Vectors · practice ladders ชุดไต่ระดับ · เวกเตอร์
Each set starts from one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill. Question 10 IS the exam question. แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แล้วแยกออกเป็นสเต็ปย่อยๆ จากนั้นไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ อย่างเดียว ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงข้อนั้นเลย
Vectors · a triangle in three dimensions
Points $A$, $B$ and $C$ have position vectors $\mathbf{a} = \begin{pmatrix}0\\1\\-3\end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix}4\\-3\\-1\end{pmatrix}$ and $\mathbf{c} = \begin{pmatrix}-4\\0\\-1\end{pmatrix}$ respectively.
(a) Find $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{AC}$.
(b) Find the size of angle $BAC$, giving your answer correct to 1 decimal place.
(c) Hence find the exact area of triangle $ABC$.
Point $A$ has position vector $\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}$ and point $B$ has position vector $\begin{pmatrix}-3\\-2\\-1\end{pmatrix}$. Find $\overrightarrow{AB}$.
จุด $A$ มีเวกเตอร์ตำแหน่ง $\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}$ และจุด $B$ มีเวกเตอร์ตำแหน่ง $\begin{pmatrix}-3\\-2\\-1\end{pmatrix}$ จงหา $\overrightarrow{AB}$
Answershow ▾
$\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ — the vector FROM $A$ TO $B$ is always 'end minus start'. Get this backwards and every angle later comes out wrong.
Find the angle between the vectors $\mathbf{u} = \begin{pmatrix}-2\\3\\-2\end{pmatrix}$ and $\mathbf{v} = \begin{pmatrix}-1\\1\\-4\end{pmatrix}$, giving your answer correct to 1 decimal place.
จงหามุมระหว่างเวกเตอร์ $\mathbf{u} = \begin{pmatrix}-2\\3\\-2\end{pmatrix}$ และ $\mathbf{v} = \begin{pmatrix}-1\\1\\-4\end{pmatrix}$ ให้คำตอบถูกต้อง 1 ตำแหน่งทศนิยม
Answershow ▾
$\cos\theta = \dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}$ — unlike the acute angle between two lines, there is no modulus sign here: this angle is free to come out obtuse, and often does.
Triangle $PQR$ has $PQ = 3$, $PR = 10$, and angle $QPR = 45^\circ$. Find the exact area of the triangle.
สามเหลี่ยม $PQR$ มี $PQ = 3$, $PR = 10$ และมุม $QPR = 45^\circ$ จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมในรูปที่แน่นอน
Answershow ▾
Area $= \dfrac{1}{2} \times PQ \times PR \times \sin(\angle QPR)$ — this is exactly the formula question 6 is built on, just with the two sides and the angle between them given directly instead of found from vectors first.
$\overrightarrow{AB}$ is one subtraction and there are two ways round. Write both $\mathbf{b} - \mathbf{a}$ and $\mathbf{a} - \mathbf{b}$ for these points, say which one is $\overrightarrow{AB}$, and say what the other one is called.
$\overrightarrow{AB}$ คือการลบหนึ่งครั้ง และลบได้สองทาง · จงเขียนทั้ง $\mathbf{b} - \mathbf{a}$ และ $\mathbf{a} - \mathbf{b}$ สำหรับจุดเหล่านี้ บอกว่าอันไหนคือ $\overrightarrow{AB}$ และอีกอันเรียกว่าอะไร
Answershow ▾
The letters read left to right: $AB$ goes FROM $A$ TO $B$, so the finish comes first in the subtraction. Get it backwards and every component changes sign, which reverses the arrow — and in part (b) that turns the angle into its supplement. Both vectors here have to start at $A$, because $A$ is where the angle is measured. The B1 pays for the two vectors; nothing pays for the direction convention that produced them.ตัวอักษรอ่านจากซ้ายไปขวา: $AB$ วิ่งจาก $A$ ไป $B$ ปลายทางจึงมาก่อนในการลบ · ถ้าทำกลับด้าน ทุกองค์ประกอบจะเปลี่ยนเครื่องหมาย ซึ่งกลับทิศของลูกศร และในข้อ (b) จะเปลี่ยนมุมเป็นมุมประกอบสองมุมฉาก · เวกเตอร์ทั้งสองที่นี่ต้องเริ่มจาก $A$ เพราะ $A$ คือจุดที่วัดมุม · B1 ให้กับเวกเตอร์สองตัว ไม่มีคะแนนให้กับข้อตกลงเรื่องทิศที่ทำให้ได้มันมา
Points $A$, $B$ and $C$ have position vectors $\mathbf{a} = \begin{pmatrix}0\\1\\-3\end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix}4\\-3\\-1\end{pmatrix}$ and $\mathbf{c} = \begin{pmatrix}-4\\0\\-1\end{pmatrix}$. Find $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{AC}$.
Answershow ▾
Same move as question 1, done twice — both vectors measured FROM $A$, the vertex where the angle will be measured. This is part (a).
$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4\\-4\\2\end{pmatrix}$ and $\overrightarrow{AC}$ $= \begin{pmatrix}$ $-4\\-1\\2\end{pmatrix}$. Find the size of angle $BAC$, correct to 1 decimal place.
Answershow ▾
Same move as question 2, using $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{AC}$ specifically — both vectors point AWAY from $A$, the vertex of the angle. This is part (b).
Two scalar-product formulas look almost identical. Which one gives angle $BAC$, and which gives the acute angle between two LINES?
(A) $\cos\theta = \dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}$ (B) $\cos\theta = \dfrac{\left|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\right|}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}$
Then say what formula (B) would have given here, and what the true angle is.
สูตรผลคูณสเกลาร์สองสูตรหน้าตาเกือบเหมือนกัน · สูตรไหนให้มุม $BAC$ และสูตรไหนให้มุมแหลมระหว่าง "เส้นตรง" สองเส้น
(A) $\cos\theta = \dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}$ (B) $\cos\theta = \dfrac{\left|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\right|}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}$
แล้วบอกว่าสูตร (B) จะให้ค่าอะไรที่นี่ และมุมจริงคือเท่าไร
Answershow ▾
The angle of a triangle at a named vertex is whatever it is, and it is allowed to be obtuse — here the scalar product is negative and that negative sign is the information. Modulus bars would throw it away and return the acute partner, $73.1^\circ$, a number that fits comfortably in a triangle and is simply not angle $BAC$. The bars belong to lines, which have no direction and so no obtuse angle. The A1 is for $106.9^\circ$; nothing pays for choosing the formula without the bars.มุมของสามเหลี่ยมที่จุดยอดที่ระบุชื่อไว้ เป็นเท่าไรก็เป็นเท่านั้น และเป็นมุมป้านได้ · ที่นี่ผลคูณสเกลาร์ติดลบ และเครื่องหมายลบนั้นคือข้อมูล · ขีดค่าสัมบูรณ์จะทิ้งมันไปแล้วคืนมุมแหลมคู่ของมันคือ $73.1^\circ$ ซึ่งเป็นตัวเลขที่ใส่ในสามเหลี่ยมได้สบาย ๆ และไม่ใช่มุม $BAC$ · ขีดนั้นเป็นของ "เส้นตรง" ซึ่งไม่มีทิศ จึงไม่มีมุมป้าน · A1 ให้กับ $106.9^\circ$ ไม่มีคะแนนให้กับการเลือกสูตรที่ไม่มีขีด
$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4\\-4\\2\end{pmatrix}$ and $\overrightarrow{AC}$ $= \begin{pmatrix}$ $-4\\-1\\2\end{pmatrix}$, and angle $BAC = 106.9^\circ$ (found in question 5). Find the exact area of triangle $ABC$, using Area $= \dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\sin(\angle BAC)$.
Answershow ▾
Work from the unrounded value of $\cos(\angle BAC)$ (or straight from $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{AC}$) rather than the rounded $106.9^\circ$ from question 5 — rounding the angle first and then taking its sine throws away accuracy. This is part (c).
Part (c) asks for the exact area, and $\sin(106.9^\circ)$ is a rounded input. Compute the area twice — once from the rounded $106.9^\circ$ and once from the unrounded $\cos\theta = \dfrac{-8}{6\sqrt{21}}$ — and say which one can be written as $\sqrt{173}$.
ข้อ (c) ถามพื้นที่แบบ exact และ $\sin(106.9^\circ)$ เป็นค่าที่ปัดมาแล้ว · จงคำนวณพื้นที่สองครั้ง ครั้งหนึ่งจาก $106.9^\circ$ ที่ปัดแล้ว และอีกครั้งจาก $\cos\theta = \dfrac{-8}{6\sqrt{21}}$ ที่ยังไม่ปัด · แล้วบอกว่าค่าไหนเขียนเป็น $\sqrt{173}$ ได้
Answershow ▾
An answer asked for exactly cannot be built out of a rounded intermediate: the moment $106.9^\circ$ is used, the result is a decimal that no surd will match, and $\sqrt{173}$ becomes unreachable rather than merely inaccurate. Part (b) rounded because it was told to; part (c) has to reach back past that rounding to the value still in the calculator. The A1 is for $\sqrt{173}$, and the decision to ignore your own previous answer is what makes it possible.คำตอบที่ถูกขอแบบ exact สร้างจากค่ากลางที่ปัดแล้วไม่ได้: ทันทีที่ใช้ $106.9^\circ$ ผลลัพธ์จะเป็นทศนิยมที่ไม่มีรากที่สองตัวไหนตรงพอดี และ $\sqrt{173}$ จะไปไม่ถึงเลย ไม่ใช่แค่คลาดเคลื่อน · ข้อ (b) ปัดเพราะโจทย์สั่ง ส่วนข้อ (c) ต้องย้อนข้ามการปัดนั้นกลับไปหาค่าที่ยังอยู่ในเครื่องคิดเลข · A1 ให้กับ $\sqrt{173}$ และการตัดสินใจไม่ใช้คำตอบของตัวเองในข้อก่อนหน้าคือสิ่งที่ทำให้ไปถึงได้
Points $A$, $B$, $C$ have position vectors $\mathbf{a} = \begin{pmatrix}0\\1\\-3\end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix}4\\-3\\-1\end{pmatrix}$, $\mathbf{c} = \begin{pmatrix}-4\\0\\-1\end{pmatrix}$. Find $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{AC}$, and hence find the size of angle $BAC$, correct to 1 decimal place.
Answershow ▾
Questions 4 and 5 chained: find both vectors first, then feed them straight into the cosine formula. This is parts (a) and (b) together.
For the same triangle, $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4\\-4\\2\end{pmatrix}$ and $\overrightarrow{CA} = \begin{pmatrix}4\\1\\-2\end{pmatrix}$ (note that $\overrightarrow{CA}$ points from $C$ TO $A$, not away from $A$). A student uses $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{CA}$ in the cosine formula by mistake, instead of $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{AC}$. What angle do they get, and how does it relate to the true angle $BAC = 106.9^\circ$?
สำหรับสามเหลี่ยมเดิม นักเรียนใช้ $\overrightarrow{AB}$ และ $\overrightarrow{CA}$ ในสูตรโคไซน์โดยผิดพลาด แทนที่จะใช้ $\overrightarrow{AB}$ และ $\overrightarrow{AC}$ จะได้มุมใด และมุมนี้สัมพันธ์กับมุม $BAC$ ที่แท้จริงอย่างไร
Answershow ▾
Both vectors in the cosine formula must point AWAY from the vertex of the angle. $\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}$, so it points towards $A$, not away from it — this flips the sign of the dot product and of the cosine, turning the true angle into its supplement. This is the single most common mistake in this question type.
Points $A$, $B$, $C$ have position vectors $\mathbf{a} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}$, $\mathbf{c} = \begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}$.
(a) Find $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{AC}$.
(b) Find angle $BAC$, correct to 1 decimal place.
(c) Hence find the exact area of triangle $ABC$.
Answershow ▾
The exact same three parts as question 10, with easier numbers throughout — here $A$, $B$, $C$ form a 3-4-5 right triangle, so everything comes out clean.
Points $A$, $B$ and $C$ have position vectors $\mathbf{a} = \begin{pmatrix}0\\1\\-3\end{pmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{pmatrix}4\\-3\\-1\end{pmatrix}$ and $\mathbf{c} = \begin{pmatrix}-4\\0\\-1\end{pmatrix}$ respectively.
(a) Find $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{AC}$.
(b) Find the size of angle $BAC$, giving your answer correct to 1 decimal place.
(c) Hence find the exact area of triangle $ABC$.
Answershow ▾
7 marks. Question 4 is part (a); question 5 is part (b); question 6 is part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Vectors · a point on a line, and perpendicularity
The line $l$ has vector equation $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}-2\\-4\\0\end{pmatrix}$ $+ \lambda \begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$. The point $P$ has position vector $\begin{pmatrix}-6\\-8\\0\end{pmatrix}$, and the line $m$ has direction vector $\mathbf{e} = \begin{pmatrix}-3\\k\\0\end{pmatrix}$, where $k$ is a constant.
(a) Determine whether $P$ lies on $l$.
(b) Given that $l$ and $m$ are perpendicular, find the value of $k$.
(c) Find the coordinates of the point where $l$ crosses the plane $z = 0$.
The line $l$ has vector equation $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}-3\\4\\-1\end{pmatrix}$ $+ \lambda \begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$. The point $Q$ has position vector $\begin{pmatrix}-5\\0\\1\end{pmatrix}$. Determine whether $Q$ lies on $l$.
เส้นตรง $l$: $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}-3\\4\\-1\end{pmatrix}$ $+ \lambda \begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ จุด $Q$ มี เวกเตอร์ตำแหน่ง $\begin{pmatrix}-5\\0\\1\end{pmatrix}$ จงพิจารณาว่า $Q$ อยู่บน $l$ หรือไม่
Answershow ▾
Find $\lambda$ from one component, then use that SAME $\lambda$ to check the other two — the check is what earns the mark, not just finding $\lambda$.
The line $l$ has vector equation $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}-4\\-1\\4\end{pmatrix}$ $+ \lambda \begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}$. The point $R$ has position vector $\begin{pmatrix}-6\\0\\6\end{pmatrix}$. Determine whether $R$ lies on $l$.
เส้นตรง $l$: $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}-4\\-1\\4\end{pmatrix}$ $+ \lambda \begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}$ จุด $R$ มี เวกเตอร์ตำแหน่ง $\begin{pmatrix}-6\\0\\6\end{pmatrix}$ จงพิจารณาว่า $R$ อยู่บน $l$ หรือไม่
Answershow ▾
Exactly the same method as question 1 — but this time the check catches a point that only LOOKS like it could be on the line.
Line $l$ has direction vector $\mathbf{d} = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$. Line $m$ has direction vector $\mathbf{e} = \begin{pmatrix}2\\k\\4\end{pmatrix}$. Given that $l$ and $m$ are perpendicular, find $k$.
เส้นตรง $l$ มีเวกเตอร์ทิศทาง $\mathbf{d} = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ และเส้นตรง $m$ มีเวกเตอร์ทิศทาง $\mathbf{e} = \begin{pmatrix}2\\k\\4\end{pmatrix}$ กำหนดให้ $l$ และ $m$ ตั้งฉากกัน จงหาค่า $k$
Answershow ▾
Perpendicular directions have zero scalar product: set $\mathbf{d}\cdot\mathbf{e} = 0$ and solve the resulting linear equation for $k$.
“Determine whether $P$ lies on $l$” is a yes-or-no question with a method. How many component equations must agree, how many do you use to FIND $\lambda$, and what do you do with the rest? Say what a student proves by solving the $x$ component alone.
"determine whether $P$ lies on $l$" เป็นคำถามใช่หรือไม่ใช่ ที่มีวิธีของมัน · ต้องมีสมการองค์ประกอบกี่สมการที่ตรงกัน ใช้กี่สมการเพื่อ "หา" $\lambda$ และที่เหลือเอาไปทำอะไร · บอกด้วยว่านักเรียนที่แก้เฉพาะองค์ประกอบ $x$ พิสูจน์อะไรได้
Answershow ▾
A single component can always be matched by choosing $\lambda$ to suit it, so it carries no information at all — every point in space agrees with some point of $l$ in one coordinate. The proof is that the SAME $\lambda$ works in all three. Here it fails in the third, so the answer is no, and the reason must be stated. Solving each component for its own $\lambda$ and getting different values is the same discovery written less clearly. The marks are for the conclusion with its check; deciding what counts as a check is unpaid.องค์ประกอบเดียวจับคู่ได้เสมอด้วยการเลือก $\lambda$ ให้พอดี มันจึงไม่มีข้อมูลอะไรเลย เพราะทุกจุดในปริภูมิตรงกับจุดใดจุดหนึ่งบน $l$ ในพิกัดหนึ่งพิกัดอยู่แล้ว · การพิสูจน์คือ $\lambda$ "ตัวเดียวกัน" ใช้ได้ครบทั้งสาม · ที่นี่มันล้มเหลวที่ตัวที่สาม คำตอบจึงเป็นไม่ใช่ และต้องบอกเหตุผลด้วย · การแก้แต่ละองค์ประกอบหา $\lambda$ ของตัวเองแล้วได้ค่าต่างกัน คือการค้นพบเดียวกันที่เขียนได้ชัดน้อยกว่า · คะแนนให้กับข้อสรุปพร้อมการตรวจ การตัดสินว่าอะไรนับเป็นการตรวจไม่มีคะแนน
The line $l$ has vector equation $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}-2\\-4\\0\end{pmatrix}$ $+ \lambda \begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$. The point $P$ has position vector $\begin{pmatrix}-6\\-8\\0\end{pmatrix}$. Determine whether $P$ lies on $l$.
Answershow ▾
Same move as questions 1 and 2, with the real numbers from the exam question. This is part (a).
Line $l$ has direction vector $\mathbf{d} = \begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$. Line $m$ has direction vector $\mathbf{e} = \begin{pmatrix}-3\\k\\0\end{pmatrix}$. Given that $l$ and $m$ are perpendicular, find $k$.
Answershow ▾
Same move as question 3. This is part (b).
Two directions can be related in three ways. Match each to its test:
(i) perpendicular · (ii) parallel · (iii) neither
(A) one is a scalar multiple of the other (B) the scalar product is $0$ (C) neither of those holds
Then say which test part (b) uses, and how many equations it gives you for $k$.
ทิศทางสองทิศสัมพันธ์กันได้สามแบบ · จงจับคู่กับการทดสอบ
(i) ตั้งฉาก · (ii) ขนาน · (iii) ไม่ใช่ทั้งสอง
(A) ตัวหนึ่งเป็นพหุคูณสเกลาร์ของอีกตัว (B) ผลคูณสเกลาร์เป็น $0$ (C) ไม่เข้าทั้งสองข้อ
แล้วบอกว่าข้อ (b) ใช้การทดสอบไหน และมันให้สมการสำหรับ $k$ กี่สมการ
Answershow ▾
Perpendicular is a single number condition and produces a single equation, which is exactly enough for the single unknown $k$. Parallel would be three conditions at once — each component in the same ratio — and would usually have no solution here. Reaching for the multiple test when the word is “perpendicular” produces a system that cannot be solved, and a student then assumes they have made an arithmetic mistake. The M1 pays for setting the scalar product to zero; nothing pays for knowing which of the two tests the word names."ตั้งฉาก" เป็นเงื่อนไขตัวเลขเดียวและให้สมการเดียว ซึ่งพอดีกับตัวไม่ทราบค่าตัวเดียวคือ $k$ · "ขนาน" จะเป็นเงื่อนไขสามข้อพร้อมกัน คือทุกองค์ประกอบมีอัตราส่วนเท่ากัน และมักไม่มีคำตอบที่นี่ · การหยิบการทดสอบเรื่องพหุคูณมาใช้ทั้งที่โจทย์เขียนว่า "perpendicular" จะได้ระบบที่แก้ไม่ได้ แล้วนักเรียนก็จะคิดว่าตัวเองคิดเลขผิด · M1 ให้กับการตั้งผลคูณสเกลาร์เท่ากับศูนย์ ไม่มีคะแนนให้กับการรู้ว่าคำนั้นเรียกการทดสอบไหน
Line $l$ has vector equation $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}-2\\-4\\0\end{pmatrix}$ $+ \lambda \begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$. Find the coordinates of the point where $l$ crosses the plane $z = 0$.
Answershow ▾
Set the $z$ component of the line equal to $0$ and solve for $\lambda$; substitute that $\lambda$ back into all three components to get the coordinates. This is part (c).
“Where $l$ crosses the plane $z = 0$”: which component do you set equal to $0$, what does solving it give you, and what still has to be done before you can write the answer? A student answers “$\lambda = 0$”. What has been left out?
"จุดที่ $l$ ตัดระนาบ $z = 0$": ต้องตั้งองค์ประกอบไหนให้เท่ากับ $0$ การแก้มันได้อะไรมา และต้องทำอะไรอีกก่อนจะเขียนคำตอบได้ · นักเรียนคนหนึ่งตอบว่า "$\lambda = 0$" · เขาขาดอะไรไป
Answershow ▾
The plane $z = 0$ is the set of points whose third coordinate is zero, so the equation to solve is the third one — and it is the only one that mentions the plane at all. What comes out is the value of the parameter, which is a step short of an answer: the question asked for coordinates. This is the same $\lambda$-is-not-the-answer trap as part (a), where the check also needed $\lambda$ put back. Here $\lambda = 0$ is unusually easy to mistake for a finished answer. The A1 is for the point.ระนาบ $z = 0$ คือเซตของจุดที่พิกัดที่สามเป็นศูนย์ สมการที่ต้องแก้จึงเป็นสมการที่สาม และเป็นสมการเดียวที่พูดถึงระนาบเลย · สิ่งที่ได้ออกมาคือค่าของตัวแปรเสริม ซึ่งยังขาดอีกขั้นกว่าจะเป็นคำตอบ เพราะโจทย์ถามพิกัด · นี่คือกับดัก "λ ไม่ใช่คำตอบ" อันเดียวกับข้อ (a) ที่การตรวจก็ต้องเอา $\lambda$ ใส่กลับไป · ที่นี่ $\lambda = 0$ ทำให้เข้าใจผิดว่าจบแล้วได้ง่ายเป็นพิเศษ · A1 ให้กับจุด
The line $l$ has vector equation $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}-2\\-4\\0\end{pmatrix}$ $+ \lambda \begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$, and the point $P$ has position vector $\begin{pmatrix}-6\\-8\\0\end{pmatrix}$. The line $m$ has direction vector $\mathbf{e} = \begin{pmatrix}-3\\k\\0\end{pmatrix}$. Determine whether $P$ lies on $l$, and, given that $l$ and $m$ are perpendicular, find $k$.
Answershow ▾
Questions 4 and 5 side by side — two independent sub-skills of the exam question, both using the line $l$.
The line $l$ has vector equation $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}-2\\-4\\0\end{pmatrix}$ $+ \lambda \begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$, and the point $P$ has position vector $\begin{pmatrix}-6\\-8\\0\end{pmatrix}$. Determine whether $P$ lies on $l$, and find the coordinates of the point where $l$ crosses the plane $z = 0$.
Answershow ▾
Questions 4 and 6 side by side — the SAME skill (solve for $\lambda$ from one component) used for two different purposes: once to test a given point, once to find a new one.
The line $l$ has vector equation $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}1\\2\\6\end{pmatrix}$ $+ \lambda \begin{pmatrix}1\\1\\-3\end{pmatrix}$. The point $P$ has position vector $\begin{pmatrix}2\\5\\3\end{pmatrix}$, and the line $m$ has direction vector $\mathbf{e} = \begin{pmatrix}2\\k\\1\end{pmatrix}$, where $k$ is a constant.
(a) Determine whether $P$ lies on $l$.
(b) Given that $l$ and $m$ are perpendicular, find $k$.
(c) Find the coordinates of the point where $l$ crosses the plane $z = 0$.
Answershow ▾
The exact same three parts as question 10, with easier numbers throughout.
The line $l$ has vector equation $\mathbf{r}$ $= \begin{pmatrix}-2\\-4\\0\end{pmatrix}$ $+ \lambda \begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$. The point $P$ has position vector $\begin{pmatrix}-6\\-8\\0\end{pmatrix}$, and the line $m$ has direction vector $\mathbf{e} = \begin{pmatrix}-3\\k\\0\end{pmatrix}$, where $k$ is a constant.
(a) Determine whether $P$ lies on $l$.
(b) Given that $l$ and $m$ are perpendicular, find the value of $k$.
(c) Find the coordinates of the point where $l$ crosses the plane $z = 0$.
Answershow ▾
7 marks. Question 4 is part (a); question 5 is part (b); question 6 is part (c).
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A position vector fixed by perpendicularity เวกเตอร์บอกตำแหน่งที่กำหนดด้วยเงื่อนไขตั้งฉาก
With respect to a fixed origin $O$, the point $A$ has position vector$$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}3\\2\\-5\end{pmatrix}.$$Given that$$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}$$
(a) Find the coordinates of the point $B$.
(b) The point $C$ has position vector $\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}a\\5\\-1\end{pmatrix}$ where $a$ is a constant. Given that $\overrightarrow{OC}$ is perpendicular to $\overrightarrow{BC}$, find the possible values of $a$.
เทียบกับจุดกำเนิด (origin) $O$ จุด $A$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง (position vector)$$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}3\\2\\-5\end{pmatrix}$$กำหนดว่า$$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}$$
(ก) จงหาพิกัดของจุด $B$
(ข) จุด $C$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}a\\5\\-1\end{pmatrix}$ เมื่อ $a$ เป็นค่าคงที่ กำหนดว่า $\overrightarrow{OC}$ ตั้งฉาก (perpendicular) กับ $\overrightarrow{BC}$ จงหาค่าที่เป็นไปได้ของ $a$
$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}3\\2\\-5\end{pmatrix}$ and $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}$. Find $\overrightarrow{OB}$.
$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}3\\2\\-5\end{pmatrix}$ และ $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}$ จงหา $\overrightarrow{OB}$
Answershow ▾
Add one component at a time.บวกทีละองค์ประกอบ
Find $\begin{pmatrix}5\\1\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\4\\-1\end{pmatrix}$.
จงหา $\begin{pmatrix}5\\1\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\4\\-1\end{pmatrix}$
Answershow ▾
Subtract one component at a time, in order.ลบทีละองค์ประกอบ ตามลำดับ
Find $\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\1\\-2\end{pmatrix}$.
จงหา $\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\1\\-2\end{pmatrix}$
Answershow ▾
Multiply matching components, then add the three results.คูณองค์ประกอบที่ตรงกัน แล้วบวกผลคูณทั้งสามเข้าด้วยกัน
$\overrightarrow{OC}$ is perpendicular to $\overrightarrow{BC}$. Pick the condition to write.
(A) $\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{BC}=0$
(B) $\overrightarrow{OC}\times\overrightarrow{BC}=0$
(C) $\left|\overrightarrow{OC}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|$
$\overrightarrow{OC}$ ตั้งฉาก (perpendicular) กับ $\overrightarrow{BC}$ จงเลือกเงื่อนไขที่ถูกต้อง
(A) $\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{BC}=0$
(B) $\overrightarrow{OC}\times\overrightarrow{BC}=0$
(C) $\left|\overrightarrow{OC}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|$
Answershow ▾
(B) a zero cross product is the test for two vectors being PARALLEL, not perpendicular. (C) equal lengths describe an isosceles triangle, which has nothing to do with the angle between the vectors.(B) ผลคูณไขว้เป็นศูนย์คือเงื่อนไขของเวกเตอร์ที่ขนานกัน ไม่ใช่ตั้งฉาก · (C) ขนาดเท่ากันเป็นเงื่อนไขของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ไม่เกี่ยวกับมุมระหว่างเวกเตอร์
$\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}a\\5\\-1\end{pmatrix}$ and $\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}5\\6\\-2\end{pmatrix}$. Find $\overrightarrow{BC}$.
$\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}a\\5\\-1\end{pmatrix}$ และ $\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}5\\6\\-2\end{pmatrix}$ จงหา $\overrightarrow{BC}$
Answershow ▾
$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$.$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$
Write $\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{BC}=0$ using $\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}a\\5\\-1\end{pmatrix}$ and $\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}a-5\\-1\\1\end{pmatrix}$.
จงเขียน $\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{BC}=0$ โดยใช้ $\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}a\\5\\-1\end{pmatrix}$ และ $\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}a-5\\-1\\1\end{pmatrix}$
Answershow ▾
Multiply matching components, add, set the sum to $0$.คูณองค์ประกอบที่ตรงกัน บวกกัน แล้วให้ผลรวมเป็น $0$
Expand $a(a-5)+5(-1)+(-1)(1)=0$ to a quadratic in $a$.
จงกระจาย $a(a-5)+5(-1)+(-1)(1)=0$ ให้เป็นสมการกำลังสองใน $a$
Answershow ▾
$a(a-5)=a^{2}-5a$, then collect the constants.$a(a-5)=a^{2}-5a$ แล้วรวมพจน์คงที่
Solve $a^{2}-5a-6=0$.
จงแก้สมการ $a^{2}-5a-6=0$
Answershow ▾
Two numbers that multiply to $-6$ and add to $-5$.หาสองจำนวนที่คูณกันได้ $-6$ และบวกกันได้ $-5$
Check $a=6$: with $\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}6\\5\\-1\end{pmatrix}$ and $\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$, is $\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{BC}=0$?
ตรวจ $a=6$: เมื่อ $\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}6\\5\\-1\end{pmatrix}$ และ $\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ ค่า $\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{BC}$ เป็น $0$ หรือไม่
Answershow ▾
A value that makes the scalar product $0$ fits the perpendicular condition.ค่าที่ทำให้ผลคูณสเกลาร์เป็น $0$ ตรงกับเงื่อนไขตั้งฉาก
$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}$ and $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\2\\-6\end{pmatrix}$. Given that $\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}a\\1\\2\end{pmatrix}$ is perpendicular to $\overrightarrow{BC}$, find the possible values of $a$.
$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}$ และ $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\2\\-6\end{pmatrix}$ กำหนดว่า $\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}a\\1\\2\end{pmatrix}$ ตั้งฉากกับ $\overrightarrow{BC}$ จงหาค่าที่เป็นไปได้ของ $a$
Answershow ▾
Same four moves: add to find $B$, subtract for $BC$, dot product $=0$, solve the quadratic.สี่ขั้นเดิม: บวกหา $B$ ลบหา $BC$ สเกลาร์โปรดักต์เท่ากับ $0$ แก้สมการกำลังสอง
With respect to a fixed origin $O$, the point $A$ has position vector$$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}3\\2\\-5\end{pmatrix}.$$Given that$$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}$$
(a) Find the coordinates of the point $B$.
(b) The point $C$ has position vector $\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}a\\5\\-1\end{pmatrix}$ where $a$ is a constant. Given that $\overrightarrow{OC}$ is perpendicular to $\overrightarrow{BC}$, find the possible values of $a$.
เทียบกับจุดกำเนิด (origin) $O$ จุด $A$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง (position vector)$$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}3\\2\\-5\end{pmatrix}$$กำหนดว่า$$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix}$$
(ก) จงหาพิกัดของจุด $B$
(ข) จุด $C$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}a\\5\\-1\end{pmatrix}$ เมื่อ $a$ เป็นค่าคงที่ กำหนดว่า $\overrightarrow{OC}$ ตั้งฉาก (perpendicular) กับ $\overrightarrow{BC}$ จงหาค่าที่เป็นไปได้ของ $a$
Answershow ▾
6 marks: 2 for $B$, 4 for the quadratic in $a$ and its solution.6 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับ $B$ 4 คะแนนสำหรับสมการกำลังสองใน $a$ และคำตอบ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A triangle from two vectors, and its angle สามเหลี่ยมจากเวกเตอร์สองตัว แล้วหามุม
The diagram shows a sketch of triangle $PQR$.$$\overrightarrow{PQ}=2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+4\mathbf{k},\qquad\overrightarrow{PR}=8\mathbf{i}-5\mathbf{j}+3\mathbf{k}.$$
(a) Find $\overrightarrow{RQ}$.
(b) Find the size of angle $PQR$, in degrees, to three significant figures.
รูปแสดงภาพร่างของสามเหลี่ยม $PQR$ $$\overrightarrow{PQ}=2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+4\mathbf{k},\qquad\overrightarrow{PR}=8\mathbf{i}-5\mathbf{j}+3\mathbf{k}$$
(ก) จงหา $\overrightarrow{RQ}$
(ข) จงหาขนาดของมุม $PQR$ เป็นองศา ทศนิยม 3 ตำแหน่งที่มีนัยสำคัญ (3 s.f.)
Find $(5\mathbf{i}-2\mathbf{j}+3\mathbf{k})-(1\mathbf{i}+4\mathbf{j}-2\mathbf{k})$.
จงหา $(5\mathbf{i}-2\mathbf{j}+3\mathbf{k})-(1\mathbf{i}+4\mathbf{j}-2\mathbf{k})$
Answershow ▾
Subtract one component at a time, in order.ลบทีละองค์ประกอบ ตามลำดับ
Find $(1\mathbf{i}+2\mathbf{j}-3\mathbf{k})\cdot(4\mathbf{i}-1\mathbf{j}+2\mathbf{k})$.
จงหา $(1\mathbf{i}+2\mathbf{j}-3\mathbf{k})\cdot(4\mathbf{i}-1\mathbf{j}+2\mathbf{k})$
Answershow ▾
Multiply matching components, then add the three results.คูณองค์ประกอบที่ตรงกัน แล้วบวกผลคูณทั้งสามเข้าด้วยกัน
Find $\left|2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+6\mathbf{k}\right|$.
จงหา $\left|2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+6\mathbf{k}\right|$
Answershow ▾
Square each component, add, then square-root.ยกกำลังสองแต่ละองค์ประกอบ บวกกัน แล้วถอดราก
Angle $PQR$ is the angle AT vertex $Q$. Pick which two vectors to use in the scalar-product formula.
(A) $\overrightarrow{PQ}$ and $\overrightarrow{RQ}$, both pointing into $Q$
(B) $\overrightarrow{PQ}$ and $\overrightarrow{PR}$, both starting at $P$
(C) $\overrightarrow{PQ}$ and $\overrightarrow{QR}$
มุม $PQR$ คือมุมที่จุด $Q$ จงเลือกเวกเตอร์สองตัวที่ใช้ในสูตรผลคูณสเกลาร์
(A) $\overrightarrow{PQ}$ และ $\overrightarrow{RQ}$ ซึ่งทั้งสองพุ่งเข้าหา $Q$
(B) $\overrightarrow{PQ}$ และ $\overrightarrow{PR}$ ซึ่งทั้งสองเริ่มที่ $P$
(C) $\overrightarrow{PQ}$ และ $\overrightarrow{QR}$
Answershow ▾
(B) starts both vectors at $P$, so the formula gives angle $QPR$, a different vertex. (C) has $\overrightarrow{QR}$ pointing AWAY from $Q$, which flips the sign and gives $66.0^{\circ}$, not $114^{\circ}$.(B) ใช้เวกเตอร์ที่เริ่มที่ $P$ ทั้งคู่ สูตรผลคูณสเกลาร์จึงให้มุมที่จุด $P$ (มุม $QPR$) ซึ่งเป็นจุดยอดคนละจุด · (C) $\overrightarrow{QR}$ พุ่งออกจาก $Q$ ทำให้ผลคูณสเกลาร์เปลี่ยนเครื่องหมาย ได้มุมประกอบ $66.0^{\circ}$ ไม่ใช่ $114^{\circ}$
$\overrightarrow{PQ}=2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+4\mathbf{k}$ and $\overrightarrow{PR}=8\mathbf{i}-5\mathbf{j}+3\mathbf{k}$. Find $\overrightarrow{RQ}$.
$\overrightarrow{PQ}=2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+4\mathbf{k}$ และ $\overrightarrow{PR}=8\mathbf{i}-5\mathbf{j}+3\mathbf{k}$ จงหา $\overrightarrow{RQ}$
Answershow ▾
$\overrightarrow{RQ}=\overrightarrow{PQ}-\overrightarrow{PR}$.$\overrightarrow{RQ}=\overrightarrow{PQ}-\overrightarrow{PR}$
Find $\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{RQ}$.
จงหา $\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{RQ}$
Answershow ▾
$(2)(-6)+(-3)(2)+(4)(1)$.$(2)(-6)+(-3)(2)+(4)(1)$
Find $\left|\overrightarrow{PQ}\right|$ and $\left|\overrightarrow{RQ}\right|$.
จงหา $\left|\overrightarrow{PQ}\right|$ และ $\left|\overrightarrow{RQ}\right|$
Answershow ▾
Square each component, add, then square-root - for each vector.ยกกำลังสองแต่ละองค์ประกอบ บวกกัน แล้วถอดราก - ทำกับเวกเตอร์ทั้งสองตัว
Use $\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{RQ}=-14$, $\left|\overrightarrow{PQ}\right|=\sqrt{29}$, $\left|\overrightarrow{RQ}\right|=\sqrt{41}$ to find angle $PQR$, to 3 s.f.
จงใช้ $\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{RQ}=-14$, $\left|\overrightarrow{PQ}\right|=\sqrt{29}$, $\left|\overrightarrow{RQ}\right|=\sqrt{41}$ หามุม $PQR$ ทศนิยม 3 ตำแหน่งที่มีนัยสำคัญ
Answershow ▾
Divide the scalar product by the product of the two lengths, then take $\arccos$.หารผลคูณสเกลาร์ด้วยผลคูณของขนาดทั้งสอง แล้วหา $\arccos$
Check: does $\cos(114^{\circ})$ match $\dfrac{-14}{\sqrt{29}\sqrt{41}}$?
ตรวจ: $\cos(114^{\circ})$ ตรงกับ $\dfrac{-14}{\sqrt{29}\sqrt{41}}$ หรือไม่
Answershow ▾
A value whose cosine matches fits the angle found.ค่าที่โคไซน์ตรงกัน ยืนยันว่ามุมที่หาได้ถูกต้อง
Triangle $PQR$ has $\overrightarrow{PQ}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}+2\mathbf{k}$ and $\overrightarrow{PR}=2\mathbf{i}-\mathbf{j}+2\mathbf{k}$. Find $\overrightarrow{RQ}$, then find angle $PQR$ to 3 s.f.
สามเหลี่ยม $PQR$ มี $\overrightarrow{PQ}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}+2\mathbf{k}$ และ $\overrightarrow{PR}=2\mathbf{i}-\mathbf{j}+2\mathbf{k}$ จงหา $\overrightarrow{RQ}$ แล้วหามุม $PQR$ ทศนิยม 3 ตำแหน่งที่มีนัยสำคัญ
Answershow ▾
Same three moves: subtract for $RQ$, scalar product, then $\arccos$.สามขั้นเดิม: ลบหา $RQ$ ผลคูณสเกลาร์ แล้ว $\arccos$
The diagram shows a sketch of triangle $PQR$.$$\overrightarrow{PQ}=2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+4\mathbf{k},\qquad\overrightarrow{PR}=8\mathbf{i}-5\mathbf{j}+3\mathbf{k}.$$
(a) Find $\overrightarrow{RQ}$.
(b) Find the size of angle $PQR$, in degrees, to three significant figures.
รูปแสดงภาพร่างของสามเหลี่ยม $PQR$ $$\overrightarrow{PQ}=2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+4\mathbf{k},\qquad\overrightarrow{PR}=8\mathbf{i}-5\mathbf{j}+3\mathbf{k}$$
(ก) จงหา $\overrightarrow{RQ}$
(ข) จงหาขนาดของมุม $PQR$ เป็นองศา ทศนิยม 3 ตำแหน่งที่มีนัยสำคัญ (3 s.f.)
Answershow ▾
5 marks: 2 for $RQ$, 3 for the angle.5 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับ $RQ$ 3 คะแนนสำหรับมุม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A parallelogram from two vectors: angle, then area สี่เหลี่ยมด้านขนานจากเวกเตอร์สองตัว: มุม แล้วพื้นที่
The diagram shows a sketch of parallelogram $ABCD$.$$\overrightarrow{AB}=6\mathbf{i}-2\mathbf{j}+3\mathbf{k}\quad\text{and}\quad\overrightarrow{BC}=2\mathbf{i}+5\mathbf{j}+8\mathbf{k}.$$
(a) Find the size of angle $ABC$, giving your answer in degrees, to 2 decimal places.
(b) Find the area of parallelogram $ABCD$, giving your answer to one decimal place.
รูปแสดงภาพร่างของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (parallelogram) $ABCD$ $$\overrightarrow{AB}=6\mathbf{i}-2\mathbf{j}+3\mathbf{k}\quad\text{และ}\quad\overrightarrow{BC}=2\mathbf{i}+5\mathbf{j}+8\mathbf{k}$$
(ก) จงหาขนาดของมุม $ABC$ เป็นองศา ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
(ข) จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน $ABCD$ ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Given $\overrightarrow{AB}=3\mathbf{i}-\mathbf{j}+4\mathbf{k}$, write $\overrightarrow{BA}$.
กำหนด $\overrightarrow{AB}=3\mathbf{i}-\mathbf{j}+4\mathbf{k}$ จงเขียน $\overrightarrow{BA}$
Answershow ▾
$\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$: flip the sign of every component.$\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$: กลับเครื่องหมายทุกองค์ประกอบ
Find $(2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+\mathbf{k})\cdot(4\mathbf{j}-2\mathbf{k})$.
จงหา $(2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+\mathbf{k})\cdot(4\mathbf{j}-2\mathbf{k})$
Answershow ▾
Multiply matching components, then add the three results.คูณองค์ประกอบที่ตรงกัน แล้วบวกผลคูณทั้งสามเข้าด้วยกัน
Find $\left|1\mathbf{i}+4\mathbf{j}+8\mathbf{k}\right|$.
จงหา $\left|1\mathbf{i}+4\mathbf{j}+8\mathbf{k}\right|$
Answershow ▾
Square each component, add, then square-root.ยกกำลังสองแต่ละองค์ประกอบ บวกกัน แล้วถอดราก
Angle $ABC$ is the angle AT vertex $B$. Pick which two vectors to use in the scalar-product formula.
(A) $\overrightarrow{BA}$ and $\overrightarrow{BC}$, both starting at $B$
(B) $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{BC}$
(C) assume $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|$, since $ABCD$ is a parallelogram
มุม $ABC$ คือมุมที่จุด $B$ จงเลือกเวกเตอร์สองตัวที่ใช้ในสูตรผลคูณสเกลาร์
(A) $\overrightarrow{BA}$ และ $\overrightarrow{BC}$ ซึ่งทั้งสองเริ่มที่ $B$
(B) $\overrightarrow{AB}$ และ $\overrightarrow{BC}$
(C) สมมติว่า $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|$ เพราะ $ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
Answershow ▾
(B) has $\overrightarrow{AB}$ pointing AWAY from $B$, which flips the sign and gives $67.3^{\circ}$, not $112.65^{\circ}$. (C) is false: a parallelogram does not generally have equal adjacent sides, and this gives no angle at all.(B) ให้ $\overrightarrow{AB}$ พุ่งออกจาก $B$ ทำให้ผลคูณสเกลาร์เปลี่ยนเครื่องหมาย ได้มุมประกอบ $67.3^{\circ}$ ไม่ใช่ $112.65^{\circ}$ · (C) ไม่จริง เพราะด้านประชิดของสี่เหลี่ยมด้านขนานไม่จำเป็นต้องเท่ากัน และไม่ให้มุมเลย
$\overrightarrow{AB}=6\mathbf{i}-2\mathbf{j}+3\mathbf{k}$. Find $\overrightarrow{BA}$.
$\overrightarrow{AB}=6\mathbf{i}-2\mathbf{j}+3\mathbf{k}$ จงหา $\overrightarrow{BA}$
Answershow ▾
$\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$.$\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{BC}=2\mathbf{i}+5\mathbf{j}+8\mathbf{k}$. Find $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$.
$\overrightarrow{BC}=2\mathbf{i}+5\mathbf{j}+8\mathbf{k}$ จงหา $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$
Answershow ▾
$(-6)(2)+(2)(5)+(-3)(8)$.$(-6)(2)+(2)(5)+(-3)(8)$
Find $\left|\overrightarrow{BA}\right|$ and $\left|\overrightarrow{BC}\right|$.
จงหา $\left|\overrightarrow{BA}\right|$ และ $\left|\overrightarrow{BC}\right|$
Answershow ▾
Square each component, add, then square-root - for each vector.ยกกำลังสองแต่ละองค์ประกอบ บวกกัน แล้วถอดราก - ทำกับเวกเตอร์ทั้งสองตัว
Use $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=-26$, $\left|\overrightarrow{BA}\right|=7$, $\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{93}$ to find angle $ABC$, to 2 d.p.
จงใช้ $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=-26$, $\left|\overrightarrow{BA}\right|=7$, $\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{93}$ หามุม $ABC$ ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answershow ▾
Divide the scalar product by the product of the two lengths, then take $\arccos$.หารผลคูณสเกลาร์ด้วยผลคูณของขนาดทั้งสอง แล้วหา $\arccos$
Use $\left|\overrightarrow{BA}\right|\left|\overrightarrow{BC}\right|\sin(\angle ABC)$ to find the area of $ABCD$, to 1 d.p.
จงใช้ $\left|\overrightarrow{BA}\right|\left|\overrightarrow{BC}\right|\sin(\angle ABC)$ หาพื้นที่ $ABCD$ ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
The area of a parallelogram is two adjacent sides times $\sin$ of the angle between them.พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน คือด้านประชิดสองด้าน คูณด้วย $\sin$ ของมุมระหว่างด้าน
Parallelogram $ABCD$ has $\overrightarrow{AB}=2\mathbf{i}-\mathbf{j}+2\mathbf{k}$ and $\overrightarrow{BC}=4\mathbf{i}+2\mathbf{j}+4\mathbf{k}$. Find angle $ABC$ to 2 d.p., then the area of $ABCD$ as a surd.
สี่เหลี่ยมด้านขนาน $ABCD$ มี $\overrightarrow{AB}=2\mathbf{i}-\mathbf{j}+2\mathbf{k}$ และ $\overrightarrow{BC}=4\mathbf{i}+2\mathbf{j}+4\mathbf{k}$ จงหามุม $ABC$ ทศนิยม 2 ตำแหน่ง แล้วหาพื้นที่ $ABCD$ ในรูปราก (surd)
Answershow ▾
Same four moves: negate for $BA$, scalar product, the two magnitudes, then $\cos$ and $\sin$.สี่ขั้นเดิม: กลับเครื่องหมายหา $BA$ ผลคูณสเกลาร์ ขนาดทั้งสอง แล้ว $\cos$ และ $\sin$
The diagram shows a sketch of parallelogram $ABCD$.$$\overrightarrow{AB}=6\mathbf{i}-2\mathbf{j}+3\mathbf{k}\quad\text{and}\quad\overrightarrow{BC}=2\mathbf{i}+5\mathbf{j}+8\mathbf{k}.$$
(a) Find the size of angle $ABC$, giving your answer in degrees, to 2 decimal places.
(b) Find the area of parallelogram $ABCD$, giving your answer to one decimal place.
รูปแสดงภาพร่างของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (parallelogram) $ABCD$ $$\overrightarrow{AB}=6\mathbf{i}-2\mathbf{j}+3\mathbf{k}\quad\text{และ}\quad\overrightarrow{BC}=2\mathbf{i}+5\mathbf{j}+8\mathbf{k}$$
(ก) จงหาขนาดของมุม $ABC$ เป็นองศา ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
(ข) จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน $ABCD$ ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
5 marks: 3 for the angle, 2 for the area.5 คะแนน: 3 คะแนนสำหรับมุม 2 คะแนนสำหรับพื้นที่
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two lines that do not meet and are not parallel เส้นตรงสองเส้นที่ไม่ตัดกันและไม่ขนาน
With respect to a fixed origin $O$, the equations of lines $l_1$ and $l_2$ are given by$$l_1:\ r=\begin{pmatrix}2\\8\\10\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\qquad\text{and}\qquad l_2:\ r=\begin{pmatrix}-4\\-1\\2\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}5\\4\\8\end{pmatrix}$$where $\lambda$ and $\mu$ are scalar parameters.
Prove that lines $l_1$ and $l_2$ are skew.
เทียบกับจุดกำเนิด $O$ เส้นตรง $l_1$ และ $l_2$ มีสมการ$$l_1:\ r=\begin{pmatrix}2\\8\\10\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\qquad\text{และ}\qquad l_2:\ r=\begin{pmatrix}-4\\-1\\2\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}5\\4\\8\end{pmatrix}$$เมื่อ $\lambda$ และ $\mu$ เป็นพารามิเตอร์สเกลาร์ (scalar parameter)
จงพิสูจน์ว่าเส้นตรง $l_1$ และ $l_2$ เบี้ยวกัน (skew)
$l_1: r=\begin{pmatrix}2\\8\\10\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}$ and $l_2: r=\begin{pmatrix}-4\\-1\\2\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}5\\4\\8\end{pmatrix}$. Write the equation from their $x$-coordinates.
$l_1: r=\begin{pmatrix}2\\8\\10\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}$ และ $l_2: r=\begin{pmatrix}-4\\-1\\2\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}5\\4\\8\end{pmatrix}$ จงเขียนสมการจากพิกัด $x$
Answershow ▾
Set the $x$-coordinate of $l_1$ equal to the $x$-coordinate of $l_2$.ให้พิกัด $x$ ของ $l_1$ เท่ากับพิกัด $x$ ของ $l_2$
Is $\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}$ a scalar multiple of $\begin{pmatrix}5\\4\\8\end{pmatrix}$?
$\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}$ เป็นเวกเตอร์ทิศทางเดียวกับ $\begin{pmatrix}5\\4\\8\end{pmatrix}$ คูณด้วยตัวเลขคงที่หรือไม่
Answershow ▾
Compare one pair of matching components at a time; one mismatch is enough.เทียบองค์ประกอบที่ตรงกันทีละคู่ พบไม่เท่ากันคู่เดียวก็เพียงพอ
Solve $p-3q=1$ and $p+q=9$ for $p$ and $q$.
จงแก้ $p-3q=1$ และ $p+q=9$ หา $p$ และ $q$
Answershow ▾
Subtract the first equation from the second to remove $p$.นำสมการที่สองลบด้วยสมการแรกเพื่อกำจัด $p$
To check whether $l_1$ and $l_2$ meet, pick the first step.
(A) equate the $x$- and $y$-coordinates, solve for $\lambda$ and $\mu$, then check the $z$-coordinate
(B) assume $\lambda=\mu$ and equate all three coordinates
(C) equate the two direction vectors, $\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\4\\8\end{pmatrix}$
เพื่อตรวจว่า $l_1$ และ $l_2$ ตัดกันหรือไม่ จงเลือกขั้นแรก
(A) ให้พิกัด $x$ และ $y$ เท่ากัน แก้หา $\lambda$ และ $\mu$ แล้วตรวจพิกัด $z$
(B) สมมติ $\lambda=\mu$ แล้วให้พิกัดทั้งสามเท่ากัน
(C) ให้เวกเตอร์ทิศทางทั้งสองเท่ากัน $\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\4\\8\end{pmatrix}$
Answershow ▾
(B) has no reason to assume $\lambda=\mu$: the two parameters are independent, with no reason to match. (C) tests whether the lines are PARALLEL - a different question from whether they MEET.(B) ไม่มีเหตุผลที่ต้องสมมติ $\lambda=\mu$ เพราะพารามิเตอร์ของสองเส้นเป็นอิสระจากกัน ไม่มีเหตุให้ค่าตรงกัน · (C) ตรวจว่าเส้นตรงขนานกันหรือไม่ ซึ่งเป็นคนละคำถามกับการตัดกัน และสมการนี้ก็เป็นเท็จอยู่แล้ว
Equate the $x$- and $y$-coordinates of $l_1$ and $l_2$.
จงให้พิกัด $x$ และ $y$ ของ $l_1$ และ $l_2$ เท่ากัน
Answershow ▾
One equation from each matching pair of coordinates.สมการหนึ่งจากพิกัดที่ตรงกันแต่ละคู่
Solve $2+\lambda=-4+5\mu$ and $8-2\lambda=-1+4\mu$ for $\lambda$ and $\mu$.
จงแก้ $2+\lambda=-4+5\mu$ และ $8-2\lambda=-1+4\mu$ หา $\lambda$ และ $\mu$
Answershow ▾
Rearrange each for $\lambda$ in terms of $\mu$, then set the two results equal.จัดแต่ละสมการให้อยู่ในรูปของ $\mu$ แล้วให้สองผลลัพธ์เท่ากัน
Substitute $\lambda=\dfrac32$ and $\mu=\dfrac32$ into the $z$-coordinates, $10+3\lambda$ and $2+8\mu$. Do they agree?
จงแทน $\lambda=\dfrac32$ และ $\mu=\dfrac32$ ในพิกัด $z$ คือ $10+3\lambda$ และ $2+8\mu$ ได้ค่าตรงกันหรือไม่
Answershow ▾
Two matching coordinates are not enough; all three must agree at the same point.พิกัดที่ตรงกันสองค่าไม่พอ ต้องตรงกันทั้งสามค่าที่จุดเดียวกัน
Given no common point, show $\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}$ and $\begin{pmatrix}5\\4\\8\end{pmatrix}$ are not parallel, and state what this means for $l_1$ and $l_2$.
กำหนดว่าไม่มีจุดร่วม จงแสดงว่า $\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}$ และ $\begin{pmatrix}5\\4\\8\end{pmatrix}$ ไม่ขนานกัน แล้วสรุปว่าเส้นตรง $l_1$ และ $l_2$ เป็นอย่างไร
Answershow ▾
No common point and no shared direction, both at once, is what the word describes.ไม่มีจุดร่วม และไม่มีทิศทางร่วมกัน สองอย่างนี้พร้อมกันคือสิ่งที่คำนี้อธิบาย
Write the point on $l_1$ at $\lambda=\dfrac32$ and the point on $l_2$ at $\mu=\dfrac32$. Compare them.
จงเขียนจุดบน $l_1$ ที่ $\lambda=\dfrac32$ และจุดบน $l_2$ ที่ $\mu=\dfrac32$ แล้วเทียบกัน
Answershow ▾
A point with the same $x$ and $y$ but a different $z$ confirms no shared point exists.จุดที่มี $x$ และ $y$ ตรงกัน แต่ $z$ ต่างกัน ยืนยันว่าไม่มีจุดร่วม
$l_1: r=\begin{pmatrix}-6\\1\\-1\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}$ and $l_2: r=\begin{pmatrix}-6\\-2\\2\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}3\\-3\\4\end{pmatrix}$. Prove $l_1$ and $l_2$ are skew.
$l_1: r=\begin{pmatrix}-6\\1\\-1\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\-2\\-4\end{pmatrix}$ และ $l_2: r=\begin{pmatrix}-6\\-2\\2\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}3\\-3\\4\end{pmatrix}$ จงพิสูจน์ว่า $l_1$ และ $l_2$ เป็นเส้นเบี้ยว (skew)
Answershow ▾
Same three moves: equate $x,y$, solve, then check $z$ and the directions.สามขั้นเดิม: ให้ $x,y$ เท่ากัน แก้สมการ แล้วตรวจ $z$ และทิศทาง
With respect to a fixed origin $O$, the equations of lines $l_1$ and $l_2$ are given by$$l_1:\ r=\begin{pmatrix}2\\8\\10\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\qquad\text{and}\qquad l_2:\ r=\begin{pmatrix}-4\\-1\\2\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}5\\4\\8\end{pmatrix}$$where $\lambda$ and $\mu$ are scalar parameters.
Prove that lines $l_1$ and $l_2$ are skew.
เทียบกับจุดกำเนิด $O$ เส้นตรง $l_1$ และ $l_2$ มีสมการ$$l_1:\ r=\begin{pmatrix}2\\8\\10\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\qquad\text{และ}\qquad l_2:\ r=\begin{pmatrix}-4\\-1\\2\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}5\\4\\8\end{pmatrix}$$เมื่อ $\lambda$ และ $\mu$ เป็นพารามิเตอร์สเกลาร์ (scalar parameter)
จงพิสูจน์ว่าเส้นตรง $l_1$ และ $l_2$ เบี้ยวกัน (skew)
Answershow ▾
5 marks: all for method - solve, check, conclude.5 คะแนน: ทั้งหมดเป็นคะแนนวิธีทำ - แก้สมการ ตรวจสอบ สรุปผล
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A right angle fixes a point, then the area มุมฉากกำหนดจุด แล้วหาพื้นที่
Relative to a fixed origin $O$, the point $A$ has position vector $\mathbf{i}-4\mathbf{j}+3\mathbf{k}$, the point $B$ has position vector $5\mathbf{i}+3\mathbf{j}-2\mathbf{k}$, and the point $C$ has position vector $3\mathbf{i}+p\mathbf{j}-\mathbf{k}$, where $p$ is a constant. The line $l$ passes through $A$ and $B$.
(a) Find a vector equation for the line $l$.
(b) Given that $\overrightarrow{AC}$ is perpendicular to $l$, find the value of $p$.
(c) Hence find the area of triangle $ABC$, giving your answer as a surd in simplest form.
เทียบกับจุดกำเนิด $O$ จุด $A$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $\mathbf{i}-4\mathbf{j}+3\mathbf{k}$ จุด $B$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $5\mathbf{i}+3\mathbf{j}-2\mathbf{k}$ และจุด $C$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $3\mathbf{i}+p\mathbf{j}-\mathbf{k}$ เมื่อ $p$ เป็นค่าคงที่ เส้นตรง $l$ ผ่านจุด $A$ และ $B$
(ก) จงหาสมการเวกเตอร์ (vector equation) ของเส้นตรง $l$
(ข) กำหนดว่า $\overrightarrow{AC}$ ตั้งฉากกับ $l$ จงหาค่า $p$
(ค) จากนั้นจงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$ โดยตอบในรูป surd (รากที่ถอนไม่ได้) ที่จัดรูปแล้ว
$A$ has position vector $\mathbf{i}-4\mathbf{j}+3\mathbf{k}$, $B$ has position vector $5\mathbf{i}+3\mathbf{j}-2\mathbf{k}$. Find $\overrightarrow{AB}$.
$A$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $\mathbf{i}-4\mathbf{j}+3\mathbf{k}$ และ $B$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $5\mathbf{i}+3\mathbf{j}-2\mathbf{k}$ จงหา $\overrightarrow{AB}$
Answershow ▾
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$.$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$
Write the vector equation of the line through the point $2\mathbf{i}-\mathbf{j}$ with direction $3\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k}$.
จงเขียนสมการเวกเตอร์ของเส้นตรงที่ผ่านจุด $2\mathbf{i}-\mathbf{j}$ ซึ่งมีทิศทาง $3\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k}$
Answershow ▾
$r=$ (a point on the line) $+\lambda\times$ (the direction).$r=$ (จุดบนเส้นตรง) $+\lambda\times$ (ทิศทาง)
Are $\mathbf{i}+2\mathbf{j}-\mathbf{k}$ and $3\mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k}$ perpendicular?
$\mathbf{i}+2\mathbf{j}-\mathbf{k}$ และ $3\mathbf{i}-\mathbf{j}+\mathbf{k}$ ตั้งฉากกันหรือไม่
Answershow ▾
Two vectors are perpendicular exactly when their scalar product is $0$.เวกเตอร์สองตัวตั้งฉากกันก็ต่อเมื่อผลคูณสเกลาร์ของมันเป็น $0$
$\overrightarrow{AC}$ is perpendicular to the line $l$ through $A$ and $B$. Pick the condition to write.
(A) $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=0$
(B) $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}=0$
(C) $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=0$
$\overrightarrow{AC}$ ตั้งฉากกับเส้นตรง $l$ ที่ผ่าน $A$ และ $B$ จงเลือกเงื่อนไขที่ถูกต้อง
(A) $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=0$
(B) $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}=0$
(C) $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=0$
Answershow ▾
(B) sets a vector perpendicular to ITSELF, which forces $\overrightarrow{AC}=\mathbf{0}$ - impossible here. (C) uses position vectors from $O$, which has nothing to do with the direction of $l$.(B) ให้เวกเตอร์ตั้งฉากกับตัวมันเอง ซึ่งบังคับให้ $\overrightarrow{AC}=\mathbf{0}$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ในที่นี้ · (C) ใช้เวกเตอร์บอกตำแหน่งจาก $O$ ซึ่งไม่เกี่ยวกับทิศทางของ $l$
$C$ has position vector $3\mathbf{i}+p\mathbf{j}-\mathbf{k}$. Find $\overrightarrow{AC}$.
$C$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $3\mathbf{i}+p\mathbf{j}-\mathbf{k}$ จงหา $\overrightarrow{AC}$
Answershow ▾
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$.$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$
Write $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ using $\overrightarrow{AC}=2\mathbf{i}+(p+4)\mathbf{j}-4\mathbf{k}$ and $\overrightarrow{AB}=4\mathbf{i}+7\mathbf{j}-5\mathbf{k}$.
จงเขียน $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ โดยใช้ $\overrightarrow{AC}=2\mathbf{i}+(p+4)\mathbf{j}-4\mathbf{k}$ และ $\overrightarrow{AB}=4\mathbf{i}+7\mathbf{j}-5\mathbf{k}$
Answershow ▾
Multiply matching components, add, set the sum to $0$.คูณองค์ประกอบที่ตรงกัน บวกกัน แล้วให้ผลรวมเป็น $0$
Expand and solve $2(4)+(p+4)(7)+(-4)(-5)=0$ for $p$.
จงกระจายและแก้ $2(4)+(p+4)(7)+(-4)(-5)=0$ หาค่า $p$
Answershow ▾
$8+7p+28+20=0$, then collect.$8+7p+28+20=0$ แล้วรวมพจน์
With $p=-8$, $\overrightarrow{AC}=2\mathbf{i}-4\mathbf{j}-4\mathbf{k}$. Find $\left|\overrightarrow{AB}\right|^{2}$ and $\left|\overrightarrow{AC}\right|^{2}$.
เมื่อ $p=-8$, $\overrightarrow{AC}=2\mathbf{i}-4\mathbf{j}-4\mathbf{k}$ จงหา $\left|\overrightarrow{AB}\right|^{2}$ และ $\left|\overrightarrow{AC}\right|^{2}$
Answershow ▾
Square each component and add - no square root needed yet.ยกกำลังสองแต่ละองค์ประกอบแล้วบวกกัน - ยังไม่ต้องถอดราก
Check $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ with $\overrightarrow{AC}=2\mathbf{i}-4\mathbf{j}-4\mathbf{k}$.
ตรวจ $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ เมื่อ $\overrightarrow{AC}=2\mathbf{i}-4\mathbf{j}-4\mathbf{k}$
Answershow ▾
A scalar product of $0$ confirms the right angle at $A$.ผลคูณสเกลาร์เป็น $0$ ยืนยันมุมฉากที่ $A$
$A$ has position vector $2\mathbf{i}+3\mathbf{j}-\mathbf{k}$, $B$ has position vector $3\mathbf{i}+5\mathbf{j}+\mathbf{k}$, $C$ has position vector $2\mathbf{i}+p\mathbf{j}+5\mathbf{k}$. The line $l$ passes through $A$ and $B$. Given that $\overrightarrow{AC}$ is perpendicular to $l$, find $p$ and the area of triangle $ABC$.
$A$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $2\mathbf{i}+3\mathbf{j}-\mathbf{k}$, $B$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $3\mathbf{i}+5\mathbf{j}+\mathbf{k}$, $C$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $2\mathbf{i}+p\mathbf{j}+5\mathbf{k}$ เส้นตรง $l$ ผ่าน $A$ และ $B$ กำหนดว่า $\overrightarrow{AC}$ ตั้งฉากกับ $l$ จงหาค่า $p$ และพื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$
Answershow ▾
Same moves: find $AB$, write $AC$ in terms of $p$, dot product $=0$, then the right-angled area.ขั้นตอนเดิม: หา $AB$ เขียน $AC$ ในรูปของ $p$ สเกลาร์โปรดักต์เท่ากับ $0$ แล้วหาพื้นที่สามเหลี่ยมมุมฉาก
Relative to a fixed origin $O$, the point $A$ has position vector $\mathbf{i}-4\mathbf{j}+3\mathbf{k}$, the point $B$ has position vector $5\mathbf{i}+3\mathbf{j}-2\mathbf{k}$, and the point $C$ has position vector $3\mathbf{i}+p\mathbf{j}-\mathbf{k}$, where $p$ is a constant. The line $l$ passes through $A$ and $B$.
(a) Find a vector equation for the line $l$.
(b) Given that $\overrightarrow{AC}$ is perpendicular to $l$, find the value of $p$.
(c) Hence find the area of triangle $ABC$, giving your answer as a surd in simplest form.
เทียบกับจุดกำเนิด $O$ จุด $A$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $\mathbf{i}-4\mathbf{j}+3\mathbf{k}$ จุด $B$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $5\mathbf{i}+3\mathbf{j}-2\mathbf{k}$ และจุด $C$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $3\mathbf{i}+p\mathbf{j}-\mathbf{k}$ เมื่อ $p$ เป็นค่าคงที่ เส้นตรง $l$ ผ่านจุด $A$ และ $B$
(ก) จงหาสมการเวกเตอร์ (vector equation) ของเส้นตรง $l$
(ข) กำหนดว่า $\overrightarrow{AC}$ ตั้งฉากกับ $l$ จงหาค่า $p$
(ค) จากนั้นจงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$ โดยตอบในรูป surd (รากที่ถอนไม่ได้) ที่จัดรูปแล้ว
Answershow ▾
9 marks: 3 for the line, 3 for p, 3 for the area.9 คะแนน: 3 คะแนนสำหรับสมการเส้นตรง 3 คะแนนสำหรับ p 3 คะแนนสำหรับพื้นที่
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
The foot of the perpendicular from a point to a line จุดเท้าตั้งฉากจากจุดถึงเส้นตรง
Relative to a fixed origin $O$, the point $A$ has position vector $2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+5\mathbf{k}$ and the point $B$ has position vector $8\mathbf{i}+3\mathbf{j}-7\mathbf{k}$. The line $l$ passes through $A$ and $B$.
(a) (i) Find $\overrightarrow{AB}$ (ii) Find a vector equation for the line $l$.
(b) The point $C$ has position vector $3\mathbf{i}+5\mathbf{j}+2\mathbf{k}$. The point $P$ lies on $l$. Given that $\overrightarrow{CP}$ is perpendicular to $l$, find the position vector of the point $P$.
เทียบกับจุดกำเนิด $O$ จุด $A$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+5\mathbf{k}$ และจุด $B$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $8\mathbf{i}+3\mathbf{j}-7\mathbf{k}$ เส้นตรง $l$ ผ่านจุด $A$ และ $B$
(ก) (i) จงหา $\overrightarrow{AB}$ (ii) จงหาสมการเวกเตอร์ของเส้นตรง $l$
(ข) จุด $C$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $3\mathbf{i}+5\mathbf{j}+2\mathbf{k}$ จุด $P$ อยู่บน $l$ กำหนดว่า $\overrightarrow{CP}$ ตั้งฉากกับ $l$ จงหาเวกเตอร์บอกตำแหน่งของจุด $P$
$A$ has position vector $2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+5\mathbf{k}$, $B$ has position vector $8\mathbf{i}+3\mathbf{j}-7\mathbf{k}$. Find $\overrightarrow{AB}$.
$A$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+5\mathbf{k}$ และ $B$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $8\mathbf{i}+3\mathbf{j}-7\mathbf{k}$ จงหา $\overrightarrow{AB}$
Answershow ▾
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$.$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$
The line through $\mathbf{i}+2\mathbf{k}$ with direction $3\mathbf{i}-\mathbf{j}+4\mathbf{k}$. Write its general point at parameter $t$.
เส้นตรงที่ผ่าน $\mathbf{i}+2\mathbf{k}$ ซึ่งมีทิศทาง $3\mathbf{i}-\mathbf{j}+4\mathbf{k}$ จงเขียนจุดทั่วไปที่พารามิเตอร์ $t$
Answershow ▾
Add $t$ times the direction vector to the fixed point, one component at a time.บวกเวกเตอร์ทิศทางคูณ $t$ เข้ากับจุดตั้งต้น ทีละองค์ประกอบ
Expand $(3t+2)(4)+(t-1)(5)$ and collect the $t$ terms.
จงกระจาย $(3t+2)(4)+(t-1)(5)$ แล้วรวมพจน์ $t$
Answershow ▾
Multiply out each bracket, then add the $t$ terms and the constants separately.กระจายแต่ละวงเล็บ แล้วบวกพจน์ $t$ และพจน์คงที่แยกกัน
$P$ lies on $l$ and $\overrightarrow{CP}$ is perpendicular to $l$. Pick the condition to use.
(A) $\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{AB}=0$, where $\overrightarrow{AB}$ is the direction of $l$
(B) $\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{OC}=0$
(C) $\left|\overrightarrow{CP}\right|=\left|\overrightarrow{OC}\right|$
$P$ อยู่บน $l$ และ $\overrightarrow{CP}$ ตั้งฉากกับ $l$ จงเลือกเงื่อนไขที่ถูกต้อง
(A) $\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ เมื่อ $\overrightarrow{AB}$ คือทิศทางของ $l$
(B) $\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{OC}=0$
(C) $\left|\overrightarrow{CP}\right|=\left|\overrightarrow{OC}\right|$
Answershow ▾
(B) uses $\overrightarrow{OC}$, a position vector from $O$ that has nothing to do with the direction of $l$. (C) equal lengths describe a circle centred at $O$, not a right angle at $P$.(B) ใช้ $\overrightarrow{OC}$ ซึ่งเป็นเวกเตอร์บอกตำแหน่งจาก $O$ ไม่เกี่ยวกับทิศทางของ $l$ · (C) ขนาดเท่ากันอธิบายวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ ไม่ใช่มุมฉากที่ $P$
Write the general point $P$ on $l: r=(2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+5\mathbf{k})+t(6\mathbf{i}+6\mathbf{j}-12\mathbf{k})$.
จงเขียนจุดทั่วไป $P$ บน $l: r=(2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+5\mathbf{k})+t(6\mathbf{i}+6\mathbf{j}-12\mathbf{k})$
Answershow ▾
Add $t$ times the direction vector to the fixed point.บวกเวกเตอร์ทิศทางคูณ $t$ เข้ากับจุดตั้งต้น
$C$ has position vector $3\mathbf{i}+5\mathbf{j}+2\mathbf{k}$. Find $\overrightarrow{CP}$.
$C$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $3\mathbf{i}+5\mathbf{j}+2\mathbf{k}$ จงหา $\overrightarrow{CP}$
Answershow ▾
$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OC}$.$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OC}$
Write $\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ using $\overrightarrow{CP}=(6t-1,\ 6t-8,\ 3-12t)$ and $\overrightarrow{AB}=(6,\ 6,\ -12)$.
จงเขียน $\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ โดยใช้ $\overrightarrow{CP}=(6t-1,\ 6t-8,\ 3-12t)$ และ $\overrightarrow{AB}=(6,\ 6,\ -12)$
Answershow ▾
Multiply matching components and add, then set the sum to $0$.คูณองค์ประกอบที่ตรงกันแล้วบวกกัน จากนั้นให้ผลรวมเป็น $0$
Expand and solve $6(6t-1)+6(6t-8)+(-12)(3-12t)=0$ for $t$.
จงกระจายและแก้ $6(6t-1)+6(6t-8)+(-12)(3-12t)=0$ หาค่า $t$
Answershow ▾
Collect all the $t$ terms on one side, the constants on the other.รวมพจน์ $t$ ไว้ข้างหนึ่ง พจน์คงที่ไว้อีกข้างหนึ่ง
Substitute $t=\dfrac{5}{12}$ into $P$ to find $\overrightarrow{OP}$, then check $\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{AB}=0$.
จงแทน $t=\dfrac{5}{12}$ ใน $P$ เพื่อหา $\overrightarrow{OP}$ แล้วตรวจ $\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{AB}=0$
Answershow ▾
A scalar product of $0$ confirms the right angle at $P$.ผลคูณสเกลาร์เป็น $0$ ยืนยันมุมฉากที่ $P$
$A$ has position vector $\mathbf{i}+2\mathbf{j}-\mathbf{k}$, $B$ has position vector $4\mathbf{i}+8\mathbf{j}-4\mathbf{k}$. The line $l$ passes through $A$ and $B$. $C$ has position vector $9\mathbf{i}+13\mathbf{j}-7\mathbf{k}$. Find the position vector of $P$ on $l$ such that $\overrightarrow{CP}$ is perpendicular to $l$.
$A$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $\mathbf{i}+2\mathbf{j}-\mathbf{k}$, $B$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $4\mathbf{i}+8\mathbf{j}-4\mathbf{k}$ เส้นตรง $l$ ผ่าน $A$ และ $B$ · $C$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $9\mathbf{i}+13\mathbf{j}-7\mathbf{k}$ จงหาเวกเตอร์บอกตำแหน่งของ $P$ บน $l$ โดยที่ $\overrightarrow{CP}$ ตั้งฉากกับ $l$
Answershow ▾
Same four moves: subtract for $AB$, write $P$, write $CP$, scalar product $=0$.สี่ขั้นเดิม: ลบหา $AB$ เขียน $P$ เขียน $CP$ สเกลาร์โปรดักต์เท่ากับ $0$
Relative to a fixed origin $O$, the point $A$ has position vector $2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+5\mathbf{k}$ and the point $B$ has position vector $8\mathbf{i}+3\mathbf{j}-7\mathbf{k}$. The line $l$ passes through $A$ and $B$.
(a) (i) Find $\overrightarrow{AB}$ (ii) Find a vector equation for the line $l$.
(b) The point $C$ has position vector $3\mathbf{i}+5\mathbf{j}+2\mathbf{k}$. The point $P$ lies on $l$. Given that $\overrightarrow{CP}$ is perpendicular to $l$, find the position vector of the point $P$.
เทียบกับจุดกำเนิด $O$ จุด $A$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+5\mathbf{k}$ และจุด $B$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $8\mathbf{i}+3\mathbf{j}-7\mathbf{k}$ เส้นตรง $l$ ผ่านจุด $A$ และ $B$
(ก) (i) จงหา $\overrightarrow{AB}$ (ii) จงหาสมการเวกเตอร์ของเส้นตรง $l$
(ข) จุด $C$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $3\mathbf{i}+5\mathbf{j}+2\mathbf{k}$ จุด $P$ อยู่บน $l$ กำหนดว่า $\overrightarrow{CP}$ ตั้งฉากกับ $l$ จงหาเวกเตอร์บอกตำแหน่งของจุด $P$
Answershow ▾
8 marks: 3 for the line, 5 for the foot of the perpendicular.8 คะแนน: 3 คะแนนสำหรับสมการเส้นตรง 5 คะแนนสำหรับจุดเท้าตั้งฉาก
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two lines that miss, and the angle to a point เส้นตรงสองเส้นที่ไม่ตัดกัน แล้วหามุมไปยังจุด
With respect to a fixed origin $O$ the points $A$ and $B$ have position vectors $\begin{pmatrix}6\\6\\2\end{pmatrix}$ and $\begin{pmatrix}6\\0\\7\end{pmatrix}$ respectively. The line $l_1$ passes through the points $A$ and $B$.
(a) Write down an equation for $l_1$. Give your answer in the form $r=p+\lambda q$, where $\lambda$ is a scalar parameter.
(b) The line $l_2$ has equation$$r=\begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}1\\5\\9\end{pmatrix}$$where $\mu$ is a scalar parameter. Show that $l_1$ and $l_2$ do not meet.
(c) The point $C$ is on $l_2$ where $\mu=-1$. Find the acute angle between $AC$ and $l_2$. Give your answer in degrees to one decimal place.
เทียบกับจุดกำเนิด $O$ จุด $A$ และ $B$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $\begin{pmatrix}6\\6\\2\end{pmatrix}$ และ $\begin{pmatrix}6\\0\\7\end{pmatrix}$ ตามลำดับ เส้นตรง $l_1$ ผ่านจุด $A$ และ $B$
(ก) จงเขียนสมการของ $l_1$ ในรูป $r=p+\lambda q$ เมื่อ $\lambda$ เป็นพารามิเตอร์สเกลาร์
(ข) เส้นตรง $l_2$ มีสมการ$$r=\begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}1\\5\\9\end{pmatrix}$$เมื่อ $\mu$ เป็นพารามิเตอร์สเกลาร์ จงแสดงว่า $l_1$ และ $l_2$ ไม่ตัดกัน
(ค) จุด $C$ อยู่บน $l_2$ ที่ $\mu=-1$ จงหามุมแหลม (acute angle) ระหว่าง $AC$ กับ $l_2$ เป็นองศา ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
$A$ has position vector $\begin{pmatrix}6\\6\\2\end{pmatrix}$, $B$ has position vector $\begin{pmatrix}6\\0\\7\end{pmatrix}$. Find $\overrightarrow{AB}$.
$A$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $\begin{pmatrix}6\\6\\2\end{pmatrix}$ และ $B$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $\begin{pmatrix}6\\0\\7\end{pmatrix}$ จงหา $\overrightarrow{AB}$
Answershow ▾
Subtract one component at a time.ลบทีละองค์ประกอบ
Write the vector equation of the line through $\begin{pmatrix}6\\6\\2\end{pmatrix}$ with direction $\begin{pmatrix}0\\-6\\5\end{pmatrix}$.
จงเขียนสมการเวกเตอร์ของเส้นตรงที่ผ่าน $\begin{pmatrix}6\\6\\2\end{pmatrix}$ ซึ่งมีทิศทาง $\begin{pmatrix}0\\-6\\5\end{pmatrix}$
Answershow ▾
$r=$ (the fixed point) $+\lambda\times$ (the direction).$r=$ (จุดตั้งต้น) $+\lambda\times$ (ทิศทาง)
Find $\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1\\4\\2\end{pmatrix}$.
จงหา $\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1\\4\\2\end{pmatrix}$
Answershow ▾
Multiply matching components, keeping each sign, then add.คูณองค์ประกอบที่ตรงกัน คงเครื่องหมายไว้ แล้วบวกกัน
To check whether $l_1$ and $l_2$ meet, pick the first step.
(A) equate the $x$- and $y$-coordinates, solve for $\lambda$ and $\mu$, then check the $z$-coordinate
(B) equate the two direction vectors, $\begin{pmatrix}0\\-6\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\5\\9\end{pmatrix}$
(C) assume $\lambda=\mu$ and equate all three coordinates
เพื่อตรวจว่า $l_1$ และ $l_2$ ตัดกันหรือไม่ จงเลือกขั้นแรก
(A) ให้พิกัด $x$ และ $y$ เท่ากัน แก้หา $\lambda$ และ $\mu$ แล้วตรวจพิกัด $z$
(B) ให้เวกเตอร์ทิศทางทั้งสองเท่ากัน $\begin{pmatrix}0\\-6\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\5\\9\end{pmatrix}$
(C) สมมติ $\lambda=\mu$ แล้วให้พิกัดทั้งสามเท่ากัน
Answershow ▾
(B) tests whether the lines are PARALLEL, a different question from whether they MEET. (C) has no reason to assume $\lambda=\mu$: the two parameters are independent.(B) ตรวจว่าเส้นตรงขนานกันหรือไม่ ซึ่งเป็นคนละคำถามกับการตัดกัน · (C) ไม่มีเหตุผลที่ต้องสมมติ $\lambda=\mu$ เพราะพารามิเตอร์ของสองเส้นเป็นอิสระจากกัน
Equate the $x$- and $y$-coordinates of $l_1$ and $l_2$, and solve for $\lambda$ and $\mu$.
จงให้พิกัด $x$ และ $y$ ของ $l_1$ และ $l_2$ เท่ากัน แล้วแก้หา $\lambda$ และ $\mu$
Answershow ▾
The $x$-equation gives $\mu$ directly; substitute into the $y$-equation for $\lambda$.สมการ $x$ ให้ค่า $\mu$ ตรงๆ แทนลงในสมการ $y$ เพื่อหา $\lambda$
Substitute $\lambda=-\dfrac53$ and $\mu=3$ into the $z$-coordinates, $2+5\lambda$ and $4+9\mu$. Do they agree?
จงแทน $\lambda=-\dfrac53$ และ $\mu=3$ ในพิกัด $z$ คือ $2+5\lambda$ และ $4+9\mu$ ได้ค่าตรงกันหรือไม่
Answershow ▾
Two matching coordinates are not enough; all three must agree at the same point.พิกัดที่ตรงกันสองค่าไม่พอ ต้องตรงกันทั้งสามค่าที่จุดเดียวกัน
$C$ is on $l_2: r=\begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}1\\5\\9\end{pmatrix}$ where $\mu=-1$. Find $\overrightarrow{OC}$.
$C$ อยู่บน $l_2: r=\begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}1\\5\\9\end{pmatrix}$ ที่ $\mu=-1$ จงหา $\overrightarrow{OC}$
Answershow ▾
Substitute $\mu=-1$ into the equation of $l_2$.จงแทน $\mu=-1$ ในสมการของ $l_2$
Find $\overrightarrow{AC}$, then $\overrightarrow{AC}\cdot\begin{pmatrix}1\\5\\9\end{pmatrix}$, and the moduli $\left|\overrightarrow{AC}\right|$ and $\sqrt{107}$.
จงหา $\overrightarrow{AC}$ แล้วหา $\overrightarrow{AC}\cdot\begin{pmatrix}1\\5\\9\end{pmatrix}$ และขนาด $\left|\overrightarrow{AC}\right|$ กับ $\sqrt{107}$
Answershow ▾
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$, then dot with the direction and square-root the sum of squares.$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$ แล้วจุดกับทิศทาง และถอดรากผลรวมกำลังสอง
Use $\cos\theta=\dfrac{-117}{\sqrt{165}\sqrt{107}}$ to find the angle, then give the ACUTE angle between $AC$ and $l_2$, to 1 d.p.
จงใช้ $\cos\theta=\dfrac{-117}{\sqrt{165}\sqrt{107}}$ หามุม แล้วตอบมุมแหลมระหว่าง $AC$ กับ $l_2$ ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
A negative $\cos\theta$ gives an obtuse angle; the acute angle between a line and a vector is $180^{\circ}$ minus that.$\cos\theta$ ติดลบให้มุมป้าน มุมแหลมระหว่างเส้นตรงกับเวกเตอร์คือ $180^{\circ}$ ลบมุมนั้น
$A$ has position vector $\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$, $B=A+\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}$; $l_1$ passes through $A$ and $B$. $l_2: r=\begin{pmatrix}0\\3\\-1\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}$. Show $l_1,l_2$ do not meet, then find the angle between $\overrightarrow{AC}$ and $l_2$, where $C$ is on $l_2$ at $\mu=2$.
$A$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$, $B=A+\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}$ $l_1$ ผ่าน $A$ และ $B$ $l_2: r=\begin{pmatrix}0\\3\\-1\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}$ จงแสดงว่า $l_1,l_2$ ไม่ตัดกัน แล้วหามุมระหว่าง $\overrightarrow{AC}$ กับ $l_2$ เมื่อ $C$ อยู่บน $l_2$ ที่ $\mu=2$
Answershow ▾
Same moves: equate two coordinates, check the third, then the scalar product for the angle.ขั้นตอนเดิม: ให้สองพิกัดเท่ากัน ตรวจพิกัดที่สาม แล้วใช้ผลคูณสเกลาร์หามุม
With respect to a fixed origin $O$ the points $A$ and $B$ have position vectors $\begin{pmatrix}6\\6\\2\end{pmatrix}$ and $\begin{pmatrix}6\\0\\7\end{pmatrix}$ respectively. The line $l_1$ passes through the points $A$ and $B$.
(a) Write down an equation for $l_1$. Give your answer in the form $r=p+\lambda q$, where $\lambda$ is a scalar parameter.
(b) The line $l_2$ has equation$$r=\begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}1\\5\\9\end{pmatrix}$$where $\mu$ is a scalar parameter. Show that $l_1$ and $l_2$ do not meet.
(c) The point $C$ is on $l_2$ where $\mu=-1$. Find the acute angle between $AC$ and $l_2$. Give your answer in degrees to one decimal place.
เทียบกับจุดกำเนิด $O$ จุด $A$ และ $B$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $\begin{pmatrix}6\\6\\2\end{pmatrix}$ และ $\begin{pmatrix}6\\0\\7\end{pmatrix}$ ตามลำดับ เส้นตรง $l_1$ ผ่านจุด $A$ และ $B$
(ก) จงเขียนสมการของ $l_1$ ในรูป $r=p+\lambda q$ เมื่อ $\lambda$ เป็นพารามิเตอร์สเกลาร์
(ข) เส้นตรง $l_2$ มีสมการ$$r=\begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}1\\5\\9\end{pmatrix}$$เมื่อ $\mu$ เป็นพารามิเตอร์สเกลาร์ จงแสดงว่า $l_1$ และ $l_2$ ไม่ตัดกัน
(ค) จุด $C$ อยู่บน $l_2$ ที่ $\mu=-1$ จงหามุมแหลม (acute angle) ระหว่าง $AC$ กับ $l_2$ เป็นองศา ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
Answershow ▾
11 marks: 2 for the line, 4 for showing no meeting, 5 for the angle.11 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับสมการเส้นตรง 4 คะแนนสำหรับการแสดงว่าไม่ตัดกัน 5 คะแนนสำหรับมุม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Two lines meeting at P, and an isosceles triangle เส้นตรงสองเส้นตัดกันที่ P แล้วสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
The line $l_1$ has equation$$r=\begin{pmatrix}2\\3\\-7\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$$where $\lambda$ is a scalar parameter. The line $l_2$ has equation$$r=\begin{pmatrix}2\\3\\-7\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}4\\-1\\8\end{pmatrix}$$where $\mu$ is a scalar parameter. Given that $l_1$ and $l_2$ meet at the point $P$
(a) State the coordinates of $P$.
(b) Given that the angle between lines $l_1$ and $l_2$ is $\theta$, find the value of $\cos\theta$, giving the answer as a fully simplified fraction.
(c) The point $Q$ lies on $l_1$ where $\lambda=6$. Given that point $R$ lies on $l_2$ such that triangle $QPR$ is an isosceles triangle with $PQ=PR$, find the exact area of triangle $QPR$.
(d) Find the coordinates of the possible positions of point $R$.
เส้นตรง $l_1$ มีสมการ$$r=\begin{pmatrix}2\\3\\-7\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$$เมื่อ $\lambda$ เป็นพารามิเตอร์สเกลาร์ เส้นตรง $l_2$ มีสมการ$$r=\begin{pmatrix}2\\3\\-7\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}4\\-1\\8\end{pmatrix}$$เมื่อ $\mu$ เป็นพารามิเตอร์สเกลาร์ กำหนดว่า $l_1$ และ $l_2$ ตัดกันที่จุด $P$
(ก) จงระบุพิกัดของ $P$
(ข) กำหนดว่ามุมระหว่างเส้นตรง $l_1$ กับ $l_2$ คือ $\theta$ จงหาค่า $\cos\theta$ โดยตอบเป็นเศษส่วนที่จัดรูปแล้ว
(ค) จุด $Q$ อยู่บน $l_1$ ที่ $\lambda=6$ กำหนดว่าจุด $R$ อยู่บน $l_2$ โดยที่สามเหลี่ยม $QPR$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (isosceles) ซึ่ง $PQ=PR$ จงหาพื้นที่แบบ exact ของสามเหลี่ยม $QPR$
(ง) จงหาพิกัดที่เป็นไปได้ของจุด $R$
Find $\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\-1\\8\end{pmatrix}$.
จงหา $\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\-1\\8\end{pmatrix}$
Answershow ▾
Multiply matching components, then add the three results.คูณองค์ประกอบที่ตรงกัน แล้วบวกผลคูณทั้งสามเข้าด้วยกัน
Find $\left|\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\right|$ and $\left|\begin{pmatrix}4\\-1\\8\end{pmatrix}\right|$.
จงหา $\left|\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\right|$ และ $\left|\begin{pmatrix}4\\-1\\8\end{pmatrix}\right|$
Answershow ▾
Square each component, add, then square-root - for each vector.ยกกำลังสองแต่ละองค์ประกอบ บวกกัน แล้วถอดราก - ทำกับเวกเตอร์ทั้งสองตัว
Two sides of length $5$ and $6$ meet at an angle with $\sin\theta=0.6$. Find the area between them.
สองด้านยาว $5$ และ $6$ ทำมุมกัน โดย $\sin\theta=0.6$ จงหาพื้นที่ระหว่างด้าน
Answershow ▾
Area $=\dfrac12\times$(side$_1$)$\times$(side$_2$)$\times\sin\theta$.พื้นที่ $=\dfrac12\times$(ด้าน$_1$)$\times$(ด้าน$_2$)$\times\sin\theta$
$l_1$ and $l_2$ both have equation starting with $r=\begin{pmatrix}2\\3\\-7\end{pmatrix}$. Pick what this tells you about $P$.
(A) $P=(2,3,-7)$, since both lines pass through this point when $\lambda=\mu=0$
(B) $P$ is the midpoint of the two direction vectors
(C) $P$ is undefined until $\lambda=\mu$ is specified
$l_1$ และ $l_2$ มีสมการเริ่มต้นด้วย $r=\begin{pmatrix}2\\3\\-7\end{pmatrix}$ เหมือนกัน จงเลือกว่าสิ่งนี้บอกอะไรเกี่ยวกับ $P$
(A) $P=(2,3,-7)$ เพราะเส้นตรงทั้งสองผ่านจุดนี้เมื่อ $\lambda=\mu=0$
(B) $P$ คือจุดกึ่งกลางของเวกเตอร์ทิศทางทั้งสอง
(C) ยังหา $P$ ไม่ได้จนกว่าจะระบุ $\lambda=\mu$
Answershow ▾
(B) has no basis - the midpoint of two DIRECTION vectors has no connection to where the lines meet. (C) misses that both lines already share this point at $\lambda=\mu=0$, before any extra value is chosen.(B) ไม่มีหลักการ - จุดกึ่งกลางของเวกเตอร์ทิศทางสองตัวไม่เกี่ยวข้องกับจุดตัดเลย · (C) มองข้ามว่าทั้งสองเส้นมีจุดนี้ร่วมกันอยู่แล้วที่ $\lambda=\mu=0$ ไม่ต้องกำหนดค่าเพิ่ม
Use $\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\-1\\8\end{pmatrix}=18$ and the two magnitudes to find $\cos\theta$, fully simplified.
จงใช้ $\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\-1\\8\end{pmatrix}=18$ และขนาดทั้งสอง หา $\cos\theta$ ที่จัดรูปแล้ว
Answershow ▾
Divide the scalar product by the product of the two magnitudes.หารผลคูณสเกลาร์ด้วยผลคูณของขนาดทั้งสอง
$Q$ is on $l_1$ at $\lambda=6$. Find $\overrightarrow{PQ}$ and $\left|\overrightarrow{PQ}\right|$.
$Q$ อยู่บน $l_1$ ที่ $\lambda=6$ จงหา $\overrightarrow{PQ}$ และ $\left|\overrightarrow{PQ}\right|$
Answershow ▾
$\overrightarrow{PQ}=6\times$ (direction of $l_1$).$\overrightarrow{PQ}=6\times$ (ทิศทางของ $l_1$)
Use $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ with $\cos\theta=\dfrac23$ to find $\sin\theta$.
จงใช้ $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ กับ $\cos\theta=\dfrac23$ เพื่อหา $\sin\theta$
Answershow ▾
$\sin\theta=\sqrt{1-\cos^{2}\theta}$, and $\theta$ here is acute.$\sin\theta=\sqrt{1-\cos^{2}\theta}$ และ $\theta$ ในที่นี้เป็นมุมแหลม
$PQ=PR=18$ and $\sin\theta=\dfrac{\sqrt5}3$. Find the exact area of triangle $QPR$.
$PQ=PR=18$ และ $\sin\theta=\dfrac{\sqrt5}3$ จงหาพื้นที่แบบแม่นตรงของสามเหลี่ยม $QPR$
Answershow ▾
Area $=\dfrac12\times PQ\times PR\times\sin\theta$.พื้นที่ $=\dfrac12\times PQ\times PR\times\sin\theta$
$PR=PQ=18$ and $R$ is on $l_2$. Pick the equation for $\mu$.
(A) $\left|\mu\right|\times\left|\begin{pmatrix}4\\-1\\8\end{pmatrix}\right|=18$, so $\left|\mu\right|\times9=18$
(B) $\mu=18$
(C) $\mu^{2}=18$
$PR=PQ=18$ และ $R$ อยู่บน $l_2$ จงเลือกสมการของ $\mu$
(A) $\left|\mu\right|\times\left|\begin{pmatrix}4\\-1\\8\end{pmatrix}\right|=18$ จึงได้ $\left|\mu\right|\times9=18$
(B) $\mu=18$
(C) $\mu^{2}=18$
Answershow ▾
(B) forgets that $\overrightarrow{PR}=\mu\times$(direction), so $\mu$ itself is NOT the length until you divide by the direction’s magnitude. (C) confuses $PR$ with $PR^{2}$: there is no reason to square $18$.(B) ลืมว่า $\overrightarrow{PR}=\mu\times$(ทิศทาง) ดังนั้น $\mu$ เองไม่ใช่ความยาว จนกว่าจะหารด้วยขนาดของทิศทาง · (C) สับสนระหว่าง $PR$ กับ $PR^{2}$ ไม่มีเหตุผลที่ต้องยกกำลังสอง $18$
Solve $\left|\mu\right|\times9=18$ for $\mu$, then find the possible positions of $R$ on $l_2$.
จงแก้ $\left|\mu\right|\times9=18$ หาค่า $\mu$ แล้วหาพิกัดที่เป็นไปได้ของ $R$ บน $l_2$
Answershow ▾
$\mu=\pm2$; substitute each into $l_2$.$\mu=\pm2$ แทนแต่ละค่าในสมการ $l_2$
$l_1: r=\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ and $l_2: r=\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$ meet at $P$. Find $\cos\theta$ between them. $Q$ is on $l_1$ at $\lambda=3$; $R$ is on $l_2$ with $PR=PQ$. Find the exact area of $QPR$ and the possible positions of $R$.
$l_1: r=\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ และ $l_2: r=\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$ ตัดกันที่ $P$ จงหา $\cos\theta$ ระหว่างเส้นตรง · $Q$ อยู่บน $l_1$ ที่ $\lambda=3$ $R$ อยู่บน $l_2$ โดย $PR=PQ$ จงหาพื้นที่แบบแม่นตรงของ $QPR$ และพิกัดที่เป็นไปได้ของ $R$
Answershow ▾
Same moves: $\cos\theta$ from the directions, $PQ$ from $\lambda$, then $\mu$ from $PR=PQ$.ขั้นตอนเดิม: หา $\cos\theta$ จากทิศทาง หา $PQ$ จาก $\lambda$ แล้วหา $\mu$ จาก $PR=PQ$
The line $l_1$ has equation$$r=\begin{pmatrix}2\\3\\-7\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$$where $\lambda$ is a scalar parameter. The line $l_2$ has equation$$r=\begin{pmatrix}2\\3\\-7\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}4\\-1\\8\end{pmatrix}$$where $\mu$ is a scalar parameter. Given that $l_1$ and $l_2$ meet at the point $P$
(a) State the coordinates of $P$.
(b) Given that the angle between lines $l_1$ and $l_2$ is $\theta$, find the value of $\cos\theta$, giving the answer as a fully simplified fraction.
(c) The point $Q$ lies on $l_1$ where $\lambda=6$. Given that point $R$ lies on $l_2$ such that triangle $QPR$ is an isosceles triangle with $PQ=PR$, find the exact area of triangle $QPR$.
(d) Find the coordinates of the possible positions of point $R$.
เส้นตรง $l_1$ มีสมการ$$r=\begin{pmatrix}2\\3\\-7\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$$เมื่อ $\lambda$ เป็นพารามิเตอร์สเกลาร์ เส้นตรง $l_2$ มีสมการ$$r=\begin{pmatrix}2\\3\\-7\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}4\\-1\\8\end{pmatrix}$$เมื่อ $\mu$ เป็นพารามิเตอร์สเกลาร์ กำหนดว่า $l_1$ และ $l_2$ ตัดกันที่จุด $P$
(ก) จงระบุพิกัดของ $P$
(ข) กำหนดว่ามุมระหว่างเส้นตรง $l_1$ กับ $l_2$ คือ $\theta$ จงหาค่า $\cos\theta$ โดยตอบเป็นเศษส่วนที่จัดรูปแล้ว
(ค) จุด $Q$ อยู่บน $l_1$ ที่ $\lambda=6$ กำหนดว่าจุด $R$ อยู่บน $l_2$ โดยที่สามเหลี่ยม $QPR$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (isosceles) ซึ่ง $PQ=PR$ จงหาพื้นที่แบบ exact ของสามเหลี่ยม $QPR$
(ง) จงหาพิกัดที่เป็นไปได้ของจุด $R$
Answershow ▾
10 marks: 1 for P, 3 for cos theta, 2 for the area, 4 for R.10 คะแนน: 1 คะแนนสำหรับ P 3 คะแนนสำหรับ cos theta 2 คะแนนสำหรับพื้นที่ 4 คะแนนสำหรับ R
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
A unit vector, then the closest point to the origin เวกเตอร์หนึ่งหน่วย แล้วจุดที่ใกล้จุดกำเนิดที่สุด
Relative to a fixed origin $O$, the line $l$ has equation$$r=\begin{pmatrix}1\\-10\\-9\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}$$where $\lambda$ is a scalar parameter. Given that $\overrightarrow{OA}$ is a unit vector parallel to $l$,
(a) Find $\overrightarrow{OA}$.
(b) The point $X$ lies on $l$. Given that $X$ is the point on $l$ that is closest to the origin, find the coordinates of $X$.
(c) The points $O$, $X$ and $A$ form the triangle $OXA$. Find the exact area of triangle $OXA$.
เทียบกับจุดกำเนิด $O$ เส้นตรง $l$ มีสมการ$$r=\begin{pmatrix}1\\-10\\-9\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}$$เมื่อ $\lambda$ เป็นพารามิเตอร์สเกลาร์ กำหนดว่า $\overrightarrow{OA}$ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย (unit vector) ขนานกับ $l$
(ก) จงหา $\overrightarrow{OA}$
(ข) จุด $X$ อยู่บน $l$ กำหนดว่า $X$ เป็นจุดบน $l$ ที่ใกล้จุดกำเนิดที่สุด จงหาพิกัดของ $X$
(ค) จุด $O$, $X$ และ $A$ ประกอบกันเป็นสามเหลี่ยม $OXA$ จงหาพื้นที่แบบ exact ของสามเหลี่ยม $OXA$
Find $\left|\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\right|$.
จงหา $\left|\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\right|$
Answershow ▾
Square each component, add, then square-root.ยกกำลังสองแต่ละองค์ประกอบ บวกกัน แล้วถอดราก
$\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}$ has magnitude $6$. Write the unit vector in this direction.
$\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}$ มีขนาด $6$ จงเขียนเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศทางนี้
Answershow ▾
Divide every component by the magnitude.หารทุกองค์ประกอบด้วยขนาด
The line $r=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}$. Write its general point at parameter $t$.
เส้นตรง $r=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}$ จงเขียนจุดทั่วไปที่พารามิเตอร์ $t$
Answershow ▾
Add $t$ times the direction vector to the fixed point, one component at a time.บวกเวกเตอร์ทิศทางคูณ $t$ เข้ากับจุดตั้งต้น ทีละองค์ประกอบ
$X$ is the point on $l$ closest to $O$. Pick the condition that finds it.
(A) $\overrightarrow{OX}$ is perpendicular to the direction of $l$, so $\overrightarrow{OX}\cdot\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}=0$
(B) $\overrightarrow{OX}$ is parallel to the direction of $l$
(C) $\left|\overrightarrow{OX}\right|=\left|\overrightarrow{OA}\right|$
$X$ คือจุดบน $l$ ที่ใกล้ $O$ ที่สุด จงเลือกเงื่อนไขที่ถูกต้อง
(A) $\overrightarrow{OX}$ ตั้งฉากกับทิศทางของ $l$ จึงได้ $\overrightarrow{OX}\cdot\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}=0$
(B) $\overrightarrow{OX}$ ขนานกับทิศทางของ $l$
(C) $\left|\overrightarrow{OX}\right|=\left|\overrightarrow{OA}\right|$
Answershow ▾
(B) describes any point on the line in general, not specifically the nearest one. (C) has no geometric basis for finding a nearest point.(B) อธิบายจุดใดก็ได้บนเส้นตรง ไม่ใช่จุดที่ใกล้ที่สุดโดยเฉพาะ · (C) ไม่มีหลักการทางเรขาคณิตสำหรับหาจุดที่ใกล้ที่สุด
Write the general point $X$ on $l: r=\begin{pmatrix}1\\-10\\-9\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}$.
จงเขียนจุดทั่วไป $X$ บน $l: r=\begin{pmatrix}1\\-10\\-9\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}$
Answershow ▾
Add $\lambda$ times the direction vector to the fixed point.บวกเวกเตอร์ทิศทางคูณ $\lambda$ เข้ากับจุดตั้งต้น
Write $\overrightarrow{OX}\cdot\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}=0$ using $X=(1+4\lambda,\ -10+4\lambda,\ -9+2\lambda)$.
จงเขียน $\overrightarrow{OX}\cdot\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}=0$ โดยใช้ $X=(1+4\lambda,\ -10+4\lambda,\ -9+2\lambda)$
Answershow ▾
Multiply matching components, add, set the sum to $0$.คูณองค์ประกอบที่ตรงกัน บวกกัน แล้วให้ผลรวมเป็น $0$
Expand and solve $4(1+4\lambda)+4(-10+4\lambda)+2(-9+2\lambda)=0$ for $\lambda$, then find $X$.
จงกระจายและแก้ $4(1+4\lambda)+4(-10+4\lambda)+2(-9+2\lambda)=0$ หาค่า $\lambda$ แล้วหา $X$
Answershow ▾
Collect the $\lambda$ terms and the constants separately.รวมพจน์ $\lambda$ และพจน์คงที่แยกกัน
Find $\left|\overrightarrow{OX}\right|$ and $\left|\overrightarrow{OA}\right|$.
จงหา $\left|\overrightarrow{OX}\right|$ และ $\left|\overrightarrow{OA}\right|$
Answershow ▾
$\overrightarrow{OA}$ is a unit vector by construction, so its magnitude is already $1$.$\overrightarrow{OA}$ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยอยู่แล้ว ขนาดจึงเป็น $1$
Check $\overrightarrow{OX}\cdot\overrightarrow{OA}=0$, then find the exact area of triangle $OXA$.
จงตรวจ $\overrightarrow{OX}\cdot\overrightarrow{OA}=0$ แล้วหาพื้นที่แบบแม่นตรง (exact) ของสามเหลี่ยม $OXA$
Answershow ▾
A right angle at $O$ gives area $=\dfrac12\left|\overrightarrow{OX}\right|\left|\overrightarrow{OA}\right|$.มุมฉากที่ $O$ ให้พื้นที่ $=\dfrac12\left|\overrightarrow{OX}\right|\left|\overrightarrow{OA}\right|$
The line $l: r=\begin{pmatrix}10\\5\\7\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}$. $\overrightarrow{OA}$ is a unit vector parallel to $l$. $X$ is the point on $l$ closest to $O$. Find the exact area of triangle $OXA$.
เส้นตรง $l: r=\begin{pmatrix}10\\5\\7\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}$ $\overrightarrow{OA}$ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่ขนานกับ $l$ $X$ เป็นจุดบน $l$ ที่ใกล้ $O$ ที่สุด จงหาพื้นที่แบบแม่นตรงของสามเหลี่ยม $OXA$
Answershow ▾
Same moves: magnitude for the unit vector, general point, perpendicular equation, solve.ขั้นตอนเดิม: หาขนาดเพื่อเวกเตอร์หนึ่งหน่วย จุดทั่วไป สมการตั้งฉาก แล้วแก้สมการ
Relative to a fixed origin $O$, the line $l$ has equation$$r=\begin{pmatrix}1\\-10\\-9\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}$$where $\lambda$ is a scalar parameter. Given that $\overrightarrow{OA}$ is a unit vector parallel to $l$,
(a) Find $\overrightarrow{OA}$.
(b) The point $X$ lies on $l$. Given that $X$ is the point on $l$ that is closest to the origin, find the coordinates of $X$.
(c) The points $O$, $X$ and $A$ form the triangle $OXA$. Find the exact area of triangle $OXA$.
เทียบกับจุดกำเนิด $O$ เส้นตรง $l$ มีสมการ$$r=\begin{pmatrix}1\\-10\\-9\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}$$เมื่อ $\lambda$ เป็นพารามิเตอร์สเกลาร์ กำหนดว่า $\overrightarrow{OA}$ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย (unit vector) ขนานกับ $l$
(ก) จงหา $\overrightarrow{OA}$
(ข) จุด $X$ อยู่บน $l$ กำหนดว่า $X$ เป็นจุดบน $l$ ที่ใกล้จุดกำเนิดที่สุด จงหาพิกัดของ $X$
(ค) จุด $O$, $X$ และ $A$ ประกอบกันเป็นสามเหลี่ยม $OXA$ จงหาพื้นที่แบบ exact ของสามเหลี่ยม $OXA$
Answershow ▾
10 marks: 2 for the unit vector, 5 for X, 3 for the area.10 คะแนน: 2 คะแนนสำหรับเวกเตอร์หนึ่งหน่วย 5 คะแนนสำหรับ X 3 คะแนนสำหรับพื้นที่
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
Shortest distance, then a reflection in a line ระยะทางสั้นที่สุด แล้วภาพสะท้อนข้ามเส้นตรง
With respect to a fixed origin $O$, the line $l$ has equation$$r=\begin{pmatrix}4\\2\\-3\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-4\\-3\\5\end{pmatrix}$$where $\lambda$ is a scalar constant, and the point $A$ has position vector $9\mathbf{i}-3\mathbf{j}+2\mathbf{k}$. Given that $X$ is the point on $l$ nearest to $A$,
(a) (i) find the coordinates of $X$ (ii) find the shortest distance from $A$ to $l$, giving your answer in the form $\sqrt{d}$, where $d$ is an integer.
(b) The point $B$ is the image of $A$ after reflection in $l$. Find the position vector of $B$.
เทียบกับจุดกำเนิด $O$ เส้นตรง $l$ มีสมการ$$r=\begin{pmatrix}4\\2\\-3\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-4\\-3\\5\end{pmatrix}$$เมื่อ $\lambda$ เป็นค่าคงที่สเกลาร์ และจุด $A$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $9\mathbf{i}-3\mathbf{j}+2\mathbf{k}$ กำหนดว่า $X$ เป็นจุดบน $l$ ที่อยู่ใกล้ $A$ ที่สุด
(ก) (i) จงหาพิกัดของ $X$ (ii) จงหาระยะทางสั้นที่สุดจาก $A$ ไปยัง $l$ โดยตอบในรูป $\sqrt{d}$ เมื่อ $d$ เป็นจำนวนเต็ม
(ข) จุด $B$ เป็นภาพสะท้อน (reflection) ของ $A$ เมื่อสะท้อนข้ามเส้นตรง $l$ จงหาเวกเตอร์บอกตำแหน่งของ $B$
The line $r=\begin{pmatrix}4\\2\\-3\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-4\\-3\\5\end{pmatrix}$. Write its general point at parameter $\lambda$.
เส้นตรง $r=\begin{pmatrix}4\\2\\-3\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-4\\-3\\5\end{pmatrix}$ จงเขียนจุดทั่วไปที่พารามิเตอร์ $\lambda$
Answershow ▾
Add $\lambda$ times the direction vector to the fixed point, one component at a time.บวกเวกเตอร์ทิศทางคูณ $\lambda$ เข้ากับจุดตั้งต้น ทีละองค์ประกอบ
Expand $2(t-3)+4(t+1)$ and collect the $t$ terms.
จงกระจาย $2(t-3)+4(t+1)$ แล้วรวมพจน์ $t$
Answershow ▾
Multiply out each bracket, then add the $t$ terms and the constants separately.กระจายแต่ละวงเล็บ แล้วบวกพจน์ $t$ และพจน์คงที่แยกกัน
$M=(3,5)$ is the midpoint of $A=(1,2)$ and $B$. Find $B$.
$M=(3,5)$ คือจุดกึ่งกลางของ $A=(1,2)$ และ $B$ จงหา $B$
Answershow ▾
$B=2M-A$: double the midpoint, then subtract the known point.$B=2M-A$: เอาจุดกึ่งกลางคูณสอง แล้วลบด้วยจุดที่รู้
$X$ is the point on $l$ nearest to $A$. Pick the condition that finds it.
(A) $\overrightarrow{AX}$ is perpendicular to the direction of $l$, so $\overrightarrow{AX}\cdot\begin{pmatrix}-4\\-3\\5\end{pmatrix}=0$
(B) $\overrightarrow{AX}$ is parallel to the direction of $l$
(C) $\overrightarrow{OX}\cdot\overrightarrow{OA}=0$
$X$ คือจุดบน $l$ ที่ใกล้ $A$ ที่สุด จงเลือกเงื่อนไขที่ถูกต้อง
(A) $\overrightarrow{AX}$ ตั้งฉากกับทิศทางของ $l$ จึงได้ $\overrightarrow{AX}\cdot\begin{pmatrix}-4\\-3\\5\end{pmatrix}=0$
(B) $\overrightarrow{AX}$ ขนานกับทิศทางของ $l$
(C) $\overrightarrow{OX}\cdot\overrightarrow{OA}=0$
Answershow ▾
(B) describes any point on the line in general, not specifically the nearest one. (C) uses position vectors from $O$, which has nothing to do with the vector between $A$ and the line.(B) อธิบายจุดใดก็ได้บนเส้นตรง ไม่ใช่จุดที่ใกล้ที่สุดโดยเฉพาะ · (C) ใช้เวกเตอร์บอกตำแหน่งจาก $O$ ซึ่งไม่เกี่ยวกับเวกเตอร์ระหว่าง $A$ กับเส้นตรง
$A$ has position vector $9\mathbf{i}-3\mathbf{j}+2\mathbf{k}$, and $X=(4-4\lambda,\ 2-3\lambda,\ -3+5\lambda)$. Find $\overrightarrow{AX}$.
$A$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $9\mathbf{i}-3\mathbf{j}+2\mathbf{k}$ และ $X=(4-4\lambda,\ 2-3\lambda,\ -3+5\lambda)$ จงหา $\overrightarrow{AX}$
Answershow ▾
$\overrightarrow{AX}=\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OA}$, one component at a time.$\overrightarrow{AX}=\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OA}$ ทีละองค์ประกอบ
Write $\overrightarrow{AX}\cdot\begin{pmatrix}-4\\-3\\5\end{pmatrix}=0$ using $\overrightarrow{AX}=(-5-4\lambda,\ 5-3\lambda,\ -5+5\lambda)$.
จงเขียน $\overrightarrow{AX}\cdot\begin{pmatrix}-4\\-3\\5\end{pmatrix}=0$ โดยใช้ $\overrightarrow{AX}=(-5-4\lambda,\ 5-3\lambda,\ -5+5\lambda)$
Answershow ▾
Multiply matching components, add, set the sum to $0$.คูณองค์ประกอบที่ตรงกัน บวกกัน แล้วให้ผลรวมเป็น $0$
Expand and solve $(-5-4\lambda)(-4)+(5-3\lambda)(-3)+(-5+5\lambda)(5)=0$ for $\lambda$, then find $X$.
จงกระจายและแก้ $(-5-4\lambda)(-4)+(5-3\lambda)(-3)+(-5+5\lambda)(5)=0$ หาค่า $\lambda$ แล้วหา $X$
Answershow ▾
Collect the $\lambda$ terms and the constants separately.รวมพจน์ $\lambda$ และพจน์คงที่แยกกัน
Find $\overrightarrow{AX}$ with $X=\left(\dfrac{12}5,\dfrac45,-1\right)$, then $\left|\overrightarrow{AX}\right|$ in the form $\sqrt{d}$.
จงหา $\overrightarrow{AX}$ เมื่อ $X=\left(\dfrac{12}5,\dfrac45,-1\right)$ แล้วหา $\left|\overrightarrow{AX}\right|$ ในรูป $\sqrt{d}$
Answershow ▾
Square each component, add, then square-root.ยกกำลังสองแต่ละองค์ประกอบ บวกกัน แล้วถอดราก
$X$ is the midpoint of $A$ and $B$, with $X=\left(\dfrac{12}5,\dfrac45,-1\right)$ and $A=(9,-3,2)$. Find $\overrightarrow{OB}$.
$X$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $A$ และ $B$ เมื่อ $X=\left(\dfrac{12}5,\dfrac45,-1\right)$ และ $A=(9,-3,2)$ จงหา $\overrightarrow{OB}$
Answershow ▾
$\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OA}$.$\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OA}$
The line $l: r=\begin{pmatrix}1\\5\\-2\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$, and $A$ has position vector $4\mathbf{i}+6\mathbf{j}$. Find the coordinates of $X$, the point on $l$ nearest $A$, and the shortest distance from $A$ to $l$ in the form $\sqrt{d}$. Then find $\overrightarrow{OB}$, where $B$ is the reflection of $A$ in $l$.
เส้นตรง $l: r=\begin{pmatrix}1\\5\\-2\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ และ $A$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $4\mathbf{i}+6\mathbf{j}$ จงหาพิกัดของ $X$ จุดบน $l$ ที่ใกล้ $A$ ที่สุด และระยะทางสั้นที่สุดจาก $A$ ถึง $l$ ในรูป $\sqrt{d}$ จากนั้นจงหา $\overrightarrow{OB}$ เมื่อ $B$ เป็นภาพสะท้อนของ $A$ เมื่อสะท้อนข้าม $l$
Answershow ▾
Same moves: general point, perpendicular equation, solve, then double for the reflection.ขั้นตอนเดิม: จุดทั่วไป สมการตั้งฉาก แก้สมการ แล้วคูณสองเพื่อหาภาพสะท้อน
With respect to a fixed origin $O$, the line $l$ has equation$$r=\begin{pmatrix}4\\2\\-3\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-4\\-3\\5\end{pmatrix}$$where $\lambda$ is a scalar constant, and the point $A$ has position vector $9\mathbf{i}-3\mathbf{j}+2\mathbf{k}$. Given that $X$ is the point on $l$ nearest to $A$,
(a) (i) find the coordinates of $X$ (ii) find the shortest distance from $A$ to $l$, giving your answer in the form $\sqrt{d}$, where $d$ is an integer.
(b) The point $B$ is the image of $A$ after reflection in $l$. Find the position vector of $B$.
เทียบกับจุดกำเนิด $O$ เส้นตรง $l$ มีสมการ$$r=\begin{pmatrix}4\\2\\-3\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-4\\-3\\5\end{pmatrix}$$เมื่อ $\lambda$ เป็นค่าคงที่สเกลาร์ และจุด $A$ มีเวกเตอร์บอกตำแหน่ง $9\mathbf{i}-3\mathbf{j}+2\mathbf{k}$ กำหนดว่า $X$ เป็นจุดบน $l$ ที่อยู่ใกล้ $A$ ที่สุด
(ก) (i) จงหาพิกัดของ $X$ (ii) จงหาระยะทางสั้นที่สุดจาก $A$ ไปยัง $l$ โดยตอบในรูป $\sqrt{d}$ เมื่อ $d$ เป็นจำนวนเต็ม
(ข) จุด $B$ เป็นภาพสะท้อน (reflection) ของ $A$ เมื่อสะท้อนข้ามเส้นตรง $l$ จงหาเวกเตอร์บอกตำแหน่งของ $B$
Answershow ▾
9 marks: 5 for X and the distance, 4 for the reflection.9 คะแนน: 5 คะแนนสำหรับ X และระยะทาง 4 คะแนนสำหรับภาพสะท้อน