Parametric equations · practice ladders ชุดไต่ระดับ · สมการอิงตัวแปรเสริม
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Parametric equations · the tangent at a point
A curve $C$ has parametric equations $x = \cos t, \quad y = \sin 2t$.
(a) Find $\dfrac{dx}{dt}$ and $\dfrac{dy}{dt}$.
(b) Hence find $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $t$.
(c) Find the equation of the tangent to $C$ at the point where $t = \frac{\pi}{2}$, giving your answer in the form $y = mx + c$.
Given $x = 2t^{3}$, find $\dfrac{dx}{dt}$.
กำหนด $x = 2t^{3}$ จงหา $\dfrac{dx}{dt}$
Answershow ▾
Exactly the power rule, but with $t$ in place of $x$: multiply by the power, then reduce the power by 1.
Given $y = 2t^{2} - t$, find $\dfrac{dy}{dt}$.
กำหนด $y = 2t^{2} - t$ จงหา $\dfrac{dy}{dt}$
Answershow ▾
Differentiate term by term, exactly as with $x$: a constant multiple of $t$ differentiates to that constant.
For a curve given parametrically, $\dfrac{dx}{dt} = 4$ and $\dfrac{dy}{dt} = 5$ at some point. A student writes $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dx/dt}{dy/dt}$ $= \frac{4}{5}$. Explain the mistake, and give the correct value of $\dfrac{dy}{dx}$.
อนุพันธ์แบบพาราเมทริก $\dfrac{dx}{dt} = 4$ และ $\dfrac{dy}{dt} = 5$ ณ จุดหนึ่ง นักเรียนคนหนึ่งเขียน $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dx/dt}{dy/dt}$ จงอธิบายข้อผิดพลาด และหาค่าที่ถูกต้องของ $\dfrac{dy}{dx}$
Answershow ▾
This is the single most common slip in parametric differentiation: $\dfrac{dy}{dx}$ is $\dfrac{dy}{dt}$ divided by $\dfrac{dx}{dt}$ — $y$ over $x$, always in that order, never the other way round.
Write the chain rule for a parametric curve, then say which of these two is $\dfrac{dy}{dx}$ and what the other one is:
(A) $\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ (B) $\dfrac{dx/dt}{dy/dt}$
Give a one-second check you can run on any answer that tells you if it has been inverted.
จงเขียนกฎลูกโซ่สำหรับเส้นโค้งเชิงอิงตัวแปรเสริม แล้วบอกว่าข้อไหนคือ $\dfrac{dy}{dx}$ และอีกข้อคืออะไร
(A) $\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ (B) $\dfrac{dx/dt}{dy/dt}$
แล้วบอกวิธีตรวจภายในหนึ่งวินาทีว่าคำตอบถูกกลับเศษส่วนหรือไม่
Answershow ▾
Both fractions are made of the same two derivatives, both are perfectly meaningful, and only one is what you were asked for. The mnemonic is in the notation itself: $\dfrac{dy}{dx}$ has $y$ upstairs, so $\dfrac{dy}{dt}$ goes upstairs. Inverting is the commonest single error in parametric work because the result still looks like a gradient and still gives a plausible tangent. Here the two answers would be $2$ and $\tfrac12$. The M1 pays for the quotient; nothing pays for which way up.เศษส่วนทั้งสองสร้างจากอนุพันธ์สองตัวเดียวกัน มีความหมายทั้งคู่ และมีข้อเดียวที่ตรงกับที่โจทย์ถาม · ตัวช่วยจำอยู่ในสัญกรณ์เอง: $\dfrac{dy}{dx}$ มี $y$ อยู่ข้างบน ดังนั้น $\dfrac{dy}{dt}$ ก็อยู่ข้างบน · การกลับเศษส่วนคือความผิดพลาดเดี่ยวที่พบบ่อยที่สุดของงานเชิงอิงตัวแปรเสริม เพราะผลลัพธ์ยังดูเหมือนความชันและยังให้เส้นสัมผัสที่ดูสมเหตุสมผล · ที่นี่คำตอบสองแบบคือ $2$ กับ $\tfrac12$ · M1 ให้กับผลหาร ไม่มีคะแนนให้กับการกลับหัวกลับหาง
A curve $C$ has parametric equations $x = \cos t, \quad y = \sin 2t$. Find $\dfrac{dx}{dt}$ and $\dfrac{dy}{dt}$.
Answershow ▾
Same two moves as questions 1 and 2, applied to the real equations of $C$. This is part (a).
Given $\dfrac{dx}{dt} = -\sin t$ and $\dfrac{dy}{dt} = 2\cos 2t$, find $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $t$.
Answershow ▾
Divide $\dfrac{dy}{dt}$ by $\dfrac{dx}{dt}$ — not the other way round, as question 3 warned. This is part (b).
The curve $C$ above has a point $P$ where $t = \frac{\pi}{2}$. Find the coordinates of $P$.
เส้นโค้ง $C$ ข้างต้นมีจุด $P$ เมื่อ $t = \frac{\pi}{2}$ จงหาพิกัดของจุด $P$
Answershow ▾
Substitute $t = \frac{\pi}{2}$ into the ORIGINAL equations for $x$ and $y$ — not into $\dfrac{dy}{dx}$.
At $t = \frac{\pi}{2}$ you need a point and a gradient. Which expressions do you substitute $t = \frac{\pi}{2}$ into for each, and what would you get if you swapped them over? Write both correct substitutions out.
ที่ $t = \frac{\pi}{2}$ ต้องหาทั้งจุดและความชัน · จะแทน $t = \frac{\pi}{2}$ ลงในนิพจน์ไหนสำหรับแต่ละอย่าง และถ้าสลับกันจะได้อะไร · จงเขียนการแทนค่าที่ถูกทั้งสองแบบออกมา
Answershow ▾
Three different expressions are all functions of $t$ and all waiting for the same number, so it is easy to feed $t$ into the wrong one. The coordinates always come from the equations the curve was DEFINED by; the gradient always comes from the derivative. Nothing in the working looks wrong if you mix them, and part (c) then builds a line through the wrong point with the wrong slope. The B1 pays for the coordinates and the A1 for the gradient, each for its own value.นิพจน์สามอันเป็นฟังก์ชันของ $t$ ทั้งหมด และรอตัวเลขตัวเดียวกัน จึงป้อน $t$ ผิดที่ได้ง่าย · พิกัดมาจากสมการที่ใช้ "นิยาม" เส้นโค้งเสมอ ส่วนความชันมาจากอนุพันธ์เสมอ · ถ้าสลับกัน จะไม่มีอะไรในงานที่ดูผิด แล้วข้อ (c) จะสร้างเส้นผ่านจุดผิดด้วยความชันผิด · B1 ให้กับพิกัด และ A1 ให้กับความชัน แยกกันคนละค่า
Given $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2\cos 2t}{\sin t}$, find the gradient of $C$ at the point where $t = \frac{\pi}{2}$.
Answershow ▾
Substitute $t = \frac{\pi}{2}$ into $\dfrac{dy}{dx}$, exactly as question 6 substituted into $x$ and $y$.
The tangent is asked for in the form $y = mx + c$. The point is the origin and the gradient is $2$. Write the tangent, and say what the value of $c$ is and why the origin makes it that. Then say what you would write if the point had been $(1,\,3)$ instead.
โจทย์ขอเส้นสัมผัส ในรูป $y = mx + c$ · จุดคือจุดกำเนิด และความชันคือ $2$ · จงเขียนเส้นสัมผัส บอกค่าของ $c$ และบอกว่าทำไมจุดกำเนิดทำให้เป็นค่านั้น · แล้วบอกว่าถ้าจุดเป็น $(1,\,3)$ จะเขียนอย่างไร
Answershow ▾
“In the form $y = mx + c$” forbids leaving the answer as $y - 0 = 2(x - 0)$, and it also means $c$ has to be stated even when it is zero — writing $y = 2x$ says $c = 0$ perfectly well, but writing $y - 0 = 2(x - 0)$ does not. A curve that crosses itself, as this one does at the origin, has two different tangents there; the parameter value is what tells you which of the two the question means. The A1 is for the equation in the stated form."ในรูป $y = mx + c$" ห้ามทิ้งคำตอบไว้เป็น $y - 0 = 2(x - 0)$ และยังหมายความว่าต้องบอกค่า $c$ แม้มันจะเป็นศูนย์ · การเขียน $y = 2x$ บอกว่า $c = 0$ ได้ดีอยู่แล้ว แต่การเขียน $y - 0 = 2(x - 0)$ ไม่ได้บอก · เส้นโค้งที่ตัดตัวเองอย่างเส้นนี้ที่จุดกำเนิด มีเส้นสัมผัสสองเส้นตรงนั้น และค่าของตัวแปรเสริมคือสิ่งที่บอกว่าโจทย์หมายถึงเส้นไหน · A1 ให้กับสมการในรูปที่สั่งไว้
$C$ has a point $P(0,\,0)$, and the gradient of $C$ at $P$ is $2$. Find the equation of the tangent to $C$ at $P$, giving your answer in the form $y = mx + c$.
Answershow ▾
$y - 0 = 2(x - 0)$, then rearrange to $y = mx + c$ — the same mechanics as a Pure 1 tangent, once the point and gradient are known.
A curve $C$ has parametric equations $x = \cos t, \quad y = \sin 2t$.
(a) Find $\dfrac{dx}{dt}$ and $\dfrac{dy}{dt}$.
(b) Find $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $t$.
(c) Find the equation of the tangent to $C$ at the point where $t = \frac{\pi}{2}$, giving your answer in the form $y = mx + c$.
Answershow ▾
Same three parts as the exam question, but with the smallest numbers that still make every step genuine.
A curve $C$ has parametric equations $x = \cos t, \quad y = \sin 2t$.
(a) Find $\dfrac{dx}{dt}$ and $\dfrac{dy}{dt}$.
(b) Hence find $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $t$.
(c) Find the equation of the tangent to $C$ at the point where $t = \frac{\pi}{2}$, giving your answer in the form $y = mx + c$.
Answershow ▾
7 marks. Question 4 is part (a); question 5 is part (b); questions 6, 7 and 8 build part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Parametric equations · converting to cartesian, and axis crossings
A curve $C$ has parametric equations $x = 6\cos t$, $y = 3\sin t$, for $0 \le t \le \dfrac{\pi}{2}$.
(a) Show that a cartesian equation for $C$ can be written as $\dfrac{x^2}{36} + \dfrac{y^2}{9} = 1$.
(b) Write down the range of values of $x$, and the range of values of $y$, for which this cartesian equation represents $C$.
(c) Find the coordinates of the points where $C$ crosses the coordinate axes.
A curve has parametric equations $x = t - 1$, $y = t^2$. Eliminate $t$ to find $y$ in terms of $x$.
เส้นโค้งมีสมการพาราเมทริก $x = t - 1$, $y = t^2$ จงกำจัด $t$ เพื่อหา $y$ ในเทอมของ $x$
Answershow ▾
Rearrange the simpler equation for $t$, then substitute into the other — the general method for eliminating a parameter, whether or not trig functions are involved.
Given $\cos\theta = \dfrac{X}{2}$ and $\sin\theta = \dfrac{Y}{5}$, use $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ to find an equation connecting $X$ and $Y$.
กำหนด $\cos\theta = \dfrac{X}{2}$ และ $\sin\theta = \dfrac{Y}{5}$ จงใช้ $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ หาความสัมพันธ์ ระหว่าง $X$ และ $Y$
Answershow ▾
Square both given equations and add — the identity $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ is exactly what makes the parameter $\theta$ disappear.
$\theta$ ranges over $0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$. Write down the range of values of $\sin\theta$, and the range of values of $\cos\theta$, over this interval.
$\theta$ อยู่ในช่วง $0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$ จงหาพิสัยของ $\sin\theta$ และพิสัยของ $\cos\theta$ ในช่วงนี้
Answershow ▾
Both $\sin$ and $\cos$ move monotonically (with no turning point) between $0$ and $\dfrac{\pi}{2}$, so the range is just the two values at the ends of the interval.
To eliminate $t$ from $x = 6\cos t$, $y = 3\sin t$, which identity do you reach for, and what has to be true of the two expressions before it can be used? Say why rearranging one equation for $t$ and substituting, as in question 1, is a poor idea here.
การกำจัด $t$ จาก $x = 6\cos t$, $y = 3\sin t$ ต้องหยิบเอกลักษณ์ข้อไหน และนิพจน์ทั้งสองต้องอยู่ในรูปใดก่อนจึงจะใช้ได้ · บอกด้วยว่าทำไมการจัดรูปสมการหนึ่งเพื่อหา $t$ แล้วแทนค่าอย่างข้อ 1 จึงไม่ใช่ความคิดที่ดีที่นี่
Answershow ▾
The identity is the tool that makes a trigonometric parameter disappear without an inverse function appearing, and it only works on $\cos t$ and $\sin t$ standing alone — which is why both equations are divided by their coefficients first. Squaring and adding then does the whole job in one line. Question 1 taught the general method; recognising that this question wants the other one is the decision, and part (a) is a “show that” whose marks are for the algebra, not the plan.เอกลักษณ์คือเครื่องมือที่ทำให้ตัวแปรเสริมเชิงตรีโกณหายไปโดยไม่มีฟังก์ชันผกผันโผล่มา และใช้ได้เฉพาะเมื่อ $\cos t$ กับ $\sin t$ อยู่โดด ๆ ซึ่งเป็นเหตุผลที่ต้องหารสมการทั้งสองด้วยสัมประสิทธิ์ก่อน · จากนั้นยกกำลังสองแล้วบวกกันก็จบในบรรทัดเดียว · ข้อ 1 สอนวิธีทั่วไป การรู้ว่าข้อนี้ต้องการอีกวิธีคือการตัดสินใจ และข้อ (a) เป็นแบบ "show that" ที่ให้คะแนนกับพีชคณิต ไม่ใช่กับแผน
A curve $C$ has $x = 6\cos t$, $y = 3\sin t$. Write $\cos t$ and $\sin t$ in terms of $x$ and $y$.
