Further Pure Mathematics · practice ladders ชุดไต่ระดับ · Further Pure Mathematics

You have $\dfrac{2\sqrt3-4}{3\sqrt3+5}$. To rationalise the denominator, pick the first move.
(A) multiply top and bottom by $3\sqrt3+5$
(B) multiply top and bottom by $3\sqrt3-5$
(C) multiply top and bottom by $2\sqrt3-4$

มี $\dfrac{2\sqrt3-4}{3\sqrt3+5}$ เพื่อทำตัวส่วนเป็นจำนวนตรรกยะ (rationalise) จงเลือกขั้นแรก
(A) คูณทั้งเศษและส่วนด้วย $3\sqrt3+5$
(B) คูณทั้งเศษและส่วนด้วย $3\sqrt3-5$
(C) คูณทั้งเศษและส่วนด้วย $2\sqrt3-4$

To prove $\displaystyle\sum_{r=1}^{n}(3r+2)=\dfrac n2(3n+7)$, pick the first move.
(A) recognise it as an arithmetic series with $a=5$, $d=3$, then use $S_n$
(B) expand $3r+2$ term by term as $3r+2r=5r$
(C) try $n=1,2,3$ and assume the pattern continues

พิสูจน์ $\displaystyle\sum_{r=1}^{n}(3r+2)=\dfrac n2(3n+7)$ จงเลือกขั้นแรก
(A) มองเป็นอนุกรมเลขคณิตที่ $a=5$, $d=3$ แล้วใช้ $S_n$
(B) กระจาย $3r+2$ ทีละพจน์เป็น $3r+2r=5r$
(C) ลอง $n=1,2,3$ แล้วสมมติว่ารูปแบบเป็นแบบนี้ต่อไป

$y=\dfrac{\sin2x}{\sqrt{3+2x}}$. To use the quotient rule $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$, pick $u$ and $v$.
(A) $u=\sin2x$, $v=\sqrt{3+2x}$
(B) $u=\sqrt{3+2x}$, $v=\sin2x$
(C) $u=\sin2x$, $v=3+2x$

$y=\dfrac{\sin2x}{\sqrt{3+2x}}$ จะใช้กฎผลหาร $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ จงเลือก $u$ และ $v$
(A) $u=\sin2x$, $v=\sqrt{3+2x}$
(B) $u=\sqrt{3+2x}$, $v=\sin2x$
(C) $u=\sin2x$, $v=3+2x$

$\sin(\angle AED)=0.9452$, and $\arcsin0.9452\approx70.9^{\circ}$. Angle $AED$ is given obtuse. Pick the first move.
(A) $\angle AED=70.9^{\circ}$
(B) $\angle AED=180^{\circ}-70.9^{\circ}$
(C) $\angle AED=90^{\circ}-70.9^{\circ}$

$\sin(\angle AED)=0.9452$ และ $\arcsin0.9452\approx70.9^{\circ}$ และกำหนดว่ามุม $AED$ เป็นมุมป้าน จงเลือกขั้นแรก
(A) $\angle AED=70.9^{\circ}$
(B) $\angle AED=180^{\circ}-70.9^{\circ}$
(C) $\angle AED=90^{\circ}-70.9^{\circ}$

The surface area increases by $20\text{ cm}^2$. The question says 'using calculus.' Pick the method.
(A) find the new $r$ directly from $A=4\pi r^2+20$ and subtract
(B) use $\delta r\approx\dfrac{\delta A}{dA/dr}$
(C) use $\delta r\approx\dfrac{\delta A}{dV/dr}$

พื้นที่ผิวเพิ่มขึ้น $20\text{ cm}^2$ โจทย์กำหนดว่า 'ใช้แคลคูลัส' จงเลือกวิธี
(A) หา $r$ ใหม่ตรง ๆ จาก $A=4\pi r^2+20$ แล้วลบ
(B) ใช้ $\delta r\approx\dfrac{\delta A}{dA/dr}$
(C) ใช้ $\delta r\approx\dfrac{\delta A}{dV/dr}$

To show $y=f(x)$ meets the $x$-axis only once, given $(2x-1)$ is a factor, pick the strategy.
(A) solve the cubic completely by trial and error
(B) factor out $(2x-1)$, then check the discriminant of the remaining quadratic
(C) evaluate $f(0)$ and $f(1)$ and look for a sign change

จะแสดงว่า $y=f(x)$ ตัดแกน $x$ เพียงจุดเดียว เมื่อกำหนดว่า $(2x-1)$ เป็นตัวประกอบ จงเลือกวิธี
(A) แก้สมการกำลังสามให้ครบด้วยการลองผิดลองถูก
(B) หารด้วย $(2x-1)$ ออกไปก่อน แล้วตรวจดิสคริมิแนนต์ของตัวประกอบกำลังสองที่เหลือ
(C) คำนวณ $f(0)$ และ $f(1)$ แล้วหาการเปลี่ยนเครื่องหมาย

Part (d) asks for an estimate of $\int_0^{0.5}f(x)\,dx$. Pick the method.
(A) integrate the polynomial series for $f(x)$ term by term - 'hence'
(B) integrate $\dfrac{1+x}{2+3x}$ directly using a substitution
(C) differentiate $f(x)$ and set it to zero

ข้อ (d) ขอให้ประมาณค่า $\int_0^{0.5}f(x)\,dx$ จงเลือกวิธี
(A) หาปริพันธ์ของอนุกรมพหุนามของ $f(x)$ ทีละพจน์ - 'อาศัยผลจาก'
(B) หาปริพันธ์ของ $\dfrac{1+x}{2+3x}$ ตรง ๆ ด้วยการแทนค่า
(C) หาอนุพันธ์ของ $f(x)$ แล้วให้เท่ากับศูนย์

To find the area between curve $C:y=f(x)$ and curve $S:y=x^2-x+13$ between $x=\tfrac12$ and $x=3$, you need to know which curve is on top. Pick how to check.
(A) assume $C$ is on top because it was named first
(B) evaluate both at a value between $\tfrac12$ and $3$, e.g. $x=1$, and compare
(C) check which curve has the larger leading coefficient

จะหาพื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง $C:y=f(x)$ กับเส้นโค้ง $S:y=x^2-x+13$ ระหว่าง $x=\tfrac12$ ถึง $3$ ต้องรู้ก่อนว่าเส้นโค้งไหนอยู่สูงกว่า จงเลือกวิธีตรวจ
(A) สมมติว่า $C$ อยู่สูงกว่าเพราะถูกเอ่ยถึงก่อน
(B) แทนค่าทั้งสองที่ $x$ ค่าหนึ่งระหว่าง $\tfrac12$ ถึง $3$ เช่น $x=1$ แล้วเทียบกัน
(C) ดูว่าเส้นโค้งไหนมีสัมประสิทธิ์นำหน้ามากกว่า

To find $\vec{OP}$ where $P$ lies on $AB$ with $AP:PB=3:1$, pick the route.
(A) $\vec{OP}=\vec{OA}+\vec{AP}=\mathbf a+\tfrac34(\mathbf b-\mathbf a)$
(B) $\vec{OP}=\tfrac34\mathbf a+\tfrac14\mathbf b$
(C) $\vec{OP}=\mathbf a+\mathbf b$

จะหา $\vec{OP}$ โดยที่ $P$ อยู่บน $AB$ และ $AP:PB=3:1$ จงเลือกเส้นทาง
(A) $\vec{OP}=\vec{OA}+\vec{AP}=\mathbf a+\tfrac34(\mathbf b-\mathbf a)$
(B) $\vec{OP}=\tfrac34\mathbf a+\tfrac14\mathbf b$
(C) $\vec{OP}=\mathbf a+\mathbf b$

To show $C$ has a maximum at $x=0.5$, which test distinguishes a maximum from a minimum there?
(A) check the sign of $f''(x)$ at $x=0.5$
(B) check the sign of $f'(x)$ at $x=0.5$
(C) check the value of $f(x)$ at $x=0.5$

จะแสดงว่า $C$ มีจุดสูงสุดที่ $x=0.5$ การทดสอบใดบอกได้ว่าเป็นจุดสูงสุดไม่ใช่จุดต่ำสุด
(A) ตรวจเครื่องหมายของ $f''(x)$ ที่ $x=0.5$
(B) ตรวจเครื่องหมายของ $f'(x)$ ที่ $x=0.5$
(C) ตรวจค่า $f(x)$ ที่ $x=0.5$