Proof · practice ladders ชุดไต่ระดับ · การพิสูจน์
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Proof · proof by contradiction
Prove by contradiction that if $n^2$ is even, then $n$ is even.
To prove the statement 'if $n$ is a multiple of 8, then $n$ is even' by contradiction, what would you assume?
หากต้องการพิสูจน์ข้อความ 'ถ้า $n$ หารด้วย 8 ลงตัว แล้ว $n$ เป็นจำนวนคู่' โดยวิธีขัดแย้ง จะต้องสมมติอะไร
Answershow ▾
Proof by contradiction always starts the same way: keep the premise, but assume the OPPOSITE of the conclusion you are trying to reach.
Every odd integer can be written as $2k+1$ for some integer $k$. Write down the value of $2k+1$ when $k = 2$, and confirm it is odd.
จำนวนคี่ทุกจำนวนเขียนได้ในรูป $2k+1$ เมื่อ $k$ เป็นจำนวนเต็ม จงหาค่าของ $2k+1$ เมื่อ $k = 2$ และยืนยันว่าเป็นจำนวนคี่
Answershow ▾
This is the standard algebraic form used to represent 'an odd number' throughout a parity proof — get comfortable substituting into it.
Expand $(2k+1)^2$, and show the result can be written in the form $2m+1$ for an integer $m$ (hence show it is odd).
จงกระจาย $(2k+1)^2$ และแสดงว่าผลลัพธ์เขียนได้ในรูป $2m+1$ เมื่อ $m$ เป็นจำนวนเต็ม (จึงสรุปได้ว่าเป็นจำนวนคี่)
Answershow ▾
Expand fully, then pull a factor of $2$ out of every term except the constant — whatever is left decides the parity.
A contradiction proof of “if $n^2$ is even, then $n$ is even” opens with an assumption, and only ONE of these is it. Which, and what is wrong with the other two?
(A) assume $n^2$ is odd and $n$ is even (B) assume $n^2$ is even and $n$ is odd (C) assume $n$ is odd and $n^2$ is odd
การพิสูจน์แบบข้อขัดแย้งของ "ถ้า $n^2$ เป็นจำนวนคู่ แล้ว $n$ เป็นจำนวนคู่" เริ่มด้วยข้อสมมติ และมีข้อเดียวเท่านั้นที่ใช่ · ข้อไหน และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) สมมติว่า $n^2$ เป็นคี่ และ $n$ เป็นคู่ (B) สมมติว่า $n^2$ เป็นคู่ และ $n$ เป็นคี่ (C) สมมติว่า $n$ เป็นคี่ และ $n^2$ เป็นคี่
Answershow ▾
The recipe is fixed: keep the premise exactly as given, and negate the conclusion only. (A) negates the wrong half, so it is trying to prove a different statement. (C) negates nothing at all — it assumes both halves of what you are about to deduce, so there is nothing left to contradict and no proof happens. Which half to negate is decided before any algebra, and the mark scheme’s first B1 is for the assumption once it is written, not for working out which one it should be.สูตรตายตัว: เก็บสมมติฐานไว้ตามที่โจทย์ให้ และปฏิเสธเฉพาะข้อสรุปเท่านั้น · (A) ปฏิเสธผิดครึ่ง จึงกำลังพยายามพิสูจน์ข้อความคนละข้อ · (C) ไม่ได้ปฏิเสธอะไรเลย มันสมมติทั้งสองครึ่งของสิ่งที่กำลังจะอนุมาน จึงไม่เหลืออะไรให้ขัดแย้ง และไม่เกิดการพิสูจน์ · การเลือกว่าจะปฏิเสธครึ่งไหนตัดสินก่อนลงมือคิดพีชคณิต และ B1 แรกของมาร์คสกีมให้กับข้อสมมติที่เขียนออกมา ไม่ใช่ให้กับการคิดว่าควรเป็นข้อไหน
To prove 'if $n^2$ is even, then $n$ is even' by contradiction, state what you assume, then write the assumption algebraically.
Answershow ▾
Question 1's move, aimed at the real target statement — the premise stays; only the conclusion gets negated. This is the first line of the exam question's proof.
Given $n = 2k+1$, show that $n^2$ is odd.
Answershow ▾
Expand fully, then factor a $2$ out of every term you can — same move as question 3, now on the real expression.
$(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$. Which of these three sentences actually establishes that this is odd, and what is missing from the other two?
(A) it is odd because it ends in $+1$ (B) it is odd because $4k^2$ and $4k$ are both even (C) it equals $2\left(2k^2 + 2k\right) + 1$, and $2k^2 + 2k$ is an integer, so it has the form $2m + 1$
$(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$ · ประโยคไหนในสามข้อนี้ที่พิสูจน์ได้จริงว่ามันเป็นจำนวนคี่ และอีกสองข้อขาดอะไร
(A) เป็นคี่เพราะลงท้ายด้วย $+1$ (B) เป็นคี่เพราะ $4k^2$ กับ $4k$ เป็นคู่ทั้งคู่ (C) เท่ากับ $2\left(2k^2 + 2k\right) + 1$ และ $2k^2 + 2k$ เป็นจำนวนเต็ม จึงอยู่ในรูป $2m + 1$
Answershow ▾
(A) is not an argument, it is a habit — $4k^2 + 4k$ is even only because of the factor $2$, and “ends in $+1$” would just as happily “prove” that $3k + 1$ is odd, which it is not. (B) is true and is the idea behind (C), but it never produces the form $2m + 1$, which is what “odd” means. The proof needs the factor of $2$ taken out explicitly AND the leftover named as an integer. The M1/A1 pay for the factorised line; nothing pays for knowing that a definition has to be reached, not gestured at.(A) ไม่ใช่การให้เหตุผล แต่เป็นความเคยชิน · $4k^2 + 4k$ เป็นคู่เพราะมีตัวประกอบ $2$ เท่านั้น และคำว่า "ลงท้ายด้วย $+1$" จะ "พิสูจน์" ได้พอ ๆ กันว่า $3k + 1$ เป็นคี่ ซึ่งไม่จริง · (B) เป็นจริงและเป็นความคิดเบื้องหลัง (C) แต่ไม่เคยผลิตรูป $2m + 1$ ออกมา ซึ่งคือความหมายของคำว่า "คี่" · การพิสูจน์ต้องดึงตัวประกอบ $2$ ออกมาชัด ๆ และตั้งชื่อส่วนที่เหลือว่าเป็นจำนวนเต็ม · M1/A1 ให้กับบรรทัดที่ดึงตัวประกอบแล้ว ไม่มีคะแนนให้กับการรู้ว่าต้องไปให้ถึงนิยาม ไม่ใช่แค่ชี้ไปทางนั้น
$n^2$ has been shown to be odd, under the assumption that $n$ is odd. Explain why this is a contradiction, and state your conclusion.
Answershow ▾
A contradiction proof ends by explicitly saying the assumption is impossible, and stating what must be true instead — never skip this closing sentence.
A contradiction proof is not finished when the contradiction appears. Which of these three endings completes it, and what is missing from the other two?
(A) “which is a contradiction” (B) “so $n^2$ is odd” (C) “this contradicts the premise that $n^2$ is even, so the assumption that $n$ is odd is false, hence $n$ is even”
การพิสูจน์แบบข้อขัดแย้งยังไม่จบเมื่อข้อขัดแย้งโผล่มา · ตอนจบข้อไหนที่ทำให้สมบูรณ์ และอีกสองข้อขาดอะไร
(A) "ซึ่งขัดแย้งกัน" (B) "ดังนั้น $n^2$ เป็นคี่" (C) "ข้อนี้ขัดแย้งกับสมมติฐานที่ว่า $n^2$ เป็นคู่ ดังนั้นข้อสมมติที่ว่า $n$ เป็นคี่จึงเป็นเท็จ จึงสรุปว่า $n$ เป็นคู่"
Answershow ▾
(B) stops at the deduction and never uses it. (A) announces a contradiction without saying WITH WHAT, and without drawing the conclusion — the reader is left to finish the argument. A complete ending does three jobs in one sentence: it names the two statements that clash, it declares the assumption false, and it states what must therefore be true. The final A1 is for that sentence, and it is the mark most often lost on a proof that was otherwise entirely correct.(B) หยุดที่ผลอนุมานและไม่เคยเอามันไปใช้ · (A) ประกาศว่ามีข้อขัดแย้งโดยไม่บอกว่าขัดกับอะไร และไม่ได้สรุป ปล่อยให้ผู้อ่านไปคิดจบเอง · ตอนจบที่สมบูรณ์ทำสามอย่างในประโยคเดียว: บอกชื่อข้อความสองข้อที่ชนกัน ประกาศว่าข้อสมมติเป็นเท็จ และบอกว่าอะไรจึงต้องเป็นจริง · A1 สุดท้ายให้กับประโยคนั้น และเป็นคะแนนที่หายบ่อยที่สุดในการพิสูจน์ที่นอกนั้นถูกหมด
To prove 'if $n^2$ is even, then $n$ is even' by contradiction, state the assumption algebraically, and use it to find the parity of $n^2$.
Answershow ▾
Questions 4 and 5 back to back — the first half of the whole proof.
Given that $n=2k+1$ leads to $n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ (so $n^2$ is odd), state the contradiction this gives and hence complete the proof that if $n^2$ is even, then $n$ is even.
Answershow ▾
Questions 5 and 6 back to back — the second half of the whole proof.
Prove by contradiction that if $n$ is even, then $n+1$ is odd — the same four-step recipe as above (assume the opposite, deduce, contradict, conclude), but for a much easier statement.
Answershow ▾
The exact same four moves as the exam question — assume, deduce, contradict, conclude — just with a statement simple enough to see the whole shape of the argument at once.
Prove by contradiction that if $n^2$ is even, then $n$ is even.
Answershow ▾
7 marks. Questions 4 and 7 build the assumption and the algebra; questions 5, 6 and 8 build the contradiction and conclusion.
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
M1 $(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$ A1 $n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$.
A1 this is of the form $2m+1$, so $n^2$ is odd A1 this contradicts the premise that $n^2$ is even.
B1 the assumption that $n$ is odd must be false, so $n$ is even.
Proof · disproof by counter-example, and an algebraic proof
(a) It is claimed that 'if $a \gt b$ then $a^2 \gt b^2$.' Show the claim is true when $a=5$, $b=4$ and when $a=5$, $b=0$, then find a value of $b$ for which the claim is false when $a=5$, disproving it by counter-example.
(b) Prove algebraically that the product of two consecutive integers is always even.
It is claimed that '$2n+1$ is prime for every positive integer $n$.' Verify the claim for $n=1$, $n=2$ and $n=3$.
มีข้อความอ้างว่า '$2n+1$ เป็นจำนวนเฉพาะสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$' จงตรวจสอบข้อความนี้ สำหรับ $n=1$, $n=2$ และ $n=3$
Answershow ▾
Before searching for a counter-example, always check a few small cases — it shows you understand the claim, and sometimes a claim really is true.
Continuing the search, find the smallest positive integer $n$ for which $2n+1$ is NOT prime.
จงหาค่าจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุดซึ่งทำให้ $2n+1$ ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
Answershow ▾
Keep substituting increasing values of $n$ until the pattern breaks — that value is your counter-example.
A claim states 'STATEMENT is true for every positive integer $n$.' Explain why finding just ONE value of $n$ for which the claim is false is enough to disprove it completely.
ข้อความอ้างว่า 'ข้อความ X เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$' จงอธิบายว่าเหตุใดการหาค่า $n$ เพียงค่าเดียวที่ทำให้ข้อความเป็นเท็จจึงเพียงพอที่จะหักล้างข้อความนี้ได้ทั้งหมด
Answershow ▾
This is the whole logic of disproof by counter-example: 'for all' claims are fragile — they need to hold everywhere, so failing anywhere is fatal.
It is claimed that 'if $a \gt b$ then $a^2 \gt b^2$.' Verify the claim when $a=5, b=4$ and when $a=5, b=0$.
Answershow ▾
Same move as question 1, aimed at the real claim from the exam question.
The claim “if $a \gt b$ then $a^2 \gt b^2$” has been checked at $b = 4$ and $b = 0$, both with $a = 5$. Which region of $b$ has not been tried at all? Say why that is where claims about squares usually break, and name a value there to test.
ข้อกล่าวอ้าง "ถ้า $a \gt b$ แล้ว $a^2 \gt b^2$" ถูกตรวจที่ $b = 4$ และ $b = 0$ โดยใช้ $a = 5$ ทั้งสองครั้ง · ช่วงใดของ $b$ ที่ยังไม่ถูกลองเลย · บอกว่าทำไมข้อกล่าวอ้างเกี่ยวกับกำลังสองมักพังตรงนั้น และบอกค่าหนึ่งค่าในช่วงนั้นที่ควรลอง
Answershow ▾
Two successes prove nothing, and both of them were taken from the same side of zero. Squaring turns $-5$ into $+25$, so a $b$ that is far below $a$ can have a square that is just as big or bigger — and $b = -6$ would make it strictly bigger, a counter-example just as good. Knowing WHERE to look is the difference between finding one in ten seconds and hunting through positive numbers forever. Part (a) awards a mark for the counter-example; the search that found it is worth nothing.ความสำเร็จสองครั้งไม่พิสูจน์อะไร และทั้งสองครั้งมาจากฝั่งเดียวกันของศูนย์ · การยกกำลังสองเปลี่ยน $-5$ เป็น $+25$ ค่า $b$ ที่ต่ำกว่า $a$ มาก ๆ จึงมีกำลังสองที่ใหญ่เท่ากันหรือใหญ่กว่าได้ และ $b = -6$ จะทำให้ใหญ่กว่าจริง ๆ ซึ่งเป็นตัวอย่างค้านที่ดีพอกัน · การรู้ว่าจะ "มองที่ไหน" คือความต่างระหว่างการเจอใน 10 วินาที กับการไล่หาในจำนวนบวกไปเรื่อย ๆ · ข้อ (a) ให้คะแนนกับตัวอย่างค้าน การค้นหาที่ทำให้เจอไม่มีคะแนน
Continuing the search with $a=5$ fixed, find a value of $b$ for which the claim 'if $a\gt b$ then $a^2\gt b^2$' is false.
Answershow ▾
Same move as question 2 — keep searching until the claim genuinely fails, then show both sides of the (in)equality explicitly. This is part (a) of the exam question.
A counter-example has a shape. Which of these three does the job for “if $a \gt b$ then $a^2 \gt b^2$”, and what is wrong with the other two?
(A) $a = 5$, $b = 6$: here $a \gt b$ is false (B) $a = 5$, $b = -5$: $a \gt b$ is true, and $a^2 \gt b^2$ is false (C) $a = -5$, $b = -6$: both parts happen to hold
ตัวอย่างค้านมีรูปแบบของมัน · ข้อไหนใช้ค้าน "ถ้า $a \gt b$ แล้ว $a^2 \gt b^2$" ได้ และอีกสองข้อผิดตรงไหน
(A) $a = 5$, $b = 6$: ตรงนี้ $a \gt b$ เป็นเท็จ (B) $a = 5$, $b = -5$: $a \gt b$ เป็นจริง และ $a^2 \gt b^2$ เป็นเท็จ (C) $a = -5$, $b = -6$: เป็นจริงทั้งสองส่วนพอดี
Answershow ▾
A claim of the form “if P then Q” is broken only by a case where P is TRUE and Q is FALSE. (A) fails P, so the claim says nothing about it and it disproves nothing. (C) satisfies both, so it is an example, not a counter-example. That is why the answer has to show both halves explicitly: $5 \gt -5$ is true, and $25 \gt 25$ is false. The mark is for the values together with both checks; showing only the values leaves the examiner to do the work.ข้อกล่าวอ้างรูป "ถ้า P แล้ว Q" ถูกหักล้างได้ด้วยกรณีที่ P เป็นจริงและ Q เป็นเท็จเท่านั้น · (A) ทำให้ P เป็นเท็จ ข้อกล่าวอ้างจึงไม่ได้พูดถึงมันเลย และมันไม่หักล้างอะไร · (C) เป็นจริงทั้งสองส่วน จึงเป็นตัวอย่าง ไม่ใช่ตัวอย่างค้าน · นั่นคือเหตุผลที่คำตอบต้องแสดงทั้งสองครึ่งออกมาชัด ๆ: $5 \gt -5$ เป็นจริง และ $25 \gt 25$ เป็นเท็จ · คะแนนให้กับค่าพร้อมการตรวจทั้งสองข้อ ถ้าเขียนแค่ค่า ผู้ตรวจต้องทำงานเอง
To prove that the product of two consecutive integers is always even, the natural first move is to split into cases by the parity of $n$. Write $n(n+1)$ when $n=2k$ (i.e. $n$ is even), and simplify.
Answershow ▾
Case-splitting (for a parity proof) or factorising (for a divisibility proof) is almost always the first move — it turns an abstract claim into something you can reason about directly.
Part (b) says prove algebraically that the product of two consecutive integers is always even. Which of these is NOT a proof, and why? Then say what “algebraically” rules out.
(A) check $n = 1, 2, 3, 4, 5$ and see that every product is even (B) split into $n = 2k$ and $n = 2k + 1$ and factor a $2$ out of each (C) one of any two consecutive integers is even, so the product has a factor $2$
ข้อ (b) สั่งให้ prove algebraically ว่าผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวนที่ติดกันเป็นจำนวนคู่เสมอ · ข้อไหน "ไม่ใช่" การพิสูจน์ และเพราะอะไร · แล้วบอกว่าคำว่า "algebraically" ตัดอะไรออก
(A) ตรวจ $n = 1, 2, 3, 4, 5$ แล้วเห็นว่าผลคูณเป็นคู่ทุกครั้ง (B) แยกกรณี $n = 2k$ กับ $n = 2k + 1$ แล้วดึง $2$ ออกจากแต่ละกรณี (C) จำนวนหนึ่งในสองจำนวนที่ติดกันต้องเป็นจำนวนคู่ ผลคูณจึงมีตัวประกอบ $2$
Answershow ▾
(C) is a genuine argument and most mathematicians would accept it, but it is a sentence rather than algebra, and a board that wrote “prove algebraically” is asking for a general $n$ carried through symbols — which is (B). (A) is the one that is not a proof at all: no number of examples settles a claim about every integer, and this is the same logic as part (a) read backwards, where ONE example was enough to destroy a claim. One word in the question decides which of the three you are allowed to write, and no mark is attached to reading it.(C) เป็นการให้เหตุผลจริง และนักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ยอมรับ แต่มันเป็นประโยค ไม่ใช่พีชคณิต และบอร์ดที่เขียนว่า "prove algebraically" กำลังขอ $n$ ทั่วไปที่เดินผ่านสัญลักษณ์ ซึ่งก็คือ (B) · (A) คือข้อที่ไม่ใช่การพิสูจน์เลย เพราะตัวอย่างกี่ตัวก็ไม่ตัดสินข้อกล่าวอ้างเกี่ยวกับจำนวนเต็มทุกจำนวน และนี่คือตรรกะเดียวกับข้อ (a) ที่อ่านย้อนกลับ ตรงที่ตัวอย่าง "หนึ่ง" ตัวอย่างพอที่จะทำลายข้อกล่าวอ้างได้ · คำเดียวในโจทย์ตัดสินว่าเขียนข้อไหนได้ และไม่มีคะแนนให้กับการอ่านคำนั้น
Prove algebraically that the product of two consecutive integers is always even.
Answershow ▾
Question 6 was the opening move; here is the complete argument — every case (or factor) checked, and the concluding sentence stated explicitly. This is part (b) of the exam question.
It is claimed that 'if $a \gt b$ then $a^2 \gt b^2$.' Show the claim is true when $a=5$, $b=4$ and when $a=5$, $b=0$, then find a value of $b$ for which the claim is false when $a=5$, disproving it by counter-example.
Answershow ▾
Questions 4 and 5 back to back — verify small cases, then search until the claim breaks. This is part (a) of the exam question, in full.
Using an easier claim and an easier statement throughout: (a) It is claimed that '$2n+1$ is prime for every positive integer $n$.' Verify the claim for $n=1,2,3$, then disprove it by counter-example.
(b) Prove algebraically that the sum of two consecutive integers is always odd.
Answershow ▾
Exactly the same two-part structure as the exam question — disprove by search, then prove algebraically — but with the easiest claim and statement that still show the method.
(a) It is claimed that 'if $a \gt b$ then $a^2 \gt b^2$.' Show the claim is true when $a=5$, $b=4$ and when $a=5$, $b=0$, then find a value of $b$ for which the claim is false when $a=5$, disproving it by counter-example.
(b) Prove algebraically that the product of two consecutive integers is always even.
Answershow ▾
7 marks. Questions 4, 5 and 8 build part (a); questions 6 and 7 build part (b).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 case $n=2k$: $n(n+1) = 4k^2 + 2k = 2(2k^2 + k)$ A1 case $n=2k+1$: $n(n+1) = 4k^2 + 6k + 2 = 2(2k^2 + 3k + 1)$ A1 both cases are multiples of $2$ B1 so the product of two consecutive integers is always even, for every integer $n$.