Answershow ▾
Divide each equation through by the coefficient of the trig function — the same move as question 2, with the real numbers.
Given $\cos t = \dfrac{x}{6}$ and $\sin t = \dfrac{y}{3}$, use $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ to find a cartesian equation for $C$.
Answershow ▾
Same move as question 2. This completes part (a).
$C$ has $x = 6\cos t$, $y = 3\sin t$, for $0 \le t \le \dfrac{\pi}{2}$. Write down the range of values of $x$, and the range of values of $y$, on $C$.
Answershow ▾
Question 3's ranges for $\sin$ and $\cos$, scaled by the amplitudes — this is part (b), and it is the part most often skipped.
The cartesian equation $\dfrac{x^2}{36} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ describes a whole ellipse, but $C$ is only part of it. Which piece of the ORIGINAL information restricts it, and what are the two ranges it forces? Say what is lost if part (b) is skipped.
สมการคาร์ทีเซียน $\dfrac{x^2}{36} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ บรรยายวงรีทั้งวง แต่ $C$ เป็นเพียงส่วนหนึ่งของมัน · ข้อมูลส่วนใดในโจทย์เดิมเป็นตัวจำกัด และมันบังคับช่วงสองช่วงใด · บอกด้วยว่าถ้าข้ามข้อ (b) ไปจะเสียอะไร
Answershow ▾
Eliminating the parameter throws away everything the parameter knew, including how far it was allowed to run. The cartesian equation on its own is a bigger curve than $C$, and it is part (b) that cuts it back down. This is the part candidates most often skip, and it is the part part (c) depends on entirely. The B1 marks are for the two ranges; nothing pays for noticing that information was lost in part (a).การกำจัดตัวแปรเสริมทิ้งทุกอย่างที่ตัวแปรเสริมรู้ไปด้วย รวมทั้งขอบเขตที่มันวิ่งได้ · สมการคาร์ทีเซียนลำพังเป็นเส้นโค้งที่ใหญ่กว่า $C$ และข้อ (b) คือสิ่งที่ตัดมันกลับลงมา · นี่คือข้อที่ผู้เข้าสอบข้ามบ่อยที่สุด และเป็นข้อที่ข้อ (c) พึ่งพาทั้งหมด · คะแนน B1 ให้กับช่วงสองช่วง ไม่มีคะแนนให้กับการสังเกตว่าข้อมูลหายไปตั้งแต่ข้อ (a)
$C$ has cartesian equation $\dfrac{x^2}{36} + \dfrac{y^2}{9} = 1$, with $0 \le x \le 6$. Find where $C$ crosses the $x$-axis.
$C$ มีสมการคาร์ทีเซียน $\dfrac{x^2}{36} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ โดย $0 \le x \le 6$ จงหาจุดที่ $C$ ตัดแกน $x$
Answershow ▾
Set $y = 0$: the equation gives $x = \pm6$, but $0 \le x \le 6$ rules out $x = -6$ — always check a candidate solution against the range from part (b) before accepting it.
Setting $y = 0$ in the cartesian equation gives $x = \pm 6$, and setting $x = 0$ gives $y = \pm 3$ — four candidate points. Which two survive, which test do you apply, and what does each rejected point correspond to on the full ellipse?
การแทน $y = 0$ ในสมการคาร์ทีเซียนได้ $x = \pm 6$ และแทน $x = 0$ ได้ $y = \pm 3$ รวมสี่จุดที่เป็นไปได้ · จุดไหนรอดสองจุด ใช้การทดสอบอะไร และจุดที่ถูกตัดแต่ละจุดตรงกับจุดใดบนวงรีเต็มวง
Answershow ▾
The square root in the cartesian equation manufactures a partner for every genuine solution, and only the range from part (b) can tell them apart. Both rejected points are perfectly good points of the ellipse; they are simply not points of $C$, because the parameter never reaches them. Writing all four would be wrong, and writing two without saying why the others go is a half answer. The A1 marks are for the two surviving points; the test that removed the others earns nothing.รากที่สองในสมการคาร์ทีเซียนสร้างคู่หูขึ้นมาให้ทุกคำตอบจริง และมีแต่ช่วงจากข้อ (b) เท่านั้นที่แยกมันออกจากกันได้ · จุดที่ถูกตัดทั้งสองเป็นจุดของวงรีที่ถูกต้องสมบูรณ์ เพียงแต่ไม่ใช่จุดของ $C$ เพราะตัวแปรเสริมไปไม่ถึง · การเขียนครบสี่จุดคือผิด และการเขียนสองจุดโดยไม่บอกว่าทำไมอีกสองจุดหายไปคือตอบครึ่งเดียว · คะแนน A1 ให้กับจุดสองจุดที่รอด การทดสอบที่ตัดจุดอื่นออกไม่ได้คะแนน
$C$ has cartesian equation $\dfrac{x^2}{36} + \dfrac{y^2}{9} = 1$, with $0 \le y \le 3$. Find where $C$ crosses the $y$-axis.
Answershow ▾
Set $x = 0$: the equation gives $y = \pm3$, but $0 \le y \le 3$ rules out $y = -3$ — the same check as question 7, applied to the other axis.
A curve $C$ has parametric equations $x = 2\cos t$, $y = 1\sin t$, for $0 \le t \le \dfrac{\pi}{2}$.
(a) Show that a cartesian equation for $C$ can be written as $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$.
(b) Write down the range of values of $x$, and of $y$, on $C$.
(c) Find the coordinates of the points where $C$ crosses the coordinate axes.
Answershow ▾
Same three parts, small numbers throughout.
A curve $C$ has parametric equations $x = 6\cos t$, $y = 3\sin t$, for $0 \le t \le \dfrac{\pi}{2}$.
(a) Show that a cartesian equation for $C$ can be written as $\dfrac{x^2}{36} + \dfrac{y^2}{9} = 1$.
(b) Write down the range of values of $x$, and the range of values of $y$, for which this cartesian equation represents $C$.
(c) Find the coordinates of the points where $C$ crosses the coordinate axes.
Answershow ▾
7 marks. Questions 4 and 5 build part (a); question 6 is part (b); questions 7 and 8 build part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Making t the subject, twice over หา t เป็นตัวตั้งสองรอบ
A curve $C$ has parametric equations $x=\dfrac{t}{t-3}$, $y=\dfrac1t+2$, $t\in\mathbb{R}$, $t>3$. Show that all points on $C$ lie on the curve with Cartesian equation $y=\dfrac{ax-1}{bx}$, where $a$ and $b$ are constants to be found.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการอิงตัวแปรเสริม $x=\dfrac{t}{t-3}$, $y=\dfrac1t+2$, $t\in\mathbb{R}$, $t>3$ จงแสดงว่าทุกจุดบน $C$ อยู่บนเส้นโค้งที่มีสมการคาร์ทีเซียน $y=\dfrac{ax-1}{bx}$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่ที่ต้องหา
Make $t$ the subject of $x=\dfrac{t}{t-3}$.
จงหา $t$ จากสมการ $x=\dfrac{t}{t-3}$
Answershow ▾
Cross-multiply, then collect every $t$ term on one side.คูณไขว้ แล้วรวมพจน์ $t$ ไว้ฝั่งเดียว
Write $\dfrac1t$ as a fraction in $x$, given $t=\dfrac{3x}{x-1}$.
จงเขียน $\dfrac1t$ เป็นเศษส่วนของ $x$ เมื่อ $t=\dfrac{3x}{x-1}$
Answershow ▾
Flipping a fraction swaps its top and its bottom.การกลับเศษส่วน คือสลับเศษกับส่วน
Write $\dfrac{x-1}{3x}+2$ as a single fraction.
จงเขียน $\dfrac{x-1}{3x}+2$ เป็นเศษส่วนเดียว
Answershow ▾
Give $2$ the same denominator, $3x$, then add the numerators.ทำให้ $2$ มีตัวส่วนเดียวกันคือ $3x$ แล้วบวกตัวเศษ
You have $t=\dfrac{3x}{x-1}$ from the $x$ equation. Pick the next move.
(A) substitute this expression for $t$ into $y=\dfrac1t+2$
(B) substitute this expression for $t$ into $x=\dfrac{t}{t-3}$ again
(C) set $t=\dfrac{3x}{x-1}$ equal to $y=\dfrac1t+2$ without substituting
ได้ $t=\dfrac{3x}{x-1}$ จากสมการ $x$ แล้ว จงเลือกขั้นต่อไป
(A) แทนนิพจน์นี้ลงใน $t$ ของ $y=\dfrac1t+2$
(B) แทนนิพจน์นี้ลงใน $t$ ของ $x=\dfrac{t}{t-3}$ อีกครั้ง
(C) ให้ $t=\dfrac{3x}{x-1}$ เท่ากับ $y=\dfrac1t+2$ โดยไม่แทนค่า
Answershow ▾
(B) puts the $x$ equation back into itself and gives nothing new. (C) writes an equation between $t$ and the whole expression for $y$, which mixes a value of $t$ with a value of $y$ - substituting is what removes $t$.(B) แทนสมการ $x$ กลับเข้าไปในตัวเอง ไม่ได้อะไรใหม่ · (C) ตั้งสมการระหว่าง $t$ กับนิพจน์ $y$ ทั้งหมด ซึ่งปนค่า $t$ กับค่า $y$ เข้าด้วยกัน การแทนค่าเท่านั้นที่กำจัด $t$ ทิ้งได้
Make $t$ the subject of $x=\dfrac{t}{t-3}$.
จงหา $t$ จากสมการ $x=\dfrac{t}{t-3}$
Answershow ▾
Same working as question $1$.ขั้นตอนเดียวกับข้อ $1$
Substitute $t=\dfrac{3x}{x-1}$ into $y=\dfrac1t+2$.
จงแทน $t=\dfrac{3x}{x-1}$ ลงใน $y=\dfrac1t+2$
Answershow ▾
Flip $t$ first, the same move as question $2$.กลับเศษส่วน $t$ ก่อน ขั้นตอนเดียวกับข้อ $2$
Simplify $\dfrac{x-1}{3x}+2$ to show $y=\dfrac{7x-1}{3x}$.
จงตัดทอน $\dfrac{x-1}{3x}+2$ เพื่อแสดงว่า $y=\dfrac{7x-1}{3x}$
Answershow ▾
Same combine as question $3$.การรวมเศษส่วนแบบเดียวกับข้อ $3$
Write $y=\dfrac{7x-1}{3x}$ in the form $y=\dfrac{ax-1}{bx}$ and state $a$ and $b$.
จงเขียน $y=\dfrac{7x-1}{3x}$ ในรูป $y=\dfrac{ax-1}{bx}$ แล้วระบุค่า $a$ และ $b$
Answershow ▾
Match the $x$-coefficient on top to $a$, and the number on the bottom to $b$.จับคู่สัมประสิทธิ์ $x$ บนเศษกับ $a$ และตัวเลขที่ส่วนกับ $b$
Check that $t=4$ gives a point on $C$ that fits $y=\dfrac{7x-1}{3x}$.
จงตรวจว่าค่า $t=4$ ให้จุดบน $C$ ที่เป็นจริงกับ $y=\dfrac{7x-1}{3x}$
Answershow ▾
Work out $x$ and $y$ from $t=4$, then put that $x$ into the Cartesian equation.หาค่า $x$ และ $y$ จาก $t=4$ แล้วแทน $x$ นั้นในสมการคาร์ทีเซียน
A curve $C$ has parametric equations $x=\dfrac{t}{t-2}$, $y=\dfrac1t+1$, $t>2$. Show that all points on $C$ lie on the curve with Cartesian equation $y=\dfrac{ax-1}{bx}$, where $a$ and $b$ are constants.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการอิงตัวแปรเสริม $x=\dfrac{t}{t-2}$, $y=\dfrac1t+1$, $t>2$ จงแสดงว่าทุกจุดบน $C$ อยู่บนเส้นโค้งที่มีสมการคาร์ทีเซียน $y=\dfrac{ax-1}{bx}$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่
Answershow ▾
Same four moves: make $t$ the subject, flip it, substitute, combine.สี่ขั้นตอนเดิม: หา $t$ เป็นตัวตั้ง กลับเศษส่วน แทนค่า แล้วรวมเศษส่วน
A curve $C$ has parametric equations $x=\dfrac{t}{t-3}$, $y=\dfrac1t+2$, $t\in\mathbb{R}$, $t>3$. Show that all points on $C$ lie on the curve with Cartesian equation $y=\dfrac{ax-1}{bx}$, where $a$ and $b$ are constants to be found.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการอิงตัวแปรเสริม $x=\dfrac{t}{t-3}$, $y=\dfrac1t+2$, $t\in\mathbb{R}$, $t>3$ จงแสดงว่าทุกจุดบน $C$ อยู่บนเส้นโค้งที่มีสมการคาร์ทีเซียน $y=\dfrac{ax-1}{bx}$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่ที่ต้องหา
Answershow ▾
3 marks: make $t$ the subject, substitute, then simplify into one fraction.3 คะแนน: หา $t$ เป็นตัวตั้ง แทนค่า แล้วตัดทอนเป็นเศษส่วนเดียว
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two fractions that are secretly one line เศษส่วนสองตัวที่แท้จริงเป็นเส้นตรงเดียว
A set of points $P(x,y)$ is defined by the parametric equations $x=\dfrac{t-1}{2t+1}$, $y=\dfrac{t+6}{2t+1}$, $t\ne-\dfrac12$.
(a) Show that all points $P(x,y)$ lie on a straight line.
(b) Hence or otherwise, find the $x$ coordinate of the point of intersection of this line and the line with equation $y=x+12$.
จุดชุดหนึ่ง $P(x,y)$ นิยามด้วยสมการอิงตัวแปรเสริม $x=\dfrac{t-1}{2t+1}$, $y=\dfrac{t+6}{2t+1}$, $t\ne-\dfrac12$
(ก) จงแสดงว่าทุกจุด $P(x,y)$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
(ข) จากข้อ (a) หรือวิธีอื่น จงหาพิกัด $x$ ของจุดตัดระหว่างเส้นตรงนี้กับเส้นตรงที่มีสมการ $y=x+12$
Make $t$ the subject of $x=\dfrac{t-1}{2t+1}$.
จงหา $t$ จากสมการ $x=\dfrac{t-1}{2t+1}$
Answershow ▾
Cross-multiply, then collect every $t$ term on one side.คูณไขว้ แล้วรวมพจน์ $t$ ไว้ฝั่งเดียว
Make $t$ the subject of $y=\dfrac{t+6}{2t+1}$.
จงหา $t$ จากสมการ $y=\dfrac{t+6}{2t+1}$
Answershow ▾
Same cross-multiply, this time with $y$.คูณไขว้แบบเดียวกัน คราวนี้ใช้ $y$
Cross-multiply $\dfrac{1+x}{1-2x}=\dfrac{6-y}{2y-1}$.
จงคูณไขว้ $\dfrac{1+x}{1-2x}=\dfrac{6-y}{2y-1}$
Answershow ▾
Multiply top-left by bottom-right, and top-right by bottom-left.คูณเศษซ้ายกับส่วนขวา และคูณเศษขวากับส่วนซ้าย
$t$ can be made the subject from BOTH equations. Pick the first move once you have both.
(A) set the two expressions for $t$ equal, then cross-multiply
(B) add the two expressions for $t$ together
(C) substitute the $x$-expression for $t$ straight into $y=\dfrac{t+6}{2t+1}$
หา $t$ จากทั้งสองสมการแล้ว จงเลือกขั้นแรก
(A) ให้นิพจน์ $t$ ทั้งสองเท่ากัน แล้วคูณไขว้
(B) นำนิพจน์ $t$ ทั้งสองมาบวกกัน
(C) แทนนิพจน์ $t$ จากสมการ $x$ ลงใน $y=\dfrac{t+6}{2t+1}$ ตรงๆ
Answershow ▾
Both expressions equal the SAME $t$ for a given point - that is what (A) uses. (B) gives a new expression that is neither $t$ equation. (C) still has $t$ inside the equation it substitutes into.$t$ เป็นตัวเลขตัวเดียวสำหรับจุดหนึ่งจุด นิพจน์ทั้งสองจึงเท่ากับ $t$ ตัวเดียวกัน ซึ่ง (A) ใช้ตรงนี้พอดี · (B) การบวกให้นิพจน์ใหม่ที่ไม่ใช่สมการ $t$ ทั้งสอง · (C) ยังมี $t$ อยู่ในสมการที่แทนลงไป จึงไม่ได้กำจัด $t$
Make $t$ the subject of $x=\dfrac{t-1}{2t+1}$.
จงหา $t$ จากสมการ $x=\dfrac{t-1}{2t+1}$
Answershow ▾
Same working as question $1$.ขั้นตอนเดียวกับข้อ $1$
Make $t$ the subject of $y=\dfrac{t+6}{2t+1}$.
จงหา $t$ จากสมการ $y=\dfrac{t+6}{2t+1}$
Answershow ▾
Same working as question $2$.ขั้นตอนเดียวกับข้อ $2$
Equate the two expressions for $t$, cross-multiply, and collect to show $11x+3y=7$.
จงให้นิพจน์ $t$ ทั้งสองเท่ากัน คูณไขว้ แล้วรวมพจน์เพื่อแสดงว่า $11x+3y=7$
Answershow ▾
The $xy$ terms on each side cancel, leaving a line.พจน์ $xy$ ทั้งสองฝั่งตัดกัน เหลือเส้นตรง
Substitute $y=x+12$ into $11x+3y=7$ and solve for $x$.
จงแทน $y=x+12$ ใน $11x+3y=7$ แล้วแก้หา $x$
Answershow ▾
Expand the bracket, then collect the $x$ terms.กระจายวงเล็บ แล้วรวมพจน์ $x$
Check that $x=-\dfrac{29}{14}$ and $y=x+12$ fit $11x+3y=7$.
จงตรวจว่า $x=-\dfrac{29}{14}$ และ $y=x+12$ เป็นจริงกับ $11x+3y=7$
Answershow ▾
Work out $y$ from the line, then put both into the line equation $11x+3y=7$.หาค่า $y$ จากเส้นตรง แล้วแทนทั้งสองค่าในสมการ $11x+3y=7$
A set of points $P(x,y)$ is defined by $x=\dfrac{t-1}{t+1}$, $y=\dfrac{t+4}{t+1}$, $t\ne-1$.
(a) Show that all points $P(x,y)$ lie on a straight line.
(b) Find the $x$ coordinate of the intersection of this line and $y=x+6$.
จุดชุดหนึ่ง $P(x,y)$ นิยามด้วย $x=\dfrac{t-1}{t+1}$, $y=\dfrac{t+4}{t+1}$, $t\ne-1$
(ก) จงแสดงว่าทุกจุด $P(x,y)$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
(ข) จงหาพิกัด $x$ ของจุดตัดระหว่างเส้นตรงนี้กับ $y=x+6$
Answershow ▾
Same moves: make $t$ the subject twice, equate, cross-multiply, collect.ขั้นตอนเดิม: หา $t$ สองครั้ง ให้เท่ากัน คูณไขว้ แล้วรวมพจน์
A set of points $P(x,y)$ is defined by the parametric equations $x=\dfrac{t-1}{2t+1}$, $y=\dfrac{t+6}{2t+1}$, $t\ne-\dfrac12$.
(a) Show that all points $P(x,y)$ lie on a straight line.
(b) Hence or otherwise, find the $x$ coordinate of the point of intersection of this line and the line with equation $y=x+12$.
จุดชุดหนึ่ง $P(x,y)$ นิยามด้วยสมการอิงตัวแปรเสริม $x=\dfrac{t-1}{2t+1}$, $y=\dfrac{t+6}{2t+1}$, $t\ne-\dfrac12$
(ก) จงแสดงว่าทุกจุด $P(x,y)$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
(ข) จากข้อ (a) หรือวิธีอื่น จงหาพิกัด $x$ ของจุดตัดระหว่างเส้นตรงนี้กับเส้นตรงที่มีสมการ $y=x+12$
Answershow ▾
6 marks: make $t$ the subject twice, equate, cross-multiply, collect, then substitute the line.6 คะแนน: หา $t$ สองครั้ง ให้เท่ากัน คูณไขว้ รวมพจน์ แล้วแทนเส้นตรง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A rational function, then its range ฟังก์ชันตรรกยะ แล้วหาเรนจ์
The curve $C$ is defined by the parametric equations $x=2+\dfrac1t$, $y=\dfrac{1-2t}{t+3}$, $t>0$.
(a) Show that the equation of $C$ can be written in the form $y=g(x)$, where $g$ is the function $g(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$, $x>k$, where $a$, $b$, $c$, $d$ and $k$ are integers to be found.
(b) Hence, or otherwise, state the range of $g$.
เส้นโค้ง $C$ นิยามด้วยสมการอิงตัวแปรเสริม $x=2+\dfrac1t$, $y=\dfrac{1-2t}{t+3}$, $t>0$
(ก) จงแสดงว่าสมการของ $C$ เขียนได้ในรูป $y=g(x)$ เมื่อ $g$ คือฟังก์ชัน $g(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$, $x>k$ โดย $a$, $b$, $c$, $d$ และ $k$ เป็นจำนวนเต็มที่ต้องหา
(ข) จากข้อ (a) หรือวิธีอื่น จงบอกเรนจ์ของ $g$
Given $t>0$, state the restriction this gives on $x=2+\dfrac1t$.
กำหนดให้ $t>0$ จงบอกข้อจำกัดของ $x=2+\dfrac1t$
Answershow ▾
$t>0$ means $\dfrac1t>0$, and adding $2$ to a positive number keeps it above $2$.$t>0$ ทำให้ $\dfrac1t>0$ และบวก $2$ เข้าไปยังคงมากกว่า $2$
Make $t$ the subject of $x=2+\dfrac1t$.
จงหา $t$ จากสมการ $x=2+\dfrac1t$
Answershow ▾
Subtract $2$, then flip both sides.ลบ $2$ แล้วกลับเศษส่วนทั้งสองข้าง
Multiply the top and bottom of $\dfrac{1-\frac{2}{x-2}}{\frac{1}{x-2}+3}$ by $(x-2)$.
จงคูณเศษและส่วนของ $\dfrac{1-\frac{2}{x-2}}{\frac{1}{x-2}+3}$ ด้วย $(x-2)$
Answershow ▾
Every $\dfrac{1}{x-2}$ inside cancels with the $(x-2)$ you multiply by.ทุก $\dfrac{1}{x-2}$ ที่อยู่ข้างในจะตัดกับ $(x-2)$ ที่คูณเข้าไป
You have $y=\dfrac{1-\frac{2}{x-2}}{\frac{1}{x-2}+3}$, a fraction stacked inside a fraction. Pick the first move.
(A) multiply top and bottom by $(x-2)$
(B) multiply only the top by $(x-2)$
(C) cross-multiply, as if solving $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
มี $y=\dfrac{1-\frac{2}{x-2}}{\frac{1}{x-2}+3}$ ซึ่งเป็นเศษส่วนซ้อนเศษส่วน จงเลือกขั้นแรก
(A) คูณทั้งเศษและส่วนด้วย $(x-2)$
(B) คูณเฉพาะเศษด้วย $(x-2)$
(C) คูณไขว้ เหมือนแก้สมการ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
Answershow ▾
Multiplying top and bottom by the SAME thing keeps the fraction equal to $y$. (B) changes the value, since only the top grows. (C) only applies to an equation between two fractions, not this.คูณทั้งเศษและส่วนด้วยสิ่งเดียวกัน ค่าของเศษส่วนยังเท่ากับ $y$ เดิม · (B) ทำให้ค่าเปลี่ยน เพราะเศษโตขึ้นอย่างเดียว · (C) ใช้ได้เฉพาะสมการระหว่างเศษส่วนสองตัว แต่นี่คือเศษส่วนตัวเดียวที่เท่ากับ $y$ ไม่ใช่เศษส่วนสองตัวที่เท่ากัน
Make $t$ the subject of $x=2+\dfrac1t$.
จงหา $t$ จากสมการ $x=2+\dfrac1t$
Answershow ▾
Same working as question $2$.ขั้นตอนเดียวกับข้อ $2$
Substitute $t=\dfrac{1}{x-2}$ into $y=\dfrac{1-2t}{t+3}$.
จงแทน $t=\dfrac{1}{x-2}$ ลงใน $y=\dfrac{1-2t}{t+3}$
Answershow ▾
Replace every $t$ with $\dfrac{1}{x-2}$, brackets and all.แทน $t$ ทุกตัวด้วย $\dfrac{1}{x-2}$ รวมวงเล็บ
Multiply top and bottom of $\dfrac{1-\frac{2}{x-2}}{\frac{1}{x-2}+3}$ by $(x-2)$ to show $g(x)=\dfrac{x-4}{3x-5}$.
จงคูณเศษและส่วนด้วย $(x-2)$ เพื่อแสดงว่า $g(x)=\dfrac{x-4}{3x-5}$
Answershow ▾
Same clearing as question $3$.ขั้นตอนเดียวกับข้อ $3$
Find the limit of $y=\dfrac{1-2t}{t+3}$ as $t\to0^{+}$.
จงหาค่าจำกัดของ $y=\dfrac{1-2t}{t+3}$ เมื่อ $t\to0^{+}$
Answershow ▾
Put $t=0$ straight into the original $t$-equation for $y$.แทน $t=0$ ตรงๆ ในสมการ $y$ เดิม
Find the limit of $y=\dfrac{1-2t}{t+3}$ as $t\to\infty$.
จงหาค่าจำกัดของ $y=\dfrac{1-2t}{t+3}$ เมื่อ $t\to\infty$
Answershow ▾
For huge $t$, only the highest power of $t$ in the top and bottom matters.เมื่อ $t$ มีค่ามาก พจน์ที่มีกำลัง $t$ สูงสุดของเศษและส่วนเท่านั้นที่มีผล
The curve $C$ is defined by $x=3+\dfrac1t$, $y=\dfrac{2-t}{t+1}$, $t>0$.
(a) Show that $C$ can be written as $y=g(x)$ where $g(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$, $x>k$.
(b) State the range of $g$.
เส้นโค้ง $C$ นิยามด้วย $x=3+\dfrac1t$, $y=\dfrac{2-t}{t+1}$, $t>0$
(ก) จงแสดงว่า $C$ เขียนได้เป็น $y=g(x)$ เมื่อ $g(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$, $x>k$
(ข) จงบอกเรนจ์ของ $g$
Answershow ▾
Same four moves: restrict $x$, make $t$ the subject, substitute, clear the complex fraction.สี่ขั้นตอนเดิม: หาข้อจำกัดของ $x$ หา $t$ เป็นตัวตั้ง แทนค่า แล้วจัดเศษส่วนซ้อนให้โล่ง
The curve $C$ is defined by the parametric equations $x=2+\dfrac1t$, $y=\dfrac{1-2t}{t+3}$, $t>0$.
(a) Show that the equation of $C$ can be written in the form $y=g(x)$, where $g$ is the function $g(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$, $x>k$, where $a$, $b$, $c$, $d$ and $k$ are integers to be found.
(b) Hence, or otherwise, state the range of $g$.
เส้นโค้ง $C$ นิยามด้วยสมการอิงตัวแปรเสริม $x=2+\dfrac1t$, $y=\dfrac{1-2t}{t+3}$, $t>0$
(ก) จงแสดงว่าสมการของ $C$ เขียนได้ในรูป $y=g(x)$ เมื่อ $g$ คือฟังก์ชัน $g(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$, $x>k$ โดย $a$, $b$, $c$, $d$ และ $k$ เป็นจำนวนเต็มที่ต้องหา
(ข) จากข้อ (a) หรือวิธีอื่น จงบอกเรนจ์ของ $g$
Answershow ▾
7 marks: restrict $x$, make $t$ the subject, substitute, clear the fraction, then take limits.7 คะแนน: หาข้อจำกัดของ $x$ หา $t$ เป็นตัวตั้ง แทนค่า จัดเศษส่วนให้โล่ง แล้วหาค่าจำกัด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A double-angle identity, then partial fractions เอกลักษณ์มุมสองเท่า แล้วแยกเศษส่วนย่อย
The curve $C$ has parametric equations $x=3+2\sin t$, $y=\dfrac{6}{7+\cos2t}$, $-\dfrac{\pi}{2}\le t\le\dfrac{\pi}{2}$.
(a) Show that $C$ has Cartesian equation $y=\dfrac{12}{(7-x)(1+x)}$, $p\le x\le q$, where $p$ and $q$ are constants to be found.
(b) Hence, find a Cartesian equation for $C$ in the form $y=\dfrac{a}{x+b}+\dfrac{c}{x+d}$, where $a$, $b$, $c$ and $d$ are constants.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการอิงตัวแปรเสริม $x=3+2\sin t$, $y=\dfrac{6}{7+\cos2t}$, $-\dfrac{\pi}{2}\le t\le\dfrac{\pi}{2}$
(ก) จงแสดงว่า $C$ มีสมการคาร์ทีเซียน $y=\dfrac{12}{(7-x)(1+x)}$, $p\le x\le q$ เมื่อ $p$ และ $q$ เป็นค่าคงที่ที่ต้องหา
(ข) จากข้อ (a) จงหาสมการคาร์ทีเซียนของ $C$ ในรูป $y=\dfrac{a}{x+b}+\dfrac{c}{x+d}$ เมื่อ $a$, $b$, $c$ และ $d$ เป็นค่าคงที่
Write $\sin t$ in terms of $x$, given $x=3+2\sin t$.
จงเขียน $\sin t$ ในรูปของ $x$ เมื่อ $x=3+2\sin t$
Answershow ▾
Subtract $3$, then divide by $2$.ลบ $3$ แล้วหารด้วย $2$
Use $\cos2t=1-2\sin^{2}t$ to write $\cos2t$ in terms of $x$, given $\sin t=\dfrac{x-3}{2}$.
จงใช้ $\cos2t=1-2\sin^{2}t$ เขียน $\cos2t$ ในรูปของ $x$ เมื่อ $\sin t=\dfrac{x-3}{2}$
Answershow ▾
Square the whole bracket $\dfrac{x-3}{2}$, brackets included.ยกกำลังสองทั้งวงเล็บ $\dfrac{x-3}{2}$
Factorise $16-(x-3)^{2}$.
จงแยกตัวประกอบ $16-(x-3)^{2}$
Answershow ▾
This is $4^{2}-(x-3)^{2}$, a difference of two squares.นี่คือ $4^{2}-(x-3)^{2}$ ซึ่งเป็นผลต่างกำลังสอง
You know $\sin t=\dfrac{x-3}{2}$. Pick the identity for $\cos2t$ that lets you eliminate $t$ straight away.
(A) $\cos2t=1-2\sin^{2}t$
(B) $\cos2t=2\cos^{2}t-1$
(C) $\cos2t=\cos^{2}t-\sin^{2}t$
ทราบว่า $\sin t=\dfrac{x-3}{2}$ จงเลือกเอกลักษณ์ของ $\cos2t$ ที่กำจัด $t$ ได้ทันที
(A) $\cos2t=1-2\sin^{2}t$
(B) $\cos2t=2\cos^{2}t-1$
(C) $\cos2t=\cos^{2}t-\sin^{2}t$
Answershow ▾
All three are true, but only (A) uses $\sin t$ alone, the only piece known in terms of $x$. (B) needs $\cos t$ and (C) needs both - neither is known here without extra work.เอกลักษณ์ทั้งสามเป็นจริงทั้งหมด แต่มีแค่ (A) ที่เขียนด้วย $\sin t$ เพียงอย่างเดียว ซึ่งเป็นสิ่งเดียวที่รู้ในรูป $x$ · (B) ต้องใช้ $\cos t$ และ (C) ต้องใช้ทั้ง $\cos t$ กับ $\sin t$ ซึ่งยังไม่รู้ในรูป $x$ โดยไม่ต้องทำงานเพิ่ม
Write $\sin t$ in terms of $x$, given $x=3+2\sin t$.
จงเขียน $\sin t$ ในรูปของ $x$ เมื่อ $x=3+2\sin t$
Answershow ▾
Same working as question $1$.ขั้นตอนเดียวกับข้อ $1$
Use $\cos2t=1-2\Big(\dfrac{x-3}{2}\Big)^{2}$ to write $y=\dfrac{6}{7+\cos2t}$ in terms of $x$ only.
จงใช้ $\cos2t=1-2\Big(\dfrac{x-3}{2}\Big)^{2}$ เขียน $y=\dfrac{6}{7+\cos2t}$ ในรูปของ $x$ เท่านั้น
Answershow ▾
$7+1=8$, and $2\Big(\frac{x-3}{2}\Big)^{2}$ simplifies to $\frac12(x-3)^{2}$.$7+1=8$ และ $2\Big(\frac{x-3}{2}\Big)^{2}$ ตัดทอนเป็น $\frac12(x-3)^{2}$
Simplify $\dfrac{6}{8-\frac12(x-3)^{2}}$ to show $y=\dfrac{12}{(7-x)(1+x)}$.
จงตัดทอน $\dfrac{6}{8-\frac12(x-3)^{2}}$ เพื่อแสดงว่า $y=\dfrac{12}{(7-x)(1+x)}$
Answershow ▾
Double top and bottom to clear the $\frac12$, then factorise as in question $3$.คูณเศษและส่วนด้วย $2$ เพื่อกำจัด $\frac12$ แล้วแยกตัวประกอบแบบข้อ $3$
Use $-1\leqslant\sin t\leqslant1$ and $\sin t=\dfrac{x-3}{2}$ to find $p$ and $q$ in $p\leqslant x\leqslant q$.
จงใช้ $-1\leqslant\sin t\leqslant1$ และ $\sin t=\dfrac{x-3}{2}$ หา $p$ และ $q$ ใน $p\leqslant x\leqslant q$
Answershow ▾
Multiply the inequality by $2$, then add $3$.คูณอสมการด้วย $2$ แล้วบวก $3$
Check that $t=-\dfrac{\pi}{2}$ gives the point $x=1$ on $y=\dfrac{12}{(7-x)(1+x)}$.
จงตรวจว่า $t=-\dfrac{\pi}{2}$ ให้จุด $x=1$ บน $y=\dfrac{12}{(7-x)(1+x)}$
Answershow ▾
Work out $x$ directly from $t=-\dfrac{\pi}{2}$, then put $x=1$ into the Cartesian equation.หา $x$ ตรงๆ จาก $t=-\dfrac{\pi}{2}$ แล้วแทน $x=1$ ในสมการคาร์ทีเซียน
A curve $C$ has parametric equations $x=2+2\sin t$, $y=\dfrac{1}{1+\cos2t}$, $-\dfrac{\pi}{2}\leqslant t\leqslant\dfrac{\pi}{2}$.
(a) Show that $C$ has Cartesian equation $y=\dfrac{2}{x(4-x)}$, $p\leqslant x\leqslant q$.
(b) Hence write this equation in partial fractions.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการอิงตัวแปรเสริม $x=2+2\sin t$, $y=\dfrac{1}{1+\cos2t}$, $-\dfrac{\pi}{2}\leqslant t\leqslant\dfrac{\pi}{2}$
(ก) จงแสดงว่า $C$ มีสมการคาร์ทีเซียน $y=\dfrac{2}{x(4-x)}$, $p\leqslant x\leqslant q$
(ข) จากข้อ (ก) จงเขียนสมการนี้ในรูปเศษส่วนย่อย
Answershow ▾
Same moves: isolate $\sin t$, use the identity, simplify, then split into partial fractions.ขั้นตอนเดิม: แยก $\sin t$ ใช้เอกลักษณ์ ตัดทอน แล้วแยกเศษส่วนย่อย
The curve $C$ has parametric equations $x=3+2\sin t$, $y=\dfrac{6}{7+\cos2t}$, $-\dfrac{\pi}{2}\le t\le\dfrac{\pi}{2}$.
(a) Show that $C$ has Cartesian equation $y=\dfrac{12}{(7-x)(1+x)}$, $p\le x\le q$, where $p$ and $q$ are constants to be found.
(b) Hence, find a Cartesian equation for $C$ in the form $y=\dfrac{a}{x+b}+\dfrac{c}{x+d}$, where $a$, $b$, $c$ and $d$ are constants.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการอิงตัวแปรเสริม $x=3+2\sin t$, $y=\dfrac{6}{7+\cos2t}$, $-\dfrac{\pi}{2}\le t\le\dfrac{\pi}{2}$
(ก) จงแสดงว่า $C$ มีสมการคาร์ทีเซียน $y=\dfrac{12}{(7-x)(1+x)}$, $p\le x\le q$ เมื่อ $p$ และ $q$ เป็นค่าคงที่ที่ต้องหา
(ข) จากข้อ (a) จงหาสมการคาร์ทีเซียนของ $C$ ในรูป $y=\dfrac{a}{x+b}+\dfrac{c}{x+d}$ เมื่อ $a$, $b$, $c$ และ $d$ เป็นค่าคงที่
Answershow ▾
9 marks: the identity gets you to $x$ and $y$ only, then simplify, find $p,q$, and split into partial fractions.9 คะแนน: เอกลักษณ์พาไปถึงรูปที่มี $x$ กับ $y$ เท่านั้น แล้วตัดทอน หา $p,q$ และแยกเศษส่วนย่อย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
The curve’s own quadratic equation สมการกำลังสองของเส้นโค้งเอง
Figure 1 shows a sketch of the curve $C$ with parametric equations $x=5+2\tan t$, $y=8\sec^{2}t$, $-\dfrac{\pi}{3}\le t\le\dfrac{\pi}{3}$.
(a) Use parametric differentiation to find the gradient of $C$ at $x=3$.
(b) The curve $C$ has equation $y=f(x)$, where $f$ is a quadratic function. Find $f(x)$ in the form $a(x+b)^{2}+c$, where $a$, $b$ and $c$ are constants to be found.
(c) Find the range of $f$.
รูปที่ 1 แสดงภาพร่างของเส้นโค้ง $C$ ที่มีสมการอิงตัวแปรเสริม $x=5+2\tan t$, $y=8\sec^{2}t$, $-\dfrac{\pi}{3}\le t\le\dfrac{\pi}{3}$
(ก) ใช้การหาอนุพันธ์แบบอิงตัวแปรเสริมหาความชันของ $C$ ที่ $x=3$
(ข) เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=f(x)$ เมื่อ $f$ เป็นฟังก์ชันกำลังสอง จงหา $f(x)$ ในรูป $a(x+b)^{2}+c$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นค่าคงที่ที่ต้องหา
(ค) จงหาเรนจ์ของ $f$
Differentiate $x=5+2\tan t$ with respect to $t$.
จงหาอนุพันธ์ของ $x=5+2\tan t$ เทียบกับ $t$
Answershow ▾
$\dfrac{d}{dt}(\tan t)=\sec^{2}t$.$\dfrac{d}{dt}(\tan t)=\sec^{2}t$
Differentiate $y=8\sec^{2}t$ with respect to $t$.
จงหาอนุพันธ์ของ $y=8\sec^{2}t$ เทียบกับ $t$
Answershow ▾
$\dfrac{d}{dt}(\sec^{2}t)=2\sec t\times\sec t\tan t=2\sec^{2}t\tan t$.$\dfrac{d}{dt}(\sec^{2}t)=2\sec t\times\sec t\tan t=2\sec^{2}t\tan t$
Given $\dfrac{dx}{dt}=2\sec^{2}t$ and $\dfrac{dy}{dt}=16\sec^{2}t\tan t$, find $\dfrac{dy}{dx}$.
กำหนดให้ $\dfrac{dx}{dt}=2\sec^{2}t$ และ $\dfrac{dy}{dt}=16\sec^{2}t\tan t$ จงหา $\dfrac{dy}{dx}$
Answershow ▾
$\dfrac{\sec^{2}t}{\sec^{2}t}$ cancels, leaving $8\tan t$.$\dfrac{\sec^{2}t}{\sec^{2}t}$ ตัดกัน เหลือ $8\tan t$
You need the gradient at $x=3$. $\dfrac{dy}{dx}=8\tan t$ is in terms of $t$, not $x$. Pick the first move.
(A) solve $3=5+2\tan t$ for $t$
(B) solve $3=8\sec^{2}t$ for $t$, using the $y$ equation
(C) substitute $x=3$ straight into $\dfrac{dy}{dx}=8\tan t$
ต้องหาความชันที่ $x=3$ แต่ $\dfrac{dy}{dx}=8\tan t$ อยู่ในรูป $t$ ไม่ใช่ $x$ จงเลือกขั้นแรก
(A) แก้สมการ $3=5+2\tan t$ หา $t$
(B) แก้สมการ $3=8\sec^{2}t$ หา $t$ โดยใช้สมการ $y$
(C) แทน $x=3$ ลงใน $\dfrac{dy}{dx}=8\tan t$ ตรงๆ
Answershow ▾
$x$ comes from the $x$ equation, so $t$ there comes from THAT equation. (B) uses the $y$ equation, giving a $t$ matching some $y$, not the $x=3$ given. (C) has no $x$ to substitute into.$x$ มาจากสมการ $x$ ดังนั้น $t$ ที่จุดนั้นต้องมาจากสมการนี้ · (B) ใช้สมการ $y$ ซึ่งให้ $t$ ที่ตรงกับค่า $y$ บางค่า ไม่ใช่ $x=3$ ที่กำหนด · (C) ทำไม่ได้เลย เพราะ $\dfrac{dy}{dx}=8\tan t$ ไม่มี $x$ ให้แทนค่า
Find $\dfrac{dx}{dt}$ and $\dfrac{dy}{dt}$.
จงหา $\dfrac{dx}{dt}$ และ $\dfrac{dy}{dt}$
Answershow ▾
Same working as questions $1$ and $2$.ขั้นตอนเดียวกับข้อ $1$ และ $2$
Form $\dfrac{dy}{dx}$ and simplify.
จงหา $\dfrac{dy}{dx}$ แล้วตัดทอน
Answershow ▾
Same working as question $3$.ขั้นตอนเดียวกับข้อ $3$
Solve $3=5+2\tan t$ for $t$, then use $\dfrac{dy}{dx}=8\tan t$ to find the gradient.
จงแก้ $3=5+2\tan t$ หา $t$ แล้วใช้ $\dfrac{dy}{dx}=8\tan t$ หาความชัน
Answershow ▾
$\tan t=-1$ at this point.$\tan t=-1$ ที่จุดนี้
Use $1+\tan^{2}t=\sec^{2}t$ with $\tan t=\dfrac{x-5}{2}$ and $\sec^{2}t=\dfrac{y}{8}$ to show $f(x)=2(x-5)^{2}+8$.
จงใช้ $1+\tan^{2}t=\sec^{2}t$ กับ $\tan t=\dfrac{x-5}{2}$ และ $\sec^{2}t=\dfrac{y}{8}$ เพื่อแสดงว่า $f(x)=2(x-5)^{2}+8$
Answershow ▾
Multiply both sides by $8$ to clear the fraction.คูณทั้งสองข้างด้วย $8$ เพื่อกำจัดเศษส่วน
Use $t=\pm\dfrac{\pi}{3}$ to find the range of $f$.
จงใช้ $t=\pm\dfrac{\pi}{3}$ หาเรนจ์ของ $f$
Answershow ▾
The vertex $(5,8)$ sits inside this $t$-range and is the minimum; both endpoints give the same maximum.จุดยอด $(5,8)$ อยู่ในช่วง $t$ นี้พอดีและเป็นค่าต่ำสุด ปลายทั้งสองข้างให้ค่าสูงสุดเท่ากัน
A curve $C$ has parametric equations $x=2+\tan t$, $y=3\sec^{2}t$, $-\dfrac{\pi}{4}\leqslant t\leqslant\dfrac{\pi}{4}$.
(a) Find the gradient of $C$ at $x=2.5$.
(b) Find $f(x)$ in the form $a(x+b)^{2}+c$.
(c) Find the range of $f$.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการอิงตัวแปรเสริม $x=2+\tan t$, $y=3\sec^{2}t$, $-\dfrac{\pi}{4}\leqslant t\leqslant\dfrac{\pi}{4}$
(ก) จงหาความชันของ $C$ ที่ $x=2.5$
(ข) จงหา $f(x)$ ในรูป $a(x+b)^{2}+c$
(ค) จงหาเรนจ์ของ $f$
Answershow ▾
Same moves: differentiate, form $dy/dx$, use the $t$ value, then the Pythagorean identity.ขั้นตอนเดิม: หาอนุพันธ์ หา $dy/dx$ ใช้ค่า $t$ แล้วใช้เอกลักษณ์พีทาโกรัส
Figure 1 shows a sketch of the curve $C$ with parametric equations $x=5+2\tan t$, $y=8\sec^{2}t$, $-\dfrac{\pi}{3}\le t\le\dfrac{\pi}{3}$.
(a) Use parametric differentiation to find the gradient of $C$ at $x=3$.
(b) The curve $C$ has equation $y=f(x)$, where $f$ is a quadratic function. Find $f(x)$ in the form $a(x+b)^{2}+c$, where $a$, $b$ and $c$ are constants to be found.
(c) Find the range of $f$.
รูปที่ 1 แสดงภาพร่างของเส้นโค้ง $C$ ที่มีสมการอิงตัวแปรเสริม $x=5+2\tan t$, $y=8\sec^{2}t$, $-\dfrac{\pi}{3}\le t\le\dfrac{\pi}{3}$
(ก) ใช้การหาอนุพันธ์แบบอิงตัวแปรเสริมหาความชันของ $C$ ที่ $x=3$
(ข) เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=f(x)$ เมื่อ $f$ เป็นฟังก์ชันกำลังสอง จงหา $f(x)$ ในรูป $a(x+b)^{2}+c$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นค่าคงที่ที่ต้องหา
(ค) จงหาเรนจ์ของ $f$
Answershow ▾
9 marks: differentiate, form $dy/dx$, use the $t$ value for part (a), then the identity for (b) and (c).9 คะแนน: หาอนุพันธ์ หา $dy/dx$ ใช้ค่า $t$ สำหรับข้อ (ก) แล้วใช้เอกลักษณ์สำหรับข้อ (ข) และ (ค)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A cosec in the gradient, a cube inside x $\text{cosec}$ ในความชัน และกำลังสามซ่อนอยู่ใน x
Figure 1 shows a sketch of the curve $C$ with parametric equations $x=3\sin^{3}\theta$, $y=1+\cos2\theta$, $0\le\theta\le\dfrac{\pi}{2}$.
(a) Show that $\dfrac{dy}{dx}=k\,\text{cosec}\,\theta$, $\theta\ne0$, where $k$ is a constant to be found.
(b) The point $P$ lies on $C$ where $\theta=\dfrac{\pi}{6}$. Find the equation of the tangent to $C$ at $P$, giving your answer in the form $ax+by+c=0$ where $a$, $b$ and $c$ are integers.
(c) Show that $C$ has Cartesian equation $8x^{2}=9(q-y)^{3}$, where $q$ is a constant to be found.
รูปที่ 1 แสดงภาพร่างของเส้นโค้ง $C$ ที่มีสมการอิงตัวแปรเสริม $x=3\sin^{3}\theta$, $y=1+\cos2\theta$, $0\le\theta\le\dfrac{\pi}{2}$
(ก) จงแสดงว่า $\dfrac{dy}{dx}=k\,\text{cosec}\,\theta$, $\theta\ne0$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ที่ต้องหา
(ข) จุด $P$ อยู่บน $C$ ที่ $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ จงหาสมการเส้นสัมผัส (tangent) ของ $C$ ที่ $P$ โดยตอบในรูป $ax+by+c=0$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
(ค) จงแสดงว่า $C$ มีสมการคาร์ทีเซียน $8x^{2}=9(q-y)^{3}$ เมื่อ $q$ เป็นค่าคงที่ที่ต้องหา
Differentiate $x=3\sin^{3}\theta$ with respect to $\theta$.
จงหาอนุพันธ์ของ $x=3\sin^{3}\theta$ เทียบกับ $\theta$
Answershow ▾
The chain rule: bring the power $3$ down, then multiply by $\cos\theta$.กฎลูกโซ่: ดึงเลขชี้กำลัง $3$ ลงมา แล้วคูณด้วย $\cos\theta$
Differentiate $y=1+\cos2\theta$ with respect to $\theta$.
จงหาอนุพันธ์ของ $y=1+\cos2\theta$ เทียบกับ $\theta$
Answershow ▾
$\dfrac{d}{d\theta}(\cos2\theta)=-2\sin2\theta$, and $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$.$\dfrac{d}{d\theta}(\cos2\theta)=-2\sin2\theta$ และ $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$
Given $\dfrac{dx}{d\theta}=9\sin^{2}\theta\cos\theta$ and $\dfrac{dy}{d\theta}=-4\sin\theta\cos\theta$, find $\dfrac{dy}{dx}$.
กำหนดให้ $\dfrac{dx}{d\theta}=9\sin^{2}\theta\cos\theta$ และ $\dfrac{dy}{d\theta}=-4\sin\theta\cos\theta$ จงหา $\dfrac{dy}{dx}$
Answershow ▾
Cancel $\cos\theta$ and one $\sin\theta$, then flip the remaining $\sin\theta$ to write it as $\text{cosec}\,\theta$.ตัด $\cos\theta$ และ $\sin\theta$ หนึ่งตัว แล้วกลับ $\sin\theta$ ที่เหลือเป็น $\text{cosec}\,\theta$
To get $8x^{2}=9(q-y)^{3}$, you need $\sin^{2}\theta$ in terms of $y$ and $\sin^{6}\theta$ in terms of $x^{2}$. Pick the move.
(A) write $\sin^{2}\theta=1-\dfrac y2$ from $y=2-2\sin^{2}\theta$, then $\sin^{6}\theta=\big(1-\frac y2\big)^{3}$, matching $x^{2}=9\sin^{6}\theta$
(B) write $\sin\theta=\dfrac y2$ straight from $y=2-2\sin^{2}\theta$
(C) cube both sides of $x=3\sin^{3}\theta$ directly
ต้องการ $8x^{2}=9(q-y)^{3}$ จึงต้องมี $\sin^{2}\theta$ ในรูป $y$ และ $\sin^{6}\theta$ ในรูป $x^{2}$ จงเลือกขั้นที่ทำ
(A) เขียน $\sin^{2}\theta=1-\dfrac y2$ จาก $y=2-2\sin^{2}\theta$ แล้ว $\sin^{6}\theta=\big(1-\frac y2\big)^{3}$ ตรงกับ $x^{2}=9\sin^{6}\theta$
(B) เขียน $\sin\theta=\dfrac y2$ จาก $y=2-2\sin^{2}\theta$ ตรงๆ
(C) ยกกำลังสามทั้งสองข้างของ $x=3\sin^{3}\theta$ ตรงๆ
Answershow ▾
(B) is wrong because $y=2-2\sin^{2}\theta$ is quadratic in $\sin\theta$, not linear - you cannot isolate $\sin\theta$ itself this way. (C) gives $x^{3}=27\sin^{9}\theta$, a wrong power of both $x$ and $\sin\theta$; squaring, not cubing, is what matches $x^{2}=9\sin^{6}\theta$.(B) ผิด เพราะ $y=2-2\sin^{2}\theta$ เป็นสมการกำลังสองของ $\sin\theta$ ไม่ใช่สมการเชิงเส้น จึงแยก $\sin\theta$ เดี่ยวๆ ไม่ได้ · (C) ให้ $x^{3}=27\sin^{9}\theta$ ซึ่งเป็นกำลังที่ผิดทั้ง $x$ และ $\sin\theta$ ต้องยกกำลังสอง ไม่ใช่กำลังสาม จึงตรงกับ $x^{2}=9\sin^{6}\theta$
Find $\dfrac{dx}{d\theta}$ and $\dfrac{dy}{d\theta}$.
จงหา $\dfrac{dx}{d\theta}$ และ $\dfrac{dy}{d\theta}$
Answershow ▾
Same working as questions $1$ and $2$.ขั้นตอนเดียวกับข้อ $1$ และ $2$
Form $\dfrac{dy}{dx}$ and simplify to a $\text{cosec}$.
จงหา $\dfrac{dy}{dx}$ แล้วตัดทอนให้อยู่ในรูป $\text{cosec}$
Answershow ▾
Same working as question $3$.ขั้นตอนเดียวกับข้อ $3$
Find $x$, $y$ and $\dfrac{dy}{dx}$ at $\theta=\dfrac{\pi}{6}$, then the tangent in the form $ax+by+c=0$.
จงหา $x$, $y$ และ $\dfrac{dy}{dx}$ ที่ $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ แล้วหาเส้นสัมผัสในรูป $ax+by+c=0$
Answershow ▾
$\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12$, $\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}$.$\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12$, $\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}$
Use $y=2-2\sin^{2}\theta$ and $x^{2}=9\sin^{6}\theta$ to show $8x^{2}=9(2-y)^{3}$.
จงใช้ $y=2-2\sin^{2}\theta$ และ $x^{2}=9\sin^{6}\theta$ เพื่อแสดงว่า $8x^{2}=9(2-y)^{3}$
Answershow ▾
$\sin^{6}\theta=(\sin^{2}\theta)^{3}$, and $\sin^{2}\theta=\dfrac{2-y}{2}$.$\sin^{6}\theta=(\sin^{2}\theta)^{3}$ และ $\sin^{2}\theta=\dfrac{2-y}{2}$
Check that $x=\dfrac38$, $y=\dfrac32$ fit $8x^{2}=9(2-y)^{3}$.
จงตรวจว่า $x=\dfrac38$, $y=\dfrac32$ เป็นจริงกับ $8x^{2}=9(2-y)^{3}$
Answershow ▾
Work out both sides separately with these exact values.คำนวณทั้งสองข้างแยกกันด้วยค่าแม่นตรงเหล่านี้
A curve $C$ has parametric equations $x=2\sin^{3}\theta$, $y=3+\cos2\theta$, $0\leqslant\theta\leqslant\dfrac{\pi}{2}$.
(a) Show that $\dfrac{dy}{dx}=k\,\text{cosec}\,\theta$, and find the tangent to $C$ at $\theta=\dfrac{\pi}{6}$, in the form $ax+by+c=0$.
(b) Show that $C$ has Cartesian equation $2x^{2}=(q-y)^{3}$, where $q$ is a constant.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการอิงตัวแปรเสริม $x=2\sin^{3}\theta$, $y=3+\cos2\theta$, $0\leqslant\theta\leqslant\dfrac{\pi}{2}$
(ก) จงแสดงว่า $\dfrac{dy}{dx}=k\,\text{cosec}\,\theta$ แล้วหาเส้นสัมผัสของ $C$ ที่ $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ ในรูป $ax+by+c=0$
(ข) จงแสดงว่า $C$ มีสมการคาร์ทีเซียน $2x^{2}=(q-y)^{3}$ เมื่อ $q$ เป็นค่าคงที่
Answershow ▾
Same moves: differentiate, form $dy/dx$, use $\theta=\pi/6$, then eliminate $\theta$.ขั้นตอนเดิม: หาอนุพันธ์ หา $dy/dx$ ใช้ $\theta=\pi/6$ แล้วตัด $\theta$ ทิ้ง
Figure 1 shows a sketch of the curve $C$ with parametric equations $x=3\sin^{3}\theta$, $y=1+\cos2\theta$, $0\le\theta\le\dfrac{\pi}{2}$.
(a) Show that $\dfrac{dy}{dx}=k\,\text{cosec}\,\theta$, $\theta\ne0$, where $k$ is a constant to be found.
(b) The point $P$ lies on $C$ where $\theta=\dfrac{\pi}{6}$. Find the equation of the tangent to $C$ at $P$, giving your answer in the form $ax+by+c=0$ where $a$, $b$ and $c$ are integers.
(c) Show that $C$ has Cartesian equation $8x^{2}=9(q-y)^{3}$, where $q$ is a constant to be found.
รูปที่ 1 แสดงภาพร่างของเส้นโค้ง $C$ ที่มีสมการอิงตัวแปรเสริม $x=3\sin^{3}\theta$, $y=1+\cos2\theta$, $0\le\theta\le\dfrac{\pi}{2}$
(ก) จงแสดงว่า $\dfrac{dy}{dx}=k\,\text{cosec}\,\theta$, $\theta\ne0$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ที่ต้องหา
(ข) จุด $P$ อยู่บน $C$ ที่ $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ จงหาสมการเส้นสัมผัส (tangent) ของ $C$ ที่ $P$ โดยตอบในรูป $ax+by+c=0$ เมื่อ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็ม
(ค) จงแสดงว่า $C$ มีสมการคาร์ทีเซียน $8x^{2}=9(q-y)^{3}$ เมื่อ $q$ เป็นค่าคงที่ที่ต้องหา
Answershow ▾
9 marks: differentiate, form $dy/dx$, use $\theta=\pi/6$ for the tangent, then eliminate $\theta$ for the Cartesian equation.9 คะแนน: หาอนุพันธ์ หา $dy/dx$ ใช้ $\theta=\pi/6$ สำหรับเส้นสัมผัส แล้วตัด $\theta$ ทิ้งสำหรับสมการคาร์ทีเซียน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
The quotient rule inside parametric differentiation กฎผลหารซ่อนอยู่ในการหาอนุพันธ์แบบอิงตัวแปรเสริม
Figure 1 shows a sketch of the curve $C$ with parametric equations $x=\dfrac{4t-5}{2t+1}$, $y=2t^{2}-4t+4$, $t\ge0$. The point $P$ lies on $C$ and has parameter $t=3$.
(a) Find the coordinates of $P$.
(b) Find $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $t$, writing the answer in simplest form.
(c) Hence find the equation of the tangent to $C$ at $P$. Write the answer in the form $y=mx+c$, where $m$ and $c$ are constants.
(d)(i) Given that the Cartesian equation of $C$ is $y=f(x)$ and that $f$ is defined for all values of $x$ on $C$, find the domain of $f$.
(d)(ii) Find the range of $f$.
รูปที่ 1 แสดงภาพร่างของเส้นโค้ง $C$ ที่มีสมการอิงตัวแปรเสริม $x=\dfrac{4t-5}{2t+1}$, $y=2t^{2}-4t+4$, $t\ge0$ จุด $P$ อยู่บน $C$ ที่พารามิเตอร์ $t=3$
(ก) จงหาพิกัดของ $P$
(ข) จงหา $\dfrac{dy}{dx}$ ในรูปของ $t$ โดยตอบในรูปที่ตัดทอนที่สุด
(ค) จากข้อ (b) จงหาสมการเส้นสัมผัสของ $C$ ที่ $P$ โดยตอบในรูป $y=mx+c$ เมื่อ $m$ และ $c$ เป็นค่าคงที่
(d)(i) กำหนดให้สมการคาร์ทีเซียนของ $C$ คือ $y=f(x)$ และ $f$ นิยามสำหรับทุกค่า $x$ บน $C$ จงหาโดเมนของ $f$
(d)(ii) จงหาเรนจ์ของ $f$
Find $x$ and $y$ when $t=3$, given $x=\dfrac{4t-5}{2t+1}$ and $y=2t^{2}-4t+4$.
จงหา $x$ และ $y$ เมื่อ $t=3$ โดย $x=\dfrac{4t-5}{2t+1}$ และ $y=2t^{2}-4t+4$
Answershow ▾
Substitute $t=3$ into each equation separately.แทน $t=3$ ในแต่ละสมการแยกกัน
Differentiate $y=2t^{2}-4t+4$ with respect to $t$.
จงหาอนุพันธ์ของ $y=2t^{2}-4t+4$ เทียบกับ $t$
Answershow ▾
Bring each power down and multiply.ดึงเลขชี้กำลังของแต่ละพจน์ลงมาคูณ
Use the quotient rule to differentiate $x=\dfrac{4t-5}{2t+1}$.
จงใช้กฎผลหารหาอนุพันธ์ของ $x=\dfrac{4t-5}{2t+1}$
Answershow ▾
Quotient rule: differentiate the top times the bottom, minus the top times the derivative of the bottom, all over the bottom squared.กฎผลหาร: อนุพันธ์ของเศษคูณส่วน ลบด้วยเศษคูณอนุพันธ์ของส่วน ทั้งหมดหารด้วยส่วนกำลังสอง
You have $\dfrac{dy}{dt}=4t-4$ and $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{14}{(2t+1)^{2}}$. Pick how to form $\dfrac{dy}{dx}$.
(A) multiply $\dfrac{dy}{dt}$ by the reciprocal of $\dfrac{dx}{dt}$, i.e. by $\dfrac{(2t+1)^{2}}{14}$
(B) divide $\dfrac{dx}{dt}$ by $\dfrac{dy}{dt}$
(C) multiply $\dfrac{dy}{dt}$ and $\dfrac{dx}{dt}$ together
มี $\dfrac{dy}{dt}=4t-4$ และ $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{14}{(2t+1)^{2}}$ จงเลือกวิธีหา $\dfrac{dy}{dx}$
(A) คูณ $\dfrac{dy}{dt}$ ด้วยส่วนกลับของ $\dfrac{dx}{dt}$ คือ $\dfrac{(2t+1)^{2}}{14}$
(B) นำ $\dfrac{dx}{dt}$ หารด้วย $\dfrac{dy}{dt}$
(C) นำ $\dfrac{dy}{dt}$ คูณกับ $\dfrac{dx}{dt}$
Answershow ▾
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$, and dividing by a fraction means multiplying by its reciprocal - that is (A). (B) inverts the whole ratio upside down. (C) multiplying instead of dividing gives a completely different quantity.$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ และการหารด้วยเศษส่วนคือการคูณด้วยส่วนกลับของมัน ซึ่งคือ (A) · (B) กลับอัตราส่วนทั้งหมดหัวท้าย · (C) การคูณแทนการหารให้ปริมาณที่ต่างออกไปโดยสิ้นเชิง
Find the coordinates of $P$, where $t=3$.
จงหาพิกัดของ $P$ ที่ $t=3$
Answershow ▾
Same working as question $1$.ขั้นตอนเดียวกับข้อ $1$
Find $\dfrac{dy}{dt}$ and $\dfrac{dx}{dt}$.
จงหา $\dfrac{dy}{dt}$ และ $\dfrac{dx}{dt}$
Answershow ▾
Same working as questions $2$ and $3$.ขั้นตอนเดียวกับข้อ $2$ และ $3$
Form $\dfrac{dy}{dx}$ and simplify it.
จงหา $\dfrac{dy}{dx}$ แล้วตัดทอน
Answershow ▾
Multiply $\dfrac{dy}{dt}$ by the reciprocal of $\dfrac{dx}{dt}$, as in the decision.คูณ $\dfrac{dy}{dt}$ ด้วยส่วนกลับของ $\dfrac{dx}{dt}$ ตามการเลือกวิธีข้างต้น
Substitute $t=3$ into $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2(t-1)(2t+1)^{2}}{7}$, then find the tangent at $P$.
จงแทน $t=3$ ใน $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2(t-1)(2t+1)^{2}}{7}$ แล้วหาเส้นสัมผัสที่ $P$
Answershow ▾
Use the gradient with the point $P=(1,10)$ from question $4$.ใช้ความชันร่วมกับจุด $P=(1,10)$ จากข้อ $4$
Find the domain of $f$, using the limits of $x$ as $t\to0^{+}$ and $t\to\infty$.
จงหาโดเมนของ $f$ โดยใช้ลิมิตของ $x$ เมื่อ $t\to0^{+}$ และ $t\to\infty$
Answershow ▾
For huge $t$, only the highest power of $t$ in the top and bottom of $x$ matters.เมื่อ $t$ มีค่ามาก พจน์ที่มีกำลัง $t$ สูงสุดของเศษและส่วนของ $x$ เท่านั้นที่มีผล
The curve $C$ has parametric equations $x=\dfrac{2t-1}{t+1}$, $y=t^{2}-2t+3$, $t\geqslant0$. The point $P$ lies on $C$ and has parameter $t=2$.
(a) Find the coordinates of $P$.
(b) Find $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $t$.
(c) Find the equation of the tangent to $C$ at $P$.
(d) Find the domain and range of $f$, where $y=f(x)$.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการอิงตัวแปรเสริม $x=\dfrac{2t-1}{t+1}$, $y=t^{2}-2t+3$, $t\geqslant0$ จุด $P$ อยู่บน $C$ ที่พารามิเตอร์ $t=2$
(ก) จงหาพิกัดของ $P$
(ข) จงหา $\dfrac{dy}{dx}$ ในรูปของ $t$
(ค) จงหาสมการเส้นสัมผัสของ $C$ ที่ $P$
(ง) จงหาโดเมนและเรนจ์ของ $f$ เมื่อ $y=f(x)$
Answershow ▾
Same moves: evaluate at the given $t$, use the quotient rule, form $dy/dx$, then the limits.ขั้นตอนเดิม: แทนค่าที่ $t$ ที่กำหนด ใช้กฎผลหาร หา $dy/dx$ แล้วหาลิมิต
Figure 1 shows a sketch of the curve $C$ with parametric equations $x=\dfrac{4t-5}{2t+1}$, $y=2t^{2}-4t+4$, $t\ge0$. The point $P$ lies on $C$ and has parameter $t=3$.
(a) Find the coordinates of $P$.
(b) Find $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $t$, writing the answer in simplest form.
(c) Hence find the equation of the tangent to $C$ at $P$. Write the answer in the form $y=mx+c$, where $m$ and $c$ are constants.
(d)(i) Given that the Cartesian equation of $C$ is $y=f(x)$ and that $f$ is defined for all values of $x$ on $C$, find the domain of $f$.
(d)(ii) Find the range of $f$.
รูปที่ 1 แสดงภาพร่างของเส้นโค้ง $C$ ที่มีสมการอิงตัวแปรเสริม $x=\dfrac{4t-5}{2t+1}$, $y=2t^{2}-4t+4$, $t\ge0$ จุด $P$ อยู่บน $C$ ที่พารามิเตอร์ $t=3$
(ก) จงหาพิกัดของ $P$
(ข) จงหา $\dfrac{dy}{dx}$ ในรูปของ $t$ โดยตอบในรูปที่ตัดทอนที่สุด
(ค) จากข้อ (b) จงหาสมการเส้นสัมผัสของ $C$ ที่ $P$ โดยตอบในรูป $y=mx+c$ เมื่อ $m$ และ $c$ เป็นค่าคงที่
(d)(i) กำหนดให้สมการคาร์ทีเซียนของ $C$ คือ $y=f(x)$ และ $f$ นิยามสำหรับทุกค่า $x$ บน $C$ จงหาโดเมนของ $f$
(d)(ii) จงหาเรนจ์ของ $f$
Answershow ▾
11 marks: evaluate at $t=3$, use the quotient rule, form $dy/dx$, then the limits for the domain and range.11 คะแนน: แทนค่าที่ $t=3$ ใช้กฎผลหาร หา $dy/dx$ แล้วหาลิมิตสำหรับโดเมนและเรนจ์
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A tangent that meets its own curve again เส้นสัมผัสที่ตัดเส้นโค้งของมันเองอีกครั้ง
The curve $C$ has parametric equations $x=\sin t-3\cos^{2}t$, $y=3\sin t+2\cos t$, $0\le t\le5\pi$. The point $P$ lies on $C$ where $t=\pi$.
(a) Show that $\dfrac{dy}{dx}=3$ where $t=\pi$.
(b) Find the equation of the tangent to the curve at $P$ in the form $y=mx+c$ where $m$ and $c$ are constants to be found.
(c) Given that the tangent to the curve at $P$ cuts $C$ again at the point $Q$, show that the value of $t$ at point $Q$ satisfies the equation $9\cos^{2}t+2\cos t-7=0$.
(d) Hence find the exact value of the $y$ coordinate of $Q$.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการอิงตัวแปรเสริม $x=\sin t-3\cos^{2}t$, $y=3\sin t+2\cos t$, $0\le t\le5\pi$ จุด $P$ อยู่บน $C$ ที่ $t=\pi$
(ก) จงแสดงว่า $\dfrac{dy}{dx}=3$ ที่ $t=\pi$
(ข) จงหาสมการเส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่ $P$ ในรูป $y=mx+c$ เมื่อ $m$ และ $c$ เป็นค่าคงที่ที่ต้องหา
(ค) กำหนดให้เส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่ $P$ ตัด $C$ อีกครั้งที่จุด $Q$ จงแสดงว่าค่า $t$ ที่จุด $Q$ สอดคล้องกับสมการ $9\cos^{2}t+2\cos t-7=0$
(ง) จากข้อ (c) จงหาค่าแม่นตรง (exact) ของพิกัด $y$ ของ $Q$
Differentiate $x=\sin t-3\cos^{2}t$ with respect to $t$.
จงหาอนุพันธ์ของ $x=\sin t-3\cos^{2}t$ เทียบกับ $t$
Answershow ▾
$\dfrac{d}{dt}(\cos^{2}t)=-2\cos t\sin t$, and the $-3$ in front flips its sign.$\dfrac{d}{dt}(\cos^{2}t)=-2\cos t\sin t$ และเลข $-3$ ที่อยู่หน้าทำให้เครื่องหมายกลับ
Differentiate $y=3\sin t+2\cos t$ with respect to $t$.
จงหาอนุพันธ์ของ $y=3\sin t+2\cos t$ เทียบกับ $t$
Answershow ▾
$\dfrac{d}{dt}(\sin t)=\cos t$ and $\dfrac{d}{dt}(\cos t)=-\sin t$.$\dfrac{d}{dt}(\sin t)=\cos t$ และ $\dfrac{d}{dt}(\cos t)=-\sin t$
Given $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3\cos t-2\sin t}{\cos t+6\cos t\sin t}$, find $\dfrac{dy}{dx}$ at $t=\pi$.
กำหนดให้ $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3\cos t-2\sin t}{\cos t+6\cos t\sin t}$ จงหา $\dfrac{dy}{dx}$ ที่ $t=\pi$
Answershow ▾
$\cos\pi=-1$ and $\sin\pi=0$.$\cos\pi=-1$ และ $\sin\pi=0$
The tangent at $P$ cuts $C$ again at $Q$. Pick how to find the value of $t$ at $Q$.
(A) substitute the parametric equations for $x$ and $y$ into the tangent equation, giving one equation in $t$
(B) set the tangent’s gradient equal to $\dfrac{dy}{dx}$ and solve for $t$
(C) substitute $t=\pi$ into the tangent equation
เส้นสัมผัสที่ $P$ ตัด $C$ อีกครั้งที่ $Q$ จงเลือกวิธีหาค่า $t$ ที่ $Q$
(A) แทนสมการอิงตัวแปรเสริมของ $x$ และ $y$ ลงในสมการเส้นสัมผัส ได้สมการเดียวในรูป $t$
(B) ให้ความชันของเส้นสัมผัสเท่ากับ $\dfrac{dy}{dx}$ แล้วแก้หา $t$
(C) แทน $t=\pi$ ลงในสมการเส้นสัมผัส
Answershow ▾
(B) only finds the same gradient, not lying ON this line. (C) just gives $P$ back, since $t=\pi$ is where the tangent was found - a point on the line fits it with its own $x(t),y(t)$.(B) หาแค่จุดที่ $C$ มีความชันเท่ากับเส้นสัมผัส ซึ่งไม่เหมือนกับการอยู่บนเส้นตรงนี้ · (C) ได้จุด $P$ กลับมาอีกครั้งเท่านั้น เพราะ $t=\pi$ คือจุดที่หาเส้นสัมผัสมา · จุดที่อยู่บนเส้นตรงต้องเป็นจริงกับสมการเส้นตรง โดยใช้ $x(t)$ กับ $y(t)$ ของมันเอง
Find $\dfrac{dx}{dt}$ and $\dfrac{dy}{dt}$.
จงหา $\dfrac{dx}{dt}$ และ $\dfrac{dy}{dt}$
Answershow ▾
Same working as questions $1$ and $2$.ขั้นตอนเดียวกับข้อ $1$ และ $2$
Form $\dfrac{dy}{dx}$.
จงหา $\dfrac{dy}{dx}$
Answershow ▾
Divide $\dfrac{dy}{dt}$ by $\dfrac{dx}{dt}$.หาร $\dfrac{dy}{dt}$ ด้วย $\dfrac{dx}{dt}$
Find the coordinates of $P$ at $t=\pi$, then the tangent at $P$ using the gradient from question $3$.
จงหาพิกัดของ $P$ ที่ $t=\pi$ แล้วหาเส้นสัมผัสที่ $P$ โดยใช้ความชันจากข้อ $3$
Answershow ▾
$\sin\pi=0$, $\cos\pi=-1$.$\sin\pi=0$, $\cos\pi=-1$
Substitute $x=\sin t-3\cos^{2}t$ and $y=3\sin t+2\cos t$ into $y=3x+7$ to show $9\cos^{2}t+2\cos t-7=0$.
จงแทน $x=\sin t-3\cos^{2}t$ และ $y=3\sin t+2\cos t$ ใน $y=3x+7$ เพื่อแสดงว่า $9\cos^{2}t+2\cos t-7=0$
Answershow ▾
The $\sin t$ terms on each side cancel, leaving an equation in $\cos t$ only.พจน์ $\sin t$ ทั้งสองฝั่งตัดกัน เหลือสมการในรูป $\cos t$ เท่านั้น
Factorise $9\cos^{2}t+2\cos t-7=0$, reject the root giving $P$, then find the exact $y$ coordinate at $Q$.
จงแยกตัวประกอบ $9\cos^{2}t+2\cos t-7=0$ ตัดรากที่ให้จุด $P$ ทิ้ง แล้วหาพิกัด $y$ แม่นตรงที่ $Q$
Answershow ▾
$\cos t=-1$ is $t=\pi$, which is $P$ itself - the other root is $Q$.$\cos t=-1$ คือ $t=\pi$ ซึ่งคือจุด $P$ เอง รากอีกตัวคือจุด $Q$
A curve $C$ has parametric equations $x=\sin t-2\cos^{2}t$, $y=2\sin t+\cos t$, $t\in[0,5\pi]$. The point $P$ lies on $C$ where $t=\pi$.
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$ at $t=\pi$, and the tangent to $C$ at $P$.
(b) Given that this tangent cuts $C$ again at $Q$, show that the value of $t$ at $Q$ satisfies $4\cos^{2}t+\cos t-3=0$.
(c) Hence find the exact value of the $y$ coordinate of $Q$.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการอิงตัวแปรเสริม $x=\sin t-2\cos^{2}t$, $y=2\sin t+\cos t$, $t\in[0,5\pi]$ จุด $P$ อยู่บน $C$ ที่ $t=\pi$
(ก) จงหา $\dfrac{dy}{dx}$ ที่ $t=\pi$ แล้วหาเส้นสัมผัสของ $C$ ที่ $P$
(ข) กำหนดให้เส้นสัมผัสนี้ตัด $C$ อีกครั้งที่ $Q$ จงแสดงว่าค่า $t$ ที่ $Q$ สอดคล้องกับ $4\cos^{2}t+\cos t-3=0$
(ค) จากข้อ (ข) จงหาค่าแม่นตรงของพิกัด $y$ ที่ $Q$
Answershow ▾
Same moves: differentiate, evaluate at $t=\pi$, substitute into the tangent, then factorise and reject $P$.ขั้นตอนเดิม: หาอนุพันธ์ แทนค่าที่ $t=\pi$ แทนลงในเส้นสัมผัส แล้วแยกตัวประกอบและตัด $P$ ทิ้ง
The curve $C$ has parametric equations $x=\sin t-3\cos^{2}t$, $y=3\sin t+2\cos t$, $0\le t\le5\pi$. The point $P$ lies on $C$ where $t=\pi$.
(a) Show that $\dfrac{dy}{dx}=3$ where $t=\pi$.
(b) Find the equation of the tangent to the curve at $P$ in the form $y=mx+c$ where $m$ and $c$ are constants to be found.
(c) Given that the tangent to the curve at $P$ cuts $C$ again at the point $Q$, show that the value of $t$ at point $Q$ satisfies the equation $9\cos^{2}t+2\cos t-7=0$.
(d) Hence find the exact value of the $y$ coordinate of $Q$.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการอิงตัวแปรเสริม $x=\sin t-3\cos^{2}t$, $y=3\sin t+2\cos t$, $0\le t\le5\pi$ จุด $P$ อยู่บน $C$ ที่ $t=\pi$
(ก) จงแสดงว่า $\dfrac{dy}{dx}=3$ ที่ $t=\pi$
(ข) จงหาสมการเส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่ $P$ ในรูป $y=mx+c$ เมื่อ $m$ และ $c$ เป็นค่าคงที่ที่ต้องหา
(ค) กำหนดให้เส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่ $P$ ตัด $C$ อีกครั้งที่จุด $Q$ จงแสดงว่าค่า $t$ ที่จุด $Q$ สอดคล้องกับสมการ $9\cos^{2}t+2\cos t-7=0$
(ง) จากข้อ (c) จงหาค่าแม่นตรง (exact) ของพิกัด $y$ ของ $Q$
Answershow ▾
12 marks: differentiate, evaluate at $t=\pi$ for the tangent, substitute into it, then factorise and reject $P$.12 คะแนน: หาอนุพันธ์ แทนค่าที่ $t=\pi$ สำหรับเส้นสัมผัส แทนลงในเส้นสัมผัส แล้วแยกตัวประกอบและตัด $P$ ทิ้ง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A tangent meets a cubed-sine curve again เส้นสัมผัสตัดเส้นโค้งไซน์ยกกำลังสามอีกครั้ง
Figure 2 shows a sketch of the curve $C$ with parametric equations $x=2\cos2t$, $y=\sin^{3}t$, $-\pi\lt t\lt\pi$, where $t$ is a parameter. The point $P$ lies on $C$ where $t=\dfrac{\pi}{6}$. The line $l$, shown in Figure 2, is the tangent to $C$ at $P$.
(a) Use parametric differentiation to show that (i) $\dfrac{dy}{dx}=k\sin t$, where $k$ is a constant to be found (ii) an equation for $l$ is $3x+16y-5=0$.
(b) The line $l$ intersects the curve $C$ again at the point $Q$. Using algebra and showing detailed reasoning, find the exact coordinates of $Q$.
รูปที่ 2 แสดงภาพร่างของเส้นโค้ง $C$ ที่มีสมการอิงตัวแปรเสริม $x=2\cos2t$, $y=\sin^{3}t$, $-\pi\lt t\lt\pi$ เมื่อ $t$ เป็นพารามิเตอร์ จุด $P$ อยู่บน $C$ ที่ $t=\dfrac{\pi}{6}$ เส้นตรง $l$ ในรูปที่ 2 คือเส้นสัมผัสของ $C$ ที่ $P$
(ก) ใช้การหาอนุพันธ์แบบอิงตัวแปรเสริมแสดงว่า (i) $\dfrac{dy}{dx}=k\sin t$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ที่ต้องหา (ii) สมการของ $l$ คือ $3x+16y-5=0$
(ข) เส้นตรง $l$ ตัด $C$ อีกครั้งที่จุด $Q$ โดยใช้พีชคณิตและแสดงเหตุผลอย่างละเอียด จงหาพิกัดแม่นตรงของ $Q$
Differentiate $x=2\cos2t$ with respect to $t$.
จงหาอนุพันธ์ของ $x=2\cos2t$ เทียบกับ $t$
Answershow ▾
$\dfrac{d}{dt}(\cos2t)=-2\sin2t$, and $\sin2t=2\sin t\cos t$.$\dfrac{d}{dt}(\cos2t)=-2\sin2t$ และ $\sin2t=2\sin t\cos t$
Differentiate $y=\sin^{3}t$ with respect to $t$.
จงหาอนุพันธ์ของ $y=\sin^{3}t$ เทียบกับ $t$
Answershow ▾
The chain rule: bring the power $3$ down, then multiply by $\cos t$.กฎลูกโซ่: ดึงเลขชี้กำลัง $3$ ลงมา แล้วคูณด้วย $\cos t$
Given $\dfrac{dx}{dt}=-8\sin t\cos t$ and $\dfrac{dy}{dt}=3\sin^{2}t\cos t$, find $\dfrac{dy}{dx}$.
กำหนดให้ $\dfrac{dx}{dt}=-8\sin t\cos t$ และ $\dfrac{dy}{dt}=3\sin^{2}t\cos t$ จงหา $\dfrac{dy}{dx}$
Answershow ▾
$\cos t$ and one $\sin t$ cancel.$\cos t$ และ $\sin t$ หนึ่งตัวตัดกัน
To find where the tangent meets $C$ again, you substitute $x=2\cos2t$ into the tangent equation, then need $\cos2t$ written using $\sin t$ only. Pick the identity.
(A) $\cos2t=1-2\sin^{2}t$
(B) $\cos2t=2\cos^{2}t-1$
(C) $\cos2t=1-\sin^{2}t$
เพื่อหาจุดที่เส้นสัมผัสตัด $C$ อีกครั้ง ต้องแทน $x=2\cos2t$ ลงในสมการเส้นสัมผัส แล้วต้องเขียน $\cos2t$ ด้วย $\sin t$ เท่านั้น จงเลือกเอกลักษณ์
(A) $\cos2t=1-2\sin^{2}t$
(B) $\cos2t=2\cos^{2}t-1$
(C) $\cos2t=1-\sin^{2}t$
Answershow ▾
(B) needs $\cos t$, which is not known in terms of $x$ or $y$ here. (C) is simply not a true identity - it drops the factor of $2$ in front of $\sin^{2}t$.(B) ต้องใช้ $\cos t$ ซึ่งไม่รู้ในรูป $x$ หรือ $y$ ที่นี่ · (C) ไม่ใช่เอกลักษณ์ที่เป็นจริง เพราะลืมตัวคูณ $2$ หน้า $\sin^{2}t$
Find $\dfrac{dx}{dt}$ and $\dfrac{dy}{dt}$.
จงหา $\dfrac{dx}{dt}$ และ $\dfrac{dy}{dt}$
Answershow ▾
Same working as questions $1$ and $2$.ขั้นตอนเดียวกับข้อ $1$ และ $2$
Form $\dfrac{dy}{dx}$ and simplify.
จงหา $\dfrac{dy}{dx}$ แล้วตัดทอน
Answershow ▾
Same working as question $3$.ขั้นตอนเดียวกับข้อ $3$
Find the coordinates of $P$ at $t=\dfrac{\pi}{6}$, the gradient there, then the tangent $l$.
จงหาพิกัดของ $P$ ที่ $t=\dfrac{\pi}{6}$ ความชันที่จุดนั้น แล้วหาเส้นสัมผัส $l$
Answershow ▾
$\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12$, $\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}$.$\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12$, $\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}$
Substitute $x=2\cos2t$ and $y=\sin^{3}t$ into $3x+16y-5=0$, then use $\cos2t=1-2\sin^{2}t$.
