Proof · practice ladders ชุดไต่ระดับ · การพิสูจน์
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Proof · proof by contradiction
Prove by contradiction that if $n^2$ is even, then $n$ is even.
To prove the statement 'if $n$ is a multiple of 8, then $n$ is even' by contradiction, what would you assume?
หากต้องการพิสูจน์ข้อความ 'ถ้า $n$ หารด้วย 8 ลงตัว แล้ว $n$ เป็นจำนวนคู่' โดยวิธีขัดแย้ง จะต้องสมมติอะไร
Answershow ▾
Proof by contradiction always starts the same way: keep the premise, but assume the OPPOSITE of the conclusion you are trying to reach.
Every odd integer can be written as $2k+1$ for some integer $k$. Write down the value of $2k+1$ when $k = 2$, and confirm it is odd.
จำนวนคี่ทุกจำนวนเขียนได้ในรูป $2k+1$ เมื่อ $k$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาค่าของ $2k+1$ เมื่อ $k = 2$ และยืนยันว่าเป็นจำนวนคี่
Answershow ▾
This is the standard algebraic form used to represent 'an odd number' throughout a parity proof — get comfortable substituting into it.
Expand $(2k+1)^2$, and show the result can be written in the form $2m+1$ for an integer $m$ (hence show it is odd).
จงกระจาย $(2k+1)^2$ และแสดงว่าผลลัพธ์เขียนได้ในรูป $2m+1$ เมื่อ $m$ เป็นจำนวนเต็ม (จึงสรุปได้ว่าเป็นจำนวนคี่)
Answershow ▾
Expand fully, then pull a factor of $2$ out of every term except the constant — whatever is left decides the parity.
A contradiction proof of “if $n^2$ is even, then $n$ is even” opens with an assumption, and only ONE of these is it. Which, and what is wrong with the other two?
(A) assume $n^2$ is odd and $n$ is even (B) assume $n^2$ is even and $n$ is odd (C) assume $n$ is odd and $n^2$ is odd
การพิสูจน์แบบข้อขัดแย้งของ "ถ้า $n^2$ เป็นจำนวนคู่ แล้ว $n$ เป็นจำนวนคู่" เริ่มด้วยข้อสมมติ และมีข้อเดียวเท่านั้นที่ใช่ · ข้อไหน และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) สมมติว่า $n^2$ เป็นคี่ และ $n$ เป็นคู่ (B) สมมติว่า $n^2$ เป็นคู่ และ $n$ เป็นคี่ (C) สมมติว่า $n$ เป็นคี่ และ $n^2$ เป็นคี่
Answershow ▾
The recipe is fixed: keep the premise exactly as given, and negate the conclusion only. (A) negates the wrong half, so it is trying to prove a different statement. (C) negates nothing at all — it assumes both halves of what you are about to deduce, so there is nothing left to contradict and no proof happens. Which half to negate is decided before any algebra, and the mark scheme’s first B1 is for the assumption once it is written, not for working out which one it should be.สูตรตายตัว: เก็บสมมติฐานไว้ตามที่โจทย์ให้ และปฏิเสธเฉพาะข้อสรุปเท่านั้น · (A) ปฏิเสธผิดครึ่ง จึงกำลังพยายามพิสูจน์ข้อความคนละข้อ · (C) ไม่ได้ปฏิเสธอะไรเลย มันสมมติทั้งสองครึ่งของสิ่งที่กำลังจะอนุมาน จึงไม่เหลืออะไรให้ขัดแย้ง และไม่เกิดการพิสูจน์ · การเลือกว่าจะปฏิเสธครึ่งไหนตัดสินก่อนลงมือคิดพีชคณิต และ B1 แรกของมาร์คสกีมให้กับข้อสมมติที่เขียนออกมา ไม่ใช่ให้กับการคิดว่าควรเป็นข้อไหน
To prove 'if $n^2$ is even, then $n$ is even' by contradiction, state what you assume, then write the assumption algebraically.
Answershow ▾
Question 1's move, aimed at the real target statement — the premise stays; only the conclusion gets negated. This is the first line of the exam question's proof.
Given $n = 2k+1$, show that $n^2$ is odd.
Answershow ▾
Expand fully, then factor a $2$ out of every term you can — same move as question 3, now on the real expression.
$(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$. Which of these three sentences actually establishes that this is odd, and what is missing from the other two?
(A) it is odd because it ends in $+1$ (B) it is odd because $4k^2$ and $4k$ are both even (C) it equals $2\left(2k^2 + 2k\right) + 1$, and $2k^2 + 2k$ is an integer, so it has the form $2m + 1$
$(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$ · ประโยคไหนในสามข้อนี้ที่พิสูจน์ได้จริงว่ามันเป็นจำนวนคี่ และอีกสองข้อขาดอะไร
(A) เป็นคี่เพราะลงท้ายด้วย $+1$ (B) เป็นคี่เพราะ $4k^2$ กับ $4k$ เป็นคู่ทั้งคู่ (C) เท่ากับ $2\left(2k^2 + 2k\right) + 1$ และ $2k^2 + 2k$ เป็นจำนวนเต็ม จึงอยู่ในรูป $2m + 1$
Answershow ▾
(A) is not an argument, it is a habit — $4k^2 + 4k$ is even only because of the factor $2$, and “ends in $+1$” would just as happily “prove” that $3k + 1$ is odd, which it is not. (B) is true and is the idea behind (C), but it never produces the form $2m + 1$, which is what “odd” means. The proof needs the factor of $2$ taken out explicitly AND the leftover named as an integer. The M1/A1 pay for the factorised line; nothing pays for knowing that a definition has to be reached, not gestured at.(A) ไม่ใช่การให้เหตุผล แต่เป็นความเคยชิน · $4k^2 + 4k$ เป็นคู่เพราะมีตัวประกอบ $2$ เท่านั้น และคำว่า "ลงท้ายด้วย $+1$" จะ "พิสูจน์" ได้พอ ๆ กันว่า $3k + 1$ เป็นคี่ ซึ่งไม่จริง · (B) เป็นจริงและเป็นความคิดเบื้องหลัง (C) แต่ไม่เคยผลิตรูป $2m + 1$ ออกมา ซึ่งคือความหมายของคำว่า "คี่" · การพิสูจน์ต้องดึงตัวประกอบ $2$ ออกมาชัด ๆ และตั้งชื่อส่วนที่เหลือว่าเป็นจำนวนเต็ม · M1/A1 ให้กับบรรทัดที่ดึงตัวประกอบแล้ว ไม่มีคะแนนให้กับการรู้ว่าต้องไปให้ถึงนิยาม ไม่ใช่แค่ชี้ไปทางนั้น
$n^2$ has been shown to be odd, under the assumption that $n$ is odd. Explain why this is a contradiction, and state your conclusion.
Answershow ▾
A contradiction proof ends by explicitly saying the assumption is impossible, and stating what must be true instead — never skip this closing sentence.
A contradiction proof is not finished when the contradiction appears. Which of these three endings completes it, and what is missing from the other two?
(A) “which is a contradiction” (B) “so $n^2$ is odd” (C) “this contradicts the premise that $n^2$ is even, so the assumption that $n$ is odd is false, hence $n$ is even”
การพิสูจน์แบบข้อขัดแย้งยังไม่จบเมื่อข้อขัดแย้งโผล่มา · ตอนจบข้อไหนที่ทำให้สมบูรณ์ และอีกสองข้อขาดอะไร
(A) "ซึ่งขัดแย้งกัน" (B) "ดังนั้น $n^2$ เป็นคี่" (C) "ข้อนี้ขัดแย้งกับสมมติฐานที่ว่า $n^2$ เป็นคู่ ดังนั้นข้อสมมติที่ว่า $n$ เป็นคี่จึงเป็นเท็จ จึงสรุปว่า $n$ เป็นคู่"
Answershow ▾
(B) stops at the deduction and never uses it. (A) announces a contradiction without saying WITH WHAT, and without drawing the conclusion — the reader is left to finish the argument. A complete ending does three jobs in one sentence: it names the two statements that clash, it declares the assumption false, and it states what must therefore be true. The final A1 is for that sentence, and it is the mark most often lost on a proof that was otherwise entirely correct.(B) หยุดที่ผลอนุมานและไม่เคยเอามันไปใช้ · (A) ประกาศว่ามีข้อขัดแย้งโดยไม่บอกว่าขัดกับอะไร และไม่ได้สรุป ปล่อยให้ผู้อ่านไปคิดจบเอง · ตอนจบที่สมบูรณ์ทำสามอย่างในประโยคเดียว: บอกชื่อข้อความสองข้อที่ชนกัน ประกาศว่าข้อสมมติเป็นเท็จ และบอกว่าอะไรจึงต้องเป็นจริง · A1 สุดท้ายให้กับประโยคนั้น และเป็นคะแนนที่หายบ่อยที่สุดในการพิสูจน์ที่นอกนั้นถูกหมด
To prove 'if $n^2$ is even, then $n$ is even' by contradiction, state the assumption algebraically, and use it to find the parity of $n^2$.
Answershow ▾
Questions 4 and 5 back to back — the first half of the whole proof.
Given that $n=2k+1$ leads to $n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ (so $n^2$ is odd), state the contradiction this gives and hence complete the proof that if $n^2$ is even, then $n$ is even.
Answershow ▾
Questions 5 and 6 back to back — the second half of the whole proof.
Prove by contradiction that if $n$ is even, then $n+1$ is odd — the same four-step recipe as above (assume the opposite, deduce, contradict, conclude), but for a much easier statement.
Answershow ▾
The exact same four moves as the exam question — assume, deduce, contradict, conclude — just with a statement simple enough to see the whole shape of the argument at once.
Prove by contradiction that if $n^2$ is even, then $n$ is even.
Answershow ▾
7 marks. Questions 4 and 7 build the assumption and the algebra; questions 5, 6 and 8 build the contradiction and conclusion.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Proof · disproof by counter-example, and an algebraic proof
(a) It is claimed that 'if $a \gt b$ then $a^2 \gt b^2$.' Show the claim is true when $a=5$, $b=4$ and when $a=5$, $b=0$, then find a value of $b$ for which the claim is false when $a=5$, disproving it by counter-example.
(b) Prove algebraically that the product of two consecutive integers is always even.
It is claimed that '$2n+1$ is prime for every positive integer $n$.' Verify the claim for $n=1$, $n=2$ and $n=3$.
มีข้อความอ้างว่า '$2n+1$ เป็นจำนวนเฉพาะสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$' จงตรวจสอบข้อความนี้ สำหรับ $n=1$, $n=2$ และ $n=3$
Answershow ▾
Before searching for a counter-example, always check a few small cases — it shows you understand the claim, and sometimes a claim really is true.
Continuing the search, find the smallest positive integer $n$ for which $2n+1$ is NOT prime.
จงหาค่าจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุดซึ่งทำให้ $2n+1$ ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
Answershow ▾
Keep substituting increasing values of $n$ until the pattern breaks — that value is your counter-example.
A claim states 'STATEMENT is true for every positive integer $n$.' Explain why finding just ONE value of $n$ for which the claim is false is enough to disprove it completely.
ข้อความอ้างว่า 'ข้อความ X เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$' จงอธิบายว่าเหตุใดการหาค่า $n$ เพียงค่าเดียวที่ทำให้ข้อความเป็นเท็จจึงเพียงพอที่จะหักล้างข้อความนี้ได้ทั้งหมด
Answershow ▾
This is the whole logic of disproof by counter-example: 'for all' claims are fragile — they need to hold everywhere, so failing anywhere is fatal.
It is claimed that 'if $a \gt b$ then $a^2 \gt b^2$.' Verify the claim when $a=5, b=4$ and when $a=5, b=0$.
Answershow ▾
Same move as question 1, aimed at the real claim from the exam question.
The claim “if $a \gt b$ then $a^2 \gt b^2$” has been checked at $b = 4$ and $b = 0$, both with $a = 5$. Which region of $b$ has not been tried at all? Say why that is where claims about squares usually break, and name a value there to test.
ข้อกล่าวอ้าง "ถ้า $a \gt b$ แล้ว $a^2 \gt b^2$" ถูกตรวจที่ $b = 4$ และ $b = 0$ โดยใช้ $a = 5$ ทั้งสองครั้ง · ช่วงใดของ $b$ ที่ยังไม่ถูกลองเลย · บอกว่าทำไมข้อกล่าวอ้างเกี่ยวกับกำลังสองมักพังตรงนั้น และบอกค่าหนึ่งค่าในช่วงนั้นที่ควรลอง
Answershow ▾
Two successes prove nothing, and both of them were taken from the same side of zero. Squaring turns $-5$ into $+25$, so a $b$ that is far below $a$ can have a square that is just as big or bigger — and $b = -6$ would make it strictly bigger, a counter-example just as good. Knowing WHERE to look is the difference between finding one in ten seconds and hunting through positive numbers forever. Part (a) awards a mark for the counter-example; the search that found it is worth nothing.ความสำเร็จสองครั้งไม่พิสูจน์อะไร และทั้งสองครั้งมาจากฝั่งเดียวกันของศูนย์ · การยกกำลังสองเปลี่ยน $-5$ เป็น $+25$ ค่า $b$ ที่ต่ำกว่า $a$ มาก ๆ จึงมีกำลังสองที่ใหญ่เท่ากันหรือใหญ่กว่าได้ และ $b = -6$ จะทำให้ใหญ่กว่าจริง ๆ ซึ่งเป็นตัวอย่างค้านที่ดีพอกัน · การรู้ว่าจะ "มองที่ไหน" คือความต่างระหว่างการเจอใน 10 วินาที กับการไล่หาในจำนวนบวกไปเรื่อย ๆ · ข้อ (a) ให้คะแนนกับตัวอย่างค้าน การค้นหาที่ทำให้เจอไม่มีคะแนน
Continuing the search with $a=5$ fixed, find a value of $b$ for which the claim 'if $a\gt b$ then $a^2\gt b^2$' is false.
Answershow ▾
Same move as question 2 — keep searching until the claim genuinely fails, then show both sides of the (in)equality explicitly. This is part (a) of the exam question.
A counter-example has a shape. Which of these three does the job for “if $a \gt b$ then $a^2 \gt b^2$”, and what is wrong with the other two?
(A) $a = 5$, $b = 6$: here $a \gt b$ is false (B) $a = 5$, $b = -5$: $a \gt b$ is true, and $a^2 \gt b^2$ is false (C) $a = -5$, $b = -6$: both parts happen to hold
ตัวอย่างค้านมีรูปแบบของมัน · ข้อไหนใช้ค้าน "ถ้า $a \gt b$ แล้ว $a^2 \gt b^2$" ได้ และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) $a = 5$, $b = 6$: ตรงนี้ $a \gt b$ เป็นเท็จ (B) $a = 5$, $b = -5$: $a \gt b$ เป็นจริง และ $a^2 \gt b^2$ เป็นเท็จ (C) $a = -5$, $b = -6$: เป็นจริงทั้งสองส่วนพอดี
Answershow ▾
A claim of the form “if P then Q” is broken only by a case where P is TRUE and Q is FALSE. (A) fails P, so the claim says nothing about it and it disproves nothing. (C) satisfies both, so it is an example, not a counter-example. That is why the answer has to show both halves explicitly: $5 \gt -5$ is true, and $25 \gt 25$ is false. The mark is for the values together with both checks; showing only the values leaves the examiner to do the work.ข้อกล่าวอ้างรูป "ถ้า P แล้ว Q" ถูกหักล้างได้ด้วยกรณีที่ P เป็นจริงและ Q เป็นเท็จเท่านั้น · (A) ทำให้ P เป็นเท็จ ข้อกล่าวอ้างจึงไม่ได้พูดถึงมันเลย และมันไม่หักล้างอะไร · (C) เป็นจริงทั้งสองส่วน จึงเป็นตัวอย่าง ไม่ใช่ตัวอย่างค้าน · นั่นคือเหตุผลที่คำตอบต้องแสดงทั้งสองครึ่งออกมาชัด ๆ: $5 \gt -5$ เป็นจริง และ $25 \gt 25$ เป็นเท็จ · คะแนนให้กับค่าพร้อมการตรวจทั้งสองข้อ ถ้าเขียนแค่ค่า ผู้ตรวจต้องทำงานเอง
To prove that the product of two consecutive integers is always even, the natural first move is to split into cases by the parity of $n$. Write $n(n+1)$ when $n=2k$ (i.e. $n$ is even), and simplify.
Answershow ▾
Case-splitting (for a parity proof) or factorising (for a divisibility proof) is almost always the first move — it turns an abstract claim into something you can reason about directly.
Part (b) says prove algebraically that the product of two consecutive integers is always even. Which of these is NOT a proof, and why? Then say what “algebraically” rules out.
(A) check $n = 1, 2, 3, 4, 5$ and see that every product is even (B) split into $n = 2k$ and $n = 2k + 1$ and factor a $2$ out of each (C) one of any two consecutive integers is even, so the product has a factor $2$
ข้อ (b) สั่งให้ prove algebraically ว่าผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวนที่ติดกันเป็นจำนวนคู่เสมอ · ข้อไหน "ไม่ใช่" การพิสูจน์ และเพราะอะไร · แล้วบอกว่าคำว่า "algebraically" ตัดอะไรออก
(A) ตรวจ $n = 1, 2, 3, 4, 5$ แล้วเห็นว่าผลคูณเป็นคู่ทุกครั้ง (B) แยกกรณี $n = 2k$ กับ $n = 2k + 1$ แล้วดึง $2$ ออกจากแต่ละกรณี (C) จำนวนหนึ่งในสองจำนวนที่ติดกันต้องเป็นจำนวนคู่ ผลคูณจึงมีตัวประกอบ $2$
Answershow ▾
(C) is a genuine argument and most mathematicians would accept it, but it is a sentence rather than algebra, and a board that wrote “prove algebraically” is asking for a general $n$ carried through symbols — which is (B). (A) is the one that is not a proof at all: no number of examples settles a claim about every integer, and this is the same logic as part (a) read backwards, where ONE example was enough to destroy a claim. One word in the question decides which of the three you are allowed to write, and no mark is attached to reading it.(C) เป็นการให้เหตุผลจริง และนักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ยอมรับ แต่มันเป็นประโยค ไม่ใช่พีชคณิต และบอร์ดที่เขียนว่า "prove algebraically" กำลังขอ $n$ ทั่วไปที่เดินผ่านสัญลักษณ์ ซึ่งก็คือ (B) · (A) คือข้อที่ไม่ใช่การพิสูจน์เลย เพราะตัวอย่างกี่ตัวก็ไม่ตัดสินข้อกล่าวอ้างเกี่ยวกับจำนวนเต็มทุกจำนวน และนี่คือตรรกะเดียวกับข้อ (a) ที่อ่านย้อนกลับ ตรงที่ตัวอย่าง "หนึ่ง" ตัวอย่างพอที่จะทำลายข้อกล่าวอ้างได้ · คำเดียวในโจทย์ตัดสินว่าเขียนข้อไหนได้ และไม่มีคะแนนให้กับการอ่านคำนั้น
Prove algebraically that the product of two consecutive integers is always even.
Answershow ▾
Question 6 was the opening move; here is the complete argument — every case (or factor) checked, and the concluding sentence stated explicitly. This is part (b) of the exam question.
It is claimed that 'if $a \gt b$ then $a^2 \gt b^2$.' Show the claim is true when $a=5$, $b=4$ and when $a=5$, $b=0$, then find a value of $b$ for which the claim is false when $a=5$, disproving it by counter-example.
Answershow ▾
Questions 4 and 5 back to back — verify small cases, then search until the claim breaks. This is part (a) of the exam question, in full.
Using an easier claim and an easier statement throughout: (a) It is claimed that '$2n+1$ is prime for every positive integer $n$.' Verify the claim for $n=1,2,3$, then disprove it by counter-example.
(b) Prove algebraically that the sum of two consecutive integers is always odd.
Answershow ▾
Exactly the same two-part structure as the exam question — disprove by search, then prove algebraically — but with the easiest claim and statement that still show the method.
(a) It is claimed that 'if $a \gt b$ then $a^2 \gt b^2$.' Show the claim is true when $a=5$, $b=4$ and when $a=5$, $b=0$, then find a value of $b$ for which the claim is false when $a=5$, disproving it by counter-example.
(b) Prove algebraically that the product of two consecutive integers is always even.
Answershow ▾
7 marks. Questions 4, 5 and 8 build part (a); questions 6 and 7 build part (b).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
The next odd integer is bigger จำนวนเต็มคี่ตัวถัดไปใหญ่กว่า
Prove by contradiction that there is no greatest odd integer.
จงพิสูจน์โดยใช้การพิสูจน์แบบข้อขัดแย้ง (proof by contradiction) ว่าไม่มีจำนวนเต็มคี่ (odd integer) ที่มากที่สุด
Write the general form of an odd integer, using an integer $k$.
จงเขียนรูปทั่วไปของจำนวนเต็มคี่ โดยใช้จำนวนเต็ม $k$
Answershow ▾
Every odd integer is one more than an even number.จำนวนเต็มคี่ทุกตัวมากกว่าจำนวนคู่อยู่หนึ่ง
Given $n=2k+1$, write $n+2$ in the form $2(\text{integer})+1$.
กำหนด $n=2k+1$ จงเขียน $n+2$ ในรูป $2(\ldots)+1$ โดยใส่จำนวนเต็มในวงเล็บ
Answershow ▾
Any number of the form $2m+1$ is odd.จำนวนในรูป $2m+1$ เป็นจำนวนคี่เสมอ
Is $n+2$ bigger or smaller than $n$? Write the inequality.
$n+2$ ใหญ่กว่าหรือเล็กกว่า $n$ จงเขียนเป็นอสมการ
Answershow ▾
Adding a positive number always makes a number bigger.การบวกด้วยจำนวนบวกทำให้ค่าใหญ่ขึ้นเสมอ
Pick the right first step for proof by contradiction here.
(A) assume there is a greatest odd integer $n$, then show $n+2$ is also odd and bigger
(B) list several odd numbers and check that none of them is the greatest
(C) assume $n$ is even, and look for a contradiction
จงเลือกขั้นแรกของการพิสูจน์แบบข้อขัดแย้งนี้
(A) สมมติว่ามีจำนวนเต็มคี่ที่มากที่สุดคือ $n$ แล้วแสดงว่า $n+2$ ก็เป็นจำนวนเต็มคี่และใหญ่กว่า
(B) ยกตัวอย่างจำนวนคี่หลายตัว แล้วตรวจว่าไม่มีตัวใดมากที่สุด
(C) สมมติว่า $n$ เป็นจำนวนคู่ แล้วหาข้อขัดแย้ง
Answershow ▾
(B) can never finish, since there are infinitely many odd integers to check. (C) contradicts nothing relevant: the claim is about there being no GREATEST odd integer, not about the parity of $n$ itself.(B) ตรวจไม่ครบเพราะจำนวนเต็มคี่มีไม่สิ้นสุด · (C) ไม่เกี่ยวข้องกับข้อความที่ต้องพิสูจน์ เพราะข้อความพูดถึงการไม่มีจำนวนเต็มคี่ที่มากที่สุด ไม่ได้พูดถึงว่า $n$ เป็นคู่หรือคี่
Assume $n=2k+1$ is the greatest odd integer. Write $n+2$ in the form $2(\text{integer})+1$.
สมมติ $n=2k+1$ เป็นจำนวนเต็มคี่ที่มากที่สุด จงเขียน $n+2$ ในรูป $2(\ldots)+1$ โดยใส่จำนวนเต็มในวงเล็บ
Answershow ▾
Same move as question 2, now inside the assumption.ขั้นเดียวกับข้อ 2 แต่ตอนนี้อยู่ภายใต้ข้อสมมติ
Write the inequality comparing $n+2$ and $n$.
จงเขียนอสมการเทียบ $n+2$ กับ $n$
Answershow ▾
$n+2$ is always $2$ more than $n$.$n+2$ มากกว่า $n$ อยู่ $2$ เสมอ
$n+2$ is an odd integer bigger than $n$. Write what this contradicts.
$n+2$ เป็นจำนวนเต็มคี่ที่มากกว่า $n$ จงเขียนว่าสิ่งนี้ขัดแย้งกับอะไร
Answershow ▾
A bigger odd integer than the "greatest" one cannot exist.จำนวนเต็มคี่ที่มากกว่า "ตัวที่มากที่สุด" ไม่ควรมีอยู่จริง
Assuming $n=2k+1$ is the greatest odd integer, write $n+2$ in the form $2(\text{integer})+1$, then compare it with $n$.
สมมติ $n=2k+1$ เป็นจำนวนเต็มคี่ที่มากที่สุด จงเขียน $n+2$ ในรูป $2(\ldots)+1$ โดยใส่จำนวนเต็มในวงเล็บ แล้วเทียบกับ $n$
Answershow ▾
Both of the last two skills, one after the other.สองขั้นที่แล้วต่อกัน
Check with $n=7$ (an odd number): work out $n+2$, and confirm it is odd and bigger than $n$.
จงตรวจด้วย $n=7$ (จำนวนคี่): หา $n+2$ แล้วยืนยันว่าเป็นจำนวนคี่และมากกว่า $n$
Answershow ▾
$9$ fits the pattern $2(k+1)+1$ with $k=3$.$9$ เข้ารูป $2(k+1)+1$ เมื่อ $k=3$
Prove by contradiction that there is no greatest even integer.
จงพิสูจน์โดยใช้การพิสูจน์แบบข้อขัดแย้งว่าไม่มีจำนวนเต็มคู่ที่มากที่สุด
Answershow ▾
Same three moves, with $n=2k$ in place of $n=2k+1$.สามขั้นเดิม แต่ใช้ $n=2k$ แทน $n=2k+1$
Prove by contradiction that there is no greatest odd integer.
จงพิสูจน์โดยใช้การพิสูจน์แบบข้อขัดแย้ง (proof by contradiction) ว่าไม่มีจำนวนเต็มคี่ (odd integer) ที่มากที่สุด
Answershow ▾
2 marks: one for $n+2$ being odd and bigger, one for the three-sentence conclusion.2 คะแนน: คะแนนแรกสำหรับ $n+2$ เป็นคี่และใหญ่กว่า คะแนนที่สองสำหรับประโยคสรุปสามส่วน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Every case checked, every product even ตรวจครบทุกกรณี ผลคูณเป็นคู่ทุกครั้ง
Given that $a$, $b$ and $c$ are integers greater than 0 such that $c=b+2$ and $a+b+c=10$.
Prove, by exhaustion, that the product of $a$, $b$ and $c$ is always even.
กำหนดให้ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็มมากกว่า 0 โดยที่ $c=b+2$ และ $a+b+c=10$
จงพิสูจน์โดยวิธีแจกแจงครบทุกกรณี (proof by exhaustion) ว่าผลคูณของ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนคู่เสมอ
Given $c=b+2$ and $a+b+c=10$, write $a$ in terms of $b$.
กำหนด $c=b+2$ และ $a+b+c=10$ จงเขียน $a$ ในรูปของ $b$
Answershow ▾
Substitute $c=b+2$ into $a+b+c=10$, then rearrange.แทน $c=b+2$ ใน $a+b+c=10$ แล้วจัดรูป
Given $a=8-2b$ and that $a,b$ are positive integers, find the largest value $b$ can take.
กำหนด $a=8-2b$ และ $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาค่าสูงสุดของ $b$
Answershow ▾
$a\geq1$ needs $8-2b\geq1$, so $b\leq3.5$; the largest integer is $3$.$a\geq1$ ต้องให้ $8-2b\geq1$ จะได้ $b\leq3.5$ ค่าจำนวนเต็มสูงสุดคือ $3$
Work out $a$ and $c$ when $b=1$.
จงหา $a$ และ $c$ เมื่อ $b=1$
Answershow ▾
$a=8-2(1)=6$ and $c=1+2=3$.$a=8-2(1)=6$ และ $c=1+2=3$
The possible values of $b$ are $1$, $2$ and $3$. Pick the correct way to finish the proof by exhaustion.
(A) work out $(a,b,c)$ and the product $abc$ for all three values of $b$
(B) work out $(a,b,c)$ for $b=1$ only, since the other cases will follow the same pattern
(C) keep checking larger values of $b$, since there is no upper limit on $b$
ค่าที่เป็นไปได้ของ $b$ คือ $1$, $2$ และ $3$ จงเลือกวิธีที่ถูกต้องในการทำให้บทพิสูจน์แบบแจกแจงครบทุกกรณีสมบูรณ์
(A) หา $(a,b,c)$ และผลคูณ $abc$ ให้ครบทั้งสามค่าของ $b$
(B) หา $(a,b,c)$ เฉพาะ $b=1$ เพราะกรณีอื่นจะเป็นแบบเดียวกัน
(C) ตรวจค่า $b$ ที่มากขึ้นไปเรื่อยๆ เพราะ $b$ ไม่มีขีดจำกัดบน
Answershow ▾
(B) is not exhaustion: a parity pattern is never guaranteed without checking it, so every case must be worked out. (C) is wrong because $a\geq1$ forces $b\leq3.5$ – there IS an upper limit.(B) ไม่ใช่การแจกแจงครบทุกกรณี เพราะรูปแบบความเป็นคู่/คี่ไม่ได้การันตีโดยไม่ตรวจจริง · (C) ผิดเพราะ $a\geq1$ บังคับให้ $b\leq3.5$ จึงมีขีดจำกัดบนอยู่จริง
Work out $a$ and $c$ when $b=2$.
จงหา $a$ และ $c$ เมื่อ $b=2$
Answershow ▾
$a=8-2(2)=4$ and $c=2+2=4$.$a=8-2(2)=4$ และ $c=2+2=4$
Work out $a$ and $c$ when $b=3$.
จงหา $a$ และ $c$ เมื่อ $b=3$
Answershow ▾
$a=8-2(3)=2$ and $c=3+2=5$.$a=8-2(3)=2$ และ $c=3+2=5$
Work out $abc$ for $(6,1,3)$, $(4,2,4)$ and $(2,3,5)$.
จงหา $abc$ สำหรับ $(6,1,3)$, $(4,2,4)$ และ $(2,3,5)$
Answershow ▾
Multiply each triple together.คูณทั้งสามตัวในแต่ละชุด
Write the concluding sentence of the proof, given that $18$, $32$ and $30$ are all even and $b=1,2,3$ are all the possible cases.
จงเขียนประโยคสรุปของบทพิสูจน์ เมื่อ $18$, $32$ และ $30$ เป็นจำนวนคู่ทั้งหมด และ $b=1,2,3$ คือทุกกรณีที่เป็นไปได้
Answershow ▾
A starred mark needs "these are all the cases", not just that each product is even.คะแนนดาวต้องมีประโยค "นี่คือทุกกรณี" ไม่ใช่แค่บอกว่าผลคูณแต่ละตัวเป็นคู่
Check that $18$, $32$ and $30$ are each divisible by $2$.
จงตรวจว่า $18$, $32$ และ $30$ หารด้วย $2$ ลงตัวทุกตัว
Answershow ▾
Each one splits into $2$ times a whole number.แต่ละตัวแยกเป็น $2$ คูณจำนวนเต็ม
Given that $a$, $b$ and $c$ are integers greater than $0$ such that $c=b+2$ and $a+b+c=12$, prove, by exhaustion, that the product of $a$, $b$ and $c$ is always even.
กำหนดให้ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็มมากกว่า $0$ โดยที่ $c=b+2$ และ $a+b+c=12$ จงพิสูจน์โดยวิธีแจกแจงครบทุกกรณีว่าผลคูณของ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนคู่เสมอ
Answershow ▾
Same working: $a=10-2b$ this time, so $b$ runs from $1$ to $4$.ขั้นเดิม: ครั้งนี้ $a=10-2b$ ดังนั้น $b$ มีค่าตั้งแต่ $1$ ถึง $4$
Given that $a$, $b$ and $c$ are integers greater than 0 such that $c=b+2$ and $a+b+c=10$.
Prove, by exhaustion, that the product of $a$, $b$ and $c$ is always even.
กำหนดให้ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็มมากกว่า 0 โดยที่ $c=b+2$ และ $a+b+c=10$
จงพิสูจน์โดยวิธีแจกแจงครบทุกกรณี (proof by exhaustion) ว่าผลคูณของ $a$, $b$ และ $c$ เป็นจำนวนคู่เสมอ
Answershow ▾
3 marks: find one triple, find the other two, then state all cases are covered.3 คะแนน: หาชุดแรกหนึ่งชุด หาอีกสองชุด แล้วระบุว่าครบทุกกรณี
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Start from a square that cannot be negative เริ่มจากกำลังสองที่เป็นลบไม่ได้
(i) Use algebra to prove that for all $x\geq0$ $$3x+1\geq2\sqrt{3x}$$
(ii) Show that the following statement is not true. "The sum of three consecutive prime numbers is always a multiple of 5"
(i) ใช้พีชคณิตพิสูจน์ว่า สำหรับ $x\geq0$ ทุกค่า $$3x+1\geq2\sqrt{3x}$$
(ii) จงแสดงว่าข้อความต่อไปนี้ไม่เป็นจริง "ผลบวกของจำนวนเฉพาะสามตัวที่เรียงติดกันเป็นพหุคูณของ 5 เสมอ"
Expand $(\sqrt{3x}-1)^{2}$.
จงกระจาย $(\sqrt{3x}-1)^{2}$
Answershow ▾
Use $(A-1)^2=A^2-2A+1$ with $A=\sqrt{3x}$, so $A^2=3x$.ใช้ $(A-1)^2=A^2-2A+1$ โดย $A=\sqrt{3x}$ จะได้ $A^2=3x$
List the prime numbers between $1$ and $12$.
จงหาจำนวนเฉพาะระหว่าง $1$ ถึง $12$
Answershow ▾
A prime has exactly two factors, $1$ and itself.จำนวนเฉพาะมีตัวประกอบเพียงสองตัวคือ $1$ และตัวมันเอง
Work out $5+7+11$.
จงหา $5+7+11$
Answershow ▾
Add them in order.บวกตามลำดับ
Pick the first move to prove $3x+1\geq2\sqrt{3x}$ for all $x\geq0$.
(A) start from $(\sqrt{3x}-1)^{2}\geq0$, since a square is never negative, then expand
(B) substitute $x=3$ into the inequality to check it holds
(C) square both sides of the inequality directly, assuming it is already true
จงเลือกขั้นแรกในการพิสูจน์ $3x+1\geq2\sqrt{3x}$ สำหรับ $x\geq0$ ทุกค่า
(A) เริ่มจาก $(\sqrt{3x}-1)^{2}\geq0$ เพราะกำลังสองไม่เป็นลบ แล้วกระจาย
(B) แทน $x=3$ ลงในอสมการเพื่อตรวจว่าเป็นจริง
(C) ยกกำลังสองทั้งสองข้างของอสมการโดยตรง โดยสมมติว่าเป็นจริงอยู่แล้ว
Answershow ▾
(B) checks only one value of $x$, not every $x\geq0$. (C) assumes the result is already true before proving it, which proves nothing.(B) ตรวจเพียงค่า $x$ เดียว ไม่ครบทุกค่า $x\geq0$ · (C) สมมติว่าผลลัพธ์เป็นจริงอยู่แล้วก่อนพิสูจน์ ซึ่งไม่ได้พิสูจน์อะไรเลย
Rearrange $3x-2\sqrt{3x}+1\geq0$ to the form $3x+1\geq2\sqrt{3x}$.
จงจัดรูป $3x-2\sqrt{3x}+1\geq0$ ให้เป็น $3x+1\geq2\sqrt{3x}$
Answershow ▾
Add $2\sqrt{3x}$ to both sides.บวก $2\sqrt{3x}$ ทั้งสองข้าง
Is $23$ a multiple of $5$?
$23$ เป็นพหุคูณของ $5$ หรือไม่
Answershow ▾
$5\times4=20$, which leaves a remainder of $3$.$5\times4=20$ เหลือเศษ $3$
Write the concluding sentence for part (ii), given $5+7+11=23$ and $23$ is not a multiple of $5$.
จงเขียนประโยคสรุปสำหรับข้อ (ii) เมื่อ $5+7+11=23$ และ $23$ ไม่เป็นพหุคูณของ $5$
Answershow ▾
One counter-example is enough to disprove an "always" statement.ตัวอย่างค้านเพียงตัวเดียวก็เพียงพอที่จะหักล้างข้อความ "เสมอ"
Starting from $(\sqrt{3x}-1)^{2}\geq0$, expand it and rearrange to reach $3x+1\geq2\sqrt{3x}$.
เริ่มจาก $(\sqrt{3x}-1)^{2}\geq0$ จงกระจายแล้วจัดรูปจนได้ $3x+1\geq2\sqrt{3x}$
Answershow ▾
Expand, then move the root term across.กระจายก่อน แล้วย้ายพจน์ที่มีรากข้ามไป
Check the inequality at $x=3$: work out $3x+1$ and $2\sqrt{3x}$, and compare.
จงตรวจอสมการที่ $x=3$: หา $3x+1$ และ $2\sqrt{3x}$ แล้วเทียบกัน
Answershow ▾
$3(3)+1=10$ and $2\sqrt{3(3)}=2\times3=6$.$3(3)+1=10$ และ $2\sqrt{3(3)}=2\times3=6$
(i) Use algebra to prove that for all $x\geq0$ $$5x+1\geq2\sqrt{5x}$$ (ii) Show that the following statement is not true. "The sum of three consecutive prime numbers is always a multiple of 3"
(i) ใช้พีชคณิตพิสูจน์ว่า สำหรับ $x\geq0$ ทุกค่า $$5x+1\geq2\sqrt{5x}$$ (ii) จงแสดงว่าข้อความต่อไปนี้ไม่เป็นจริง "ผลบวกของจำนวนเฉพาะสามตัวที่เรียงติดกันเป็นพหุคูณของ 3 เสมอ"
Answershow ▾
Same two moves: start from a squared bracket, then reuse the same counter-example.สองขั้นเดิม: เริ่มจากวงเล็บกำลังสอง แล้วใช้ตัวอย่างค้านเดิม
(i) Use algebra to prove that for all $x\geq0$ $$3x+1\geq2\sqrt{3x}$$
(ii) Show that the following statement is not true. "The sum of three consecutive prime numbers is always a multiple of 5"
(i) ใช้พีชคณิตพิสูจน์ว่า สำหรับ $x\geq0$ ทุกค่า $$3x+1\geq2\sqrt{3x}$$
(ii) จงแสดงว่าข้อความต่อไปนี้ไม่เป็นจริง "ผลบวกของจำนวนเฉพาะสามตัวที่เรียงติดกันเป็นพหุคูณของ 5 เสมอ"
Answershow ▾
4 marks: three for the algebra in part (i), one for the counter-example in part (ii).4 คะแนน: สามคะแนนสำหรับพีชคณิตในข้อ (i) หนึ่งคะแนนสำหรับตัวอย่างค้านในข้อ (ii)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A square that is never negative, twice กำลังสองที่เป็นลบไม่ได้ ใช้สองครั้ง
(a) Prove that for all positive values of $x$ and $y$, $$x+y\geq2\sqrt{xy}$$
(b) Prove by counter-example that this inequality does not hold when $x$ and $y$ are both negative.
(ก) จงพิสูจน์ว่า สำหรับ $x$ และ $y$ ที่เป็นบวกทุกค่า $$x+y\geq2\sqrt{xy}$$
(ข) จงพิสูจน์โดยใช้ตัวอย่างค้านว่าอสมการนี้ไม่เป็นจริงเมื่อ $x$ และ $y$ เป็นลบทั้งคู่
Expand $(\sqrt x-\sqrt y)^{2}$.
จงกระจาย $(\sqrt x-\sqrt y)^{2}$
Answershow ▾
Use $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$ with $A=\sqrt x$, $B=\sqrt y$.ใช้ $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$ โดย $A=\sqrt x$, $B=\sqrt y$
Work out $\sqrt{xy}$ when $x=-8$ and $y=-2.5$.
จงหา $\sqrt{xy}$ เมื่อ $x=-8$ และ $y=-2.5$
Answershow ▾
$xy=(-8)(-2.5)=20=4\times5$, and $\sqrt{4\times5}=2\sqrt5$.$xy=(-8)(-2.5)=20=4\times5$ และ $\sqrt{4\times5}=2\sqrt5$
Work out $x+y$ when $x=-8$ and $y=-2.5$.
จงหา $x+y$ เมื่อ $x=-8$ และ $y=-2.5$
Answershow ▾
$-8+(-2.5)=-10.5=-\dfrac{21}2$.$-8+(-2.5)=-10.5=-\dfrac{21}2$
Pick the first move to prove $x+y\geq2\sqrt{xy}$ for all positive $x,y$.
(A) start from $(\sqrt x-\sqrt y)^{2}\geq0$, since a square is never negative, then expand
(B) substitute specific positive values of $x$ and $y$ to check
(C) assume $x=y$, and show both sides are then equal
จงเลือกขั้นแรกในการพิสูจน์ $x+y\geq2\sqrt{xy}$ สำหรับ $x,y$ ที่เป็นบวกทุกค่า
(A) เริ่มจาก $(\sqrt x-\sqrt y)^{2}\geq0$ เพราะกำลังสองไม่เป็นลบ แล้วกระจาย
(B) แทน $x$ และ $y$ ด้วยค่าบวกค่าหนึ่งเพื่อตรวจ
(C) สมมติ $x=y$ แล้วแสดงว่าทั้งสองข้างเท่ากัน
Answershow ▾
(B) only checks one pair of values, not every positive $x,y$. (C) only proves the equality case $x=y$, not the inequality for every pair.(B) ตรวจเพียงค่าคู่หนึ่ง ไม่ครบทุก $x,y$ ที่เป็นบวก · (C) พิสูจน์ได้แค่กรณี $x=y$ ที่เท่ากัน ไม่ได้พิสูจน์อสมการสำหรับทุกคู่
Rearrange $x-2\sqrt{xy}+y\geq0$ to the form $x+y\geq2\sqrt{xy}$.
จงจัดรูป $x-2\sqrt{xy}+y\geq0$ ให้เป็น $x+y\geq2\sqrt{xy}$
Answershow ▾
Add $2\sqrt{xy}$ to both sides.บวก $2\sqrt{xy}$ ทั้งสองข้าง
Work out $2\sqrt{xy}$ when $x=-8$ and $y=-2.5$.
จงหา $2\sqrt{xy}$ เมื่อ $x=-8$ และ $y=-2.5$
Answershow ▾
Double the answer to question 2.คูณสองจากคำตอบของข้อ 2
Is $x+y\geq2\sqrt{xy}$ true when $x=-8$ and $y=-2.5$? Compare $-\dfrac{21}2$ and $4\sqrt5$.
$x+y\geq2\sqrt{xy}$ เป็นจริงหรือไม่เมื่อ $x=-8$ และ $y=-2.5$ จงเทียบ $-\dfrac{21}2$ กับ $4\sqrt5$
Answershow ▾
A negative number is always smaller than a positive one.จำนวนลบเล็กกว่าจำนวนบวกเสมอ
Starting from $(\sqrt x-\sqrt y)^{2}\geq0$, expand it and rearrange to reach $x+y\geq2\sqrt{xy}$.
เริ่มจาก $(\sqrt x-\sqrt y)^{2}\geq0$ จงกระจายแล้วจัดรูปจนได้ $x+y\geq2\sqrt{xy}$
Answershow ▾
Expand, then move the root term across.กระจายก่อน แล้วย้ายพจน์ที่มีรากข้ามไป
Write the sentence explaining why the inequality fails when $x=-8$ and $y=-2.5$.
จงเขียนประโยคอธิบายว่าทำไมอสมการจึงไม่เป็นจริงเมื่อ $x=-8$ และ $y=-2.5$
Answershow ▾
This is the exact sentence the mark scheme needs for the final mark.นี่คือประโยคที่เกณฑ์การให้คะแนนต้องการสำหรับคะแนนสุดท้าย
(a) Prove that for all positive values of $x$ and $y$, $$x+y\geq2\sqrt{xy}$$ (b) Prove by counter-example that this inequality does not hold when $x=-18$ and $y=-2$.
(ก) จงพิสูจน์ว่า สำหรับ $x$ และ $y$ ที่เป็นบวกทุกค่า $$x+y\geq2\sqrt{xy}$$ (ข) จงพิสูจน์โดยใช้ตัวอย่างค้านว่าอสมการนี้ไม่เป็นจริงเมื่อ $x=-18$ และ $y=-2$
Answershow ▾
Same two moves: square-bracket proof, then a clean negative pair.สองขั้นเดิม: พิสูจน์จากวงเล็บกำลังสอง แล้วใช้คู่ค่าลบที่ลงตัว
(a) Prove that for all positive values of $x$ and $y$, $$x+y\geq2\sqrt{xy}$$
(b) Prove by counter-example that this inequality does not hold when $x$ and $y$ are both negative.
(ก) จงพิสูจน์ว่า สำหรับ $x$ และ $y$ ที่เป็นบวกทุกค่า $$x+y\geq2\sqrt{xy}$$
(ข) จงพิสูจน์โดยใช้ตัวอย่างค้านว่าอสมการนี้ไม่เป็นจริงเมื่อ $x$ และ $y$ เป็นลบทั้งคู่
Answershow ▾
4 marks: three for the algebra in part (a), one for the counter-example in part (b).4 คะแนน: สามคะแนนสำหรับพีชคณิตในข้อ (a) หนึ่งคะแนนสำหรับตัวอย่างค้านในข้อ (b)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
An even number cannot equal an odd one จำนวนคู่เท่ากับจำนวนคี่ไม่ได้
Use proof by contradiction to show that, when $n$ is an integer, $n^2-2$ is never divisible by 4.
จงใช้การพิสูจน์แบบข้อขัดแย้งแสดงว่า เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็ม $n^2-2$ ไม่หารด้วย 4 ลงตัวเลย
Expand $(2m)^{2}$.
จงกระจาย $(2m)^{2}$
Answershow ▾
Square both the $2$ and the $m$.ยกกำลังสองทั้ง $2$ และ $m$
Write $4k+2$ as $2\times(\text{integer})$.
จงเขียน $4k+2$ เป็น $2\times(\ldots)$ โดยใส่จำนวนเต็มในวงเล็บ
Answershow ▾
Every term already has a factor of $2$.ทุกพจน์มีตัวประกอบ $2$ อยู่แล้ว
Is $2(2k+1)$ even or odd? Is $2k+1$ even or odd?
$2(2k+1)$ เป็นจำนวนคู่หรือคี่ แล้ว $2k+1$ เป็นจำนวนคู่หรือคี่
Answershow ▾
A multiple of $2$ is always even; one more than a multiple of $2$ is always odd.จำนวนที่เป็นพหุคูณของ $2$ เป็นจำนวนคู่เสมอ ส่วนจำนวนที่มากกว่าพหุคูณของ $2$ อยู่หนึ่งเป็นจำนวนคี่เสมอ
Pick the first step of proof by contradiction here.
(A) assume $n^2-2$ is divisible by $4$, i.e. $n^2-2=4k$ for some integer $k$
(B) assume $n$ itself is divisible by $4$
(C) substitute $n=1,2,3,4$ and check each case
จงเลือกขั้นแรกของการพิสูจน์แบบข้อขัดแย้งนี้
(A) สมมติว่า $n^2-2$ หารด้วย $4$ ลงตัว คือ $n^2-2=4k$ สำหรับจำนวนเต็ม $k$ บางตัว
(B) สมมติว่า $n$ เองหารด้วย $4$ ลงตัว
(C) แทน $n=1,2,3,4$ แล้วตรวจแต่ละกรณี
Answershow ▾
(B) assumes the wrong thing: the question is about $n^2-2$, not $n$, being divisible by $4$. (C) checks only four values; $n$ can be any integer, so finitely many cases can never cover them all.(B) สมมติผิดเรื่อง: โจทย์พูดถึง $n^2-2$ ไม่ใช่ $n$ ที่หารด้วย $4$ ลงตัว · (C) ตรวจแค่สี่ค่า แต่ $n$ เป็นจำนวนเต็มใดก็ได้ จำนวนกรณีที่จำกัดไม่ครอบคลุมทุกค่า
Assume $n^2-2=4k$. Rearrange to make $n^2$ the subject.
สมมติ $n^2-2=4k$ จงจัดรูปให้ $n^2$ เป็นตัวตั้ง
Answershow ▾
Add $2$ to both sides.บวก $2$ ทั้งสองข้าง
Write $4k+2$ as $2\times(\text{integer})$, and state whether $n^2$ is even or odd.
จงเขียน $4k+2$ เป็น $2\times(\ldots)$ โดยใส่จำนวนเต็มในวงเล็บ แล้วระบุว่า $n^2$ เป็นจำนวนคู่หรือคี่
Answershow ▾
A square is even only when the number itself is even.กำลังสองเป็นจำนวนคู่ก็ต่อเมื่อตัวจำนวนนั้นเป็นจำนวนคู่
Since $n$ is even, write $n=2m$ and substitute into $n^2=4k+2$.
เมื่อ $n$ เป็นจำนวนคู่ จงเขียน $n=2m$ แล้วแทนลงใน $n^2=4k+2$
Answershow ▾
$(2m)^2=4m^2$, from question 1.$(2m)^2=4m^2$ จากข้อ 1
Divide $4m^2=4k+2$ by $2$.
จงหาร $4m^2=4k+2$ ด้วย $2$
Answershow ▾
Every term divides exactly by $2$.ทุกพจน์หารด้วย $2$ ลงตัวพอดี
Is $2m^2$ even or odd? Is $2k+1$ even or odd? Do they match?
$2m^2$ เป็นจำนวนคู่หรือคี่ แล้ว $2k+1$ เป็นจำนวนคู่หรือคี่ ตรงกันหรือไม่
Answershow ▾
An even number can never equal an odd number.จำนวนคู่เท่ากับจำนวนคี่ไม่ได้
Use proof by contradiction to show that, when $n$ is an integer, $n^2-6$ is never divisible by 4.
จงใช้การพิสูจน์แบบข้อขัดแย้งแสดงว่า เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็ม $n^2-6$ ไม่หารด้วย 4 ลงตัวเลย
Answershow ▾
Same four moves, with $6$ in place of $2$.สี่ขั้นเดิม แต่ใช้ $6$ แทน $2$
Use proof by contradiction to show that, when $n$ is an integer, $n^2-2$ is never divisible by 4.
จงใช้การพิสูจน์แบบข้อขัดแย้งแสดงว่า เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็ม $n^2-2$ ไม่หารด้วย 4 ลงตัวเลย
Answershow ▾
4 marks: assume, deduce $n$ is even, substitute back, then state the contradiction.4 คะแนน: สมมติ สรุปว่า $n$ เป็นคู่ แทนกลับ แล้วระบุข้อขัดแย้ง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Try every factor pair left ลองคู่ตัวประกอบที่เหลือทุกคู่
A student was asked to prove by contradiction that there are no positive integers $x$ and $y$ such that $3x^2+2xy-y^2=25$. Their proof begins: Assume that integers $x$ and $y$ exist such that $3x^2+2xy-y^2=25$, so $(3x-y)(x+y)=25$. If $3x-y=1$ and $x+y=25$, then $x=6.5$, $y=18.5$ – not integers.
Show the calculations and statements that are needed to complete the proof.
นักเรียนคนหนึ่งได้รับโจทย์ให้พิสูจน์โดยข้อขัดแย้งว่าไม่มีจำนวนเต็มบวก $x$ และ $y$ ที่ทำให้ $3x^2+2xy-y^2=25$ บทพิสูจน์ของเขาเริ่มต้นว่า สมมติว่ามีจำนวนเต็ม $x$ และ $y$ ที่ทำให้ $3x^2+2xy-y^2=25$ ดังนั้น $(3x-y)(x+y)=25$ ถ้า $3x-y=1$ และ $x+y=25$ จะได้ $x=6.5$, $y=18.5$ ซึ่งไม่ใช่จำนวนเต็ม
จงแสดงการคำนวณและข้อความที่จำเป็นเพื่อให้บทพิสูจน์นี้สมบูรณ์
List the positive factor pairs of $25$.
จงหาคู่ตัวประกอบบวกของ $25$
Answershow ▾
$25=1\times25=5\times5=25\times1$.$25=1\times25=5\times5=25\times1$
Solve $3x-y=5$ and $x+y=5$ simultaneously for $x$.
จงแก้สมการ $3x-y=5$ และ $x+y=5$ หา $x$
Answershow ▾
Add the two equations: $y$ cancels.บวกสองสมการเข้าด้วยกัน: $y$ จะหายไป
Using $x=2.5$ and $x+y=5$, find $y$.
ใช้ $x=2.5$ และ $x+y=5$ จงหา $y$
Answershow ▾
$y=5-2.5$.$y=5-2.5$
$25$ has positive factor pairs $(1,25)$, $(5,5)$, $(25,1)$. The proof already tried $(3x-y,x+y)=(1,25)$. Pick the correct way to finish it.
(A) check $(3x-y,x+y)=(5,5)$ and $(25,1)$ too
(B) check only $(5,5)$, since $(25,1)$ is just $(1,25)$ reversed
(C) stop here – one failed case is already enough
$25$ มีคู่ตัวประกอบบวก $(1,25)$, $(5,5)$, $(25,1)$ บทพิสูจน์ลอง $(3x-y,x+y)=(1,25)$ ไปแล้ว จงเลือกวิธีที่ถูกต้องในการทำให้บทพิสูจน์สมบูรณ์
(A) ตรวจ $(3x-y,x+y)=(5,5)$ และ $(25,1)$ ด้วย
(B) ตรวจเฉพาะ $(5,5)$ เพราะ $(25,1)$ เหมือน $(1,25)$ ที่สลับกัน
(C) หยุดตรงนี้ – กรณีที่ล้มเหลวหนึ่งกรณีก็เพียงพอแล้ว
Answershow ▾
(B) is wrong because $(3x-y,x+y)=(25,1)$ swaps which equation gets the big number, giving a different $x$ and $y$ from $(1,25)$. (C) is wrong: exhaustion needs EVERY factor pair to fail before the proof is complete, not just one.(B) ผิดเพราะ $(3x-y,x+y)=(25,1)$ สลับว่าสมการใดได้ค่ามากกว่า ทำให้ได้ $x$ กับ $y$ ต่างจาก $(1,25)$ · (C) ผิดเพราะการแจกแจงครบทุกกรณีต้องให้ทุกคู่ตัวประกอบล้มเหลวก่อนบทพิสูจน์จะสมบูรณ์ ไม่ใช่แค่กรณีเดียว
Solve $3x-y=25$ and $x+y=1$ simultaneously for $x$.
จงแก้สมการ $3x-y=25$ และ $x+y=1$ หา $x$
Answershow ▾
Add the two equations again.บวกสองสมการอีกครั้ง
Using $x=6.5$ and $x+y=1$, find $y$.
ใช้ $x=6.5$ และ $x+y=1$ จงหา $y$
Answershow ▾
$y=1-6.5$.$y=1-6.5$
State whether $x=2.5$, $x=6.5$ are integers, and whether $y=-5.5$ is positive.
จงระบุว่า $x=2.5$, $x=6.5$ เป็นจำนวนเต็มหรือไม่ และ $y=-5.5$ เป็นบวกหรือไม่
Answershow ▾
The question needs $x,y$ to be positive integers.โจทย์ต้องการ $x,y$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวก
Do any of the three factor pairs $(1,25)$, $(5,5)$, $(25,1)$ give positive integer $x$ and $y$?
มีคู่ตัวประกอบใดใน $(1,25)$, $(5,5)$, $(25,1)$ ที่ให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนเต็มบวกหรือไม่
Answershow ▾
All three cases have been checked, and all three fail.ตรวจครบทั้งสามคู่แล้ว และทั้งสามคู่ใช้ไม่ได้
Check that $(3x-y)(x+y)$ really expands to $3x^2+2xy-y^2$.
จงตรวจว่า $(3x-y)(x+y)$ กระจายได้เป็น $3x^2+2xy-y^2$ จริงหรือไม่
Answershow ▾
The $3xy$ and $-xy$ combine to the $2xy$ in the middle.$3xy$ กับ $-xy$ รวมกันเป็น $2xy$ ตรงกลาง
Given that integers $x,y\gt0$ satisfy $3x^2+2xy-y^2=9$, and that the factor pair $(3x-y,x+y)=(1,9)$ gives $x=2.5$, which is not an integer, complete the proof using the remaining pairs $(3,3)$ and $(9,1)$.
กำหนดให้จำนวนเต็ม $x,y\gt0$ ทำให้ $3x^2+2xy-y^2=9$ และคู่ตัวประกอบ $(3x-y,x+y)=(1,9)$ ให้ $x=2.5$ ซึ่งไม่เป็นจำนวนเต็ม จงทำให้บทพิสูจน์สมบูรณ์โดยใช้คู่ที่เหลือ $(3,3)$ และ $(9,1)$
Answershow ▾
Same working, with $9$ in place of $25$.ขั้นเดิม แต่ใช้ $9$ แทน $25$
A student was asked to prove by contradiction that there are no positive integers $x$ and $y$ such that $3x^2+2xy-y^2=25$. Their proof begins: Assume that integers $x$ and $y$ exist such that $3x^2+2xy-y^2=25$, so $(3x-y)(x+y)=25$. If $3x-y=1$ and $x+y=25$, then $x=6.5$, $y=18.5$ – not integers.
Show the calculations and statements that are needed to complete the proof.
นักเรียนคนหนึ่งได้รับโจทย์ให้พิสูจน์โดยข้อขัดแย้งว่าไม่มีจำนวนเต็มบวก $x$ และ $y$ ที่ทำให้ $3x^2+2xy-y^2=25$ บทพิสูจน์ของเขาเริ่มต้นว่า สมมติว่ามีจำนวนเต็ม $x$ และ $y$ ที่ทำให้ $3x^2+2xy-y^2=25$ ดังนั้น $(3x-y)(x+y)=25$ ถ้า $3x-y=1$ และ $x+y=25$ จะได้ $x=6.5$, $y=18.5$ ซึ่งไม่ใช่จำนวนเต็ม
จงแสดงการคำนวณและข้อความที่จำเป็นเพื่อให้บทพิสูจน์นี้สมบูรณ์
Answershow ▾
4 marks: try a remaining factor pair, solve one correctly, solve the other, then conclude.4 คะแนน: ลองคู่ตัวประกอบที่เหลือ แก้สมการคู่หนึ่งให้ถูกต้อง แก้อีกคู่ แล้วสรุปผล
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Every single-digit prime checked ตรวจจำนวนเฉพาะหลักเดียวครบทุกตัว
(i) Prove that for all single digit prime numbers, $p$, $p^3+p$ is a multiple of 10.
(ii) Show, using algebra, that for $n\in\mathbb{N}$ $(n+1)^3-n^3$ is not a multiple of 3.
(i) จงพิสูจน์ว่า สำหรับจำนวนเฉพาะหลักเดียว (single digit prime) $p$ ทุกตัว $p^3+p$ เป็นพหุคูณของ 10
(ii) จงใช้พีชคณิตแสดงว่า สำหรับ $n\in\mathbb{N}$ ทุกค่า $(n+1)^3-n^3$ ไม่เป็นพหุคูณของ 3
List the single-digit prime numbers.
จงหาจำนวนเฉพาะหลักเดียว
Answershow ▾
These are the only primes less than $10$.นี่คือจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า $10$ ทั้งหมด
Work out $2^{3}+2$.
จงหา $2^{3}+2$
Answershow ▾
$2^3=8$, then add $2$.$2^3=8$ แล้วบวก $2$
Expand $(n+1)^{3}$.
จงกระจาย $(n+1)^{3}$
Answershow ▾
Use the binomial pattern for a cube.ใช้รูปแบบการกระจายกำลังสาม
Pick the first move for part (ii)'s algebra proof.
(A) expand $(n+1)^3$ fully, then subtract $n^3$
(B) substitute a few values of $n$ to check the pattern
(C) assume $(n+1)^3-n^3=3n^2$ only, since the cubes cancel
จงเลือกขั้นแรกในการพิสูจน์ด้วยพีชคณิตของข้อ (ii)
(A) กระจาย $(n+1)^3$ ให้ครบ แล้วลบด้วย $n^3$
(B) แทนค่า $n$ ไม่กี่ค่าเพื่อตรวจรูปแบบ
(C) สมมติว่า $(n+1)^3-n^3=3n^2$ อย่างเดียว เพราะพจน์ $n^3$ หักกัน
Answershow ▾
(B) checks examples, not every $n$, but the question says "using algebra". (C) drops the $3n+1$ terms that remain after the $n^3$ cubes cancel – the subtraction is not finished.(B) ตรวจเฉพาะตัวอย่าง ไม่ครบทุก $n$ แต่โจทย์บอกให้ "ใช้พีชคณิต" · (C) ทิ้งพจน์ $3n+1$ ที่เหลือหลังจาก $n^3$ หักกันไป การลบยังไม่เสร็จ
Work out $3^{3}+3$.
จงหา $3^{3}+3$
Answershow ▾
$3^3=27$, then add $3$.$3^3=27$ แล้วบวก $3$
Work out $5^{3}+5$.
จงหา $5^{3}+5$
Answershow ▾
$5^3=125$, then add $5$.$5^3=125$ แล้วบวก $5$
Simplify $(n^3+3n^2+3n+1)-n^3$.
จงทำให้อยู่ในรูปง่าย $(n^3+3n^2+3n+1)-n^3$
Answershow ▾
The $n^3$ terms cancel, leaving three terms.พจน์ $n^3$ หักกันไป เหลือสามพจน์
Work out $7^{3}+7$, and state whether $10$, $30$, $130$, $350$ are all multiples of $10$.
จงหา $7^{3}+7$ แล้วระบุว่า $10$, $30$, $130$, $350$ เป็นพหุคูณของ $10$ ทั้งหมดหรือไม่
Answershow ▾
$2,3,5,7$ are all the single-digit primes, so these four cases are all the cases.$2,3,5,7$ เป็นจำนวนเฉพาะหลักเดียวครบทุกตัว ดังนั้นสี่กรณีนี้ครบทุกกรณี
Write $3n^2+3n$ as $3(\ldots)$, to show $(n+1)^3-n^3=3(n^2+n)+1$.
จงเขียน $3n^2+3n$ เป็น $3(\ldots)$ เพื่อแสดงว่า $(n+1)^3-n^3=3(n^2+n)+1$
Answershow ▾
$3n^2+3n=3(n^2+n)$, and the $+1$ stays outside.$3n^2+3n=3(n^2+n)$ และ $+1$ อยู่ข้างนอก
(i) Prove that for all single digit prime numbers, $p$, $p^3-p$ is a multiple of 6. (ii) Show, using algebra, that for $n\in\mathbb{N}$, $(n+2)^3-(n+1)^3$ is not a multiple of 3.
(i) จงพิสูจน์ว่า สำหรับจำนวนเฉพาะหลักเดียว $p$ ทุกตัว $p^3-p$ เป็นพหุคูณของ 6 (ii) จงใช้พีชคณิตแสดงว่า สำหรับ $n\in\mathbb{N}$ ทุกค่า $(n+2)^3-(n+1)^3$ ไม่เป็นพหุคูณของ 3
Answershow ▾
$5^3-5=120$, $7^3-7=336$
(ii) shown: $(n+2)^3-(n+1)^3$ $=3(n+1)^2+3(n+1)+1$(i) แสดงได้: $2^3-2=6$, $3^3-3=24$, $5^3-5=120$, $7^3-7=336$ · (ii) แสดงได้: $(n+2)^3-(n+1)^3$ $=3(n+1)^2+3(n+1)+1$
Same two checks as before, with $p^3-p$ and $(n+2)^3-(n+1)^3$.สองขั้นตรวจแบบเดิม แต่เปลี่ยนเป็น $p^3-p$ และ $(n+2)^3-(n+1)^3$
(i) Prove that for all single digit prime numbers, $p$, $p^3+p$ is a multiple of 10.
(ii) Show, using algebra, that for $n\in\mathbb{N}$ $(n+1)^3-n^3$ is not a multiple of 3.
(i) จงพิสูจน์ว่า สำหรับจำนวนเฉพาะหลักเดียว (single digit prime) $p$ ทุกตัว $p^3+p$ เป็นพหุคูณของ 10
(ii) จงใช้พีชคณิตแสดงว่า สำหรับ $n\in\mathbb{N}$ ทุกค่า $(n+1)^3-n^3$ ไม่เป็นพหุคูณของ 3
Answershow ▾
$5^3+5=130$, $7^3+7=350$
(ii) shown: $(n+1)^3-n^3=3(n^2+n)+1$(i) แสดงได้: $2^3+2=10$, $3^3+3=30$, $5^3+5=130$, $7^3+7=350$ · (ii) แสดงได้: $(n+1)^3-n^3=3(n^2+n)+1$
5 marks: two for checking every single-digit prime, three for the algebra in part (ii).5 คะแนน: สองคะแนนสำหรับตรวจจำนวนเฉพาะหลักเดียวครบทุกตัว สามคะแนนสำหรับพีชคณิตในข้อ (ii)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Split into odd and even, check both แยกเป็นคี่กับคู่ ตรวจทั้งสองกรณี
(i) Prove by counter example that the statement "if $p$ is a prime number then $2p+1$ is also a prime number" is not true.
(ii) Use proof by exhaustion to prove that if $n$ is an integer then $5n^2+n+12$ is always even.
(i) จงพิสูจน์ค้านด้วยตัวอย่างค้านว่าข้อความ "ถ้า $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ แล้ว $2p+1$ ก็เป็นจำนวนเฉพาะด้วย" ไม่เป็นจริง
(ii) จงใช้การพิสูจน์แบบแจกแจงครบทุกกรณีพิสูจน์ว่า ถ้า $n$ เป็นจำนวนเต็ม แล้ว $5n^2+n+12$ เป็นจำนวนคู่เสมอ
Work out $2(7)+1$.
จงหา $2(7)+1$
Answershow ▾
$2\times7=14$, then add $1$.$2\times7=14$ แล้วบวก $1$
Is $15$ a prime number? Write it as a product of two factors.
$15$ เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ จงเขียนเป็นผลคูณของตัวประกอบสองตัว
Answershow ▾
A prime number has no factors other than $1$ and itself.จำนวนเฉพาะไม่มีตัวประกอบอื่นนอกจาก $1$ และตัวมันเอง
Expand $(2k+1)^{2}$.
จงกระจาย $(2k+1)^{2}$
Answershow ▾
Use the binomial pattern for a square.ใช้รูปแบบการกระจายกำลังสอง
Pick the first move to prove $5n^2+n+12$ is always even by exhaustion.
(A) split into the case $n$ is odd and the case $n$ is even, and substitute each
(B) substitute $n=1,2,3$ and assume the pattern continues
(C) try to factor $5n^2+n+12$ to find an even factor directly
จงเลือกขั้นแรกในการพิสูจน์ว่า $5n^2+n+12$ เป็นจำนวนคู่เสมอโดยวิธีแจกแจงครบทุกกรณี
(A) แยกเป็นกรณี $n$ เป็นจำนวนคี่ และกรณี $n$ เป็นจำนวนคู่ แล้วแทนค่าแต่ละกรณี
(B) แทน $n=1,2,3$ แล้วสมมติว่ารูปแบบจะเป็นแบบนี้ต่อไป
(C) ลองแยกตัวประกอบ $5n^2+n+12$ เพื่อหาตัวประกอบที่เป็นคู่โดยตรง
Answershow ▾
(B) checks only three specific values, not every integer $n$. (C) does not work: $5n^2+n+12$ has no factor that is even for every $n$.(B) ตรวจเพียงสามค่า ไม่ครบทุกจำนวนเต็ม $n$ · (C) ใช้ไม่ได้: $5n^2+n+12$ ไม่มีตัวประกอบที่เป็นคู่สำหรับทุก $n$
Substitute $n=2k+1$ into $5n^2+n+12$, using $(2k+1)^2=4k^2+4k+1$. Expand $5(4k^2+4k+1)+(2k+1)+12$.
จงแทน $n=2k+1$ ลงใน $5n^2+n+12$ โดยใช้ $(2k+1)^2=4k^2+4k+1$ กระจาย $5(4k^2+4k+1)+(2k+1)+12$
Answershow ▾
Multiply out $5(4k^2+4k+1)$ first, then collect like terms.กระจาย $5(4k^2+4k+1)$ ก่อน แล้วรวมพจน์ที่เหมือนกัน
Write $20k^2+22k+18$ as $2\times(\text{expression})$.
จงเขียน $20k^2+22k+18$ เป็น $2\times(\ldots)$ โดยใส่นิพจน์ในวงเล็บ
Answershow ▾
Divide every term by $2$.หารทุกพจน์ด้วย $2$
Substitute $n=2k$ into $5n^2+n+12$. Expand $5(2k)^2+2k+12$.
จงแทน $n=2k$ ลงใน $5n^2+n+12$ กระจาย $5(2k)^2+2k+12$
Answershow ▾
$(2k)^2=4k^2$, then multiply by $5$.$(2k)^2=4k^2$ แล้วคูณด้วย $5$
Write $20k^2+2k+12$ as $2\times(\text{expression})$.
จงเขียน $20k^2+2k+12$ เป็น $2\times(\ldots)$ โดยใส่นิพจน์ในวงเล็บ
Answershow ▾
Divide every term by $2$.หารทุกพจน์ด้วย $2$
Check with $n=3$ (odd): work out $5(3)^2+3+12$, and confirm it is even.
จงตรวจด้วย $n=3$ (คี่): หา $5(3)^2+3+12$ แล้วยืนยันว่าเป็นจำนวนคู่
Answershow ▾
$5(9)+3+12=45+15=60$.$5(9)+3+12=45+15=60$
(i) Prove by counter example that the statement "if $p$ is a prime number then $2p+3$ is also a prime number" is not true. (ii) Use proof by exhaustion to prove that if $n$ is an integer then $3n^2+n+8$ is always even.
(i) จงพิสูจน์ค้านด้วยตัวอย่างค้านว่าข้อความ "ถ้า $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ แล้ว $2p+3$ ก็เป็นจำนวนเฉพาะด้วย" ไม่เป็นจริง (ii) จงใช้การพิสูจน์แบบแจกแจงครบทุกกรณีพิสูจน์ว่า ถ้า $n$ เป็นจำนวนเต็ม แล้ว $3n^2+n+8$ เป็นจำนวนคู่เสมอ
Answershow ▾
Same two checks: a counter-example, then both parity cases.สองขั้นตรวจแบบเดิม: ตัวอย่างค้าน แล้วตรวจทั้งสองกรณีคี่คู่
(i) Prove by counter example that the statement "if $p$ is a prime number then $2p+1$ is also a prime number" is not true.
(ii) Use proof by exhaustion to prove that if $n$ is an integer then $5n^2+n+12$ is always even.
(i) จงพิสูจน์ค้านด้วยตัวอย่างค้านว่าข้อความ "ถ้า $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ แล้ว $2p+1$ ก็เป็นจำนวนเฉพาะด้วย" ไม่เป็นจริง
(ii) จงใช้การพิสูจน์แบบแจกแจงครบทุกกรณีพิสูจน์ว่า ถ้า $n$ เป็นจำนวนเต็ม แล้ว $5n^2+n+12$ เป็นจำนวนคู่เสมอ
Answershow ▾
5 marks: one for the counter-example, four for the two exhaustion cases.5 คะแนน: หนึ่งคะแนนสำหรับตัวอย่างค้าน สี่คะแนนสำหรับการแจกแจงสองกรณี
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A quadratic that no real number solves สมการกำลังสองที่ไม่มีจำนวนจริงเป็นคำตอบ
Three consecutive terms in a sequence of real numbers are given by $k$, $1+2k$ and $3+3k$, where $k$ is a constant. Use proof by contradiction to show that this sequence is not a geometric sequence.
พจน์สามพจน์ที่เรียงติดกันในลำดับของจำนวนจริงคือ $k$, $1+2k$ และ $3+3k$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ จงใช้การพิสูจน์แบบข้อขัดแย้งแสดงว่าลำดับนี้ไม่เป็นลำดับเรขาคณิต (geometric sequence)
For a geometric sequence with first two terms $k$ and $1+2k$, write the common ratio $r$.
ลำดับเรขาคณิตมีพจน์แรกสองพจน์คือ $k$ และ $1+2k$ จงเขียนอัตราส่วนร่วม $r$
Answershow ▾
The common ratio is the second term divided by the first.อัตราส่วนร่วมคือพจน์ที่สองหารด้วยพจน์แรก
Expand $(1+2k)^{2}$.
จงกระจาย $(1+2k)^{2}$
Answershow ▾
Use the binomial pattern for a square.ใช้รูปแบบการกระจายกำลังสอง
Expand $k(3+3k)$.
จงกระจาย $k(3+3k)$
Answershow ▾
Multiply $k$ into each term in the bracket.คูณ $k$ เข้าไปในแต่ละพจน์ของวงเล็บ
You reach $k^2+k+1=0$. Pick the way to show it has no real solution.
(A) complete the square: $\left(k+\tfrac12\right)^2+\tfrac34=0$, impossible since a square cannot be negative
(B) use the quadratic formula, and argue the answer must be a whole number
(C) substitute $k=0,1,-1$ and conclude there is no pattern
คุณได้ $k^2+k+1=0$ จงเลือกวิธีแสดงว่าไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง
(A) ทำให้เป็นรูปกำลังสองสมบูรณ์: $\left(k+\tfrac12\right)^2+\tfrac34=0$ เป็นไปไม่ได้ เพราะกำลังสองเป็นลบไม่ได้
(B) ใช้สูตรกำลังสอง แล้วอ้างว่าคำตอบต้องเป็นจำนวนเต็ม
(C) แทน $k=0,1,-1$ แล้วสรุปว่าไม่มีรูปแบบ
Answershow ▾
(B) is not valid reasoning: a real solution to a quadratic does not have to be a whole number. (C) checks only three values, not every real $k$.(B) ใช้เหตุผลไม่ได้: คำตอบจริงของสมการกำลังสองไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม · (C) ตรวจเพียงสามค่า ไม่ครบทุก $k$
Set $\dfrac{1+2k}{k}=\dfrac{3+3k}{1+2k}$ and cross-multiply.
จงตั้งสมการ $\dfrac{1+2k}{k}=\dfrac{3+3k}{1+2k}$ แล้วคูณไขว้
Answershow ▾
The common ratio equals the second term over the first, and also the third term over the second.อัตราส่วนร่วมเท่ากับพจน์ที่สองหารพจน์แรก และเท่ากับพจน์ที่สามหารพจน์ที่สองด้วย
Combine $1+4k+4k^2=3k+3k^2$ into one side, to get a quadratic in $k$.
จงรวม $1+4k+4k^2=3k+3k^2$ ไว้ข้างเดียว เพื่อให้ได้สมการกำลังสองของ $k$
Answershow ▾
Move every term to the left and simplify.ย้ายทุกพจน์ไปทางซ้าย แล้วทำให้อยู่ในรูปง่าย
Complete the square on $k^2+k+1$.
จงทำให้ $k^2+k+1$ เป็นรูปกำลังสองสมบูรณ์
Answershow ▾
Half the $k$ coefficient is $\tfrac12$; subtract its square, then add the leftover.ครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์ $k$ คือ $\tfrac12$ ลบด้วยกำลังสองของมัน แล้วบวกส่วนที่เหลือ
Set $\left(k+\tfrac12\right)^2+\tfrac34=0$ and rearrange to isolate the squared term.
จงตั้ง $\left(k+\tfrac12\right)^2+\tfrac34=0$ แล้วจัดรูปแยกพจน์กำลังสอง
Answershow ▾
Subtract $\tfrac34$ from both sides.ลบ $\tfrac34$ ทั้งสองข้าง
Can $\left(k+\tfrac12\right)^2$ ever equal $-\tfrac34$ for real $k$?
$\left(k+\tfrac12\right)^2$ เท่ากับ $-\tfrac34$ ได้หรือไม่ สำหรับ $k$ จริง
Answershow ▾
A square of a real number is always $\geq0$.กำลังสองของจำนวนจริงมากกว่าหรือเท่ากับ $0$ เสมอ
Three consecutive terms in a sequence of real numbers are given by $k$, $2k+1$ and $3k+5$, where $k$ is a constant. Use proof by contradiction to show that this sequence is not a geometric sequence.
พจน์สามพจน์ที่เรียงติดกันในลำดับของจำนวนจริงคือ $k$, $2k+1$ และ $3k+5$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ จงใช้การพิสูจน์แบบข้อขัดแย้งแสดงว่าลำดับนี้ไม่เป็นลำดับเรขาคณิต
Answershow ▾
Same working, with different terms and a different sign in the middle.ขั้นเดิม แต่ใช้พจน์ต่างกันและเครื่องหมายกลางต่างกัน
Three consecutive terms in a sequence of real numbers are given by $k$, $1+2k$ and $3+3k$, where $k$ is a constant. Use proof by contradiction to show that this sequence is not a geometric sequence.
พจน์สามพจน์ที่เรียงติดกันในลำดับของจำนวนจริงคือ $k$, $1+2k$ และ $3+3k$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ จงใช้การพิสูจน์แบบข้อขัดแย้งแสดงว่าลำดับนี้ไม่เป็นลำดับเรขาคณิต (geometric sequence)
Answershow ▾
5 marks: set up the ratio equation, form the quadratic, then show it has no real root.5 คะแนน: ตั้งสมการอัตราส่วน สร้างสมการกำลังสอง แล้วแสดงว่าไม่มีคำตอบจริง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Both p and q cannot be even p และ q เป็นจำนวนคู่พร้อมกันไม่ได้
A student's attempt to answer the question "Prove by contradiction that if $n^3$ is even, then $n$ is even" is shown below. Line 5 of the proof is missing. Assume that there exists a number $n$ such that $n^3$ is even, but $n$ is odd. If $n$ is odd then $n=2p+1$ where $p\in\mathbb{Z}$. So $n^3=(2p+1)^3=8p^3+12p^2+6p+1=$ … This contradicts our initial assumption, so if $n^3$ is even, then $n$ is even.
(a) Complete this proof by filling in line 5.
(b) Hence, prove by contradiction that $\sqrt[3]2$ is irrational.
บทพิสูจน์ที่นักเรียนคนหนึ่งพยายามตอบคำถาม "จงพิสูจน์แบบข้อขัดแย้งว่า ถ้า $n^3$ เป็นจำนวนคู่ แล้ว $n$ เป็นจำนวนคู่" แสดงไว้ด้านล่าง โดยบรรทัดที่ 5 ของบทพิสูจน์หายไป สมมติว่ามีจำนวน $n$ ที่ทำให้ $n^3$ เป็นจำนวนคู่ แต่ $n$ เป็นจำนวนคี่ ถ้า $n$ เป็นจำนวนคี่ จะได้ $n=2p+1$ เมื่อ $p\in\mathbb{Z}$ ดังนั้น $n^3=(2p+1)^3=8p^3+12p^2+6p+1=$ … ซึ่งขัดแย้งกับข้อสมมติเดิม ดังนั้นถ้า $n^3$ เป็นจำนวนคู่ แล้ว $n$ เป็นจำนวนคู่
(ก) จงเติมบทพิสูจน์นี้ให้สมบูรณ์โดยเติมบรรทัดที่ 5
(ข) จากผลข้อ (a) จงพิสูจน์แบบข้อขัดแย้งว่า $\sqrt[3]2$ (รากที่สามของ 2) เป็นจำนวนอตรรกยะ
Expand $(2p+1)^{3}$, using $(2p+1)^3=8p^3+12p^2+6p+1$.
จงกระจาย $(2p+1)^{3}$ โดยใช้ $(2p+1)^3=8p^3+12p^2+6p+1$
Answershow ▾
This is the binomial pattern for a cube, with $a=2p$.นี่คือรูปแบบการกระจายกำลังสาม โดย $a=2p$
Write $8p^3+12p^2+6p$ as $2\times(\text{expression})$.
จงเขียน $8p^3+12p^2+6p$ เป็น $2\times(\ldots)$ โดยใส่นิพจน์ในวงเล็บ
Answershow ▾
Divide every term by $2$.หารทุกพจน์ด้วย $2$
Is $2(4p^3+6p^2+3p)+1$ odd or even?
$2(4p^3+6p^2+3p)+1$ เป็นจำนวนคี่หรือคู่
Answershow ▾
One more than a multiple of $2$ is always odd.จำนวนที่มากกว่าพหุคูณของ $2$ อยู่หนึ่งเป็นจำนวนคี่เสมอ
Pick the first step to prove $\sqrt[3]2$ is irrational by contradiction.
(A) assume $\sqrt[3]2=\dfrac pq$ in lowest terms, then cube both sides
(B) assume $\sqrt[3]2$ is a terminating decimal
(C) assume $2=\left(\dfrac pq\right)^2$, squaring instead of cubing
จงเลือกขั้นแรกในการพิสูจน์ว่า $\sqrt[3]2$ เป็นจำนวนอตรรกยะด้วยการพิสูจน์แบบข้อขัดแย้ง
(A) สมมติ $\sqrt[3]2=\dfrac pq$ ในรูปอย่างต่ำ แล้วยกกำลังสามทั้งสองข้าง
(B) สมมติว่า $\sqrt[3]2$ เป็นทศนิยมรู้จบ
(C) สมมติ $2=\left(\dfrac pq\right)^2$ โดยยกกำลังสองแทนกำลังสาม
Answershow ▾
(B) is the wrong assumption to contradict: "lowest terms" is what the proof finally breaks, not "terminating". (C) uses the wrong power: $\sqrt[3]2$ needs cubing, not squaring.(B) สมมติผิด: สิ่งที่บทพิสูจน์ท้ายสุดหักล้างคือ "รูปอย่างต่ำ" ไม่ใช่ "ทศนิยมรู้จบ" · (C) ใช้กำลังผิด: $\sqrt[3]2$ ต้องยกกำลังสาม ไม่ใช่กำลังสอง
Assume $\sqrt[3]2=\dfrac pq$ in lowest terms. Cube both sides and rearrange to make $p^3$ the subject.
สมมติ $\sqrt[3]2=\dfrac pq$ ในรูปอย่างต่ำ จงยกกำลังสามทั้งสองข้าง แล้วจัดรูปให้ $p^3$ เป็นตัวตั้ง
Answershow ▾
Cubing gives $2=\dfrac{p^3}{q^3}$, then multiply both sides by $q^3$.ยกกำลังสามได้ $2=\dfrac{p^3}{q^3}$ แล้วคูณทั้งสองข้างด้วย $q^3$
Using part (a)'s pattern, is $p^3=2q^3$ odd or even? What does that tell you about $p$?
ใช้รูปแบบจากข้อ (a) $p^3=2q^3$ เป็นจำนวนคี่หรือคู่ แล้วสรุปอะไรเกี่ยวกับ $p$
Answershow ▾
An odd $p$ would give an odd $p^3$, by part (a); so an even $p^3$ needs an even $p$.ถ้า $p$ เป็นคี่ $p^3$ จะเป็นคี่ ตามข้อ (a) ดังนั้น $p^3$ เป็นคู่ต้องมาจาก $p$ เป็นคู่
Write $p=2m$, and substitute into $p^3=2q^3$: simplify $(2m)^3=2q^3$.
จงเขียน $p=2m$ แล้วแทนลงใน $p^3=2q^3$: ทำให้ $(2m)^3=2q^3$ อยู่ในรูปง่าย
Answershow ▾
$(2m)^3=8m^3$, then divide both sides by $2$.$(2m)^3=8m^3$ แล้วหารทั้งสองข้างด้วย $2$
Using part (a)'s pattern again, is $q^3=4m^3$ odd or even? What does that tell you about $q$?
ใช้รูปแบบจากข้อ (a) อีกครั้ง $q^3=4m^3$ เป็นจำนวนคี่หรือคู่ แล้วสรุปอะไรเกี่ยวกับ $q$
Answershow ▾
$4m^3$ is a multiple of $2$, so it is even, and an even cube needs an even root.$4m^3$ เป็นพหุคูณของ $2$ จึงเป็นจำนวนคู่ และกำลังสามที่เป็นคู่ต้องมาจากตัวเลขที่เป็นคู่
If $p$ and $q$ are both even, does that contradict $\dfrac pq$ being in lowest terms?
ถ้า $p$ และ $q$ เป็นจำนวนคู่ทั้งคู่ ขัดแย้งกับ $\dfrac pq$ ในรูปอย่างต่ำหรือไม่
Answershow ▾
"Lowest terms" means $p$ and $q$ share no common factor."รูปอย่างต่ำ" หมายความว่า $p$ และ $q$ ไม่มีตัวประกอบร่วมกัน
(a) Show that $(2p+1)^3$, when expanded and simplified, is an odd number. (b) Hence, prove by contradiction that $\sqrt[3]4$ is irrational.
(a) จงแสดงว่า $(2p+1)^3$ เมื่อกระจายและทำให้อยู่ในรูปง่าย เป็นจำนวนคี่ (b) จากผลข้อ (a) จงพิสูจน์แบบข้อขัดแย้งว่า $\sqrt[3]4$ เป็นจำนวนอตรรกยะ
Answershow ▾
(b) shown: $p$ and $q$ both even contradicts "lowest terms"(a) $8p^3+12p^2+6p+1$ $=2(4p^3+6p^2+3p)+1$ ซึ่งเป็นจำนวนคี่
(b) แสดงได้: $p$ และ $q$ เป็นจำนวนคู่ทั้งคู่ ซึ่งขัดแย้งกับ "รูปอย่างต่ำ"
Same chain of four deductions, with $4$ in place of $2$.ลำดับการสรุปสี่ขั้นเดิม แต่ใช้ $4$ แทน $2$
A student's attempt to answer the question "Prove by contradiction that if $n^3$ is even, then $n$ is even" is shown below. Line 5 of the proof is missing. Assume that there exists a number $n$ such that $n^3$ is even, but $n$ is odd. If $n$ is odd then $n=2p+1$ where $p\in\mathbb{Z}$. So $n^3=(2p+1)^3=8p^3+12p^2+6p+1=$ … This contradicts our initial assumption, so if $n^3$ is even, then $n$ is even.
(a) Complete this proof by filling in line 5.
(b) Hence, prove by contradiction that $\sqrt[3]2$ is irrational.
บทพิสูจน์ที่นักเรียนคนหนึ่งพยายามตอบคำถาม "จงพิสูจน์แบบข้อขัดแย้งว่า ถ้า $n^3$ เป็นจำนวนคู่ แล้ว $n$ เป็นจำนวนคู่" แสดงไว้ด้านล่าง โดยบรรทัดที่ 5 ของบทพิสูจน์หายไป สมมติว่ามีจำนวน $n$ ที่ทำให้ $n^3$ เป็นจำนวนคู่ แต่ $n$ เป็นจำนวนคี่ ถ้า $n$ เป็นจำนวนคี่ จะได้ $n=2p+1$ เมื่อ $p\in\mathbb{Z}$ ดังนั้น $n^3=(2p+1)^3=8p^3+12p^2+6p+1=$ … ซึ่งขัดแย้งกับข้อสมมติเดิม ดังนั้นถ้า $n^3$ เป็นจำนวนคู่ แล้ว $n$ เป็นจำนวนคู่
(ก) จงเติมบทพิสูจน์นี้ให้สมบูรณ์โดยเติมบรรทัดที่ 5
(ข) จากผลข้อ (a) จงพิสูจน์แบบข้อขัดแย้งว่า $\sqrt[3]2$ (รากที่สามของ 2) เป็นจำนวนอตรรกยะ
Answershow ▾
(b) shown: $p$ and $q$ both even contradicts "lowest terms"(a) $8p^3+12p^2+6p+1$ $=2(4p^3+6p^2+3p)+1$ ซึ่งเป็นจำนวนคี่
(b) แสดงได้: $p$ และ $q$ เป็นจำนวนคู่ทั้งคู่ ซึ่งขัดแย้งกับ "รูปอย่างต่ำ"
6 marks: one for part (a), five for the chain of deductions in part (b).6 คะแนน: หนึ่งคะแนนสำหรับข้อ (a) ห้าคะแนนสำหรับลำดับการสรุปในข้อ (b)