Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Differentiation from First Principlesอนุพันธ์จากนิยาม (First Principles)

A-Level Pure 1 · CAIE 9709/1 & Edexcel IAL WMA11 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upวอร์มอัพ

Two points give one gradientสองจุด ได้ความชันหนึ่งค่า

Gradient $=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, for any two points on the line.ความชัน $=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ · ใช้ได้กับสองจุดใดก็ได้บนเส้น

  1. $C(2,5)$ and $D(6,17)$ are on a line. Find the gradient of $CD$.$C(2,5)$ กับ $D(6,17)$ อยู่บนเส้นตรง · หาความชันของ $CD$
    Answer:เฉลย: $3$Rise over run: $\dfrac{17-5}{6-2}$   $=\dfrac{12}{4}$   $=3$ขึ้น ÷ ไป: $\dfrac{17-5}{6-2}$   $=\dfrac{12}{4}$   $=3$
  2. Expand $(x+h)^2$.กระจาย $(x+h)^2$
    Answer:เฉลย: $x^2+2xh+h^2$Square of a sum: $(x+h)(x+h)$   $=x^2+xh+xh+h^2$   $=x^2+2xh+h^2$ Every first principles proof starts with this expansion.กำลังสองของผลบวก: $(x+h)(x+h)$   $=x^2+xh+xh+h^2$   $=x^2+2xh+h^2$ การพิสูจน์จากนิยามทุกข้อ เริ่มจากการกระจายแบบนี้

2. The gradient of a chordความชันของคอร์ด

A chord joins two points on the curve. Use rise over run.คอร์ดเชื่อมสองจุดบนเส้นโค้ง · ใช้ ขึ้น ÷ ไป ได้เลย

$P(1,1)$ and $Q(3,9)$ are on $y=x^2$$P(1,1)$ กับ $Q(3,9)$ อยู่บน $y=x^2$

A chord is a line through two points of the curve.คอร์ดคือเส้นตรงที่ลากผ่านสองจุดของเส้นโค้ง

  1. Same curve $y=x^2$, same $P(1,1)$. Now $Q$ is $(4,16)$. Find the gradient of $PQ$.เส้นโค้ง $y=x^2$ เดิม จุด $P(1,1)$ เดิม · ตอนนี้ $Q$ คือ $(4,16)$ · หาความชันของ $PQ$
    Answer:เฉลย: $5$Rise over run again: $\dfrac{16-1}{4-1}$   $=\dfrac{15}{3}$   $=5$ขึ้น ÷ ไป เหมือนเดิม: $\dfrac{16-1}{4-1}$   $=\dfrac{15}{3}$   $=5$
  2. Move $Q$ closer to $P$. Now $Q$ is $(1.5,\,2.25)$. Find the gradient of $PQ$.เลื่อน $Q$ เข้าใกล้ $P$ · ตอนนี้ $Q$ คือ $(1.5,\,2.25)$ · หาความชันของ $PQ$
    Answer:เฉลย: $2.5$A smaller gap: $\dfrac{2.25-1}{1.5-1}$   $=\dfrac{1.25}{0.5}$   $=2.5$ $P$ did not move. The gradient changed because $Q$ moved.ช่องว่างแคบลง: $\dfrac{2.25-1}{1.5-1}$   $=\dfrac{1.25}{0.5}$   $=2.5$ $P$ อยู่ที่เดิม · ความชันเปลี่ยนเพราะ $Q$ ขยับ
  3. The tangent at $P$ has gradient $2$. Which chord gradient is closest to $2$?เส้นสัมผัสที่ $P$ มีความชัน $2$ · ความชันของคอร์ดอันไหนใกล้ $2$ ที่สุด?
    Answer:เฉลย: $Q$ at $x=1.5$: gradient $2.5$$Q$ ที่ $x=1.5$: ความชัน $2.5$Closer $Q$, closer gradient: $5-2=3$   $4-2=2$   $2.5-2=0.5$ The chord gradient gets near the tangent gradient as $Q$ gets near $P$.$Q$ ใกล้ขึ้น ความชันใกล้ขึ้น: $5-2=3$   $4-2=2$   $2.5-2=0.5$ ยิ่ง $Q$ ใกล้ $P$ ความชันคอร์ดยิ่งใกล้ความชันเส้นสัมผัส

3. Make the gap smallerทำให้ช่องว่างเล็กลง

Slide $Q$ towards $P$ and watch the chord gradients.เลื่อน $Q$ เข้าหา $P$ แล้วดูความชันของคอร์ด

$P(1,1)$ stays. $Q$ comes closer.$P(1,1)$ อยู่ที่เดิม · $Q$ เข้ามาใกล้ขึ้น

The gradients go to $2$. They never reach it.ความชันเข้าใกล้ $2$ · แต่ไม่เคยถึง $2$

  1. One more row. $Q$ is $(1.2,\,1.44)$ on $y=x^2$. Find the gradient of $PQ$.เพิ่มอีกแถว · $Q$ คือ $(1.2,\,1.44)$ บน $y=x^2$ · หาความชันของ $PQ$
    Answer:เฉลย: $2.2$Between $2.5$ and $2.1$: $\dfrac{1.44-1}{1.2-1}$   $=\dfrac{0.44}{0.2}$   $=2.2$อยู่ระหว่าง $2.5$ กับ $2.1$: $\dfrac{1.44-1}{1.2-1}$   $=\dfrac{0.44}{0.2}$   $=2.2$
  2. The chord gradients are $4$, $3$, $2.5$, $2.2$, $2.1$, $2.01$. Which number do they go to?ความชันของคอร์ดคือ $4$, $3$, $2.5$, $2.2$, $2.1$, $2.01$ · ค่าเหล่านี้เข้าใกล้เลขอะไร?
    Answer:เฉลย: $2$The list closes on one number: $2.1-2=0.1$   $2.01-2=0.01$   $2.001-2=0.001$ The distance to $2$ gets as small as you like. That number is the limit.ค่าในแถวบีบเข้าหาเลขตัวเดียว: $2.1-2=0.1$   $2.01-2=0.01$   $2.001-2=0.001$ ระยะห่างจาก $2$ เล็กลงได้เรื่อยๆ · เลขตัวนั้นเรียกว่าลิมิต
  3. New point. $P$ is $(2,4)$ and $Q$ is $(2.1,\,4.41)$ on $y=x^2$. Find the gradient of $PQ$.เปลี่ยนจุด · $P$ คือ $(2,4)$ และ $Q$ คือ $(2.1,\,4.41)$ บน $y=x^2$ · หาความชันของ $PQ$
    Answer:เฉลย: $4.1$At $x=2$ the number is $4$: $\dfrac{4.41-4}{2.1-2}$   $=\dfrac{0.41}{0.1}$   $=4.1$ At $x=1$ the gradients went to $2$. At $x=2$ they go to $4$.ที่ $x=2$ ค่าที่ได้คือ $4$: $\dfrac{4.41-4}{2.1-2}$   $=\dfrac{0.41}{0.1}$   $=4.1$ ที่ $x=1$ ความชันเข้าใกล้ $2$ · ที่ $x=2$ เข้าใกล้ $4$

4. Name the gap $h$ตั้งชื่อช่องว่างว่า $h$

Write the chord gradient as one fraction in $x$ and $h$.เขียนความชันของคอร์ดเป็นเศษส่วนเดียวในรูป $x$ กับ $h$

$P$ is at $x$. $Q$ is at $x+h$.$P$ อยู่ที่ $x$ · $Q$ อยู่ที่ $x+h$

One fraction now covers every row of the table.เศษส่วนเดียว ใช้ได้กับทุกแถวในตาราง

  1. $f(x)=x^2$. Which fraction is the gradient of the chord $PQ$?$f(x)=x^2$ · เศษส่วนไหนคือความชันของคอร์ด $PQ$?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}$Rise over run, in letters: $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$   $=\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}$ขึ้น ÷ ไป ในรูปตัวอักษร: $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$   $=\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}$
  2. Expand and simplify the numerator: $(x+h)^2-x^2$.กระจายแล้วจัดรูปตัวเศษ: $(x+h)^2-x^2$
    Answer:เฉลย: $2xh+h^2$The $x^2$ terms cancel: $(x+h)^2-x^2$   $=x^2+2xh+h^2-x^2$   $=2xh+h^2$พจน์ $x^2$ ตัดกัน: $(x+h)^2-x^2$   $=x^2+2xh+h^2-x^2$   $=2xh+h^2$
  3. Divide by $h$: simplify $\dfrac{2xh+h^2}{h}$.หารด้วย $h$: จัดรูป $\dfrac{2xh+h^2}{h}$
    Answer:เฉลย: $2x+h$Cancel one $h$ from each term: $\dfrac{2xh+h^2}{h}$   $=\dfrac{h(2x+h)}{h}$   $=2x+h$ $h$ is the gap, so $h$ is not $0$ and the division is allowed.ตัด $h$ ออกพจน์ละตัว: $\dfrac{2xh+h^2}{h}$   $=\dfrac{h(2x+h)}{h}$   $=2x+h$ $h$ คือช่องว่าง · $h$ ไม่เท่ากับ $0$ จึงหารได้
  4. Back to $P(1,1)$. Simplify $\dfrac{(1+h)^2-1}{h}$.กลับมาที่ $P(1,1)$ · จัดรูป $\dfrac{(1+h)^2-1}{h}$
    Answer:เฉลย: $2+h$Put $x=1$ in $2x+h$: $\dfrac{(1+h)^2-1}{h}$   $=\dfrac{2h+h^2}{h}$   $=2+h$ The table said $2.5$, $2.2$, $2.1$. Those are $2+h$ for $h=0.5,\,0.2,\,0.1$.แทน $x=1$ ใน $2x+h$: $\dfrac{(1+h)^2-1}{h}$   $=\dfrac{2h+h^2}{h}$   $=2+h$ ในตารางได้ $2.5$, $2.2$, $2.1$ · ก็คือ $2+h$ เมื่อ $h=0.5,\,0.2,\,0.1$