จงแทน $x=2\cos2t$ และ $y=\sin^{3}t$ ใน $3x+16y-5=0$ แล้วใช้ $\cos2t=1-2\sin^{2}t$
Answershow ▾
Expand, then collect everything on one side.กระจาย แล้วรวมทุกพจน์ไว้ฝั่งเดียว
Factorise $16\sin^{3}t-12\sin^{2}t+1=0$ using $\sin t=\dfrac12$ as a repeated root, then find the exact coordinates of $Q$.
จงแยกตัวประกอบ $16\sin^{3}t-12\sin^{2}t+1=0$ โดยใช้ $\sin t=\dfrac12$ เป็นรากซ้ำ แล้วหาพิกัดแม่นตรงของ $Q$
Answershow ▾
$\sin t=\dfrac12$ is $P$ itself - the other root of the quadratic factor is $Q$.$\sin t=\dfrac12$ คือจุด $P$ เอง รากอีกตัวของตัวประกอบกำลังสองคือจุด $Q$
A curve $C$ has parametric equations $x=2\cos2t$, $y=2\sin^{3}t$, $-\pi\lt t\lt\pi$. The point $P$ lies on $C$ where $t=\dfrac{\pi}{6}$. The line $l$ is the tangent to $C$ at $P$.
(a) Show that (i) $\dfrac{dy}{dx}=k\sin t$, (ii) an equation for $l$ is $3x+8y-5=0$.
(b) The line $l$ meets $C$ again at $Q$. Find the exact coordinates of $Q$.
เส้นโค้ง $C$ มีสมการอิงตัวแปรเสริม $x=2\cos2t$, $y=2\sin^{3}t$, $-\pi\lt t\lt\pi$ จุด $P$ อยู่บน $C$ ที่ $t=\dfrac{\pi}{6}$ เส้นตรง $l$ คือเส้นสัมผัสของ $C$ ที่ $P$
(ก) จงแสดงว่า (i) $\dfrac{dy}{dx}=k\sin t$ (ii) สมการของ $l$ คือ $3x+8y-5=0$
(ข) เส้นตรง $l$ ตัด $C$ อีกครั้งที่ $Q$ จงหาพิกัดแม่นตรงของ $Q$
Answershow ▾
Same moves: differentiate, form $dy/dx$, use $t=\pi/6$, substitute, then remove the repeated root.ขั้นตอนเดิม: หาอนุพันธ์ หา $dy/dx$ ใช้ $t=\pi/6$ แทนค่า แล้วตัดรากซ้ำทิ้ง
Figure 2 shows a sketch of the curve $C$ with parametric equations $x=2\cos2t$, $y=\sin^{3}t$, $-\pi\lt t\lt\pi$, where $t$ is a parameter. The point $P$ lies on $C$ where $t=\dfrac{\pi}{6}$. The line $l$, shown in Figure 2, is the tangent to $C$ at $P$.
(a) Use parametric differentiation to show that (i) $\dfrac{dy}{dx}=k\sin t$, where $k$ is a constant to be found (ii) an equation for $l$ is $3x+16y-5=0$.
(b) The line $l$ intersects the curve $C$ again at the point $Q$. Using algebra and showing detailed reasoning, find the exact coordinates of $Q$.
รูปที่ 2 แสดงภาพร่างของเส้นโค้ง $C$ ที่มีสมการอิงตัวแปรเสริม $x=2\cos2t$, $y=\sin^{3}t$, $-\pi\lt t\lt\pi$ เมื่อ $t$ เป็นพารามิเตอร์ จุด $P$ อยู่บน $C$ ที่ $t=\dfrac{\pi}{6}$ เส้นตรง $l$ ในรูปที่ 2 คือเส้นสัมผัสของ $C$ ที่ $P$
(ก) ใช้การหาอนุพันธ์แบบอิงตัวแปรเสริมแสดงว่า (i) $\dfrac{dy}{dx}=k\sin t$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ที่ต้องหา (ii) สมการของ $l$ คือ $3x+16y-5=0$
(ข) เส้นตรง $l$ ตัด $C$ อีกครั้งที่จุด $Q$ โดยใช้พีชคณิตและแสดงเหตุผลอย่างละเอียด จงหาพิกัดแม่นตรงของ $Q$
Answershow ▾
12 marks: differentiate, form $dy/dx$, use $t=\pi/6$ for the tangent, substitute, then remove the repeated root.12 คะแนน: หาอนุพันธ์ หา $dy/dx$ ใช้ $t=\pi/6$ สำหรับเส้นสัมผัส แทนค่า แล้วตัดรากซ้ำทิ้ง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Where a tangent meets its curve a second time จุดที่เส้นสัมผัสตัดเส้นโค้งของมันเองอีกครั้ง
Figure 2 shows a sketch of part of the curve with parametric equations $x=2t^{2}-6t$, $y=t^{3}-4t$, $t\in\mathbb{R}$. The curve cuts the $x$-axis at the origin and at the points $A$ and $B$, as shown in Figure 2.
(a) Find the coordinates of $A$ and show that $B$ has coordinates $(20,0)$.
(b) Show that the equation of the tangent to the curve at $B$ is $7y+4x-80=0$.
(c) The tangent to the curve at $B$ cuts the curve again at the point $P$. Find, using algebra, the $x$ coordinate of $P$.
รูปที่ 2 แสดงภาพร่างบางส่วนของเส้นโค้งที่มีสมการอิงตัวแปรเสริม $x=2t^{2}-6t$, $y=t^{3}-4t$, $t\in\mathbb{R}$ เส้นโค้งตัดแกน $x$ ที่จุดกำเนิดและที่จุด $A$ กับ $B$ ดังแสดงในรูปที่ 2
(ก) จงหาพิกัดของ $A$ และแสดงว่า $B$ มีพิกัด $(20,0)$
(ข) จงแสดงว่าสมการเส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่ $B$ คือ $7y+4x-80=0$
(ค) เส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่ $B$ ตัดเส้นโค้งอีกครั้งที่จุด $P$ โดยใช้พีชคณิต จงหาพิกัด $x$ ของ $P$
Solve $t^{3}-4t=0$.
จงแก้สมการ $t^{3}-4t=0$
Answershow ▾
Take out a factor of $t$ first, then factorise the quadratic that is left.ดึง $t$ เป็นตัวประกอบก่อน แล้วแยกตัวประกอบที่เหลือซึ่งเป็นกำลังสอง
Find $x$ when $t=2$, given $x=2t^{2}-6t$.
จงหา $x$ เมื่อ $t=2$ โดย $x=2t^{2}-6t$
Answershow ▾
Substitute $t=2$ directly.แทน $t=2$ ตรงๆ
Given $\dfrac{dx}{dt}=4t-6$ and $\dfrac{dy}{dt}=3t^{2}-4$, form $\dfrac{dy}{dx}$.
กำหนดให้ $\dfrac{dx}{dt}=4t-6$ และ $\dfrac{dy}{dt}=3t^{2}-4$ จงหา $\dfrac{dy}{dx}$
Answershow ▾
Divide $\dfrac{dy}{dt}$ by $\dfrac{dx}{dt}$.หาร $\dfrac{dy}{dt}$ ด้วย $\dfrac{dx}{dt}$
$t^{3}-4t=0$ gives $t=0,2,-2$: the origin, $A$, and $B$. Pick how to decide which root is $A$ and which is $B$.
(A) work out $x$ at each nonzero root, then match it to the point named in the question
(B) assume the larger $t$ value gives the point further right
(C) assume a negative $t$ always gives a negative $x$
$t^{3}-4t=0$ ให้ $t=0,2,-2$ คือจุดกำเนิด $A$ และ $B$ จงเลือกวิธีตัดสินว่ารากไหนคือ $A$ และรากไหนคือ $B$
(A) คำนวณ $x$ ที่รากที่ไม่เป็นศูนย์แต่ละตัว แล้วจับคู่กับจุดที่โจทย์ระบุ
(B) สมมติว่า $t$ ที่มากกว่าให้จุดที่อยู่ขวามากกว่า
(C) สมมติว่า $t$ ที่เป็นลบให้ $x$ เป็นลบเสมอ
Answershow ▾
$x=2t^{2}-6t$ is not increasing or decreasing in a simple way with $t$, so (B) and (C) are both guesses - $t=2$ actually gives $x=-4$ and $t=-2$ gives $x=20$, the OPPOSITE of what (B) and (C) assume.$x=2t^{2}-6t$ ไม่ได้เพิ่มหรือลดตาม $t$ อย่างง่ายๆ (B) และ (C) จึงเป็นการเดาทั้งคู่ - ที่จริง $t=2$ ให้ $x=-4$ และ $t=-2$ ให้ $x=20$ ซึ่งตรงข้ามกับที่ (B) และ (C) สมมติ
Solve $t^{3}-4t=0$, then find the coordinates of $A$ (at $t=2$) and show $B=(20,0)$ (at $t=-2$).
จงแก้ $t^{3}-4t=0$ แล้วหาพิกัดของ $A$ (ที่ $t=2$) และแสดงว่า $B=(20,0)$ (ที่ $t=-2$)
Answershow ▾
Same working as questions $1$ and $2$.ขั้นตอนเดียวกับข้อ $1$ และ $2$
Find $\dfrac{dx}{dt}$ and $\dfrac{dy}{dt}$.
จงหา $\dfrac{dx}{dt}$ และ $\dfrac{dy}{dt}$
Answershow ▾
Bring each power down and multiply.ดึงเลขชี้กำลังของแต่ละพจน์ลงมาคูณ
Form $\dfrac{dy}{dx}$, evaluate it at $t=-2$ (point $B$), then find the tangent.
จงหา $\dfrac{dy}{dx}$ แทน $t=-2$ (จุด $B$) แล้วหาเส้นสัมผัส
Answershow ▾
Same ratio working as question $3$.การหารแบบเดียวกับข้อ $3$
Substitute $x=2t^{2}-6t$ and $y=t^{3}-4t$ into $7y+4x-80=0$ and expand.
จงแทน $x=2t^{2}-6t$ และ $y=t^{3}-4t$ ใน $7y+4x-80=0$ แล้วกระจาย
Answershow ▾
Multiply out each bracket, then collect like terms.กระจายแต่ละวงเล็บ แล้วรวมพจน์ที่เหมือนกัน
Factorise $7t^{3}+8t^{2}-52t-80=0$ using $t=-2$ as a repeated root, then find the exact $x$ coordinate of $P$.
จงแยกตัวประกอบ $7t^{3}+8t^{2}-52t-80=0$ โดยใช้ $t=-2$ เป็นรากซ้ำ แล้วหาพิกัด $x$ แม่นตรงของ $P$
Answershow ▾
$t=-2$ is $B$ itself, so the tangent there means it is a DOUBLE root - the single root left is $P$.$t=-2$ คือจุด $B$ เอง เส้นสัมผัสที่จุดนั้นจึงทำให้เป็นรากซ้ำสองชั้น รากเดียวที่เหลือคือจุด $P$
A curve has parametric equations $x=t^{2}-2t$, $y=t^{3}-t$, $t\in\mathbb{R}$. The curve cuts the $x$-axis at the origin and at the points $A$ and $B$.
(a) Find the coordinates of $A$ and show that $B$ has coordinates $(3,0)$.
(b) Show that the tangent to the curve at $B$ is $x+2y-3=0$.
(c) The tangent at $B$ cuts the curve again at $P$. Find the $x$ coordinate of $P$.
เส้นโค้งหนึ่งมีสมการอิงตัวแปรเสริม $x=t^{2}-2t$, $y=t^{3}-t$, $t\in\mathbb{R}$ เส้นโค้งนี้ตัดแกน $x$ ที่จุดกำเนิดและที่จุด $A$ กับ $B$
(ก) จงหาพิกัดของ $A$ และแสดงว่า $B$ มีพิกัด $(3,0)$
(ข) จงแสดงว่าเส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่ $B$ คือ $x+2y-3=0$
(ค) เส้นสัมผัสที่ $B$ ตัดเส้นโค้งอีกครั้งที่ $P$ จงหาพิกัด $x$ ของ $P$
Answershow ▾
Same moves: factorise, evaluate, differentiate, form the tangent, substitute, remove the repeated root.ขั้นตอนเดิม: แยกตัวประกอบ แทนค่า หาอนุพันธ์ ตั้งเส้นสัมผัส แทนค่า แล้วตัดรากซ้ำทิ้ง
Figure 2 shows a sketch of part of the curve with parametric equations $x=2t^{2}-6t$, $y=t^{3}-4t$, $t\in\mathbb{R}$. The curve cuts the $x$-axis at the origin and at the points $A$ and $B$, as shown in Figure 2.
(a) Find the coordinates of $A$ and show that $B$ has coordinates $(20,0)$.
(b) Show that the equation of the tangent to the curve at $B$ is $7y+4x-80=0$.
(c) The tangent to the curve at $B$ cuts the curve again at the point $P$. Find, using algebra, the $x$ coordinate of $P$.
รูปที่ 2 แสดงภาพร่างบางส่วนของเส้นโค้งที่มีสมการอิงตัวแปรเสริม $x=2t^{2}-6t$, $y=t^{3}-4t$, $t\in\mathbb{R}$ เส้นโค้งตัดแกน $x$ ที่จุดกำเนิดและที่จุด $A$ กับ $B$ ดังแสดงในรูปที่ 2
(ก) จงหาพิกัดของ $A$ และแสดงว่า $B$ มีพิกัด $(20,0)$
(ข) จงแสดงว่าสมการเส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่ $B$ คือ $7y+4x-80=0$
(ค) เส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่ $B$ ตัดเส้นโค้งอีกครั้งที่จุด $P$ โดยใช้พีชคณิต จงหาพิกัด $x$ ของ $P$
Answershow ▾
12 marks: factorise, evaluate at the roots, differentiate, form the tangent, substitute, then remove the repeated root.12 คะแนน: แยกตัวประกอบ แทนค่าที่ราก หาอนุพันธ์ ตั้งเส้นสัมผัส แทนค่า แล้วตัดรากซ้ำทิ้ง