Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Sketching Curves: Cubics, Reciprocals & Intersectionsการสเก็ตช์กราฟ: กำลังสาม ส่วนกลับ และจุดตัด

A-Level Pure 1 · CAIE 9709/1 & Edexcel IAL WMA11 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upวอร์มอัพ

The brackets say where the curve crossesวงเล็บบอกว่าเส้นตัดแกนตรงไหน

Put $y=0$ for the $x$-axis. Put $x=0$ for the $y$-axis.ใส่ $y=0$ หาแกน $x$ · ใส่ $x=0$ หาแกน $y$

  1. $y=(x+2)(x-5)$. Where does the curve meet the $x$-axis?$y=(x+2)(x-5)$ · เส้นโค้งตัดแกน $x$ ที่ไหน?
    Answer:เฉลย: $x=-2$ and $x=5$Each bracket gives one root: $x+2=0$   $x=-2$   $x-5=0$   $x=5$แต่ละวงเล็บให้รากหนึ่งค่า: $x+2=0$   $x=-2$   $x-5=0$   $x=5$
  2. $y=(x+2)(x-5)$. Find the $y$-coordinate of the point where the curve meets the $y$-axis.$y=(x+2)(x-5)$ · หาค่า $y$ ของจุดที่เส้นโค้งตัดแกน $y$
    Answer:เฉลย: $y=(2)(-5)=-10$Put $x=0$ into both brackets: $y=(0+2)(0-5)$   $=(2)(-5)$   $=-10$ The $y$-intercept needs the whole bracket, not the number inside it.ใส่ $x=0$ ลงทั้งสองวงเล็บ: $y=(0+2)(0-5)$   $=(2)(-5)$   $=-10$ จุดตัดแกน $y$ ใช้ค่าทั้งวงเล็บ ไม่ใช่ตัวเลขข้างใน

2. Three brackets, three crossingsสามวงเล็บ ตัดสามจุด

Find the roots and the $y$-intercept, then draw the two ends.หารากกับจุดตัดแกน $y$ แล้วลากปลายทั้งสองข้าง

$y=(x+1)(x-2)(x-4)$$y=(x+1)(x-2)(x-4)$

Mark the roots and the $y$-intercept before you draw.ทำเครื่องหมายรากกับจุดตัดแกน $y$ ก่อนลากเส้น

Sketch $y=(x+1)(x-2)(x-4)$สเก็ตช์ $y=(x+1)(x-2)(x-4)$

  1. $0=(x+1)(x-2)(x-4)$Three brackets. Put $y=0$ to find the $x$-axis points.สามวงเล็บ · ใส่ $y=0$ เพื่อหาจุดบนแกน $x$
  2. $x=-1,\ x=2,\ x=4$Mark the three roots.ทำเครื่องหมายรากทั้งสามค่า
  3. $y=(0+1)(0-2)(0-4)$Put $x=0$ for the $y$-axis point.ใส่ $x=0$ เพื่อหาจุดบนแกน $y$
  4. $=8$Mark $(0,8)$.ทำเครื่องหมายที่ $(0,8)$
  5. $(11)(8)(6)=528$Put $x=10$ in. The answer is positive, so the right end goes up.ใส่ $x=10$ · ได้ค่าบวก ปลายขวาจึงชี้ขึ้น
  6. $(-9)(-12)(-14)=-1512$Put $x=-10$ in. The answer is negative, so the left end comes from below.ใส่ $x=-10$ · ได้ค่าลบ ปลายซ้ายจึงมาจากข้างล่าง
  1. $y=(x-1)(x-3)(x+2)$. Where does the curve meet the $x$-axis?$y=(x-1)(x-3)(x+2)$ · เส้นโค้งตัดแกน $x$ ที่ไหน?
    Answer:เฉลย: $x=1,\ x=3,\ x=-2$Set each bracket to zero: $(x-1)(x-3)(x+2)=0$   $x=1,\ x=3,\ x=-2$ A product is zero only when one of its brackets is zero.ให้แต่ละวงเล็บเป็นศูนย์: $(x-1)(x-3)(x+2)=0$   $x=1,\ x=3,\ x=-2$ ผลคูณเป็นศูนย์ ก็ต่อเมื่อมีวงเล็บหนึ่งเป็นศูนย์
  2. $y=(x-1)(x-3)(x+2)$. Find the $y$-coordinate of the point where the curve meets the $y$-axis.$y=(x-1)(x-3)(x+2)$ · หาค่า $y$ ของจุดที่เส้นโค้งตัดแกน $y$
    Answer:เฉลย: $y=(-1)(-3)(2)=6$Put $x=0$ into all three: $y=(0-1)(0-3)(0+2)$   $=(-1)(-3)(2)$   $=6$ใส่ $x=0$ ลงทั้งสามวงเล็บ: $y=(0-1)(0-3)(0+2)$   $=(-1)(-3)(2)$   $=6$
  3. $y=(x+1)(x-2)(x-4)$. Work out $y$ when $x=3$.$y=(x+1)(x-2)(x-4)$ · หาค่า $y$ เมื่อ $x=3$
    Answer:เฉลย: $y=(4)(1)(-1)=-4$One negative bracket makes $y$ negative: $y=(3+1)(3-2)(3-4)$   $=(4)(1)(-1)$   $=-4$ Between the roots $2$ and $4$ the curve is below the $x$-axis.วงเล็บลบหนึ่งตัวทำให้ $y$ ติดลบ: $y=(3+1)(3-2)(3-4)$   $=(4)(1)(-1)$   $=-4$ ระหว่างราก $2$ กับ $4$ เส้นโค้งอยู่ใต้แกน $x$
  4. $y=(x+2)(x-1)(x-3)$. For which values of $x$ is the curve below the $x$-axis?$y=(x+2)(x-1)(x-3)$ · เส้นโค้งอยู่ใต้แกน $x$ ที่ค่า $x$ ช่วงใด?
    Answer:เฉลย: $x\lt-2$ and $1\lt x\lt3$Count the negative brackets: $(-1)(-4)(-6)=-24$   $(2)(-1)(-3)=6$   $(4)(1)(-1)=-4$   $(6)(3)(1)=18$ Those are $x=-3,0,2,4$. The sign changes at every root.นับวงเล็บที่ติดลบ: $(-1)(-4)(-6)=-24$   $(2)(-1)(-3)=6$   $(4)(1)(-1)=-4$   $(6)(3)(1)=18$ นี่คือ $x=-3,0,2,4$ · เครื่องหมายเปลี่ยนที่รากทุกตัว

3. A repeated bracket: the curve touchesวงเล็บซ้ำ: เส้นแตะแกน

A squared bracket makes the curve touch the $x$-axis, not cross it.วงเล็บยกกำลังสองทำให้เส้นแตะแกน $x$ ไม่ตัดผ่าน

$y=(x+1)(x-3)^2$$y=(x+1)(x-3)^2$

A squared bracket is never negative, so the curve stays on one side.วงเล็บยกกำลังสองไม่ติดลบ เส้นจึงอยู่ข้างเดียว

  1. $y=x(x-2)^2$. Which statement is right?$y=x(x-2)^2$ · ข้อความใดถูก?
    Answer:เฉลย: The curve crosses at $x=0$ and touches at $x=2$.เส้นตัดผ่านที่ $x=0$ และแตะที่ $x=2$The squared bracket touches: $(1)(-1)^2=1$   $(3)(1)^2=3$ Those are $x=1$ and $x=3$. Both sides of $x=2$ are positive.วงเล็บยกกำลังสองคือจุดแตะ: $(1)(-1)^2=1$   $(3)(1)^2=3$ นี่คือ $x=1$ กับ $x=3$ · สองข้างของ $x=2$ เป็นบวกทั้งคู่
  2. $y=(x-1)^2(x+4)$. Find the $y$-coordinate of the point where the curve meets the $y$-axis.$y=(x-1)^2(x+4)$ · หาค่า $y$ ของจุดที่เส้นโค้งตัดแกน $y$
    Answer:เฉลย: $y=(-1)^2(4)=4$Square the first bracket first: $y=(0-1)^2(0+4)$   $=(1)(4)$   $=4$ยกกำลังสองวงเล็บแรกก่อน: $y=(0-1)^2(0+4)$   $=(1)(4)$   $=4$
  3. $y=(x-5)^2(x+2)$. Write down the $x$-coordinate of the point where the curve touches the $x$-axis.$y=(x-5)^2(x+2)$ · เขียนค่า $x$ ของจุดที่เส้นโค้งแตะแกน $x$
    Answer:เฉลย: $x=5$The squared bracket names the touch: $(x-5)^2=0$   $x-5=0$   $x=5$ A squared bracket gives one touch. A single bracket gives one crossing.วงเล็บยกกำลังสองบอกจุดแตะ: $(x-5)^2=0$   $x-5=0$   $x=5$ วงเล็บยกกำลังสองให้จุดแตะ · วงเล็บเดี่ยวให้จุดตัดผ่าน
  4. $y=(x+1)(x-3)^2$. What is the sign of $y$ at $x=2.9$ and at $x=3.1$?$y=(x+1)(x-3)^2$ · ที่ $x=2.9$ และ $x=3.1$ ค่า $y$ มีเครื่องหมายอะไร?
    Answer:เฉลย: Positive at bothเป็นบวกทั้งสองค่าBoth sides stay positive: $(3.9)(0.01)=0.039$   $(4.1)(0.01)=0.041$ The curve reaches $0$ at $x=3$ and goes back up. That is a touch.สองข้างเป็นบวกทั้งคู่: $(3.9)(0.01)=0.039$   $(4.1)(0.01)=0.041$ เส้นลงไปถึง $0$ ที่ $x=3$ แล้วกลับขึ้น · นั่นคือการแตะ

4. A minus in front turns it overมีลบข้างหน้า เส้นพลิกกลับ

The crossings stay. Both ends swap.จุดตัดเท่าเดิม · ปลายทั้งสองข้างสลับกัน

$y=-(x+2)(x-1)(x-3)$$y=-(x+2)(x-1)(x-3)$

A minus in front keeps the roots and swaps the two ends.ลบข้างหน้าไม่เปลี่ยนราก แต่สลับปลายทั้งสองข้าง

  1. $y=-(x-1)(x-2)(x-5)$. What happens to $y$ when $x$ is large and positive?$y=-(x-1)(x-2)(x-5)$ · เมื่อ $x$ เป็นบวกและมีค่ามาก $y$ เป็นอย่างไร?
    Answer:เฉลย: $y$ is large and negative$y$ เป็นลบและมีค่ามากTest a large $x$: $-(9)(8)(5)=-360$ That is $x=10$. The right end of a negative cubic goes down.ลองแทนค่า $x$ มาก ๆ: $-(9)(8)(5)=-360$ นี่คือ $x=10$ · ปลายขวาของกำลังสามที่ติดลบชี้ลง
  2. $y=-(x+1)(x-2)(x-4)$. Find the $y$-coordinate of the point where the curve meets the $y$-axis.$y=-(x+1)(x-2)(x-4)$ · หาค่า $y$ ของจุดที่เส้นโค้งตัดแกน $y$
    Answer:เฉลย: $y=-(1)(-2)(-4)=-8$Multiply, then apply the minus: $y=-(0+1)(0-2)(0-4)$   $=-(1)(-2)(-4)$   $=-(8)$   $=-8$คูณก่อน แล้วค่อยใส่ลบ: $y=-(0+1)(0-2)(0-4)$   $=-(1)(-2)(-4)$   $=-(8)$   $=-8$
  3. $y=-x(x-4)^2$. Work out $y$ when $x=1$.$y=-x(x-4)^2$ · หาค่า $y$ เมื่อ $x=1$
    Answer:เฉลย: $y=-(1)(-3)^2=-9$Square first, minus last: $y=-(1)(1-4)^2$   $=-(1)(-3)^2$   $=-(1)(9)$   $=-9$ The squared bracket is still positive. Only the front minus changes the sign.ยกกำลังสองก่อน ลบทีหลัง: $y=-(1)(1-4)^2$   $=-(1)(-3)^2$   $=-(1)(9)$   $=-9$ วงเล็บยกกำลังสองยังเป็นบวก · มีแค่ลบข้างหน้าที่เปลี่ยนเครื่องหมาย

5. The reciprocal curve and its asymptotesกราฟส่วนกลับกับเส้นกำกับ

$y=\dfrac{k}{x}$ has two branches, and it meets neither axis.$y=\dfrac{k}{x}$ มีสองกิ่ง และไม่ตัดแกนทั้งสอง

$y=\dfrac{6}{x}$$y=\dfrac{6}{x}$

Divide by a bigger $x$ and $y$ gets smaller, but never $0$.หารด้วย $x$ ที่โตขึ้น $y$ ก็เล็กลง แต่ไม่เป็น $0$

  1. $y=\dfrac{8}{x}$. Which point is on the curve?$y=\dfrac{8}{x}$ · จุดใดอยู่บนเส้นโค้ง?
    Answer:เฉลย: $(2,4)$Divide $8$ by the $x$-value: $y=\dfrac{8}{2}$   $=4$หาร $8$ ด้วยค่า $x$: $y=\dfrac{8}{2}$   $=4$
  2. $y=\dfrac{12}{x}$. Work out $y$ when $x=-3$.$y=\dfrac{12}{x}$ · หาค่า $y$ เมื่อ $x=-3$
    Answer:เฉลย: $y=\dfrac{12}{-3}=-4$Divide by a negative: $y=\dfrac{12}{-3}$   $=-4$ When $k$ is positive, $y$ has the same sign as $x$.หารด้วยจำนวนลบ: $y=\dfrac{12}{-3}$   $=-4$ เมื่อ $k$ เป็นบวก · $y$ มีเครื่องหมายเดียวกับ $x$
  3. $y=\dfrac{5}{x}$. Which statement is true?$y=\dfrac{5}{x}$ · ข้อความใดเป็นจริง?
    Answer:เฉลย: The curve never meets the $y$-axis.เส้นโค้งไม่ตัดแกน $y$Both axes are asymptotes: $\dfrac{5}{0.1}=50$   $\dfrac{5}{0.01}=500$   $\dfrac{5}{0.001}=5000$ As $x$ gets near $0$, $y$ gets huge. The curve never reaches the $y$-axis.แกนทั้งสองเป็นเส้นกำกับ: $\dfrac{5}{0.1}=50$   $\dfrac{5}{0.01}=500$   $\dfrac{5}{0.001}=5000$ เมื่อ $x$ เข้าใกล้ $0$ · $y$ โตมาก · เส้นโค้งจึงไม่ถึงแกน $y$
  4. The sketch shows $y=\dfrac{4}{x^2}$. Work out $y$ when $x=4$.ภาพแสดง $y=\dfrac{4}{x^2}$ · หาค่า $y$ เมื่อ $x=4$
    Answer:เฉลย: $y=\dfrac{4}{16}=0.25$Square $x$, then divide: $y=\dfrac{4}{4^2}$   $=\dfrac{4}{16}$   $=0.25$ Both branches sit above the $x$-axis, because a square is never negative.ยกกำลังสอง $x$ ก่อน แล้วหาร: $y=\dfrac{4}{4^2}$   $=\dfrac{4}{16}$   $=0.25$ กิ่งทั้งสองอยู่เหนือแกน $x$ เพราะกำลังสองไม่ติดลบ

6. Where two graphs meetจุดที่กราฟสองเส้นตัดกัน

Each crossing on the sketch is one solution of the equation.จุดตัดแต่ละจุดในภาพ คือคำตอบหนึ่งค่าของสมการ

Where does $y=\dfrac{6}{x}$ meet $y=x+1$?$y=\dfrac{6}{x}$ ตัดกับ $y=x+1$ ที่ไหน?

Set the two equations equal. Each solution is one crossing.ให้สมการสองอันเท่ากัน · คำตอบแต่ละค่าคือจุดตัดหนึ่งจุด

Solve $\dfrac{6}{x}=x+1$แก้ $\dfrac{6}{x}=x+1$

  1. $\dfrac{6}{x}=x+1$Set the two equations equal. Multiply both sides by $x$.ให้สองสมการเท่ากัน · คูณสองข้างด้วย $x$
  2. $6=x(x+1)$$x$ is not $0$, so this step is allowed.$x$ ไม่เป็น $0$ · ขั้นนี้จึงทำได้
  3. $6=x^2+x$Expand the bracket. Subtract $6$ from both sides.กระจายวงเล็บ · ลบ $6$ ทั้งสองข้าง
  4. $0=x^2+x-6$A quadratic. Factorise it.ได้สมการกำลังสอง · แยกตัวประกอบ
  5. $0=(x+3)(x-2)$Two brackets give two values of $x$.สองวงเล็บให้ $x$ สองค่า
  6. $x=-3,\ x=2$Two solutions. The sketch showed two crossings.ได้สองคำตอบ · ภาพก็มีจุดตัดสองจุด
  7. $y=-2,\ y=3$Put each $x$ into $y=x+1$ to get $y$.แทนค่า $x$ แต่ละค่าใน $y=x+1$ เพื่อหา $y$
  1. The sketch shows $y=x^3-3x$ and $y=1$. How many solutions does $x^3-3x=1$ have?ภาพแสดง $y=x^3-3x$ กับ $y=1$ · สมการ $x^3-3x=1$ มีกี่คำตอบ?
    Answer:เฉลย: $3$One crossing, one solution: $(-1)^3-3(-1)=2$   $(1)^3-3(1)=-2$ The curve rises to $2$ and falls to $-2$, so the line $y=1$ is crossed three times.หนึ่งจุดตัด หนึ่งคำตอบ: $(-1)^3-3(-1)=2$   $(1)^3-3(1)=-2$ เส้นโค้งขึ้นถึง $2$ และลงถึง $-2$ · เส้น $y=1$ จึงถูกตัดสามครั้ง
  2. Solve $\dfrac{8}{x}=x-2$. Give both values of $x$.แก้ $\dfrac{8}{x}=x-2$ · ตอบค่า $x$ ทั้งสองค่า
    Answer:เฉลย: $x=4$ or $x=-2$Multiply by $x$, then factorise: $\dfrac{8}{x}=x-2$   $8=x^2-2x$   $0=x^2-2x-8$   $0=(x-4)(x+2)$   $x=4,\ x=-2$คูณด้วย $x$ แล้วแยกตัวประกอบ: $\dfrac{8}{x}=x-2$   $8=x^2-2x$   $0=x^2-2x-8$   $0=(x-4)(x+2)$   $x=4,\ x=-2$
  3. How many solutions does $x^2+1=x$ have?สมการ $x^2+1=x$ มีกี่คำตอบ?
    Answer:เฉลย: Noneไม่มีคำตอบThe discriminant is negative: $x^2+1=x$   $x^2-x+1=0$   $b^2-4ac=(-1)^2-4(1)(1)$   $=-3$ A negative discriminant means the curve $y=x^2+1$ and the line $y=x$ never meet.ดิสคริมิแนนต์ติดลบ: $x^2+1=x$   $x^2-x+1=0$   $b^2-4ac=(-1)^2-4(1)(1)$   $=-3$ ดิสคริมิแนนต์ติดลบ แปลว่าเส้นโค้ง $y=x^2+1$ กับเส้นตรง $y=x$ ไม่ตัดกัน
  4. The curve $y=x^2-4x+7$ and the line $y=3$ meet. How many points do they meet at?เส้นโค้ง $y=x^2-4x+7$ กับเส้นตรง $y=3$ พบกัน · พบกันกี่จุด?
    Answer:เฉลย: One point, at $(2,3)$A repeated root is one point: $x^2-4x+7=3$   $x^2-4x+4=0$   $(x-2)^2=0$   $x=2$ The line is a tangent. It touches the curve, the same way a squared bracket does.รากซ้ำคือหนึ่งจุด: $x^2-4x+7=3$   $x^2-4x+4=0$   $(x-2)^2=0$   $x=2$ เส้นตรงเป็นเส้นสัมผัส · มันแตะเส้นโค้ง เหมือนวงเล็บยกกำลังสอง

7. Exam formภาษาข้อสอบ

Real wording, real marks.ภาษาข้อสอบจริง คะแนนจริง

Label every point the question namesติดป้ายทุกจุดที่โจทย์ถาม

Marks go to the axis points, and to a curve that misses its asymptotes.คะแนนอยู่ที่จุดตัดแกน และเส้นที่ไม่แตะเส้นกำกับ

  1. Exam: The curve $C$ has equation $y=(x+3)(x-1)(x-2)$.  (4 marks)ข้อสอบ: เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=(x+3)(x-1)(x-2)$  (4 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $x=-3,\ 1,\ 2$  and  $y=6$4 marks: $\text{M1}\quad (x+3)(x-1)(x-2)=0$   $\text{A1}\quad x=-3,\ 1,\ 2$   $\text{M1}\quad y=(0+3)(0-1)(0-2)$   $\text{A1}\quad y=6$ The mark is lost when the $y$-intercept is left off the sketch.4 คะแนน: $\text{M1}\quad (x+3)(x-1)(x-2)=0$   $\text{A1}\quad x=-3,\ 1,\ 2$   $\text{M1}\quad y=(0+3)(0-1)(0-2)$   $\text{A1}\quad y=6$ คะแนนหายเมื่อไม่ใส่จุดตัดแกน $y$ ลงในภาพ
  2. Exam: The curve $C$ has equation $y=x^2(x-5)$ and the line $l$ has equation $y=-4x$. Find the $x$-coordinates of the points where $l$ meets $C$.  (3 marks)ข้อสอบ: เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=x^2(x-5)$ และเส้นตรง $l$ มีสมการ $y=-4x$ · หาค่า $x$ ของจุดที่ $l$ พบ $C$  (3 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $x=0,\ x=1,\ x=4$3 marks: $\text{M1}\quad x^2(x-5)=-4x$   $\text{M1}\quad x(x-1)(x-4)=0$   $\text{A1}\quad x=0,\ 1,\ 4$ Dividing by $x$ loses the solution $x=0$ and one mark.3 คะแนน: $\text{M1}\quad x^2(x-5)=-4x$   $\text{M1}\quad x(x-1)(x-4)=0$   $\text{A1}\quad x=0,\ 1,\ 4$ การหารด้วย $x$ ทำให้เสียคำตอบ $x=0$ และเสียหนึ่งคะแนน
  3. Exam: The sketch shows $y=\dfrac{8}{x}$ and $y=x^2$ on the same axes. Hence state the number of solutions of the equation $x^3=8$.  (2 marks)ข้อสอบ: ภาพแสดง $y=\dfrac{8}{x}$ กับ $y=x^2$ บนแกนเดียวกัน · จงบอกจำนวนคำตอบของสมการ $x^3=8$  (2 คะแนน)
    Answer:เฉลย: Oneหนึ่งคำตอบ2 marks: $\text{B1}\quad \dfrac{8}{x}=x^2$   $\text{B1}\quad \text{one crossing}$ The command word "hence" means the answer comes from the sketch.2 คะแนน: $\text{B1}\quad \dfrac{8}{x}=x^2$   $\text{B1}\quad \text{one crossing}$ คำสั่ง "hence" แปลว่าคำตอบมาจากภาพ

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes one thing from the question before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน · แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. Sketch $y=(x+2)(x-1)(x-3)$.  Write down every point where it meets the axes.
    Answer:เฉลย: $x$-axis at $x=-2,\ 1,\ 3$;  $y$-axis at $(0,6)$Roots from the brackets, $y$-intercept from $x=0$.รากมาจากวงเล็บ · จุดตัดแกน $y$ มาจาก $x=0$
  2. Sketch $y=(2x-1)(x+4)(x-5)$.  Write down every point where it meets the axes.
    Answer:เฉลย: $x$-axis at $x=\tfrac12,\ -4,\ 5$;  $y$-axis at $(0,20)$$2x-1=0$ gives a fraction. The method does not change.$2x-1=0$ ให้เศษส่วน · วิธีทำเหมือนเดิม
  3. Sketch $y=\dfrac{10}{x}$.  Write down the equations of its two asymptotes.
    Answer:เฉลย: Two branches;  asymptotes $x=0$ and $y=0$A reciprocal curve, not a cubic. The axes are the asymptotes.กราฟส่วนกลับ ไม่ใช่กำลังสาม · แกนทั้งสองคือเส้นกำกับ
  4. The curve $y=x^2-6x+10$ and the line $y=1$.  How many points do they meet at, and why?
    Answer:เฉลย: One point:  $x^2-6x+9=0$, so $(x-3)^2=0$The discriminant is $0$, so the line is a tangent.ดิสคริมิแนนต์เป็น $0$ · เส้นตรงจึงเป็นเส้นสัมผัส
  5. A cubic curve crosses the $x$-axis at $x=-3$, touches it at $x=2$, and passes through $(0,12)$.  Find its equation.
    Answer:เฉลย: $y=(x+3)(x-2)^2$Build the brackets from the roots, then use $(0,12)$ to find the factor in front.สร้างวงเล็บจากราก แล้วใช้ $(0,12)$ หาตัวคูณข้างหน้า
  6. Exam: $f(x)=x(x-4)^2$.  (a) Sketch $y=f(x)$, showing the coordinates of the points where the curve meets the coordinate axes.  (b) Find the coordinates of the points where the line $y=9x$ meets the curve $y=f(x)$.
    Answer:เฉลย: (a) crosses at $(0,0)$, touches at $(4,0)$;  (b) $(0,0)$, $(1,9)$, $(7,63)$Take out the common factor $x$, then solve $(x-4)^2=9$.ดึงตัวประกอบร่วม $x$ ออก แล้วแก้ $(x-4)^2=9$

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี