Partial fractions · practice ladders ชุดไต่ระดับ · เศษส่วนย่อย
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Partial fractions · an improper fraction, divided first
Express $\dfrac{-x^2 + 16x - 30}{(x - 1)(x - 4)}$ in partial fractions, in the form $A + \dfrac{B}{x - 1} + \dfrac{C}{x - 4}$, where $A$, $B$ and $C$ are constants to be found.
Is $\dfrac{2x^2 - 2x - 8}{(x - 3)(x + 1)}$ a proper or an improper fraction? Give a reason based on the degree of the numerator and the degree of the denominator.
$\dfrac{2x^2 - 2x - 8}{(x - 3)(x + 1)}$ เป็นเศษส่วนแท้หรือเศษส่วนเกิน จงให้เหตุผลโดยเปรียบเทียบดีกรีของตัวเศษกับตัวส่วน
Answershow ▾
A fraction is improper when the numerator's degree is greater than or equal to the denominator's. Here both are quadratics, so it is improper and must be divided before it can be split into partial fractions — that is what makes this a Pure 4 question rather than a Pure 3 one.
Divide $2x^2 - 2x - 8$ by $(x - 3)(x + 1)$, giving your answer as a constant plus a remainder over the original denominator.
Answershow ▾
Since $(x - 3)(x + 1)$ is monic, the quotient is just the coefficient of $x^2$ in the numerator — long division reaches the same answer more slowly.
Express $\dfrac{2x - 2}{(x - 3)(x + 1)}$ in partial fractions, in the form $\dfrac{B}{x - 3} + \dfrac{C}{x + 1}$.
จงเขียน $\dfrac{2x - 2}{(x - 3)(x + 1)}$ ในรูปเศษส่วนย่อย $\dfrac{B}{x - 3} + \dfrac{C}{x + 1}$
Answershow ▾
Once the division is done, what's left is an ordinary PROPER fraction with two distinct linear factors — cover-up applies exactly as it would in Pure 3.
Before any cover-up, one test decides whether a division is needed. Apply it to all three of these and say which are improper:
(A) $\dfrac{4x - 6}{(x + 2)(x + 1)^2}$ (B) $\dfrac{-x^2 + 16x - 30}{(x - 1)(x - 4)}$ (C) $\dfrac{x^3 + 1}{(x - 2)(x + 5)}$
State the test in one sentence.
ก่อนจะ cover-up มีการทดสอบหนึ่งข้อที่ตัดสินว่าต้องหารก่อนหรือไม่ · จงใช้มันกับทั้งสามข้อ แล้วบอกว่าข้อไหนเป็นเศษส่วนเกิน
(A) $\dfrac{4x - 6}{(x + 2)(x + 1)^2}$ (B) $\dfrac{-x^2 + 16x - 30}{(x - 1)(x - 4)}$ (C) $\dfrac{x^3 + 1}{(x - 2)(x + 5)}$
แล้วเขียนการทดสอบนั้นเป็นหนึ่งประโยค
Answershow ▾
The word EQUAL is the whole trap: (B) has degree $2$ on both sides and looks balanced, which is exactly why students head straight for cover-up and get a system with no solution. Count the degrees before writing anything, and remember that $(x - 1)(x - 4)$ has degree $2$ without being multiplied out. This test is the only thing separating a Pure 4 question from a Pure 3 one, and no mark is written for running it.คำว่า "เท่ากับ" คือกับดักทั้งหมด: (B) มีดีกรี $2$ ทั้งสองฝั่งและดูสมดุล ซึ่งเป็นเหตุผลที่นักเรียนพุ่งไป cover-up ทันทีแล้วได้ระบบสมการที่ไม่มีคำตอบ · ให้นับดีกรีก่อนเขียนอะไรทั้งนั้น และจำไว้ว่า $(x - 1)(x - 4)$ มีดีกรี $2$ โดยไม่ต้องกระจาย · การทดสอบนี้คือสิ่งเดียวที่แยกโจทย์ Pure 4 ออกจาก Pure 3 และไม่มีคะแนนเขียนไว้ให้
$\dfrac{-x^2 + 16x - 30}{(x - 1)(x - 4)}$. Explain why this fraction is improper.
Answershow ▾
Exactly the same check as question 1, now with the real numbers. Spotting this is what tells you to divide FIRST, before attempting cover-up.
Divide $-x^2 + 16x - 30$ by $(x - 1)(x - 4)$ to find the constant quotient $A$ and the remainder.
Answershow ▾
Same move as question 2 — compare the coefficient of $x^2$ for $A$, then subtract $A(x-p)(x-q)$ from the numerator to find what is left over.
Here $A = -1$, read straight off the coefficient of $x^2$ in the numerator. That shortcut works because $(x - 1)(x - 4)$ expands to $x^2 - 5x + 4$, with leading coefficient $1$. Would $A$ still be $-1$ if the denominator had been $2x^2 - 10x + 8$? Give the value and say what the shortcut really is.
ที่นี่ $A = -1$ อ่านได้ตรง ๆ จากสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ ในตัวเศษ · ทางลัดนั้นใช้ได้เพราะ $(x - 1)(x - 4)$ กระจายได้ $x^2 - 5x + 4$ ซึ่งมีสัมประสิทธิ์นำเป็น $1$ · ถ้าตัวส่วนเป็น $2x^2 - 10x + 8$ ค่า $A$ จะยังเป็น $-1$ ไหม · จงบอกค่าและบอกว่าทางลัดที่แท้จริงคืออะไร
Answershow ▾
The quotient of an improper fraction is what the fraction settles down to for very large $x$, and that is the ratio of the leading coefficients — visible as the horizontal asymptote on the picture. A monic denominator makes the ratio look like a straight copy of the top coefficient, which is why the shortcut is so often remembered in the wrong form. Long division reaches the same answer more slowly and never lets you get this wrong. The B1 is for $A$, whichever way you found it.ผลหารของเศษส่วนเกินคือค่าที่เศษส่วนเข้าใกล้เมื่อ $x$ ใหญ่มาก และนั่นคืออัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำทั้งสอง ซึ่งเห็นได้เป็นเส้นกำกับแนวนอนในภาพ · ตัวส่วนที่มีสัมประสิทธิ์นำเป็น $1$ ทำให้อัตราส่วนดูเหมือนการลอกสัมประสิทธิ์ตัวบนมาตรง ๆ จึงเป็นเหตุผลที่ทางลัดนี้ถูกจำผิดรูปบ่อยมาก · การหารยาวได้คำตอบเดียวกันแต่ช้ากว่า และไม่มีทางทำให้พลาดข้อนี้ · B1 ให้กับค่า $A$ ไม่ว่าจะหามาด้วยวิธีไหน
Express $\dfrac{11x - 26}{(x - 1)(x - 4)}$ in partial fractions, in the form $\dfrac{B}{x - 1} + \dfrac{C}{x - 4}$.
Answershow ▾
Same move as question 3, with the real remainder. Cover $(x - 1)$ and substitute $x = 1$ for $B$; cover $(x - 4)$ and substitute $x = 4$ for $C$.
Using $A = -1$, $B = 5$, $C = 6$, write down the complete partial fraction decomposition of $\dfrac{-x^2 + 16x - 30}{(x - 1)(x - 4)}$.
Answershow ▾
Questions 5 and 6 chained: divide to get $A$ and the remainder, then cover-up the remainder to get $B$ and $C$ — put all three into $A + B/(x-p) + C/(x-q)$.
The question asks for the form $A + \dfrac{B}{x - 1} + \dfrac{C}{x - 4}$. A student writes $\dfrac{5}{x - 1} + \dfrac{6}{x - 4}$ and stops. Substitute $x = 0$ into their answer and into the original fraction, and say what the two numbers show.
โจทย์ขอรูป $A + \dfrac{B}{x - 1} + \dfrac{C}{x - 4}$ · นักเรียนคนหนึ่งเขียน $\dfrac{5}{x - 1} + \dfrac{6}{x - 4}$ แล้วหยุด · จงแทน $x = 0$ ลงในคำตอบของเขาและในเศษส่วนเดิม แล้วบอกว่าตัวเลขสองตัวบอกอะไร
Answershow ▾
Dropping $A$ is easy because it does not look like a partial fraction — it is the only term without a denominator, and it arrives from a different step than the other two. Substituting any convenient value of $x$ into your answer and into the original takes ten seconds and catches it, along with any slip in $B$ or $C$. The A1 is for all three constants together; a decomposition missing its constant term scores nothing for it and looks complete.การทำ $A$ หายเกิดขึ้นง่ายเพราะมันไม่หน้าตาเหมือนเศษส่วนย่อย มันเป็นพจน์เดียวที่ไม่มีตัวส่วน และมาจากขั้นตอนคนละขั้นกับอีกสองตัว · การแทนค่า $x$ สะดวก ๆ ลงในคำตอบและในเศษส่วนเดิมใช้เวลาสิบวินาที และจับได้ทั้งข้อนี้และความพลาดใน $B$ หรือ $C$ · A1 ให้กับค่าคงที่ทั้งสามพร้อมกัน การแยกที่ขาดพจน์คงที่ไม่ได้คะแนนส่วนนั้น และดูเหมือนเสร็จแล้ว
Check the decomposition $-1 + \dfrac{5}{x - 1} + \dfrac{6}{x - 4}$ by combining it back into a single fraction, and confirm it equals $\dfrac{-x^2 + 16x - 30}{(x - 1)(x - 4)}$.
จงตรวจสอบคำตอบ $-1 + \dfrac{5}{x - 1} + \dfrac{6}{x - 4}$ โดยรวมกลับเป็นเศษส่วนเดียว แล้วยืนยันว่าเท่ากับ $\dfrac{-x^2 + 16x - 30}{(x - 1)(x - 4)}$
Answershow ▾
Recombining is the standard check: put every term over the common denominator and multiply out the numerator — it must reduce back to the original numerator. Worth doing every time, since a slip in $A$, $B$ or $C$ is otherwise invisible.
Express $\dfrac{x^2 + x + 2}{(x - 1)(x + 1)}$ in partial fractions, in the form $A + \dfrac{B}{x - 1} + \dfrac{C}{x + 1}$.
จงเขียน $\dfrac{x^2 + x + 2}{(x - 1)(x + 1)}$ ในรูปเศษส่วนย่อย
Answershow ▾
The exact same two moves as the exam question — divide to find $A$ and the remainder, then cover-up the remainder for $B$ and $C$ — with smaller numbers throughout.
Express $\dfrac{-x^2 + 16x - 30}{(x - 1)(x - 4)}$ in partial fractions, in the form $A + \dfrac{B}{x - 1} + \dfrac{C}{x - 4}$, where $A$, $B$ and $C$ are constants to be found.
Answershow ▾
8 marks. Questions 4 and 5 find $A$ and the remainder by division; question 6 finds $B$ and $C$ by cover-up; question 7 assembles the final answer.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Partial fractions · split it, then use it
(a) Express $\dfrac{-5x - 1}{(x + 1)(x - 1)}$ in partial fractions, in the form $\dfrac{A}{x + 1} + \dfrac{B}{x - 1}$.
(b) Hence show that $\displaystyle\int_{2}^{5} \dfrac{-5x - 1}{(x + 1)(x - 1)}\,dx$ has the exact value $\ln\left(\dfrac{1}{256}\right)$.
Express $\dfrac{-x + 6}{(x - 2)(x + 2)}$ in partial fractions, in the form $\dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{x + 2}$.
จงเขียน $\dfrac{-x + 6}{(x - 2)(x + 2)}$ ในรูปเศษส่วนย่อย $\dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{x + 2}$
Answershow ▾
Cover-up: cover $(x - 2)$ and substitute $x = 2$ for $A$; cover $(x + 2)$ and substitute $x = -2$ for $B$.
Find $\displaystyle\int \dfrac{-2}{x - 3}\,dx$.
Answershow ▾
A partial fraction of the form $k/(x-r)$ integrates directly to $k\ln(x-r)$ — this is the one new integral every partial-fractions-and-integration question relies on.
Find the exact value of $\displaystyle\int_{5}^{9} \dfrac{-2}{x - 3}\,dx$, giving your answer as a single logarithm.
จงหาค่าที่แท้จริงของ $\displaystyle\int_{5}^{9} \dfrac{-2}{x - 3}\,dx$ โดยเขียนคำตอบเป็นลอการิทึมเดียว
Answershow ▾
$\left[-2\ln\left(x - 3\right)\right]_{5}^{9}$ $= -2\ln\left(6\right) - -2\ln\left(2\right)$ $= -2\ln\left(\dfrac{6}{2}\right)$, and $k\ln p = \ln(p^k)$ turns that multiplier into a single log.
Cover-up needs the value of $x$ that KILLS the factor. For $\dfrac{-5x - 1}{(x + 1)(x - 1)}$, which $x$ do you substitute to find $A$, and which to find $B$? A student uses $x = 1$ for $A$. What have they done, and what do they get?
cover-up ต้องใช้ค่า $x$ ที่ทำให้ตัวประกอบเป็นศูนย์ · สำหรับ $\dfrac{-5x - 1}{(x + 1)(x - 1)}$ จะแทนค่า $x$ เท่าไรเพื่อหา $A$ และเท่าไรเพื่อหา $B$ · นักเรียนคนหนึ่งใช้ $x = 1$ หา $A$ · เขาทำอะไรลงไป และได้อะไร
Answershow ▾
The sign of the substituted value is the OPPOSITE of the sign in the bracket, because you want the bracket to vanish: $(x + 1)$ dies at $x = -1$. This is the single commonest slip in cover-up, and it is invisible — both values are legitimate numbers and both produce a plausible constant. Solving the bracket $= 0$ explicitly, rather than reading the sign off, costs one line and never goes wrong. The B1 pays for $A$ and $B$; nothing pays for which root belongs to which.เครื่องหมายของค่าที่แทนเป็น "ตรงข้าม" กับเครื่องหมายในวงเล็บ เพราะเราต้องการให้วงเล็บเป็นศูนย์: $(x + 1)$ เป็นศูนย์ที่ $x = -1$ · นี่คือความพลาดที่พบบ่อยที่สุดของ cover-up และมันมองไม่เห็น เพราะค่าทั้งสองเป็นตัวเลขที่ถูกต้องและให้ค่าคงที่ที่ดูสมเหตุสมผลทั้งคู่ · การเขียนวงเล็บ $= 0$ แล้วแก้ออกมา แทนการอ่านเครื่องหมายเอา ใช้บรรทัดเดียวและไม่เคยผิด · B1 ให้กับ $A$ และ $B$ ไม่มีคะแนนให้กับการรู้ว่ารากไหนเป็นของตัวไหน
$\dfrac{-5x - 1}{(x + 1)(x - 1)} \equiv \dfrac{A}{x + 1} + \dfrac{B}{x - 1}$. Multiply both sides by $(x + 1)(x - 1)$ to clear the fractions.
Answershow ▾
This identity holds for every value of $x$ — that is what makes it valid to pick convenient values of $x$ (the roots of each factor) to find $A$ and $B$ one at a time.
Using the identity from question 4, use the cover-up rule to find $A$ and $B$.
Answershow ▾
Same two moves as question 1, now with the real numbers. This is part (a) of the exam question.
Using $A = -2$ and $B = -3$, find $\displaystyle\int \left(-\dfrac{2}{x + 1} - \dfrac{3}{x - 1}\right) dx$.
Answershow ▾
Same move as question 2, applied to each of the two partial fractions in turn.
Part (b) begins with the word Hence. Two routes reach $\ln\!\left(\frac{1}{256}\right)$: (A) integrate $-\dfrac{2}{x + 1} - \dfrac{3}{x - 1}$ term by term, or (B) go back to $\dfrac{-5x - 1}{(x + 1)(x - 1)}$ and look for a substitution. Which route does Hence instruct, and which part of the question is it pointing back to?
ข้อ (b) ขึ้นต้นด้วยคำว่า Hence · มีสองทางที่ไปถึง $\ln\!\left(\frac{1}{256}\right)$: (A) อินทิเกรต $-\dfrac{2}{x + 1} - \dfrac{3}{x - 1}$ ทีละพจน์ หรือ (B) ย้อนกลับไปที่ $\dfrac{-5x - 1}{(x + 1)(x - 1)}$ แล้วหาการแทนค่า · คำว่า Hence สั่งให้ใช้ทางไหน และชี้กลับไปที่ข้อย่อยไหน
Answershow ▾
Hence means: use the result you have just been paid for. Part (a) exists solely to make part (b) integrable, and route (B) throws that away — the numerator is not a multiple of the derivative of the denominator, so there is no substitution to find and the search costs minutes. Some boards will not accept an answer that ignores “Hence” even when the arithmetic is right. Reading the word is worth no mark and decides the whole of part (b).Hence แปลว่า ให้ใช้ผลที่เพิ่งได้คะแนนไป · ข้อ (a) มีอยู่เพื่อทำให้ข้อ (b) อินทิเกรตได้เท่านั้น และทาง (B) ทิ้งมันไปเปล่า ๆ เพราะตัวเศษไม่ใช่พหุคูณของอนุพันธ์ของตัวส่วน จึงไม่มีการแทนค่าให้หา และการค้นหาเสียเวลาเป็นนาที · บางบอร์ดไม่รับคำตอบที่มองข้ามคำว่า "Hence" แม้เลขจะถูก · การอ่านคำนี้ออกไม่มีคะแนน แต่ตัดสินข้อ (b) ทั้งข้อ
Hence show that $\displaystyle\int_{2}^{5} \left(-\dfrac{2}{x + 1} - \dfrac{3}{x - 1}\right) dx$ $= \ln\left(\dfrac{1}{256}\right)$.
จงแสดงว่า $\displaystyle\int_{2}^{5} \left(-\dfrac{2}{x + 1} - \dfrac{3}{x - 1}\right) dx$ $= \ln\left(\dfrac{1}{256}\right)$
Answershow ▾
'Hence' means use the antiderivative from question 6 directly: substitute the top limit, substitute the bottom limit, subtract, then combine the resulting logs into one using $k\ln p = \ln(p^k)$ and $\ln p + \ln q = \ln(pq)$ — this whole step depends on the partial fractions found in part (a).
$\ln\!\left(\frac{1}{256}\right)$ is negative, which looks alarming for an integral. Check the sign of $\dfrac{-5x - 1}{(x + 1)(x - 1)}$ at $x = 2$ and at $x = 5$, and say why a negative answer is exactly what should have been expected. What would a POSITIVE answer have told you?
$\ln\!\left(\frac{1}{256}\right)$ ติดลบ ซึ่งดูน่าตกใจสำหรับอินทิกรัล · จงตรวจเครื่องหมายของ $\dfrac{-5x - 1}{(x + 1)(x - 1)}$ ที่ $x = 2$ และที่ $x = 5$ แล้วบอกว่าทำไมคำตอบที่ติดลบคือสิ่งที่ควรคาดไว้อยู่แล้ว · แล้วถ้าได้คำตอบเป็นบวก มันจะบอกอะไร
Answershow ▾
A definite integral counts area below the axis as negative, so the sign of the answer is decided before any integration happens — two substitutions settle it. Both $A$ and $B$ came out negative, and losing one of those minus signs would flip the answer to $\ln 256$, a positive number that looks every bit as respectable. Since the question is a “show that”, you already know the target; the sign check is what tells you whether you are heading for it. It is worth no mark at all.อินทิกรัลจำกัดเขตนับพื้นที่ใต้แกนเป็นลบ เครื่องหมายของคำตอบจึงถูกตัดสินก่อนจะอินทิเกรตด้วยซ้ำ · การแทนค่าสองครั้งก็จบ · ทั้ง $A$ และ $B$ ออกมาติดลบ และถ้าทำเครื่องหมายลบหายไปตัวหนึ่ง คำตอบจะพลิกเป็น $\ln 256$ ซึ่งเป็นจำนวนบวกที่ดูน่านับถือไม่แพ้กัน · เพราะข้อนี้เป็นแบบ "show that" เราจึงรู้เป้าหมายอยู่แล้ว การตรวจเครื่องหมายคือสิ่งที่บอกว่ากำลังมุ่งไปถูกทางหรือไม่ · และมันไม่มีคะแนนเลย
Differentiate $-2\ln\left(x + 1\right) - 3\ln\left(x - 1\right) + c$ with respect to $x$, and confirm you recover the original integrand $\dfrac{-5x - 1}{(x + 1)(x - 1)}$.
Answershow ▾
Differentiation undoes integration: $\dfrac{d}{dx}[k\ln(x-r)] = k/(x-r)$. Checking this way catches an arithmetic slip in $A$ or $B$ that the final numerical answer alone would hide.
(a) Express $\dfrac{x + 5}{(x - 1)(x + 2)}$ in partial fractions.
(b) Hence find the exact value of $\displaystyle\int_{2}^{4} \dfrac{x + 5}{(x - 1)(x + 2)}\,dx$, as a single logarithm.
จงหาค่าที่แท้จริงของ $\displaystyle\int_{2}^{4} \dfrac{x + 5}{(x - 1)(x + 2)}\,dx$ โดยเขียนคำตอบเป็นลอการิทึมเดียว
Answershow ▾
Same two parts as the exam question — cover-up, then integrate and combine to a single log — with smaller numbers throughout.
(a) Express $\dfrac{-5x - 1}{(x + 1)(x - 1)}$ in partial fractions, in the form $\dfrac{A}{x + 1} + \dfrac{B}{x - 1}$.
(b) Hence show that $\displaystyle\int_{2}^{5} \dfrac{-5x - 1}{(x + 1)(x - 1)}\,dx$ has the exact value $\ln\left(\dfrac{1}{256}\right)$.
Answershow ▾
8 marks. Question 5 is part (a); questions 6 and 7 build part (b), using the integral from question 2 and the log-combining rule from question 3.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two linear brackets, simplest case สองวงเล็บเชิงเส้น กรณีง่ายที่สุด
Let $f(x)=\dfrac{2}{(2x-1)(2x+1)}$.
Express $f(x)$ in partial fractions.
ให้ $f(x)=\dfrac{2}{(2x-1)(2x+1)}$
เขียน $f(x)$ ในรูปเศษส่วนย่อย (partial fraction)
Find the value of $x$ that makes $2x-1=0$.
จงหาค่า $x$ ที่ทำให้ $2x-1=0$
Answershow ▾
Add $1$, then divide by $2$.บวก $1$ แล้วหารด้วย $2$
Find the value of $x$ that makes $2x+1=0$.
จงหาค่า $x$ ที่ทำให้ $2x+1=0$
Answershow ▾
Subtract $1$, then divide by $2$.ลบ $1$ แล้วหารด้วย $2$
Multiply both sides of $\dfrac{4}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+1}$ by $(x-1)(x+1)$.
จงคูณทั้งสองข้างของ $\dfrac{4}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+1}$ ด้วย $(x-1)(x+1)$
Answershow ▾
Each fraction keeps only its own numerator times the OTHER bracket.เศษส่วนแต่ละตัวเหลือแค่ตัวเศษของตัวเองคูณกับอีกวงเล็บ
You have $2=A(2x+1)+B(2x-1)$. Which value of $x$ finds $A$ alone?
(A) $x=\tfrac12$
(B) $x=0$
(C) $x=-\tfrac12$
จาก $2=A(2x+1)+B(2x-1)$ ค่า $x$ ใดหา $A$ ได้ตัวเดียว
(A) $x=\tfrac12$
(B) $x=0$
(C) $x=-\tfrac12$
Answershow ▾
(B) $x=0$ leaves $2=A-B$ - both constants are still there. (C) $x=-\tfrac12$ zeroes the OTHER bracket, so it finds $B$, not $A$.(B) $x=0$ เหลือ $2=A-B$ ยังมีค่าคงตัวทั้งสองตัว · (C) $x=-\tfrac12$ ทำให้วงเล็บอีกตัวเป็นศูนย์ จึงหาได้ $B$ ไม่ใช่ $A$
Multiply both sides of $\dfrac{2}{(2x-1)(2x+1)}=\dfrac{A}{2x-1}+\dfrac{B}{2x+1}$ by $(2x-1)(2x+1)$.
จงคูณทั้งสองข้างของ $\dfrac{2}{(2x-1)(2x+1)}=\dfrac{A}{2x-1}+\dfrac{B}{2x+1}$ ด้วย $(2x-1)(2x+1)$
Answershow ▾
Same move as the decision step, with the real brackets.ขั้นเดิมจากข้อที่เลือกไว้ ใช้กับวงเล็บจริง
Substitute $x=\tfrac12$ into $2=A(2x+1)+B(2x-1)$ to find $A$.
จงแทน $x=\tfrac12$ ใน $2=A(2x+1)+B(2x-1)$ เพื่อหา $A$
Answershow ▾
$2x-1$ becomes $0$, so the $B$ term disappears.$2x-1$ กลายเป็น $0$ พจน์ $B$ จึงหายไป
Substitute $x=-\tfrac12$ into $2=A(2x+1)+B(2x-1)$ to find $B$.
จงแทน $x=-\tfrac12$ ใน $2=A(2x+1)+B(2x-1)$ เพื่อหา $B$
Answershow ▾
$2x+1$ becomes $0$, so the $A$ term disappears.$2x+1$ กลายเป็น $0$ พจน์ $A$ จึงหายไป
Write $\dfrac{2}{(2x-1)(2x+1)}$ in partial fractions, using $A=1$ and $B=-1$.
จงเขียน $\dfrac{2}{(2x-1)(2x+1)}$ เป็นเศษส่วนย่อย โดยใช้ $A=1$ และ $B=-1$
Answershow ▾
$B=-1$ turns $+\dfrac{B}{2x+1}$ into a minus sign.$B=-1$ ทำให้ $+\dfrac{B}{2x+1}$ กลายเป็นเครื่องหมายลบ
Check that $\dfrac{1}{2x-1}-\dfrac{1}{2x+1}$ equals $\dfrac{2}{(2x-1)(2x+1)}$ at $x=1$.
จงตรวจว่า $\dfrac{1}{2x-1}-\dfrac{1}{2x+1}$ เท่ากับ $\dfrac{2}{(2x-1)(2x+1)}$ ที่ $x=1$ หรือไม่
Answershow ▾
A value that fits the partial fractions also fits the original fraction.ค่าที่เป็นจริงกับเศษส่วนย่อย ก็เป็นจริงกับเศษส่วนเดิมด้วย
Express $\dfrac{3}{(x-1)(x+2)}$ in partial fractions.
จงเขียน $\dfrac{3}{(x-1)(x+2)}$ ในรูปเศษส่วนย่อย
Answershow ▾
Same two moves: clear the fraction, then substitute each root.สองขั้นเดิม: คูณตัวส่วนทิ้ง แล้วแทนค่าแต่ละราก
Let $f(x)=\dfrac{2}{(2x-1)(2x+1)}$.
Express $f(x)$ in partial fractions.
ให้ $f(x)=\dfrac{2}{(2x-1)(2x+1)}$
เขียน $f(x)$ ในรูปเศษส่วนย่อย (partial fraction)
Answershow ▾
2 marks: set up the identity, then substitute each root.2 คะแนน: ตั้งเอกลักษณ์ แล้วแทนค่าแต่ละราก
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A bracket that is just the letter itself วงเล็บที่เป็นตัวแปรเปล่าๆ
Write $\dfrac{t+1}{t(3-t)}$ in partial fractions.
เขียน $\dfrac{t+1}{t(3-t)}$ ในรูปเศษส่วนย่อย (partial fraction)
Find the value of $t$ that makes $3-t=0$.
จงหาค่า $t$ ที่ทำให้ $3-t=0$
Answershow ▾
Add $t$ to both sides.บวก $t$ เข้าทั้งสองข้าง
Multiply both sides of $\dfrac{5}{x(x+2)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+2}$ by $x(x+2)$.
จงคูณทั้งสองข้างของ $\dfrac{5}{x(x+2)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+2}$ ด้วย $x(x+2)$
Answershow ▾
The bracket $x$ cancels the $A$ fraction completely, leaving $Bx$.วงเล็บ $x$ หักกับเศษส่วน $A$ หมดพอดี เหลือ $Bx$
Substitute $x=0$ into $5=A(x+2)+Bx$ to find $A$.
จงแทน $x=0$ ใน $5=A(x+2)+Bx$ เพื่อหา $A$
Answershow ▾
$x=0$ makes the whole $Bx$ term vanish.$x=0$ ทำให้พจน์ $Bx$ หายไปทั้งพจน์
You have $t+1=A(3-t)+Bt$. Which value of $t$ finds $B$ alone?
(A) $t=3$
(B) $t=0$
(C) $t=1$
จาก $t+1=A(3-t)+Bt$ ค่า $t$ ใดหา $B$ ได้ตัวเดียว
(A) $t=3$
(B) $t=0$
(C) $t=1$
Answershow ▾
(B) $t=0$ zeroes $Bt$, so it finds $A$, not $B$. (C) $t=1$ makes neither bracket zero, so both constants are still in the equation.(B) $t=0$ ทำให้ $Bt$ เป็นศูนย์ จึงหาได้ $A$ ไม่ใช่ $B$ · (C) $t=1$ ไม่ทำให้วงเล็บไหนเป็นศูนย์ ค่าคงตัวทั้งสองตัวจึงยังอยู่ในสมการ
Multiply both sides of $\dfrac{t+1}{t(3-t)}=\dfrac{A}{t}+\dfrac{B}{3-t}$ by $t(3-t)$.
จงคูณทั้งสองข้างของ $\dfrac{t+1}{t(3-t)}=\dfrac{A}{t}+\dfrac{B}{3-t}$ ด้วย $t(3-t)$
Answershow ▾
Same move as question $2$, with the real brackets.ขั้นเดิมจากข้อ $2$ ใช้กับวงเล็บจริง
Substitute $t=0$ into $t+1=A(3-t)+Bt$ to find $A$.
จงแทน $t=0$ ใน $t+1=A(3-t)+Bt$ เพื่อหา $A$
Answershow ▾
$t=0$ makes the $Bt$ term vanish.$t=0$ ทำให้พจน์ $Bt$ หายไป
Substitute $t=3$ into $t+1=A(3-t)+Bt$ to find $B$.
จงแทน $t=3$ ใน $t+1=A(3-t)+Bt$ เพื่อหา $B$
Answershow ▾
$3-t$ becomes $0$, so the $A$ term vanishes.$3-t$ กลายเป็น $0$ พจน์ $A$ จึงหายไป
Write $\dfrac{t+1}{t(3-t)}$ in partial fractions, using $A=\tfrac13$ and $B=\tfrac43$.
จงเขียน $\dfrac{t+1}{t(3-t)}$ เป็นเศษส่วนย่อย โดยใช้ $A=\tfrac13$ และ $B=\tfrac43$
Answershow ▾
$\dfrac{\tfrac13}{t}$ is the same fraction as $\dfrac{1}{3t}$.$\dfrac{\tfrac13}{t}$ กับ $\dfrac{1}{3t}$ เป็นเศษส่วนตัวเดียวกัน
Check that $\dfrac{1}{3t}+\dfrac{4}{3(3-t)}$ equals $\dfrac{t+1}{t(3-t)}$ at $t=1$.
จงตรวจว่า $\dfrac{1}{3t}+\dfrac{4}{3(3-t)}$ เท่ากับ $\dfrac{t+1}{t(3-t)}$ ที่ $t=1$ หรือไม่
Answershow ▾
A value that fits the partial fractions also fits the original fraction.ค่าที่เป็นจริงกับเศษส่วนย่อย ก็เป็นจริงกับเศษส่วนเดิมด้วย
Write $\dfrac{x+2}{x(2-x)}$ in partial fractions.
จงเขียน $\dfrac{x+2}{x(2-x)}$ เป็นเศษส่วนย่อย
Answershow ▾
Same two moves: clear the fraction, then substitute each root.สองขั้นเดิม: คูณตัวส่วนทิ้ง แล้วแทนค่าแต่ละราก
Write $\dfrac{t+1}{t(3-t)}$ in partial fractions.
เขียน $\dfrac{t+1}{t(3-t)}$ ในรูปเศษส่วนย่อย (partial fraction)
Answershow ▾
3 marks: set up the identity, then substitute each root.3 คะแนน: ตั้งเอกลักษณ์ แล้วแทนค่าแต่ละราก
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A repeated bracket, three constants วงเล็บซ้ำ สามค่าคงตัว
Express $\dfrac{7x^{2}-16x+13}{(1-2x)(2-x)^{2}}$ in partial fractions.
เขียน $\dfrac{7x^{2}-16x+13}{(1-2x)(2-x)^{2}}$ ในรูปเศษส่วนย่อย (partial fraction)
Find the value of $x$ that makes $2-x=0$.
จงหาค่า $x$ ที่ทำให้ $2-x=0$
Answershow ▾
Add $x$ to both sides.บวก $x$ เข้าทั้งสองข้าง
Find the value of $x$ that makes $1-2x=0$.
จงหาค่า $x$ ที่ทำให้ $1-2x=0$
Answershow ▾
Subtract $1$, then divide by $-2$.ลบ $1$ แล้วหารด้วย $-2$
Expand $(2-x)^{2}$.
จงกระจาย $(2-x)^{2}$
Answershow ▾
Write it as two brackets. The middle term comes twice.เขียนเป็นสองวงเล็บ · พจน์กลางมาสองครั้ง
Multiply both sides of $\dfrac{7x^{2}-16x+13}{(1-2x)(2-x)^{2}}$ $=\dfrac{A}{1-2x}+\dfrac{B}{2-x}$$+\dfrac{C}{(2-x)^{2}}$ by $(1-2x)(2-x)^{2}$.
จงคูณทั้งสองข้างของ $\dfrac{7x^{2}-16x+13}{(1-2x)(2-x)^{2}}$ $=\dfrac{A}{1-2x}+\dfrac{B}{2-x}$$+\dfrac{C}{(2-x)^{2}}$ ด้วย $(1-2x)(2-x)^{2}$
Answershow ▾
Each fraction keeps its own numerator times whatever bracket it lost.เศษส่วนแต่ละตัวเหลือตัวเศษคูณกับวงเล็บที่มันขาดไป
The identity above is $7x^{2}-16x+13=A(2-x)^{2}$ $+B(1-2x)(2-x)$ $+C(1-2x)$. Which value of $x$ isolates $C$?
(A) $x=2$
(B) $x=\tfrac12$
(C) $x=0$
เอกลักษณ์ข้างบนคือ $7x^{2}-16x+13=A(2-x)^{2}$ $+B(1-2x)(2-x)$ $+C(1-2x)$ ค่า $x$ ใดหา $C$ ได้ตัวเดียว
(A) $x=2$
(B) $x=\tfrac12$
(C) $x=0$
Answershow ▾
(A) zeroes both $(2-x)^{2}$ and $(1-2x)(2-x)$, since both carry the factor $(2-x)$. (B) zeroes $(1-2x)$, which is also $C$'s own factor, so $C$ disappears too. (C) zeroes nothing - all three constants stay in the equation.(A) ทำให้ $(2-x)^{2}$ และ $(1-2x)(2-x)$ เป็นศูนย์ทั้งคู่ เพราะทั้งสองมีตัวประกอบ $(2-x)$ · (B) ทำให้ $(1-2x)$ เป็นศูนย์ ซึ่งเป็นตัวประกอบของ $C$ เองด้วย $C$ จึงหายไปด้วย · (C) ไม่ทำให้อะไรเป็นศูนย์เลย ค่าคงตัวทั้งสามตัวยังอยู่ในสมการ
Substitute $x=2$ into the identity above to find $C$.
จงแทน $x=2$ ในเอกลักษณ์ข้างบนเพื่อหา $C$
Answershow ▾
$(2-x)$ is $0$, so the $A$ and $B$ terms both vanish.$(2-x)$ เป็น $0$ พจน์ $A$ และ $B$ จึงหายไปทั้งคู่
Substitute $x=\tfrac12$ into the identity above to find $A$.
จงแทน $x=\tfrac12$ ในเอกลักษณ์ข้างบนเพื่อหา $A$
Answershow ▾
$(1-2x)$ is $0$, so the $B$ and $C$ terms both vanish.$(1-2x)$ เป็น $0$ พจน์ $B$ และ $C$ จึงหายไปทั้งคู่
Compare the $x^{2}$ coefficients in the identity above to find $B$, using $A=3$.
จงเทียบสัมประสิทธิ์ $x^{2}$ ในเอกลักษณ์ข้างบนเพื่อหา $B$ โดยใช้ $A=3$
Answershow ▾
$(2-x)^{2}$ gives $x^{2}$ coefficient $A$, and $(1-2x)(2-x)$ gives $2B$.$(2-x)^{2}$ ให้สัมประสิทธิ์ $x^{2}$ เท่ากับ $A$ และ $(1-2x)(2-x)$ ให้ $2B$
Check the identity at $x=0$, using $A=3$, $B=2$, $C=-3$.
จงตรวจเอกลักษณ์ที่ $x=0$ โดยใช้ $A=3$, $B=2$, $C=-3$
Answershow ▾
A value that fits the identity for every $x$ must fit $x=0$ too.ค่าที่เป็นจริงกับเอกลักษณ์ทุกค่า $x$ ต้องเป็นจริงที่ $x=0$ ด้วย
Express $\dfrac{3x^{2}-9x+7}{(1-x)(2-x)^{2}}$ in partial fractions.
จงเขียน $\dfrac{3x^{2}-9x+7}{(1-x)(2-x)^{2}}$ ในรูปเศษส่วนย่อย
Answershow ▾
Same three moves: substitute $x=2$ for $C$, $x=1$ for $A$, then compare $x^{2}$ for $B$.สามขั้นเดิม: แทน $x=2$ หา $C$ แทน $x=1$ หา $A$ แล้วเทียบ $x^{2}$ หา $B$
Express $\dfrac{7x^{2}-16x+13}{(1-2x)(2-x)^{2}}$ in partial fractions.
เขียน $\dfrac{7x^{2}-16x+13}{(1-2x)(2-x)^{2}}$ ในรูปเศษส่วนย่อย (partial fraction)
Answershow ▾
5 marks: substitute $x=2$ for $C$, $x=\tfrac12$ for $A$, then compare $x^{2}$ for $B$.5 คะแนน: แทน $x=2$ หา $C$ แทน $x=\tfrac12$ หา $A$ แล้วเทียบ $x^{2}$ หา $B$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Partial fractions into a log integral เศษส่วนย่อยสู่ปริพันธ์รูปลอการิทึม
Use partial fractions and algebraic integration to show that $\displaystyle\int_{4}^{7}\dfrac{2x+11}{(2x+1)(2-x)}\,dx=\ln k$, where $k$ is a fully simplified fraction to be found.
ใช้เศษส่วนย่อย (partial fractions) และการอินทิเกรตทางพีชคณิต แสดงว่า $\displaystyle\int_{4}^{7}\dfrac{2x+11}{(2x+1)(2-x)}\,dx=\ln k$ เมื่อ $k$ เป็นเศษส่วนอย่างง่ายที่ต้องหา
Find $\displaystyle\int\dfrac{1}{2x+1}\,dx$.
จงหา $\displaystyle\int\dfrac{1}{2x+1}\,dx$
Answershow ▾
Divide by the derivative of the bracket, $2$.หารด้วยอนุพันธ์ของวงเล็บ คือ $2$
Find $\displaystyle\int\dfrac{1}{2-x}\,dx$.
จงหา $\displaystyle\int\dfrac{1}{2-x}\,dx$
Answershow ▾
The bracket's derivative is $-1$, so a minus sign appears.อนุพันธ์ของวงเล็บคือ $-1$ จึงมีเครื่องหมายลบ
Write $2\ln3-\ln2$ as a single log.
จงเขียน $2\ln3-\ln2$ เป็น log ตัวเดียว
Answershow ▾
The power law first, then the quotient law.ใช้กฎเลขชี้กำลังก่อน แล้วใช้กฎการหาร
You have $f(x)=\dfrac{4}{2x+1}+\dfrac{3}{2-x}$. Pick the correct integral.
(A) $2\ln|2x+1|-3\ln|2-x|$
(B) $4\ln|2x+1|+3\ln|2-x|$
(C) $2\ln|2x+1|+3\ln|2-x|$
จาก $f(x)=\dfrac{4}{2x+1}+\dfrac{3}{2-x}$ จงเลือกปริพันธ์ที่ถูกต้อง
(A) $2\ln|2x+1|-3\ln|2-x|$
(B) $4\ln|2x+1|+3\ln|2-x|$
(C) $2\ln|2x+1|+3\ln|2-x|$
Answershow ▾
(B) forgets to divide by the derivative of each bracket - $4$ must become $2$ after dividing by $2$, and $3$ must become $3$ AFTER a sign flip. (C) gets the size right but misses the minus sign that $\dfrac{1}{2-x}$ always carries.(B) ลืมหารด้วยอนุพันธ์ของวงเล็บ $4$ ต้องกลายเป็น $2$ หลังหารด้วย $2$ และ $3$ ต้องพลิกเครื่องหมาย · (C) ได้ขนาดถูกแต่พลาดเครื่องหมายลบที่ $\dfrac{1}{2-x}$ มีติดตัวเสมอ
Multiply both sides of $\dfrac{2x+11}{(2x+1)(2-x)}$ $=\dfrac{A}{2x+1}+\dfrac{B}{2-x}$ by $(2x+1)(2-x)$.
จงคูณทั้งสองข้างของ $\dfrac{2x+11}{(2x+1)(2-x)}$ $=\dfrac{A}{2x+1}+\dfrac{B}{2-x}$ ด้วย $(2x+1)(2-x)$
Answershow ▾
Each fraction keeps its numerator times the OTHER bracket.เศษส่วนแต่ละตัวเหลือตัวเศษคูณกับอีกวงเล็บ
Substitute $x=2$ into $2x+11=A(2-x)+B(2x+1)$ to find $B$.
จงแทน $x=2$ ใน $2x+11=A(2-x)+B(2x+1)$ เพื่อหา $B$
Answershow ▾
$(2-x)$ is $0$, so the $A$ term vanishes.$(2-x)$ เป็น $0$ พจน์ $A$ จึงหายไป
Substitute $x=-\tfrac12$ into $2x+11=A(2-x)+B(2x+1)$ to find $A$.
จงแทน $x=-\tfrac12$ ใน $2x+11=A(2-x)+B(2x+1)$ เพื่อหา $A$
Answershow ▾
$(2x+1)$ is $0$, so the $B$ term vanishes.$(2x+1)$ เป็น $0$ พจน์ $B$ จึงหายไป
Integrate $\dfrac{4}{2x+1}+\dfrac{3}{2-x}$.
จงอินทิเกรต $\dfrac{4}{2x+1}+\dfrac{3}{2-x}$
Answershow ▾
$4\div2=2$ on the first term; $3$ flips sign on the second.พจน์แรก $4\div2=2$ · พจน์ที่สองพลิกเครื่องหมาย
Differentiate $2\ln(2x+1)-3\ln(2-x)$ to check it gives $\dfrac{4}{2x+1}+\dfrac{3}{2-x}$.
จงหาอนุพันธ์ของ $2\ln(2x+1)-3\ln(2-x)$ เพื่อตรวจว่าได้ $\dfrac{4}{2x+1}+\dfrac{3}{2-x}$ หรือไม่
Answershow ▾
The chain rule brings down a $2$ then a $-1$, and the extra minus signs cancel.กฎลูกโซ่ดึง $2$ และ $-1$ ลงมา เครื่องหมายลบที่เกินจะตัดกัน
Show that $\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x+4}{(x+1)(2-x)}\,dx=\ln k$, where $k$ is an integer.
จงแสดงว่า $\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x+4}{(x+1)(2-x)}\,dx=\ln k$ เมื่อ $k$ เป็นจำนวนเต็ม
Answershow ▾
Same four moves: clear the fraction, substitute each root, integrate, evaluate.สี่ขั้นเดิม: คูณตัวส่วนทิ้ง แทนค่าแต่ละราก อินทิเกรต แล้วแทนขอบเขต
Use partial fractions and algebraic integration to show that $\displaystyle\int_{4}^{7}\dfrac{2x+11}{(2x+1)(2-x)}\,dx=\ln k$, where $k$ is a fully simplified fraction to be found.
ใช้เศษส่วนย่อย (partial fractions) และการอินทิเกรตทางพีชคณิต แสดงว่า $\displaystyle\int_{4}^{7}\dfrac{2x+11}{(2x+1)(2-x)}\,dx=\ln k$ เมื่อ $k$ เป็นเศษส่วนอย่างง่ายที่ต้องหา
Answershow ▾
6 marks: set up the identity, find $A$ and $B$, integrate, then evaluate between $4$ and $7$.6 คะแนน: ตั้งเอกลักษณ์ หา $A$ กับ $B$ อินทิเกรต แล้วแทนขอบเขต $4$ ถึง $7$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A fractional coefficient in the integral สัมประสิทธิ์เศษส่วนในปริพันธ์
(a) Express $\dfrac{3x}{(2x-1)(2-x)}$ in partial fraction form.
(b) Hence show that $\displaystyle\int_{5}^{25}\dfrac{3x}{(2x-1)(2-x)}\,dx=\ln k$ where $k$ is a fully simplified fraction to be found. (Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.)
(ก) เขียน $\dfrac{3x}{(2x-1)(2-x)}$ ในรูปเศษส่วนย่อย (partial fraction)
(ข) จากนั้นแสดงว่า $\displaystyle\int_{5}^{25}\dfrac{3x}{(2x-1)(2-x)}\,dx=\ln k$ เมื่อ $k$ เป็นเศษส่วนอย่างง่ายที่ต้องหา (คำตอบที่ได้จากเครื่องคิดเลขล้วน ๆ ไม่ได้คะแนน)
Find the value of $x$ that makes $2x-1=0$.
จงหาค่า $x$ ที่ทำให้ $2x-1=0$
Answershow ▾
Add $1$, then divide by $2$.บวก $1$ แล้วหารด้วย $2$
Find the value of $x$ that makes $2-x=0$.
จงหาค่า $x$ ที่ทำให้ $2-x=0$
Answershow ▾
Add $x$ to both sides.บวก $x$ เข้าทั้งสองข้าง
Write $3\ln2-\ln4$ as a single log.
จงเขียน $3\ln2-\ln4$ เป็น log ตัวเดียว
Answershow ▾
The power law first, then the quotient law.ใช้กฎเลขชี้กำลังก่อน แล้วใช้กฎการหาร
You have $f(x)=\dfrac{1}{2x-1}+\dfrac{2}{2-x}$. Pick the correct integral.
(A) $\tfrac12\ln|2x-1|-2\ln|2-x|$
(B) $\ln|2x-1|-2\ln|2-x|$
(C) $\tfrac12\ln|2x-1|+2\ln|2-x|$
จาก $f(x)=\dfrac{1}{2x-1}+\dfrac{2}{2-x}$ จงเลือกปริพันธ์ที่ถูกต้อง
(A) $\tfrac12\ln|2x-1|-2\ln|2-x|$
(B) $\ln|2x-1|-2\ln|2-x|$
(C) $\tfrac12\ln|2x-1|+2\ln|2-x|$
Answershow ▾
(B) skips dividing by the bracket's own derivative, $2$. (C) gets the size right but misses the minus sign that $\dfrac{1}{2-x}$ always carries.(B) ไม่ได้หารด้วยอนุพันธ์ของวงเล็บ คือ $2$ · (C) ได้ขนาดถูกแต่พลาดเครื่องหมายลบที่ $\dfrac{1}{2-x}$ มีติดตัวเสมอ
Multiply both sides of $\dfrac{3x}{(2x-1)(2-x)}=\dfrac{A}{2x-1}+\dfrac{B}{2-x}$ by $(2x-1)(2-x)$.
จงคูณทั้งสองข้างของ $\dfrac{3x}{(2x-1)(2-x)}=\dfrac{A}{2x-1}+\dfrac{B}{2-x}$ ด้วย $(2x-1)(2-x)$
Answershow ▾
Each fraction keeps its numerator times the OTHER bracket.เศษส่วนแต่ละตัวเหลือตัวเศษคูณกับอีกวงเล็บ
Substitute $x=\tfrac12$ into $3x=A(2-x)+B(2x-1)$ to find $A$.
จงแทน $x=\tfrac12$ ใน $3x=A(2-x)+B(2x-1)$ เพื่อหา $A$
Answershow ▾
$(2x-1)$ is $0$, so the $B$ term vanishes.$(2x-1)$ เป็น $0$ พจน์ $B$ จึงหายไป
Substitute $x=2$ into $3x=A(2-x)+B(2x-1)$ to find $B$.
จงแทน $x=2$ ใน $3x=A(2-x)+B(2x-1)$ เพื่อหา $B$
Answershow ▾
$(2-x)$ is $0$, so the $A$ term vanishes.$(2-x)$ เป็น $0$ พจน์ $A$ จึงหายไป
Integrate $\dfrac{1}{2x-1}+\dfrac{2}{2-x}$.
จงอินทิเกรต $\dfrac{1}{2x-1}+\dfrac{2}{2-x}$
Answershow ▾
$1\div2=\tfrac12$ on the first term; the second flips sign.พจน์แรก $1\div2=\tfrac12$ · พจน์ที่สองพลิกเครื่องหมาย
Differentiate $\tfrac12\ln(2x-1)-2\ln(2-x)$ to check it gives $\dfrac{1}{2x-1}+\dfrac{2}{2-x}$.
จงหาอนุพันธ์ของ $\tfrac12\ln(2x-1)-2\ln(2-x)$ เพื่อตรวจว่าได้ $\dfrac{1}{2x-1}+\dfrac{2}{2-x}$ หรือไม่
Answershow ▾
The chain rule brings down a $2$ then a $-1$, and the extra signs cancel.กฎลูกโซ่ดึง $2$ และ $-1$ ลงมา เครื่องหมายส่วนเกินจะตัดกัน
(a) Express $\dfrac{2x}{(x-1)(3-x)}$ in partial fraction form.
(b) Hence show that $\displaystyle\int_{4}^{7}\dfrac{2x}{(x-1)(3-x)}\,dx=\ln k$, where $k$ is a fully simplified fraction to be found.
(ก) เขียน $\dfrac{2x}{(x-1)(3-x)}$ ในรูปเศษส่วนย่อย
(ข) จากนั้นแสดงว่า $\displaystyle\int_{4}^{7}\dfrac{2x}{(x-1)(3-x)}\,dx=\ln k$ เมื่อ $k$ เป็นเศษส่วนอย่างง่ายที่ต้องหา
Answershow ▾
Same four moves: clear the fraction, substitute each root, integrate, evaluate.สี่ขั้นเดิม: คูณตัวส่วนทิ้ง แทนค่าแต่ละราก อินทิเกรต แล้วแทนขอบเขต
(a) Express $\dfrac{3x}{(2x-1)(2-x)}$ in partial fraction form.
(b) Hence show that $\displaystyle\int_{5}^{25}\dfrac{3x}{(2x-1)(2-x)}\,dx=\ln k$ where $k$ is a fully simplified fraction to be found. (Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.)
(ก) เขียน $\dfrac{3x}{(2x-1)(2-x)}$ ในรูปเศษส่วนย่อย (partial fraction)
(ข) จากนั้นแสดงว่า $\displaystyle\int_{5}^{25}\dfrac{3x}{(2x-1)(2-x)}\,dx=\ln k$ เมื่อ $k$ เป็นเศษส่วนอย่างง่ายที่ต้องหา (คำตอบที่ได้จากเครื่องคิดเลขล้วน ๆ ไม่ได้คะแนน)
Answershow ▾
7 marks: find $A$ and $B$, integrate, then evaluate between $5$ and $25$.7 คะแนน: หา $A$ กับ $B$ อินทิเกรต แล้วแทนขอบเขต $5$ ถึง $25$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
An improper fraction, linear quotient เศษส่วนเกิน ผลหารเป็นเชิงเส้น
$g(x)=\dfrac{3x^{3}+8x^{2}-3x-6}{x(x+3)}\equiv Ax+B+\dfrac{C}{x}+\dfrac{D}{x+3}$
(a) Find the values of the constants $A$, $B$, $C$ and $D$.
(b) A curve has equation $y=g(x)$, $x\gt0$. Using the answer to part (a), find $g'(x)$.
(c) Hence, explain why $g'(x)\gt3$ for all values of $x$ in the domain of $g$.
$g(x)=\dfrac{3x^{3}+8x^{2}-3x-6}{x(x+3)}\equiv Ax+B+\dfrac{C}{x}+\dfrac{D}{x+3}$
(ก) หาค่าคงตัว $A$, $B$, $C$ และ $D$
(ข) เส้นโค้งเส้นหนึ่งมีสมการ $y=g(x)$ เมื่อ $x\gt0$ โดยใช้คำตอบจากข้อ (a) หา $g'(x)$
(ค) จากนั้นอธิบายว่าเหตุใด $g'(x)\gt3$ สำหรับทุกค่า $x$ ในโดเมนของ $g$
Expand $x(x+3)$.
จงกระจาย $x(x+3)$
Answershow ▾
Multiply $x$ into the bracket.คูณ $x$ เข้าไปในวงเล็บ
Substitute $x=0$ into $(Ax+B)x(x+3)+C(x+3)+Dx$ and simplify.
จงแทน $x=0$ ใน $(Ax+B)x(x+3)+C(x+3)+Dx$ แล้วจัดรูป
Answershow ▾
$x(x+3)$ and $Dx$ both vanish at $x=0$; only $C(3)$ is left.$x(x+3)$ และ $Dx$ หายไปทั้งคู่ที่ $x=0$ เหลือเพียง $C(3)$
Substitute $x=-3$ into $(Ax+B)x(x+3)+C(x+3)+Dx$ and simplify.
จงแทน $x=-3$ ใน $(Ax+B)x(x+3)+C(x+3)+Dx$ แล้วจัดรูป
Answershow ▾
$x(x+3)$ and $C(x+3)$ both vanish at $x=-3$; only $D(-3)$ is left.$x(x+3)$ และ $C(x+3)$ หายไปทั้งคู่ที่ $x=-3$ เหลือเพียง $D(-3)$
$C$ and $D$ are found. Which move finds $A$ and $B$?
(A) compare the $x^{3}$ and $x^{2}$ coefficients
(B) substitute $x=0$ again
(C) substitute $x=1$
หา $C$ กับ $D$ ได้แล้ว ขั้นใดหา $A$ กับ $B$
(A) เทียบสัมประสิทธิ์ $x^{3}$ และ $x^{2}$
(B) แทน $x=0$ อีกครั้ง
(C) แทน $x=1$
Answershow ▾
(B) $x=0$ was already used to find $C$ - it never touches $A$ or $B$. (C) $x=1$ leaves all four constants in one equation, which is not a clean isolate.(B) $x=0$ ถูกใช้หา $C$ ไปแล้ว ไม่แตะ $A$ หรือ $B$ เลย · (C) $x=1$ เหลือค่าคงตัวทั้งสี่ตัว ในสมการเดียว ไม่ได้แยกตัวใดตัวหนึ่งออกมาตรงๆ
Multiply both sides of $g(x)=Ax+B+\dfrac{C}{x}+\dfrac{D}{x+3}$ by $x(x+3)$.
จงคูณทั้งสองข้างของ $g(x)=Ax+B+\dfrac{C}{x}+\dfrac{D}{x+3}$ ด้วย $x(x+3)$
Answershow ▾
Every term on the right keeps whatever factor it lost.ทุกพจน์ทางขวาเหลือตัวประกอบที่มันขาดไป
Substitute $x=0$, then $x=-3$, into the identity to find $C$ and $D$.
จงแทน $x=0$ แล้ว $x=-3$ ในเอกลักษณ์ เพื่อหา $C$ และ $D$
Answershow ▾
Each substitution kills two of the four terms.การแทนค่าแต่ละครั้งทำให้สองพจน์จากสี่พจน์หายไป
Compare the $x^{3}$ and $x^{2}$ coefficients of the identity to find $A$ and $B$.
จงเทียบสัมประสิทธิ์ $x^{3}$ และ $x^{2}$ ของเอกลักษณ์ เพื่อหา $A$ และ $B$
Answershow ▾
$(Ax+B)x(x+3)$ expands to $Ax^{3}+(3A+B)x^{2}+\ldots$.$(Ax+B)x(x+3)$ กระจายได้ $Ax^{3}+(3A+B)x^{2}+\ldots$
Differentiate $g(x)=3x-1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{x+3}$.
จงหาอนุพันธ์ของ $g(x)=3x-1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{x+3}$
Answershow ▾
A term $-k/x$ differentiates to $+k/x^{2}$; a term $+k/(x+3)$ differentiates to $-k/(x+3)^{2}$.พจน์ $-k/x$ หาอนุพันธ์ได้ $+k/x^{2}$ · พจน์ $+k/(x+3)$ หาอนุพันธ์ได้ $-k/(x+3)^{2}$
Check that $g(1)$ from $3x-1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{x+3}$ matches $g(1)$ from the original fraction.
จงตรวจว่า $g(1)$ จาก $3x-1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{x+3}$ ตรงกับ $g(1)$ จากเศษส่วนเดิมหรือไม่
Answershow ▾
A value that fits the decomposed form also fits the original fraction.ค่าที่เป็นจริงกับรูปที่แยกแล้ว ก็เป็นจริงกับเศษส่วนเดิมด้วย
$h(x)=\dfrac{x^{3}+x^{2}-2x-2}{x(x+2)}$ $\equiv Ax+B+\dfrac{C}{x}+\dfrac{D}{x+2}$. Find $A$, $B$, $C$, $D$, then find $h'(x)$.
$h(x)=\dfrac{x^{3}+x^{2}-2x-2}{x(x+2)}$ $\equiv Ax+B+\dfrac{C}{x}+\dfrac{D}{x+2}$ จงหา $A$, $B$, $C$, $D$ แล้วหา $h'(x)$
Answershow ▾
Same three moves: substitute the two roots, then compare coefficients.สามขั้นเดิม: แทนค่าทั้งสองราก แล้วเทียบสัมประสิทธิ์
$g(x)=\dfrac{3x^{3}+8x^{2}-3x-6}{x(x+3)}\equiv Ax+B+\dfrac{C}{x}+\dfrac{D}{x+3}$
(a) Find the values of the constants $A$, $B$, $C$ and $D$.
(b) A curve has equation $y=g(x)$, $x\gt0$. Using the answer to part (a), find $g'(x)$.
(c) Hence, explain why $g'(x)\gt3$ for all values of $x$ in the domain of $g$.
$g(x)=\dfrac{3x^{3}+8x^{2}-3x-6}{x(x+3)}\equiv Ax+B+\dfrac{C}{x}+\dfrac{D}{x+3}$
(ก) หาค่าคงตัว $A$, $B$, $C$ และ $D$
(ข) เส้นโค้งเส้นหนึ่งมีสมการ $y=g(x)$ เมื่อ $x\gt0$ โดยใช้คำตอบจากข้อ (a) หา $g'(x)$
(ค) จากนั้นอธิบายว่าเหตุใด $g'(x)\gt3$ สำหรับทุกค่า $x$ ในโดเมนของ $g$
Answershow ▾
8 marks: clear the fraction, substitute $x=0,-3$ for $C,D$, compare coefficients for $A,B$, then differentiate.8 คะแนน: คูณตัวส่วนทิ้ง แทน $x=0,-3$ หา $C,D$ เทียบสัมประสิทธิ์หา $A,B$ แล้วหาอนุพันธ์
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Three linear brackets, same method สามวงเล็บเชิงเส้น วิธีเดิม
In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable. $f(x)=\dfrac{5+17x-10x^{2}}{x(1-x)(2x+1)}$, $x\gt1$
(a) Write $f(x)$ in the form $\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{1-x}+\dfrac{C}{2x+1}$ where $A$, $B$ and $C$ are constants to be found.
(b) Hence, use algebraic integration to find the exact value of $\displaystyle\int_{2}^{4}f(x)\,dx$. Write your answer in the form $p\ln2+q\ln\!\left(\tfrac35\right)$, where $p$ and $q$ are integers to be found.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน คำตอบที่ได้จากเครื่องคิดเลขล้วน ๆ ไม่ได้คะแนน $f(x)=\dfrac{5+17x-10x^{2}}{x(1-x)(2x+1)}$ เมื่อ $x\gt1$
(ก) เขียน $f(x)$ ในรูป $\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{1-x}+\dfrac{C}{2x+1}$ เมื่อ $A$, $B$ และ $C$ เป็นค่าคงตัวที่ต้องหา
(ข) จากนั้นใช้การอินทิเกรตทางพีชคณิต หาค่าที่แท้จริงของ $\displaystyle\int_{2}^{4}f(x)\,dx$ โดยตอบในรูป $p\ln2+q\ln\!\left(\tfrac35\right)$ เมื่อ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนเต็มที่ต้องหา
Find the value of $x$ that makes $1-x=0$.
จงหาค่า $x$ ที่ทำให้ $1-x=0$
Answershow ▾
Add $x$ to both sides.บวก $x$ เข้าทั้งสองข้าง
Find the value of $x$ that makes $2x+1=0$.
จงหาค่า $x$ ที่ทำให้ $2x+1=0$
Answershow ▾
Subtract $1$, then divide by $2$.ลบ $1$ แล้วหารด้วย $2$
Multiply both sides of $\dfrac{N}{x(x-1)(x+1)}$ $=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-1}+\dfrac{C}{x+1}$ by $x(x-1)(x+1)$.
จงคูณทั้งสองข้างของ $\dfrac{N}{x(x-1)(x+1)}$ $=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-1}+\dfrac{C}{x+1}$ ด้วย $x(x-1)(x+1)$
Answershow ▾
Each fraction keeps its numerator times the OTHER two brackets.เศษส่วนแต่ละตัวเหลือตัวเศษคูณกับอีกสองวงเล็บ
Multiply both sides of $f(x)=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{1-x}+\dfrac{C}{2x+1}$ by $x(1-x)(2x+1)$.
จงคูณทั้งสองข้างของ $f(x)=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{1-x}+\dfrac{C}{2x+1}$ ด้วย $x(1-x)(2x+1)$
Answershow ▾
Every term on the right keeps whatever bracket it lost.ทุกพจน์ทางขวาเหลือวงเล็บที่มันขาดไป
The identity above. Which value of $x$ finds $A$ alone?
(A) $x=0$
(B) $x=1$
(C) $x=-\tfrac12$
จากเอกลักษณ์ข้างบน ค่า $x$ ใดหา $A$ ได้ตัวเดียว
(A) $x=0$
(B) $x=1$
(C) $x=-\tfrac12$
Answershow ▾
(B) $x=1$ zeroes the bracket $(1-x)$, which is $A$'s own factor - that finds $B$, not $A$. (C) $x=-\tfrac12$ zeroes $(2x+1)$, also $A$'s own factor - that finds $C$, not $A$.(B) $x=1$ ทำให้วงเล็บ $(1-x)$ ซึ่งเป็นตัวประกอบของ $A$ เองเป็นศูนย์ จึงหาได้ $B$ ไม่ใช่ $A$ · (C) $x=-\tfrac12$ ทำให้ $(2x+1)$ ซึ่งเป็นตัวประกอบของ $A$ เองเป็นศูนย์ จึงหาได้ $C$ ไม่ใช่ $A$
Substitute $x=0$ into the identity above to find $A$.
จงแทน $x=0$ ในเอกลักษณ์ข้างบนเพื่อหา $A$
Answershow ▾
Both the $B$ and $C$ terms carry a factor of $x$.พจน์ $B$ และ $C$ มีตัวประกอบ $x$ ติดอยู่ทั้งคู่
Substitute $x=1$, then $x=-\tfrac12$, into the identity to find $B$ and $C$.
จงแทน $x=1$ แล้ว $x=-\tfrac12$ ในเอกลักษณ์ เพื่อหา $B$ และ $C$
Answershow ▾
Each substitution zeroes two of the three terms.การแทนค่าแต่ละครั้งทำให้สองจากสามพจน์หายไป
Integrate $\dfrac{5}{x}+\dfrac{4}{1-x}+\dfrac{8}{2x+1}$.
จงอินทิเกรต $\dfrac{5}{x}+\dfrac{4}{1-x}+\dfrac{8}{2x+1}$
Answershow ▾
The middle term flips sign; the last term is divided by $2$.พจน์กลางพลิกเครื่องหมาย · พจน์ท้ายหารด้วย $2$
Differentiate $5\ln x-4\ln(x-1)+4\ln(2x+1)$ to check it gives $\dfrac{5}{x}+\dfrac{4}{1-x}+\dfrac{8}{2x+1}$.
จงหาอนุพันธ์ของ $5\ln x-4\ln(x-1)+4\ln(2x+1)$ เพื่อตรวจว่าได้ $\dfrac{5}{x}+\dfrac{4}{1-x}+\dfrac{8}{2x+1}$ หรือไม่
Answershow ▾
$-4\ln(x-1)$ differentiates to $\dfrac{-4}{x-1}=\dfrac{4}{1-x}$.$-4\ln(x-1)$ หาอนุพันธ์ได้ $\dfrac{-4}{x-1}=\dfrac{4}{1-x}$
$f(x)=\dfrac{3+3x-4x^{2}}{x(1-x)(x+1)}$. (a) Write $f(x)$ as $\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{1-x}+\dfrac{C}{x+1}$. (b) Hence find $\displaystyle\int_{2}^{3}f(x)\,dx$.
$f(x)=\dfrac{3+3x-4x^{2}}{x(1-x)(x+1)}$ (ก) จงเขียน $f(x)$ เป็น $\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{1-x}+\dfrac{C}{x+1}$ (ข) จากนั้นหา $\displaystyle\int_{2}^{3}f(x)\,dx$
Answershow ▾
Same moves: substitute each root, integrate, then evaluate between the limits.ขั้นเดิม: แทนค่าแต่ละราก อินทิเกรต แล้วแทนขอบเขต
In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable. $f(x)=\dfrac{5+17x-10x^{2}}{x(1-x)(2x+1)}$, $x\gt1$
(a) Write $f(x)$ in the form $\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{1-x}+\dfrac{C}{2x+1}$ where $A$, $B$ and $C$ are constants to be found.
(b) Hence, use algebraic integration to find the exact value of $\displaystyle\int_{2}^{4}f(x)\,dx$. Write your answer in the form $p\ln2+q\ln\!\left(\tfrac35\right)$, where $p$ and $q$ are integers to be found.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน คำตอบที่ได้จากเครื่องคิดเลขล้วน ๆ ไม่ได้คะแนน $f(x)=\dfrac{5+17x-10x^{2}}{x(1-x)(2x+1)}$ เมื่อ $x\gt1$
(ก) เขียน $f(x)$ ในรูป $\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{1-x}+\dfrac{C}{2x+1}$ เมื่อ $A$, $B$ และ $C$ เป็นค่าคงตัวที่ต้องหา
(ข) จากนั้นใช้การอินทิเกรตทางพีชคณิต หาค่าที่แท้จริงของ $\displaystyle\int_{2}^{4}f(x)\,dx$ โดยตอบในรูป $p\ln2+q\ln\!\left(\tfrac35\right)$ เมื่อ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนเต็มที่ต้องหา
Answershow ▾
8 marks: find $A$, $B$, $C$, integrate, then evaluate between $2$ and $4$.8 คะแนน: หา $A$, $B$, $C$ อินทิเกรต แล้วแทนขอบเขต $2$ ถึง $4$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Partial fractions into a growth equation เศษส่วนย่อยสู่สมการการเติบโต
The number of goats on an island is being monitored. In a model, the number of goats, $x$, in thousands, $t$ years after monitoring began, is modelled by the differential equation $3\dfrac{dx}{dt}=x(9-2x)$. When monitoring began there were $3000$ goats on the island.
(a) Write $\dfrac{3}{x(9-2x)}$ in partial fraction form.
(b) Solve the differential equation with the initial condition to show that $x=\dfrac{9}{2+e^{-3t}}$.
(c) Find the long-term population of goats predicted by this model.
จำนวนแพะบนเกาะแห่งหนึ่งถูกติดตาม ในแบบจำลองหนึ่ง จำนวนแพะ $x$ (หน่วยเป็นพัน) เมื่อเวลาผ่านไป $t$ ปีนับจากเริ่มติดตาม ถูกจำลองด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ $3\dfrac{dx}{dt}=x(9-2x)$ เมื่อเริ่มติดตามมีแพะ $3000$ ตัวบนเกาะ
(ก) เขียน $\dfrac{3}{x(9-2x)}$ ในรูปเศษส่วนย่อย (partial fraction)
(ข) แก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยใช้เงื่อนไขเริ่มต้น แสดงว่า $x=\dfrac{9}{2+e^{-3t}}$
(ค) หาจำนวนประชากรแพะในระยะยาวที่แบบจำลองนี้ทำนาย
Find the value of $x$ that makes $9-2x=0$.
จงหาค่า $x$ ที่ทำให้ $9-2x=0$
Answershow ▾
Add $2x$, then divide by $2$.บวก $2x$ แล้วหารด้วย $2$
Rearrange $5\dfrac{dy}{dt}=y(6-y)$ so that $y$ terms are on the left and $t$ terms on the right.
จงจัดรูป $5\dfrac{dy}{dt}=y(6-y)$ ให้พจน์ $y$ อยู่ซ้าย พจน์ $t$ อยู่ขวา
Answershow ▾
Divide both sides by $y(6-y)$, then multiply both sides by $dt$.หารทั้งสองข้างด้วย $y(6-y)$ แล้วคูณทั้งสองข้างด้วย $dt$
Make $y$ the subject of $\ln\dfrac{y}{5-y}=t$.
จงจัดรูปให้ $y$ เป็นตัวตั้งจาก $\ln\dfrac{y}{5-y}=t$
Answershow ▾
Exponentiate both sides, then collect the $y$ terms.ยกกำลัง $e$ ทั้งสองข้าง แล้วรวมพจน์ $y$
After separating variables you must integrate $\dfrac{1}{x(9-2x)}$. Pick the correct way.
(A) use the partial fractions from part (a)
(B) integrate directly to $\ln|x(9-2x)|$
(C) treat it as $\dfrac{1}{9x-2x^{2}}$ and use $\ln|9x-2x^{2}|$
หลังแยกตัวแปรแล้ว ต้องอินทิเกรต $\dfrac{1}{x(9-2x)}$ จงเลือกวิธีที่ถูกต้อง
(A) ใช้เศษส่วนย่อยจากข้อ (ก)
(B) อินทิเกรตตรงๆเป็น $\ln|x(9-2x)|$
(C) มองเป็น $\dfrac{1}{9x-2x^{2}}$ แล้วใช้ $\ln|9x-2x^{2}|$
Answershow ▾
(B) there is no log rule for the reciprocal of a product. (C) the $\ln|f(x)|$ shortcut only works when the numerator IS the derivative of $f(x)$ - here the numerator is $1$, not $9-4x$.(B) ไม่มีกฎ log สำหรับส่วนกลับของผลคูณ · (C) ทางลัด $\ln|f(x)|$ ใช้ได้เฉพาะเมื่อตัวเศษคืออนุพันธ์ของ $f(x)$ ซึ่งที่นี่ตัวเศษคือ $1$ ไม่ใช่ $9-4x$
Rearrange $3\dfrac{dx}{dt}=x(9-2x)$ so that $x$ terms are on the left and $t$ terms on the right.
จงจัดรูป $3\dfrac{dx}{dt}=x(9-2x)$ ให้พจน์ $x$ อยู่ซ้าย พจน์ $t$ อยู่ขวา
Answershow ▾
Same move as question $2$, with the real equation.ขั้นเดิมจากข้อ $2$ ใช้กับสมการจริง
Integrate both sides of $\dfrac{3\,dx}{x(9-2x)}=dt$, using $\dfrac{3}{x(9-2x)}=\dfrac{1}{3x}+\dfrac{2}{3(9-2x)}$.
จงอินทิเกรตทั้งสองข้างของ $\dfrac{3\,dx}{x(9-2x)}=dt$ โดยใช้ $\dfrac{3}{x(9-2x)}=\dfrac{1}{3x}+\dfrac{2}{3(9-2x)}$
Answershow ▾
The right side integrates to $t$ alone, plus a constant.ฝั่งขวาอินทิเกรตได้ $t$ เพียงอย่างเดียว บวกค่าคงตัว
Use $t=0,\ x=3$ to find $c$ in $\tfrac13\ln x-\tfrac13\ln(9-2x)=t+c$.
จงใช้ $t=0,\ x=3$ หาค่า $c$ จาก $\tfrac13\ln x-\tfrac13\ln(9-2x)=t+c$
Answershow ▾
$\ln3-\ln3=0$, since $9-2(3)=3$.$\ln3-\ln3=0$ เพราะ $9-2(3)=3$
Make $x$ the subject of $\tfrac13\ln\dfrac{x}{9-2x}=t$.
จงจัดรูปให้ $x$ เป็นตัวตั้งจาก $\tfrac13\ln\dfrac{x}{9-2x}=t$
Answershow ▾
Exponentiate, collect the $x$ terms, then divide top and bottom by $e^{3t}$.ยกกำลัง $e$ รวมพจน์ $x$ แล้วหารเศษและส่วนด้วย $e^{3t}$
Check that $x=\dfrac{9}{2+e^{-3t}}$ gives $x=3$ at $t=0$.
จงตรวจว่า $x=\dfrac{9}{2+e^{-3t}}$ ให้ $x=3$ ที่ $t=0$ หรือไม่
Answershow ▾
$e^{0}=1$, so the denominator is $2+1=3$.$e^{0}=1$ ตัวส่วนจึงเป็น $2+1=3$
$5\dfrac{dy}{dt}=y(6-y)$, with $y=1$ when $t=0$. (a) Write $\dfrac{5}{y(6-y)}$ in partial fraction form. (b) Solve the equation to show that $y=\dfrac{6}{1+5e^{-\tfrac65t}}$.
$5\dfrac{dy}{dt}=y(6-y)$ โดย $y=1$ เมื่อ $t=0$ (ก) จงเขียน $\dfrac{5}{y(6-y)}$ ในรูปเศษส่วนย่อย (ข) จากนั้นแก้สมการแสดงว่า $y=\dfrac{6}{1+5e^{-\tfrac65t}}$
Answershow ▾
Same chain: separate, integrate with the partial fractions, use the condition, then rearrange.ขั้นเดิม: แยกตัวแปร อินทิเกรตด้วยเศษส่วนย่อย ใช้เงื่อนไข แล้วจัดรูป
The number of goats on an island is being monitored. In a model, the number of goats, $x$, in thousands, $t$ years after monitoring began, is modelled by the differential equation $3\dfrac{dx}{dt}=x(9-2x)$. When monitoring began there were $3000$ goats on the island.
(a) Write $\dfrac{3}{x(9-2x)}$ in partial fraction form.
(b) Solve the differential equation with the initial condition to show that $x=\dfrac{9}{2+e^{-3t}}$.
(c) Find the long-term population of goats predicted by this model.
จำนวนแพะบนเกาะแห่งหนึ่งถูกติดตาม ในแบบจำลองหนึ่ง จำนวนแพะ $x$ (หน่วยเป็นพัน) เมื่อเวลาผ่านไป $t$ ปีนับจากเริ่มติดตาม ถูกจำลองด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ $3\dfrac{dx}{dt}=x(9-2x)$ เมื่อเริ่มติดตามมีแพะ $3000$ ตัวบนเกาะ
(ก) เขียน $\dfrac{3}{x(9-2x)}$ ในรูปเศษส่วนย่อย (partial fraction)
(ข) แก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยใช้เงื่อนไขเริ่มต้น แสดงว่า $x=\dfrac{9}{2+e^{-3t}}$
(ค) หาจำนวนประชากรแพะในระยะยาวที่แบบจำลองนี้ทำนาย
Answershow ▾
9 marks: separate variables, integrate with the partial fractions, use the condition, then rearrange.9 คะแนน: แยกตัวแปร อินทิเกรตด้วยเศษส่วนย่อย ใช้เงื่อนไข แล้วจัดรูป
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
An improper fraction, constant quotient เศษส่วนเกิน ผลหารเป็นค่าคงตัว
Given that $\dfrac{4+3x-2x^{2}}{(x-2)(2x+1)}\equiv\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{2x+1}+C$
(a) find the values of the constants $A$, $B$ and $C$.
(b) Hence find the exact value of $\displaystyle\int_{7}^{12}\dfrac{4+3x-2x^{2}}{(x-2)(2x+1)}\,dx$, giving your answer in the form $p\ln q+r$ where $p$, $q$ and $r$ are rational numbers.
กำหนดให้ $\dfrac{4+3x-2x^{2}}{(x-2)(2x+1)}\equiv\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{2x+1}+C$
(ก) หาค่าคงตัว $A$, $B$ และ $C$
(ข) จากนั้นหาค่าที่แท้จริงของ $\displaystyle\int_{7}^{12}\dfrac{4+3x-2x^{2}}{(x-2)(2x+1)}\,dx$ โดยตอบในรูป $p\ln q+r$ เมื่อ $p$, $q$ และ $r$ เป็นจำนวนตรรกยะ (rational)
Find the value of $x$ that makes $x-2=0$.
จงหาค่า $x$ ที่ทำให้ $x-2=0$
Answershow ▾
Add $2$ to both sides.บวก $2$ เข้าทั้งสองข้าง
Find the value of $x$ that makes $2x+1=0$.
จงหาค่า $x$ ที่ทำให้ $2x+1=0$
Answershow ▾
Subtract $1$, then divide by $2$.ลบ $1$ แล้วหารด้วย $2$
In $3x^{2}+x-1=A(x+2)+Bx+Cx(x+2)$, compare the $x^{2}$ coefficients to find $C$.
จาก $3x^{2}+x-1=A(x+2)+Bx+Cx(x+2)$ จงเทียบสัมประสิทธิ์ $x^{2}$ เพื่อหา $C$
Answershow ▾
Only the $Cx(x+2)$ term can produce an $x^{2}$.มีแค่พจน์ $Cx(x+2)$ ที่ให้ $x^{2}$ ได้
Multiply both sides of $\dfrac{4+3x-2x^{2}}{(x-2)(2x+1)}$ $=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{2x+1}+C$ by $(x-2)(2x+1)$.
จงคูณทั้งสองข้างของ $\dfrac{4+3x-2x^{2}}{(x-2)(2x+1)}$ $=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{2x+1}+C$ ด้วย $(x-2)(2x+1)$
Answershow ▾
Every term on the right keeps whatever bracket it lost - $C$ gets both.ทุกพจน์ทางขวาเหลือวงเล็บที่มันขาดไป · $C$ ขาดไปทั้งสองวงเล็บ
The identity above. Which value of $x$ finds $A$ alone?
(A) $x=2$
(B) $x=-\tfrac12$
(C) $x=0$
จากเอกลักษณ์ข้างบน ค่า $x$ ใดหา $A$ ได้ตัวเดียว
(A) $x=2$
(B) $x=-\tfrac12$
(C) $x=0$
Answershow ▾
(B) $x=-\tfrac12$ zeroes both $B(x-2)$'s partner $(2x+1)$ and the $C$ term - it finds $B$, not $A$. (C) $x=0$ zeroes nothing, so all three constants remain.(B) $x=-\tfrac12$ ทำให้ $(2x+1)$ ซึ่งคู่กับพจน์ $B$ และพจน์ $C$ เป็นศูนย์ จึงหาได้ $B$ ไม่ใช่ $A$ · (C) $x=0$ ไม่ทำให้อะไรเป็นศูนย์ ค่าคงตัวทั้งสามตัวจึงยังอยู่
Substitute $x=2$ into the identity above to find $A$.