5. Let $h$ go to $0$ให้ $h$ เข้าใกล้ $0$

The chord becomes the tangent. Write the whole proof.คอร์ดกลายเป็นเส้นสัมผัส · เขียนการพิสูจน์ทั้งชุด

The chord gradient was $2+h$ความชันของคอร์ดคือ $2+h$

$h$ can be as small as you like, so the chord reaches the tangent.$h$ เล็กลงได้ไม่จำกัด · คอร์ดจึงไปถึงเส้นสัมผัส

Differentiate $f(x)=x^2$ from first principlesหาอนุพันธ์ของ $f(x)=x^2$ จากนิยาม

  1. $f(x+h)=(x+h)^2$Substitute $x+h$ into $f$.แทน $x+h$ ลงใน $f$
  2. $=x^2+2xh+h^2$Expand the bracket.กระจายวงเล็บ
  3. $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$This is the gradient of the chord $PQ$.นี่คือความชันของคอร์ด $PQ$
  4. $=\dfrac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}$Substitute both parts.แทนค่าทั้งสองส่วน
  5. $=\dfrac{2xh+h^2}{h}$The $x^2$ terms cancel.พจน์ $x^2$ ตัดกัน
  6. $=\dfrac{h(2x+h)}{h}$$h$ is a common factor of the numerator.$h$ เป็นตัวร่วมของตัวเศษ
  7. $=2x+h$$h$ is not $0$, so cancel the $h$.$h$ ไม่ใช่ $0$ จึงตัด $h$ ได้
  8. $f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}(2x+h)$Now let the gap go to $0$.ตอนนี้ให้ช่องว่างเข้าใกล้ $0$
  9. $=2x$Put $h=0$ in the last line.แทน $h=0$ ในบรรทัดสุดท้าย
  1. What is $\lim_{h\to 0}(2x+h)$?$\lim_{h\to 0}(2x+h)$ เท่ากับอะไร?
    Answer:เฉลย: $2x$Only $h$ goes to zero: $\lim_{h\to 0}(2x+h)$   $=2x+0$   $=2x$ At $x=1$ this gives $2$, which is the number the table closed on.มีแค่ $h$ ที่เข้าใกล้ศูนย์: $\lim_{h\to 0}(2x+h)$   $=2x+0$   $=2x$ ที่ $x=1$ ได้ $2$ ซึ่งตรงกับเลขที่ตารางบีบเข้าหา
  2. One change: $f(x)=x^2+1$. Find $f^{\prime}(x)$ from first principles.เปลี่ยนอย่างเดียว: $f(x)=x^2+1$ · หา $f^{\prime}(x)$ จากนิยาม
    Answer:เฉลย: $f^{\prime}(x)=2x$A constant cancels: $\dfrac{(x+h)^2+1-x^2-1}{h}$   $=\dfrac{2xh+h^2}{h}$   $=2x+h$   $f^{\prime}(x)=2x$ Moving a curve up does not change any gradient on it.ค่าคงที่ตัดกัน: $\dfrac{(x+h)^2+1-x^2-1}{h}$   $=\dfrac{2xh+h^2}{h}$   $=2x+h$   $f^{\prime}(x)=2x$ เลื่อนเส้นโค้งขึ้น ไม่ทำให้ความชันเปลี่ยน
  3. $y=x^2$. Find the gradient at $x=5$ from first principles. Start from $\dfrac{(5+h)^2-25}{h}$.$y=x^2$ · หาความชันที่ $x=5$ จากนิยาม · เริ่มจาก $\dfrac{(5+h)^2-25}{h}$
    Answer:เฉลย: $10$The same four steps: $\dfrac{(5+h)^2-25}{h}$   $=\dfrac{10h+h^2}{h}$   $=10+h$   $f^{\prime}(5)=10$ $2x$ at $x=5$ is also $10$. The two methods agree.สี่ขั้นเดิม: $\dfrac{(5+h)^2-25}{h}$   $=\dfrac{10h+h^2}{h}$   $=10+h$   $f^{\prime}(5)=10$ $2x$ ที่ $x=5$ ก็ได้ $10$ · สองวิธีตรงกัน

6. Do it again for $x^3$ทำอีกครั้งกับ $x^3$

Same four steps. Only the expansion changes.สี่ขั้นเดิม · เปลี่ยนแค่การกระจาย

$P$ at $x$ and $Q$ at $x+h$, now on $y=x^3$$P$ ที่ $x$ และ $Q$ ที่ $x+h$ · คราวนี้อยู่บน $y=x^3$

Only the expansion of the bracket is new.สิ่งที่ใหม่มีแค่การกระจายวงเล็บ

  1. Expand $(x+h)^3$.กระจาย $(x+h)^3$
    Answer:เฉลย: $x^3+3x^2h+3xh^2+h^3$Cube of a sum: $(x^2+2xh+h^2)(x+h)$   $=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3$กำลังสามของผลบวก: $(x^2+2xh+h^2)(x+h)$   $=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3$
  2. The numerator is $3x^2h+3xh^2+h^3$. Divide it by $h$.ตัวเศษคือ $3x^2h+3xh^2+h^3$ · หารด้วย $h$
    Answer:เฉลย: $3x^2+3xh+h^2$Every term loses one $h$: $\dfrac{h(3x^2+3xh+h^2)}{h}$   $=3x^2+3xh+h^2$ทุกพจน์เสีย $h$ ไปตัวหนึ่ง: $\dfrac{h(3x^2+3xh+h^2)}{h}$   $=3x^2+3xh+h^2$
  3. $f(x)=x^3$. Finish it: find $f^{\prime}(x)$.$f(x)=x^3$ · ทำต่อให้จบ: หา $f^{\prime}(x)$
    Answer:เฉลย: $f^{\prime}(x)=3x^2$Put $h=0$ at the end: $\lim_{h\to 0}(3x^2+3xh+h^2)$   $=3x^2+0+0$   $=3x^2$ $x^2$ gave $2x$ and $x^3$ gives $3x^2$. First principles proves the power rule.แทน $h=0$ ตอนท้าย: $\lim_{h\to 0}(3x^2+3xh+h^2)$   $=3x^2+0+0$   $=3x^2$ $x^2$ ได้ $2x$ · $x^3$ ได้ $3x^2$ · การหาจากนิยามคือการพิสูจน์กฎยกกำลัง
  4. One change: a number in front. $f(x)=4x^2$. Find $f^{\prime}(x)$ from first principles.เปลี่ยนอย่างเดียว: มีเลขอยู่ข้างหน้า · $f(x)=4x^2$ · หา $f^{\prime}(x)$ จากนิยาม
    Answer:เฉลย: $f^{\prime}(x)=8x$The number stays in front: $\dfrac{4(x+h)^2-4x^2}{h}$   $=\dfrac{8xh+4h^2}{h}$   $=8x+4h$   $f^{\prime}(x)=8x$เลขข้างหน้าอยู่ที่เดิม: $\dfrac{4(x+h)^2-4x^2}{h}$   $=\dfrac{8xh+4h^2}{h}$   $=8x+4h$   $f^{\prime}(x)=8x$

7. From the proof to a numberจากการพิสูจน์ ไปเป็นตัวเลข

$f^{\prime}(x)$ is a function. $f^{\prime}(a)$ is one gradient.$f^{\prime}(x)$ เป็นฟังก์ชัน · $f^{\prime}(a)$ เป็นความชันหนึ่งค่า

$f(x)=x^2-3x$ has $f^{\prime}(x)=2x-3$$f(x)=x^2-3x$ มี $f^{\prime}(x)=2x-3$

Substitute a value of $x$ into $f^{\prime}(x)$ to get one gradient.แทนค่า $x$ ลงใน $f^{\prime}(x)$ เพื่อให้ได้ความชันหนึ่งค่า

  1. $f(x)=x^2-3x$. Find $f^{\prime}(x)$ from first principles.$f(x)=x^2-3x$ · หา $f^{\prime}(x)$ จากนิยาม
    Answer:เฉลย: $f^{\prime}(x)=2x-3$Each term gives its own part: $\dfrac{2xh+h^2-3h}{h}$   $=2x+h-3$   $f^{\prime}(x)=2x-3$ $f^{\prime}(x)$ is the rate of change of $y$ with respect to $x$.แต่ละพจน์ให้ส่วนของตัวเอง: $\dfrac{2xh+h^2-3h}{h}$   $=2x+h-3$   $f^{\prime}(x)=2x-3$ $f^{\prime}(x)$ คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของ $y$ เทียบกับ $x$
  2. Same curve, $f^{\prime}(x)=2x-3$. Find the gradient of the curve at $x=4$.เส้นโค้งเดิม $f^{\prime}(x)=2x-3$ · หาความชันของเส้นโค้งที่ $x=4$
    Answer:เฉลย: $5$Substitute into the derivative: $f^{\prime}(4)=2(4)-3$   $=5$ $f(4)=4$ and $f^{\prime}(4)=5$. One is a height, the other is a gradient.แทนค่าลงในอนุพันธ์: $f^{\prime}(4)=2(4)-3$   $=5$ $f(4)=4$ และ $f^{\prime}(4)=5$ · ตัวหนึ่งคือความสูง อีกตัวคือความชัน
  3. $f(x)=5x$, a straight line. What does first principles give for $f^{\prime}(x)$?$f(x)=5x$ เป็นเส้นตรง · หาจากนิยามแล้วได้ $f^{\prime}(x)$ เท่ากับอะไร?
    Answer:เฉลย: $f^{\prime}(x)=5$A line keeps one gradient: $\dfrac{5(x+h)-5x}{h}$   $=\dfrac{5h}{h}$   $=5$ The warm-up gave the same answer for a line. First principles agrees with it.เส้นตรงมีความชันค่าเดียว: $\dfrac{5(x+h)-5x}{h}$   $=\dfrac{5h}{h}$   $=5$ ตอนวอร์มอัพก็ได้แบบนี้กับเส้นตรง · การหาจากนิยามตรงกัน

8. Exam formฟอร์มข้อสอบ

Real wording, real marks.ภาษาข้อสอบจริง คะแนนจริง

"From first principles" names the lines you must write"จากนิยาม" บอกว่าต้องเขียนบรรทัดไหนบ้าง

A proof with no $\lim_{h\to 0}$ loses the last mark.พิสูจน์โดยไม่มี $\lim_{h\to 0}$ จะเสียคะแนนบรรทัดสุดท้าย

  1. Exam: The curve $C$ has equation $y=x^3$. Prove, from first principles, that $\dfrac{dy}{dx}=3x^2$.  (5 marks)ข้อสอบ: เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=x^3$ · จงพิสูจน์จากนิยามว่า $\dfrac{dy}{dx}=3x^2$  (5 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $12$5 marks: $\text{M1}\quad \dfrac{(x+h)^3-x^3}{h}$   $\text{A1}\quad \dfrac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h}$   $\text{A1}\quad 3x^2+3xh+h^2$   $\text{A1}\quad \lim_{h\to 0}(3x^2+3xh+h^2)=3x^2$   $\text{B1}\quad 3(2)^2=12$ The last A1 needs $h\to 0$ written down. Dividing by $h$ after saying $h=0$ scores nothing.5 คะแนน: $\text{M1}\quad \dfrac{(x+h)^3-x^3}{h}$   $\text{A1}\quad \dfrac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h}$   $\text{A1}\quad 3x^2+3xh+h^2$   $\text{A1}\quad \lim_{h\to 0}(3x^2+3xh+h^2)=3x^2$   $\text{B1}\quad 3(2)^2=12$ A1 ตัวท้ายต้องเขียน $h\to 0$ ด้วย · ถ้าบอกว่า $h=0$ แล้วยังหารด้วย $h$ จะไม่ได้คะแนน
  2. Exam: The point $P$ lies on the curve with equation $y=x^2+4x$. The $x$-coordinate of $P$ is $3$.  (4 marks)ข้อสอบ: จุด $P$ อยู่บนเส้นโค้งที่มีสมการ $y=x^2+4x$ · พิกัด $x$ ของ $P$ คือ $3$  (4 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $10$4 marks: $\text{M1}\quad \dfrac{(x+h)^2+4(x+h)-x^2-4x}{h}$   $\text{A1}\quad \dfrac{2xh+h^2+4h}{h}$   $\text{A1}\quad \lim_{h\to 0}(2x+h+4)=2x+4$   $\text{B1}\quad 2(3)+4=10$ Write the whole fraction before any cancelling. That line carries the M1.4 คะแนน: $\text{M1}\quad \dfrac{(x+h)^2+4(x+h)-x^2-4x}{h}$   $\text{A1}\quad \dfrac{2xh+h^2+4h}{h}$   $\text{A1}\quad \lim_{h\to 0}(2x+h+4)=2x+4$   $\text{B1}\quad 2(3)+4=10$ เขียนเศษส่วนให้ครบก่อนตัดอะไร · บรรทัดนั้นคือ M1
  3. Exam: A student proves that the derivative of $x^2$ is $2x$. One line of the working scores no mark. Which line is it?  (2 marks)ข้อสอบ: นักเรียนคนหนึ่งพิสูจน์ว่าอนุพันธ์ของ $x^2$ คือ $2x$ · มีหนึ่งบรรทัดที่ไม่ได้คะแนน · บรรทัดไหน?  (2 คะแนน)
    Answer:เฉลย: Line ⑤: write $\lim_{h\to 0}(2x+h)=2x$ instead.บรรทัด ⑤: ต้องเขียน $\lim_{h\to 0}(2x+h)=2x$ แทน2 marks: $\text{B1}\quad \lim_{h\to 0}(2x+h)$   $\text{B1}\quad f^{\prime}(x)=2x$ $h=0$ and a division by $h$ cannot both be true. The limit says it correctly.2 คะแนน: $\text{B1}\quad \lim_{h\to 0}(2x+h)$   $\text{B1}\quad f^{\prime}(x)=2x$ $h=0$ กับการหารด้วย $h$ อยู่ด้วยกันไม่ได้ · ลิมิตเป็นวิธีเขียนที่ถูก

9. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน · แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. $f(x)=x^2-5x$.  Find $f^{\prime}(x)$ from first principles.
    Answer:เฉลย: $f^{\prime}(x)=2x-5$The numerator is $2xh+h^2-5h$. Divide by $h$, then let $h\to 0$.ตัวเศษคือ $2xh+h^2-5h$ · หารด้วย $h$ แล้วให้ $h\to 0$
  2. $f(x)=3x^2+7x-2$.  Find $f^{\prime}(x)$ from first principles.
    Answer:เฉลย: $f^{\prime}(x)=6x+7$The $-2$ cancels. The $3$ multiplies the whole expansion.$-2$ ตัดกัน · $3$ คูณผลกระจายทั้งก้อน
  3. $f(x)=x^3+2x$.  Find $f^{\prime}(x)$ from first principles.
    Answer:เฉลย: $f^{\prime}(x)=3x^2+2$A cube and a line in one function. Expand $(x+h)^3$ in full.มีทั้งกำลังสามและเส้นตรงในฟังก์ชันเดียว · กระจาย $(x+h)^3$ ให้ครบ
  4. $f(x)=x^2-6x+5$.  Find $f^{\prime}(x)$ from first principles, then find the stationary point.
    Answer:เฉลย: $f^{\prime}(x)=2x-6$;  the stationary point is $(3,-4)$Set $f^{\prime}(x)=0$ to get $x=3$, then substitute into $f$.ให้ $f^{\prime}(x)=0$ ได้ $x=3$ แล้วแทนกลับใน $f$
  5. On $y=x^2$, the chord gradient from the point $x=a$ simplifies to $8+h$.  Find $a$.
    Answer:เฉลย: $a=4$The chord gradient at $x=a$ is $2a+h$, so $2a=8$.ความชันคอร์ดที่ $x=a$ คือ $2a+h$ · ดังนั้น $2a=8$
  6. Exam: Prove, from first principles, that the derivative of $x^2+3x$ is $2x+3$.  (4 marks)
    Answer:เฉลย: $\dfrac{(x+h)^2+3(x+h)-x^2-3x}{h}=2x+h+3$,  so $f^{\prime}(x)=2x+3$Write the fraction, expand, cancel the $h$, then write $h\to 0$.เขียนเศษส่วน กระจาย ตัด $h$ แล้วเขียน $h\to 0$

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี