Vectors · practice ladders ชุดไต่ระดับ · เวกเตอร์
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Vectors · a triangle in three dimensions
Points $A$, $B$ and $C$ have position vectors $\mathbf{a} = \begin{pmatrix}0\\1\\-3\end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix}4\\-3\\-1\end{pmatrix}$ and $\mathbf{c} = \begin{pmatrix}-4\\0\\-1\end{pmatrix}$ respectively.
(a) Find $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{AC}$.
(b) Find the size of angle $BAC$, giving your answer correct to 1 decimal place.
(c) Hence find the exact area of triangle $ABC$.
Point $A$ has position vector $\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}$ and point $B$ has position vector $\begin{pmatrix}-3\\-2\\-1\end{pmatrix}$. Find $\overrightarrow{AB}$.
จุด $A$ มีเวกเตอร์ตำแหน่ง $\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}$ และจุด $B$ มีเวกเตอร์ตำแหน่ง $\begin{pmatrix}-3\\-2\\-1\end{pmatrix}$ จงหา $\overrightarrow{AB}$
Answershow ▾
$\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ — the vector FROM $A$ TO $B$ is always 'end minus start'. Get this backwards and every angle later comes out wrong.
Find the angle between the vectors $\mathbf{u} = \begin{pmatrix}-2\\3\\-2\end{pmatrix}$ and $\mathbf{v} = \begin{pmatrix}-1\\1\\-4\end{pmatrix}$, giving your answer correct to 1 decimal place.
จงหามุมระหว่างเวกเตอร์ $\mathbf{u} = \begin{pmatrix}-2\\3\\-2\end{pmatrix}$ และ $\mathbf{v} = \begin{pmatrix}-1\\1\\-4\end{pmatrix}$ ให้คำตอบถูกต้อง 1 ตำแหน่งทศนิยม
Answershow ▾
$\cos\theta = \dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}$ — unlike the acute angle between two lines, there is no modulus sign here: this angle is free to come out obtuse, and often does.
Triangle $PQR$ has $PQ = 3$, $PR = 10$, and angle $QPR = 45^\circ$. Find the exact area of the triangle.
สามเหลี่ยม $PQR$ มี $PQ = 3$, $PR = 10$ และมุม $QPR = 45^\circ$ จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมในรูปที่แน่นอน
Answershow ▾
Area $= \dfrac{1}{2} \times PQ \times PR \times \sin(\angle QPR)$ — this is exactly the formula question 6 is built on, just with the two sides and the angle between them given directly instead of found from vectors first.
$\overrightarrow{AB}$ is one subtraction and there are two ways round. Write both $\mathbf{b} - \mathbf{a}$ and $\mathbf{a} - \mathbf{b}$ for these points, say which one is $\overrightarrow{AB}$, and say what the other one is called.
$\overrightarrow{AB}$ คือการลบหนึ่งครั้ง และลบได้สองทาง · จงเขียนทั้ง $\mathbf{b} - \mathbf{a}$ และ $\mathbf{a} - \mathbf{b}$ สำหรับจุดเหล่านี้ บอกว่าอันไหนคือ $\overrightarrow{AB}$ และอีกอันเรียกว่าอะไร
Answershow ▾
The letters read left to right: $AB$ goes FROM $A$ TO $B$, so the finish comes first in the subtraction. Get it backwards and every component changes sign, which reverses the arrow — and in part (b) that turns the angle into its supplement. Both vectors here have to start at $A$, because $A$ is where the angle is measured. The B1 pays for the two vectors; nothing pays for the direction convention that produced them.ตัวอักษรอ่านจากซ้ายไปขวา: $AB$ วิ่งจาก $A$ ไป $B$ ปลายทางจึงมาก่อนในการลบ · ถ้าทำกลับด้าน ทุกองค์ประกอบจะเปลี่ยนเครื่องหมาย ซึ่งกลับทิศของลูกศร และในข้อ (b) จะเปลี่ยนมุมเป็นมุมประกอบสองมุมฉาก · เวกเตอร์ทั้งสองที่นี่ต้องเริ่มจาก $A$ เพราะ $A$ คือจุดที่วัดมุม · B1 ให้กับเวกเตอร์สองตัว ไม่มีคะแนนให้กับข้อตกลงเรื่องทิศที่ทำให้ได้มันมา
Points $A$, $B$ and $C$ have position vectors $\mathbf{a} = \begin{pmatrix}0\\1\\-3\end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix}4\\-3\\-1\end{pmatrix}$ and $\mathbf{c} = \begin{pmatrix}-4\\0\\-1\end{pmatrix}$. Find $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{AC}$.
Answershow ▾
Same move as question 1, done twice — both vectors measured FROM $A$, the vertex where the angle will be measured. This is part (a).
$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4\\-4\\2\end{pmatrix}$ and $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}-4\\-1\\2\end{pmatrix}$. Find the size of angle $BAC$, correct to 1 decimal place.
Answershow ▾
Same move as question 2, using $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{AC}$ specifically — both vectors point AWAY from $A$, the vertex of the angle. This is part (b).
Two scalar-product formulas look almost identical. Which one gives angle $BAC$, and which gives the acute angle between two LINES?
(A) $\cos\theta = \dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}$ (B) $\cos\theta = \dfrac{\left|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\right|}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}$
Then say what formula (B) would have given here, and what the true angle is.
สูตรผลคูณสเกลาร์สองสูตรหน้าตาเกือบเหมือนกัน · สูตรไหนให้มุม $BAC$ และสูตรไหนให้มุมแหลมระหว่าง "เส้นตรง" สองเส้น
(A) $\cos\theta = \dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}$ (B) $\cos\theta = \dfrac{\left|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\right|}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}$
แล้วบอกว่าสูตร (B) จะให้ค่าอะไรที่นี่ และมุมจริงคือเท่าไร
Answershow ▾
The angle of a triangle at a named vertex is whatever it is, and it is allowed to be obtuse — here the scalar product is negative and that negative sign is the information. Modulus bars would throw it away and return the acute partner, $73.1^\circ$, a number that fits comfortably in a triangle and is simply not angle $BAC$. The bars belong to lines, which have no direction and so no obtuse angle. The A1 is for $106.9^\circ$; nothing pays for choosing the formula without the bars.มุมของสามเหลี่ยมที่จุดยอดที่ระบุชื่อไว้ เป็นเท่าไรก็เป็นเท่านั้น และเป็นมุมป้านได้ · ที่นี่ผลคูณสเกลาร์ติดลบ และเครื่องหมายลบนั้นคือข้อมูล · ขีดค่าสัมบูรณ์จะทิ้งมันไปแล้วคืนมุมแหลมคู่ของมันคือ $73.1^\circ$ ซึ่งเป็นตัวเลขที่ใส่ในสามเหลี่ยมได้สบาย ๆ และไม่ใช่มุม $BAC$ · ขีดนั้นเป็นของ "เส้นตรง" ซึ่งไม่มีทิศ จึงไม่มีมุมป้าน · A1 ให้กับ $106.9^\circ$ ไม่มีคะแนนให้กับการเลือกสูตรที่ไม่มีขีด
$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4\\-4\\2\end{pmatrix}$ and $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}-4\\-1\\2\end{pmatrix}$, and angle $BAC = 106.9^\circ$ (found in question 5). Find the exact area of triangle $ABC$, using Area $= \dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\sin(\angle BAC)$.
Answershow ▾
Work from the unrounded value of $\cos(\angle BAC)$ (or straight from $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{AC}$) rather than the rounded $106.9^\circ$ from question 5 — rounding the angle first and then taking its sine throws away accuracy. This is part (c).
Part (c) asks for the exact area, and $\sin(106.9^\circ)$ is a rounded input. Compute the area twice — once from the rounded $106.9^\circ$ and once from the unrounded $\cos\theta = \dfrac{-8}{6\sqrt{21}}$ — and say which one can be written as $\sqrt{173}$.
ข้อ (c) ถามพื้นที่แบบ exact และ $\sin(106.9^\circ)$ เป็นค่าที่ปัดมาแล้ว · จงคำนวณพื้นที่สองครั้ง ครั้งหนึ่งจาก $106.9^\circ$ ที่ปัดแล้ว และอีกครั้งจาก $\cos\theta = \dfrac{-8}{6\sqrt{21}}$ ที่ยังไม่ปัด · แล้วบอกว่าค่าไหนเขียนเป็น $\sqrt{173}$ ได้
Answershow ▾
An answer asked for exactly cannot be built out of a rounded intermediate: the moment $106.9^\circ$ is used, the result is a decimal that no surd will match, and $\sqrt{173}$ becomes unreachable rather than merely inaccurate. Part (b) rounded because it was told to; part (c) has to reach back past that rounding to the value still in the calculator. The A1 is for $\sqrt{173}$, and the decision to ignore your own previous answer is what makes it possible.คำตอบที่ถูกขอแบบ exact สร้างจากค่ากลางที่ปัดแล้วไม่ได้: ทันทีที่ใช้ $106.9^\circ$ ผลลัพธ์จะเป็นทศนิยมที่ไม่มีรากที่สองตัวไหนตรงพอดี และ $\sqrt{173}$ จะไปไม่ถึงเลย ไม่ใช่แค่คลาดเคลื่อน · ข้อ (b) ปัดเพราะโจทย์สั่ง ส่วนข้อ (c) ต้องย้อนข้ามการปัดนั้นกลับไปหาค่าที่ยังอยู่ในเครื่องคิดเลข · A1 ให้กับ $\sqrt{173}$ และการตัดสินใจไม่ใช้คำตอบของตัวเองในข้อก่อนหน้าคือสิ่งที่ทำให้ไปถึงได้
Points $A$, $B$, $C$ have position vectors $\mathbf{a} = \begin{pmatrix}0\\1\\-3\end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix}4\\-3\\-1\end{pmatrix}$, $\mathbf{c} = \begin{pmatrix}-4\\0\\-1\end{pmatrix}$. Find $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{AC}$, and hence find the size of angle $BAC$, correct to 1 decimal place.
Answershow ▾
Questions 4 and 5 chained: find both vectors first, then feed them straight into the cosine formula. This is parts (a) and (b) together.
For the same triangle, $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4\\-4\\2\end{pmatrix}$ and $\overrightarrow{CA} = \begin{pmatrix}4\\1\\-2\end{pmatrix}$ (note that $\overrightarrow{CA}$ points from $C$ TO $A$, not away from $A$). A student uses $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{CA}$ in the cosine formula by mistake, instead of $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{AC}$. What angle do they get, and how does it relate to the true angle $BAC = 106.9^\circ$?
สำหรับสามเหลี่ยมเดิม นักเรียนใช้ $\overrightarrow{AB}$ และ $\overrightarrow{CA}$ ในสูตรโคไซน์โดยผิดพลาด แทนที่จะใช้ $\overrightarrow{AB}$ และ $\overrightarrow{AC}$ จะได้มุมใด และมุมนี้สัมพันธ์กับมุม $BAC$ ที่แท้จริงอย่างไร
Answershow ▾
Both vectors in the cosine formula must point AWAY from the vertex of the angle. $\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}$, so it points towards $A$, not away from it — this flips the sign of the dot product and of the cosine, turning the true angle into its supplement. This is the single most common mistake in this question type.
Points $A$, $B$, $C$ have position vectors $\mathbf{a} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}$, $\mathbf{c} = \begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}$.
(a) Find $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{AC}$.
(b) Find angle $BAC$, correct to 1 decimal place.
(c) Hence find the exact area of triangle $ABC$.
Answershow ▾
The exact same three parts as question 10, with easier numbers throughout — here $A$, $B$, $C$ form a 3-4-5 right triangle, so everything comes out clean.
Points $A$, $B$ and $C$ have position vectors $\mathbf{a} = \begin{pmatrix}0\\1\\-3\end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix}4\\-3\\-1\end{pmatrix}$ and $\mathbf{c} = \begin{pmatrix}-4\\0\\-1\end{pmatrix}$ respectively.
(a) Find $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{AC}$.
(b) Find the size of angle $BAC$, giving your answer correct to 1 decimal place.
(c) Hence find the exact area of triangle $ABC$.
Answershow ▾
7 marks. Question 4 is part (a); question 5 is part (b); question 6 is part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 $\cos(\angle BAC) = \dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}$ A1 substitute: $\cos(\angle BAC) = \dfrac{-8}{\sqrt{756}}$ A1 $\angle BAC = 106.9^\circ$ (1 d.p.).
(c) M1 Area $= \dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\sin(\angle BAC)$ A1 Area $= \sqrt{173}$.
Vectors · a point on a line, and perpendicularity
The line $l$ has vector equation $\mathbf{r} = \begin{pmatrix}-2\\-4\\0\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$. The point $P$ has position vector $\begin{pmatrix}-6\\-8\\0\end{pmatrix}$, and the line $m$ has direction vector $\mathbf{e} = \begin{pmatrix}-3\\k\\0\end{pmatrix}$, where $k$ is a constant.
(a) Determine whether $P$ lies on $l$.
(b) Given that $l$ and $m$ are perpendicular, find the value of $k$.
(c) Find the coordinates of the point where $l$ crosses the plane $z = 0$.
The line $l$ has vector equation $\mathbf{r} = \begin{pmatrix}-3\\4\\-1\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$. The point $Q$ has position vector $\begin{pmatrix}-5\\0\\1\end{pmatrix}$. Determine whether $Q$ lies on $l$.
เส้นตรง $l$: $\mathbf{r} = \begin{pmatrix}-3\\4\\-1\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ จุด $Q$ มี เวกเตอร์ตำแหน่ง $\begin{pmatrix}-5\\0\\1\end{pmatrix}$ จงพิจารณาว่า $Q$ อยู่บน $l$ หรือไม่
Answershow ▾
Find $\lambda$ from one component, then use that SAME $\lambda$ to check the other two — the check is what earns the mark, not just finding $\lambda$.
The line $l$ has vector equation $\mathbf{r} = \begin{pmatrix}-4\\-1\\4\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}$. The point $R$ has position vector $\begin{pmatrix}-6\\0\\6\end{pmatrix}$. Determine whether $R$ lies on $l$.
เส้นตรง $l$: $\mathbf{r} = \begin{pmatrix}-4\\-1\\4\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}$ จุด $R$ มี เวกเตอร์ตำแหน่ง $\begin{pmatrix}-6\\0\\6\end{pmatrix}$ จงพิจารณาว่า $R$ อยู่บน $l$ หรือไม่
Answershow ▾
Exactly the same method as question 1 — but this time the check catches a point that only LOOKS like it could be on the line.
Line $l$ has direction vector $\mathbf{d} = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$. Line $m$ has direction vector $\mathbf{e} = \begin{pmatrix}2\\k\\4\end{pmatrix}$. Given that $l$ and $m$ are perpendicular, find $k$.
เส้นตรง $l$ มีเวกเตอร์ทิศทาง $\mathbf{d} = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ และเส้นตรง $m$ มีเวกเตอร์ทิศทาง $\mathbf{e} = \begin{pmatrix}2\\k\\4\end{pmatrix}$ กำหนดให้ $l$ และ $m$ ตั้งฉากกัน จงหาค่า $k$
Answershow ▾
Perpendicular directions have zero scalar product: set $\mathbf{d}\cdot\mathbf{e} = 0$ and solve the resulting linear equation for $k$.
“Determine whether $P$ lies on $l$” is a yes-or-no question with a method. How many component equations must agree, how many do you use to FIND $\lambda$, and what do you do with the rest? Say what a student proves by solving the $x$ component alone.
"determine whether $P$ lies on $l$" เป็นคำถามใช่หรือไม่ใช่ ที่มีวิธีของมัน · ต้องมีสมการองค์ประกอบกี่สมการที่ตรงกัน ใช้กี่สมการเพื่อ "หา" $\lambda$ และที่เหลือเอาไปทำอะไร · บอกด้วยว่านักเรียนที่แก้เฉพาะองค์ประกอบ $x$ พิสูจน์อะไรได้
Answershow ▾
A single component can always be matched by choosing $\lambda$ to suit it, so it carries no information at all — every point in space agrees with some point of $l$ in one coordinate. The proof is that the SAME $\lambda$ works in all three. Here it fails in the third, so the answer is no, and the reason must be stated. Solving each component for its own $\lambda$ and getting different values is the same discovery written less clearly. The marks are for the conclusion with its check; deciding what counts as a check is unpaid.องค์ประกอบเดียวจับคู่ได้เสมอด้วยการเลือก $\lambda$ ให้พอดี มันจึงไม่มีข้อมูลอะไรเลย เพราะทุกจุดในปริภูมิตรงกับจุดใดจุดหนึ่งบน $l$ ในพิกัดหนึ่งพิกัดอยู่แล้ว · การพิสูจน์คือ $\lambda$ "ตัวเดียวกัน" ใช้ได้ครบทั้งสาม · ที่นี่มันล้มเหลวที่ตัวที่สาม คำตอบจึงเป็นไม่ใช่ และต้องบอกเหตุผลด้วย · การแก้แต่ละองค์ประกอบหา $\lambda$ ของตัวเองแล้วได้ค่าต่างกัน คือการค้นพบเดียวกันที่เขียนได้ชัดน้อยกว่า · คะแนนให้กับข้อสรุปพร้อมการตรวจ การตัดสินว่าอะไรนับเป็นการตรวจไม่มีคะแนน
The line $l$ has vector equation $\mathbf{r} = \begin{pmatrix}-2\\-4\\0\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$. The point $P$ has position vector $\begin{pmatrix}-6\\-8\\0\end{pmatrix}$. Determine whether $P$ lies on $l$.
Answershow ▾
Same move as questions 1 and 2, with the real numbers from the exam question. This is part (a).
Line $l$ has direction vector $\mathbf{d} = \begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$. Line $m$ has direction vector $\mathbf{e} = \begin{pmatrix}-3\\k\\0\end{pmatrix}$. Given that $l$ and $m$ are perpendicular, find $k$.
Answershow ▾
Same move as question 3. This is part (b).
Two directions can be related in three ways. Match each to its test:
(i) perpendicular · (ii) parallel · (iii) neither
(A) one is a scalar multiple of the other (B) the scalar product is $0$ (C) neither of those holds
Then say which test part (b) uses, and how many equations it gives you for $k$.
ทิศทางสองทิศสัมพันธ์กันได้สามแบบ · จงจับคู่กับการทดสอบ
(i) ตั้งฉาก · (ii) ขนาน · (iii) ไม่ใช่ทั้งสอง
(A) ตัวหนึ่งเป็นพหุคูณสเกลาร์ของอีกตัว (B) ผลคูณสเกลาร์เป็น $0$ (C) ไม่เข้าทั้งสองข้อ
แล้วบอกว่าข้อ (b) ใช้การทดสอบไหน และมันให้สมการสำหรับ $k$ กี่สมการ
Answershow ▾
Perpendicular is a single number condition and produces a single equation, which is exactly enough for the single unknown $k$. Parallel would be three conditions at once — each component in the same ratio — and would usually have no solution here. Reaching for the multiple test when the word is “perpendicular” produces a system that cannot be solved, and a student then assumes they have made an arithmetic mistake. The M1 pays for setting the scalar product to zero; nothing pays for knowing which of the two tests the word names."ตั้งฉาก" เป็นเงื่อนไขตัวเลขเดียวและให้สมการเดียว ซึ่งพอดีกับตัวไม่ทราบค่าตัวเดียวคือ $k$ · "ขนาน" จะเป็นเงื่อนไขสามข้อพร้อมกัน คือทุกองค์ประกอบมีอัตราส่วนเท่ากัน และมักไม่มีคำตอบที่นี่ · การหยิบการทดสอบเรื่องพหุคูณมาใช้ทั้งที่โจทย์เขียนว่า "perpendicular" จะได้ระบบที่แก้ไม่ได้ แล้วนักเรียนก็จะคิดว่าตัวเองคิดเลขผิด · M1 ให้กับการตั้งผลคูณสเกลาร์เท่ากับศูนย์ ไม่มีคะแนนให้กับการรู้ว่าคำนั้นเรียกการทดสอบไหน
Line $l$ has vector equation $\mathbf{r} = \begin{pmatrix}-2\\-4\\0\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$. Find the coordinates of the point where $l$ crosses the plane $z = 0$.
Answershow ▾
Set the $z$ component of the line equal to $0$ and solve for $\lambda$; substitute that $\lambda$ back into all three components to get the coordinates. This is part (c).
“Where $l$ crosses the plane $z = 0$”: which component do you set equal to $0$, what does solving it give you, and what still has to be done before you can write the answer? A student answers “$\lambda = 0$”. What has been left out?
"จุดที่ $l$ ตัดระนาบ $z = 0$": ต้องตั้งองค์ประกอบไหนให้เท่ากับ $0$ การแก้มันได้อะไรมา และต้องทำอะไรอีกก่อนจะเขียนคำตอบได้ · นักเรียนคนหนึ่งตอบว่า "$\lambda = 0$" · เขาขาดอะไรไป
Answershow ▾
The plane $z = 0$ is the set of points whose third coordinate is zero, so the equation to solve is the third one — and it is the only one that mentions the plane at all. What comes out is the value of the parameter, which is a step short of an answer: the question asked for coordinates. This is the same $\lambda$-is-not-the-answer trap as part (a), where the check also needed $\lambda$ put back. Here $\lambda = 0$ is unusually easy to mistake for a finished answer. The A1 is for the point.ระนาบ $z = 0$ คือเซตของจุดที่พิกัดที่สามเป็นศูนย์ สมการที่ต้องแก้จึงเป็นสมการที่สาม และเป็นสมการเดียวที่พูดถึงระนาบเลย · สิ่งที่ได้ออกมาคือค่าของตัวแปรเสริม ซึ่งยังขาดอีกขั้นกว่าจะเป็นคำตอบ เพราะโจทย์ถามพิกัด · นี่คือกับดัก "λ ไม่ใช่คำตอบ" อันเดียวกับข้อ (a) ที่การตรวจก็ต้องเอา $\lambda$ ใส่กลับไป · ที่นี่ $\lambda = 0$ ทำให้เข้าใจผิดว่าจบแล้วได้ง่ายเป็นพิเศษ · A1 ให้กับจุด
The line $l$ has vector equation $\mathbf{r} = \begin{pmatrix}-2\\-4\\0\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$, and the point $P$ has position vector $\begin{pmatrix}-6\\-8\\0\end{pmatrix}$. The line $m$ has direction vector $\mathbf{e} = \begin{pmatrix}-3\\k\\0\end{pmatrix}$. Determine whether $P$ lies on $l$, and, given that $l$ and $m$ are perpendicular, find $k$.
Answershow ▾
Questions 4 and 5 side by side — two independent sub-skills of the exam question, both using the line $l$.
The line $l$ has vector equation $\mathbf{r} = \begin{pmatrix}-2\\-4\\0\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$, and the point $P$ has position vector $\begin{pmatrix}-6\\-8\\0\end{pmatrix}$. Determine whether $P$ lies on $l$, and find the coordinates of the point where $l$ crosses the plane $z = 0$.
Answershow ▾
Questions 4 and 6 side by side — the SAME skill (solve for $\lambda$ from one component) used for two different purposes: once to test a given point, once to find a new one.
The line $l$ has vector equation $\mathbf{r} = \begin{pmatrix}1\\2\\6\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}1\\1\\-3\end{pmatrix}$. The point $P$ has position vector $\begin{pmatrix}2\\5\\3\end{pmatrix}$, and the line $m$ has direction vector $\mathbf{e} = \begin{pmatrix}2\\k\\1\end{pmatrix}$, where $k$ is a constant.
(a) Determine whether $P$ lies on $l$.
(b) Given that $l$ and $m$ are perpendicular, find $k$.
(c) Find the coordinates of the point where $l$ crosses the plane $z = 0$.
Answershow ▾
The exact same three parts as question 10, with easier numbers throughout.
The line $l$ has vector equation $\mathbf{r} = \begin{pmatrix}-2\\-4\\0\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$. The point $P$ has position vector $\begin{pmatrix}-6\\-8\\0\end{pmatrix}$, and the line $m$ has direction vector $\mathbf{e} = \begin{pmatrix}-3\\k\\0\end{pmatrix}$, where $k$ is a constant.
(a) Determine whether $P$ lies on $l$.
(b) Given that $l$ and $m$ are perpendicular, find the value of $k$.
(c) Find the coordinates of the point where $l$ crosses the plane $z = 0$.
Answershow ▾
7 marks. Question 4 is part (a); question 5 is part (b); question 6 is part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 $l \perp m \Rightarrow \mathbf{d}\cdot\mathbf{e} = 0$: $2(-3) + 2k + -1(0) = 0$ A1 $k = 3$.
(c) M1 set the $z$ component to $0$: $0 + -1\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 0$ A1 point $= (-2, -4, 0)$.