Pure Math Lab
A-Level Pure 4 · Edexcel IAL past papers (WMA11-WMA14) · Topic pack

Topic pack · Proof by contradictionแพ็กฝึกเฉพาะหัวข้อ · การพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง

10 questions · 42 marks10 ข้อ · 42 คะแนน — marks 60 min60 นาที calculator allowedใช้เครื่องคิดเลขได้

Ten real Edexcel IAL Pure questions on Proof, each labelled with the paper it came from. Edexcel IAL splits this topic across two units - WMA12 (Pure 2) sets proof by exhaustion, disproof by counter-example and direct proof with odd/even and multiples; WMA14 (Pure 4) sets proof by contradiction, including irrationality - so this pack draws on both, exactly as the real exams do. It ramps from a two-mark contradiction and a table of integer cases, through matched pairs of direct proof plus a counter-example, two harder contradiction proofs (one a "complete the missing line" question), a longer exhaustion/deduction pair and a counter-example/exhaustion pair, up to a full synoptic question that completes a contradiction proof and then uses it, "hence", to prove a cube root is irrational. Every question keeps its own worked mark-scheme steps. Do it timed, then mark yourself out of 42.ข้อสอบจริง Edexcel IAL เรื่อง Proof 10 ข้อ ทุกข้อบอกว่ามาจากข้อสอบชุดไหน หัวข้อนี้ในระบบ Edexcel IAL แบ่งอยู่ ในสองวิชา คือ WMA12 (Pure 2) ที่ออกข้อสอบเรื่องการพิสูจน์แบบแจกแจงครบทุกกรณี การพิสูจน์ค้านด้วยตัวอย่างค้าน และการพิสูจน์โดยตรงเรื่องคู่-คี่และพหุคูณ ส่วน WMA14 (Pure 4) ออกข้อสอบเรื่องการพิสูจน์แบบข้อขัดแย้ง รวมถึงอตรรกยะ ชุดนี้จึงรวมทั้งสองวิชาไว้ด้วยกัน เหมือนข้อสอบจริง ไล่ตั้งแต่ข้อขัดแย้งสองคะแนนและตารางแจกแจงกรณี ไปจนถึงคู่ของ การพิสูจน์โดยตรงกับตัวอย่างค้าน การพิสูจน์แบบข้อขัดแย้งที่ยากขึ้น (ข้อหนึ่งต้อง "เติมบรรทัดที่หายไป") คู่ของการแจกแจง กรณี-การอนุมานที่ยาวขึ้น และคู่ของตัวอย่างค้าน-การแจกแจงกรณี ไปจนถึงโจทย์รวบยอดที่เติมบทพิสูจน์ข้อขัดแย้งให้สมบูรณ์ แล้วใช้ผลนั้น ("จากนั้น") พิสูจน์ว่ารากที่สามของจำนวนหนึ่งเป็นอตรรกยะ ทุกข้อมีวิธีทำแบบ mark scheme ของตัวเอง ลองจับเวลาทำก่อน แล้วให้คะแนนตัวเองเต็ม 42

Questions © Pearson Education Ltd, reproduced for study. Working, hints and figures by Pure Math Lab.โจทย์ © Pearson Education Ltd ใช้เพื่อการเรียน วิธีทำ คำใบ้ และรูป โดย Pure Math Lab

60:00
The four lines every contradiction proof needsสี่บรรทัดที่บทพิสูจน์โดยข้อขัดแย้งต้องมี▾
The shape of the proofโครงของบทพิสูจน์
1 · Assume the negation1 · สมมตินิเสธwrite “Assume, for contradiction, that …” and put the OPPOSITE of what you are asked to proveเขียนว่า “สมมติเพื่อหาข้อขัดแย้งว่า …” แล้วใส่สิ่งที่ตรงข้ามกับที่โจทย์ให้พิสูจน์
2 · Turn it into algebra2 · เปลี่ยนเป็นพีชคณิต$\text{even}=2k \quad \text{odd}=2k+1 \quad \text{rational}=\dfrac{a}{b}$
3 · Reach the impossible3 · เดินจนเจอสิ่งที่เป็นไปไม่ได้an even number equal to an odd one, a fraction that still cancels, a number smaller than the smallestจำนวนคู่เท่ากับจำนวนคี่ เศษส่วนที่ยังตัดทอนได้อีก หรือจำนวนที่เล็กกว่าตัวที่เล็กที่สุด
4 · Say the sentence4 · เขียนประโยคปิดท้าย“the assumption is false, so …” — the last mark is for this line, not for the algebra above it“ข้อสมมติเป็นเท็จ ดังนั้น …” คะแนนสุดท้ายอยู่ที่บรรทัดนี้ ไม่ใช่พีชคณิตข้างบน
The negations that get written wrongนิเสธที่มักเขียนผิด
“if $P$ then $Q$”“ถ้า $P$ แล้ว $Q$”becomes $P$ AND not $Q$ — keep the hypothesis, deny only the conclusionกลายเป็น $P$ จริง และ $Q$ เท็จ คือเก็บเหตุไว้ ปฏิเสธแค่ผล
“at least one of $a,b$”“อย่างน้อยหนึ่งตัวใน $a,b$”becomes NEITHER — both bounds at once, not one of themกลายเป็นไม่มีตัวไหนเลย คือต้องสมมติทั้งสองเงื่อนไขพร้อมกัน ไม่ใช่ตัวเดียว
“there is no largest / smallest”“ไม่มีตัวที่มากที่สุด / น้อยที่สุด”becomes “there is one” — name it, then build one past itกลายเป็น “มีอยู่” ให้ตั้งชื่อมันไว้ แล้วสร้างตัวที่เลยมันไปอีกตัว
“$\sqrt{k}$ is irrational”“$\sqrt{k}$ เป็นอตรรกยะ”becomes $\sqrt{k}=\dfrac{a}{b}$ IN LOWEST TERMS — the lowest-terms words are the trap, and leaving them out loses the last two marksกลายเป็น $\sqrt{k}=\dfrac{a}{b}$ ในรูปอย่างต่ำ คำว่ารูปอย่างต่ำคือกับดัก ถ้าไม่เขียนไว้จะเสียสองคะแนนท้าย
Where the marks are lostจุดที่เสียคะแนน
Assuming what you must proveสมมติสิ่งที่ต้องพิสูจน์starting “assume $\sqrt{2}$ is irrational” proves nothing and scores nothingเริ่มด้วย “สมมติว่า $\sqrt{2}$ เป็นอตรรกยะ” ไม่ได้พิสูจน์อะไร และไม่ได้คะแนน
A case list with a holeลิสต์กรณีที่มีรูโหว่an exhaustive proof must state that the cases cover every integer — the sentence is the markการไล่กรณีต้องบอกด้วยว่ากรณีที่ไล่คลุมจำนวนเต็มทุกตัว ประโยคนี้คือคะแนน
Stopping at the algebraหยุดแค่พีชคณิตa proof ends with a SENTENCE, never with an expressionบทพิสูจน์จบด้วยประโยค ไม่ใช่จบด้วยนิพจน์
Reusing lettersใช้ตัวอักษรซ้ำtwo different rationals need $\dfrac{a}{b}$ and $\dfrac{c}{d}$; reusing one pair assumes they are equalจำนวนตรรกยะคนละตัวต้องใช้ $\dfrac{a}{b}$ กับ $\dfrac{c}{d}$ ถ้าใช้คู่เดียวซ้ำ เท่ากับสมมติว่ามันเท่ากัน
Finished the pack? Here is what comes nextทำชุดนี้ครบแล้ว? ขั้นต่อไปทำแบบนี้
⏱Next stepขั้นต่อไปTimed paper — Pure 4, all topicsข้อสอบจับเวลา — Pure 4 ทุกบท→➡️Next topicบทถัดไปPartial fractions — learn from zeroPartial fractions — เรียนตั้งแต่ศูนย์→🪜Dropped marks?เสียคะแนน?Back to the Proof laddersกลับไปไต่บันได Proof→
More free practice: ฝึกฟรีเพิ่ม: all practice papers →ข้อสอบทุกฉบับ → Pure 4 topic library →คลังบทเรียน Pure 4 → back to the topic →กลับไปหน้าหัวข้อ →

Get the PDFรับไฟล์ PDF

Drop your email and board and the PDF opens. We'll send you A-Level tips, no spam.ใส่อีเมลกับบอร์ดสอบ แล้วไฟล์จะเปิดให้เลย เราจะส่งทิป A-Level ให้เป็นครั้งคราว ไม่สแปม