions tempt you towards $\ln$. Write it as a power of $x$, then pick the right integral and say which power of $x$ is the ONLY one the $\ln$ rule belongs to.
(A) $\ln\!\left(x^{2}\right)$ (B) $-\dfrac{1}{x}$ (C) $\dfrac{1}{3x^{3}}$
$\dfrac{1}{x^{2}}$ หน้าตาเป็นเศษส่วน และเศษส่วนชวนให้นึกถึง $\ln$ · จงเขียนมันเป็นเลขยกกำลังของ $x$ แล้วเลือกอินทิกรัลที่ถูก และบอกว่ากฎ $\ln$ เป็นของกำลังไหนของ $x$ เพียงกำลังเดียว
(A) $\ln\!\left(x^{2}\right)$ (B) $-\dfrac{1}{x}$ (C) $\dfrac{1}{3x^{3}}$
Answershow ▾
The power rule adds one to the index and divides by the result, and it works for every index except $-1$, where adding one would give a zero denominator — which is precisely the gap $\ln$ was invented to fill. Here the index is $-2$, so the ordinary rule applies and the answer carries a minus sign that comes from dividing by $-1$. (C) forgot the sign and used the old power. Rewriting the fraction as a power before integrating is what makes the choice obvious, and it earns nothing.กฎเลขยกกำลังบวกหนึ่งเข้าไปที่เลขชี้กำลังแล้วหารด้วยผลลัพธ์ และใช้ได้กับทุกเลขชี้กำลังยกเว้น $-1$ ซึ่งบวกหนึ่งแล้วจะได้ตัวส่วนเป็นศูนย์ นั่นคือช่องว่างที่ $\ln$ ถูกสร้างมาอุด · ที่นี่เลขชี้กำลังคือ $-2$ กฎธรรมดาจึงใช้ได้ และคำตอบติดเครื่องหมายลบที่มาจากการหารด้วย $-1$ · (C) ลืมเครื่องหมายและใช้กำลังเดิม · การเขียนเศษส่วนเป็นเลขยกกำลังก่อนอินทิเกรตคือสิ่งที่ทำให้ตัวเลือกชัดเจน และมันไม่ได้คะแนน
Evaluate $\left[\dfrac{x^3}{3} + 2x - \dfrac{1}{x}\right]_{1}^{4}$.
Answershow ▾
Substitute the upper limit, substitute the lower limit, subtract — do this whole step before the $\pi$ ever gets involved, so a slip in the arithmetic is easy to spot on its own.
The curve $y = x + \dfrac{1}{x}$ meets the lines $x = 1$ and $x = 4$. Using the antiderivative from question 5, write down the volume of the solid of revolution as $\pi$ times a bracketed expression between these limits.
Answershow ▾
Volume of revolution about the $x$-axis is $V = \pi\displaystyle\int_a^b y^2\,dx$ — plug the antiderivative from question 5 straight into bracket notation, with the $\pi$ sitting outside, ready to multiply at the very end.
Evaluate $\pi\left[\dfrac{x^3}{3} + 2x - \dfrac{1}{x}\right]_{1}^{4}$, and state the exact volume of the solid.
Answershow ▾
Take the bracket value from question 6 and multiply by $\pi$ once, right at the end — multiplying too early, or forgetting $\pi$ entirely, is the single most common slip in this topic. Keep the answer exact: no decimals.
The question asks for the exact volume. Which of these is the answer, and what is wrong with the other two?
(A) $87.2$ (B) $\dfrac{111}{4}$ (C) $\dfrac{111}{4}\pi$
Then say at which point in the working the $\pi$ should be multiplied in, and why not earlier.
โจทย์ถามปริมาตรแบบ exact · ข้อไหนคือคำตอบ และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) $87.2$ (B) $\dfrac{111}{4}$ (C) $\dfrac{111}{4}\pi$
แล้วบอกว่าควรคูณ $\pi$ เข้าไปตอนไหนของการทำ และทำไมไม่ควรคูณก่อนหน้านั้น
Answershow ▾
“Exact” means the $\pi$ stays a symbol and the fraction stays a fraction. Keeping $\pi$ outside the bracket until the end has a second benefit: the bracket is then plain arithmetic, so a slip in it is visible on its own instead of hiding inside a multiple of $\pi$. Writing $\pi$ at every line invites you to square it, or to forget it once and never notice. The A1 is for $\dfrac{111}{4}\pi$; nothing pays for keeping the $\pi$ out of the way."exact" แปลว่า $\pi$ ต้องคงเป็นสัญลักษณ์ และเศษส่วนคงเป็นเศษส่วน · การเก็บ $\pi$ ไว้นอกวงเล็บจนถึงตอนจบมีข้อดีอีกอย่าง: วงเล็บจะเป็นเลขคณิตล้วน ๆ ความพลาดในนั้นจึงมองเห็นได้เอง แทนที่จะซ่อนอยู่ในพหุคูณของ $\pi$ · การเขียน $\pi$ ทุกบรรทัดชวนให้เผลอยกกำลังสองมัน หรือลืมมันไปครั้งหนึ่งแล้วไม่รู้ตัว · A1 ให้กับ $\dfrac{111}{4}\pi$ ไม่มีคะแนนให้กับการเก็บ $\pi$ ไว้ให้พ้นทาง
The region under $y = x + \dfrac{1}{x}$ between $x = 1$ and $x = 2$ is rotated through $360°$ about the $x$-axis. Find the exact volume of the solid formed.
บริเวณใต้กราฟ $y = x + \dfrac{1}{x}$ ระหว่าง $x = 1$ และ $x = 2$ หมุนรอบแกน $x$ ครบ $360°$ จงหาปริมาตรที่แน่นอนของทรงตันที่เกิดขึ้น
Answershow ▾
Same three moves as the exam question — square $y$, integrate, multiply by $\pi$ once at the end — with the smallest numbers that still show the method.
The region under the curve $y = x + \dfrac{1}{x}$ between $x = 1$ and $x = 4$ is rotated through $360°$ about the $x$-axis. Find the exact volume of the solid formed.
Answershow ▾
7 marks. Questions 4 and 5 build the squared and integrated form; questions 7 and 8 build the setup and the final evaluation.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Integration · the log form and partial fractions
(a) Express $\dfrac{2}{(x - 5)(x - 3)}$ in partial fractions, in the form $\dfrac{A}{x - 5} + \dfrac{B}{x - 3}$.
(b) Hence find the exact value of $\displaystyle\int_{6}^{7}\dfrac{2}{(x - 5)(x - 3)}\,dx$, giving your answer as a single logarithm.
Express $\dfrac{3x - 4}{(x - 2)(x - 1)}$ in partial fractions, in the form $\dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{x - 1}$.
จงเขียน $\dfrac{3x - 4}{(x - 2)(x - 1)}$ ในรูปเศษส่วนย่อย $\dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{x - 1}$
Answershow ▾
Multiply both sides by $(x - 2)(x - 1)$ to clear the fractions, giving $3x - 4 \equiv A(x - 1) + B(x - 2)$, then cover up $(x - 2)$ and put $x = 2$ to isolate $A$ on its own — and likewise for $B$. This cover-up trick only works cleanly because the two factors are distinct.
Find $\displaystyle\int \dfrac{1}{x - 4}\,dx$.
จงหา $\displaystyle\int \dfrac{1}{x - 4}\,dx$
Answershow ▾
$\dfrac{1}{x - 4}$ is already in the form $\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ with $f(x) = x - 4$ (so $f'(x) = 1$), scaled by $1$ — integrate directly to $1\ln|x - 4|$. The same idea works whenever the numerator is a multiple of the derivative of the denominator, not just here.
Write $\ln 8 - \ln 2$ as a single logarithm, and simplify as far as possible.
จงเขียน $\ln 8 - \ln 2$ ในรูปลอการิทึมเดียว แล้วทำให้ง่ายที่สุด
Answershow ▾
$\ln P - \ln Q = \ln\left(\dfrac{P}{Q}\right)$ — subtracting logs means DIVIDING inside a single log, never subtracting the numbers themselves. Simplify the fraction fully before leaving it as the final answer.
$\displaystyle\int \dfrac{1}{x - 5}\,dx = \ln|x - 5| + c$ carries modulus bars. On the interval $6 \le x \le 7$, is $x - 5$ positive or negative? Say whether the bars change any value here, and name a pair of limits for which they would matter.
$\displaystyle\int \dfrac{1}{x - 5}\,dx = \ln|x - 5| + c$ มีขีดค่าสัมบูรณ์ · ในช่วง $6 \le x \le 7$ ค่า $x - 5$ เป็นบวกหรือลบ · บอกว่าขีดนั้นเปลี่ยนค่าอะไรที่นี่หรือไม่ และยกตัวอย่างลิมิตคู่หนึ่งที่มันจะมีผล
Answershow ▾
The bars exist because $\ln$ of a negative number is undefined, so without them the antiderivative would be unusable on the left of $x = 5$. On the given interval both brackets are positive and the bars are decoration — but writing them costs nothing and marks you as knowing why they are there. What you must NOT do is integrate across $x = 5$ or $x = 3$: the function is not defined there and no amount of modulus fixes that. Nothing in the mark scheme asks where the limits sit.ขีดค่าสัมบูรณ์มีอยู่เพราะ $\ln$ ของจำนวนลบไม่นิยาม ถ้าไม่มีมัน ปฏิยานุพันธ์จะใช้ไม่ได้ทางซ้ายของ $x = 5$ · ในช่วงที่โจทย์ให้ วงเล็บทั้งสองเป็นบวก ขีดจึงเป็นของประดับ แต่การเขียนมันไม่เสียอะไร และแสดงว่าเรารู้ว่ามันมีไว้ทำไม · สิ่งที่ทำไม่ได้คือการอินทิเกรตข้าม $x = 5$ หรือ $x = 3$ เพราะฟังก์ชันไม่นิยามตรงนั้น และค่าสัมบูรณ์แก้ไม่ได้ · มาร์คสกีมไม่มีที่ไหนถามว่าลิมิตอยู่ตรงไหน
Express $\dfrac{2}{(x - 5)(x - 3)}$ in partial fractions, in the form $\dfrac{A}{x - 5} + \dfrac{B}{x - 3}$.
Answershow ▾
Same move as question 1, with the real numbers — this is part (a) of the exam question.
Using $A = 1$ and $B = -1$ from question 4, find $\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{x - 5} - \dfrac{1}{x - 3}\right)dx$.
Answershow ▾
Integrate each term separately using the log rule from question 2 — $\int\frac{A}{x-a}dx = A\ln|x-a|$, and likewise for the second term.
Substitute $x = 6$ and $x = 7$ into $\left[\ln|x - 5| - \ln|x - 3|\right]_{6}^{7}$, without simplifying yet.
Answershow ▾
Substitute the upper limit into the antiderivative, then the lower limit, and subtract — do not combine the logarithms until every number is in place.
The question says give your answer as a single logarithm. Which of these three answers it, and what is each of the other two?
(A) $\ln 2 - \ln 4 - \ln 1 + \ln 3$ (B) $0.405$ (C) $\ln\!\left(\dfrac{3}{2}\right)$
โจทย์สั่งให้ตอบ เป็นลอการิทึมตัวเดียว · ข้อไหนตอบโจทย์ และอีกสองข้อคืออะไร
(A) $\ln 2 - \ln 4 - \ln 1 + \ln 3$ (B) $0.405$ (C) $\ln\!\left(\dfrac{3}{2}\right)$
Answershow ▾
(A) is correct and unfinished: four logarithms are not one logarithm. The laws $\ln P + \ln Q = \ln(PQ)$ and $\ln P - \ln Q = \ln\!\left(\dfrac{P}{Q}\right)$ turn addition into multiplication and subtraction into division, and $\ln 1 = 0$ quietly disappears. Combine only after every number is in place, never limit by limit. The A1 is for the single log; nothing pays for reading the four words that said how the answer had to look.(A) ถูกแต่ยังไม่จบ ลอการิทึมสี่ตัวไม่ใช่ลอการิทึมตัวเดียว · กฎ $\ln P + \ln Q = \ln(PQ)$ และ $\ln P - \ln Q = \ln\!\left(\dfrac{P}{Q}\right)$ เปลี่ยนการบวกเป็นการคูณ และการลบเป็นการหาร ส่วน $\ln 1 = 0$ หายไปเงียบ ๆ · ให้รวมหลังจากใส่ตัวเลขครบแล้วเท่านั้น อย่ารวมทีละลิมิต · A1 ให้กับลอการิทึมตัวเดียว ไม่มีคะแนนให้กับการอ่านคำสั่งที่บอกว่าคำตอบต้องหน้าตาอย่างไร
The denominator $(x - 5)(x - 3)$ expands to a quadratic with derivative $2x - 8$. Is $\displaystyle\int\dfrac{2}{(x - 5)(x - 3)}dx$ a direct $\ln|f(x)|$ integral, or does it need partial fractions?
Answershow ▾
The direct rule $\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx = \ln|f(x)|$ only ever works when the top IS the derivative of the bottom (up to a constant multiple) — check that FIRST, before reaching for partial fractions, since it saves the whole decomposition step whenever it applies.
Combine $\left[\ln|x - 5| - \ln|x - 3|\right]_{6}^{7}$ into a single logarithm, and state the exact value of $\displaystyle\int_{6}^{7}\dfrac{2}{(x - 5)(x - 3)}dx$.
Answershow ▾
Every term is a log, so the laws of logs ($\ln P + \ln Q = \ln(PQ)$ and $\ln P - \ln Q = \ln(P/Q)$, question 3's move) collapse the whole bracket into one logarithm — the exact final answer, no decimals.
The integrand is undefined at $x = 3$ and at $x = 5$. Mark those two values and the limits $6$ and $7$ on a number line, and say whether the integral makes sense. Then say what would be wrong with $\displaystyle\int_{4}^{6}\dfrac{2}{(x - 5)(x - 3)}\,dx$.
ตัวถูกอินทิเกรตไม่นิยามที่ $x = 3$ และ $x = 5$ · จงทำเครื่องหมายค่าทั้งสองและลิมิต $6$ กับ $7$ บนเส้นจำนวน แล้วบอกว่าอินทิกรัลนี้มีความหมายหรือไม่ · แล้วบอกว่า $\displaystyle\int_{4}^{6}\dfrac{2}{(x - 5)(x - 3)}\,dx$ ผิดตรงไหน
Answershow ▾
An antiderivative is only valid on an interval where the function is continuous, and these two brackets each open a hole in the number line. The given limits, $6$ and $7$, sit safely to the right of both, so the calculation is legitimate. Between $4$ and $6$ the same algebra would run without complaint and print a number, and that number would mean nothing. Checking where the limits sit relative to the asymptotes takes one glance, is never marked, and is the only thing standing between a correct method and a confident piece of nonsense.ปฏิยานุพันธ์ใช้ได้เฉพาะบนช่วงที่ฟังก์ชันต่อเนื่อง และวงเล็บสองอันนี้เจาะรูบนเส้นจำนวนคนละรู · ลิมิตที่ให้มาคือ $6$ กับ $7$ อยู่ทางขวาของทั้งสองรูอย่างปลอดภัย การคำนวณจึงชอบธรรม · ถ้าเป็นช่วง $4$ ถึง $6$ พีชคณิตชุดเดิมจะทำงานโดยไม่บ่นและพิมพ์ตัวเลขออกมา และตัวเลขนั้นไม่มีความหมายเลย · การตรวจว่าลิมิตอยู่ตรงไหนเทียบกับเส้นกำกับใช้เวลาเหลือบตาครั้งเดียว ไม่เคยมีคะแนน และเป็นสิ่งเดียวที่กั้นระหว่างวิธีที่ถูกกับความไร้สาระที่มั่นใจ
(a) Express $\dfrac{1}{(x - 1)(x - 2)}$ in partial fractions.
(b) Hence find the exact value of $\displaystyle\int_{3}^{4}\dfrac{1}{(x - 1)(x - 2)}\,dx$, as a single logarithm.
(ก) จงเขียน $\dfrac{1}{(x - 1)(x - 2)}$ ในรูปเศษส่วนย่อย (ข) จงหาค่าที่แน่นอนของ $\displaystyle\int_{3}^{4}\dfrac{1}{(x - 1)(x - 2)}\,dx$ ในรูปลอการิทึมเดียว
Answershow ▾
Same two parts as the exam question, but with the smallest numbers that still show the method.
(a) Express $\dfrac{2}{(x - 5)(x - 3)}$ in partial fractions, in the form $\dfrac{A}{x - 5} + \dfrac{B}{x - 3}$.
(b) Hence find the exact value of $\displaystyle\int_{6}^{7}\dfrac{2}{(x - 5)(x - 3)}\,dx$, giving your answer as a single logarithm.
Answershow ▾
7 marks. Question 4 is part (a); questions 5, 6 and 8 build part (b) (question 7 explains why partial fractions, rather than the direct log rule, is the correct route).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
By parts, with the limits put in ส่วนต่อส่วน แล้วแทนขอบเขต
Find $\displaystyle\int_{0}^{\pi/6} x\cos3x\,dx$ giving your answer in simplest form.
จงหา $\displaystyle\int_{0}^{\pi/6} x\cos3x\,dx$ โดยเขียนคำตอบในรูปอย่างง่ายที่สุด
Integrate $\cos3x$.
จงหาปริพันธ์ $\cos3x$
Answershow ▾
Reverse the chain rule: divide by the derivative of $3x$, which is $3$.ย้อนกฎลูกโซ่: หารด้วยอนุพันธ์ของ $3x$ ซึ่งคือ $3$
Integrate $\sin3x$.
จงหาปริพันธ์ $\sin3x$
Answershow ▾
Same reverse chain rule; $\sin$ integrates to $-\cos$.ย้อนกฎลูกโซ่เหมือนกัน $\sin$ หาปริพันธ์ได้ $-\cos$
State $\sin\dfrac{\pi}{2}$ and $\cos\dfrac{\pi}{2}$.
จงระบุ $\sin\dfrac{\pi}{2}$ และ $\cos\dfrac{\pi}{2}$
Answershow ▾
A quarter turn from $0$: sine is at its peak, cosine is at zero.หมุนไปหนึ่งในสี่รอบจาก $0$: ไซน์ (sine) ขึ้นสูงสุด โคไซน์ (cosine) เป็นศูนย์
Pick $u$ and $\dfrac{dv}{dx}$ to integrate $x\cos3x$ by parts.
(A) $u=x,\ \dfrac{dv}{dx}=\cos3x$
(B) $u=\cos3x,\ \dfrac{dv}{dx}=x$
(C) treat $x\cos3x$ as one function and reverse the chain rule
จงเลือก $u$ และ $\dfrac{dv}{dx}$ เพื่อหาปริพันธ์ $x\cos3x$ แบบส่วนต่อส่วน
(A) $u=x,\ \dfrac{dv}{dx}=\cos3x$
(B) $u=\cos3x,\ \dfrac{dv}{dx}=x$
(C) มองว่า $x\cos3x$ เป็นฟังก์ชันเดียว แล้วย้อนกฎลูกโซ่
Answershow ▾
Differentiating $x$ gives the constant $1$ - simpler. (B) differentiates $\cos3x$ into another trig function and integrates $x$ into $x^{2}/2$ - harder. (C) fails: $x\cos3x$ is a PRODUCT, not a composite function, so there is nothing for the chain rule to reverse.การหาอนุพันธ์ของ $x$ ได้ค่าคงที่ $1$ ง่ายขึ้น · (B) หาอนุพันธ์ $\cos3x$ ได้ฟังก์ชันตรีโกณมิติอีกตัว และหาปริพันธ์ $x$ ได้ $x^{2}/2$ ยากขึ้น · (C) ใช้ไม่ได้ เพราะ $x\cos3x$ เป็นผลคูณของสองฟังก์ชันที่ไม่เกี่ยวกัน ไม่ใช่ฟังก์ชันประกอบ จึงไม่มีอะไรให้กฎลูกโซ่ย้อนกลับ
Apply integration by parts to $\displaystyle\int x\cos3x\,dx$.
จงใช้การหาปริพันธ์แบบส่วนต่อส่วนกับ $\displaystyle\int x\cos3x\,dx$
Answershow ▾
$u\cdot v-\int v\,du$, with $u=x$ and $v=\dfrac{\sin3x}{3}$.$u\cdot v-\int v\,du$ เมื่อ $u=x$ และ $v=\dfrac{\sin3x}{3}$
Complete $\displaystyle\int\dfrac{\sin3x}{3}\,dx$, then write the full antiderivative.
จงหาปริพันธ์ $\displaystyle\int\dfrac{\sin3x}{3}\,dx$ ให้เสร็จ แล้วเขียนปริพันธ์เต็ม
Answershow ▾
Use question $2$: $\int\sin3x\,dx=-\dfrac{\cos3x}{3}$, then divide by $3$ again.ใช้ข้อ $2$: $\int\sin3x\,dx=-\dfrac{\cos3x}{3}$ แล้วหารด้วย $3$ อีกครั้ง
Write the limits $0$ and $\dfrac{\pi}{6}$ onto the antiderivative.
จงเขียนขอบเขต $0$ และ $\dfrac{\pi}{6}$ ลงบนปริพันธ์
Answershow ▾
Square brackets around the antiderivative, limits outside.ใส่วงเล็บเหลี่ยมคร่อมปริพันธ์ แล้วเขียนขอบเขตไว้ด้านนอก
Evaluate $\dfrac{x\sin3x}{3}+\dfrac{\cos3x}{9}$ at $x=\dfrac{\pi}{6}$.
จงแทนค่า $\dfrac{x\sin3x}{3}+\dfrac{\cos3x}{9}$ ที่ $x=\dfrac{\pi}{6}$
Answershow ▾
$3x=\dfrac{\pi}{2}$, so use question $3$.$3x=\dfrac{\pi}{2}$ ให้ใช้ข้อ $3$
Evaluate $\dfrac{x\sin3x}{3}+\dfrac{\cos3x}{9}$ at $x=0$, then subtract to find the answer.
จงแทนค่า $\dfrac{x\sin3x}{3}+\dfrac{\cos3x}{9}$ ที่ $x=0$ แล้วลบเพื่อหาคำตอบ
Answershow ▾
$\sin0=0$ and $\cos0=1$, so only the second term survives.$\sin0=0$ และ $\cos0=1$ จึงเหลือเฉพาะเทอมที่สอง
Find $\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} x\cos2x\,dx$, giving your answer in simplest form.
จงหา $\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} x\cos2x\,dx$ โดยเขียนคำตอบในรูปอย่างง่ายที่สุด
Answershow ▾
Same two moves: by parts to find the integral, then apply the limits.สองขั้นเดิม: ใช้ส่วนต่อส่วนหาปริพันธ์ แล้วแทนขอบเขต
Find $\displaystyle\int_{0}^{\pi/6} x\cos3x\,dx$ giving your answer in simplest form.
จงหา $\displaystyle\int_{0}^{\pi/6} x\cos3x\,dx$ โดยเขียนคำตอบในรูปอย่างง่ายที่สุด
Answershow ▾
5 marks: by parts to find the integral, then apply the limits $0$ and $\pi/6$.5 คะแนน: ใช้ส่วนต่อส่วนหาปริพันธ์ แล้วแทนขอบเขต $0$ และ $\pi/6$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Squaring a root before rotating it ยกกำลังสองรากก่อนหมุน
In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.
The diagram shows a sketch of the curve with equation $y=\dfrac{3}{\sqrt{3x+5}},\ x\geqslant0$.
The finite region $R$, shown shaded in the diagram, is bounded by the curve, the $x$-axis, the $y$-axis and the line with equation $x=5$. The region $R$ is rotated through $360^{\circ}$ about the $x$-axis.
Use integration to find the exact volume of the solid generated. Give your answer in the form $a\ln b$, where $a$ is an irrational number and $b$ is a prime number.
ในข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน คำตอบที่ได้จากเครื่องคิดเลขล้วนๆ ไม่สามารถยอมรับได้
แผนภาพแสดงสเกตช์ของเส้นโค้ง $y=\dfrac{3}{\sqrt{3x+5}},\ x\geqslant0$
บริเวณจำกัด $R$ ที่แรเงาในแผนภาพ ล้อมด้วยเส้นโค้ง แกน $x$ แกน $y$ และเส้นตรง $x=5$ บริเวณ $R$ ถูกหมุนครบ $360^{\circ}$ รอบแกน $x$
จงใช้การหาปริพันธ์เพื่อหาปริมาตร exact ของทรงตันที่เกิดขึ้น ตอบในรูป $a\ln b$ เมื่อ $a$ เป็นจำนวนอตรรกยะ (irrational number) และ $b$ เป็นจำนวนเฉพาะ (prime number)
Square $\dfrac{3}{\sqrt{3x+5}}$.
จงยกกำลังสอง $\dfrac{3}{\sqrt{3x+5}}$
Answershow ▾
Square the top and the bottom; a square root squared removes the root entirely.ยกกำลังสองทั้งเศษและส่วน · รากที่สองยกกำลังสองแล้วรากหายไปทั้งหมด
Integrate $\dfrac{1}{3x+5}$.
จงหาปริพันธ์ $\dfrac{1}{3x+5}$
Answershow ▾
Reverse the chain rule: divide by the derivative of $3x+5$, which is $3$.ย้อนกฎลูกโซ่: หารด้วยอนุพันธ์ของ $3x+5$ ซึ่งคือ $3$
Write $\ln20-\ln5$ as a single log.
จงเขียน $\ln20-\ln5$ เป็น log ตัวเดียว
Answershow ▾
The quotient law, then $4=2^{2}$.กฎการหาร แล้ว $4=2^{2}$
Pick $y^{2}$ for $y=\dfrac{3}{\sqrt{3x+5}}$.
(A) $y^{2}=\dfrac{9}{3x+5}$
(B) $y^{2}=\dfrac{3}{3x+5}$
(C) $y^{2}=\dfrac{9}{(3x+5)^{2}}$
จงเลือก $y^{2}$ เมื่อ $y=\dfrac{3}{\sqrt{3x+5}}$
(A) $y^{2}=\dfrac{9}{3x+5}$
(B) $y^{2}=\dfrac{3}{3x+5}$
(C) $y^{2}=\dfrac{9}{(3x+5)^{2}}$
Answershow ▾
$\sqrt{3x+5}$ is $(3x+5)^{1/2}$; squaring it gives $(3x+5)^{1}$, power $1$, not power $2$. (B) forgets to square the $3$ on top. (C) wrongly squares the root a second time, as if the root were already $(3x+5)^{2}$ instead of $(3x+5)^{1/2}$.$\sqrt{3x+5}$ คือ $(3x+5)^{1/2}$ ยกกำลังสองแล้วได้ $(3x+5)^{1}$ กำลัง $1$ ไม่ใช่กำลัง $2$ · (B) ลืมยกกำลังสอง $3$ ที่เศษ · (C) ยกกำลังสองรากซ้ำผิด เหมือนมองว่ารากเป็น $(3x+5)^{2}$ อยู่แล้ว ทั้งที่ที่จริงคือ $(3x+5)^{1/2}$
Write the volume formula $V=\pi\displaystyle\int_{0}^{5} y^{2}\,dx$ using $y^{2}=\dfrac{9}{3x+5}$.
จงเขียนสูตรปริมาตร $V=\pi\displaystyle\int_{0}^{5} y^{2}\,dx$ โดยใช้ $y^{2}=\dfrac{9}{3x+5}$
Answershow ▾
Rotating the shaded region $R$ about the $x$-axis, limits $0$ to $5$.หมุนบริเวณแรเงา $R$ รอบแกน $x$ ขอบเขต $0$ ถึง $5$
Integrate $\dfrac{9}{3x+5}$.
จงหาปริพันธ์ $\dfrac{9}{3x+5}$
Answershow ▾
$9\times\dfrac13=3$, from question $2$.$9\times\dfrac13=3$ จากข้อ $2$
Write the limits $0$ and $5$ onto $3\ln(3x+5)$.
จงเขียนขอบเขต $0$ และ $5$ ลงบน $3\ln(3x+5)$
Answershow ▾
Square brackets around the antiderivative, $\pi$ stays out the front.ใส่วงเล็บเหลี่ยมคร่อมปริพันธ์ $\pi$ อยู่ด้านหน้าเหมือนเดิม
Evaluate $3\ln(3x+5)$ at $x=5$ and at $x=0$.
จงแทนค่า $3\ln(3x+5)$ ที่ $x=5$ และที่ $x=0$
Answershow ▾
$3(5)+5=20$ and $3(0)+5=5$.$3(5)+5=20$ และ $3(0)+5=5$
Find $3\ln20-3\ln5$, writing your answer as $a\ln b$ with $b$ prime.
จงหา $3\ln20-3\ln5$ โดยเขียนในรูป $a\ln b$ เมื่อ $b$ เป็นจำนวนเฉพาะ
Answershow ▾
Use question $3$: $\ln20-\ln5=\ln4=2\ln2$.ใช้ข้อ $3$: $\ln20-\ln5=\ln4=2\ln2$
The curve $y=\dfrac{2}{\sqrt{x+1}},\ x\geqslant0$ is rotated $360^{\circ}$ about the $x$-axis between $x=0$ and $x=15$. Find the exact volume generated, in the form $a\ln b$.
เส้นโค้ง $y=\dfrac{2}{\sqrt{x+1}},\ x\geqslant0$ ถูกหมุนครบ $360^{\circ}$ รอบแกน $x$ ระหว่าง $x=0$ และ $x=15$ จงหาปริมาตรแม่นตรง (exact) ในรูป $a\ln b$
Answershow ▾
Same moves: square $y$, integrate, apply the limits, combine the logs.ขั้นตอนเดิม: ยกกำลังสอง $y$ หาปริพันธ์ แทนขอบเขต แล้วรวม log
In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.
The diagram shows a sketch of the curve with equation $y=\dfrac{3}{\sqrt{3x+5}},\ x\geqslant0$.
The finite region $R$, shown shaded in the diagram, is bounded by the curve, the $x$-axis, the $y$-axis and the line with equation $x=5$. The region $R$ is rotated through $360^{\circ}$ about the $x$-axis.
Use integration to find the exact volume of the solid generated. Give your answer in the form $a\ln b$, where $a$ is an irrational number and $b$ is a prime number.
ในข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน คำตอบที่ได้จากเครื่องคิดเลขล้วนๆ ไม่สามารถยอมรับได้
แผนภาพแสดงสเกตช์ของเส้นโค้ง $y=\dfrac{3}{\sqrt{3x+5}},\ x\geqslant0$
บริเวณจำกัด $R$ ที่แรเงาในแผนภาพ ล้อมด้วยเส้นโค้ง แกน $x$ แกน $y$ และเส้นตรง $x=5$ บริเวณ $R$ ถูกหมุนครบ $360^{\circ}$ รอบแกน $x$
จงใช้การหาปริพันธ์เพื่อหาปริมาตร exact ของทรงตันที่เกิดขึ้น ตอบในรูป $a\ln b$ เมื่อ $a$ เป็นจำนวนอตรรกยะ (irrational number) และ $b$ เป็นจำนวนเฉพาะ (prime number)
Answershow ▾
5 marks: square $y$, integrate to a log, apply the limits $0$ and $5$, then combine into $a\ln b$.5 คะแนน: ยกกำลังสอง $y$ หาปริพันธ์เป็น log แทนขอบเขต $0$ และ $5$ แล้วรวมเป็น $a\ln b$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A curve dipping below the axis, then rotated เส้นโค้งที่จมใต้แกน แล้วหมุน
The diagram shows a sketch of part of the curve with equation $y=\mathrm{e}^{0.5x}-2$.
The region $R$, shown shaded in the diagram, is bounded by the curve, the $x$-axis and the $y$-axis. The region $R$ is rotated $360^{\circ}$ about the $x$-axis to form a solid of revolution.
Show that the volume of this solid can be written in the form $a\ln2+b$, where $a$ and $b$ are constants to be found.
แผนภาพแสดงส่วนหนึ่งของเส้นโค้ง $y=\mathrm{e}^{0.5x}-2$
บริเวณ $R$ ที่แรเงาในแผนภาพ ล้อมด้วยเส้นโค้ง แกน $x$ และแกน $y$ บริเวณ $R$ ถูกหมุนครบ $360^{\circ}$ รอบแกน $x$ เพื่อสร้างทรงตันจากการหมุน
จงแสดงว่าปริมาตรของทรงตันนี้เขียนได้ในรูป $a\ln2+b$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่ต้องหา
Solve $\mathrm{e}^{0.5x}=2$ for $x$.
จงแก้ $\mathrm{e}^{0.5x}=2$ หา $x$
Answershow ▾
Take $\ln$ of both sides, then double.ใส่ $\ln$ ทั้งสองข้าง แล้วคูณสอง
Integrate $\mathrm{e}^{0.5x}$.
จงหาปริพันธ์ $\mathrm{e}^{0.5x}$
Answershow ▾
Reverse the chain rule: divide by $0.5$, which is the same as multiplying by $2$.ย้อนกฎลูกโซ่: หารด้วย $0.5$ ซึ่งเหมือนคูณด้วย $2$
Integrate $\mathrm{e}^{x}$.
จงหาปริพันธ์ $\mathrm{e}^{x}$
Answershow ▾
$\mathrm{e}^{x}$ integrates to itself.$\mathrm{e}^{x}$ หาปริพันธ์ได้ตัวมันเอง
Pick $\left(\mathrm{e}^{0.5x}-2\right)^{2}$.
(A) $\mathrm{e}^{x}-4\mathrm{e}^{0.5x}+4$
(B) $\mathrm{e}^{0.25x}-4$
(C) $\mathrm{e}^{x}-2\mathrm{e}^{0.5x}+4$
จงเลือก $\left(\mathrm{e}^{0.5x}-2\right)^{2}$
(A) $\mathrm{e}^{x}-4\mathrm{e}^{0.5x}+4$
(B) $\mathrm{e}^{0.25x}-4$
(C) $\mathrm{e}^{x}-2\mathrm{e}^{0.5x}+4$
Answershow ▾
$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$: here $a^{2}=\mathrm{e}^{x}$ (double the exponent, not halve it), $2ab=4\mathrm{e}^{0.5x}$ and $b^{2}=4$. (B) halves the exponent instead of doubling it, and drops the middle term entirely. (C) uses $(a-b)^{2}=a^{2}-ab+b^{2}$, missing the factor of $2$ on the middle term.$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$: ที่นี่ $a^{2}=\mathrm{e}^{x}$ (เลขชี้กำลังเพิ่มเป็นสองเท่า ไม่ใช่ครึ่ง) $2ab=4\mathrm{e}^{0.5x}$ และ $b^{2}=4$ · (B) ลดเลขชี้กำลังลงครึ่งหนึ่งทั้งที่ควรเพิ่มเป็นสองเท่า และทิ้งพจน์กลางไปเลย · (C) ใช้ $(a-b)^{2}=a^{2}-ab+b^{2}$ ลืมคูณ $2$ ที่พจน์กลาง
Square $\mathrm{e}^{0.5x}-2$.
จงยกกำลังสอง $\mathrm{e}^{0.5x}-2$
Answershow ▾
Same expansion as the decision.กระจายเหมือนในขั้นเลือก
Write $V=\pi\displaystyle\int_{0}^{2\ln2}\left(\mathrm{e}^{0.5x}-2\right)^{2}dx$ using question $4$.
จงเขียน $V=\pi\displaystyle\int_{0}^{2\ln2}\left(\mathrm{e}^{0.5x}-2\right)^{2}dx$ โดยใช้ข้อ $4$
Answershow ▾
Limits $0$ (the $y$-axis) to $2\ln2$ (question $1$, where the curve meets the $x$-axis).ขอบเขต $0$ (แกน $y$) ถึง $2\ln2$ (ข้อ $1$ ที่เส้นโค้งตัดแกน $x$)
Integrate $\mathrm{e}^{x}-4\mathrm{e}^{0.5x}+4$.
จงหาปริพันธ์ $\mathrm{e}^{x}-4\mathrm{e}^{0.5x}+4$
Answershow ▾
$4\times2\mathrm{e}^{0.5x}=8\mathrm{e}^{0.5x}$, using question $2$.$4\times2\mathrm{e}^{0.5x}=8\mathrm{e}^{0.5x}$ ใช้ข้อ $2$
Evaluate $\mathrm{e}^{x}-8\mathrm{e}^{0.5x}+4x$ at $x=2\ln2$.
จงแทนค่า $\mathrm{e}^{x}-8\mathrm{e}^{0.5x}+4x$ ที่ $x=2\ln2$
Answershow ▾
$\mathrm{e}^{2\ln2}=4$ and $\mathrm{e}^{\ln2}=2$.$\mathrm{e}^{2\ln2}=4$ และ $\mathrm{e}^{\ln2}=2$
Evaluate $\mathrm{e}^{x}-8\mathrm{e}^{0.5x}+4x$ at $x=0$, then subtract to find $V$.
จงแทนค่า $\mathrm{e}^{x}-8\mathrm{e}^{0.5x}+4x$ ที่ $x=0$ แล้วลบเพื่อหา $V$
Answershow ▾
$\mathrm{e}^{0}=1$, so the lower value is $1-8+0=-7$.$\mathrm{e}^{0}=1$ ค่าขอบเขตล่างคือ $1-8+0=-7$
The curve $y=\mathrm{e}^{x}-2$ meets the $x$-axis at $x=\ln2$. The region bounded by the curve, the $x$-axis and the $y$-axis is rotated $360^{\circ}$ about the $x$-axis. Find the exact volume generated.
เส้นโค้ง $y=\mathrm{e}^{x}-2$ ตัดแกน $x$ ที่ $x=\ln2$ บริเวณที่ล้อมด้วยเส้นโค้ง แกน $x$ และแกน $y$ ถูกหมุนครบ $360^{\circ}$ รอบแกน $x$ จงหาปริมาตรแม่นตรง (exact)
Answershow ▾
Same moves: square the bracket, integrate, apply the limits $0$ and $\ln2$.ขั้นตอนเดิม: ยกกำลังสองวงเล็บ หาปริพันธ์ แล้วแทนขอบเขต $0$ และ $\ln2$
The diagram shows a sketch of part of the curve with equation $y=\mathrm{e}^{0.5x}-2$.
The region $R$, shown shaded in the diagram, is bounded by the curve, the $x$-axis and the $y$-axis. The region $R$ is rotated $360^{\circ}$ about the $x$-axis to form a solid of revolution.
Show that the volume of this solid can be written in the form $a\ln2+b$, where $a$ and $b$ are constants to be found.
แผนภาพแสดงส่วนหนึ่งของเส้นโค้ง $y=\mathrm{e}^{0.5x}-2$
บริเวณ $R$ ที่แรเงาในแผนภาพ ล้อมด้วยเส้นโค้ง แกน $x$ และแกน $y$ บริเวณ $R$ ถูกหมุนครบ $360^{\circ}$ รอบแกน $x$ เพื่อสร้างทรงตันจากการหมุน
จงแสดงว่าปริมาตรของทรงตันนี้เขียนได้ในรูป $a\ln2+b$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่ต้องหา
Answershow ▾
6 marks: find the upper limit, square the bracket, integrate, then apply the limits.6 คะแนน: หาขอบเขตบน ยกกำลังสองวงเล็บ หาปริพันธ์ แล้วแทนขอบเขต
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A trig substitution turns the root into cos การแทนค่าตรีโกณเปลี่ยนรากให้เป็น cos
Use the substitution $x=4\sin\theta$ to find the exact value of $\displaystyle\int_{2}^{2\sqrt3}\dfrac{1}{(16-x^{2})^{3/2}}\,dx$.
โดยใช้การแทนค่า $x=4\sin\theta$ จงหาค่า exact ของ $\displaystyle\int_{2}^{2\sqrt3}\dfrac{1}{(16-x^{2})^{3/2}}\,dx$
Differentiate $x=4\sin\theta$ with respect to $\theta$.
จงหาอนุพันธ์ $x=4\sin\theta$ เทียบกับ $\theta$
Answershow ▾
$\sin\theta$ differentiates to $\cos\theta$; the $4$ stays.$\sin\theta$ หาอนุพันธ์ได้ $\cos\theta$ ส่วน $4$ คงอยู่เดิม
Simplify $16-16\sin^{2}\theta$.
จงจัดรูป $16-16\sin^{2}\theta$
Answershow ▾
Factor out $16$, then use $1-\sin^{2}\theta=\cos^{2}\theta$.ดึง $16$ เป็นตัวประกอบ แล้วใช้ $1-\sin^{2}\theta=\cos^{2}\theta$
Solve $\sin\theta=\dfrac12$ for $0\leqslant\theta\leqslant\dfrac{\pi}{2}$.
จงแก้ $\sin\theta=\dfrac12$ เมื่อ $0\leqslant\theta\leqslant\dfrac{\pi}{2}$
Answershow ▾
A standard angle: $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12$.มุมมาตรฐาน: $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12$
$16-x^{2}=16\cos^{2}\theta$. Pick $(16-x^{2})^{3/2}$.
(A) $64\cos^{3}\theta$
(B) $16\cos^{3}\theta$
(C) $64\cos^{3/2}\theta$
$16-x^{2}=16\cos^{2}\theta$ จงเลือก $(16-x^{2})^{3/2}$
(A) $64\cos^{3}\theta$
(B) $16\cos^{3}\theta$
(C) $64\cos^{3/2}\theta$
Answershow ▾
The power $3/2$ applies to the WHOLE product $16\cos^{2}\theta$, so $16^{3/2}=64$ as well as $(\cos^{2}\theta)^{3/2}=\cos^{3}\theta$. (B) leaves $16$ unraised, forgetting the number also carries the power. (C) raises only the $16$ and leaves $\cos\theta$ at its old power $2$, instead of multiplying the powers $2\times\tfrac32=3$.เลขชี้กำลัง $3/2$ ใช้กับผลคูณทั้งหมด $16\cos^{2}\theta$ ดังนั้น $16^{3/2}=64$ และ $(\cos^{2}\theta)^{3/2}=\cos^{3}\theta$ด้วย · (B) ไม่ได้ยกกำลัง $16$ ลืมว่าตัวเลขก็ต้องยกกำลังด้วย · (C) ยกกำลังเฉพาะ $16$ แล้วเหลือ $\cos\theta$ ไว้ที่กำลัง $2$ เดิม ทั้งที่ควรคูณเลขชี้กำลัง $2\times\tfrac32=3$
Substitute $dx=4\cos\theta\,d\theta$ and $(16-x^{2})^{3/2}=64\cos^{3}\theta$ into the integral.
จงแทน $dx=4\cos\theta\,d\theta$ และ $(16-x^{2})^{3/2}=64\cos^{3}\theta$ ลงในปริพันธ์
Answershow ▾
The old $dx$ on top, the new denominator on the bottom.$dx$ เดิมอยู่บน ตัวส่วนใหม่อยู่ล่าง
Simplify $\dfrac{4\cos\theta}{64\cos^{3}\theta}$ to a multiple of $\sec^{2}\theta$.
จงจัดรูป $\dfrac{4\cos\theta}{64\cos^{3}\theta}$ ให้เป็นผลคูณของ $\sec^{2}\theta$
Answershow ▾
Cancel one $\cos\theta$, then write $\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}$ as $\sec^{2}\theta$.ตัด $\cos\theta$ หนึ่งตัว แล้วเขียน $\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}$ เป็น $\sec^{2}\theta$
Integrate $\dfrac{1}{16}\sec^{2}\theta$.
จงหาปริพันธ์ $\dfrac{1}{16}\sec^{2}\theta$
Answershow ▾
$\sec^{2}\theta$ integrates to $\tan\theta$; the $\dfrac{1}{16}$ stays.$\sec^{2}\theta$ หาปริพันธ์ได้ $\tan\theta$ ส่วน $\dfrac{1}{16}$ คงอยู่เดิม
Find $\theta$ when $x=2$ and when $x=2\sqrt3$, using $\sin\theta=\dfrac{x}{4}$.
จงหา $\theta$ เมื่อ $x=2$ และเมื่อ $x=2\sqrt3$ โดยใช้ $\sin\theta=\dfrac{x}{4}$
Answershow ▾
$\sin\theta=\dfrac12$ at $x=2$ (question $3$); $\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}$ at $x=2\sqrt3$, a standard angle.$\sin\theta=\dfrac12$ ที่ $x=2$ (ข้อ $3$) · $\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}$ ที่ $x=2\sqrt3$ ซึ่งเป็นมุมมาตรฐาน
Apply the limits $\dfrac{\pi}{6}$ and $\dfrac{\pi}{3}$ to $\dfrac{1}{16}\tan\theta$, to find the exact value.
จงแทนขอบเขต $\dfrac{\pi}{6}$ และ $\dfrac{\pi}{3}$ ลงใน $\dfrac{1}{16}\tan\theta$ เพื่อหาค่าแม่นตรง
Answershow ▾
$\tan\dfrac{\pi}{3}=\sqrt3$ and $\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{\sqrt3}$, both standard.$\tan\dfrac{\pi}{3}=\sqrt3$ และ $\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{\sqrt3}$ เป็นมุมมาตรฐานทั้งคู่
Use the substitution $x=2\sin\theta$ to find the exact value of $\displaystyle\int_{1}^{\sqrt2}\dfrac{1}{(4-x^{2})^{3/2}}\,dx$.
โดยใช้การแทนค่า $x=2\sin\theta$ จงหาค่าแม่นตรงของ $\displaystyle\int_{1}^{\sqrt2}\dfrac{1}{(4-x^{2})^{3/2}}\,dx$
Answershow ▾
Same moves: $dx=2\cos\theta\,d\theta$, $4-x^{2}=4\cos^{2}\theta$, giving $\dfrac14\sec^{2}\theta$.ขั้นตอนเดิม: $dx=2\cos\theta\,d\theta$, $4-x^{2}=4\cos^{2}\theta$ ได้ $\dfrac14\sec^{2}\theta$
Use the substitution $x=4\sin\theta$ to find the exact value of $\displaystyle\int_{2}^{2\sqrt3}\dfrac{1}{(16-x^{2})^{3/2}}\,dx$.
โดยใช้การแทนค่า $x=4\sin\theta$ จงหาค่า exact ของ $\displaystyle\int_{2}^{2\sqrt3}\dfrac{1}{(16-x^{2})^{3/2}}\,dx$
Answershow ▾
6 marks: set up $dx$ and the denominator in $\theta$, simplify to $\sec^{2}\theta$, then change the limits.6 คะแนน: ตั้ง $dx$ และตัวส่วนในรูป $\theta$ จัดรูปเป็น $\sec^{2}\theta$ แล้วเปลี่ยนขอบเขต
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A double angle feeds a substitution มุมสองเท่าที่นำไปสู่การแทนค่า
In this question you must show all stages of your working. Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
The diagram shows a sketch of the curve with equation $y=\dfrac{16\sin2x}{(3+4\sin x)^{2}},\ 0\leqslant x\leqslant\dfrac{\pi}{2}$.
The region $R$, shown shaded in the diagram, is bounded by the curve, the $x$-axis and the line with equation $x=\dfrac{\pi}{6}$.
Using the substitution $u=3+4\sin x$, show that the area of $R$ is $a+\ln b$, where $a$ and $b$ are rational constants to be found.
ในข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน คำตอบที่ได้จากเครื่องคิดเลขล้วนๆ ไม่สามารถยอมรับได้
แผนภาพแสดงสเกตช์ของเส้นโค้ง $y=\dfrac{16\sin2x}{(3+4\sin x)^{2}},\ 0\leqslant x\leqslant\dfrac{\pi}{2}$
บริเวณ $R$ ที่แรเงาในแผนภาพ ล้อมด้วยเส้นโค้ง แกน $x$ และเส้นตรง $x=\dfrac{\pi}{6}$
โดยใช้การแทนค่า $u=3+4\sin x$ จงแสดงว่าพื้นที่ของ $R$ คือ $a+\ln b$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่เป็นจำนวนตรรกยะ (rational) ที่ต้องหา
Differentiate $u=3+4\sin x$ with respect to $x$.
จงหาอนุพันธ์ $u=3+4\sin x$ เทียบกับ $x$
Answershow ▾
The $3$ differentiates to $0$; $4\sin x$ differentiates to $4\cos x$.$3$ หาอนุพันธ์ได้ $0$ ส่วน $4\sin x$ หาอนุพันธ์ได้ $4\cos x$
Write $16\sin2x$ using $\sin2x=2\sin x\cos x$.
จงเขียน $16\sin2x$ โดยใช้ $\sin2x=2\sin x\cos x$
Answershow ▾
$16\times2=32$.$16\times2=32$
Rearrange $u=3+4\sin x$ to write $\sin x$ in terms of $u$.
จงจัดรูป $u=3+4\sin x$ เพื่อเขียน $\sin x$ ในรูป $u$
Answershow ▾
Subtract $3$, then divide by $4$.ลบ $3$ แล้วหารด้วย $4$
$\displaystyle\int\dfrac{32\sin x\cos x}{(3+4\sin x)^{2}}\,dx$. Pick the correct full substitution in $u$.
(A) $\sin x=\dfrac{u-3}{4}$ and $\cos x\,dx=\dfrac{du}{4}$, giving $\displaystyle\int\dfrac{2(u-3)}{u^{2}}\,du$
(B) replace only $\cos x\,dx$ with $\dfrac{du}{4}$, and leave $\sin x$ as it is
(C) integrate $32\sin x\cos x$ on its own, then put $u$ in the denominator afterwards
$\displaystyle\int\dfrac{32\sin x\cos x}{(3+4\sin x)^{2}}\,dx$ จงเลือกการแทนค่าที่ครบถ้วนในรูป $u$
(A) $\sin x=\dfrac{u-3}{4}$ และ $\cos x\,dx=\dfrac{du}{4}$ ได้ $\displaystyle\int\dfrac{2(u-3)}{u^{2}}\,du$
(B) แทนเฉพาะ $\cos x\,dx$ ด้วย $\dfrac{du}{4}$ แล้วปล่อย $\sin x$ ไว้เดิม
(C) หาปริพันธ์ $32\sin x\cos x$ เดี่ยวๆก่อน แล้วค่อยใส่ $u$ ที่ตัวส่วนทีหลัง
Answershow ▾
Both $\sin x$ AND $\cos x\,dx$ must be replaced together, or $x$ never fully leaves. (B) leaves a mixed integral with both $x$ and $u$ in it. (C) cannot integrate $\sin x\cos x$ alone - the denominator is part of the SAME integral.ต้องแทนทั้ง $\sin x$ และ $\cos x\,dx$ พร้อมกัน ไม่งั้น $x$ ไม่หายไปหมด · (B) เหลือปริพันธ์ผสมที่มีทั้ง $x$ และ $u$ · (C) หาปริพันธ์ $\sin x\cos x$ เดี่ยวๆไม่ได้ เพราะตัวส่วนเป็นส่วนหนึ่งของปริพันธ์เดียวกัน
Substitute $\sin x=\dfrac{u-3}{4}$ and $\cos x\,dx=\dfrac{du}{4}$ into $\displaystyle\int\dfrac{32\sin x\cos x}{(3+4\sin x)^{2}}\,dx$.
จงแทน $\sin x=\dfrac{u-3}{4}$ และ $\cos x\,dx=\dfrac{du}{4}$ ลงใน $\displaystyle\int\dfrac{32\sin x\cos x}{(3+4\sin x)^{2}}\,dx$
Answershow ▾
$32\times\dfrac{u-3}{4}\times\dfrac14=2(u-3)$.$32\times\dfrac{u-3}{4}\times\dfrac14=2(u-3)$
Split $\dfrac{2(u-3)}{u^{2}}$ into two fractions.
จงแยก $\dfrac{2(u-3)}{u^{2}}$ เป็นสองเทอม
Answershow ▾
$\dfrac{2u}{u^{2}}-\dfrac{6}{u^{2}}$, then cancel one $u$ in the first term.$\dfrac{2u}{u^{2}}-\dfrac{6}{u^{2}}$ แล้วตัด $u$ หนึ่งตัวในเทอมแรก
Integrate $\dfrac2u-\dfrac6{u^{2}}$.
จงหาปริพันธ์ $\dfrac2u-\dfrac6{u^{2}}$
Answershow ▾
$\dfrac2u$ integrates to $2\ln u$; $-6u^{-2}$ integrates to $6u^{-1}$.$\dfrac2u$ หาปริพันธ์ได้ $2\ln u$ · $-6u^{-2}$ หาปริพันธ์ได้ $6u^{-1}$
Find $u=3+4\sin x$ when $x=0$ and when $x=\dfrac{\pi}{6}$.
จงหา $u=3+4\sin x$ เมื่อ $x=0$ และเมื่อ $x=\dfrac{\pi}{6}$
Answershow ▾
$\sin0=0$, giving $u=3$; $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12$, giving $u=3+2=5$.$\sin0=0$ ได้ $u=3$ · $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12$ ได้ $u=3+2=5$
Apply the limits $u=3$ and $u=5$ to $2\ln u+\dfrac6u$, to find the area in the form $a+\ln b$.
จงแทนขอบเขต $u=3$ และ $u=5$ ลงใน $2\ln u+\dfrac6u$ เพื่อหาพื้นที่ในรูป $a+\ln b$
Answershow ▾
$2\ln5-2\ln3=2\ln\dfrac53=\ln\dfrac{25}{9}$.$2\ln5-2\ln3=2\ln\dfrac53=\ln\dfrac{25}{9}$
Using the substitution $u=1+2\sin x$, find the area under $y=\dfrac{8\sin2x}{(1+2\sin x)^{2}}$ between $x=0$ and $x=\dfrac{\pi}{6}$, in the form $a+\ln b$.
โดยใช้การแทนค่า $u=1+2\sin x$ จงหาพื้นที่ใต้ $y=\dfrac{8\sin2x}{(1+2\sin x)^{2}}$ ระหว่าง $x=0$ และ $x=\dfrac{\pi}{6}$ ในรูป $a+\ln b$
Answershow ▾
Same moves: substitute, split into two fractions, integrate, then apply the limits $1$ and $2$.ขั้นตอนเดิม: แทนค่า แยกเป็นสองเทอม หาปริพันธ์ แล้วแทนขอบเขต $1$ และ $2$
In this question you must show all stages of your working. Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
The diagram shows a sketch of the curve with equation $y=\dfrac{16\sin2x}{(3+4\sin x)^{2}},\ 0\leqslant x\leqslant\dfrac{\pi}{2}$.
The region $R$, shown shaded in the diagram, is bounded by the curve, the $x$-axis and the line with equation $x=\dfrac{\pi}{6}$.
Using the substitution $u=3+4\sin x$, show that the area of $R$ is $a+\ln b$, where $a$ and $b$ are rational constants to be found.
ในข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน คำตอบที่ได้จากเครื่องคิดเลขล้วนๆ ไม่สามารถยอมรับได้
แผนภาพแสดงสเกตช์ของเส้นโค้ง $y=\dfrac{16\sin2x}{(3+4\sin x)^{2}},\ 0\leqslant x\leqslant\dfrac{\pi}{2}$
บริเวณ $R$ ที่แรเงาในแผนภาพ ล้อมด้วยเส้นโค้ง แกน $x$ และเส้นตรง $x=\dfrac{\pi}{6}$
โดยใช้การแทนค่า $u=3+4\sin x$ จงแสดงว่าพื้นที่ของ $R$ คือ $a+\ln b$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่เป็นจำนวนตรรกยะ (rational) ที่ต้องหา
Answershow ▾
7 marks: differentiate $u$, double angle on the numerator, full substitution, integrate, apply limits $3$ to $5$.7 คะแนน: หาอนุพันธ์ $u$ มุมสองเท่าที่ตัวเศษ แทนค่าให้ครบ หาปริพันธ์ แล้วแทนขอบเขต $3$ ถึง $5$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
By parts, then square it for a volume ส่วนต่อส่วน แล้วยกกำลังสองเพื่อหาปริมาตร
In this question you must show all stages of your working. Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
The diagram shows a sketch of part of the curve with equation $y=x\sqrt{\ln x},\ x\gt0$.
The region $R$, shown shaded in the diagram, lies entirely above the $x$-axis and is bounded by the curve, the $x$-axis and the line with equation $x=\mathrm{e}$. This region is rotated through $2\pi$ radians about the $x$-axis to form a solid of revolution.
(a) Find $\displaystyle\int x^{2}\ln x\,dx$.
(b) Find the exact volume of the solid formed, giving your answer in simplest form.
ในข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน คำตอบที่ได้จากเครื่องคิดเลขล้วนๆ ไม่สามารถยอมรับได้
แผนภาพแสดงส่วนหนึ่งของเส้นโค้ง $y=x\sqrt{\ln x},\ x\gt0$
บริเวณ $R$ อยู่เหนือแกน $x$ ทั้งหมด ล้อมด้วยเส้นโค้ง แกน $x$ และเส้นตรง $x=\mathrm{e}$ บริเวณนี้ถูกหมุนครบ $2\pi$ เรเดียน รอบแกน $x$ เพื่อสร้างทรงตันจากการหมุน
(ก) จงหา $\displaystyle\int x^{2}\ln x\,dx$
(ข) จงหาปริมาตร exact ของทรงตันที่เกิดขึ้น โดยเขียนคำตอบในรูปอย่างง่ายที่สุด
Differentiate $\ln x$.
จงหาอนุพันธ์ $\ln x$
Answershow ▾
A standard derivative.อนุพันธ์มาตรฐาน
Integrate $x^{2}$.
จงหาปริพันธ์ $x^{2}$
Answershow ▾
The power rule: add $1$ to the power, divide by the new power.กฎกำลัง: เพิ่มเลขชี้กำลัง $1$ แล้วหารด้วยเลขชี้กำลังใหม่
Simplify $\dfrac{x^{3}}{3}\times\dfrac1x$.
จงจัดรูป $\dfrac{x^{3}}{3}\times\dfrac1x$
Answershow ▾
Cancel one $x$ from $x^{3}$ with the $x$ on the bottom.ตัด $x$ หนึ่งตัวจาก $x^{3}$ กับ $x$ ที่ตัวส่วน
Pick $u$ and $\dfrac{dv}{dx}$ to integrate $x^{2}\ln x$ by parts.
(A) $u=\ln x,\ \dfrac{dv}{dx}=x^{2}$
(B) $u=x^{2},\ \dfrac{dv}{dx}=\ln x$
(C) reverse the chain rule, since $\ln x$ is the derivative of something
จงเลือก $u$ และ $\dfrac{dv}{dx}$ เพื่อหาปริพันธ์ $x^{2}\ln x$ แบบส่วนต่อส่วน
(A) $u=\ln x,\ \dfrac{dv}{dx}=x^{2}$
(B) $u=x^{2},\ \dfrac{dv}{dx}=\ln x$
(C) ย้อนกฎลูกโซ่ เพราะ $\ln x$ เป็นอนุพันธ์ของอะไรบางอย่าง
Answershow ▾
Differentiating $\ln x$ gives the simple $\dfrac1x$ (question $1$). (B) needs $\int\ln x\,dx$, itself a by-parts integral - no progress. (C) fails: $x^{2}\ln x$ is a product of two unrelated functions, not a composite function.การหาอนุพันธ์ $\ln x$ ได้ $\dfrac1x$ ที่ง่าย (ข้อ $1$) · (B) ต้องใช้ $\int\ln x\,dx$ ซึ่งเป็นปริพันธ์ส่วนต่อส่วนเองอีกที ไม่คืบหน้า · (C) ใช้ไม่ได้ เพราะ $x^{2}\ln x$ เป็นผลคูณของสองฟังก์ชันที่ไม่เกี่ยวกัน
Apply integration by parts to $\displaystyle\int x^{2}\ln x\,dx$.
จงใช้การหาปริพันธ์แบบส่วนต่อส่วนกับ $\displaystyle\int x^{2}\ln x\,dx$
Answershow ▾
$u\cdot v-\int v\,du$, with $u=\ln x$ and $v=\dfrac{x^{3}}{3}$.$u\cdot v-\int v\,du$ เมื่อ $u=\ln x$ และ $v=\dfrac{x^{3}}{3}$
Use question $3$ to simplify the remaining integral, then complete $\displaystyle\int x^{2}\ln x\,dx$.
จงใช้ข้อ $3$ จัดรูปปริพันธ์ที่เหลือ แล้วทำ $\displaystyle\int x^{2}\ln x\,dx$ ให้เสร็จ
Answershow ▾
$\int\dfrac{x^{2}}{3}\,dx=\dfrac{x^{3}}{9}$.$\int\dfrac{x^{2}}{3}\,dx=\dfrac{x^{3}}{9}$
Square $y=x\sqrt{\ln x}$.
จงยกกำลังสอง $y=x\sqrt{\ln x}$
Answershow ▾
$\left(\sqrt{\ln x}\right)^{2}=\ln x$ - the root and the square cancel.$\left(\sqrt{\ln x}\right)^{2}=\ln x$ - รากกับกำลังสองตัดกัน
Write $V=\pi\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} y^{2}\,dx$ using question $6$, then apply question $5$.
จงเขียน $V=\pi\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} y^{2}\,dx$ โดยใช้ข้อ $6$ แล้วใช้ข้อ $5$
Answershow ▾
Limits $1$ to $\mathrm{e}$: the curve meets the $x$-axis at $x=1$ (where $\ln x=0$).ขอบเขต $1$ ถึง $\mathrm{e}$: เส้นโค้งตัดแกน $x$ ที่ $x=1$ (ที่ $\ln x=0$)
Evaluate $\dfrac{x^{3}}{3}\ln x-\dfrac{x^{3}}{9}$ at $x=\mathrm{e}$ and at $x=1$, then subtract.
จงแทนค่า $\dfrac{x^{3}}{3}\ln x-\dfrac{x^{3}}{9}$ ที่ $x=\mathrm{e}$ และที่ $x=1$ แล้วลบ
Answershow ▾
$\ln\mathrm{e}=1$, so the upper value is $\dfrac{\mathrm{e}^{3}}{3}-\dfrac{\mathrm{e}^{3}}{9}=\dfrac{2\mathrm{e}^{3}}{9}$; $\ln1=0$, so the lower value is $-\dfrac19$.$\ln\mathrm{e}=1$ ค่าบนคือ $\dfrac{2\mathrm{e}^{3}}{9}$ · $\ln1=0$ ค่าล่างคือ $-\dfrac19$
(a) Find $\displaystyle\int x^{2}\ln x\,dx$. (b) The curve $y=x\sqrt{\ln x},\ x\geqslant1$ is rotated $360^{\circ}$ about the $x$-axis between $x=1$ and $x=\mathrm{e}^{2}$. Find the exact volume generated.
(ก) จงหา $\displaystyle\int x^{2}\ln x\,dx$ (ข) เส้นโค้ง $y=x\sqrt{\ln x},\ x\geqslant1$ ถูกหมุนครบ $360^{\circ}$ รอบแกน $x$ ระหว่าง $x=1$ และ $x=\mathrm{e}^{2}$ จงหาปริมาตรแม่นตรง (exact)
Answershow ▾
Same antiderivative as question $5$; only the upper limit changes, to $\mathrm{e}^{2}$.ปริพันธ์เหมือนข้อ $5$ เปลี่ยนแค่ขอบเขตบนเป็น $\mathrm{e}^{2}$
In this question you must show all stages of your working. Solutions relying on calculator technology are not acceptable.
The diagram shows a sketch of part of the curve with equation $y=x\sqrt{\ln x},\ x\gt0$.
The region $R$, shown shaded in the diagram, lies entirely above the $x$-axis and is bounded by the curve, the $x$-axis and the line with equation $x=\mathrm{e}$. This region is rotated through $2\pi$ radians about the $x$-axis to form a solid of revolution.
(a) Find $\displaystyle\int x^{2}\ln x\,dx$.
(b) Find the exact volume of the solid formed, giving your answer in simplest form.
ในข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน คำตอบที่ได้จากเครื่องคิดเลขล้วนๆ ไม่สามารถยอมรับได้
แผนภาพแสดงส่วนหนึ่งของเส้นโค้ง $y=x\sqrt{\ln x},\ x\gt0$
บริเวณ $R$ อยู่เหนือแกน $x$ ทั้งหมด ล้อมด้วยเส้นโค้ง แกน $x$ และเส้นตรง $x=\mathrm{e}$ บริเวณนี้ถูกหมุนครบ $2\pi$ เรเดียน รอบแกน $x$ เพื่อสร้างทรงตันจากการหมุน
(ก) จงหา $\displaystyle\int x^{2}\ln x\,dx$
(ข) จงหาปริมาตร exact ของทรงตันที่เกิดขึ้น โดยเขียนคำตอบในรูปอย่างง่ายที่สุด
Answershow ▾
7 marks: by parts for (a), then square $y$, apply the limits $1$ and $\mathrm{e}$ for (b).7 คะแนน: ใช้ส่วนต่อส่วนในข้อ (ก) แล้วยกกำลังสอง $y$ แทนขอบเขต $1$ และ $\mathrm{e}$ ในข้อ (ข)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Partial fractions first, then square it เศษส่วนย่อยก่อน แล้วค่อยยกกำลังสอง
The diagram shows a sketch of part of the curve with equation $y=\dfrac{3x+1}{x(x+2)},\ x\gt0$.
(a) Show that $\dfrac{3x+1}{x(x+2)}\equiv\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+2}$ where $A$ and $B$ are constants to be found.
(b) The finite region $R$, shown shaded in the diagram, is bounded by the curve, the line with equation $x=4$, the $x$-axis and the line with equation $x=1$. This region is rotated through $2\pi$ radians about the $x$-axis to form a solid of revolution. Use the answer to part (a) and algebraic integration to find the exact volume of the solid generated, giving your answer in the form $\pi(p+q\ln2)$ where $p$ and $q$ are rational constants.
แผนภาพแสดงส่วนหนึ่งของเส้นโค้ง $y=\dfrac{3x+1}{x(x+2)},\ x\gt0$
(ก) จงแสดงว่า $\dfrac{3x+1}{x(x+2)}\equiv\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+2}$ เมื่อ $A$ และ $B$ เป็นค่าคงที่ต้องหา
(ข) บริเวณจำกัด $R$ ที่แรเงาในแผนภาพ ล้อมด้วยเส้นโค้ง เส้นตรง $x=4$ แกน $x$ และเส้นตรง $x=1$ บริเวณนี้ถูกหมุนครบ $2\pi$ เรเดียน รอบแกน $x$ เพื่อสร้างทรงตันจากการหมุน จงใช้คำตอบข้อ (a) และการหาปริพันธ์เชิงพีชคณิต (algebraic integration) เพื่อหาปริมาตร exact ของทรงตันที่เกิดขึ้น ตอบในรูป $\pi(p+q\ln2)$ เมื่อ $p$ และ $q$ เป็นค่าคงที่เป็นจำนวนตรรกยะ
Multiply both sides of $\dfrac{3x+1}{x(x+2)}\equiv\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+2}$ by $x(x+2)$.
จงคูณทั้งสองข้างของ $\dfrac{3x+1}{x(x+2)}\equiv\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+2}$ ด้วย $x(x+2)$
Answershow ▾
Multiplying by $x(x+2)$ clears every denominator.คูณด้วย $x(x+2)$ ทำให้ตัวส่วนหมดไปทุกตัว
Substitute $x=0$ into $3x+1\equiv A(x+2)+Bx$ to find $A$.
จงแทน $x=0$ ใน $3x+1\equiv A(x+2)+Bx$ เพื่อหา $A$
Answershow ▾
$x=0$ makes the $B$ term vanish.$x=0$ ทำให้พจน์ $B$ หายไป
Substitute $x=-2$ into $3x+1\equiv A(x+2)+Bx$ to find $B$.
จงแทน $x=-2$ ใน $3x+1\equiv A(x+2)+Bx$ เพื่อหา $B$
Answershow ▾
$x=-2$ makes the $A$ term vanish.$x=-2$ ทำให้พจน์ $A$ หายไป
$y=\dfrac{1}{2x}+\dfrac{5}{2(x+2)}$. Pick $y^{2}$.
(A) $\dfrac{1}{4x^{2}}+\dfrac{5}{2x(x+2)}+\dfrac{25}{4(x+2)^{2}}$
(B) $\dfrac{1}{4x^{2}}+\dfrac{25}{4(x+2)^{2}}$
(C) $\dfrac{1}{2x^{2}}+\dfrac{5}{x(x+2)}+\dfrac{25}{2(x+2)^{2}}$
$y=\dfrac{1}{2x}+\dfrac{5}{2(x+2)}$ จงเลือก $y^{2}$
(A) $\dfrac{1}{4x^{2}}+\dfrac{5}{2x(x+2)}+\dfrac{25}{4(x+2)^{2}}$
(B) $\dfrac{1}{4x^{2}}+\dfrac{25}{4(x+2)^{2}}$
(C) $\dfrac{1}{2x^{2}}+\dfrac{5}{x(x+2)}+\dfrac{25}{2(x+2)^{2}}$
Answershow ▾
$(p+q)^{2}=p^{2}+2pq+q^{2}$ - squaring a SUM of two fractions always makes three terms, including the cross term $2pq$. (B) drops that cross term entirely. (C) halves each denominator instead of squaring it: $\left(\dfrac{1}{2x}\right)^{2}=\dfrac{1}{4x^{2}}$, not $\dfrac{1}{2x^{2}}$.$(p+q)^{2}=p^{2}+2pq+q^{2}$ - ยกกำลังสองผลบวกของสองเศษส่วนจะได้สามเทอมเสมอ รวมพจน์กลาง $2pq$ · (B) ทิ้งพจน์กลางไปเลย · (C) หารตัวส่วนครึ่งหนึ่งแทนการยกกำลังสอง: $\left(\dfrac{1}{2x}\right)^{2}=\dfrac{1}{4x^{2}}$ ไม่ใช่ $\dfrac{1}{2x^{2}}$
Square $y=\dfrac{1}{2x}+\dfrac{5}{2(x+2)}$.
จงยกกำลังสอง $y=\dfrac{1}{2x}+\dfrac{5}{2(x+2)}$
Answershow ▾
Same expansion as the decision.กระจายเหมือนในขั้นเลือก
Write $\dfrac{1}{x(x+2)}$ as partial fractions.
จงเขียน $\dfrac{1}{x(x+2)}$ เป็นเศษส่วนย่อย
Answershow ▾
Same method as questions $1$-$3$, with numerator $1$ instead of $3x+1$.วิธีเดียวกับข้อ $1$-$3$ แต่ตัวเศษเป็น $1$ แทน $3x+1$
Use question $5$ to integrate $y^{2}=\dfrac{1}{4x^{2}}+\dfrac{5}{2x(x+2)}+\dfrac{25}{4(x+2)^{2}}$.
จงใช้ข้อ $5$ หาปริพันธ์ $y^{2}=\dfrac{1}{4x^{2}}+\dfrac{5}{2x(x+2)}+\dfrac{25}{4(x+2)^{2}}$
Answershow ▾
$\dfrac52\times\dfrac12=\dfrac54$ in front of the combined log.$\dfrac52\times\dfrac12=\dfrac54$ อยู่หน้า log ที่รวมแล้ว
Apply the limits $1$ and $4$ to $V=\pi\int y^{2}\,dx$.
จงแทนขอบเขต $1$ และ $4$ ลงใน $V=\pi\int y^{2}\,dx$
Answershow ▾
Square brackets around question $6$, limits $1$ to $4$.ใส่วงเล็บเหลี่ยมคร่อมคำตอบข้อ $6$ ขอบเขต $1$ ถึง $4$
Evaluate at $x=4$ and $x=1$, then subtract, to write $V$ in the form $\pi(p+q\ln2)$.
จงแทนค่าที่ $x=4$ และ $x=1$ แล้วลบ เพื่อเขียน $V$ ในรูป $\pi(p+q\ln2)$
Answershow ▾
$\ln\dfrac23-\ln\dfrac13=\ln2$.$\ln\dfrac23-\ln\dfrac13=\ln2$
(a) Show that $\dfrac{2x+1}{x(x+1)}\equiv\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+1}$ where $A$ and $B$ are constants to be found. (b) The curve $y=\dfrac{2x+1}{x(x+1)}$ is rotated $360^{\circ}$ about the $x$-axis between $x=1$ and $x=2$. Find the exact volume generated.
(ก) จงแสดงว่า $\dfrac{2x+1}{x(x+1)}\equiv\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+1}$ เมื่อ $A$ และ $B$ เป็นค่าคงที่ (ข) เส้นโค้ง $y=\dfrac{2x+1}{x(x+1)}$ ถูกหมุนครบ $360^{\circ}$ รอบแกน $x$ ระหว่าง $x=1$ และ $x=2$ จงหาปริมาตรแม่นตรง (exact)
Answershow ▾
Same moves: find $A,B$, square, split the cross term, integrate, apply the limits.ขั้นตอนเดิม: หา $A,B$ ยกกำลังสอง แยกพจน์กลาง หาปริพันธ์ แล้วแทนขอบเขต
The diagram shows a sketch of part of the curve with equation $y=\dfrac{3x+1}{x(x+2)},\ x\gt0$.
(a) Show that $\dfrac{3x+1}{x(x+2)}\equiv\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+2}$ where $A$ and $B$ are constants to be found.
(b) The finite region $R$, shown shaded in the diagram, is bounded by the curve, the line with equation $x=4$, the $x$-axis and the line with equation $x=1$. This region is rotated through $2\pi$ radians about the $x$-axis to form a solid of revolution. Use the answer to part (a) and algebraic integration to find the exact volume of the solid generated, giving your answer in the form $\pi(p+q\ln2)$ where $p$ and $q$ are rational constants.
แผนภาพแสดงส่วนหนึ่งของเส้นโค้ง $y=\dfrac{3x+1}{x(x+2)},\ x\gt0$
(ก) จงแสดงว่า $\dfrac{3x+1}{x(x+2)}\equiv\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+2}$ เมื่อ $A$ และ $B$ เป็นค่าคงที่ต้องหา
(ข) บริเวณจำกัด $R$ ที่แรเงาในแผนภาพ ล้อมด้วยเส้นโค้ง เส้นตรง $x=4$ แกน $x$ และเส้นตรง $x=1$ บริเวณนี้ถูกหมุนครบ $2\pi$ เรเดียน รอบแกน $x$ เพื่อสร้างทรงตันจากการหมุน จงใช้คำตอบข้อ (a) และการหาปริพันธ์เชิงพีชคณิต (algebraic integration) เพื่อหาปริมาตร exact ของทรงตันที่เกิดขึ้น ตอบในรูป $\pi(p+q\ln2)$ เมื่อ $p$ และ $q$ เป็นค่าคงที่เป็นจำนวนตรรกยะ
Answershow ▾
8 marks: find $A,B$ for (a); square $y$, split the cross term, integrate, apply the limits for (b).8 คะแนน: หา $A,B$ ในข้อ (ก) ยกกำลังสอง $y$ แยกพจน์กลาง หาปริพันธ์ แทนขอบเขตในข้อ (ข)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Square it, then by parts twice ยกกำลังสอง แล้วส่วนต่อส่วนสองครั้ง
Figure 3 shows the design of a doorknob. The shape of the doorknob is formed by rotating the curve shown in Figure 4 through $360^{\circ}$ about the $x$-axis, where the units are centimetres. The equation of the curve is given by $\mathrm{f}(x)=\dfrac14(4-x)\mathrm{e}^{x},\ 0\leqslant x\leqslant4$.
(a) Show that the volume, $V\text{cm}^{3}$, of the doorknob is given by $V=K\displaystyle\int_{0}^{4}\left(x^{2}-8x+16\right)\mathrm{e}^{2x}\,dx$ where $K$ is a constant to be found.
(b) Hence, find the exact value of the volume of the doorknob. Give your answer in the form $p\pi\left(\mathrm{e}^{q}+r\right)\text{cm}^{3}$ where $p$, $q$ and $r$ are simplified rational numbers to be found.
รูปที่ 3 แสดงการออกแบบลูกบิดประตู รูปทรงของลูกบิดประตูเกิดจากการหมุนเส้นโค้งในรูปที่ 4 ครบ $360^{\circ}$ รอบแกน $x$ โดยหน่วยเป็นเซนติเมตร สมการของเส้นโค้งคือ $\mathrm{f}(x)=\dfrac14(4-x)\mathrm{e}^{x},\ 0\leqslant x\leqslant4$
(ก) จงแสดงว่าปริมาตร $V$ ลูกบาศก์เซนติเมตร ของลูกบิดประตูคือ $V=K\displaystyle\int_{0}^{4}\left(x^{2}-8x+16\right)\mathrm{e}^{2x}\,dx$ เมื่อ $K$ เป็นค่าคงที่ต้องหา
(ข) จากนั้นจงหาค่า exact ของปริมาตรของลูกบิดประตู โดยเขียนคำตอบในรูป $p\pi\left(\mathrm{e}^{q}+r\right)\text{cm}^{3}$ เมื่อ $p$, $q$ และ $r$ เป็นจำนวนตรรกยะที่ทำให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำที่สุดที่ต้องหา
Square $4-x$.
จงยกกำลังสอง $4-x$
Answershow ▾
Write it as two brackets; the middle term comes twice.เขียนเป็นสองวงเล็บ · พจน์กลางมาสองครั้ง
Square $\mathrm{e}^{x}$.
จงยกกำลังสอง $\mathrm{e}^{x}$
Answershow ▾
Squaring doubles the exponent.ยกกำลังสองทำให้เลขชี้กำลังเพิ่มเป็นสองเท่า
Integrate $\mathrm{e}^{2x}$.
จงหาปริพันธ์ $\mathrm{e}^{2x}$
Answershow ▾
Reverse the chain rule: divide by $2$.ย้อนกฎลูกโซ่: หารด้วย $2$
$\mathrm{f}(x)=\dfrac14(4-x)\mathrm{e}^{x}$. Pick $K$ in $V=K\displaystyle\int_{0}^{4}(x^{2}-8x+16)\mathrm{e}^{2x}\,dx$.
(A) $K=\dfrac{\pi}{16}$
(B) $K=\dfrac{\pi}{4}$
(C) $K=\dfrac{\pi}{8}$
$\mathrm{f}(x)=\dfrac14(4-x)\mathrm{e}^{x}$ จงเลือก $K$ ใน $V=K\displaystyle\int_{0}^{4}(x^{2}-8x+16)\mathrm{e}^{2x}\,dx$
(A) $K=\dfrac{\pi}{16}$
(B) $K=\dfrac{\pi}{4}$
(C) $K=\dfrac{\pi}{8}$
Answershow ▾
$V=\pi\int\mathrm{f}(x)^{2}\,dx$, and $\mathrm{f}(x)^{2}=\dfrac{1}{16}(4-x)^{2}\mathrm{e}^{2x}$ - the $\dfrac14$ must be SQUARED to $\dfrac{1}{16}$. (B) uses $\dfrac14$ unsquared. (C) squares it only halfway, as if an extra factor of $2$ appeared from somewhere.$V=\pi\int\mathrm{f}(x)^{2}\,dx$ และ $\mathrm{f}(x)^{2}=\dfrac{1}{16}(4-x)^{2}\mathrm{e}^{2x}$ - $\dfrac14$ ต้องถูกยกกำลังสองเป็น $\dfrac{1}{16}$ · (B) ใช้ $\dfrac14$ โดยไม่ยกกำลังสอง · (C) ยกกำลังสองได้ครึ่งเดียว เหมือนมีตัวคูณ $2$ โผล่มาจากที่ไหนก็ไม่รู้
Square $\mathrm{f}(x)=\dfrac14(4-x)\mathrm{e}^{x}$, then identify $K$.
จงยกกำลังสอง $\mathrm{f}(x)=\dfrac14(4-x)\mathrm{e}^{x}$ แล้วระบุ $K$
Answershow ▾
Use question $1$ for $(4-x)^{2}$.ใช้ข้อ $1$ สำหรับ $(4-x)^{2}$
Integrate $(x^{2}-8x+16)\mathrm{e}^{2x}$ by parts once.
จงหาปริพันธ์ $(x^{2}-8x+16)\mathrm{e}^{2x}$ แบบส่วนต่อส่วนครั้งแรก
Answershow ▾
$u=x^{2}-8x+16,\ \dfrac{dv}{dx}=\mathrm{e}^{2x}$; differentiating $u$ gives $2x-8$, and $\dfrac12(2x-8)=x-4$.$u=x^{2}-8x+16,\ \dfrac{dv}{dx}=\mathrm{e}^{2x}$ · หาอนุพันธ์ $u$ ได้ $2x-8$ และ $\dfrac12(2x-8)=x-4$
Integrate $(x-4)\mathrm{e}^{2x}$ by parts, then write the complete antiderivative of $(x^{2}-8x+16)\mathrm{e}^{2x}$.
จงหาปริพันธ์ $(x-4)\mathrm{e}^{2x}$ แบบส่วนต่อส่วน แล้วเขียนปริพันธ์เต็มของ $(x^{2}-8x+16)\mathrm{e}^{2x}$
Answershow ▾
$\int(x-4)\mathrm{e}^{2x}\,dx=\dfrac12(x-4)\mathrm{e}^{2x}-\dfrac14\mathrm{e}^{2x}$, then subtract from question $5$.$\int(x-4)\mathrm{e}^{2x}\,dx=\dfrac12(x-4)\mathrm{e}^{2x}-\dfrac14\mathrm{e}^{2x}$ แล้วนำไปลบในข้อ $5$
Apply the limits $0$ and $4$ to $V=\dfrac{\pi}{16}\left[\left(\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{9x}{2}+\dfrac{41}{4}\right)\mathrm{e}^{2x}\right]$.
จงแทนขอบเขต $0$ และ $4$ ลงใน $V=\dfrac{\pi}{16}\left[\left(\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{9x}{2}+\dfrac{41}{4}\right)\mathrm{e}^{2x}\right]$
Answershow ▾
Square brackets around question $6$, limits $0$ to $4$.ใส่วงเล็บเหลี่ยมคร่อมคำตอบข้อ $6$ ขอบเขต $0$ ถึง $4$
Evaluate $\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{9x}{2}+\dfrac{41}{4}$ at $x=4$ and at $x=0$, then combine to find $V$.
จงแทนค่า $\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{9x}{2}+\dfrac{41}{4}$ ที่ $x=4$ และที่ $x=0$ แล้วรวมเพื่อหา $V$
Answershow ▾
$8-18+\dfrac{41}{4}=\dfrac14$; at $x=0$ the value is $\dfrac{41}{4}$.$8-18+\dfrac{41}{4}=\dfrac14$ · ที่ $x=0$ ค่าคือ $\dfrac{41}{4}$
A shape is modelled by $\mathrm{g}(x)=\dfrac13(3-x)\mathrm{e}^{x},\ 0\leqslant x\leqslant3$, rotated $360^{\circ}$ about the $x$-axis. (a) Show that the volume is $V=K\displaystyle\int_{0}^{3}(x^{2}-6x+9)\mathrm{e}^{2x}\,dx$, finding $K$. (b) Find the exact volume.
รูปทรงจำลองด้วย $\mathrm{g}(x)=\dfrac13(3-x)\mathrm{e}^{x},\ 0\leqslant x\leqslant3$ หมุนครบ $360^{\circ}$ รอบแกน $x$ (ก) จงแสดงว่าปริมาตร $V=K\displaystyle\int_{0}^{3}(x^{2}-6x+9)\mathrm{e}^{2x}\,dx$ พร้อมหาค่า $K$ (ข) จงหาปริมาตรแม่นตรง (exact)
Answershow ▾
Same mechanism: square $\mathrm{g}$, by parts twice, apply the limits $0$ and $3$.กลไกเดิม: ยกกำลังสอง $\mathrm{g}$ ส่วนต่อส่วนสองครั้ง แล้วแทนขอบเขต $0$ และ $3$
Figure 3 shows the design of a doorknob. The shape of the doorknob is formed by rotating the curve shown in Figure 4 through $360^{\circ}$ about the $x$-axis, where the units are centimetres. The equation of the curve is given by $\mathrm{f}(x)=\dfrac14(4-x)\mathrm{e}^{x},\ 0\leqslant x\leqslant4$.
(a) Show that the volume, $V\text{cm}^{3}$, of the doorknob is given by $V=K\displaystyle\int_{0}^{4}\left(x^{2}-8x+16\right)\mathrm{e}^{2x}\,dx$ where $K$ is a constant to be found.
(b) Hence, find the exact value of the volume of the doorknob. Give your answer in the form $p\pi\left(\mathrm{e}^{q}+r\right)\text{cm}^{3}$ where $p$, $q$ and $r$ are simplified rational numbers to be found.
รูปที่ 3 แสดงการออกแบบลูกบิดประตู รูปทรงของลูกบิดประตูเกิดจากการหมุนเส้นโค้งในรูปที่ 4 ครบ $360^{\circ}$ รอบแกน $x$ โดยหน่วยเป็นเซนติเมตร สมการของเส้นโค้งคือ $\mathrm{f}(x)=\dfrac14(4-x)\mathrm{e}^{x},\ 0\leqslant x\leqslant4$
(ก) จงแสดงว่าปริมาตร $V$ ลูกบาศก์เซนติเมตร ของลูกบิดประตูคือ $V=K\displaystyle\int_{0}^{4}\left(x^{2}-8x+16\right)\mathrm{e}^{2x}\,dx$ เมื่อ $K$ เป็นค่าคงที่ต้องหา
(ข) จากนั้นจงหาค่า exact ของปริมาตรของลูกบิดประตู โดยเขียนคำตอบในรูป $p\pi\left(\mathrm{e}^{q}+r\right)\text{cm}^{3}$ เมื่อ $p$, $q$ และ $r$ เป็นจำนวนตรรกยะที่ทำให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำที่สุดที่ต้องหา
Answershow ▾
8 marks: square $\mathrm{f}(x)$ to find $K$, by parts twice, then apply the limits $0$ and $4$.8 คะแนน: ยกกำลังสอง $\mathrm{f}(x)$ เพื่อหา $K$ ส่วนต่อส่วนสองครั้ง แล้วแทนขอบเขต $0$ และ $4$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A substitution feeds straight into by parts การแทนค่าที่นำไปสู่ส่วนต่อส่วนต่อ
In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.
(a) Using the substitution $u=\sqrt{2x+1}$, show that $\displaystyle\int_{4}^{12}\dfrac{8x+4}{\sqrt{2x+1}}\,\mathrm{e}^{\sqrt{2x+1}}\,dx$ may be expressed in the form $k\displaystyle\int_{a}^{b}u^{2}\mathrm{e}^{u}\,du$ where $a$, $b$ and $k$ are constants to be found.
(b) Hence find, by algebraic integration, the exact value of $\displaystyle\int_{4}^{12}\dfrac{8x+4}{\sqrt{2x+1}}\,\mathrm{e}^{\sqrt{2x+1}}\,dx$, giving your answer in simplest form.
ในข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน คำตอบที่ได้จากเครื่องคิดเลขล้วนๆ ไม่สามารถยอมรับได้
(ก) โดยใช้การแทนค่า $u=\sqrt{2x+1}$ จงแสดงว่า $\displaystyle\int_{4}^{12}\dfrac{8x+4}{\sqrt{2x+1}}\,\mathrm{e}^{\sqrt{2x+1}}\,dx$ สามารถเขียนในรูป $k\displaystyle\int_{a}^{b}u^{2}\mathrm{e}^{u}\,du$ เมื่อ $a$, $b$ และ $k$ เป็นค่าคงที่ต้องหา
(ข) จากนั้นโดยการหาปริพันธ์เชิงพีชคณิต จงหาค่า exact ของ $\displaystyle\int_{4}^{12}\dfrac{8x+4}{\sqrt{2x+1}}\,\mathrm{e}^{\sqrt{2x+1}}\,dx$ โดยเขียนคำตอบในรูปอย่างง่ายที่สุด
Find $u=\sqrt{2x+1}$ when $x=4$ and when $x=12$.
จงหา $u=\sqrt{2x+1}$ เมื่อ $x=4$ และเมื่อ $x=12$
Answershow ▾
$2(4)+1=9$ and $2(12)+1=25$, both perfect squares.$2(4)+1=9$ และ $2(12)+1=25$ เป็นจำนวนยกกำลังสองสมบูรณ์ทั้งคู่
Rearrange $u^{2}=2x+1$ to write $x$ in terms of $u$.
จงจัดรูป $u^{2}=2x+1$ เพื่อเขียน $x$ ในรูป $u$
Answershow ▾
Subtract $1$, then divide by $2$.ลบ $1$ แล้วหารด้วย $2$
Differentiate $x=\dfrac{u^{2}-1}{2}$ with respect to $u$, to find $dx$.
จงหาอนุพันธ์ $x=\dfrac{u^{2}-1}{2}$ เทียบกับ $u$ เพื่อหา $dx$
Answershow ▾
$\dfrac{dx}{du}=u$, so $dx=u\,du$.$\dfrac{dx}{du}=u$ ดังนั้น $dx=u\,du$
$2x+1=u^{2}$. Pick how to write $8x+4$ in terms of $u$.
(A) $8x+4=4(2x+1)=4u^{2}$
(B) $8x+4=4u^{2}-1$
(C) $8x+4=2u^{2}+4$
$2x+1=u^{2}$ จงเลือกวิธีเขียน $8x+4$ ในรูป $u$
(A) $8x+4=4(2x+1)=4u^{2}$
(B) $8x+4=4u^{2}-1$
(C) $8x+4=2u^{2}+4$
Answershow ▾
$8x+4=4(2x+1)$, and $2x+1$ equals $u^{2}$ exactly, so the $4$ carries straight across. (B) substitutes $x=\dfrac{u^{2}-1}{2}$ but drops a term. (C) uses $u$ where it should use $u^{2}$.$8x+4=4(2x+1)$ และ $2x+1$ เท่ากับ $u^{2}$ พอดี $4$ จึงยกมาได้ตรงๆ · (B) แทน $x=\dfrac{u^{2}-1}{2}$ แต่ทำพจน์หายไป · (C) ใช้ $u$ ทั้งที่ควรใช้ $u^{2}$
Write $8x+4$ in terms of $u$.
จงเขียน $8x+4$ ในรูป $u$
Answershow ▾
Same factoring as the decision.แยกตัวประกอบเหมือนในขั้นเลือก
Substitute $4u^{2}$, $\sqrt{2x+1}=u$ and $dx=u\,du$ into $\displaystyle\int\dfrac{8x+4}{\sqrt{2x+1}}\,\mathrm{e}^{\sqrt{2x+1}}\,dx$, and simplify to a single power of $u$.
จงแทน $4u^{2}$, $\sqrt{2x+1}=u$ และ $dx=u\,du$ ใน $\displaystyle\int\dfrac{8x+4}{\sqrt{2x+1}}\,\mathrm{e}^{\sqrt{2x+1}}\,dx$ แล้วจัดรูปให้เหลือ $u$ กำลังเดียว
Answershow ▾
$\dfrac{4u^{2}}{u}\cdot u=4u^{2}$ - the $u$ from $dx$ cancels the $u$ in the denominator.$\dfrac{4u^{2}}{u}\cdot u=4u^{2}$ - $u$ จาก $dx$ กับตัวส่วนตัดกัน
Integrate $u^{2}\mathrm{e}^{u}$ by parts once.
จงหาปริพันธ์ $u^{2}\mathrm{e}^{u}$ แบบส่วนต่อส่วนครั้งแรก
Answershow ▾
$u=u^{2},\ \dfrac{dv}{du}=\mathrm{e}^{u}$; differentiating $u^{2}$ gives $2u$.$u=u^{2},\ \dfrac{dv}{du}=\mathrm{e}^{u}$ · หาอนุพันธ์ $u^{2}$ ได้ $2u$
Integrate $2u\,\mathrm{e}^{u}$ by parts, then write the complete antiderivative of $u^{2}\mathrm{e}^{u}$.
จงหาปริพันธ์ $2u\,\mathrm{e}^{u}$ แบบส่วนต่อส่วน แล้วเขียนปริพันธ์เต็มของ $u^{2}\mathrm{e}^{u}$
Answershow ▾
$\int2u\,\mathrm{e}^{u}\,du=2u\mathrm{e}^{u}-2\mathrm{e}^{u}$, then subtract from question $6$.$\int2u\,\mathrm{e}^{u}\,du=2u\mathrm{e}^{u}-2\mathrm{e}^{u}$ แล้วนำไปลบในข้อ $6$
Apply the limits $3$ and $5$ to $4\left(u^{2}-2u+2\right)\mathrm{e}^{u}$, to find the exact value.
จงแทนขอบเขต $3$ และ $5$ ลงใน $4\left(u^{2}-2u+2\right)\mathrm{e}^{u}$ เพื่อหาค่าแม่นตรง
Answershow ▾
$u=5:\ 25-10+2=17$; $u=3:\ 9-6+2=5$.$u=5$: $25-10+2=17$ · $u=3$: $9-6+2=5$
Using the substitution $u=\sqrt{x+1}$, find the exact value of $\displaystyle\int_{0}^{8}\dfrac{2x+2}{\sqrt{x+1}}\,\mathrm{e}^{\sqrt{x+1}}\,dx$.
โดยใช้การแทนค่า $u=\sqrt{x+1}$ จงหาค่าแม่นตรงของ $\displaystyle\int_{0}^{8}\dfrac{2x+2}{\sqrt{x+1}}\,\mathrm{e}^{\sqrt{x+1}}\,dx$
Answershow ▾
Same moves: $x=u^{2}-1$, $dx=2u\,du$, $2x+2=2u^{2}$, giving $4\displaystyle\int u^{2}\mathrm{e}^{u}\,du$.ขั้นตอนเดิม: $x=u^{2}-1$, $dx=2u\,du$, $2x+2=2u^{2}$ ได้ $4\displaystyle\int u^{2}\mathrm{e}^{u}\,du$
In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.
(a) Using the substitution $u=\sqrt{2x+1}$, show that $\displaystyle\int_{4}^{12}\dfrac{8x+4}{\sqrt{2x+1}}\,\mathrm{e}^{\sqrt{2x+1}}\,dx$ may be expressed in the form $k\displaystyle\int_{a}^{b}u^{2}\mathrm{e}^{u}\,du$ where $a$, $b$ and $k$ are constants to be found.
(b) Hence find, by algebraic integration, the exact value of $\displaystyle\int_{4}^{12}\dfrac{8x+4}{\sqrt{2x+1}}\,\mathrm{e}^{\sqrt{2x+1}}\,dx$, giving your answer in simplest form.
ในข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน คำตอบที่ได้จากเครื่องคิดเลขล้วนๆ ไม่สามารถยอมรับได้
(ก) โดยใช้การแทนค่า $u=\sqrt{2x+1}$ จงแสดงว่า $\displaystyle\int_{4}^{12}\dfrac{8x+4}{\sqrt{2x+1}}\,\mathrm{e}^{\sqrt{2x+1}}\,dx$ สามารถเขียนในรูป $k\displaystyle\int_{a}^{b}u^{2}\mathrm{e}^{u}\,du$ เมื่อ $a$, $b$ และ $k$ เป็นค่าคงที่ต้องหา
(ข) จากนั้นโดยการหาปริพันธ์เชิงพีชคณิต จงหาค่า exact ของ $\displaystyle\int_{4}^{12}\dfrac{8x+4}{\sqrt{2x+1}}\,\mathrm{e}^{\sqrt{2x+1}}\,dx$ โดยเขียนคำตอบในรูปอย่างง่ายที่สุด
Answershow ▾
9 marks: new limits in $u$, full substitution to $4\int u^{2}\mathrm{e}^{u}\,du$, by parts twice, then apply the limits.9 คะแนน: ขอบเขตใหม่ในรูป $u$ แทนค่าให้ครบเป็น $4\int u^{2}\mathrm{e}^{u}\,du$ ส่วนต่อส่วนสองครั้ง แล้วแทนขอบเขต
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A parametric region, then a Cartesian curve บริเวณพารามิตริก แล้วเส้นโค้งคาร์ทีเซียน
The diagram shows a sketch of the curve $C$ with parametric equations $x=2\cos2t,\ y=4\sin t,\ 0\leqslant t\leqslant\dfrac{\pi}{2}$.
The region $R$, shown shaded in the diagram, is bounded by the curve, the $x$-axis and the $y$-axis.
(a) (i) Show, making your working clear, that the area of $R=\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} 32\sin^{2}t\cos t\,dt$.
(ii) Hence find, by algebraic integration, the exact value of the area of $R$.
(b) Show that all points on $C$ satisfy $y=\sqrt{ax+b}$, where $a$ and $b$ are constants to be found.
(c) The curve $C$ has equation $y=\mathrm{f}(x)$ where $\mathrm{f}$ is the function $\mathrm{f}(x)=\sqrt{ax+b},\ -2\leqslant x\leqslant2$ and $a$ and $b$ are the constants found in part (b). State the range of $\mathrm{f}$.
แผนภาพแสดงสเกตช์ของเส้นโค้ง $C$ ที่มีสมการพารามิตริก $x=2\cos2t,\ y=4\sin t,\ 0\leqslant t\leqslant\dfrac{\pi}{2}$
บริเวณ $R$ ที่แรเงาในแผนภาพ ล้อมด้วยเส้นโค้ง แกน $x$ และแกน $y$
(ก) (i) จงแสดงวิธีทำอย่างชัดเจน ว่าพื้นที่ของ $R=\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} 32\sin^{2}t\cos t\,dt$
(ii) จากนั้นโดยการหาปริพันธ์เชิงพีชคณิต จงหาค่า exact ของพื้นที่ของ $R$
(ข) จงแสดงว่าทุกจุดบน $C$ สอดคล้องกับ $y=\sqrt{ax+b}$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่ต้องหา
(ค) เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=\mathrm{f}(x)$ เมื่อ $\mathrm{f}$ คือฟังก์ชัน $\mathrm{f}(x)=\sqrt{ax+b},\ -2\leqslant x\leqslant2$ โดย $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่หาได้จากข้อ (b) จงระบุเรนจ์ (range) ของ $\mathrm{f}$
Differentiate $x=2\cos2t$ with respect to $t$.
จงหาอนุพันธ์ $x=2\cos2t$ เทียบกับ $t$
Answershow ▾
$\cos2t$ differentiates to $-2\sin2t$; the $2$ stays.$\cos2t$ หาอนุพันธ์ได้ $-2\sin2t$ ส่วน $2$ คงอยู่เดิม
Write $\sin2t$ using $\sin2t=2\sin t\cos t$.
จงเขียน $\sin2t$ โดยใช้ $\sin2t=2\sin t\cos t$
Answershow ▾
The standard double angle identity.เอกลักษณ์มุมสองเท่ามาตรฐาน
State the exact value of $\sin\dfrac{\pi}{4}$.
จงระบุค่าแม่นตรงของ $\sin\dfrac{\pi}{4}$
Answershow ▾
A standard angle, half way between $0$ and $\sin$ and $\cos$ equal.มุมมาตรฐาน ที่ $\sin$ กับ $\cos$ เท่ากัน
The area under $y=\mathrm{f}(x)$ is $\int y\,dx$. As $t$ runs $0\to\dfrac{\pi}{4}$, $x$ DECREASES from $2$ to $0$. Pick the correct area, in terms of $t$.
(A) Area $=-\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} y\,\dfrac{dx}{dt}\,dt$
(B) Area $=\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} y\,\dfrac{dx}{dt}\,dt$
(C) Area $=\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} y\,dt$
พื้นที่ใต้ $y=\mathrm{f}(x)$ คือ $\int y\,dx$ เมื่อ $t$ วิ่งจาก $0\to\dfrac{\pi}{4}$ ค่า $x$ ลดลงจาก $2$ เป็น $0$ จงเลือกพื้นที่ที่ถูกต้อง ในรูป $t$
(A) พื้นที่ $=-\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} y\,\dfrac{dx}{dt}\,dt$
(B) พื้นที่ $=\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} y\,\dfrac{dx}{dt}\,dt$
(C) พื้นที่ $=\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} y\,dt$
Answershow ▾
$\dfrac{dx}{dt}=-4\sin2t$ is negative on $\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right)$, so the minus sign is needed to make the area positive. (B) gives a negative number. (C) replaces $dx$ with $dt$ directly, skipping the chain rule - they are not the same size.$\dfrac{dx}{dt}=-4\sin2t$ เป็นค่าลบบน $\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right)$ เพราะ $x$ ลดลงที่ช่วงนี้ พื้นที่จริงต้องเป็นบวก จึงต้องมีเครื่องหมายลบมาหักกับค่าลบนั้น · (B) ได้ค่าลบ ซึ่งเป็นพื้นที่ไม่ได้ · (C) แทน $dx$ ด้วย $dt$ ตรงๆ ข้ามกฎลูกโซ่ไปเลย ทั้งที่ $dx$ กับ $dt$ ไม่ได้มีขนาดเท่ากัน
Write $y\,\dfrac{dx}{dt}$, then apply the minus sign from the decision and the double angle identity.
จงเขียน $y\,\dfrac{dx}{dt}$ แล้วใส่เครื่องหมายลบจากขั้นเลือก และใช้เอกลักษณ์มุมสองเท่า
Answershow ▾
$y\,\dfrac{dx}{dt}=4\sin t\times(-4\sin2t)=-16\sin t\sin2t$, so $-y\,\dfrac{dx}{dt}=16\sin t(2\sin t\cos t)$.$y\,\dfrac{dx}{dt}=4\sin t\times(-4\sin2t)=-16\sin t\sin2t$ ดังนั้น $-y\,\dfrac{dx}{dt}=16\sin t(2\sin t\cos t)$
Find $(x,y)$ at $t=0$ and at $t=\dfrac{\pi}{4}$.
จงหา $(x,y)$ ที่ $t=0$ และที่ $t=\dfrac{\pi}{4}$
Answershow ▾
$t=0$ is where the curve meets the $x$-axis; $t=\dfrac{\pi}{4}$ is where it meets the $y$-axis.$t=0$ คือจุดที่เส้นโค้งตัดแกน $x$ · $t=\dfrac{\pi}{4}$ คือจุดที่ตัดแกน $y$
Integrate $32\sin^{2}t\cos t$.
จงหาปริพันธ์ $32\sin^{2}t\cos t$
Answershow ▾
The reverse chain rule: $\cos t$ is the derivative of $\sin t$, times $\sin^{2}t$.ย้อนกฎลูกโซ่: $\sin^{2}t\cos t$ มาจากอนุพันธ์ของ $\sin t$ คูณด้วย $\sin^{2}t$
Apply the limits $0$ and $\dfrac{\pi}{4}$ to $\dfrac{32}{3}\sin^{3}t$, to find the exact area of $R$.
จงแทนขอบเขต $0$ และ $\dfrac{\pi}{4}$ ลงใน $\dfrac{32}{3}\sin^{3}t$ เพื่อหาพื้นที่แม่นตรงของ $R$
Answershow ▾
$\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ (question $3$), and $\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^{3}=\dfrac{\sqrt2}{4}$.$\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ (ข้อ $3$) และ $\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^{3}=\dfrac{\sqrt2}{4}$
Use $x=2\cos2t=2(1-2\sin^{2}t)$ to write $y^{2}$ in terms of $x$, hence find $y=\sqrt{ax+b}$.
จงใช้ $x=2\cos2t=2(1-2\sin^{2}t)$ เพื่อเขียน $y^{2}$ ในรูป $x$ แล้วหา $y=\sqrt{ax+b}$
Answershow ▾
$\sin^{2}t=\dfrac{2-x}{4}$, and $y^{2}=16\sin^{2}t$.$\sin^{2}t=\dfrac{2-x}{4}$ และ $y^{2}=16\sin^{2}t$
The curve $C$ has parametric equations $x=3\cos2t,\ y=6\sin t,\ 0\leqslant t\leqslant\dfrac{\pi}{2}$. Region $R$ is bounded by the curve, the $x$-axis and the $y$-axis. Find the exact area of $R$, and show that all points on $C$ satisfy $y=\sqrt{ax+b}$.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการพารามิตริก $x=3\cos2t,\ y=6\sin t,\ 0\leqslant t\leqslant\dfrac{\pi}{2}$ บริเวณ $R$ ล้อมด้วยเส้นโค้ง แกน $x$ และแกน $y$ จงหาพื้นที่แม่นตรงของ $R$ และแสดงว่าทุกจุดบน $C$ สอดคล้องกับ $y=\sqrt{ax+b}$
Answershow ▾
Same moves: the sign for the area, then $\sin^{2}t$ in terms of $x$.ขั้นตอนเดิม: ใส่เครื่องหมายสำหรับพื้นที่ แล้วเขียน $\sin^{2}t$ ในรูป $x$
The diagram shows a sketch of the curve $C$ with parametric equations $x=2\cos2t,\ y=4\sin t,\ 0\leqslant t\leqslant\dfrac{\pi}{2}$.
The region $R$, shown shaded in the diagram, is bounded by the curve, the $x$-axis and the $y$-axis.
(a) (i) Show, making your working clear, that the area of $R=\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} 32\sin^{2}t\cos t\,dt$.
(ii) Hence find, by algebraic integration, the exact value of the area of $R$.
(b) Show that all points on $C$ satisfy $y=\sqrt{ax+b}$, where $a$ and $b$ are constants to be found.
(c) The curve $C$ has equation $y=\mathrm{f}(x)$ where $\mathrm{f}$ is the function $\mathrm{f}(x)=\sqrt{ax+b},\ -2\leqslant x\leqslant2$ and $a$ and $b$ are the constants found in part (b). State the range of $\mathrm{f}$.
แผนภาพแสดงสเกตช์ของเส้นโค้ง $C$ ที่มีสมการพารามิตริก $x=2\cos2t,\ y=4\sin t,\ 0\leqslant t\leqslant\dfrac{\pi}{2}$
บริเวณ $R$ ที่แรเงาในแผนภาพ ล้อมด้วยเส้นโค้ง แกน $x$ และแกน $y$
(ก) (i) จงแสดงวิธีทำอย่างชัดเจน ว่าพื้นที่ของ $R=\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} 32\sin^{2}t\cos t\,dt$
(ii) จากนั้นโดยการหาปริพันธ์เชิงพีชคณิต จงหาค่า exact ของพื้นที่ของ $R$
(ข) จงแสดงว่าทุกจุดบน $C$ สอดคล้องกับ $y=\sqrt{ax+b}$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่ต้องหา
(ค) เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=\mathrm{f}(x)$ เมื่อ $\mathrm{f}$ คือฟังก์ชัน $\mathrm{f}(x)=\sqrt{ax+b},\ -2\leqslant x\leqslant2$ โดย $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่หาได้จากข้อ (b) จงระบุเรนจ์ (range) ของ $\mathrm{f}$
Answershow ▾
10 marks: the sign for the area, integrate, apply the limits for (a); Cartesian form for (b); the range for (c).10 คะแนน: เครื่องหมายของพื้นที่ หาปริพันธ์ แทนขอบเขตในข้อ (ก) · รูปคาร์ทีเซียนในข้อ (ข) · เรนจ์ในข้อ (ค)