จงแทน $x=2$ ในเอกลักษณ์ข้างบนเพื่อหา $A$
Answershow ▾
$(x-2)$ is $0$, so the $B$ and $C$ terms both vanish.$(x-2)$ เป็น $0$ พจน์ $B$ และ $C$ จึงหายไปทั้งคู่
Substitute $x=-\tfrac12$ into the identity above to find $B$.
จงแทน $x=-\tfrac12$ ในเอกลักษณ์ข้างบนเพื่อหา $B$
Answershow ▾
$(2x+1)$ is $0$, so the $A$ and $C$ terms both vanish.$(2x+1)$ เป็น $0$ พจน์ $A$ และ $C$ จึงหายไปทั้งคู่
Compare the $x^{2}$ coefficients in the identity above to find $C$.
จงเทียบสัมประสิทธิ์ $x^{2}$ ในเอกลักษณ์ข้างบนเพื่อหา $C$
Answershow ▾
Only $C(x-2)(2x+1)$ carries an $x^{2}$ term, with coefficient $2C$.มีแค่ $C(x-2)(2x+1)$ ที่มี $x^{2}$ สัมประสิทธิ์คือ $2C$
Check the identity at $x=0$, using $A=\tfrac25$, $B=-\tfrac45$, $C=-1$.
จงตรวจเอกลักษณ์ที่ $x=0$ โดยใช้ $A=\tfrac25$, $B=-\tfrac45$, $C=-1$
Answershow ▾
A value that fits the identity for every $x$ must fit $x=0$ too.ค่าที่เป็นจริงกับเอกลักษณ์ทุกค่า $x$ ต้องเป็นจริงที่ $x=0$ ด้วย
$\dfrac{4x^{2}-5x+2}{(x-1)(2x-1)}$ $\equiv\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{2x-1}+C$. (a) Find $A$, $B$, $C$. (b) Hence find the exact value of $\displaystyle\int_{2}^{3}$ $\dfrac{4x^{2}-5x+2}{(x-1)(2x-1)}\,dx$.
$\dfrac{4x^{2}-5x+2}{(x-1)(2x-1)}$ $\equiv\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{2x-1}+C$ (ก) จงหา $A$, $B$, $C$ (ข) จากนั้นหาค่าที่แท้จริงของ $\displaystyle\int_{2}^{3}$ $\dfrac{4x^{2}-5x+2}{(x-1)(2x-1)}\,dx$
Answershow ▾
Same moves: substitute each root, compare $x^{2}$ for $C$, then integrate and evaluate.ขั้นเดิม: แทนค่าแต่ละราก เทียบ $x^{2}$ หา $C$ แล้วอินทิเกรตและแทนขอบเขต
Given that $\dfrac{4+3x-2x^{2}}{(x-2)(2x+1)}\equiv\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{2x+1}+C$
(a) find the values of the constants $A$, $B$ and $C$.
(b) Hence find the exact value of $\displaystyle\int_{7}^{12}\dfrac{4+3x-2x^{2}}{(x-2)(2x+1)}\,dx$, giving your answer in the form $p\ln q+r$ where $p$, $q$ and $r$ are rational numbers.
กำหนดให้ $\dfrac{4+3x-2x^{2}}{(x-2)(2x+1)}\equiv\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{2x+1}+C$
(ก) หาค่าคงตัว $A$, $B$ และ $C$
(ข) จากนั้นหาค่าที่แท้จริงของ $\displaystyle\int_{7}^{12}\dfrac{4+3x-2x^{2}}{(x-2)(2x+1)}\,dx$ โดยตอบในรูป $p\ln q+r$ เมื่อ $p$, $q$ และ $r$ เป็นจำนวนตรรกยะ (rational)
Answershow ▾
10 marks: find $A$, $B$, compare $x^{2}$ for $C$, integrate, then evaluate between $7$ and $12$.10 คะแนน: หา $A$, $B$ เทียบ $x^{2}$ หา $C$ อินทิเกรต แล้วแทนขอบเขต $7$ ถึง $12$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
An unknown limit, and a root to reject ขอบเขตที่ไม่รู้ค่า และรากที่ต้องตัดทิ้ง
In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable. $f(x)=\dfrac{8x-5}{(2x-1)(4x-3)}$, $x\gt1$
(a) Express $f(x)$ in partial fractions.
(b) Hence find $\displaystyle\int f(x)\,dx$.
(c) Use the answer to part (b) to find the value of $k$ for which $\displaystyle\int_{k}^{3k}f(x)\,dx=\tfrac12\ln20$.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน คำตอบที่ได้จากเครื่องคิดเลขล้วน ๆ ไม่ได้คะแนน $f(x)=\dfrac{8x-5}{(2x-1)(4x-3)}$ เมื่อ $x\gt1$
(ก) เขียน $f(x)$ ในรูปเศษส่วนย่อย (partial fraction)
(ข) จากนั้นหา $\displaystyle\int f(x)\,dx$
(ค) ใช้คำตอบจากข้อ (b) หาค่า $k$ ที่ทำให้ $\displaystyle\int_{k}^{3k}f(x)\,dx=\tfrac12\ln20$
Find the value of $x$ that makes $2x-1=0$.
จงหาค่า $x$ ที่ทำให้ $2x-1=0$
Answershow ▾
Add $1$, then divide by $2$.บวก $1$ แล้วหารด้วย $2$
Find the value of $x$ that makes $4x-3=0$.
จงหาค่า $x$ ที่ทำให้ $4x-3=0$
Answershow ▾
Add $3$, then divide by $4$.บวก $3$ แล้วหารด้วย $4$
Write $\ln(3k-1)+\ln(2k+1)$ as a single log.
จงเขียน $\ln(3k-1)+\ln(2k+1)$ เป็น log ตัวเดียว
Answershow ▾
The product law works on brackets the same way it works on numbers.กฎการคูณใช้ได้กับวงเล็บเหมือนกับที่ใช้กับตัวเลข
Multiply both sides of $\dfrac{8x-5}{(2x-1)(4x-3)}$ $=\dfrac{A}{2x-1}+\dfrac{B}{4x-3}$ by $(2x-1)(4x-3)$.
จงคูณทั้งสองข้างของ $\dfrac{8x-5}{(2x-1)(4x-3)}$ $=\dfrac{A}{2x-1}+\dfrac{B}{4x-3}$ ด้วย $(2x-1)(4x-3)$
Answershow ▾
Each fraction keeps its numerator times the OTHER bracket.เศษส่วนแต่ละตัวเหลือตัวเศษคูณกับอีกวงเล็บ
Substitute $x=\tfrac12$ into $8x-5=A(4x-3)+B(2x-1)$ to find $A$.
จงแทน $x=\tfrac12$ ใน $8x-5=A(4x-3)+B(2x-1)$ เพื่อหา $A$
Answershow ▾
$(2x-1)$ is $0$, so the $B$ term vanishes.$(2x-1)$ เป็น $0$ พจน์ $B$ จึงหายไป
Substitute $x=\tfrac34$ into $8x-5=A(4x-3)+B(2x-1)$ to find $B$.
จงแทน $x=\tfrac34$ ใน $8x-5=A(4x-3)+B(2x-1)$ เพื่อหา $B$
Answershow ▾
$(4x-3)$ is $0$, so the $A$ term vanishes.$(4x-3)$ เป็น $0$ พจน์ $A$ จึงหายไป
Integrate $\dfrac{1}{2x-1}+\dfrac{2}{4x-3}$.
จงอินทิเกรต $\dfrac{1}{2x-1}+\dfrac{2}{4x-3}$
Answershow ▾
Each term is divided by its own bracket's derivative, $2$ then $4$.แต่ละพจน์หารด้วยอนุพันธ์ของวงเล็บตัวเอง คือ $2$ แล้ว $4$
Use $\tfrac12\ln|(2x-1)(4x-3)|$ between $k$ and $3k$ to form, then solve, $(6k-1)(12k-3)=20(2k-1)(4k-3)$.
จงใช้ $\tfrac12\ln|(2x-1)(4x-3)|$ ระหว่าง $k$ และ $3k$ เพื่อตั้ง แล้วแก้สมการ $(6k-1)(12k-3)=20(2k-1)(4k-3)$
Answershow ▾
Multiplying out both sides gives a three-term quadratic in $k$.คูณกระจายทั้งสองข้างได้สมการกำลังสองสามพจน์ของ $k$
The domain is $x\gt1$, and both $k$ and $3k$ must lie in it. Which root do you keep?
(A) $k=\tfrac32$ only
(B) $k=\tfrac{19}{44}$ only
(C) both values
โดเมนคือ $x\gt1$ และทั้ง $k$ กับ $3k$ ต้องอยู่ในนั้น จงเลือกรากที่ถูกต้อง
(A) $k=\tfrac32$ เท่านั้น
(B) $k=\tfrac{19}{44}$ เท่านั้น
(C) ทั้งสองค่า
Answershow ▾
(B) $k=\tfrac{19}{44}\approx0.43$ is already less than $1$, so $x=k$ would be outside the domain. (C) keeping both ignores that $\tfrac{19}{44}$ fails the domain on its own.(B) $k=\tfrac{19}{44}\approx0.43$ น้อยกว่า $1$ อยู่แล้ว ทำให้ $x=k$ อยู่นอกโดเมน · (C) เก็บทั้งสองค่าไม่ได้ เพราะ $\tfrac{19}{44}$ หลุดโดเมนไปแล้วตัวเดียวก็พอ
$f(x)=\dfrac{4x-3}{(x-1)(2x-1)}$, $x\gt1$. (a) Write $f(x)$ in partial fraction form. (b) Hence find the exact value of $\displaystyle\int_{2}^{5}f(x)\,dx$.
$f(x)=\dfrac{4x-3}{(x-1)(2x-1)}$ เมื่อ $x\gt1$ (ก) จงเขียน $f(x)$ ในรูปเศษส่วนย่อย (ข) จากนั้นหาค่าที่แท้จริงของ $\displaystyle\int_{2}^{5}f(x)\,dx$
Answershow ▾
Same moves: substitute each root, integrate, then evaluate between the limits.ขั้นเดิม: แทนค่าแต่ละราก อินทิเกรต แล้วแทนขอบเขต
In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable. $f(x)=\dfrac{8x-5}{(2x-1)(4x-3)}$, $x\gt1$
(a) Express $f(x)$ in partial fractions.
(b) Hence find $\displaystyle\int f(x)\,dx$.
(c) Use the answer to part (b) to find the value of $k$ for which $\displaystyle\int_{k}^{3k}f(x)\,dx=\tfrac12\ln20$.
ข้อนี้ต้องแสดงวิธีทำทุกขั้นตอน คำตอบที่ได้จากเครื่องคิดเลขล้วน ๆ ไม่ได้คะแนน $f(x)=\dfrac{8x-5}{(2x-1)(4x-3)}$ เมื่อ $x\gt1$
(ก) เขียน $f(x)$ ในรูปเศษส่วนย่อย (partial fraction)
(ข) จากนั้นหา $\displaystyle\int f(x)\,dx$
(ค) ใช้คำตอบจากข้อ (b) หาค่า $k$ ที่ทำให้ $\displaystyle\int_{k}^{3k}f(x)\,dx=\tfrac12\ln20$
Answershow ▾
11 marks: find $A$ and $B$, integrate, form the quadratic in $k$, then reject the root outside the domain.11 คะแนน: หา $A$ กับ $B$ อินทิเกรต ตั้งสมการกำลังสองของ $k$ แล้วตัดรากที่หลุดโดเมนทิ้ง