Functions: Range, Inverse Graphs & Transformationsฟังก์ชัน: เรนจ์ กราฟตัวผกผัน และการแปลงกราฟ

A-Level Pure 1 · CAIE 9709/1 & Edexcel IAL WMA11 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upวอร์มอัพ

The range is every outputเรนจ์คือค่าที่ออกมาทั้งหมด

Range: $3\le f(x)\le9$. Write the range with $f(x)$.เรนจ์: $3\le f(x)\le9$ · เขียนเรนจ์ด้วย $f(x)$

1. $f(x)=3x-2$ for $1\le x\le4$. What is the range of $f$?$f(x)=3x-2$ เมื่อ $1\le x\le4$ · เรนจ์ของ $f$ คืออะไร?
   Answer:เฉลย: $1\le f(x)\le10$Put both ends through $f$: $f(1)=1$   $f(4)=10$   $1\le f(x)\le10$แทนปลายทั้งสองเข้า $f$: $f(1)=1$   $f(4)=10$   $1\le f(x)\le10$
2. Complete the square. Which is $x^2-6x+11$?ทำกำลังสองสมบูรณ์ · $x^2-6x+11$ เท่ากับอันไหน?
   Answer:เฉลย: $(x-3)^2+2$Halve, square, adjust: $x^2-6x+11$   $=(x-3)^2-9+11$   $=(x-3)^2+2$ This form shows the vertex of the graph: $(3,2)$.หารครึ่ง ยกกำลัง ปรับค่าคงที่: $x^2-6x+11$   $=(x-3)^2-9+11$   $=(x-3)^2+2$ รูปนี้บอกจุดยอดของกราฟ: $(3,2)$

2. Least output: the vertexค่าต่ำสุด: จุดยอด

Complete the square. The vertex gives the least value of $f(x)$.ทำกำลังสองสมบูรณ์ · จุดยอดบอกค่าต่ำสุดของ $f(x)$

$f(x)=(x-3)^2+2$ never goes below $2$$f(x)=(x-3)^2+2$ ไม่มีวันต่ำกว่า $2$

For $(x-p)^2+q$, the range is $f(x)\ge q$.สำหรับ $(x-p)^2+q$ เรนจ์คือ $f(x)\ge q$

1. $f(x)=(x-1)^2+5$ for $x\in\mathbb{R}$ (all real numbers). What is the range of $f$?$f(x)=(x-1)^2+5$ เมื่อ $x\in\mathbb{R}$ (จำนวนจริงทุกตัว) · เรนจ์ของ $f$ คืออะไร?
   Answer:เฉลย: $f(x)\ge5$The square part is never negative: $(x-1)^2\ge0$   $(x-1)^2+5\ge5$   $f(x)\ge5$ส่วนที่ยกกำลังสองไม่ติดลบ: $(x-1)^2\ge0$   $(x-1)^2+5\ge5$   $f(x)\ge5$
2. $f(x)=x^2-8x+23$ for $x\in\mathbb{R}$. Find the least value of $f(x)$.$f(x)=x^2-8x+23$ เมื่อ $x\in\mathbb{R}$ · หาค่าต่ำสุดของ $f(x)$
   Answer:เฉลย: $f(x)=(x-4)^2+7$, so the least value is $7$Complete the square, read $q$: $x^2-8x+23$   $=(x-4)^2-16+23$   $=(x-4)^2+7$   $f(x)\ge7$ทำกำลังสองสมบูรณ์ แล้วอ่าน $q$: $x^2-8x+23$   $=(x-4)^2-16+23$   $=(x-4)^2+7$   $f(x)\ge7$
3. $f(x)=x^2-4x+7$ for $x\ge3$. What is the range of $f$?$f(x)=x^2-4x+7$ เมื่อ $x\ge3$ · เรนจ์ของ $f$ คืออะไร?
   Answer:เฉลย: $f(x)\ge4$Vertex outside the domain: $f(x)=(x-2)^2+3$   $f(3)=(3-2)^2+3$   $=4$   $f(x)\ge4$ If the vertex is outside the domain, use the end of the domain.จุดยอดอยู่นอกโดเมน: $f(x)=(x-2)^2+3$   $f(3)=(3-2)^2+3$   $=4$   $f(x)\ge4$ ถ้าจุดยอดอยู่นอกโดเมน ให้ใช้ปลายของโดเมน
4. $f(x)=7+4x-x^2$ for $x\in\mathbb{R}$. What is the range of $f$?$f(x)=7+4x-x^2$ เมื่อ $x\in\mathbb{R}$ · เรนจ์ของ $f$ คืออะไร?
   Answer:เฉลย: $f(x)\le11$Minus square: a maximum: $7+4x-x^2$   $=11-(x-2)^2$   $-(x-2)^2\le0$   $f(x)\le11$ลบกำลังสอง: มีค่าสูงสุด: $7+4x-x^2$   $=11-(x-2)^2$   $-(x-2)^2\le0$   $f(x)\le11$

3. One input for each outputหนึ่งค่าออก มาจากหนึ่งค่าเข้า

A one-one function never gives the same output twice.ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ไม่ให้ค่าที่ออกมาซ้ำกัน

$f(x)=(x-2)^2+1$ for $x\in\mathbb{R}$ is not one-one$f(x)=(x-2)^2+1$ เมื่อ $x\in\mathbb{R}$ ไม่ใช่หนึ่งต่อหนึ่ง

One-one: every horizontal line meets the graph at most once.หนึ่งต่อหนึ่ง: เส้นแนวนอนทุกเส้น ตัดกราฟได้ไม่เกินหนึ่งจุด

1. Which function is one-one?ฟังก์ชันใดเป็นหนึ่งต่อหนึ่ง?
   Answer:เฉลย: $f(x)=3x-1$ for $x\in\mathbb{R}$A straight line never turns: $3a-1=3b-1$   $a=b$ Same output means same input. That is one-one.เส้นตรงไม่มีจุดวกกลับ: $3a-1=3b-1$   $a=b$ ผลเท่ากัน แปลว่าค่าที่ใส่เท่ากัน · นั่นคือหนึ่งต่อหนึ่ง
2. $f(x)=x^2-6x+5$ for $x\ge k$. Find the least value of $k$ for which $f$ is one-one.$f(x)=x^2-6x+5$ เมื่อ $x\ge k$ · หาค่า $k$ ที่น้อยที่สุด ที่ทำให้ $f$ เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง
   Answer:เฉลย: $f(x)=(x-3)^2-4$, so $k=3$Start at the vertex: $f(x)=(x-3)^2-4$   $x=3$   $k=3$ For $x\ge3$ the graph only goes up, so no output repeats.เริ่มที่จุดยอด: $f(x)=(x-3)^2-4$   $x=3$   $k=3$ เมื่อ $x\ge3$ กราฟขึ้นอย่างเดียว ค่าที่ออกมาจึงไม่ซ้ำ
3. $f(x)=2x^2+8x+1$ for $x\le k$. Find the greatest value of $k$ for which $f$ is one-one.$f(x)=2x^2+8x+1$ เมื่อ $x\le k$ · หาค่า $k$ ที่มากที่สุด ที่ทำให้ $f$ เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง
   Answer:เฉลย: $f(x)=2(x+2)^2-7$, so $k=-2$Stop at the vertex: $2x^2+8x+1$   $=2(x^2+4x)+1$   $=2(x+2)^2-8+1$   $=2(x+2)^2-7$   $k=-2$ $x\le k$ keeps the left side of the vertex.หยุดที่จุดยอด: $2x^2+8x+1$   $=2(x^2+4x)+1$   $=2(x+2)^2-8+1$   $=2(x+2)^2-7$   $k=-2$ $x\le k$ เก็บฝั่งซ้ายของจุดยอดไว้

4. Inverse of a quadraticตัวผกผันของฟังก์ชันกำลังสอง

Complete the square, then undo it one layer at a time.ทำกำลังสองสมบูรณ์ แล้วย้อนทีละชั้น

$f(x)=(x-3)^2+2$ for $x\ge3$$f(x)=(x-3)^2+2$ เมื่อ $x\ge3$

The range of $f$ is the domain of $f^{-1}$.เรนจ์ของ $f$ คือโดเมนของ $f^{-1}$

Find $f^{-1}(x)$ when $f(x)=x^2-6x+11$ for $x\ge3$หา $f^{-1}(x)$ เมื่อ $f(x)=x^2-6x+11$ สำหรับ $x\ge3$

1. $y=x^2-6x+11$Call the output $y$. The domain $x\ge3$ is the solid part.ให้ค่าที่ออกมาชื่อ $y$ · โดเมน $x\ge3$ คือเส้นทึบ
2. $y=(x-3)^2+2$Complete the square. The vertex is $(3,2)$. Subtract $2$ from both sides.ทำกำลังสองสมบูรณ์ · จุดยอดคือ $(3,2)$ · ลบ $2$ ทั้งสองข้าง
3. $y-2=(x-3)^2$Take the square root of both sides.ถอดรากที่สองทั้งสองข้าง
4. $\sqrt{y-2}=x-3$Use the positive root, because $x\ge3$ makes $x-3\ge0$. Add $3$.ใช้รากที่เป็นบวก เพราะ $x\ge3$ ทำให้ $x-3\ge0$ · บวก $3$
5. $3+\sqrt{y-2}=x$$x$ is the subject.$x$ อยู่ตัวเดียวแล้ว
6. $f^{-1}(x)=3+\sqrt{x-2}$Rename $y$ as $x$. The graph is the reflection in $y=x$.เปลี่ยน $y$ เป็น $x$ · กราฟคือภาพสะท้อนในเส้น $y=x$
7. $x\ge2$Domain of $f^{-1}$ = range of $f$.โดเมนของ $f^{-1}$ = เรนจ์ของ $f$

1. $f(x)=(x-1)^2+4$ for $x\ge1$. Which is $f^{-1}(x)$?$f(x)=(x-1)^2+4$ เมื่อ $x\ge1$ · อันไหนคือ $f^{-1}(x)$?
   Answer:เฉลย: $f^{-1}(x)=1+\sqrt{x-4}$Undo $+4$, root, undo $-1$: $y=(x-1)^2+4$   $y-4=(x-1)^2$   $\sqrt{y-4}=x-1$   $f^{-1}(x)=1+\sqrt{x-4}$ย้อน $+4$ ถอดราก ย้อน $-1$: $y=(x-1)^2+4$   $y-4=(x-1)^2$   $\sqrt{y-4}=x-1$   $f^{-1}(x)=1+\sqrt{x-4}$
2. Same $f(x)=(x-1)^2+4$ for $x\ge1$. What is the domain of $f^{-1}$?$f(x)=(x-1)^2+4$ เมื่อ $x\ge1$ ตัวเดิม · โดเมนของ $f^{-1}$ คืออะไร?
   Answer:เฉลย: $x\ge4$The range becomes the domain: $f(x)\ge4$   $x\ge4$ The range of $f$ is the domain of $f^{-1}$.เรนจ์กลายเป็นโดเมน: $f(x)\ge4$   $x\ge4$ เรนจ์ของ $f$ คือโดเมนของ $f^{-1}$
3. $f(x)=(x+2)^2-5$ for $x\ge-2$. Find $f^{-1}(x)$.$f(x)=(x+2)^2-5$ เมื่อ $x\ge-2$ · หา $f^{-1}(x)$
   Answer:เฉลย: $f^{-1}(x)=-2+\sqrt{x+5}$Undo $-5$, root, undo $+2$: $y=(x+2)^2-5$   $y+5=(x+2)^2$   $\sqrt{y+5}=x+2$   $f^{-1}(x)=-2+\sqrt{x+5}$ย้อน $-5$ ถอดราก ย้อน $+2$: $y=(x+2)^2-5$   $y+5=(x+2)^2$   $\sqrt{y+5}=x+2$   $f^{-1}(x)=-2+\sqrt{x+5}$
4. $f(x)=(x-4)^2+1$ for $x\le4$. Which is $f^{-1}(x)$?$f(x)=(x-4)^2+1$ เมื่อ $x\le4$ · อันไหนคือ $f^{-1}(x)$?
   Answer:เฉลย: $f^{-1}(x)=4-\sqrt{x-1}$$x\le4$: take the negative root: $y-1=(x-4)^2$   $-\sqrt{y-1}=x-4$   $f^{-1}(x)=4-\sqrt{x-1}$ Check: $f(3)=2$ and $f^{-1}(2)=4-1=3$.$x\le4$: ใช้รากที่เป็นลบ: $y-1=(x-4)^2$   $-\sqrt{y-1}=x-4$   $f^{-1}(x)=4-\sqrt{x-1}$ ตรวจ: $f(3)=2$ และ $f^{-1}(2)=4-1=3$

5. The graph of the inverseกราฟของตัวผกผัน

Reflect the graph of $f$ in the line $y=x$.สะท้อนกราฟของ $f$ ในเส้น $y=x$

Swap every point: $(a,b)$ becomes $(b,a)$สลับพิกัดทุกจุด: $(a,b)$ กลายเป็น $(b,a)$

The graphs of $f$ and $f^{-1}$ are reflections of each other in $y=x$.กราฟของ $f$ และ $f^{-1}$ เป็นภาพสะท้อนของกันและกันในเส้น $y=x$

1. $(3,7)$ is on the graph of $y=f(x)$. Which point is on the graph of $y=f^{-1}(x)$?$(3,7)$ อยู่บนกราฟ $y=f(x)$ · จุดใดอยู่บนกราฟ $y=f^{-1}(x)$?
   Answer:เฉลย: $(7,3)$Input and output swap: $f(3)=7$   $f^{-1}(7)=3$ค่าเข้ากับค่าออกสลับกัน: $f(3)=7$   $f^{-1}(7)=3$
2. $f(x)=(x-2)^2+3$ for $x\ge2$. The graph of $y=f(x)$ starts at $(2,3)$. Where does the graph of $y=f^{-1}(x)$ start?$f(x)=(x-2)^2+3$ เมื่อ $x\ge2$ · กราฟ $y=f(x)$ เริ่มที่ $(2,3)$ · กราฟ $y=f^{-1}(x)$ เริ่มที่จุดใด?
   Answer:เฉลย: $(3,2)$The end point swaps too: $f(2)=3$   $f^{-1}(3)=2$ $f^{-1}(x)=2+\sqrt{x-3}$ for $x\ge3$ starts at $(3,2)$.จุดปลายก็สลับด้วย: $f(2)=3$   $f^{-1}(3)=2$ $f^{-1}(x)=2+\sqrt{x-3}$ เมื่อ $x\ge3$ เริ่มที่ $(3,2)$
3. $f(x)=3x-8$ for $x\in\mathbb{R}$. The graphs of $y=f(x)$ and $y=f^{-1}(x)$ meet at one point. Find its $x$-coordinate.$f(x)=3x-8$ เมื่อ $x\in\mathbb{R}$ · กราฟ $y=f(x)$ และ $y=f^{-1}(x)$ ตัดกันที่จุดเดียว · หาพิกัด $x$ ของจุดนั้น
   Answer:เฉลย: $3x-8=x$, so $x=4$They meet on $y=x$: $3x-8=x$   $3x=x+8$   $2x=8$   $x=4$ Check with $f^{-1}(x)=\dfrac{x+8}{3}$: $f^{-1}(4)=4$.ตัดกันบนเส้น $y=x$: $3x-8=x$   $3x=x+8$   $2x=8$   $x=4$ ตรวจด้วย $f^{-1}(x)=\dfrac{x+8}{3}$: $f^{-1}(4)=4$
4. State the geometrical relationship between the graphs of $y=f(x)$ and $y=f^{-1}(x)$.บอกความสัมพันธ์เชิงเรขาคณิต ระหว่างกราฟ $y=f(x)$ และ $y=f^{-1}(x)$
   Answer:เฉลย: Reflections of each other in $y=x$.เป็นภาพสะท้อนของกันและกันในเส้น $y=x$Name the mirror line: $f:\ (a,b)$   $f^{-1}:\ (b,a)$ The exam needs the words "reflection" and "$y=x$".บอกชื่อเส้นกระจก: $f:\ (a,b)$   $f^{-1}:\ (b,a)$ ข้อสอบต้องการคำว่า "สะท้อน" และ "$y=x$"

6. Moving a graphเลื่อน ยืด และสะท้อนกราฟ

A change outside the bracket moves $y$. A change inside moves $x$, the opposite way.เปลี่ยนนอกวงเล็บ $y$ ขยับ · เปลี่ยนในวงเล็บ $x$ ขยับ ในทางตรงข้าม

$P(4,2)$ is on $y=f(x)$. Where does it go?$P(4,2)$ อยู่บน $y=f(x)$ · มันย้ายไปไหน?

Outside the bracket: $y$ changes as written. Inside: $x$ changes the opposite way.นอกวงเล็บ: $y$ เปลี่ยนตามที่เขียน · ในวงเล็บ: $x$ เปลี่ยนในทางตรงข้าม

$y=-f(x)$ and $y=f(-x)$$y=-f(x)$ และ $y=f(-x)$

$y=-f(x)$: mirror in the $x$-axis. $y=f(-x)$: mirror in the $y$-axis.$y=-f(x)$: สะท้อนในแกน $x$ · $y=f(-x)$: สะท้อนในแกน $y$

All six moves, in the words the exam usesทั้งหกท่า ในคำที่ข้อสอบใช้

Name the move and give its numbers.บอกชื่อท่า และบอกตัวเลขของมัน

1. Describe fully the single transformation that maps the graph of $y=f(x)$ onto the graph of $y=f(x-5)$.อธิบายให้ครบ การแปลงหนึ่งครั้งที่ส่งกราฟ $y=f(x)$ ไปเป็นกราฟ $y=f(x-5)$
   Answer:เฉลย: translation by $\left(\begin{smallmatrix}5\\0\end{smallmatrix}\right)$เลื่อนขนานด้วย $\left(\begin{smallmatrix}5\\0\end{smallmatrix}\right)$Inside: opposite way: $(a,b)\to(a+5,b)$ "Describe fully" needs the type and the vector.ในวงเล็บ: ทางตรงข้าม: $(a,b)\to(a+5,b)$ "อธิบายให้ครบ" ต้องบอกชนิดและเวกเตอร์
2. Describe fully the single transformation that maps the graph of $y=f(x)$ onto the graph of $y=f(3x)$.อธิบายให้ครบ การแปลงหนึ่งครั้งที่ส่งกราฟ $y=f(x)$ ไปเป็นกราฟ $y=f(3x)$
   Answer:เฉลย: stretch parallel to the $x$-axis, factor $\tfrac13$ยืดขนานแกน $x$ ตัวคูณ $\tfrac13$Inside: divide $x$: $(a,b)\to\left(\tfrac{a}{3},b\right)$ในวงเล็บ: หาร $x$: $(a,b)\to\left(\tfrac{a}{3},b\right)$
3. $(6,-4)$ is on the graph of $y=f(x)$. Find the point it moves to on $y=\tfrac12f(x)$.$(6,-4)$ อยู่บนกราฟ $y=f(x)$ · หาจุดที่มันย้ายไปบน $y=\tfrac12f(x)$
   Answer:เฉลย: $(6,-2)$Outside: multiply $y$: $y=\tfrac12\times(-4)$   $=-2$นอกวงเล็บ: คูณ $y$: $y=\tfrac12\times(-4)$   $=-2$
4. $(6,-4)$ is on the graph of $y=f(x)$. Find the point it moves to on $y=f(-x)$.$(6,-4)$ อยู่บนกราฟ $y=f(x)$ · หาจุดที่มันย้ายไปบน $y=f(-x)$
   Answer:เฉลย: $(-6,-4)$Inside minus: $y$-axis mirror: $f(-(-6))=f(6)=-4$   $(-6,-4)$ลบในวงเล็บ: สะท้อนในแกน $y$: $f(-(-6))=f(6)=-4$   $(-6,-4)$

7. Two moves: the order mattersสองท่า: ลำดับสำคัญ

Write the equation after each move. The next move acts on that whole equation.เขียนสมการหลังแต่ละท่า · ท่าต่อไปทำกับสมการนั้นทั้งก้อน

$y=2f(x)+3$ is not $y=2\big(f(x)+3\big)$$y=2f(x)+3$ ไม่ใช่ $y=2\big(f(x)+3\big)$

$y=2f(x)+3$: stretch factor $2$ first, then translate by $\left(\begin{smallmatrix}0\\3\end{smallmatrix}\right)$.$y=2f(x)+3$: ยืดตัวคูณ $2$ ก่อน แล้วเลื่อนขนานด้วย $\left(\begin{smallmatrix}0\\3\end{smallmatrix}\right)$

1. The graph of $y=f(x)$ is stretched parallel to the $y$-axis with factor $3$. Then it is translated by $\left(\begin{smallmatrix}0\\2\end{smallmatrix}\right)$. Find the new equation.กราฟ $y=f(x)$ ถูกยืดขนานแกน $y$ ตัวคูณ $3$ · แล้วเลื่อนขนานด้วย $\left(\begin{smallmatrix}0\\2\end{smallmatrix}\right)$ · หาสมการใหม่
   Answer:เฉลย: $y=3f(x)+2$One move per line: $y=f(x)$   $y=3f(x)$   $y=3f(x)+2$หนึ่งท่าต่อหนึ่งบรรทัด: $y=f(x)$   $y=3f(x)$   $y=3f(x)+2$
2. Now the other order. $y=f(x)$ is translated by $\left(\begin{smallmatrix}0\\2\end{smallmatrix}\right)$ first. Then it is stretched parallel to the $y$-axis with factor $3$. Find the new equation.คราวนี้สลับลำดับ · $y=f(x)$ ถูกเลื่อนขนานด้วย $\left(\begin{smallmatrix}0\\2\end{smallmatrix}\right)$ ก่อน · แล้วยืดขนานแกน $y$ ตัวคูณ $3$ · หาสมการใหม่
   Answer:เฉลย: $y=3f(x)+6$Stretch the whole line: $y=f(x)+2$   $y=3\big(f(x)+2\big)$   $=3f(x)+6$ยืดทั้งบรรทัด: $y=f(x)+2$   $y=3\big(f(x)+2\big)$   $=3f(x)+6$
3. $f(x)=x^2-4x$. The graph of $y=f(x)$ is reflected in the $x$-axis. Then it is translated by $\left(\begin{smallmatrix}0\\5\end{smallmatrix}\right)$. Find the new equation in the form $y=\dots$$f(x)=x^2-4x$ · กราฟ $y=f(x)$ ถูกสะท้อนในแกน $x$ · แล้วเลื่อนขนานด้วย $\left(\begin{smallmatrix}0\\5\end{smallmatrix}\right)$ · หาสมการใหม่ในรูป $y=\dots$
   Answer:เฉลย: $y=-x^2+4x+5$Reflect, then add $5$: $y=-f(x)$   $=-(x^2-4x)$   $=-x^2+4x$   $y=-x^2+4x+5$สะท้อน แล้วบวก $5$: $y=-f(x)$   $=-(x^2-4x)$   $=-x^2+4x$   $y=-x^2+4x+5$
4. $(3,4)$ is on the graph of $y=f(x)$. Find the point it moves to on $y=2f(x)-3$.$(3,4)$ อยู่บนกราฟ $y=f(x)$ · หาจุดที่มันย้ายไปบน $y=2f(x)-3$
   Answer:เฉลย: $(3,5)$Double, then subtract: $y=2(4)-3$   $=5$   $(3,5)$คูณ $2$ แล้วลบ $3$: $y=2(4)-3$   $=5$   $(3,5)$

8. Exam formฟอร์มข้อสอบ

Real wording, real marks.ภาษาข้อสอบจริง คะแนนจริง

"Describe fully" = the type and all its numbers"อธิบายให้ครบ" = ชนิดและตัวเลขทั้งหมด

A type with no numbers gets no marks.บอกแค่ชนิด ไม่บอกตัวเลข ไม่ได้คะแนน

1. Exam: The function $f$ is defined by $f(x)=2x^2-12x+23$ for $x\ge4$.  (6 marks)ข้อสอบ: ฟังก์ชัน $f$ นิยามโดย $f(x)=2x^2-12x+23$ เมื่อ $x\ge4$  (6 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $f^{-1}(x)=3+\sqrt{\dfrac{x-5}{2}}$6 marks: $\text{B1}\quad 2(x-3)^2$   $\text{B1}\quad +5$   $\text{B1}\quad f(x)\ge7$   $\text{M1}\quad \tfrac{y-5}{2}=(x-3)^2$   $\text{M1}\quad x=3+\sqrt{\tfrac{y-5}{2}}$   $\text{A1}\quad f^{-1}(x)=3+\sqrt{\tfrac{x-5}{2}}$ Part (b): the vertex $x=3$ is not in the domain. $f(4)=7$.6 คะแนน: $\text{B1}\quad 2(x-3)^2$   $\text{B1}\quad +5$   $\text{B1}\quad f(x)\ge7$   $\text{M1}\quad \tfrac{y-5}{2}=(x-3)^2$   $\text{M1}\quad x=3+\sqrt{\tfrac{y-5}{2}}$   $\text{A1}\quad f^{-1}(x)=3+\sqrt{\tfrac{x-5}{2}}$ ข้อ (ข): จุดยอด $x=3$ ไม่อยู่ในโดเมน · $f(4)=7$
2. Exam: $f(x)=x^2-2x+4$. The graph of $y=f(x)$ is transformed to the graph of $y=g(x)$ by a translation of $\left(\begin{smallmatrix}-1\\0\end{smallmatrix}\right)$ followed by a reflection in the $x$-axis. Find $g(x)$, giving your answer in its simplest form. (3 marks)ข้อสอบ: $f(x)=x^2-2x+4$ · กราฟ $y=f(x)$ ถูกแปลงเป็นกราฟ $y=g(x)$ โดยเลื่อนขนานด้วย $\left(\begin{smallmatrix}-1\\0\end{smallmatrix}\right)$ แล้วสะท้อนในแกน $x$ · หา $g(x)$ ในรูปอย่างง่าย (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $g(x)=-x^2-3$3 marks: $\text{M1}\quad (x+1)^2-2(x+1)+4$   $\text{A1}\quad f(x+1)=x^2+3$   $\text{A1}\quad g(x)=-x^2-3$ Left by $1$: replace $x$ with $x+1$.3 คะแนน: $\text{M1}\quad (x+1)^2-2(x+1)+4$   $\text{A1}\quad f(x+1)=x^2+3$   $\text{A1}\quad g(x)=-x^2-3$ ซ้าย $1$: แทน $x$ ด้วย $x+1$
3. Exam: Describe fully a sequence of two transformations that maps the graph of $y=f(x)$ onto the graph of $y=2f(x)+3$. (2 marks)ข้อสอบ: อธิบายให้ครบ ลำดับการแปลงสองครั้งที่ส่งกราฟ $y=f(x)$ ไปเป็นกราฟ $y=2f(x)+3$ (2 คะแนน)
   Answer:เฉลย: Stretch parallel to the $y$-axis, factor $2$, then translation by $\left(\begin{smallmatrix}0\\3\end{smallmatrix}\right)$.ยืดขนานแกน $y$ ตัวคูณ $2$ แล้วเลื่อนขนานด้วย $\left(\begin{smallmatrix}0\\3\end{smallmatrix}\right)$2 marks: $\text{B1}\quad y=2f(x)$   $\text{B1}\quad y=2f(x)+3$ B1 for the stretch with its factor, B1 for the vector. The order is part of the answer.2 คะแนน: $\text{B1}\quad y=2f(x)$   $\text{B1}\quad y=2f(x)+3$ B1 ให้การยืดพร้อมตัวคูณ · B1 ให้เวกเตอร์ · ลำดับเป็นส่วนหนึ่งของคำตอบ

9. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes one thing from the question before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน · แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. $f(x)=x^2-10x+30$ for $x\ge5$.  State the range of $f$ and find $f^{-1}(x)$.
   Answer:เฉลย: $f(x)\ge5$;  $f^{-1}(x)=5+\sqrt{x-5}$ for $x\ge5$Complete the square: $(x-5)^2+5$. Then undo it.ทำกำลังสองสมบูรณ์: $(x-5)^2+5$ · แล้วย้อนกลับ
2. $f(x)=3x^2+12x+7$ for $x\ge-2$.  State the range of $f$ and find $f^{-1}(x)$.
   Answer:เฉลย: $f(x)\ge-5$;  $f^{-1}(x)=-2+\sqrt{\dfrac{x+5}{3}}$Take out the common factor $3$ first: $3(x+2)^2-5$. Divide by $3$ before the root.ดึง $3$ ออกก่อน: $3(x+2)^2-5$ · หาร $3$ ก่อนถอดราก
3. $f(x)=2+\sqrt{x-1}$ for $x\ge1$.  State the range of $f$ and find $f^{-1}(x)$.
   Answer:เฉลย: $f(x)\ge2$;  $f^{-1}(x)=(x-2)^2+1$ for $x\ge2$A root this time. The inverse of a root is a square.คราวนี้เป็นราก · ตัวผกผันของรากคือกำลังสอง
4. $f(x)=(x-1)^2+2$ for $x\ge1$ and $g(x)=2x+3$.  Find the range of $gf$.
   Answer:เฉลย: $gf(x)=2(x-1)^2+7$, so $gf(x)\ge7$Find $gf$ first, then the range: $gf(1)=g(2)$   $=7$หา $gf$ ก่อน แล้วหาเรนจ์: $gf(1)=g(2)$   $=7$
5. $f^{-1}(x)=2+\sqrt{x+1}$ for $x\ge-1$.  Find $f(x)$ and state its domain.
   Answer:เฉลย: $f(x)=(x-2)^2-1$ for $x\ge2$The inverse of $f^{-1}$ is $f$. The range of $f^{-1}$ is the domain of $f$.ตัวผกผันของ $f^{-1}$ คือ $f$ · เรนจ์ของ $f^{-1}$ คือโดเมนของ $f$
6. $f(x)=x^2+4x$ for $x\in\mathbb{R}$. The graph of $y=f(x)$ is transformed to $y=g(x)$ by a translation of $\left(\begin{smallmatrix}2\\0\end{smallmatrix}\right)$ followed by a stretch parallel to the $y$-axis with factor $3$.  Find $g(x)$ and state the range of $g$.
   Answer:เฉลย: $g(x)=3x^2-12$;  $g(x)\ge-12$$g(x)=3f(x-2)$. Simplify before you find the range.$g(x)=3f(x-2)$ · จัดรูปก่อนหาเรนจ์

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี