Probability · practice ladders ชุดไต่ระดับ · ความน่าจะเป็น
Start at question 1. It is one small step. Question 10 is the real exam question at the top of the set. เริ่มที่ข้อ 1 เป็นสเต็ปเล็กๆ ข้อเดียว · ข้อ 10 คือข้อสอบจริงที่อยู่หัวชุด
Two pens, and the box gets smaller ปากกาสองด้าม และกล่องที่เหลือน้อยลง
A box contains 12 pens. 7 of the pens are blue and 5 of the pens are black. Malee takes at random a pen from the box and does not replace it. She then takes at random a second pen from the box. The tree diagram shows this, where $B$ is blue and $K$ is black.
(a) Complete the tree diagram.
(b) Work out the probability that both pens are blue. Give your answer as a fraction in its simplest form.
(c) Work out the probability that the two pens are different colours. Give your answer as a fraction in its simplest form.
กล่องใบหนึ่งมีปากกา 12 ด้าม เป็นสีน้ำเงิน 7 ด้าม และสีดำ 5 ด้าม มาลีหยิบปากกาจากกล่องแบบสุ่มหนึ่งด้ามโดยไม่ใส่คืน แล้วหยิบด้ามที่สองแบบสุ่ม แผนภาพต้นไม้แสดงเหตุการณ์นี้ โดย $B$ คือสีน้ำเงิน และ $K$ คือสีดำ
(ก) จงเติมแผนภาพต้นไม้ให้สมบูรณ์
(ข) จงหาความน่าจะเป็นที่ปากกาทั้งสองด้ามเป็นสีน้ำเงิน ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
(ค) จงหาความน่าจะเป็นที่ปากกาสองด้ามมีสีต่างกัน ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
A box holds $12$ pens, $7$ of them blue. Work out the probability that the first pen taken is blue.
กล่องมีปากกา $12$ ด้าม เป็นสีน้ำเงิน $7$ ด้าม จงหาความน่าจะเป็นที่ปากกาด้ามแรกที่หยิบเป็นสีน้ำเงิน
Answershow ▾
Wanted over total. Nothing has been taken out yet.จำนวนที่ต้องการ หารด้วย จำนวนทั้งหมด · ยังไม่มีอะไรถูกหยิบออกไป
A blue pen is taken from the box of $12$ and not replaced. How many pens are left, and how many of them are blue?
หยิบปากกาสีน้ำเงินออกจากกล่อง $12$ ด้ามโดยไม่ใส่คืน เหลือปากกากี่ด้าม และเป็นสีน้ำเงินกี่ด้าม
Answershow ▾
One pen has gone, and it was a blue one. Both numbers drop by one.ปากกาหายไปหนึ่งด้าม และเป็นสีน้ำเงิน · ตัวเลขทั้งสองลดลงหนึ่ง
Work out $\dfrac{7}{12}\times\dfrac{6}{11}$, giving your answer in its simplest form.
จงหา $\dfrac{7}{12}\times\dfrac{6}{11}$ ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
Answershow ▾
Tops together, bottoms together, then cancel: $\dfrac{42}{132}$ divides by $6$.คูณเศษกับเศษ ส่วนกับส่วน แล้วทอน · $\dfrac{42}{132}$ หารด้วย $6$ ได้
The pen is not replaced. On the second set of branches, decide what changes: only the top of the fraction, only the bottom, or both. Then write the bottom number that appears on every second branch.
ปากกาไม่ถูกใส่คืน · บนกิ่งชุดที่สอง จงตัดสินว่าอะไรเปลี่ยน เศษอย่างเดียว ส่วนอย่างเดียว หรือทั้งคู่ แล้วเขียนตัวส่วนที่ปรากฏบนกิ่งที่สองทุกกิ่ง
Answershow ▾
A pen has left the box, so the total drops for everybody — that is the $11$, and it is the same on all four second branches. The top changes only on the branch that matches the colour already taken. Students who change only the top get $\tfrac{6}{12}$ and students who copy the first branches get $\tfrac{7}{12}$ again, and both then produce clean-looking answers all the way to part (c). The two B1 marks in part (a) are for the four fractions; noticing the words “does not replace” carries no mark and decides all six.ปากกาออกจากกล่องไปแล้ว จำนวนรวมจึงลดลงสำหรับทุกกรณี นั่นคือเลข $11$ และเป็น $11$ เหมือนกันทั้งสี่กิ่ง · ส่วนตัวเศษเปลี่ยนเฉพาะกิ่งที่ตรงกับสีที่หยิบไปแล้ว · คนที่เปลี่ยนแค่ตัวเศษจะได้ $\tfrac{6}{12}$ และคนที่ลอกกิ่งแรกลงมาจะได้ $\tfrac{7}{12}$ อีกครั้ง ทั้งคู่จะให้คำตอบที่ดูเรียบร้อยไปจนถึงข้อ (ค) · B1 สองคะแนนของข้อ (ก) ให้กับเศษส่วนสี่ตัว · การสังเกตคำว่า “ไม่ใส่คืน” ไม่มีคะแนน แต่ชี้ขาดทั้งหกคะแนน
Write the four probabilities on the second set of branches.
จงเขียนความน่าจะเป็นสี่ค่าบนกิ่งชุดที่สอง
Answershow ▾
Part (a), two marks. Each pair must add to $1$ — that is your check.ข้อ (ก) สองคะแนน · แต่ละคู่ต้องรวมกันได้ $1$ · นั่นคือวิธีตรวจ
You want $P(\text{blue then blue})$. Decide whether you go along the two branches or down the list of outcomes, and name the operation each direction uses.
ต้องการความน่าจะเป็นที่ได้สีน้ำเงินแล้วสีน้ำเงินอีก จงตัดสินว่าจะเดินตามกิ่งหรือเดินลงมาตามรายการผลลัพธ์ และบอกว่าแต่ละทิศใช้การดำเนินการอะไร
Answershow ▾
Along a path is “this and then that”, and and multiplies. Down the list is “this outcome or that outcome”, and or adds. Adding $\tfrac{7}{12}+\tfrac{6}{11}$ gives $\tfrac{149}{132}$, which is bigger than $1$ — a probability that cannot exist, and a check worth doing every time. The M1 in part (b) is for the product being written; knowing which way to travel is worth nothing.การเดินตามกิ่งคือ “อันนี้ แล้วก็ อันนั้น” และคำว่า และ คือการคูณ · การเดินลงมาตามรายการคือ “ผลลัพธ์นี้ หรือ ผลลัพธ์นั้น” และคำว่า หรือ คือการบวก · ถ้าบวก $\tfrac{7}{12}+\tfrac{6}{11}$ จะได้ $\tfrac{149}{132}$ ซึ่งมากกว่า $1$ เป็นความน่าจะเป็นที่มีไม่ได้ และเป็นการตรวจที่ควรทำทุกครั้ง · M1 ของข้อ (ข) ให้กับการเขียนผลคูณ ส่วนการรู้ว่าต้องเดินทางไหนไม่มีคะแนน
Work out the probability that both pens are blue.
จงหาความน่าจะเป็นที่ปากกาทั้งสองด้ามเป็นสีน้ำเงิน
Answershow ▾
Part (b), two marks. One path, so one product.ข้อ (ข) สองคะแนน · เส้นทางเดียว จึงคูณครั้งเดียว
“The two pens are different colours.” Count the paths through the tree that give this, name them, and say why $BK$ and $KB$ are not the same path.
“ปากกาสองด้ามมีสีต่างกัน” จงนับเส้นทางในแผนภาพต้นไม้ที่ให้ผลนี้ บอกชื่อเส้นทางเหล่านั้น และบอกว่าทำไม $BK$ กับ $KB$ ไม่ใช่เส้นทางเดียวกัน
Answershow ▾
The order in which the pens came out is part of the outcome: taking blue first and black second is a different journey through the tree from taking black first. Their probabilities happen to be equal here, $\tfrac{35}{132}$ each, which is exactly why forgetting one of them produces an answer that looks reasonable — and is exactly half of the right one. The M1 in part (c) is awarded only when both products are there; counting the paths is free.ลำดับที่ปากกาถูกหยิบออกมาเป็นส่วนหนึ่งของผลลัพธ์ · หยิบน้ำเงินก่อนแล้วดำ เป็นคนละเส้นทางกับหยิบดำก่อนแล้วน้ำเงิน · ความน่าจะเป็นบังเอิญเท่ากันที่ $\tfrac{35}{132}$ นี่แหละคือเหตุผลที่ลืมไปหนึ่งเส้นทางแล้วยังได้คำตอบที่ดูสมเหตุสมผล และเป็นครึ่งหนึ่งของคำตอบที่ถูกพอดี · M1 ของข้อ (ค) ให้ก็ต่อเมื่อมีผลคูณครบทั้งสอง · การนับเส้นทางไม่มีคะแนน
Work out the probability that the first pen is blue and the second is black.
จงหาความน่าจะเป็นที่ปากกาด้ามแรกเป็นสีน้ำเงินและด้ามที่สองเป็นสีดำ
Answershow ▾
Along the branches again. Leave it unsimplified so it is easy to add to the next one.เดินตามกิ่งอีกครั้ง · ยังไม่ต้องทอน จะได้บวกกับอีกเส้นทางง่ายๆ
Work out the probability that the two pens are different colours.
จงหาความน่าจะเป็นที่ปากกาสองด้ามมีสีต่างกัน
Answershow ▾
Part (c), two marks. Add the two paths, then cancel by $2$.ข้อ (ค) สองคะแนน · บวกสองเส้นทาง แล้วทอนด้วย $2$
Work out the probability that both pens are black.
จงหาความน่าจะเป็นที่ปากกาทั้งสองด้ามเป็นสีดำ
Answershow ▾
Check the whole tree: $\tfrac{7}{22} + \tfrac{35}{66} + \tfrac{5}{33} = 1$.ตรวจทั้งแผนภาพ: $\tfrac{7}{22} + \tfrac{35}{66} + \tfrac{5}{33} = 1$
A bag holds $10$ counters: $6$ red and $4$ green. Two counters are taken at random without replacement.
(a) Work out the probability that both are red. (b) Work out the probability that they are different colours.
ถุงใบหนึ่งมีเบี้ย $10$ อัน เป็นสีแดง $6$ อัน และสีเขียว $4$ อัน หยิบสองอันแบบสุ่มโดยไม่ใส่คืน
(ก) จงหาความน่าจะเป็นที่ทั้งสองอันเป็นสีแดง (ข) จงหาความน่าจะเป็นที่ทั้งสองอันมีสีต่างกัน
Answershow ▾
Second denominator $9$ this time, and still two paths for “different”.คราวนี้ตัวส่วนที่สองคือ $9$ · และ “สีต่างกัน” ก็ยังมีสองเส้นทางเหมือนเดิม
A box contains 12 pens. 7 of the pens are blue and 5 of the pens are black. Malee takes at random a pen from the box and does not replace it. She then takes at random a second pen from the box.
(a) Complete the tree diagram.
(b) Work out the probability that both pens are blue.
(c) Work out the probability that the two pens are different colours.
กล่องใบหนึ่งมีปากกา 12 ด้าม เป็นสีน้ำเงิน 7 ด้าม และสีดำ 5 ด้าม มาลีหยิบปากกาจากกล่องแบบสุ่มหนึ่งด้ามโดยไม่ใส่คืน แล้วหยิบด้ามที่สองแบบสุ่ม
(ก) จงเติมแผนภาพต้นไม้ให้สมบูรณ์
(ข) จงหาความน่าจะเป็นที่ปากกาทั้งสองด้ามเป็นสีน้ำเงิน
(ค) จงหาความน่าจะเป็นที่ปากกาสองด้ามมีสีต่างกัน
Answershow ▾
6 marks. Four words did all the damage: does not replace it.6 คะแนน · สี่คำนี้คือตัวการทั้งหมด: โดยไม่ใส่คืน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 $\tfrac{7}{12}\times\tfrac{6}{11}$ A1 $\tfrac{7}{22}$.
(c) M1 $\tfrac{7}{12}\times\tfrac{5}{11} + \tfrac{5}{12}\times\tfrac{7}{11}$ A1 $\tfrac{35}{66}$.
The M1 in (c) needs both paths. Nothing pays for realising there are two.
A Venn diagram, and what you are dividing by แผนภาพเวนน์ กับตัวส่วนที่ต้องใช้
There are 60 members of a fitness club. The Venn diagram shows the number of members who swim ($S$) and the number who cycle ($C$).
(a) Find $n(S\cup C)$.
(b) One of the 60 members is chosen at random. Work out the probability that this member neither swims nor cycles. Give your answer as a fraction in its simplest form.
(c) A member is chosen at random from those who cycle. Work out the probability that this member also swims.
สโมสรฟิตเนสมีสมาชิก 60 คน แผนภาพเวนน์แสดงจำนวนสมาชิกที่ว่ายน้ำ ($S$) และที่ปั่นจักรยาน ($C$)
(ก) จงหา $n(S\cup C)$
(ข) สุ่มเลือกสมาชิกหนึ่งคนจาก 60 คน จงหาความน่าจะเป็นที่คนนี้ไม่ว่ายน้ำและไม่ปั่นจักรยาน ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
(ค) สุ่มเลือกสมาชิกหนึ่งคนจากกลุ่มที่ปั่นจักรยาน จงหาความน่าจะเป็นที่คนนี้ว่ายน้ำด้วย
In the Venn diagram, $23$ members swim only, $11$ both swim and cycle, $17$ cycle only and $9$ do neither. Work out $n(S)$.
ในแผนภาพเวนน์ มีสมาชิก $23$ คนว่ายน้ำอย่างเดียว $11$ คนทำทั้งสองอย่าง $17$ คนปั่นจักรยานอย่างเดียว และ $9$ คนไม่ทำทั้งสองอย่าง จงหา $n(S)$
Answershow ▾
Everyone inside the $S$ circle counts, including the $11$ who are also in $C$.ทุกคนที่อยู่ในวง $S$ นับหมด รวมถึง $11$ คนที่อยู่ในวง $C$ ด้วย
Work out how many members are in at least one of the two circles.
จงหาจำนวนสมาชิกที่อยู่ในวงกลมอย่างน้อยหนึ่งวง
Answershow ▾
Add the three regions inside the circles. Do not count the $11$ twice.บวกสามส่วนที่อยู่ในวงกลม · อย่านับ $11$ ซ้ำสองครั้ง
Write $\dfrac{9}{60}$ in its simplest form.
จงเขียน $\dfrac{9}{60}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
Answershow ▾
Both divide by $3$.ทั้งเศษและส่วนหารด้วย $3$ ได้
The number in the middle of the Venn diagram is $11$. Decide whether $n(S)$ is $23$ or $34$, and then say in one line what each number printed in a Venn diagram is counting.
ตัวเลขตรงกลางแผนภาพเวนน์คือ $11$ จงตัดสินว่า $n(S)$ เป็น $23$ หรือ $34$ แล้วเขียนหนึ่งบรรทัดว่าตัวเลขแต่ละตัวในแผนภาพเวนน์นับอะไรอยู่
Answershow ▾
A Venn diagram is drawn in separate pieces, and the piece labelled $23$ is only the part of $S$ that is outside $C$. The set $S$ is everything inside its circle, so the overlap belongs to it too. Reading $23$ as $n(S)$ makes the union come out as $40$ and part (c) come out as $\tfrac{11}{17}$, and neither answer looks alarming. The M1 in part (a) is for the sum $23+11+17$; knowing that a region is not a set carries no mark.แผนภาพเวนน์วาดเป็นส่วนๆ แยกกัน และส่วนที่เขียน $23$ คือเฉพาะส่วนของ $S$ ที่อยู่นอก $C$ · เซต $S$ คือทุกอย่างที่อยู่ในวงของมัน ส่วนที่ซ้อนกันจึงเป็นของมันด้วย · ถ้าอ่าน $23$ เป็น $n(S)$ ยูเนียนจะกลายเป็น $40$ และข้อ (ค) จะกลายเป็น $\tfrac{11}{17}$ ซึ่งไม่มีคำตอบไหนดูน่าตกใจเลย · M1 ของข้อ (ก) ให้กับผลบวก $23+11+17$ · การรู้ว่าส่วนของแผนภาพไม่ใช่เซต ไม่มีคะแนน
Find $n(S\cup C)$.
จงหา $n(S\cup C)$
Answershow ▾
Part (a), two marks. $S\cup C$ means “in $S$ or in $C$ or in both”.ข้อ (ก) สองคะแนน · $S\cup C$ แปลว่า “อยู่ใน $S$ หรือ $C$ หรือทั้งสอง”
$51$ members are in at least one circle, and the club has $60$ members. Produce the number outside both circles, and say why it is not part of $n(S\cup C)$.
มีสมาชิก $51$ คนอยู่ในวงกลมอย่างน้อยหนึ่งวง และสโมสรมีสมาชิก $60$ คน จงหาจำนวนคนที่อยู่นอกวงกลมทั้งสอง และบอกว่าทำไมจำนวนนั้นไม่รวมอยู่ใน $n(S\cup C)$
Answershow ▾
The rectangle is everybody, and the two circles sit inside it. The union is only what the circles cover, so the $9$ who do neither belong to the club but not to $S\cup C$. That is exactly the group part (b) asks about, and it is the only number in the question that is not printed inside a circle. The B1 in part (b) is for $\tfrac{3}{20}$; finding the $9$ by subtracting from the total is the step that is never written down and never rewarded.สี่เหลี่ยมคือทุกคน และวงกลมสองวงอยู่ข้างใน · ยูเนียนคือเฉพาะส่วนที่วงกลมคลุมไว้ คน $9$ คนที่ไม่ทำทั้งสองอย่างจึงเป็นสมาชิกสโมสร แต่ไม่อยู่ใน $S\cup C$ · และนั่นคือกลุ่มที่ข้อ (ข) ถามพอดี · เป็นตัวเลขเดียวในโจทย์ที่ไม่ได้พิมพ์อยู่ในวงกลม · B1 ของข้อ (ข) ให้กับ $\tfrac{3}{20}$ · การหา $9$ โดยลบออกจากจำนวนรวมเป็นขั้นที่ไม่เคยถูกเขียนและไม่เคยมีคะแนน
One of the 60 members is chosen at random. Work out the probability that the member neither swims nor cycles.
สุ่มเลือกสมาชิกหนึ่งคนจาก 60 คน จงหาความน่าจะเป็นที่คนนี้ไม่ว่ายน้ำและไม่ปั่นจักรยาน
Answershow ▾
Part (b), one mark. Chosen from all $60$, so $60$ is the denominator.ข้อ (ข) หนึ่งคะแนน · เลือกจากทั้งหมด $60$ คน ตัวส่วนจึงเป็น $60$
Part (c) says the member is chosen from those who cycle. Pick the denominator, and say what each of the other two would mean.
(A) $60$ (B) $51$ (C) $28$
ข้อ (ค) บอกว่าเลือกสมาชิกจากกลุ่มที่ปั่นจักรยาน จงเลือกตัวส่วน และบอกว่าอีกสองอันหมายถึงอะไร
(A) $60$ (B) $51$ (C) $28$
Answershow ▾
The words “chosen from those who cycle” shrink the pool: only cyclists can be picked, so the bottom of the fraction is $n(C) = 28$. (A) picks from the whole club and gives $\tfrac{11}{60}$; (B) picks from everyone who does at least one sport and gives $\tfrac{11}{51}$. Three fractions, three defensible-looking answers, and only one is the question that was asked. The M1 in part (c) is the denominator, and the reading of the phrase that fixes it is worth nothing.คำว่า “เลือกจากกลุ่มที่ปั่นจักรยาน” ทำให้กลุ่มตัวอย่างเล็กลง · เลือกได้เฉพาะคนที่ปั่นจักรยาน ตัวส่วนจึงเป็น $n(C) = 28$ · (A) เลือกจากทั้งสโมสรได้ $\tfrac{11}{60}$ · (B) เลือกจากคนที่เล่นกีฬาอย่างน้อยหนึ่งอย่างได้ $\tfrac{11}{51}$ · เศษส่วนสามตัว คำตอบที่ดูมีเหตุผลสามแบบ แต่มีอันเดียวที่ตรงกับคำถาม · M1 ของข้อ (ค) คือตัวส่วน และการอ่านวลีที่กำหนดมันไม่มีคะแนน
A member is chosen at random from those who cycle. Work out the probability that this member also swims.
สุ่มเลือกสมาชิกหนึ่งคนจากกลุ่มที่ปั่นจักรยาน จงหาความน่าจะเป็นที่คนนี้ว่ายน้ำด้วย
Answershow ▾
Part (c), two marks. The $11$ are the cyclists who also swim.ข้อ (ค) สองคะแนน · $11$ คือคนปั่นจักรยานที่ว่ายน้ำด้วย
A member is chosen at random from those who swim. Work out the probability that this member also cycles.
สุ่มเลือกสมาชิกหนึ่งคนจากกลุ่มที่ว่ายน้ำ จงหาความน่าจะเป็นที่คนนี้ปั่นจักรยานด้วย
Answershow ▾
The top is the same $11$; only the pool has changed, from $28$ to $34$.ตัวเศษยังเป็น $11$ เท่าเดิม เปลี่ยนแค่กลุ่มตัวอย่าง จาก $28$ เป็น $34$
One of the $60$ members is chosen at random. Work out the probability that the member swims but does not cycle. Give your answer in its simplest form.
สุ่มเลือกสมาชิกหนึ่งคนจาก $60$ คน จงหาความน่าจะเป็นที่คนนี้ว่ายน้ำแต่ไม่ปั่นจักรยาน ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
Answershow ▾
One region only this time, and the pool is the whole club again.คราวนี้ใช้ส่วนเดียวของแผนภาพ และกลุ่มตัวอย่างกลับมาเป็นทั้งสโมสร
$80$ students each study French ($F$), Spanish ($P$), or neither. $30$ study French only, $14$ study both, $22$ study Spanish only.
(a) Find $n(F\cup P)$. (b) Work out the probability that a student chosen from all $80$ studies neither. (c) A student is chosen from those who study Spanish. Work out the probability that this student also studies French.
นักเรียน $80$ คน เรียนภาษาฝรั่งเศส ($F$) ภาษาสเปน ($P$) หรือไม่เรียนทั้งสองภาษา มี $30$ คนเรียนฝรั่งเศสอย่างเดียว $14$ คนเรียนทั้งสองภาษา และ $22$ คนเรียนสเปนอย่างเดียว
(ก) จงหา $n(F\cup P)$ (ข) จงหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนที่สุ่มจาก $80$ คนไม่เรียนทั้งสองภาษา (ค) สุ่มเลือกนักเรียนจากกลุ่มที่เรียนสเปน จงหาความน่าจะเป็นที่คนนี้เรียนฝรั่งเศสด้วย
Answershow ▾
The three denominators are $80$, then $36$. Same three decisions.ตัวส่วนคือ $80$ แล้วก็ $36$ · การตัดสินใจสามอย่างเดิม
There are 60 members of a fitness club. The Venn diagram shows the number of members who swim ($S$) and the number who cycle ($C$).
(a) Find $n(S\cup C)$.
(b) One of the 60 members is chosen at random. Work out the probability that this member neither swims nor cycles.
(c) A member is chosen at random from those who cycle. Work out the probability that this member also swims.
สโมสรฟิตเนสมีสมาชิก 60 คน แผนภาพเวนน์แสดงจำนวนสมาชิกที่ว่ายน้ำ ($S$) และที่ปั่นจักรยาน ($C$)
(ก) จงหา $n(S\cup C)$
(ข) สุ่มเลือกสมาชิกหนึ่งคนจาก 60 คน จงหาความน่าจะเป็นที่คนนี้ไม่ว่ายน้ำและไม่ปั่นจักรยาน
(ค) สุ่มเลือกสมาชิกหนึ่งคนจากกลุ่มที่ปั่นจักรยาน จงหาความน่าจะเป็นที่คนนี้ว่ายน้ำด้วย
Answershow ▾
5 marks, and each part has a different denominator. That is the whole question.5 คะแนน และแต่ละข้อย่อยใช้ตัวส่วนคนละตัว · นั่นแหละคือทั้งข้อ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) B1 $\dfrac{9}{60} = \dfrac{3}{20}$.
(c) M1 denominator $n(C) = 11 + 17 = 28$ A1 $\dfrac{11}{28}$.
The M1 in (c) is the denominator. Choosing $28$ over $60$ is the question, and it carries no mark of its own.
A missing probability, then an estimate ความน่าจะเป็นที่หายไป แล้วประมาณค่า
Here is a biased four-sided spinner.
The table gives the probabilities that, when the spinner is spun once, it will land on $1$ or it will land on $3$.
Number: $1$, $2$, $3$, $4$
Probability: $0.26$, $\ ?\ $, $0.18$, $\ ?\ $
The probability that the spinner will land on $2$ is equal to the probability that it will land on $4$.
Ravina is going to spin the spinner a number of times. Ravina works out that an estimate for the number of times the spinner will land on $3$ is $45$
Work out an estimate for the number of times the spinner will land on $4$.
จานหมุนสี่ด้านที่เอนเอียงมีความน่าจะเป็นดังนี้
ตัวเลข: $1$, $2$, $3$, $4$
ความน่าจะเป็น: $0.26$, $\ ?\ $, $0.18$, $\ ?\ $
ความน่าจะเป็นที่จะได้ $2$ เท่ากับความน่าจะเป็นที่จะได้ $4$
รวินาหมุนจานหลายครั้ง และประมาณว่าจำนวนครั้งที่จะได้ $3$ คือ $45$ ครั้ง
จงประมาณจำนวนครั้งที่จานจะหมุนได้ $4$
A spinner can land on $A$, $B$, or $C$. $P(A)=0.26$ and $P(B)=0.18$. Work out $P(C)$.
จานหมุนหนึ่งลงได้ที่ $A$, $B$ หรือ $C$ โดย $P(A)=0.26$ และ $P(B)=0.18$ จงหา $P(C)$
Answershow ▾
All the probabilities in the list add up to $1$.ความน่าจะเป็นทั้งหมดในรายการรวมกันได้ $1$
Two outcomes have equal probability. Together they total $0.56$. Work out one of them.
สองเหตุการณ์มีความน่าจะเป็นเท่ากัน รวมกันได้ $0.56$ จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่ง
Answershow ▾
Divide the total by $2$, since the two shares are equal.หารผลรวมด้วย $2$ เพราะทั้งสองส่วนเท่ากัน
An estimate for one outcome is $45$, and its probability is $0.18$. Work out the total number of trials.
ค่าประมาณของเหตุการณ์หนึ่งคือ $45$ ครั้ง โดยมีความน่าจะเป็น $0.18$ จงหาจำนวนครั้งทั้งหมด
Answershow ▾
The estimate is probability times trials, so divide back to find the trials.ค่าประมาณคือความน่าจะเป็นคูณจำนวนครั้ง จึงหารกลับเพื่อหาจำนวนครั้ง
The spinner also lands on $2$ or $4$, with $P(2)=P(4)$. Pick the first move to find them.
(A) say $P(2)=P(4)=0.5$, since there are four numbers
(B) work out $1-(0.26+0.18)$, then halve it
(C) multiply $0.26\times0.18$
จานหมุนยังลงได้ที่ $2$ หรือ $4$ โดย $P(2)=P(4)$ จงเลือกขั้นแรกในการหาค่าเหล่านี้
(A) บอกว่า $P(2)=P(4)=0.5$ เพราะมีสี่เลข
(B) หา $1-(0.26+0.18)$ แล้วหารครึ่ง
(C) คูณ $0.26\times0.18$
Answershow ▾
(A) treats a biased spinner as fair, which the question rules out. (C) multiplies two probabilities that are not independent events here, so it has no meaning.(A) ถือว่าจานหมุนเอนเอียงเป็นจานที่เที่ยงตรง ซึ่งขัดกับคำถาม · (C) คูณความน่าจะเป็นสองค่าที่ไม่ใช่เหตุการณ์อิสระ จึงไม่มีความหมาย
Work out $P(2)+P(4)$ for the spinner, using $P(1)=0.26$ and $P(3)=0.18$.
จงหา $P(2)+P(4)$ ของจานหมุน โดยใช้ $P(1)=0.26$ และ $P(3)=0.18$
Answershow ▾
The four probabilities add to $1$.ความน่าจะเป็นทั้งสี่รวมกันได้ $1$
Since $P(2)=P(4)$, work out $P(4)$.
เนื่องจาก $P(2)=P(4)$ จงหา $P(4)$
Answershow ▾
Divide the $0.56$ equally between the two.หาร $0.56$ เท่ากันทั้งสองค่า
Ravina estimates $45$ landings on $3$. Use $P(3)=0.18$ to work out the total number of spins.
รวินาประมาณว่าได้ $3$ จำนวน $45$ ครั้ง จงใช้ $P(3)=0.18$ หาจำนวนครั้งที่หมุนทั้งหมด
Answershow ▾
Divide the estimate by its probability.หารค่าประมาณด้วยความน่าจะเป็นของมัน
Work out the estimate for landing on $4$: multiply $P(4)$ by the total number of spins.
จงหาค่าประมาณที่จะได้ $4$ โดยคูณ $P(4)$ ด้วยจำนวนครั้งที่หมุนทั้งหมด
Answershow ▾
Probability times the total number of trials gives an estimate.ความน่าจะเป็นคูณจำนวนครั้งทั้งหมด ได้ค่าประมาณ
Check: multiply $P(3)$ by the total number of spins. Does it give back $45$?
ตรวจคำตอบ: คูณ $P(3)$ ด้วยจำนวนครั้งที่หมุนทั้งหมด ได้ $45$ กลับมาหรือไม่
Answershow ▾
The estimate you started from should come back out.ค่าประมาณที่เริ่มต้นไว้ต้องได้กลับมาเหมือนเดิม
A biased spinner lands on $1$, $2$, $3$, or $4$. $P(1)=0.1$ and $P(3)=0.3$, and $P(2)=P(4)$. An estimate for landing on $1$ in many spins is $20$. Work out an estimate for landing on $4$.
จานหมุนเอนเอียงลงได้ที่ $1$, $2$, $3$ หรือ $4$ โดย $P(1)=0.1$ และ $P(3)=0.3$ และ $P(2)=P(4)$ ค่าประมาณที่จะได้ $1$ จากการหมุนหลายครั้งคือ $20$ ครั้ง จงหาค่าประมาณที่จะได้ $4$
Answershow ▾
Same three moves: find the missing total, halve it, then multiply by the trials.สามขั้นเดิม: หาผลรวมที่หายไป หารครึ่ง แล้วคูณด้วยจำนวนครั้ง
Here is a biased four-sided spinner.
The table gives the probabilities that, when the spinner is spun once, it will land on $1$ or it will land on $3$.
Number: $1$, $2$, $3$, $4$
Probability: $0.26$, $\ ?\ $, $0.18$, $\ ?\ $
The probability that the spinner will land on $2$ is equal to the probability that it will land on $4$.
Ravina is going to spin the spinner a number of times. Ravina works out that an estimate for the number of times the spinner will land on $3$ is $45$
Work out an estimate for the number of times the spinner will land on $4$.
จานหมุนสี่ด้านที่เอนเอียงมีความน่าจะเป็นดังนี้
ตัวเลข: $1$, $2$, $3$, $4$
ความน่าจะเป็น: $0.26$, $\ ?\ $, $0.18$, $\ ?\ $
ความน่าจะเป็นที่จะได้ $2$ เท่ากับความน่าจะเป็นที่จะได้ $4$
รวินาหมุนจานหลายครั้ง และประมาณว่าจำนวนครั้งที่จะได้ $3$ คือ $45$ ครั้ง
จงประมาณจำนวนครั้งที่จานจะหมุนได้ $4$
Answershow ▾
4 marks: the missing total, the total number of spins, then multiply and read off the estimate.4 คะแนน: ผลรวมที่หายไป จำนวนครั้งที่หมุนทั้งหมด แล้วคูณเพื่ออ่านค่าประมาณ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$1-(0.26+0.18) = 0.56$
M1 find the total number of spins from the estimate for $3$หาจำนวนครั้งทั้งหมดจากค่าประมาณของ $3$
$45\div0.18 = 250$
M1 halve, then multiply by the total number of spinsหารครึ่ง แล้วคูณด้วยจำนวนครั้งทั้งหมด
$0.56\div2\times250$
A1 the estimateค่าประมาณ
$= 70$
Venn diagram from set notation แผนภาพเวนน์จากสัญกรณ์เซต
$\mathcal{E} = \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}$
$A \cap B = \{5, 10, 15\}$
$B' = \{7, 8, 9, 11, 12, 13, 14\}$
$A' = \{4, 6, 7, 8, 14\}$
Complete the Venn diagram for this information.
$\mathcal{E} = \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}$
$A \cap B = \{5, 10, 15\}$
$B' = \{7, 8, 9, 11, 12, 13, 14\}$
$A' = \{4, 6, 7, 8, 14\}$
จงเติมแผนภาพเวนน์ (Venn diagram) ให้สมบูรณ์จากข้อมูลนี้
The universal set is $\mathcal{E}=\{4,\ldots,15\}$. $B'=\{7,8,9,11,12,13,14\}$. List the elements of $B$.
เอกภพสัมพัทธ์คือ $\mathcal{E}=\{4,\ldots,15\}$ และ $B'=\{7,8,9,11,12,13,14\}$ จงหาสมาชิกของ $B$
Answershow ▾
B is every element of the universal set that is not in B'.B คือสมาชิกทั้งหมดในเอกภพสัมพัทธ์ที่ไม่อยู่ใน B'
$A=\{5,9,10,11,12,13,15\}$ and $A\cap B=\{5,10,15\}$. List the elements of $A\setminus(A\cap B)$.
$A=\{5,9,10,11,12,13,15\}$ และ $A\cap B=\{5,10,15\}$ จงหาสมาชิกของ $A\setminus(A\cap B)$
Answershow ▾
Take the shared elements out of A; what is left belongs to A alone.ตัดสมาชิกที่ซ้อนกันออกจาก A ส่วนที่เหลืออยู่ใน A เพียงวงเดียว
$A'=\{4,6,7,8,14\}$ and $B'=\{7,8,9,11,12,13,14\}$. List the elements of $A'\cap B'$.
$A'=\{4,6,7,8,14\}$ และ $B'=\{7,8,9,11,12,13,14\}$ จงหาสมาชิกของ $A'\cap B'$
Answershow ▾
An element in both complements is in neither A nor B.สมาชิกที่อยู่ในคอมพลีเมนต์ทั้งสองตัว ไม่อยู่ใน A และไม่อยู่ใน B
$A'=\{4,6,7,8,14\}$ and $B'=\{7,8,9,11,12,13,14\}$. Pick the first move to find $A$ only and $B$ only.
(A) put $A'$ straight into the region outside both circles
(B) find $A=\mathcal{E}\setminus A'$ and $B=\mathcal{E}\setminus B'$ first, then remove $A\cap B$ from each
(C) put $B'$ straight into the $A$ only region
$A'=\{4,6,7,8,14\}$ และ $B'=\{7,8,9,11,12,13,14\}$ จงเลือกขั้นแรกในการหาเฉพาะ $A$ และเฉพาะ $B$
(A) นำ $A'$ ไปใส่ในบริเวณนอกทั้งสองวงตรง ๆ
(B) หา $A=\mathcal{E}\setminus A'$ และ $B=\mathcal{E}\setminus B'$ ก่อน แล้วตัด $A\cap B$ ออกจากแต่ละเซต
(C) นำ $B'$ ไปใส่ในบริเวณเฉพาะ $A$ ตรง ๆ
Answershow ▾
(A) $A'$ also holds the B only elements, not just the ones outside both. (C) $B'$ also holds the outside elements, not just the A only ones.(A) $A'$ มีสมาชิกของเฉพาะ B รวมอยู่ด้วย ไม่ใช่แค่ส่วนที่อยู่นอกทั้งสองวง · (C) $B'$ มีสมาชิกที่อยู่นอกทั้งสองวงรวมอยู่ด้วย ไม่ใช่แค่เฉพาะ A
Using $\mathcal{E}=\{4,\ldots,15\}$, $A'=\{4,6,7,8,14\}$ and $B'=\{7,8,9,11,12,13,14\}$, find $A$ and $B$.
จาก $\mathcal{E}=\{4,\ldots,15\}$ $A'=\{4,6,7,8,14\}$ และ $B'=\{7,8,9,11,12,13,14\}$ จงหา $A$ และ $B$
Answershow ▾
Each set is everything in the universal set that is not in its complement.แต่ละเซตคือสมาชิกทั้งหมดในเอกภพสัมพัทธ์ที่ไม่อยู่ในคอมพลีเมนต์ของมัน
Using $A=\{5,9,10,11,12,13,15\}$, $B=\{4,5,6,10,15\}$ and $A\cap B=\{5,10,15\}$, find $A\setminus(A\cap B)$ and $B\setminus(A\cap B)$.
จาก $A=\{5,9,10,11,12,13,15\}$ $B=\{4,5,6,10,15\}$ และ $A\cap B=\{5,10,15\}$ จงหา $A\setminus(A\cap B)$ และ $B\setminus(A\cap B)$
Answershow ▾
Remove the shared elements from each set; what is left belongs to that circle alone.ตัดสมาชิกที่ซ้อนกันออกจากแต่ละเซต ส่วนที่เหลืออยู่ในวงนั้นเพียงวงเดียว
You know $A$ only $=\{9,11,12,13\}$, $B$ only $=\{4,6\}$ and $A\cap B=\{5,10,15\}$. Pick the move to find what is outside both circles.
(A) outside $=A'\cap B'$
(B) outside $=A'\cup B'$
(C) outside $=\mathcal{E}\cap(A\cup B)$
ทราบว่าเฉพาะ $A=\{9,11,12,13\}$ เฉพาะ $B=\{4,6\}$ และ $A\cap B=\{5,10,15\}$ จงเลือกวิธีหาสิ่งที่อยู่นอกทั้งสองวง
(A) นอกทั้งสองวง $=A'\cap B'$
(B) นอกทั้งสองวง $=A'\cup B'$
(C) นอกทั้งสองวง $=\mathcal{E}\cap(A\cup B)$
Answershow ▾
(B) $A'\cup B'$ only removes the overlap $A\cap B$, so $A$ only and $B$ only are still inside it. (C) $\mathcal{E}\cap(A\cup B)$ is just $A\cup B$ again, not what is left over.(B) $A'\cup B'$ ตัดออกแค่ส่วนที่ซ้อน $A\cap B$ เฉพาะ A และเฉพาะ B ยังอยู่ในนั้น · (C) $\mathcal{E}\cap(A\cup B)$ ก็คือ $A\cup B$ เดิม ไม่ใช่ส่วนที่เหลือ
Using $A'=\{4,6,7,8,14\}$ and $B'=\{7,8,9,11,12,13,14\}$, find $A'\cap B'$.
จาก $A'=\{4,6,7,8,14\}$ และ $B'=\{7,8,9,11,12,13,14\}$ จงหา $A'\cap B'$
Answershow ▾
An element outside both circles is in neither A nor B, so it sits in both complements.สมาชิกที่อยู่นอกทั้งสองวง ไม่อยู่ใน A และไม่อยู่ใน B จึงอยู่ในคอมพลีเมนต์ทั้งสองตัว
You have all four regions. Write the completed Venn diagram: $A$ only, $B$ only, $A\cap B$ and outside both.
ได้ทั้งสี่บริเวณแล้ว จงเขียนแผนภาพเวนน์ที่สมบูรณ์: เฉพาะ $A$ เฉพาะ $B$ $A\cap B$ และนอกทั้งสองวง
Answershow ▾
Four regions, each element of the universal set placed exactly once.สี่บริเวณ สมาชิกทุกตัวของเอกภพสัมพัทธ์ถูกวางเพียงครั้งเดียว
Check the diagram: add the sizes of the four regions, $4+2+3+3$. Does it equal $n(\mathcal{E})=12$?
ตรวจแผนภาพ: บวกขนาดของทั้งสี่บริเวณ $4+2+3+3$ ได้เท่ากับ $n(\mathcal{E})=12$ หรือไม่
Answershow ▾
Every element of E placed exactly once means the four sizes add back to n(E).สมาชิกทุกตัวของ E ถูกวางเพียงครั้งเดียว ขนาดทั้งสี่บริเวณจึงรวมกันได้ n(E)
$\mathcal{E}=\{1,\ldots,10\}$. $A\cap B=\{3,4\}$. $B'=\{1,2,7,8,9,10\}$. $A'=\{5,6,7,8,9,10\}$. Complete the Venn diagram for this information.
$\mathcal{E}=\{1,\ldots,10\}$ · $A\cap B=\{3,4\}$ · $B'=\{1,2,7,8,9,10\}$ · $A'=\{5,6,7,8,9,10\}$ จงเติมแผนภาพเวนน์ให้สมบูรณ์จากข้อมูลนี้
Answershow ▾
Same three moves: complement each letter, subtract the intersection, then intersect the complements.สามขั้นเดิม: หาคอมพลีเมนต์ของแต่ละตัว ตัดส่วนที่ซ้อนออก แล้วหาส่วนที่ซ้อนของคอมพลีเมนต์
$\mathcal{E} = \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}$
$A \cap B = \{5, 10, 15\}$
$B' = \{7, 8, 9, 11, 12, 13, 14\}$
$A' = \{4, 6, 7, 8, 14\}$
Complete the Venn diagram for this information.
$\mathcal{E} = \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}$
$A \cap B = \{5, 10, 15\}$
$B' = \{7, 8, 9, 11, 12, 13, 14\}$
$A' = \{4, 6, 7, 8, 14\}$
จงเติมแผนภาพเวนน์ (Venn diagram) ให้สมบูรณ์จากข้อมูลนี้
Answershow ▾
3 marks: the complement of each letter, then subtract the given intersection, then intersect the complements for what is outside.3 คะแนน: หาคอมพลีเมนต์ของแต่ละตัว แล้วตัดส่วนที่ซ้อนตามที่กำหนด แล้วหาส่วนที่ซ้อนของคอมพลีเมนต์สำหรับส่วนที่อยู่นอก
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$B = \mathcal{E}\setminus B' = \{4,5,6,10,15\}$
$A$
$= \mathcal{E}\setminus A'$
$= \{5,9,10,11,12,13,15\}$
$A\;\text{only}$
$= \{9,11,12,13\},\; B\;\text{only}$
$= \{4,6\}$
$\text{outside} = A'\cap B' = \{7,8,14\}$
A fraction of a tank, then more fish added เศษส่วนของปลาในตู้ แล้วเติมปลาเพิ่ม
(a) There are $54$ fish in a tank. Some of the fish are white and the rest of the fish are red. Jeevan takes at random a fish from the tank. The probability that he takes a white fish is $\dfrac{4}{9}$.
Work out the number of white fish originally in the tank.
(b) Jeevan puts the fish he took out, back into the tank. He puts some more white fish into the tank. Jeevan takes at random a fish from the tank. The probability that he takes a white fish is now $\dfrac12$.
Work out the number of white fish Jeevan put into the tank.
(ก) ในตู้ปลามีปลาอยู่ $54$ ตัว บางตัวเป็นสีขาว ที่เหลือเป็นสีแดง เจวานสุ่มหยิบปลาหนึ่งตัวจากตู้ ความน่าจะเป็นที่จะได้ปลาสีขาวคือ $\dfrac{4}{9}$
จงหาจำนวนปลาสีขาวเดิมในตู้
(ข) เจวานใส่ปลาที่หยิบออกมากลับเข้าตู้ แล้วเติมปลาสีขาวเพิ่มเข้าไปอีก จากนั้นสุ่มหยิบปลาหนึ่งตัวจากตู้ ความน่าจะเป็นที่จะได้ปลาสีขาวตอนนี้คือ $\dfrac12$
จงหาจำนวนปลาสีขาวที่เจวานเติมเข้าไป
A bag has $54$ counters. The probability of picking a red counter is $\dfrac{4}{9}$. Work out the number of red counters.
ถุงใบหนึ่งมีเหรียญ $54$ เหรียญ ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้เหรียญสีแดงคือ $\dfrac{4}{9}$ จงหาจำนวนเหรียญสีแดง
Answershow ▾
Multiply the total by the probability.คูณจำนวนทั้งหมดด้วยความน่าจะเป็น
A bag has $24$ red counters. $n$ more red counters are added. Write an expression, in terms of $n$, for the new number of red counters.
ถุงใบหนึ่งมีเหรียญสีแดง $24$ เหรียญ มีการเติมเหรียญสีแดงเพิ่มอีก $n$ เหรียญ จงเขียนนิพจน์ในรูปของ $n$ สำหรับจำนวนเหรียญสีแดงใหม่
Answershow ▾
The added counters are red, so the red count grows by $n$.เหรียญที่เติมเพิ่มเป็นสีแดง จำนวนเหรียญสีแดงจึงเพิ่มขึ้น $n$
A bag has $54$ counters in total. $n$ more counters are added, and none are removed. Write an expression, in terms of $n$, for the new total number of counters.
ถุงใบหนึ่งมีเหรียญทั้งหมด $54$ เหรียญ มีการเติมเหรียญเพิ่มอีก $n$ เหรียญ และไม่มีเหรียญถูกนำออก จงเขียนนิพจน์ในรูปของ $n$ สำหรับจำนวนเหรียญทั้งหมดใหม่
Answershow ▾
Every counter added joins the total, so the total grows by $n$ too.เหรียญที่เติมเพิ่มทุกเหรียญนับเข้าจำนวนทั้งหมดด้วย จำนวนทั้งหมดจึงเพิ่มขึ้น $n$ เช่นกัน
Jeevan takes a fish from a tank of $54$ fish, where $P(\text{white})=\dfrac{4}{9}$. Pick the first move to find the number of white fish.
(A) multiply $54$ by $\dfrac{4}{9}$
(B) divide $54$ by $\dfrac{4}{9}$
(C) divide $\dfrac{4}{9}$ by $54$
เจวานหยิบปลาจากตู้ที่มีปลา $54$ ตัว โดย $P(\text{white})=\dfrac{4}{9}$ จงเลือกขั้นแรกในการหาจำนวนปลาสีขาว
(A) คูณ $54$ ด้วย $\dfrac{4}{9}$
(B) หาร $54$ ด้วย $\dfrac{4}{9}$
(C) หาร $\dfrac{4}{9}$ ด้วย $54$
Answershow ▾
(B) divides by a fraction under $1$, giving more than $54$, which cannot be the white count. (C) divides a probability by a count, giving a number with no meaning here.(B) หารด้วยเศษส่วนที่น้อยกว่า $1$ ได้ค่ามากกว่า $54$ ซึ่งเป็นจำนวนปลาสีขาวไม่ได้ · (C) หารความน่าจะเป็นด้วยจำนวน ได้ตัวเลขที่ไม่มีความหมายในที่นี้
There are $54$ fish in the tank. $P(\text{white})=\dfrac{4}{9}$. Write the calculation for the number of white fish.
ในตู้มีปลา $54$ ตัว โดย $P(\text{white})=\dfrac{4}{9}$ จงเขียนวิธีคำนวณจำนวนปลาสีขาว
Answershow ▾
Same move as the counters: multiply the total by the probability.ขั้นเดียวกับโจทย์เหรียญ: คูณจำนวนทั้งหมดด้วยความน่าจะเป็น
Evaluate $54\times\dfrac{4}{9}$.
จงคำนวณ $54\times\dfrac{4}{9}$
Answershow ▾
$54$ divided by $9$ is $6$, then times $4$.$54$ หารด้วย $9$ ได้ $6$ แล้วคูณด้วย $4$
Jeevan adds $n$ more white fish to the tank, and no fish are removed. Pick what happens to the white-fish count and the total.
(A) only the total increases by $n$
(B) only the white-fish count increases by $n$
(C) both the white-fish count and the total increase by $n$
เจวานเติมปลาสีขาวเพิ่มอีก $n$ ตัว และไม่มีปลาถูกนำออก จงเลือกสิ่งที่เกิดกับจำนวนปลาสีขาวและจำนวนรวม
(A) จำนวนรวมเพิ่มขึ้น $n$ เท่านั้น
(B) จำนวนปลาสีขาวเพิ่มขึ้น $n$ เท่านั้น
(C) ทั้งจำนวนปลาสีขาวและจำนวนรวมเพิ่มขึ้น $n$
Answershow ▾
(A) forgets the added fish are white, so the white count must grow too. (B) forgets the added fish join the tank, so the total must grow too.(A) ลืมว่าปลาที่เติมเป็นสีขาว จำนวนปลาสีขาวจึงต้องเพิ่มด้วย · (B) ลืมว่าปลาที่เติมเข้าตู้ด้วย จำนวนรวมจึงต้องเพิ่มด้วย
After Jeevan adds $n$ white fish, write the new probability of picking a white fish as a fraction, using $24+n$ white fish out of $54+n$ fish.
หลังจากเจวานเติมปลาสีขาวเพิ่ม $n$ ตัว จงเขียนความน่าจะเป็นใหม่ที่จะหยิบได้ปลาสีขาวในรูปเศษส่วน โดยใช้ปลาสีขาว $24+n$ ตัว จากปลาทั้งหมด $54+n$ ตัว
Answershow ▾
The new count over the new total.จำนวนใหม่หารด้วยจำนวนรวมใหม่
The new probability is $\dfrac12$. Write $\dfrac{24+n}{54+n}=\dfrac12$ without a fraction, then expand the bracket.
ความน่าจะเป็นใหม่คือ $\dfrac12$ จงเขียน $\dfrac{24+n}{54+n}=\dfrac12$ โดยไม่มีเศษส่วน แล้วกระจายวงเล็บ
Answershow ▾
Multiply both sides by $2(54+n)$ to clear both denominators.คูณทั้งสองข้างด้วย $2(54+n)$ เพื่อกำจัดตัวส่วนทั้งสองตัว
Solve $48+2n=54+n$ for $n$.
จงแก้สมการ $48+2n=54+n$ หา $n$
Answershow ▾
Move the $n$ terms to one side, then the numbers to the other.ย้ายพจน์ $n$ ไปข้างหนึ่ง แล้วย้ายตัวเลขไปอีกข้าง
A box has $40$ pens. Some are blue and the rest are black. The probability of picking a blue pen is $\dfrac38$.
(a) Work out the number of blue pens.
(b) More blue pens are added so that the probability of picking a blue pen becomes $\dfrac12$. Work out how many blue pens were added.
กล่องหนึ่งมีปากกา $40$ ด้าม บางด้ามเป็นสีน้ำเงิน ที่เหลือเป็นสีดำ ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ปากกาสีน้ำเงินคือ $\dfrac38$
(ก) จงหาจำนวนปากกาสีน้ำเงิน
(ข) มีการเติมปากกาสีน้ำเงินเพิ่ม ทำให้ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ปากกาสีน้ำเงินกลายเป็น $\dfrac12$ จงหาจำนวนปากกาสีน้ำเงินที่เติมเข้าไป
Answershow ▾
Same two moves: multiply for the first part, then both counts grow by $n$ for the second.สองขั้นเดิม: คูณสำหรับส่วนแรก แล้วทั้งสองจำนวนเพิ่มขึ้น $n$ เท่ากันสำหรับส่วนที่สอง
(a) There are $54$ fish in a tank. Some of the fish are white and the rest of the fish are red. Jeevan takes at random a fish from the tank. The probability that he takes a white fish is $\dfrac{4}{9}$.
Work out the number of white fish originally in the tank.
(b) Jeevan puts the fish he took out, back into the tank. He puts some more white fish into the tank. Jeevan takes at random a fish from the tank. The probability that he takes a white fish is now $\dfrac12$.
Work out the number of white fish Jeevan put into the tank.
(ก) ในตู้ปลามีปลาอยู่ $54$ ตัว บางตัวเป็นสีขาว ที่เหลือเป็นสีแดง เจวานสุ่มหยิบปลาหนึ่งตัวจากตู้ ความน่าจะเป็นที่จะได้ปลาสีขาวคือ $\dfrac{4}{9}$
จงหาจำนวนปลาสีขาวเดิมในตู้
(ข) เจวานใส่ปลาที่หยิบออกมากลับเข้าตู้ แล้วเติมปลาสีขาวเพิ่มเข้าไปอีก จากนั้นสุ่มหยิบปลาหนึ่งตัวจากตู้ ความน่าจะเป็นที่จะได้ปลาสีขาวตอนนี้คือ $\dfrac12$
จงหาจำนวนปลาสีขาวที่เจวานเติมเข้าไป
Answershow ▾
4 marks: multiply for (a), then both the white count and the total grow by $n$ for (b).4 คะแนน: คูณสำหรับข้อ (ก) แล้วทั้งจำนวนปลาสีขาวและจำนวนรวมเพิ่มขึ้น $n$ เท่ากันสำหรับข้อ (ข)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$54\times\dfrac49$
A1 the original number of white fishจำนวนปลาสีขาวเดิม
$= 24$
M1 set up an equation for the new probability, $n$ fish addedตั้งสมการของความน่าจะเป็นใหม่ โดยเติมปลา $n$ ตัว
$\dfrac{24+n}{54+n} = \dfrac12$
A1 the number of white fish addedจำนวนปลาสีขาวที่เติม
$n = 6$
The tree with missing branches ต้นไม้ที่กิ่งหายไป
(a) Aika has $2$ packets of seeds, packet $A$ and packet $B$. There are $12$ seeds in packet $A$ and $7$ of these are sunflower seeds. There are $15$ seeds in packet $B$ and $8$ of these are sunflower seeds. Aika is going to take at random a seed from packet $A$ and a seed from packet $B$.
Complete the probability tree diagram.
(b) Calculate the probability that Aika will take two sunflower seeds.
(ก) อไอกะมีถุงเมล็ดพันธุ์ $2$ ถุง คือถุง $A$ และถุง $B$ ถุง $A$ มีเมล็ด $12$ เมล็ด เป็นเมล็ดทานตะวัน $7$ เมล็ด ถุง $B$ มีเมล็ด $15$ เมล็ด เป็นเมล็ดทานตะวัน $8$ เมล็ด อไอกะจะสุ่มหยิบเมล็ดจากถุง $A$ หนึ่งเมล็ด และจากถุง $B$ หนึ่งเมล็ด
จงเติมแผนภาพต้นไม้ (tree diagram) ให้สมบูรณ์
(ข) จงหาความน่าจะเป็นที่อไอกะจะได้เมล็ดทานตะวันทั้งสองเมล็ด
Packet $A$ has $12$ seeds. $7$ of them are sunflower seeds. Write the probability of taking a sunflower seed from packet $A$, as a fraction.
ถุง $A$ มีเมล็ด $12$ เมล็ด เป็นเมล็ดทานตะวัน $7$ เมล็ด จงเขียนความน่าจะเป็นที่หยิบได้เมล็ดทานตะวันจากถุง $A$ ในรูปเศษส่วน
Answershow ▾
Sunflower seeds out of all the seeds in the packet.จำนวนเมล็ดทานตะวัน หารด้วยจำนวนเมล็ดทั้งหมดในถุง
The probability of a sunflower seed from packet $A$ is $\dfrac{7}{12}$. Write the probability of NOT a sunflower seed from packet $A$.
ความน่าจะเป็นที่หยิบได้เมล็ดทานตะวันจากถุง $A$ คือ $\dfrac{7}{12}$ จงเขียนความน่าจะเป็นที่หยิบได้เมล็ดที่ไม่ใช่ทานตะวันจากถุง $A$
Answershow ▾
The two outcomes of one pick add to $1$.สองผลลัพธ์ของการหยิบหนึ่งครั้ง รวมกันได้ $1$
One path of a tree has probability $\dfrac{5}{12}$, then probability $\dfrac{8}{15}$. Multiply along the path to find its probability.
เส้นทางหนึ่งของแผนภาพต้นไม้มีความน่าจะเป็น $\dfrac{5}{12}$ แล้วตามด้วย $\dfrac{8}{15}$ จงคูณตามเส้นทางเพื่อหาความน่าจะเป็นของเส้นทางนั้น
Answershow ▾
Multiply the two branch probabilities together.คูณความน่าจะเป็นของทั้งสองกิ่งเข้าด้วยกัน
Aika wants the probability of two sunflower seeds - sunflower from $A$ AND sunflower from $B$. Pick the first move.
(A) multiply along the branch where both seeds are sunflower
(B) add all four branch probabilities together
(C) multiply the branch where both seeds are sunflower and the branch where both are not sunflower, then add them
อไอกะต้องการความน่าจะเป็นที่ได้เมล็ดทานตะวันทั้งสองเมล็ด คือทานตะวันจาก $A$ และทานตะวันจาก $B$ จงเลือกขั้นแรก
(A) คูณตามกิ่งที่เมล็ดทั้งสองเป็นทานตะวัน
(B) บวกความน่าจะเป็นของกิ่งทั้งสี่เข้าด้วยกัน
(C) คูณกิ่งที่เมล็ดทั้งสองเป็นทานตะวันกับกิ่งที่เมล็ดทั้งสองไม่ใช่ทานตะวัน แล้วนำมาบวกกัน
Answershow ▾
(B) adds branches for different, exclusive outcomes - that always equals $1$, not one outcome. (C) gives the probability both seeds match in colour, a different event from two sunflower seeds.(B) บวกกิ่งของผลลัพธ์ต่างๆ ที่แยกจากกัน ผลบวกนั้นเท่ากับ $1$ เสมอ ไม่ใช่ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์เดียว (C) ได้ความน่าจะเป็นที่เมล็ดทั้งสองสีเดียวกัน ซึ่งเป็นผลลัพธ์คนละแบบกับเมล็ดทานตะวันทั้งสอง
Packet $B$ has $15$ seeds. $8$ of them are sunflower seeds. Write the probability of a sunflower seed from packet $B$.
ถุง $B$ มีเมล็ด $15$ เมล็ด เป็นเมล็ดทานตะวัน $8$ เมล็ด จงเขียนความน่าจะเป็นที่หยิบได้เมล็ดทานตะวันจากถุง $B$
Answershow ▾
The same method as packet A, using packet B numbers.วิธีเดียวกับถุง A แต่ใช้ตัวเลขของถุง B
Write the probability of NOT a sunflower seed from packet $B$.
จงเขียนความน่าจะเป็นที่หยิบได้เมล็ดที่ไม่ใช่ทานตะวันจากถุง $B$
Answershow ▾
The same subtract-from-$1$ move as packet A.ใช้การลบจาก $1$ แบบเดียวกับถุง A
The tree is now complete. Multiply along the branch where both seeds are sunflower: $\dfrac{7}{12}\times\dfrac{8}{15}$.
แผนภาพต้นไม้เติมครบแล้ว จงคูณตามกิ่งที่เมล็ดทั้งสองเป็นทานตะวัน: $\dfrac{7}{12}\times\dfrac{8}{15}$
Answershow ▾
Multiply the numerators, then the denominators.คูณตัวเศษเข้าด้วยกัน แล้วคูณตัวส่วนเข้าด้วยกัน
Simplify $\dfrac{56}{180}$ to its lowest terms.
จงทำ $\dfrac{56}{180}$ ให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
Answershow ▾
$56$ and $180$ share a common factor of $4$.$56$ กับ $180$ มีตัวประกอบร่วมคือ $4$
Check your tree. Add all four branch probabilities: $\dfrac{7}{12}\times\dfrac{8}{15}+\dfrac{7}{12}\times\dfrac{7}{15}+\dfrac{5}{12}\times\dfrac{8}{15}+\dfrac{5}{12}\times\dfrac{7}{15}$. Does this total $1$?
จงตรวจแผนภาพต้นไม้ โดยบวกความน่าจะเป็นของกิ่งทั้งสี่: $\dfrac{7}{12}\times\dfrac{8}{15}+\dfrac{7}{12}\times\dfrac{7}{15}+\dfrac{5}{12}\times\dfrac{8}{15}+\dfrac{5}{12}\times\dfrac{7}{15}$ ผลรวมเท่ากับ $1$ หรือไม่
Answershow ▾
Every branch of a tree, added, must total $1$.ทุกกิ่งของแผนภาพต้นไม้ เมื่อบวกกันต้องได้ $1$
Box $C$ has $10$ balls, and $6$ are red. Box $D$ has $9$ balls, and $3$ are red. One ball is taken from each box. Find the probability that both balls are red.
กล่อง $C$ มีลูกบอล $10$ ลูก เป็นสีแดง $6$ ลูก กล่อง $D$ มีลูกบอล $9$ ลูก เป็นสีแดง $3$ ลูก หยิบลูกบอลจากกล่องละหนึ่งลูก จงหาความน่าจะเป็นที่ได้ลูกบอลสีแดงทั้งสองลูก
Answershow ▾
The same three moves: write each probability, then multiply along the branch.สามขั้นเดิม: เขียนความน่าจะเป็นแต่ละอัน แล้วคูณตามกิ่ง
(a) Aika has $2$ packets of seeds, packet $A$ and packet $B$. There are $12$ seeds in packet $A$ and $7$ of these are sunflower seeds. There are $15$ seeds in packet $B$ and $8$ of these are sunflower seeds. Aika is going to take at random a seed from packet $A$ and a seed from packet $B$.
Complete the probability tree diagram.
(b) Calculate the probability that Aika will take two sunflower seeds.
(ก) อไอกะมีถุงเมล็ดพันธุ์ $2$ ถุง คือถุง $A$ และถุง $B$ ถุง $A$ มีเมล็ด $12$ เมล็ด เป็นเมล็ดทานตะวัน $7$ เมล็ด ถุง $B$ มีเมล็ด $15$ เมล็ด เป็นเมล็ดทานตะวัน $8$ เมล็ด อไอกะจะสุ่มหยิบเมล็ดจากถุง $A$ หนึ่งเมล็ด และจากถุง $B$ หนึ่งเมล็ด
จงเติมแผนภาพต้นไม้ (tree diagram) ให้สมบูรณ์
(ข) จงหาความน่าจะเป็นที่อไอกะจะได้เมล็ดทานตะวันทั้งสองเมล็ด
Answershow ▾
$4$ marks: fill the tree with the two complements, multiply along the sunflower branch, then simplify.$4$ คะแนน: เติมส่วนเติมเต็มทั้งสองลงในแผนภาพ คูณตามกิ่งทานตะวัน แล้วทำให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\dfrac{5}{12},\;\dfrac{8}{15},\;\dfrac{7}{15}$
M1ft multiply along the sunflower branchคูณตามกิ่งเมล็ดทานตะวัน
$\dfrac{7}{12}\times\dfrac{8}{15}$
A1 the probabilityความน่าจะเป็น
$= \dfrac{14}{45}$
A tree with three missing branches ต้นไม้ที่ขาดสามกิ่ง
(a) Rudolf goes to the gym. The probability that he will use the treadmill is $0.8$ When he uses the treadmill, the probability that he will use the cross trainer is $0.3$ When he does not use the treadmill, the probability that he will use the cross trainer is $0.6$
Complete the probability tree diagram for this information.
(b) Work out the probability that Rudolf uses both the treadmill and the cross trainer.
(ก) รูดอล์ฟไปยิม ความน่าจะเป็นที่เขาจะใช้ลู่วิ่งคือ $0.8$ เมื่อเขาใช้ลู่วิ่ง ความน่าจะเป็นที่เขาจะใช้เครื่องเทรนเนอร์แบบไขว้คือ $0.3$ เมื่อเขาไม่ใช้ลู่วิ่ง ความน่าจะเป็นที่เขาจะใช้เครื่องเทรนเนอร์แบบไขว้คือ $0.6$
จงเติมแผนภาพต้นไม้ให้สมบูรณ์
(ข) จงหาความน่าจะเป็นที่รูดอล์ฟใช้ทั้งลู่วิ่งและเครื่องเทรนเนอร์แบบไขว้
The probability that Rudolf uses the treadmill is $0.8$. Write the probability that he does not use the treadmill.
ความน่าจะเป็นที่รูดอล์ฟใช้ลู่วิ่งคือ $0.8$ จงหาความน่าจะเป็นที่เขาไม่ใช้ลู่วิ่ง
Answershow ▾
Subtract the probability from $1$.นำความน่าจะเป็นไปลบออกจาก $1$
When Rudolf uses the treadmill, the probability that he then uses the cross trainer is $0.3$. Write the probability that he does not use the cross trainer.
เมื่อรูดอล์ฟใช้ลู่วิ่ง ความน่าจะเป็นที่เขาใช้เครื่องเทรนเนอร์แบบไขว้ต่อคือ $0.3$ จงหาความน่าจะเป็นที่เขาไม่ใช้เครื่องเทรนเนอร์แบบไขว้
Answershow ▾
Same move as question $1$: subtract from $1$.ขั้นเดียวกับข้อ $1$: นำไปลบออกจาก $1$
When Rudolf does not use the treadmill, the probability that he then uses the cross trainer is $0.6$. Write the probability that he does not use the cross trainer.
เมื่อรูดอล์ฟไม่ใช้ลู่วิ่ง ความน่าจะเป็นที่เขาใช้เครื่องเทรนเนอร์แบบไขว้คือ $0.6$ จงหาความน่าจะเป็นที่เขาไม่ใช้เครื่องเทรนเนอร์แบบไขว้
Answershow ▾
Same move again: subtract from $1$.ขั้นเดิมอีกครั้ง: นำไปลบออกจาก $1$
The tree has a blank branch after "treadmill", for "no cross trainer". Pick the right way to fill it.
(A) $1-0.8=0.2$
(B) $1-0.3=0.7$
(C) $1-0.6=0.4$
ต้นไม้มีกิ่งที่ขาดอยู่หลัง "ลู่วิ่ง" สำหรับ "ไม่ใช้เครื่องเทรนเนอร์แบบไขว้" จงเลือกวิธีที่ถูกต้องในการเติม
(A) $1-0.8=0.2$
(B) $1-0.3=0.7$
(C) $1-0.6=0.4$
Answershow ▾
(A) is the complement for the first split, treadmill against no treadmill, not this branch. (C) is the complement that belongs to the "no treadmill" branch, not "treadmill".(A) เป็นส่วนเติมเต็มของการแยกครั้งแรก ลู่วิ่งกับไม่ใช้ลู่วิ่ง ไม่ใช่กิ่งนี้ · (C) เป็นส่วนเติมเต็มของกิ่ง "ไม่ใช้ลู่วิ่ง" ไม่ใช่ "ลู่วิ่ง"
The tree splits first into "treadmill" and "no treadmill". The treadmill branch is $0.8$. Write the probability for "no treadmill".
ต้นไม้แยกครั้งแรกเป็น "ลู่วิ่ง" และ "ไม่ใช้ลู่วิ่ง" กิ่งลู่วิ่งคือ $0.8$ จงหาความน่าจะเป็นของกิ่ง "ไม่ใช้ลู่วิ่ง"
Answershow ▾
Same complement as question $1$, now on the real tree.ส่วนเติมเต็มเดียวกับข้อ $1$ แต่อยู่บนต้นไม้จริง
After "treadmill", the branch to "cross trainer" is $0.3$. Write the probability for "no cross trainer".
หลังจาก "ลู่วิ่ง" กิ่งไปยัง "เครื่องเทรนเนอร์แบบไขว้" คือ $0.3$ จงหาความน่าจะเป็นของกิ่ง "ไม่ใช้เครื่องเทรนเนอร์แบบไขว้"
Answershow ▾
Same complement as question $2$.ส่วนเติมเต็มเดียวกับข้อ $2$
After "no treadmill", the branch to "cross trainer" is $0.6$. Write the probability for "no cross trainer".
หลังจาก "ไม่ใช้ลู่วิ่ง" กิ่งไปยัง "เครื่องเทรนเนอร์แบบไขว้" คือ $0.6$ จงหาความน่าจะเป็นของกิ่ง "ไม่ใช้เครื่องเทรนเนอร์แบบไขว้"
Answershow ▾
Same complement as question $3$. All three blanks are now filled.ส่วนเติมเต็มเดียวกับข้อ $3$ · ครบทั้งสามกิ่งที่ขาดแล้ว
To find the probability that Rudolf uses the treadmill and the cross trainer, pick the first move.
(A) $0.8+0.3$
(B) $0.8\times0.3$
(C) $0.8\times0.6$
เพื่อหาความน่าจะเป็นที่รูดอล์ฟใช้ทั้งลู่วิ่งและเครื่องเทรนเนอร์แบบไขว้ จงเลือกขั้นแรก
(A) $0.8+0.3$
(B) $0.8\times0.3$
(C) $0.8\times0.6$
Answershow ▾
(A) adds the two branch probabilities, which is for separate routes, not one path. (C) multiplies the treadmill branch by $0.6$, but $0.6$ belongs to the "no treadmill" branch.(A) บวกความน่าจะเป็นของสองกิ่ง ซึ่งใช้กับเส้นทางที่แยกกัน ไม่ใช่เส้นทางเดียว · (C) คูณกิ่งลู่วิ่งด้วย $0.6$ แต่ $0.6$ เป็นของกิ่ง "ไม่ใช้ลู่วิ่ง"
Work out $0.8\times0.3$, multiplying along the "treadmill" then "cross trainer" branch.
จงคำนวณ $0.8\times0.3$ โดยคูณตามกิ่ง "ลู่วิ่ง" แล้ว "เครื่องเทรนเนอร์แบบไขว้"
Answershow ▾
Both must happen, so multiply along one branch. That is the AND rule drawn as a tree.ต้องเกิดทั้งสองอย่าง จึงคูณตามกิ่งเดียว นี่คือกฎ AND ที่วาดเป็นต้นไม้
Check the "treadmill" branch: $0.8\times0.3+0.8\times0.7=?$ Does this equal $0.8$?
จงตรวจกิ่ง "ลู่วิ่ง": $0.8\times0.3+0.8\times0.7=?$ ได้เท่ากับ $0.8$ หรือไม่
Answershow ▾
The two routes out of "treadmill" add back up to the treadmill probability.สองเส้นทางที่ออกจาก "ลู่วิ่ง" บวกกันกลับเป็นความน่าจะเป็นของลู่วิ่ง
Mia trains at a pool. The probability that she swims is $0.6$. If she swims, the probability that she also runs is $0.5$. Work out the probability that she swims and also runs.
เมียฝึกที่สระว่ายน้ำ ความน่าจะเป็นที่เธอว่ายน้ำคือ $0.6$ ถ้าเธอว่ายน้ำ ความน่าจะเป็นที่เธอวิ่งต่อด้วยคือ $0.5$ จงหาความน่าจะเป็นที่เธอว่ายน้ำและวิ่งต่อ
Answershow ▾
Same move as question $7$: multiply along one branch.ขั้นเดียวกับข้อ $7$: คูณตามกิ่งเดียว
(a) Rudolf goes to the gym. The probability that he will use the treadmill is $0.8$ When he uses the treadmill, the probability that he will use the cross trainer is $0.3$ When he does not use the treadmill, the probability that he will use the cross trainer is $0.6$
Complete the probability tree diagram for this information.
(b) Work out the probability that Rudolf uses both the treadmill and the cross trainer.
(ก) รูดอล์ฟไปยิม ความน่าจะเป็นที่เขาจะใช้ลู่วิ่งคือ $0.8$ เมื่อเขาใช้ลู่วิ่ง ความน่าจะเป็นที่เขาจะใช้เครื่องเทรนเนอร์แบบไขว้คือ $0.3$ เมื่อเขาไม่ใช้ลู่วิ่ง ความน่าจะเป็นที่เขาจะใช้เครื่องเทรนเนอร์แบบไขว้คือ $0.6$
จงเติมแผนภาพต้นไม้ให้สมบูรณ์
(ข) จงหาความน่าจะเป็นที่รูดอล์ฟใช้ทั้งลู่วิ่งและเครื่องเทรนเนอร์แบบไขว้
Answershow ▾
4 marks: $2$ for the three missing branches, $2$ for multiplying along the treadmill branch.4 คะแนน: $2$ คะแนนสำหรับสามกิ่งที่ขาด และ $2$ คะแนนสำหรับคูณตามกิ่งลู่วิ่ง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$0.2,\;0.7,\;0.4$
M1ft multiply along the treadmill-then-cross-trainer branchคูณตามกิ่งลู่วิ่งแล้วเครื่องเทรนเนอร์แบบไขว้
$0.8\times0.3$
A1ft the probabilityความน่าจะเป็น
$= 0.24$
Probabilities, a ratio, then a count ความน่าจะเป็น อัตราส่วน แล้วจำนวน
A bag contains only pink sweets, white sweets, green sweets and red sweets. The table gives each of the probabilities that, when a sweet is taken at random from the bag, the sweet will be green or the sweet will be red.
Sweet: pink, white, green, red
Probability: $\ ?\ $, $\ ?\ $, $0.2$, $0.35$
The ratio number of pink sweets : number of white sweets $=2:1$
There are $28$ red sweets in the bag.
Work out the number of white sweets in the bag.
ถุงหนึ่งมีลูกอมสีชมพู สีขาว สีเขียว และสีแดงเท่านั้น ตารางแสดงความน่าจะเป็นที่สุ่มหยิบแล้วได้ลูกอมสีเขียวหรือสีแดง
ลูกอม: ชมพู, ขาว, เขียว, แดง
ความน่าจะเป็น: $\ ?\ $, $\ ?\ $, $0.2$, $0.35$
อัตราส่วนจำนวนลูกอมสีชมพู : จำนวนลูกอมสีขาว $=2:1$
ในถุงมีลูกอมสีแดง $28$ เม็ด
จงหาจำนวนลูกอมสีขาวในถุง
In a jar of counters, $P(\text{red})=0.35$. There are $28$ red counters. Work out the total number of counters.
ในขวดมีตัวนับ ความน่าจะเป็นที่หยิบได้สีแดงคือ $0.35$ และมีตัวนับสีแดง $28$ ตัว จงหาจำนวนตัวนับทั้งหมด
Answershow ▾
Divide the count by its own probability to scale it up to the total.หารจำนวนนั้นด้วยความน่าจะเป็นของมัน เพื่อขยายเป็นยอดรวม
Four probabilities add to $1$. Two of them are $0.2$ and $0.35$. Work out the sum of the other two.
ความน่าจะเป็นสี่ค่ารวมกันได้ $1$ สองค่าคือ $0.2$ และ $0.35$ จงหาผลรวมของอีกสองค่า
Answershow ▾
Subtract the two known probabilities from $1$.นำ $1$ หักออกด้วยสองค่าที่รู้
Share $60$ marbles in the ratio $2:1$. Work out the smaller share.
จงแบ่งลูกแก้ว $60$ ลูกตามอัตราส่วน $2:1$ จงหาจำนวนส่วนที่น้อยกว่า
Answershow ▾
Add the ratio numbers for the parts, then total $\div$ parts gives one part.บวกเลขอัตราส่วนเพื่อหาจำนวนส่วน แล้วหายอดรวม $\div$ จำนวนส่วน
$P(\text{red})=0.35$ and there are $28$ red sweets. Pick the first move.
(A) $28\div0.35$
(B) $28\times0.35$
(C) $0.35\div28$
ความน่าจะเป็นสีแดงคือ $0.35$ และมีลูกอมสีแดง $28$ เม็ด จงเลือกขั้นแรก
(A) $28\div0.35$
(B) $28\times0.35$
(C) $0.35\div28$
Answershow ▾
A probability under $1$ scales a count UP to the total, so you divide by it. (B) scales it down instead, and (C) divides the wrong way round.ความน่าจะเป็นที่น้อยกว่า $1$ จะขยายจำนวนไปเป็นยอดรวม จึงต้องหาร · (B) กลับทำให้จำนวนเล็กลง · (C) หารสลับข้าง
A bag has pink, white, green and red sweets. $P(\text{red})=0.35$ and there are $28$ red sweets. Work out the total number of sweets.
ถุงมีลูกอมสีชมพู ขาว เขียว และแดง ความน่าจะเป็นสีแดงคือ $0.35$ และมีลูกอมสีแดง $28$ เม็ด จงหาจำนวนลูกอมทั้งหมด
Answershow ▾
Same move as rung 1, now with the real count.ขั้นเดิมเหมือนข้อ 1 แต่ใช้จำนวนจริง
$P(\text{green})=0.2$ and $P(\text{red})=0.35$. Work out $P(\text{pink})+P(\text{white})$.
ความน่าจะเป็นสีเขียวคือ $0.2$ และสีแดงคือ $0.35$ จงหาความน่าจะเป็นสีชมพูบวกสีขาว
Answershow ▾
Same move as rung 2, now with the real two probabilities.ขั้นเดิมเหมือนข้อ 2 แต่ใช้ความน่าจะเป็นจริง
Pink : white $=2:1$, and $P(\text{pink})+P(\text{white})=0.45$. Work out $P(\text{white})$.
ชมพู : ขาว $=2:1$ และความน่าจะเป็นสีชมพูบวกสีขาวคือ $0.45$ จงหาความน่าจะเป็นสีขาว
Answershow ▾
White is $1$ part of the $3$ parts that $0.45$ splits into.ขาวคือ $1$ ใน $3$ ส่วนที่ $0.45$ ถูกแบ่ง
$P(\text{white})=0.15$ and there are $80$ sweets in total. Pick how to find the number of white sweets.
(A) $80\div0.15$
(B) $80\times0.15$
(C) $80-0.15$
ความน่าจะเป็นสีขาวคือ $0.15$ และลูกอมมีทั้งหมด $80$ เม็ด จงเลือกวิธีหาจำนวนลูกอมสีขาว
(A) $80\div0.15$
(B) $80\times0.15$
(C) $80-0.15$
Answershow ▾
A probability times the total gives the count. (A) divides instead and gives a number bigger than the total, which cannot be right. (C) mixes a probability with a count - different units.ความน่าจะเป็นคูณยอดรวม จะได้จำนวน · (A) หารกลับ ได้ค่าที่มากกว่ายอดรวม ซึ่งเป็นไปไม่ได้ · (C) นำความน่าจะเป็นไปลบกับจำนวน ซึ่งคนละหน่วยกัน
$P(\text{white})=0.15$ and there are $80$ sweets in total. Work out the number of white sweets.
ความน่าจะเป็นสีขาวคือ $0.15$ และลูกอมมีทั้งหมด $80$ เม็ด จงหาจำนวนลูกอมสีขาว
Answershow ▾
Multiply the probability of white by the total.คูณความน่าจะเป็นของสีขาวด้วยยอดรวม
Pink is twice white: $2\times12=24$. Green is $0.2\times80=16$, and red is $28$. Does $24+12+16+28=80$?
ชมพูเป็นสองเท่าของขาว: $2\times12=24$ · เขียวคือ $0.2\times80=16$ และแดงคือ $28$ จงตรวจว่า $24+12+16+28=80$ หรือไม่
Answershow ▾
All four counts must add back to the total.จำนวนทั้งสี่สีต้องรวมกันได้เท่ากับยอดรวม
A bag has blue, yellow, black and orange beads. $P(\text{black})=0.1$ and $P(\text{orange})=0.3$. Blue : yellow $=5:1$. There are $24$ orange beads. Work out the number of yellow beads.
ถุงมีลูกปัดสีน้ำเงิน เหลือง ดำ และส้ม ความน่าจะเป็นสีดำคือ $0.1$ และสีส้มคือ $0.3$ อัตราส่วนน้ำเงินต่อเหลืองคือ $5:1$ มีลูกปัดสีส้ม $24$ ลูก จงหาจำนวนลูกปัดสีเหลือง
Answershow ▾
Same four moves: combine, split by the ratio, scale up, multiply.สี่ขั้นเดิม: รวม แบ่งตามอัตราส่วน ขยายเป็นยอดรวม แล้วคูณ
A bag contains only pink sweets, white sweets, green sweets and red sweets. The table gives each of the probabilities that, when a sweet is taken at random from the bag, the sweet will be green or the sweet will be red.
Sweet: pink, white, green, red
Probability: $\ ?\ $, $\ ?\ $, $0.2$, $0.35$
The ratio number of pink sweets : number of white sweets $=2:1$
There are $28$ red sweets in the bag.
Work out the number of white sweets in the bag.
ถุงหนึ่งมีลูกอมสีชมพู สีขาว สีเขียว และสีแดงเท่านั้น ตารางแสดงความน่าจะเป็นที่สุ่มหยิบแล้วได้ลูกอมสีเขียวหรือสีแดง
ลูกอม: ชมพู, ขาว, เขียว, แดง
ความน่าจะเป็น: $\ ?\ $, $\ ?\ $, $0.2$, $0.35$
อัตราส่วนจำนวนลูกอมสีชมพู : จำนวนลูกอมสีขาว $=2:1$
ในถุงมีลูกอมสีแดง $28$ เม็ด
จงหาจำนวนลูกอมสีขาวในถุง
Answershow ▾
$5$ marks. Four are for method: the total, the combined probability, the ratio split, then the final multiply.$5$ คะแนน สี่คะแนนเป็นคะแนนวิธีทำ: ยอดรวม ความน่าจะเป็นที่รวมกัน การแบ่งตามอัตราส่วน แล้วคูณครั้งสุดท้าย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$28\div0.35 = 80$
M1 find the combined probability of pink or whiteหาความน่าจะเป็นรวมของสีชมพูหรือสีขาว
$1-(0.2+0.35) = 0.45$
M1 share this probability in the ratio $2:1$แบ่งความน่าจะเป็นนี้ตามอัตราส่วน $2:1$
$0.45\div3 = 0.15$
M1 multiply by the total number of sweetsคูณด้วยจำนวนลูกอมทั้งหมด
$0.15\times80$
A1 the number of white sweetsจำนวนลูกอมสีขาว
$= 12$
Exactly one red from two picks แดงพอดีหนึ่งเม็ด จากสองครั้ง
Boris has a bag that only contains red sweets and green sweets. Boris takes at random $2$ sweets from the bag. The probability that Boris takes exactly $1$ red sweet from the bag is $\dfrac{12}{35}$ Originally there were $3$ red sweets in the bag.
Work out how many green sweets there were originally in the bag. Show your working clearly.
ถุงของบอริสมีลูกอมสีแดงและสีเขียวเท่านั้น บอริสสุ่มหยิบลูกอม $2$ เม็ดจากถุง ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกอมสีแดงพอดี $1$ เม็ดคือ $\dfrac{12}{35}$ เดิมในถุงมีลูกอมสีแดง $3$ เม็ด
จงหาว่าเดิมมีลูกอมสีเขียวในถุงกี่เม็ด แสดงวิธีทำให้ชัดเจน
A bag has $t$ sweets. One sweet is taken out and not replaced. Write an expression for how many sweets remain, for the second pick.
ถุงมีลูกอม $t$ เม็ด หยิบออกหนึ่งเม็ดโดยไม่ใส่คืน จงเขียนนิพจน์แสดงจำนวนลูกอมที่เหลือ สำหรับการหยิบครั้งที่สอง
Answershow ▾
Without replacement, the total drops by $1$ for the second pick.ไม่ใส่คืน จำนวนรวมลดลง $1$ สำหรับการหยิบครั้งที่สอง
Boris picks two sweets, one after another, and gets exactly one red sweet. Write the two possible orders this could happen in.
บอริสหยิบลูกอมสองเม็ดทีละเม็ด และได้สีแดงพอดีหนึ่งเม็ด จงเขียนสองลำดับที่เป็นไปได้
Answershow ▾
Exactly one red allows the red sweet to come first or second.สีแดงพอดีหนึ่งเม็ด เกิดได้ทั้งแดงมาก่อนหรือมาหลัง
Cross-multiply to solve $\dfrac{3}{x}=\dfrac{1}{4}$.
จงคูณไขว้เพื่อแก้สมการ $\dfrac{3}{x}=\dfrac{1}{4}$
Answershow ▾
Cross-multiply by multiplying each side by both denominators.คูณไขว้ โดยคูณแต่ละข้างด้วยตัวส่วนทั้งสอง
Exactly one red happens if Boris gets Red then Green, OR Green then Red. How should the two probabilities be combined?
(A) multiply them together
(B) add them together
(C) use only Red then Green, since red is named first
แดงพอดีหนึ่งเม็ด เกิดได้ทั้งแดงแล้วเขียว หรือ เขียวแล้วแดง ควรนำความน่าจะเป็นทั้งสองมารวมกันอย่างไร
(A) คูณเข้าด้วยกัน
(B) บวกเข้าด้วยกัน
(C) ใช้แค่แดงแล้วเขียว เพราะพูดถึงแดงก่อน
Answershow ▾
(A) multiplying is for two things happening together; here it is one order OR the other, so add. (C) drops the Green then Red order, which is equally likely.(A) การคูณใช้กับสองเหตุการณ์ที่เกิดร่วมกัน แต่นี่คือเกิดลำดับหนึ่ง หรือ อีกลำดับหนึ่ง จึงต้องบวก (C) ตัดลำดับเขียวแล้วแดงทิ้ง ซึ่งมีโอกาสเท่ากัน
The bag has $3$ red sweets and $t$ sweets altogether, so there are $t-3$ green sweets. Write $P(\text{red then green})$ for the first two sweets taken, without replacement.
ถุงมีลูกอมสีแดง $3$ เม็ด และลูกอมทั้งหมด $t$ เม็ด จึงมีลูกอมสีเขียว $t-3$ เม็ด จงเขียนความน่าจะเป็นของแดงแล้วเขียว $P(\text{RG})$ สำหรับการหยิบสองเม็ดแรก โดยไม่ใส่คืน
Answershow ▾
The first pick is from $t$ sweets, the second is from $t-1$ sweets.หยิบครั้งแรกจาก $t$ เม็ด หยิบครั้งที่สองจาก $t-1$ เม็ด
Red then green, and green then red, give the same probability. Write the equation for $P(\text{exactly 1 red})=\dfrac{12}{35}$.
แดงแล้วเขียว กับ เขียวแล้วแดง ให้ความน่าจะเป็นเท่ากัน จงเขียนสมการของความน่าจะเป็นที่ได้แดงพอดี $1$ เม็ด $P(\text{exactly 1 red})=\dfrac{12}{35}$
Answershow ▾
Double the answer above, since both orders are equally likely.คูณสองจากคำตอบข้างต้น เพราะทั้งสองลำดับมีโอกาสเท่ากัน
Show that $\dfrac{6(t-3)}{t(t-1)}=\dfrac{12}{35}$ becomes $2t^{2}-37t+105=0$.
จงแสดงว่า $\dfrac{6(t-3)}{t(t-1)}=\dfrac{12}{35}$ จัดรูปได้เป็น $2t^{2}-37t+105=0$
Answershow ▾
Cross-multiply, expand, then collect every term on one side.คูณไขว้ กระจาย แล้วรวมทุกพจน์ไว้ข้างเดียว
Solve $2t^{2}-37t+105=0$.
จงแก้สมการ $2t^{2}-37t+105=0$
Answershow ▾
Check by expanding: $(2t-7)(t-15)$ gives $-30t-7t=-37t$.ตรวจโดยกระจายกลับ: $(2t-7)(t-15)$ ได้ $-30t-7t=-37t$
Solving $2t^{2}-37t+105=0$ gives $t=3.5$ or $t=15$, where $t$ is the total number of sweets. Which value is possible?
(A) $t=3.5$, since it is closer to the $3$ red sweets already there
(B) $t=15$, since $t$ must be a whole number
(C) both values, since the equation has two roots
การแก้สมการ $2t^{2}-37t+105=0$ ได้ $t=3.5$ หรือ $t=15$ โดย $t$ คือจำนวนลูกอมทั้งหมด ค่าไหนเป็นไปได้
(A) $t=3.5$ เพราะใกล้เคียงกับลูกอมสีแดง $3$ เม็ดที่มีอยู่แล้ว
(B) $t=15$ เพราะ $t$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม
(C) ทั้งสองค่า เพราะสมการมีสองคำตอบ
Answershow ▾
(A) sweets cannot be fractional, no matter how close to $3$. (C) a bag cannot hold half a sweet, so one root must be rejected.(A) ลูกอมเป็นเศษส่วนไม่ได้ ไม่เกี่ยวกับความใกล้เคียงกับ $3$ (C) ถุงมีลูกอมครึ่งเม็ดไม่ได้ จึงต้องตัดคำตอบหนึ่งทิ้ง
Using $t=15$, work out the number of green sweets. Then check that $3$ red sweets and that many green sweets make $15$ altogether.
ใช้ $t=15$ จงหาจำนวนลูกอมสีเขียว แล้วตรวจว่าลูกอมสีแดง $3$ เม็ด รวมกับลูกอมสีเขียวจำนวนนั้น ได้ $15$ เม็ด
Answershow ▾
Green sweets are $t-3$ sweets, out of the total.ลูกอมสีเขียวคือ $t-3$ เม็ด จากจำนวนทั้งหมด
A bag has $2$ red sweets and $t$ sweets altogether. Two are taken without replacement. The probability of taking exactly one red sweet is $\dfrac{3}{5}$. Find the number of green sweets.
ถุงมีลูกอมสีแดง $2$ เม็ด และลูกอมทั้งหมด $t$ เม็ด หยิบสองเม็ดโดยไม่ใส่คืน ความน่าจะเป็นที่จะได้สีแดงพอดี $1$ เม็ดคือ $\dfrac{3}{5}$ จงหาจำนวนลูกอมสีเขียว
Answershow ▾
Same method: set up with $t$, double, cross-multiply, factorise, then reject the fraction.วิธีเดิม: ตั้งสมการด้วย $t$ คูณสอง คูณไขว้ แยกตัวประกอบ แล้วตัดคำตอบที่เป็นเศษส่วนทิ้ง
Boris has a bag that only contains red sweets and green sweets. Boris takes at random $2$ sweets from the bag. The probability that Boris takes exactly $1$ red sweet from the bag is $\dfrac{12}{35}$ Originally there were $3$ red sweets in the bag.
Work out how many green sweets there were originally in the bag. Show your working clearly.
ถุงของบอริสมีลูกอมสีแดงและสีเขียวเท่านั้น บอริสสุ่มหยิบลูกอม $2$ เม็ดจากถุง ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกอมสีแดงพอดี $1$ เม็ดคือ $\dfrac{12}{35}$ เดิมในถุงมีลูกอมสีแดง $3$ เม็ด
จงหาว่าเดิมมีลูกอมสีเขียวในถุงกี่เม็ด แสดงวิธีทำให้ชัดเจน
Answershow ▾
5 marks. Reject $t=3.5$ since it is not a whole number of sweets.5 คะแนน ตัดคำตอบ $t=3.5$ ทิ้ง เพราะไม่เป็นจำนวนเต็ม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\dfrac{3}{3+g}\times\dfrac{g}{2+g}$
M1 double it and set equal to $\dfrac{12}{35}$, since red-green can occur either orderคูณสอง แล้วให้เท่ากับ $\dfrac{12}{35}$ เพราะแดง-เขียวสลับลำดับได้
$2\times\dfrac{3g}{(3+g)(2+g)} = \dfrac{12}{35}$
A1 the three-term quadratic, $t=$ total sweetsสมการกำลังสองสามพจน์ $t=$ จำนวนลูกอมทั้งหมด
$2t^{2}-37t+105 = 0$
M1 solve the quadraticแก้สมการกำลังสอง
$(2t-7)(t-15) = 0$
$t = 3.5 \;\text{or}\; t = 15$
A1 the number of green sweetsจำนวนลูกอมสีเขียว
$t=3.5 \;\text{is impossible}$
$\text{(fewer sweets than the 3 red already in the bag)}$
$g = 15-3 = 12$
Two ways to score zero สองทางที่คะแนนรวมเป็นศูนย์
Abraham is going to play a computer game. Abraham can win the game, draw the game or lose the game. For any game that Abraham plays
the probability that he wins the game is $0.3$
the probability that he draws the game is $0.5$
the probability that he loses the game is $0.2$
When Abraham wins a game, he scores $+10$ points. When Abraham draws a game, he scores $0$ points. When Abraham loses a game, he scores $-5$ points.
Abraham plays $3$ games and the points he scores in each of the $3$ games are added together to get his total score.
Work out the probability that when he has played $3$ games his total score is $0$ points.
อับราฮัมจะเล่นเกมคอมพิวเตอร์ ในแต่ละเกมอาจชนะ เสมอ หรือแพ้ ความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ $0.3$ เสมอคือ $0.5$ และแพ้คือ $0.2$
ชนะได้ $+10$ คะแนน เสมอได้ $0$ คะแนน แพ้ได้ $-5$ คะแนน
อับราฮัมเล่น $3$ เกม แล้วนำคะแนนทั้งสามเกมมารวมกันเป็นคะแนนรวม
จงหาความน่าจะเป็นที่คะแนนรวมหลังเล่น $3$ เกมเป็น $0$ คะแนน
In Abraham’s game, the probability he wins is $0.3$ and the probability he draws is $0.5$. Work out the probability he loses.
ในเกมของอับราฮัม ความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ $0.3$ และเสมอคือ $0.5$ จงหาความน่าจะเป็นที่จะแพ้
Answershow ▾
Win, draw and lose are the only results, so their probabilities add to $1$.ชนะ เสมอ และแพ้ เป็นผลที่เป็นไปได้ทั้งหมด ความน่าจะเป็นจึงรวมกันได้ $1$
The probability Abraham wins a game is $0.3$. The probability he loses a game is $0.2$. Work out the probability that he wins the first game, then loses the next two games, in that order.
ความน่าจะเป็นที่อับราฮัมจะชนะเกมคือ $0.3$ และแพ้เกมคือ $0.2$ จงหาความน่าจะเป็นที่เขาชนะเกมแรก แล้วแพ้อีกสองเกมถัดมา ตามลำดับนี้
Answershow ▾
Multiply along the branch: each game’s result multiplies onto the last.คูณไปตามกิ่ง: ผลของแต่ละเกมคูณต่อเนื่องกันไป
Abraham plays $3$ games. Using $W$ for a win and $L$ for a loss, list every order in which he can get $1$ win and $2$ losses.
อับราฮัมเล่น $3$ เกม โดยใช้ $W$ แทนชนะ และ $L$ แทนแพ้ จงเขียนลำดับที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการชนะ $1$ ครั้ง แพ้ $2$ ครั้ง
Answershow ▾
The win can be the $1$st, $2$nd, or $3$rd game: $3$ positions, so $3$ orders.ชนะอาจเป็นเกมที่ $1$, $2$ หรือ $3$ จึงมี $3$ ตำแหน่ง คือ $3$ ลำดับ
Question $2$ found $0.3\times0.2^{2}=0.012$ for one order. Question $3$ found $3$ orders. Pick the next step to find the probability of $1$ win and $2$ losses in any order.
(A) use $0.012$ as the answer
(B) multiply $0.012$ by $3$
(C) multiply $0.012$ by $3!=6$
ข้อ $2$ ได้ $0.3\times0.2^{2}=0.012$ สำหรับหนึ่งลำดับ ข้อ $3$ พบว่ามี $3$ ลำดับ จงเลือกขั้นต่อไปเพื่อหาความน่าจะเป็นของชนะ $1$ แพ้ $2$ ในลำดับใดก็ได้
(A) ใช้ $0.012$ เป็นคำตอบ
(B) คูณ $0.012$ ด้วย $3$
(C) คูณ $0.012$ ด้วย $3!=6$
Answershow ▾
(A) uses one order only - the mark lost most often. (C) counts $3!=6$ arrangements of $3$ different games, but two of the results are the same outcome (loss), so only $3$ orders are actually different.(A) ใช้แค่หนึ่งลำดับ ซึ่งเป็นคะแนนที่เสียบ่อยที่สุด · (C) นับ $3!=6$ การจัดเรียงของ $3$ เกมที่ต่างกัน แต่สองผลลัพธ์เป็นผลเดียวกัน (แพ้) จึงมีเพียง $3$ ลำดับที่ต่างกันจริง
Work out the probability that Abraham draws all $3$ games. The probability he draws one game is $0.5$.
จงหาความน่าจะเป็นที่อับราฮัมเสมอทั้ง $3$ เกม ความน่าจะเป็นที่เสมอหนึ่งเกมคือ $0.5$
Answershow ▾
Multiply the same probability by itself $3$ times.คูณความน่าจะเป็นเดิมด้วยตัวเองสามครั้ง
In the real question, work out the probability of exactly one order of $1$ win and $2$ losses: win, then lose, then lose. Write $0.2\times0.2$ as a power first.
ในข้อสอบจริง จงหาความน่าจะเป็นของหนึ่งลำดับที่ชนะ $1$ แพ้ $2$ คือ ชนะ แล้วแพ้ แล้วแพ้ โดยเขียน $0.2\times0.2$ เป็นเลขยกกำลังก่อน
Answershow ▾
Two losses in a row is $0.2$ squared.แพ้สองครั้งติดกันคือ $0.2$ ยกกำลังสอง
Using question $3$’s $3$ orders and question $5$’s $0.012$, work out the probability of $1$ win and $2$ losses in any order.
ใช้ $3$ ลำดับจากข้อ $3$ และ $0.012$ จากข้อ $5$ จงหาความน่าจะเป็นของชนะ $1$ แพ้ $2$ ในลำดับใดก็ได้
Answershow ▾
Multiply the one-order probability by the number of orders.คูณความน่าจะเป็นของหนึ่งลำดับด้วยจำนวนลำดับ
Add the probability of $3$ draws (question $4$) and the probability of $1$ win and $2$ losses in any order (question $6$). Work out Abraham’s total probability of scoring $0$.
นำความน่าจะเป็นของการเสมอ $3$ ครั้ง (ข้อ $4$) มารวมกับความน่าจะเป็นของชนะ $1$ แพ้ $2$ ในลำดับใดก็ได้ (ข้อ $6$) จงหาความน่าจะเป็นรวมที่คะแนนเป็น $0$
Answershow ▾
These two cases cannot both happen at once, so add them.สองกรณีนี้เกิดพร้อมกันไม่ได้ จึงนำมาบวกกัน
Check: work out the probability of lose, then win, then lose ($LWL$). Does it also equal $0.012$?
ตรวจคำตอบ: จงหาความน่าจะเป็นของแพ้ แล้วชนะ แล้วแพ้ ($LWL$) ได้ $0.012$ เหมือนกันหรือไม่
Answershow ▾
Multiplying in any order gives the same product, so every order contributes equally.คูณตามลำดับไหนก็ได้ผลลัพธ์เท่ากัน ทุกลำดับจึงให้ค่าเท่ากัน
Priya plays a quiz game $3$ times. Each time she can win, draw or lose. The probability she wins is $0.4$ and the probability she draws is $0.4$. A win scores $+10$, a draw scores $0$, and a loss scores $-5$. Work out the probability that her total score after $3$ games is $0$.
พริยาเล่นเกมตอบคำถาม $3$ ครั้ง แต่ละครั้งอาจชนะ เสมอ หรือแพ้ ความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ $0.4$ และเสมอคือ $0.4$ ชนะได้ $+10$ คะแนน เสมอได้ $0$ คะแนน แพ้ได้ $-5$ คะแนน จงหาความน่าจะเป็นที่คะแนนรวมหลัง $3$ เกมเป็น $0$
Answershow ▾
Same two cases: $3$ draws, or $1$ win and $2$ losses in any of $3$ orders.สองกรณีเดิม: เสมอ $3$ ครั้ง หรือชนะ $1$ แพ้ $2$ ในหนึ่งใน $3$ ลำดับ
Abraham is going to play a computer game. Abraham can win the game, draw the game or lose the game. For any game that Abraham plays
the probability that he wins the game is $0.3$
the probability that he draws the game is $0.5$
the probability that he loses the game is $0.2$
When Abraham wins a game, he scores $+10$ points. When Abraham draws a game, he scores $0$ points. When Abraham loses a game, he scores $-5$ points.
Abraham plays $3$ games and the points he scores in each of the $3$ games are added together to get his total score.
Work out the probability that when he has played $3$ games his total score is $0$ points.
อับราฮัมจะเล่นเกมคอมพิวเตอร์ ในแต่ละเกมอาจชนะ เสมอ หรือแพ้ ความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ $0.3$ เสมอคือ $0.5$ และแพ้คือ $0.2$
ชนะได้ $+10$ คะแนน เสมอได้ $0$ คะแนน แพ้ได้ $-5$ คะแนน
อับราฮัมเล่น $3$ เกม แล้วนำคะแนนทั้งสามเกมมารวมกันเป็นคะแนนรวม
จงหาความน่าจะเป็นที่คะแนนรวมหลังเล่น $3$ เกมเป็น $0$ คะแนน
Answershow ▾
4 marks: the two cases, the orders of the second case, then add and evaluate.4 คะแนน: สองกรณี การนับลำดับของกรณีที่สอง แล้วบวกและคำนวณ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$0.5^{3} = 0.125$
M1 probability of $1$ win and $2$ losses (total $10-5-5=0$), one orderความน่าจะเป็นของชนะ $1$ แพ้ $2$ (รวม $10-5-5=0$) หนึ่งลำดับ
$0.3\times0.2^{2} = 0.012$
M1 all $3$ orders of $1$ win and $2$ losses, added to the $3$-draw caseทุกลำดับที่เป็นไปได้ของชนะ $1$ แพ้ $2$ รวมกับกรณีเสมอ $3$ ครั้ง
$0.5^{3}+3\times0.3\times0.2^{2}$
A1 the probabilityความน่าจะเป็น
$= 0.161$
Three circles, then a condition สามวงเวนน์ แล้วเงื่อนไขหนึ่งข้อ
(a) $100$ farmers are asked if they have goats ($G$), sheep ($S$) or chickens ($C$) on their farms.
Of these farmers
$31$ have sheep
$53$ have chickens
$6$ have goats, sheep and chickens
$11$ have sheep and goats
$17$ have sheep and chickens
$18$ have goats and chickens
$20$ do not have any goats, sheep or chickens
Using this information, complete the Venn diagram to show the number of farmers in each appropriate subset.
(b) Find
(i) $n(G)$
(ii) $n\big((G\cup S)'\big)$
(iii) $n(G'\cap C)$
(c) One of the farmers who has chickens is chosen at random.
Find the probability that this farmer also has goats.
(ก) สอบถามชาวนา $100$ คนว่ามีแพะ ($G$) แกะ ($S$) หรือไก่ ($C$) ในฟาร์มหรือไม่
ในจำนวนนี้
$31$ คนมีแกะ
$53$ คนมีไก่
$6$ คนมีทั้งแพะ แกะ และไก่
$11$ คนมีแกะและแพะ
$17$ คนมีแกะและไก่
$18$ คนมีแพะและไก่
$20$ คนไม่มีทั้งแพะ แกะ หรือไก่เลย
จงใช้ข้อมูลนี้เติมแผนภาพเวนน์ให้สมบูรณ์
(ข) จงหา
(i) $n(G)$
(ii) $n\big((G\cup S)'\big)$
(iii) $n(G'\cap C)$
(ค) สุ่มเลือกชาวนาหนึ่งคนจากผู้ที่มีไก่
จงหาความน่าจะเป็นที่ชาวนาคนนี้มีแพะด้วย
$6$ farmers have goats, sheep and chickens. $11$ have sheep and goats. How many have sheep and goats only (not chickens)?
ชาวนา $6$ คนมีทั้งแพะ แกะ และไก่ · $11$ คนมีแกะและแพะ จงหาว่ามีกี่คนที่มีแกะและแพะเท่านั้น (ไม่มีไก่)
Answershow ▾
The $11$ already includes the $6$ who have all three.$11$ รวม $6$ คนที่มีทั้งสามอย่างไว้แล้ว
$53$ farmers have chickens. Of these, $11$ have sheep and chickens only, $12$ have goats and chickens only, and $6$ have all three. How many have chickens only?
ชาวนา $53$ คนมีไก่ · ในจำนวนนี้ $11$ คนมีแกะและไก่เท่านั้น $12$ คนมีแพะและไก่เท่านั้น และ $6$ คนมีทั้งสามอย่าง จงหาว่ามีกี่คนที่มีไก่เท่านั้น
Answershow ▾
Take away every region already inside the chickens circle.หักทุกบริเวณที่อยู่ในวงไก่ไปแล้วออกไป
Of the $53$ farmers who have chickens, $18$ also have goats. One of these $53$ farmers is chosen at random. Find the probability that this farmer also has goats.
ในจำนวนชาวนา $53$ คนที่มีไก่ $18$ คนมีแพะด้วย สุ่มเลือกชาวนาหนึ่งคนจาก $53$ คนนี้ จงหาความน่าจะเป็นที่ชาวนาคนนี้มีแพะด้วย
Answershow ▾
The $53$ with chickens is the whole group to choose from now.$53$ คนที่มีไก่คือกลุ่มทั้งหมดที่จะสุ่มเลือกตอนนี้
$6$ farmers have goats, sheep and chickens. $11$ have sheep and goats. Pick the first move to find the sheep-and-goats-only region.
(A) write $11$ in the sheep-and-goats-only region
(B) write $6$ in the centre, then subtract it from $11$
(C) subtract $20$ (the farmers with none) from $11$
ชาวนา $6$ คนมีทั้งแพะ แกะ และไก่ · $11$ คนมีแกะและแพะ จงเลือกขั้นแรกในการหาบริเวณแกะและแพะเท่านั้น
(A) เขียน $11$ ลงในบริเวณแกะและแพะเท่านั้น
(B) เขียน $6$ ลงตรงกลางก่อน แล้วหักออกจาก $11$
(C) หัก $20$ (ชาวนาที่ไม่มีสักอย่าง) ออกจาก $11$
Answershow ▾
(A) "$11$ have sheep and goats" counts everyone with both, including the $6$ who also have chickens - writing $11$ there double-counts the centre. (C) $20$ is the farmers with none of the three animals; it has nothing to do with this region.(A) "$11$ คนมีแกะและแพะ" รวมทุกคนที่มีทั้งสองอย่าง รวมถึง $6$ คนที่มีไก่ด้วย เขียน $11$ ตรงนั้นจึงนับตรงกลางซ้ำ · (C) $20$ คือชาวนาที่ไม่มีสักอย่าง ไม่เกี่ยวกับบริเวณนี้
$18$ farmers have goats and chickens. $6$ have all three. Work out the goats-and-chickens-only region.
ชาวนา $18$ คนมีแพะและไก่ · $6$ คนมีทั้งสามอย่าง จงหาบริเวณแพะและไก่เท่านั้น
Answershow ▾
Same move as the sheep-and-goats region, with a different pair.ขั้นเดียวกับบริเวณแกะและแพะ แต่เปลี่ยนเป็นอีกคู่หนึ่ง
$31$ farmers have sheep. Of these, $5$ have sheep and goats only, $11$ have sheep and chickens only, and $6$ have all three. Work out the sheep-only region.
ชาวนา $31$ คนมีแกะ · ในจำนวนนี้ $5$ คนมีแกะและแพะเท่านั้น $11$ คนมีแกะและไก่เท่านั้น และ $6$ คนมีทั้งสามอย่าง จงหาบริเวณแกะเท่านั้น
Answershow ▾
Take away every region already inside the sheep circle.หักทุกบริเวณที่อยู่ในวงแกะไปแล้วออกไป
$100$ farmers in total, and $20$ have none of the three animals. The other regions are: sheep only $9$, chickens only $24$, sheep-and-goats only $5$, sheep-and-chickens only $11$, goats-and-chickens only $12$, and all three $6$. Work out the goats-only region.
ชาวนาทั้งหมด $100$ คน และ $20$ คนไม่มีสักอย่าง · บริเวณอื่นคือ แกะเท่านั้น $9$ ไก่เท่านั้น $24$ แกะและแพะเท่านั้น $5$ แกะและไก่เท่านั้น $11$ แพะและไก่เท่านั้น $12$ และทั้งสามอย่าง $6$ จงหาบริเวณแพะเท่านั้น
Answershow ▾
Every region, once filled, takes away from the $100$ until only this one is left.ทุกบริเวณที่เติมแล้ว หักออกจาก $100$ จนเหลือบริเวณนี้บริเวณเดียว
One of the farmers who has chickens is chosen at random. Find the probability that this farmer also has goats. Pick the first move.
(A) divide $18$ by $100$
(B) divide $18$ by $53$
(C) divide $53$ by $100$
สุ่มเลือกชาวนาหนึ่งคนจากผู้ที่มีไก่ จงหาความน่าจะเป็นที่ชาวนาคนนี้มีแพะด้วย จงเลือกขั้นแรก
(A) หาร $18$ ด้วย $100$
(B) หาร $18$ ด้วย $53$
(C) หาร $53$ ด้วย $100$
Answershow ▾
(A) divides by all $100$ farmers, but "given that" the farmer has chickens shrinks the group to the $53$ who have chickens, not the whole $100$. (C) finds what share of all farmers have chickens - a different question, with no goats in it.(A) หารด้วยชาวนาทั้ง $100$ คน แต่ "จากในกลุ่มที่มีไก่" ทำให้กลุ่มเหลือแค่ $53$ คนที่มีไก่ ไม่ใช่ $100$ คน · (C) หาสัดส่วนของชาวนาทั้งหมดที่มีไก่ ซึ่งเป็นคนละคำถาม ไม่เกี่ยวกับแพะเลย
Using the completed diagram: goats only $13$, sheep-and-goats only $5$, goats-and-chickens only $12$, all three $6$. Work out $n(G)$.
จากแผนภาพที่เติมสมบูรณ์แล้ว: แพะเท่านั้น $13$ แกะและแพะเท่านั้น $5$ แพะและไก่เท่านั้น $12$ ทั้งสามอย่าง $6$ จงหา $n(G)$
Answershow ▾
Every region inside circle $G$, added together.ทุกบริเวณที่อยู่ในวง $G$ นำมารวมกัน
Check $n(G)=36$: using $n(S)=31$ and $n(G\cap S)=11$, work out $n(G\cup S)=n(G)+n(S)-n(G\cap S)$, then $100-n(G\cup S)$. Does it match $44$?
ตรวจ $n(G)=36$: ใช้ $n(S)=31$ และ $n(G\cap S)=11$ หา $n(G\cup S)=n(G)+n(S)-n(G\cap S)$ แล้ว $100-n(G\cup S)$ ตรงกับ $44$ หรือไม่
Answershow ▾
The union rule and the completed diagram give the same answer.กฎยูเนียนกับแผนภาพที่เติมแล้ว ให้คำตอบตรงกัน
(a) $40$ shoppers are asked if they bought bread ($B$), milk ($M$) or eggs ($E$).
Of these shoppers
$18$ bought bread
$20$ bought milk
$2$ bought bread, milk and eggs
$7$ bought bread and eggs
$8$ bought bread and milk
$9$ bought milk and eggs
$3$ bought none of the three
Find the number who bought eggs only.
(b) Find $n(E)$ and $40-n(E\cup B)$.
(c) One of the shoppers who bought milk is chosen at random. Find the probability that this shopper also bought eggs.
(ก) ถามผู้ซื้อของ $40$ คนว่าซื้อขนมปัง ($B$) นม ($M$) หรือไข่ ($E$) หรือไม่
ในจำนวนนี้
$18$ คนซื้อขนมปัง
$20$ คนซื้อนม
$2$ คนซื้อขนมปัง นม และไข่
$7$ คนซื้อขนมปังและไข่
$8$ คนซื้อขนมปังและนม
$9$ คนซื้อนมและไข่
$3$ คนไม่ได้ซื้อสักอย่าง
จงหาจำนวนคนที่ซื้อไข่เท่านั้น
(ข) จงหา $n(E)$ และ $40-n(E\cup B)$
(ค) สุ่มเลือกผู้ซื้อของหนึ่งคนจากผู้ที่ซื้อนม จงหาความน่าจะเป็นที่คนนี้ซื้อไข่ด้วย
Answershow ▾
The same chain: centre out for the diagram, add inside a circle, then shrink to the given subset.ลำดับเดิม: เติมจากตรงกลางออกไป บวกในวงเดียว แล้วย่อกลุ่มตามเงื่อนไข
(a) $100$ farmers are asked if they have goats ($G$), sheep ($S$) or chickens ($C$) on their farms.
Of these farmers
$31$ have sheep
$53$ have chickens
$6$ have goats, sheep and chickens
$11$ have sheep and goats
$17$ have sheep and chickens
$18$ have goats and chickens
$20$ do not have any goats, sheep or chickens
Using this information, complete the Venn diagram to show the number of farmers in each appropriate subset.
(b) Find
(i) $n(G)$
(ii) $n\big((G\cup S)'\big)$
(iii) $n(G'\cap C)$
(c) One of the farmers who has chickens is chosen at random.
Find the probability that this farmer also has goats.
(ก) สอบถามชาวนา $100$ คนว่ามีแพะ ($G$) แกะ ($S$) หรือไก่ ($C$) ในฟาร์มหรือไม่
ในจำนวนนี้
$31$ คนมีแกะ
$53$ คนมีไก่
$6$ คนมีทั้งแพะ แกะ และไก่
$11$ คนมีแกะและแพะ
$17$ คนมีแกะและไก่
$18$ คนมีแพะและไก่
$20$ คนไม่มีทั้งแพะ แกะ หรือไก่เลย
จงใช้ข้อมูลนี้เติมแผนภาพเวนน์ให้สมบูรณ์
(ข) จงหา
(i) $n(G)$
(ii) $n\big((G\cup S)'\big)$
(iii) $n(G'\cap C)$
(ค) สุ่มเลือกชาวนาหนึ่งคนจากผู้ที่มีไก่
จงหาความน่าจะเป็นที่ชาวนาคนนี้มีแพะด้วย
Answershow ▾
8 marks across three parts: fill the Venn from the centre out, add inside a circle for (b), then shrink to the $53$ with chickens for (c).8 คะแนนตลอดสามข้อ: เติมแผนภาพเวนน์จากตรงกลางออกไป บวกในวงเดียวสำหรับ (ข) แล้วย่อกลุ่มเหลือ $53$ คนที่มีไก่สำหรับ (ค)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$G\;\text{only} = 13$
B2 every other region of the Venn diagramบริเวณอื่นทั้งหมดของแผนภาพเวนน์
$S\cap G\;\text{only} = 11-6=5$
$S\cap C\;\text{only} = 17-6=11$
$G\cap C\;\text{only} = 18-6=12$
$S\;\text{only} = 31-5-11-6=9$
$C\;\text{only} = 53-11-12-6=24$
B1ft $n(G)$, from the completed diagram$n(G)$ จากแผนภาพที่เติมสมบูรณ์แล้ว
$n(G) = 13+5+12+6 = 36$
B1ft $n\big((G\cup S)'\big)$, from the completed diagram$n\big((G\cup S)'\big)$ จากแผนภาพที่เติมสมบูรณ์แล้ว
$n(G\cup S) = 36+31-11 = 56$
$n\big((G\cup S)'\big) = 100-56 = 44$
B1ft $n(G'\cap C)$, from the completed diagram$n(G'\cap C)$ จากแผนภาพที่เติมสมบูรณ์แล้ว
$n(G'\cap C) = 53-18 = 35$
B2ft the conditional probabilityความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
$P(G\mid C)$
$= \dfrac{n(G\cap C)}{n(C)}$
$= \dfrac{18}{53}$
Independent tree, then a conditional race ต้นไม้อิสระ แล้วการแข่งขันครั้งที่สามแบบมีเงื่อนไข
(a) Emilie takes part in two races. The probability that she wins the first race is $0.7$ The probability that she wins the second race is $0.4$ The outcomes of the two races are independent.
Complete the probability tree diagram.
(b) Work out the probability that Emilie wins exactly one of the two races.
(c) Emilie now takes part in a third race. If she wins both of the first two races, the probability that she will win the third race is $0.6$ If she wins exactly one of the first two races, the probability that she will win the third race is $0.3$
Work out the probability that Emilie will win exactly two of the three races.
(ก) เอมิลีลงแข่งขัน $2$ ครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะชนะครั้งแรกคือ $0.7$ ความน่าจะเป็นที่จะชนะครั้งที่สองคือ $0.4$ ผลของการแข่งขันทั้งสองครั้งเป็นอิสระต่อกัน
จงเติมแผนภาพต้นไม้ให้สมบูรณ์
(ข) จงหาความน่าจะเป็นที่เอมิลีชนะพอดี $1$ ครั้งจากสองครั้งนี้
(ค) เอมิลีลงแข่งขันครั้งที่สามอีกครั้ง ถ้าเธอชนะทั้งสองครั้งแรก ความน่าจะเป็นที่จะชนะครั้งที่สามคือ $0.6$ ถ้าเธอชนะพอดี $1$ ครั้งจากสองครั้งแรก ความน่าจะเป็นที่จะชนะครั้งที่สามคือ $0.3$
จงหาความน่าจะเป็นที่เอมิลีจะชนะพอดี $2$ ครั้งจากสามครั้ง
The probability Emilie wins race $1$ is $0.7$ Write the probability that she loses race $1$.
ความน่าจะเป็นที่เอมิลีชนะการแข่งขันครั้งที่ $1$ คือ $0.7$ จงเขียนความน่าจะเป็นที่เธอแพ้การแข่งขันครั้งที่ $1$
Answershow ▾
A probability and its opposite add to $1$.ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์และเหตุการณ์ตรงข้ามรวมกันได้ $1$
The probability of winning race $1$ is $0.7$ The probability of winning race $2$ is $0.4$ The races are independent. Work out the probability of winning both races.
ความน่าจะเป็นที่จะชนะการแข่งขันครั้งที่ $1$ คือ $0.7$ ความน่าจะเป็นที่จะชนะการแข่งขันครั้งที่ $2$ คือ $0.4$ การแข่งขันทั้งสองเป็นอิสระต่อกัน จงหาความน่าจะเป็นที่จะชนะทั้งสองครั้ง
Answershow ▾
For independent events, multiply along the branches.เหตุการณ์ที่เป็นอิสระต่อกัน ให้คูณค่าตามกิ่งของต้นไม้
The probability of one outcome is $0.42$ The probability of a different, non-overlapping outcome is $0.12$ Work out the probability that one or the other happens.
ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์หนึ่งคือ $0.42$ ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์อีกแบบที่ซ้อนกันไม่ได้คือ $0.12$ จงหาความน่าจะเป็นที่ผลลัพธ์ใดผลลัพธ์หนึ่งเกิดขึ้น
Answershow ▾
Outcomes that cannot both happen: add their probabilities.ผลลัพธ์ที่เกิดร่วมกันไม่ได้ ให้บวกความน่าจะเป็นเข้าด้วยกัน
To find the probability Emilie wins exactly one of the two races, pick the first move.
(A) add $0.7$ and $0.4$
(B) multiply $(\text{win race }1)\times(\text{lose race }2)$, multiply $(\text{lose race }1)\times(\text{win race }2)$, then add the two results
(C) multiply $0.7\times0.4$
เพื่อหาความน่าจะเป็นที่เอมิลีชนะพอดี $1$ ครั้งจากสองครั้ง จงเลือกขั้นแรก
(A) บวก $0.7$ กับ $0.4$
(B) คูณ (ชนะครั้งที่ 1)×(แพ้ครั้งที่ 2) กับคูณ (แพ้ครั้งที่ 1)×(ชนะครั้งที่ 2) แล้วบวกผลทั้งสอง
(C) คูณ $0.7\times0.4$
Answershow ▾
(A) adds probabilities of two different races directly - they are not complementary events, so that rule does not apply. (C) only finds one order (win then lose) and misses lose-then-win.(A) บวกความน่าจะเป็นของการแข่งขันคนละครั้งตรงๆ ซึ่งไม่ใช่เหตุการณ์ตรงข้ามกัน จึงใช้กฎนี้ไม่ได้ · (C) หาได้แค่ลำดับเดียว (ชนะแล้วแพ้) แต่ขาดลำดับแพ้แล้วชนะ
The probability Emilie wins race $2$ is $0.4$ Write the probability that she loses race $2$.
ความน่าจะเป็นที่เอมิลีชนะการแข่งขันครั้งที่ $2$ คือ $0.4$ จงเขียนความน่าจะเป็นที่เธอแพ้การแข่งขันครั้งที่ $2$
Answershow ▾
Same complement move as before, now for race $2$.ขั้นหาค่าตรงข้ามแบบเดิม แต่ใช้กับการแข่งขันครั้งที่ $2$
Work out the probability that Emilie wins race $1$ and then loses race $2$.
จงหาความน่าจะเป็นที่เอมิลีชนะการแข่งขันครั้งที่ $1$ แล้วแพ้การแข่งขันครั้งที่ $2$
Answershow ▾
Multiply along this branch of the tree: win, then lose.คูณค่าตามกิ่งของต้นไม้นี้: ชนะ แล้วแพ้
Work out the probability that Emilie loses race $1$ and then wins race $2$.
จงหาความน่าจะเป็นที่เอมิลีแพ้การแข่งขันครั้งที่ $1$ แล้วชนะการแข่งขันครั้งที่ $2$
Answershow ▾
The other branch: lose, then win.อีกกิ่งหนึ่ง: แพ้ แล้วชนะ
Emilie wins exactly one of the first two races with probability $0.54$ (question $3$). A third race follows, with a different chance of winning depending on how the first two went. Pick the first move for part (c).
(A) multiply $0.54\times0.6$
(B) split into "won both, then lost race $3$" and "won exactly one, then won race $3$", then add
(C) use $0.6$ for every case
เอมิลีชนะพอดี $1$ ครั้งจากสองครั้งแรก ด้วยความน่าจะเป็น $0.54$ (ข้อ $3$) การแข่งขันครั้งที่ $3$ มีโอกาสชนะต่างกันตามผลของสองครั้งแรก จงเลือกขั้นแรกของข้อ (ค)
(A) คูณ $0.54\times0.6$
(B) แยกเป็นกรณี "ชนะทั้งสองครั้งแรก แล้วแพ้ครั้งที่ 3" กับ "ชนะพอดีหนึ่งครั้ง แล้วชนะครั้งที่ 3" แล้วบวกกัน
(C) ใช้ $0.6$ กับทุกกรณี
Answershow ▾
(A) and (C) use one probability for every case, but the chance of winning race $3$ depends on what happened before - the condition decides which number to use.(A) และ (C) ใช้ความน่าจะเป็นค่าเดียวกับทุกกรณี แต่โอกาสชนะครั้งที่ $3$ ขึ้นกับผลก่อนหน้า เงื่อนไขเป็นตัวกำหนดว่าจะใช้ค่าไหน
Work out the probability that Emilie wins both of the first two races, then loses the third.
จงหาความน่าจะเป็นที่เอมิลีชนะทั้งสองครั้งแรก แล้วแพ้การแข่งขันครั้งที่ $3$
Answershow ▾
Three branches multiplied: win, win, then lose.คูณสามกิ่ง: ชนะ ชนะ แล้วแพ้
Work out the probability that Emilie wins exactly one of the first two races, then wins the third. Use $0.54$ from question $3$.
จงหาความน่าจะเป็นที่เอมิลีชนะพอดี $1$ ครั้งจากสองครั้งแรก แล้วชนะการแข่งขันครั้งที่ $3$ โดยใช้ $0.54$ จากข้อ $3$
Answershow ▾
Same probability as question $3$, now multiplied by the chance of winning race $3$.ความน่าจะเป็นเดียวกับข้อ $3$ แต่คูณกับโอกาสชนะการแข่งขันครั้งที่ $3$
Mia plays two independent games. $P(\text{win game }1)=0.8$ $P(\text{win game }2)=0.25$
(a) Write down the probability that she loses game $1$.
(b) Work out the probability that she wins exactly one of the two games.
(c) She plays a third game. If she wins both of the first two games, the probability she wins the third is $0.5$ If she wins exactly one of the first two games, the probability she wins the third is $0.4$ Work out the probability that she wins exactly two of the three games.
เมียเล่นเกมอิสระ $2$ เกม ความน่าจะเป็นที่จะชนะเกมที่ $1$ คือ $0.8$ ความน่าจะเป็นที่จะชนะเกมที่ $2$ คือ $0.25$
(ก) จงเขียนความน่าจะเป็นที่เธอแพ้เกมที่ $1$
(ข) จงหาความน่าจะเป็นที่เธอชนะพอดี $1$ เกมจากสองเกมนี้
(ค) เธอเล่นเกมที่สามอีกครั้ง ถ้าเธอชนะทั้งสองเกมแรก ความน่าจะเป็นที่จะชนะเกมที่สามคือ $0.5$ ถ้าเธอชนะพอดี $1$ เกมจากสองเกมแรก ความน่าจะเป็นที่จะชนะเกมที่สามคือ $0.4$ จงหาความน่าจะเป็นที่เธอจะชนะพอดี $2$ เกมจากสามเกมนี้
Answershow ▾
Same three ideas: complement, multiply along independent branches, add the two orders - then split the third game by how many of the first two she won.สามขั้นเดิม: ค่าตรงข้าม คูณตามกิ่งที่เป็นอิสระ บวกสองลำดับ - แล้วแยกเกมที่สามตามจำนวนครั้งที่ชนะในสองเกมแรก
(a) Emilie takes part in two races. The probability that she wins the first race is $0.7$ The probability that she wins the second race is $0.4$ The outcomes of the two races are independent.
Complete the probability tree diagram.
(b) Work out the probability that Emilie wins exactly one of the two races.
(c) Emilie now takes part in a third race. If she wins both of the first two races, the probability that she will win the third race is $0.6$ If she wins exactly one of the first two races, the probability that she will win the third race is $0.3$
Work out the probability that Emilie will win exactly two of the three races.
(ก) เอมิลีลงแข่งขัน $2$ ครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะชนะครั้งแรกคือ $0.7$ ความน่าจะเป็นที่จะชนะครั้งที่สองคือ $0.4$ ผลของการแข่งขันทั้งสองครั้งเป็นอิสระต่อกัน
จงเติมแผนภาพต้นไม้ให้สมบูรณ์
(ข) จงหาความน่าจะเป็นที่เอมิลีชนะพอดี $1$ ครั้งจากสองครั้งนี้
(ค) เอมิลีลงแข่งขันครั้งที่สามอีกครั้ง ถ้าเธอชนะทั้งสองครั้งแรก ความน่าจะเป็นที่จะชนะครั้งที่สามคือ $0.6$ ถ้าเธอชนะพอดี $1$ ครั้งจากสองครั้งแรก ความน่าจะเป็นที่จะชนะครั้งที่สามคือ $0.3$
จงหาความน่าจะเป็นที่เอมิลีจะชนะพอดี $2$ ครั้งจากสามครั้ง
Answershow ▾
8 marks across three parts: fill in the missing branches, add the two orders for exactly one, then split the third race by how many of the first two were won.8 คะแนนในสามส่วน: เติมกิ่งที่ขาดหาย บวกสองลำดับสำหรับชนะพอดีหนึ่งครั้ง แล้วแยกการแข่งขันครั้งที่ 3 ตามจำนวนครั้งที่ชนะในสองครั้งแรก
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\text{loses race 1} = 0.3$
B1 all three missing second-race branchesกิ่งการแข่งขันครั้งที่สองที่ขาดหายทั้งสามกิ่ง
$\text{loses race 2}$
$= 0.6 \;\text{(either branch)}$
$\text{wins race 2} = 0.4$
M1ft probability of win-then-lose or lose-then-winความน่าจะเป็นของชนะแล้วแพ้ หรือแพ้แล้วชนะ
$0.7\times0.6 = 0.42$
$0.3\times0.4 = 0.12$
M1ft add the two ordersรวมทั้งสองลำดับ
$0.42+0.12$
A1 the probabilityความน่าจะเป็น
$= 0.54$
M1ft probability of winning the first two then losing the thirdความน่าจะเป็นของชนะสองครั้งแรกแล้วแพ้ครั้งที่สาม
$0.7\times0.4\times(1-0.6) = 0.112$
M1ft add the case of winning exactly one of the first two, then winning the thirdรวมกรณีชนะพอดีหนึ่งครั้งจากสองครั้งแรก แล้วชนะครั้งที่สาม
$0.112 + 0.54\times0.3$
A1 the probabilityความน่าจะเป็น
$= 0.274$
The tree with every branch blank ต้นไม้ที่กิ่งว่างทุกกิ่ง
Here are $9$ cards. Each card has either a number on it or a letter on it.
$A$ $7$ $H$ $F$ $E$ $D$ $G$ $5$ $C$
Tomas is playing a game.
Tomas takes at random one of the cards and keeps it.
Tomas then takes at random another card and keeps it.
Complete the probability tree diagram.
นี่คือการ์ด $9$ ใบ แต่ละใบมีตัวเลขหรือตัวอักษรอยู่หนึ่งอย่าง
$A$ $7$ $H$ $F$ $E$ $D$ $G$ $5$ $C$
โทมัสกำลังเล่นเกม
โทมัสสุ่มหยิบการ์ดหนึ่งใบและเก็บไว้
จากนั้นโทมัสสุ่มหยิบการ์ดอีกใบและเก็บไว้
จงเติมแผนภาพต้นไม้ให้สมบูรณ์
There are $9$ cards. $2$ of them are number cards. Write the probability that the first card taken is a number card.
มีการ์ด $9$ ใบ เป็นการ์ดตัวเลข $2$ ใบ จงเขียนความน่าจะเป็นที่การ์ดใบแรกที่หยิบได้เป็นการ์ดตัวเลข
Answershow ▾
Number cards out of all the cards.จำนวนการ์ดตัวเลข หารด้วยจำนวนการ์ดทั้งหมด
The probability of a number card is $\dfrac{2}{9}$. Write the probability of a letter card.
ความน่าจะเป็นที่ได้การ์ดตัวเลขคือ $\dfrac{2}{9}$ จงเขียนความน่าจะเป็นที่ได้การ์ดตัวอักษร
Answershow ▾
The two outcomes of one pick add to $1$.สองผลลัพธ์ของการหยิบหนึ่งครั้ง รวมกันได้ $1$
A card is taken from the $9$ cards and kept, not put back. How many cards are left?
หยิบการ์ดหนึ่งใบจาก $9$ ใบและเก็บไว้ ไม่ใส่คืน เหลือการ์ดกี่ใบ
Answershow ▾
One card is now missing from the $9$.การ์ดหนึ่งใบหายไปจาก $9$ ใบ
The first card kept is a number card. Pick the denominator for the probability of the second card.
(A) $9$
(B) $8$
(C) $7$
การ์ดใบแรกที่เก็บไว้เป็นการ์ดตัวเลข จงเลือกตัวส่วนของความน่าจะเป็นของการ์ดใบที่สอง
(A) $9$
(B) $8$
(C) $7$
Answershow ▾
(A) uses $9$, the count before any card was taken - but one card is now kept out, so only $8$ remain. (C) drops two cards instead of one; only the single card Tomas kept is missing.(A) ใช้ $9$ ซึ่งเป็นจำนวนก่อนหยิบการ์ด แต่ตอนนี้มีการ์ดหนึ่งใบถูกเก็บไว้แล้ว จึงเหลือ $8$ · (C) ลดไปสองใบ ทั้งที่มีการ์ดถูกเก็บไว้เพียงใบเดียว
The first card kept is a number card. Pick the numerator for the fraction: the second card is also a number card.
(A) $2$
(B) $1$
(C) $0$
การ์ดใบแรกที่เก็บไว้เป็นการ์ดตัวเลข จงเลือกตัวเศษของเศษส่วน: การ์ดใบที่สองเป็นการ์ดตัวเลขเช่นกัน
(A) $2$
(B) $1$
(C) $0$
Answershow ▾
(A) keeps $2$, the original count of number cards - but one number card is now gone, so only $1$ is left. (C) uses $0$, as if every number card were gone; only the ONE card Tomas kept is missing, not both.(A) ใช้ $2$ ซึ่งเป็นจำนวนการ์ดตัวเลขเดิม แต่การ์ดตัวเลขหนึ่งใบหายไปแล้ว จึงเหลือ $1$ · (C) ใช้ $0$ เหมือนการ์ดตัวเลขหายไปหมด ทั้งที่หายไปเพียงใบเดียวที่โทมัสเก็บไว้
The first card kept is a number card. Write the probability that the second card is also a number card.
การ์ดใบแรกที่เก็บไว้เป็นการ์ดตัวเลข จงเขียนความน่าจะเป็นที่การ์ดใบที่สองเป็นการ์ดตัวเลขเช่นกัน
Answershow ▾
$1$ number card out of the $8$ cards left.การ์ดตัวเลข $1$ ใบ จากการ์ดที่เหลือ $8$ ใบ
Write the probability that the second card is a letter card, given the first card kept is a number card.
จงเขียนความน่าจะเป็นที่การ์ดใบที่สองเป็นการ์ดตัวอักษร เมื่อการ์ดใบแรกที่เก็บไว้เป็นการ์ดตัวเลข
Answershow ▾
The two outcomes of the second pick add to $1$.สองผลลัพธ์ของการหยิบครั้งที่สอง รวมกันได้ $1$
Now the first card kept is a letter card, so $2$ number cards and $6$ letter cards are left, out of $8$. Write the probability that the second card is a number card.
ครั้งนี้การ์ดใบแรกที่เก็บไว้เป็นการ์ดตัวอักษร เหลือการ์ดตัวเลข $2$ ใบ และการ์ดตัวอักษร $6$ ใบ จากทั้งหมด $8$ ใบ จงเขียนความน่าจะเป็นที่การ์ดใบที่สองเป็นการ์ดตัวเลข
Answershow ▾
Same move as question $4$: the number cards left, over $8$.ขั้นเดียวกับข้อ $4$: การ์ดตัวเลขที่เหลือ หารด้วย $8$
Write the probability that the second card is a letter card, given the first card kept is a letter card.
จงเขียนความน่าจะเป็นที่การ์ดใบที่สองเป็นการ์ดตัวอักษร เมื่อการ์ดใบแรกที่เก็บไว้เป็นการ์ดตัวอักษร
Answershow ▾
Same complement move as question $5$, now out of $8$.ใช้การลบจาก $1$ แบบเดียวกับข้อ $5$ แต่จากทั้งหมด $8$
Check the branch after a number card: $\dfrac{1}{8}+\dfrac{7}{8}$. Does this total $1$?
จงตรวจกิ่งหลังจากได้การ์ดตัวเลข: $\dfrac{1}{8}+\dfrac{7}{8}$ ผลรวมเท่ากับ $1$ หรือไม่
Answershow ▾
The two outcomes after one branch must total $1$.สองผลลัพธ์หลังจากกิ่งหนึ่ง ต้องรวมกันได้ $1$
There are $10$ cards: $3$ star cards and $7$ moon cards. Jenny takes one card and keeps it, then takes another card and keeps it. Write the probabilities for both picks.
มีการ์ด $10$ ใบ: การ์ดดาว $3$ ใบ และการ์ดพระจันทร์ $7$ ใบ เจนนี่หยิบการ์ดหนึ่งใบและเก็บไว้ จากนั้นหยิบการ์ดอีกใบและเก็บไว้ จงเขียนความน่าจะเป็นของการหยิบทั้งสองครั้ง
Answershow ▾
Same three moves: first branch, then one card kept out drops both counts by one.สามขั้นเดิม: กิ่งแรก แล้วการ์ดหนึ่งใบที่เก็บไว้ทำให้ทั้งสองจำนวนลดลงหนึ่ง
Here are $9$ cards. Each card has either a number on it or a letter on it.
$A$ $7$ $H$ $F$ $E$ $D$ $G$ $5$ $C$
Tomas is playing a game.
Tomas takes at random one of the cards and keeps it.
Tomas then takes at random another card and keeps it.
Complete the probability tree diagram.
นี่คือการ์ด $9$ ใบ แต่ละใบมีตัวเลขหรือตัวอักษรอยู่หนึ่งอย่าง
$A$ $7$ $H$ $F$ $E$ $D$ $G$ $5$ $C$
โทมัสกำลังเล่นเกม
โทมัสสุ่มหยิบการ์ดหนึ่งใบและเก็บไว้
จากนั้นโทมัสสุ่มหยิบการ์ดอีกใบและเก็บไว้
จงเติมแผนภาพต้นไม้ให้สมบูรณ์
Answershow ▾
$2$ marks: one for the first branch, one for the second branch - both cards kept out, not put back.$2$ คะแนน: กิ่งแรกหนึ่งคะแนน กิ่งที่สองหนึ่งคะแนน การ์ดทั้งสองใบถูกเก็บไว้ ไม่ใส่คืน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\dfrac{2}{9},\;\dfrac{7}{9}$
B1 second card given the firstการ์ดใบที่สองเมื่อรู้ใบแรก
$\dfrac{1}{8},\;\dfrac{7}{8},\;\dfrac{2}{8},\;\dfrac{6}{8}$
Working backwards through a cube ย้อนกลับผ่านการยกกำลังสาม
Osvaldo has a biased coin.
He spins the coin three times.
The probability that the coin lands on a head three times is $\dfrac{27}{64}$
Work out the probability that the coin will land on a tail three times.
ออสวัลโดมีเหรียญเอนเอียงหนึ่งเหรียญ
เขาโยนเหรียญสามครั้ง
ความน่าจะเป็นที่เหรียญจะออกหัวทั้งสามครั้งคือ $\dfrac{27}{64}$
จงหาความน่าจะเป็นที่เหรียญจะออกก้อยทั้งสามครั้ง
Work out $\left(\dfrac14\right)^{3}$.
จงคำนวณ $\left(\dfrac14\right)^{3}$
Answershow ▾
Cube the top number and cube the bottom number separately.ยกกำลังสามเศษและส่วนแยกกัน
Find $p$, given $p^{3}=\dfrac{27}{64}$, by finding the cube root of $27$ and of $64$ separately.
จงหา $p$ จาก $p^{3}=\dfrac{27}{64}$ โดยหารากที่สามของ $27$ และของ $64$ แยกกัน
Answershow ▾
The number that cubes to $27$ is $3$; the number that cubes to $64$ is $4$.จำนวนที่ยกกำลังสามได้ $27$ คือ $3$ ส่วนจำนวนที่ยกกำลังสามได้ $64$ คือ $4$
Work out $1-\dfrac34$.
จงคำนวณ $1-\dfrac34$
Answershow ▾
A head and a tail are the only two outcomes, so their probabilities add to $1$.หัวกับก้อยเป็นผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เพียงสองอย่าง ความน่าจะเป็นของทั้งสองจึงรวมกันได้ $1$
$p^{3}=\dfrac{27}{64}$. Pick the first move to find $p$.
(A) divide $27$ and $64$ by $3$
(B) find the cube root of $27$ and of $64$
(C) multiply $\dfrac{27}{64}$ by $3$
$p^{3}=\dfrac{27}{64}$ จงเลือกขั้นแรกในการหา $p$
(A) หาร $27$ และ $64$ ด้วย $3$
(B) หารากที่สามของ $27$ และของ $64$
(C) คูณ $\dfrac{27}{64}$ ด้วย $3$
Answershow ▾
(A) divides by $3$, which undoes multiplying by $3$ - not the opposite of cubing. (C) multiplies instead of finding a root, which moves away from $p$, not towards it.(A) หารด้วย $3$ ซึ่งเป็นการย้อนการคูณด้วย $3$ ไม่ใช่ตรงข้ามของการยกกำลังสาม · (C) คูณแทนการหาราก ซึ่งห่างจาก $p$ มากขึ้น ไม่ใช่เข้าใกล้
Solve $p^{3}=\dfrac{27}{64}$ for $p$.
จงแก้สมการ $p^{3}=\dfrac{27}{64}$ หาค่า $p$
Answershow ▾
Take the cube root of the top and the cube root of the bottom.หารากที่สามของเศษ และรากที่สามของส่วน
Work out $P(\text{tail})=1-\dfrac34$.
จงคำนวณ $P(\text{tail})=1-\dfrac34$
Answershow ▾
A head and a tail are the only two outcomes, so their probabilities add to $1$.หัวกับก้อยเป็นผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เพียงสองอย่าง ความน่าจะเป็นของทั้งสองจึงรวมกันได้ $1$
Work out $\left(\dfrac14\right)^{3}$.
จงคำนวณ $\left(\dfrac14\right)^{3}$
Answershow ▾
Cube the numerator and the denominator separately.ยกกำลังสามเศษและส่วนแยกกัน
Work out $\left(1-\dfrac34\right)^{3}$ in one line.
จงคำนวณ $\left(1-\dfrac34\right)^{3}$ ในบรรทัดเดียว
Answershow ▾
The subtraction and the cube can be written together, once $p$ is known.เมื่อรู้ $p$ แล้ว การลบและการยกกำลังสามเขียนรวมกันในบรรทัดเดียวได้
Check $p=\dfrac34$ is right: does $\left(\dfrac34\right)^{3}=\dfrac{27}{64}$?
จงตรวจว่า $p=\dfrac34$ ถูกต้อง: $\left(\dfrac34\right)^{3}=\dfrac{27}{64}$ หรือไม่
Answershow ▾
Cubing $p$ back should return the number the question started with.การยกกำลังสาม $p$ กลับไป ต้องได้จำนวนเดิมที่คำถามให้มา
A biased coin is spun three times. The probability that it lands on a head three times is $\dfrac{8}{27}$. Work out the probability that it will land on a tail three times.
เหรียญเอนเอียงเหรียญหนึ่งถูกโยนสามครั้ง ความน่าจะเป็นที่เหรียญจะออกหัวทั้งสามครั้งคือ $\dfrac{8}{27}$ จงหาความน่าจะเป็นที่เหรียญจะออกก้อยทั้งสามครั้ง
Answershow ▾
Same three moves: cube root, then complement, then cube.สามขั้นเดิม: หารากที่สาม แล้วลบจาก 1 แล้วยกกำลังสาม
Osvaldo has a biased coin.
He spins the coin three times.
The probability that the coin lands on a head three times is $\dfrac{27}{64}$
Work out the probability that the coin will land on a tail three times.
ออสวัลโดมีเหรียญเอนเอียงหนึ่งเหรียญ
เขาโยนเหรียญสามครั้ง
ความน่าจะเป็นที่เหรียญจะออกหัวทั้งสามครั้งคือ $\dfrac{27}{64}$
จงหาความน่าจะเป็นที่เหรียญจะออกก้อยทั้งสามครั้ง
Answershow ▾
3 marks: cube root for $p$, the complement for $P(\text{tail})$, then cube it.3 คะแนน: รากที่สามหา $p$ ส่วนเติมเต็มหา $P(\text{tail})$ แล้วยกกำลังสาม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$p^{3}=\dfrac{27}{64}$
$p=\dfrac{3}{4}$
M1 probability of a tailความน่าจะเป็นออกก้อย
$P(\text{tail})=1-\dfrac{3}{4}$
$=\dfrac{1}{4}$
A1 cube the tail probabilityยกกำลังสามของ P(ก้อย)
$\left(\dfrac{1}{4}\right)^{3}=\dfrac{1}{64}$
At least one red left เหลือสีแดงอย่างน้อยหนึ่งชิ้น
There are $12$ counters in a bag.
$3$ of the counters are red
$9$ of the counters are green
Ameya, Jack and Ella each take at random one counter from the bag.
Work out the probability that at least one red counter is still in the bag.
ในถุงมีเคาน์เตอร์ $12$ ชิ้น
$3$ ชิ้นเป็นสีแดง
$9$ ชิ้นเป็นสีเขียว
อเมยา แจ็ก และเอลลา ต่างสุ่มหยิบเคาน์เตอร์คนละหนึ่งชิ้นจากถุง
จงหาความน่าจะเป็นที่ยังเหลือเคาน์เตอร์สีแดงอย่างน้อยหนึ่งชิ้นในถุง
A bag has $12$ counters, $3$ of them red. One red counter is taken out and not put back. Write the new probability of taking a red counter from the bag.
ถุงหนึ่งมีเคาน์เตอร์ $12$ ชิ้น เป็นสีแดง $3$ ชิ้น หยิบเคาน์เตอร์สีแดงออกมาหนึ่งชิ้นแล้วไม่ใส่คืน จงเขียนความน่าจะเป็นใหม่ที่จะหยิบได้เคาน์เตอร์สีแดงจากถุง
Answershow ▾
One red and one counter are both gone, so the new total is $11$ with $2$ red left.เคาน์เตอร์สีแดงและเคาน์เตอร์รวมหายไปอย่างละหนึ่ง เหลือทั้งหมด $11$ ชิ้น และแดงเหลือ $2$ ชิ้น
Work out $\dfrac{3}{12}\times\dfrac{2}{11}\times\dfrac{1}{10}$.
จงคำนวณ $\dfrac{3}{12}\times\dfrac{2}{11}\times\dfrac{1}{10}$
Answershow ▾
Multiply the numerators together, and the denominators together.คูณตัวเศษเข้าด้วยกัน และคูณตัวส่วนเข้าด้วยกัน
Work out $1-\dfrac{1}{220}$.
จงคำนวณ $1-\dfrac{1}{220}$
Answershow ▾
Write $1$ as $\dfrac{220}{220}$, then subtract.เขียน $1$ เป็น $\dfrac{220}{220}$ แล้วลบ
Ameya, Jack and Ella each take one counter at random, without replacement. To find the probability that at least one red counter is still in the bag, pick the first move.
(A) add the probabilities of every arrangement that leaves a red counter behind
(B) work out the probability that all three take red, then use $1$ minus that
(C) multiply $\dfrac{3}{12}$ by itself three times, as if each counter goes back in the bag
อเมยา แจ็ก และเอลลา ต่างสุ่มหยิบเคาน์เตอร์คนละหนึ่งชิ้นโดยไม่ใส่คืน เพื่อหาความน่าจะเป็นที่ยังเหลือเคาน์เตอร์สีแดงอย่างน้อยหนึ่งชิ้นในถุง จงเลือกขั้นแรก
(A) บวกความน่าจะเป็นของทุกเส้นทางที่ยังเหลือเคาน์เตอร์สีแดง
(B) หาความน่าจะเป็นที่ทั้งสามคนหยิบได้สีแดงทั้งหมด แล้วใช้ $1$ ลบด้วยค่านั้น
(C) คูณ $\dfrac{3}{12}$ ด้วยตัวเองสามครั้ง เสมือนใส่เคาน์เตอร์คืนถุงทุกครั้ง
Answershow ▾
(A) must list every arrangement with a red left - missing one is the real lost mark. (C) reuses $\dfrac{3}{12}$ each time, but without replacement the fractions shrink.(A) ต้องไล่เส้นทางที่ยังมีแดงเหลือให้ครบทุกทาง ตกหล่นแม้ทางเดียวก็เสียคะแนน (C) ใช้ $\dfrac{3}{12}$ ซ้ำทุกครั้ง แต่เมื่อไม่ใส่คืน เศษส่วนต้องเล็กลงทุกครั้งที่หยิบ
There are $12$ counters in a bag, $3$ of them red. Work out the probability that Ameya takes a red counter.
ในถุงมีเคาน์เตอร์ $12$ ชิ้น เป็นสีแดง $3$ ชิ้น จงหาความน่าจะเป็นที่อเมยาจะหยิบได้เคาน์เตอร์สีแดง
Answershow ▾
The probability is the number of red counters over the total.ความน่าจะเป็น คือจำนวนเคาน์เตอร์สีแดง หารด้วยจำนวนทั้งหมด
Ameya's counter was red and is not put back. Write the new probability that Jack also takes a red counter.
เคาน์เตอร์ของอเมยาเป็นสีแดงและไม่ใส่คืน จงเขียนความน่าจะเป็นใหม่ที่แจ็กจะหยิบได้สีแดงด้วย
Answershow ▾
One red and one counter are both gone, so $2$ red remain out of $11$.เคาน์เตอร์สีแดงและเคาน์เตอร์รวมหายไปอย่างละหนึ่ง เหลือแดง $2$ ชิ้น จาก $11$ ชิ้น
Multiply the three fractions to find the probability that Ameya, Jack and Ella all take a red counter.
จงคูณเศษส่วนทั้งสามตัว เพื่อหาความน่าจะเป็นที่อเมยา แจ็ก และเอลลาจะหยิบได้สีแดงทั้งสามคน
Answershow ▾
Use the two fractions from the last two questions, with $\dfrac{1}{10}$ for Ella.ใช้เศษส่วนสองตัวจากข้อที่แล้ว พร้อมกับ $\dfrac{1}{10}$ สำหรับเอลลา
Use the complement to work out the probability that at least one red counter is still in the bag.
จงใช้คอมพลีเมนต์หาความน่าจะเป็นที่ยังเหลือเคาน์เตอร์สีแดงอย่างน้อยหนึ่งชิ้นในถุง
Answershow ▾
Subtract the probability that all three take red from $1$.นำ $1$ ลบด้วยความน่าจะเป็นที่หยิบได้สีแดงทั้งสามชิ้น
Check your answer: work out $\dfrac{1}{220}+\dfrac{219}{220}$.
จงตรวจคำตอบ โดยคำนวณ $\dfrac{1}{220}+\dfrac{219}{220}$
Answershow ▾
The probability of red gone and the probability of red left must add to $1$.ความน่าจะเป็นที่แดงหมดไป กับความน่าจะเป็นที่แดงยังเหลือ ต้องรวมกันได้ $1$
A bag has $6$ counters: $3$ are red and $3$ are green. Three people each take at random one counter from the bag, without replacement. Work out the probability that at least one red counter is still in the bag.
ถุงหนึ่งมีเคาน์เตอร์ $6$ ชิ้น เป็นสีแดง $3$ ชิ้น และสีเขียว $3$ ชิ้น สามคนต่างสุ่มหยิบเคาน์เตอร์คนละหนึ่งชิ้นจากถุงโดยไม่ใส่คืน จงหาความน่าจะเป็นที่ยังเหลือเคาน์เตอร์สีแดงอย่างน้อยหนึ่งชิ้นในถุง
Answershow ▾
Same three moves: chain the three fractions, then subtract from $1$.สามขั้นเดิม: คูณเศษส่วนสามตัวต่อกัน แล้วลบจาก $1$
There are $12$ counters in a bag.
$3$ of the counters are red
$9$ of the counters are green
Ameya, Jack and Ella each take at random one counter from the bag.
Work out the probability that at least one red counter is still in the bag.
ในถุงมีเคาน์เตอร์ $12$ ชิ้น
$3$ ชิ้นเป็นสีแดง
$9$ ชิ้นเป็นสีเขียว
อเมยา แจ็ก และเอลลา ต่างสุ่มหยิบเคาน์เตอร์คนละหนึ่งชิ้นจากถุง
จงหาความน่าจะเป็นที่ยังเหลือเคาน์เตอร์สีแดงอย่างน้อยหนึ่งชิ้นในถุง
Answershow ▾
3 marks: the probability all three take red, multiply the chain, then subtract from $1$.3 คะแนน: ความน่าจะเป็นที่ทั้งสามคนหยิบได้สีแดง คูณลูกโซ่ แล้วลบจาก $1$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\dfrac{3}{12}\times\dfrac{2}{11}\times\dfrac{1}{10}$
M1 multiply the chainคูณลูกโซ่ความน่าจะเป็น
$=\dfrac{1}{220}$
A1 complement for at least oneคอมพลีเมนต์หาอย่างน้อยหนึ่ง
$1-\dfrac{1}{220}=\dfrac{219}{220}$
Three picks, nothing put back หยิบสามครั้ง ไม่ใส่คืนเลย
There are $16$ sweets in a bowl.
$4$ of the sweets are blackcurrant.
$5$ of the sweets are lemon.
$7$ of the sweets are orange.
Anna, Ravi and Sam each take at random one sweet from the bowl.
Work out the probability that the $5$ lemon sweets are still in the bowl.
ในชามมีลูกอม $16$ เม็ด
$4$ เม็ดเป็นรสแบล็กเคอร์แรนต์
$5$ เม็ดเป็นรสมะนาว
$7$ เม็ดเป็นรสส้ม
แอนนา ราวี และแซม ต่างสุ่มหยิบลูกอมคนละหนึ่งเม็ดจากชาม
จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกอมรสมะนาวทั้ง $5$ เม็ดยังอยู่ในชามครบ
A bag has $10$ sweets. $4$ are strawberry, so $6$ are not strawberry. One sweet, not strawberry, is taken out and not put back. Work out the probability that the next sweet picked is not strawberry.
ถุงหนึ่งมีลูกอม $10$ เม็ด เป็นรสสตรอว์เบอร์รี $4$ เม็ด จึงไม่ใช่รสสตรอว์เบอร์รี $6$ เม็ด ลูกอมเม็ดที่ไม่ใช่รสสตรอว์เบอร์รีหนึ่งเม็ดถูกหยิบออกไปแล้ว ไม่ใส่คืน จงหาความน่าจะเป็นที่ ลูกอมเม็ดต่อไปที่หยิบได้ไม่ใช่รสสตรอว์เบอร์รีด้วย
Answershow ▾
One not-strawberry sweet is gone: $10\to9$ sweets, $6\to5$ not strawberry.ลูกอมที่ไม่ใช่รสสตรอว์เบอร์รีหายไปหนึ่งเม็ด: $10\to9$ เม็ด $6\to5$ เม็ดที่ไม่ใช่รสสตรอว์เบอร์รี
Multiply $\dfrac12\times\dfrac23\times\dfrac34$.
จงคูณ $\dfrac12\times\dfrac23\times\dfrac34$
Answershow ▾
Multiply all the numerators, then all the denominators.คูณตัวเศษทั้งหมดเข้าด้วยกัน แล้วคูณตัวส่วนทั้งหมดเข้าด้วยกัน
Three sweets are taken, one at a time. Each one taken is blackcurrant ($B$) or orange ($O$) - never lemon. List how many different orders of $B$ and $O$ are possible, over the three picks.
หยิบลูกอมสามเม็ด ครั้งละหนึ่งเม็ด แต่ละเม็ดที่หยิบได้เป็นรสแบล็กเคอร์แรนต์ ($B$) หรือรสส้ม ($O$) ไม่ใช่รสมะนาวเลย จงนับว่ามีลำดับของ $B$ และ $O$ ที่เป็นไปได้กี่แบบ จากการหยิบทั้งสามครั้ง
Answershow ▾
Two choices for each of the three picks: $2\times2\times2$.สองตัวเลือกสำหรับการหยิบแต่ละครั้ง จากสามครั้ง: $2\times2\times2$
Anna, Ravi and Sam each take one sweet, none put back. To find the probability that none of them picks a lemon sweet, pick the first move.
(A) $\dfrac{11}{16}\times\dfrac{11}{15}\times\dfrac{11}{14}$
(B) $\dfrac{11}{16}\times\dfrac{10}{15}\times\dfrac{9}{14}$
(C) $\left(\dfrac{11}{16}\right)^{3}$
แอนนา ราวี และแซม ต่างหยิบลูกอมคนละหนึ่งเม็ด ไม่ใส่คืน หากต้องการหาความน่าจะเป็นที่ไม่มีใครหยิบได้ลูกอมรสมะนาวเลย จงเลือกขั้นแรก
(A) $\dfrac{11}{16}\times\dfrac{11}{15}\times\dfrac{11}{14}$
(B) $\dfrac{11}{16}\times\dfrac{10}{15}\times\dfrac{9}{14}$
(C) $\left(\dfrac{11}{16}\right)^{3}$
Answershow ▾
(A) keeps $11$ sweets not lemon every time, as if each sweet taken is put back. (C) uses the same fraction three times, which also assumes replacement. Each sweet taken lowers both counts by $1$.(A) ใช้ $11$ เม็ดที่ไม่ใช่มะนาวซ้ำทุกครั้ง เหมือนใส่คืนทุกเม็ด (C) ใช้เศษส่วนเดิมสามครั้ง ซึ่งก็สมมติว่าใส่คืนเช่นกัน การหยิบแต่ละครั้งทำให้ทั้งจำนวนที่ไม่ใช่มะนาวและจำนวนทั้งหมดลดลง $1$
There are $16$ sweets. $5$ are lemon, so $11$ are not lemon. Work out the probability that the 1st sweet taken is not lemon.
มีลูกอม $16$ เม็ด เป็นรสมะนาว $5$ เม็ด จึงไม่ใช่รสมะนาว $11$ เม็ด จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกอมเม็ดที่ 1 ที่หยิบได้ไม่ใช่รสมะนาว
Answershow ▾
Sweets that are not lemon, out of all the sweets.ลูกอมที่ไม่ใช่มะนาว หารด้วยลูกอมทั้งหมด
One sweet, not lemon, has been taken and not put back. Work out the probability that the 2nd sweet taken is also not lemon.
ลูกอมเม็ดที่ 1 ที่ไม่ใช่รสมะนาวถูกหยิบออกไปแล้ว ไม่ใส่คืน จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกอมเม็ดที่ 2 ที่หยิบได้ก็ไม่ใช่รสมะนาวด้วย
Answershow ▾
One not-lemon sweet is gone: $16\to15$ sweets, $11\to10$ not lemon.ลูกอมที่ไม่ใช่มะนาวหายไปหนึ่งเม็ด: $16\to15$ เม็ด $11\to10$ เม็ดที่ไม่ใช่มะนาว
Two sweets, both not lemon, have been taken and not put back. Work out the probability that the 3rd sweet taken is also not lemon.
ลูกอมสองเม็ดที่ไม่ใช่รสมะนาวถูกหยิบออกไปแล้ว ไม่ใส่คืน จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกอมเม็ดที่ 3 ที่หยิบได้ก็ไม่ใช่รสมะนาวด้วย
Answershow ▾
Another not-lemon sweet is gone: $15\to14$ sweets, $10\to9$ not lemon.ลูกอมที่ไม่ใช่มะนาวหายไปอีกหนึ่งเม็ด: $15\to14$ เม็ด $10\to9$ เม็ดที่ไม่ใช่มะนาว
The chain $\dfrac{11}{16}\times\dfrac{10}{15}\times\dfrac{9}{14}$ only tracks lemon against not lemon. Blackcurrant and orange sweets are counted together. Pick the reason one multiplication is still enough.
(A) grouping blackcurrant and orange as "not lemon" already adds together every order of $B$ and $O$ from question $3$
(B) only one order of $B$ and $O$ is possible
(C) blackcurrant and orange have the same number of sweets
ลูกโซ่ $\dfrac{11}{16}\times\dfrac{10}{15}\times\dfrac{9}{14}$ นับแค่มะนาวกับไม่ใช่มะนาว ลูกอมรสแบล็กเคอร์แรนต์กับรสส้มถูกนับรวมกัน จงเลือกเหตุผลว่าทำไมคูณครั้งเดียวก็เพียงพอ
(A) การรวมแบล็กเคอร์แรนต์กับส้มเป็น "ไม่ใช่มะนาว" ได้บวกทุกลำดับของ $B$ และ $O$ จากข้อ $3$ ไว้แล้ว
(B) มีลำดับของ $B$ และ $O$ ที่เป็นไปได้แบบเดียวเท่านั้น
(C) แบล็กเคอร์แรนต์กับส้มมีจำนวนเท่ากัน
Answershow ▾
(B) is false - question $3$ counted $8$ orders of $B$ and $O$. (C) is false ($4$ versus $7$), and would not matter anyway: the chain counts "not lemon" sweets, not matching flavours.(B) ไม่จริง เพราะข้อ $3$ นับได้ $8$ ลำดับของ $B$ และ $O$ (C) ก็ไม่จริง ($4$ เทียบกับ $7$) และไม่เกี่ยวด้วย เพราะลูกโซ่นี้นับลูกอมที่ไม่ใช่มะนาว ไม่ได้จับคู่รสชาติกัน
Multiply the chain: $\dfrac{11}{16}\times\dfrac{10}{15}\times\dfrac{9}{14}$.
จงคูณลูกโซ่: $\dfrac{11}{16}\times\dfrac{10}{15}\times\dfrac{9}{14}$
Answershow ▾
Multiply all three numerators, then all three denominators, then simplify.คูณตัวเศษทั้งสามเข้าด้วยกัน แล้วคูณตัวส่วนทั้งสามเข้าด้วยกัน แล้วทำให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
Check your answer by multiplying in a different order: $\dfrac{9}{14}\times\dfrac{10}{15}\times\dfrac{11}{16}$. Does this give the same fraction?
จงตรวจคำตอบโดยคูณในลำดับอื่น: $\dfrac{9}{14}\times\dfrac{10}{15}\times\dfrac{11}{16}$ ได้เศษส่วนเดิมหรือไม่
Answershow ▾
Multiplying three fractions gives the same answer in any order.การคูณเศษส่วนสามตัว ให้ผลลัพธ์เดิมไม่ว่าจะคูณลำดับใด
A box has $10$ chocolates. $3$ are dark chocolate, the rest are not. Three people each take one chocolate at random, none put back. Work out the probability that none of the three chocolates taken is dark chocolate.
กล่องหนึ่งมีช็อกโกแลต $10$ ชิ้น เป็นดาร์กช็อกโกแลต $3$ ชิ้น ที่เหลือไม่ใช่ สามคนต่างสุ่มหยิบช็อกโกแลตคนละหนึ่งชิ้น ไม่ใส่คืน จงหาความน่าจะเป็นที่ช็อกโกแลตทั้งสามชิ้นที่หยิบได้ไม่ใช่ดาร์กช็อกโกแลตเลย
Answershow ▾
Same three moves: the not-dark count and the total both fall by $1$ each pick, then multiply.สามขั้นเดิม: จำนวนที่ไม่ใช่ดาร์กและจำนวนทั้งหมดลดลง $1$ ทุกครั้งที่หยิบ แล้วคูณเข้าด้วยกัน
There are $16$ sweets in a bowl.
$4$ of the sweets are blackcurrant.
$5$ of the sweets are lemon.
$7$ of the sweets are orange.
Anna, Ravi and Sam each take at random one sweet from the bowl.
Work out the probability that the $5$ lemon sweets are still in the bowl.
ในชามมีลูกอม $16$ เม็ด
$4$ เม็ดเป็นรสแบล็กเคอร์แรนต์
$5$ เม็ดเป็นรสมะนาว
$7$ เม็ดเป็นรสส้ม
แอนนา ราวี และแซม ต่างสุ่มหยิบลูกอมคนละหนึ่งเม็ดจากชาม
จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกอมรสมะนาวทั้ง $5$ เม็ดยังอยู่ในชามครบ
Answershow ▾
4 marks: three picks not lemon, with the denominator falling $16\to15\to14$, then multiply the chain.4 คะแนน: หยิบสามครั้งไม่ใช่มะนาว ตัวส่วนลดลง $16\to15\to14$ แล้วคูณลูกโซ่
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\dfrac{11}{16}$
M1 P(2nd pick is not lemon)P(หยิบครั้งที่ 2 ไม่ใช่มะนาว)
$\times\dfrac{10}{15}$
M1 P(3rd pick is not lemon)P(หยิบครั้งที่ 3 ไม่ใช่มะนาว)
$\times\dfrac{9}{14}$
A1 multiply the chainคูณลูกโซ่ความน่าจะเป็น
$=\dfrac{33}{112}$
Independent events: win neither เหตุการณ์อิสระ: ไม่ชนะเลยสักเกม
Steffi is going to play one game of tennis and one game of chess.
The probability that she will win the game of tennis is $0.6$
The probability that she will win both games is $0.42$
Work out the probability that she will not win either game.
สเตฟฟีจะเล่นเทนนิสหนึ่งเกมและหมากรุกหนึ่งเกม
ความน่าจะเป็นที่เธอจะชนะเกมเทนนิสคือ $0.6$
ความน่าจะเป็นที่เธอจะชนะทั้งสองเกมคือ $0.42$
จงหาความน่าจะเป็นที่เธอจะไม่ชนะเลยสักเกม
Two independent events have $P(A)\times P(B)=0.42$. If $P(A)=0.6$, find $P(B)$.
เหตุการณ์อิสระสองเหตุการณ์มี $P(A)\times P(B)=0.42$ ถ้า $P(A)=0.6$ จงหา $P(B)$
Answershow ▾
Divide the product by the probability you already know.หารผลคูณด้วยความน่าจะเป็นที่รู้อยู่แล้ว
$P(\text{win})=0.6$. Find $P(\text{not win})$.
$P(\text{win})=0.6$ จงหา $P(\text{not win})$
Answershow ▾
Subtract from $1$.ลบออกจาก $1$
Work out $0.4\times0.3$.
จงคำนวณ $0.4\times0.3$
Answershow ▾
Multiply the two decimals directly.คูณทศนิยมทั้งสองตัวตรงๆ
Steffi wins tennis and chess independently. $P(\text{tennis})=0.6$, $P(\text{both})=0.42$. Pick the first move to find $P(\text{chess})$.
(A) $0.42-0.6$
(B) $0.42\div0.6$
(C) $0.6-0.42$
สเตฟฟีชนะเทนนิสและหมากรุกอย่างเป็นอิสระ $P(\text{tennis})=0.6$, $P(\text{both})=0.42$ จงเลือกขั้นแรกเพื่อหา $P(\text{chess})$
(A) $0.42-0.6$
(B) $0.42\div0.6$
(C) $0.6-0.42$
Answershow ▾
(A) and (C) subtract instead of dividing - independent events multiply, so splitting a known product into its two factors means dividing, not subtracting.(A) และ (C) ใช้การลบทั้งที่ต้องหาร - เหตุการณ์อิสระคูณกัน การแยกตัวประกอบจากผลคูณที่รู้แล้ว ต้องหาร ไม่ใช่ลบ
Steffi: $P(\text{tennis})=0.6$, $P(\text{both})=0.42$, independent. Work out $P(\text{chess})$.
สเตฟฟี: $P(\text{tennis})=0.6$, $P(\text{both})=0.42$ อิสระต่อกัน จงหา $P(\text{chess})$
Answershow ▾
Independent events multiply, so divide the product by $P(\text{tennis})$.เหตุการณ์อิสระคูณกัน จึงหารผลคูณด้วย $P(\text{tennis})$
Work out $P(\text{not win tennis})$.
จงหา $P(\text{not win tennis})$
Answershow ▾
Subtract $0.6$ from $1$.ลบ $0.6$ ออกจาก $1$
Using $P(\text{chess})=0.7$ from before, work out $P(\text{not win chess})$.
ใช้ $P(\text{chess})=0.7$ จากขั้นก่อน จงหา $P(\text{not win chess})$
Answershow ▾
Subtract $0.7$ from $1$.ลบ $0.7$ ออกจาก $1$
Multiply $P(\text{not tennis})$ and $P(\text{not chess})$ to get $P(\text{neither}).$
คูณ $P(\text{not tennis})$ กับ $P(\text{not chess})$ เพื่อหา $P(\text{neither})$
Answershow ▾
Not winning either means both complements happen, so multiply.ไม่ชนะเลยคือทั้งสองส่วนเติมเต็มเกิดขึ้น จึงคูณกัน
Check: work out $0.6+0.7-0.42$, then subtract the result from $1$. Does it match?
ตรวจอีกวิธี: จงคำนวณ $0.6+0.7-0.42$ แล้วนำผลลัพธ์ไปลบจาก $1$ ตรงกันหรือไม่
Answershow ▾
Adding the two wins and removing the overlap gives P(at least one); its complement matches.บวกการชนะทั้งสองแล้วหักส่วนที่ซ้อนทับออก ได้ P(ชนะอย่างน้อยหนึ่ง) ส่วนเติมเต็มของมันตรงกัน
Priya plays badminton and swims. The results are independent. $P(\text{win badminton})=0.5$. $P(\text{win both})=0.3$. Work out $P(\text{she wins neither}).$
พริยาเล่นแบดมินตันและว่ายน้ำ ผลลัพธ์อิสระต่อกัน $P(\text{win badminton})=0.5$ $P(\text{win both})=0.3$ จงหา $P(\text{she wins neither})$
Answershow ▾
Same three moves: divide for the missing probability, take both complements, then multiply.สามขั้นเดิม: หารหาความน่าจะเป็นที่หายไป หาส่วนเติมเต็มทั้งสอง แล้วคูณกัน
Steffi is going to play one game of tennis and one game of chess.
The probability that she will win the game of tennis is $0.6$
The probability that she will win both games is $0.42$
Work out the probability that she will not win either game.
สเตฟฟีจะเล่นเทนนิสหนึ่งเกมและหมากรุกหนึ่งเกม
ความน่าจะเป็นที่เธอจะชนะเกมเทนนิสคือ $0.6$
ความน่าจะเป็นที่เธอจะชนะทั้งสองเกมคือ $0.42$
จงหาความน่าจะเป็นที่เธอจะไม่ชนะเลยสักเกม
Answershow ▾
4 marks: find P(chess) by dividing, take both complements, then multiply.4 คะแนน: หา P(หมากรุก) ด้วยการหาร หาส่วนเติมเต็มทั้งสอง แล้วคูณกัน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$P(\text{chess})=0.42\div0.6$
$=0.7$
M1 P(not tennis)P(ไม่ชนะเทนนิส)
$1-0.6=0.4$
M1 P(not chess)P(ไม่ชนะหมากรุก)
$1-0.7=0.3$
A1 multiply for neitherคูณหาไม่ชนะเลย
$0.4\times0.3=0.12$
A tree where round two changes with round one ต้นไม้ที่รอบสองเปลี่ยนไปตามรอบแรก
(a) Ding is going to play one game of snooker against each of two of his friends, Marco and Judd.
The probability tree diagram gives information about the probabilities that Ding will win or lose each of these two games.
Work out the probability that Ding will win both games.
(b) Work out the probability that Ding will win exactly one of the games.
(ก) ดิงจะเล่นสนุกเกอร์หนึ่งเกมกับเพื่อนแต่ละคนจากสองคน คือมาร์โคและจัดด์
แผนภาพต้นไม้ความน่าจะเป็นแสดงข้อมูลความน่าจะเป็นที่ดิงจะชนะหรือแพ้แต่ละเกมในสองเกมนี้
จงหาความน่าจะเป็นที่ดิงจะชนะทั้งสองเกม
(ข) จงหาความน่าจะเป็นที่ดิงจะชนะเพียงเกมเดียวเท่านั้น
On a tree, Ding wins against Marco with probability $0.6$, then wins against Judd with probability $0.9$. Work out the probability of both.
บนแผนภาพต้นไม้ ดิงชนะมาร์โคด้วยความน่าจะเป็น $0.6$ แล้วชนะจัดด์ด้วยความน่าจะเป็น $0.9$ จงหาความน่าจะเป็นที่เกิดทั้งสองอย่าง
Answershow ▾
Multiply the probabilities along the path you follow - the AND rule on a tree.คูณความน่าจะเป็นตามเส้นทางที่เดินไป คือกฎ AND บนแผนภาพต้นไม้
Ding wins against Marco with probability $0.6$, then loses to Judd with probability $0.1$. Work out the probability of this path.
ดิงชนะมาร์โคด้วยความน่าจะเป็น $0.6$ แล้วแพ้จัดด์ด้วยความน่าจะเป็น $0.1$ จงหาความน่าจะเป็นของเส้นทางนี้
Answershow ▾
Same rule as question $1$: multiply along the path.กฎเดียวกับข้อ $1$: คูณตามเส้นทาง
Ding loses to Marco with probability $0.4$, then wins against Judd with probability $0.25$. Work out the probability of this path.
ดิงแพ้มาร์โคด้วยความน่าจะเป็น $0.4$ แล้วชนะจัดด์ด้วยความน่าจะเป็น $0.25$ จงหาความน่าจะเป็นของเส้นทางนี้
Answershow ▾
Same rule again, on the other branch.กฎเดียวกันอีกครั้ง บนกิ่งอีกฝั่ง
To find P(Ding wins both games), pick the first move.
(A) $0.6\times0.9$
(B) $0.6+0.9$
(C) $0.6\times0.25$
เพื่อหา P(ดิงชนะทั้งสองเกม) จงเลือกขั้นแรก
(A) $0.6\times0.9$
(B) $0.6+0.9$
(C) $0.6\times0.25$
Answershow ▾
(B) adds instead of multiplying - that is for two separate routes, not one path. (C) uses $0.25$, which belongs to the "lose Marco" branch, not "win Marco".(B) บวกแทนการคูณ ซึ่งใช้กับสองเส้นทางที่แยกกัน ไม่ใช่เส้นทางเดียว · (C) ใช้ $0.25$ ซึ่งเป็นของกิ่ง "แพ้มาร์โค" ไม่ใช่ "ชนะมาร์โค"
On the tree, Ding wins Marco then wins Judd. Work out P(Ding wins both games): $0.6\times0.9$.
บนแผนภาพต้นไม้ ดิงชนะมาร์โคแล้วชนะจัดด์ จงหา P(ดิงชนะทั้งสองเกม): $0.6\times0.9$
Answershow ▾
Same multiplication as question $1$, now on the real tree - this is part (a).การคูณเดียวกับข้อ $1$ แต่อยู่บนต้นไม้จริง นี่คือส่วน (ก)
Work out P(Ding wins Marco, loses to Judd): $0.6\times0.1$.
จงหา P(ดิงชนะมาร์โค แพ้จัดด์): $0.6\times0.1$
Answershow ▾
Same path as question $2$, now on the real tree.เส้นทางเดียวกับข้อ $2$ แต่อยู่บนต้นไม้จริง
Work out P(Ding loses to Marco, wins against Judd): $0.4\times0.25$.
จงหา P(ดิงแพ้มาร์โค ชนะจัดด์): $0.4\times0.25$
Answershow ▾
Same path as question $3$, now on the real tree.เส้นทางเดียวกับข้อ $3$ แต่อยู่บนต้นไม้จริง
For "Ding wins exactly one game", which paths count?
(A) win-win only
(B) win-lose and lose-win
(C) win-win and lose-lose
สำหรับ "ดิงชนะเพียงเกมเดียว" เส้นทางใดที่นับ
(A) ชนะ-ชนะ เท่านั้น
(B) ชนะ-แพ้ และ แพ้-ชนะ
(C) ชนะ-ชนะ และ แพ้-แพ้
Answershow ▾
(A) is winning both games, not exactly one. (C) is the same result twice, not exactly one.(A) คือชนะทั้งสองเกม ไม่ใช่เพียงเกมเดียว · (C) คือผลลัพธ์เดียวกันสองครั้ง ไม่ใช่เพียงเกมเดียว
Add the two paths for exactly one win: $0.06+0.1$.
จงบวกสองเส้นทางสำหรับชนะเพียงเกมเดียว: $0.06+0.1$
Answershow ▾
Two separate paths give the same result, so add their probabilities - the OR rule.สองเส้นทางที่แยกกันให้ผลลัพธ์เดียวกัน จึงบวกความน่าจะเป็นเข้าด้วยกัน คือกฎ OR
Check the "win Marco" branch: $0.6\times0.9+0.6\times0.1=?$ Does this equal $0.6$?
จงตรวจกิ่ง "ชนะมาร์โค": $0.6\times0.9+0.6\times0.1=?$ ได้เท่ากับ $0.6$ หรือไม่
Answershow ▾
The two routes out of "win Marco" add back up to the win Marco probability.สองเส้นทางที่ออกจาก "ชนะมาร์โค" บวกกันกลับเป็นความน่าจะเป็นของชนะมาร์โค
Mia plays two games of chess. The probability she wins the first is $0.5$. If she wins the first, the probability she wins the second is $0.8$. If she loses the first, the probability she wins the second is $0.4$. Work out (a) the probability she wins both games, (b) the probability she wins exactly one game.
เมียเล่นหมากรุกสองเกม ความน่าจะเป็นที่เธอชนะเกมแรกคือ $0.5$ ถ้าเธอชนะเกมแรก ความน่าจะเป็นที่เธอชนะเกมที่สองคือ $0.8$ ถ้าเธอแพ้เกมแรก ความน่าจะเป็นที่เธอชนะเกมที่สองคือ $0.4$ จงหา (ก) ความน่าจะเป็นที่เธอชนะทั้งสองเกม (ข) ความน่าจะเป็นที่เธอชนะเพียงเกมเดียว
Answershow ▾
Same three moves: multiply the win-win branch, multiply the two mixed branches, add them.สามขั้นเดิม: คูณกิ่งชนะ-ชนะ คูณสองกิ่งที่ผลต่างกัน แล้วบวกกัน
(a) Ding is going to play one game of snooker against each of two of his friends, Marco and Judd.
The probability tree diagram gives information about the probabilities that Ding will win or lose each of these two games.
Work out the probability that Ding will win both games.
(b) Work out the probability that Ding will win exactly one of the games.
(ก) ดิงจะเล่นสนุกเกอร์หนึ่งเกมกับเพื่อนแต่ละคนจากสองคน คือมาร์โคและจัดด์
แผนภาพต้นไม้ความน่าจะเป็นแสดงข้อมูลความน่าจะเป็นที่ดิงจะชนะหรือแพ้แต่ละเกมในสองเกมนี้
จงหาความน่าจะเป็นที่ดิงจะชนะทั้งสองเกม
(ข) จงหาความน่าจะเป็นที่ดิงจะชนะเพียงเกมเดียวเท่านั้น
Answershow ▾
5 marks: $2$ for multiplying the win-win branch, $3$ for the two paths to exactly one win.5 คะแนน: $2$ คะแนนสำหรับคูณกิ่งชนะ-ชนะ และ $3$ คะแนนสำหรับสองเส้นทางสู่การชนะเพียงเกมเดียว
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$0.6\times0.9$
A1 probability of winning bothความน่าจะเป็นชนะทั้งสอง
$=0.54$
M1 P(win Marco, lose Judd)P(ชนะมาร์โค แพ้จัดด์)
$0.6\times0.1=0.06$
M1 P(lose Marco, win Judd)P(แพ้มาร์โค ชนะจัดด์)
$0.4\times0.25=0.1$
A1 add the two pathsบวกสองเส้นทาง
$0.06+0.1=0.16$
Same colour from three colours สีเดียวกัน จากสามสี
In a bag, there are only
$3$ blue beads
$4$ white beads
and $x$ orange beads
Jean is going to take at random two beads from the bag.
The probability that Jean will take two beads of the same colour is $\dfrac{3}{8}$
Find the total number of beads in the bag.
Show clear algebraic working.
ในถุงมีเฉพาะ
ลูกปัดสีน้ำเงิน $3$ เม็ด
ลูกปัดสีขาว $4$ เม็ด
และลูกปัดสีส้ม $x$ เม็ด
ยีนจะสุ่มหยิบลูกปัดสองเม็ดจากถุง
ความน่าจะเป็นที่ยีนจะหยิบได้ลูกปัดสีเดียวกันสองเม็ดคือ $\dfrac{3}{8}$
จงหาจำนวนลูกปัดทั้งหมดในถุง
แสดงวิธีทำเชิงพีชคณิตให้ชัดเจน
A bag has $x+7$ beads in total. One bead is taken out and not replaced. Write an expression for how many beads remain, for the second pick.
ถุงมีลูกปัดทั้งหมด $x+7$ เม็ด หยิบออกหนึ่งเม็ดโดยไม่ใส่คืน จงเขียนนิพจน์แสดงจำนวนลูกปัดที่เหลือ สำหรับการหยิบครั้งที่สอง
Answershow ▾
Without replacement, the total drops by $1$ for the second pick.ไม่ใส่คืน จำนวนรวมลดลง $1$ สำหรับการหยิบครั้งที่สอง
The beads are blue, white or orange. Jean takes two beads without replacement and gets two of the same colour. Write the three ways this can happen.
ลูกปัดมีสีน้ำเงิน ขาว หรือส้ม ยีนหยิบลูกปัดสองเม็ดโดยไม่ใส่คืน และได้สีเดียวกันสองเม็ด จงเขียนสามกรณีที่เป็นไปได้
Answershow ▾
Two of the same colour can happen in three ways, since there are three colours.สีเดียวกันสองเม็ด เกิดได้สามแบบ เพราะมีสามสี
Expand $(x+7)(x+6)$.
จงกระจาย $(x+7)(x+6)$
Answershow ▾
Multiply each term in the first bracket by each term in the second.คูณแต่ละพจน์ในวงเล็บแรกกับแต่ละพจน์ในวงเล็บที่สอง
$P(\text{same colour})$ can happen as $BB$, $WW$, or $OO$. How should the three probabilities be combined?
(A) multiply them together
(B) add them together
(C) use only $P(OO)$, since orange is the unknown colour
ความน่าจะเป็นของสีเดียวกัน เกิดได้เป็น $BB$, $WW$, หรือ $OO$ จะนำความน่าจะเป็นทั้งสามมารวมกันอย่างไร
(A) คูณเข้าด้วยกัน
(B) บวกเข้าด้วยกัน
(C) ใช้แค่ $P(OO)$ เพราะส้มเป็นสีที่ไม่รู้จำนวน
Answershow ▾
(A) multiplying is for two things happening together; here it is one colour-pair OR another, so add. (C) drops two of the three ways to get the same colour, that are equally valid.(A) การคูณใช้กับสองเหตุการณ์ที่เกิดร่วมกัน แต่นี่คือคู่สีหนึ่ง หรือ อีกคู่สีหนึ่ง จึงต้องบวก (C) ตัดสองกรณีจากสามกรณีของสีเดียวกันทิ้ง ซึ่งมีโอกาสเท่ากัน
The bag has $3$ blue beads out of $x+7$ beads in total. Write $P(\text{both blue})$ for the first two beads taken, without replacement.
ถุงมีลูกปัดสีน้ำเงิน $3$ เม็ด จากลูกปัดทั้งหมด $x+7$ เม็ด จงเขียนความน่าจะเป็นของน้ำเงินทั้งคู่ $P(BB)$ สำหรับการหยิบสองเม็ดแรก โดยไม่ใส่คืน
Answershow ▾
The first pick is from $x+7$ beads, the second is from $x+6$ beads.หยิบครั้งแรกจาก $x+7$ เม็ด หยิบครั้งที่สองจาก $x+6$ เม็ด
In the same way, write $P(\text{both white})$ and $P(\text{both orange})$.
ในทำนองเดียวกัน จงเขียนความน่าจะเป็นของขาวทั้งคู่ $P(WW)$ และส้มทั้งคู่ $P(OO)$
Answershow ▾
Same pattern: that colour count, one fewer, over $x+7$ then $x+6$.รูปแบบเดิม: จำนวนของสีนั้น ลดลงหนึ่ง จาก $x+7$ แล้ว $x+6$
Add $P(BB)+P(WW)+P(OO)$ over the common denominator $(x+7)(x+6)$, set it equal to $\dfrac{3}{8}$, and show it simplifies to $5x^{2}-47x+18=0$.
จงบวก $P(BB)+P(WW)+P(OO)$ โดยใช้ตัวส่วนร่วม $(x+7)(x+6)$ ให้เท่ากับ $\dfrac{3}{8}$ แล้วแสดงว่าจัดรูปได้เป็น $5x^{2}-47x+18=0$
Answershow ▾
$3\times2+4\times3+x(x-1)$ is the combined numerator, over $(x+7)(x+6)$.$3\times2+4\times3+x(x-1)$ คือเศษรวม โดยมีตัวส่วนเป็น $(x+7)(x+6)$
Solve $5x^{2}-47x+18=0$.
จงแก้สมการ $5x^{2}-47x+18=0$
Answershow ▾
Check by expanding: $(x-9)(5x-2)$ gives $-2x-45x=-47x$.ตรวจโดยกระจายกลับ: $(x-9)(5x-2)$ ได้ $-2x-45x=-47x$
Solving $5x^{2}-47x+18=0$ gives $x=9$ or $x=0.4$, where $x$ is the number of orange beads. Which value is possible?
(A) $x=0.4$, since it is closer to $0$ orange beads
(B) $x=9$, since $x$ must be a whole number
(C) both values, since the equation has two roots
การแก้สมการ $5x^{2}-47x+18=0$ ได้ $x=9$ หรือ $x=0.4$ โดย $x$ คือจำนวนลูกปัดสีส้ม ค่าไหนเป็นไปได้
(A) $x=0.4$ เพราะใกล้เคียงกับลูกปัดส้ม $0$ เม็ด
(B) $x=9$ เพราะ $x$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม
(C) ทั้งสองค่า เพราะสมการมีสองคำตอบ
Answershow ▾
(A) beads cannot be fractional, no matter how close to $0$. (C) a bag cannot hold $0.4$ of a bead, so one root must be rejected.(A) ลูกปัดเป็นเศษส่วนไม่ได้ ไม่เกี่ยวกับความใกล้เคียงกับ $0$ (C) ถุงมีลูกปัด $0.4$ เม็ดไม่ได้ จึงต้องตัดคำตอบหนึ่งทิ้ง
With $x=9$ orange beads, there are $16$ beads in total. Check that $P(\text{same colour})=\dfrac{3}{8}$.
เมื่อ $x=9$ จะมีลูกปัดส้ม $9$ เม็ด และลูกปัดทั้งหมด $16$ เม็ด จงตรวจว่าความน่าจะเป็นของสีเดียวกันเท่ากับ $\dfrac{3}{8}$
Answershow ▾
Add the three same-colour probabilities with the real numbers in.บวกความน่าจะเป็นสีเดียวกันทั้งสาม โดยแทนจำนวนจริง
A bag has $3$ red beads, $1$ blue bead, and $x$ green beads. Two are taken without replacement. The probability of taking two beads of the same colour is $\dfrac{3}{10}$. Find the total number of beads.
ถุงมีลูกปัดสีแดง $3$ เม็ด สีน้ำเงิน $1$ เม็ด และลูกปัดสีเขียว $x$ เม็ด หยิบสองเม็ดโดยไม่ใส่คืน ความน่าจะเป็นที่จะได้สีเดียวกัน $1$ คู่คือ $\dfrac{3}{10}$ จงหาจำนวนลูกปัดทั้งหมด
Answershow ▾
Same method: set up with $x$, cross-multiply, factorise, then reject the fraction.วิธีเดิม: ตั้งสมการด้วย $x$ คูณไขว้ แยกตัวประกอบ แล้วตัดคำตอบที่เป็นเศษส่วนทิ้ง
In a bag, there are only
$3$ blue beads
$4$ white beads
and $x$ orange beads
Jean is going to take at random two beads from the bag.
The probability that Jean will take two beads of the same colour is $\dfrac{3}{8}$
Find the total number of beads in the bag.
Show clear algebraic working.
ในถุงมีเฉพาะ
ลูกปัดสีน้ำเงิน $3$ เม็ด
ลูกปัดสีขาว $4$ เม็ด
และลูกปัดสีส้ม $x$ เม็ด
ยีนจะสุ่มหยิบลูกปัดสองเม็ดจากถุง
ความน่าจะเป็นที่ยีนจะหยิบได้ลูกปัดสีเดียวกันสองเม็ดคือ $\dfrac{3}{8}$
จงหาจำนวนลูกปัดทั้งหมดในถุง
แสดงวิธีทำเชิงพีชคณิตให้ชัดเจน
Answershow ▾
4 marks: set up the same-colour equation, form the quadratic, solve it, then reject $0.4$ and total the beads.4 คะแนน: ตั้งสมการสีเดียวกัน จัดเป็นสมการกำลังสอง แก้สมการ แล้วตัด $0.4$ ทิ้งก่อนรวมลูกปัด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\dfrac{x^{2}-x+18}{(x+7)(x+6)}=\dfrac{3}{8}$
M1 expand to a quadraticกระจายเป็นสมการกำลังสอง
$5x^{2}-47x+18=0$
M1 solve the quadraticแก้สมการกำลังสอง
$x=9\text{ or }x=0.4$
A1 reject 0.4, total the beadsตัด 0.4 ทิ้ง แล้วรวมลูกปัด
$7+9=16$
Same colour twice, find n สีเดียวกันสองครั้ง หา n
A bag contains $n$ beads.
$6$ of the beads are red and the rest are blue.
Ravi is going to take at random $2$ beads from the bag.
The probability that the $2$ beads will be of the same colour is $\dfrac{9}{17}$
Using algebra, and showing each stage of your working, calculate the value of $n$.
ในถุงมีลูกปัด $n$ เม็ด
$6$ เม็ดเป็นสีแดง ที่เหลือเป็นสีน้ำเงิน
ราวีจะสุ่มหยิบลูกปัด $2$ เม็ดจากถุง
ความน่าจะเป็นที่ลูกปัด $2$ เม็ดจะเป็นสีเดียวกันคือ $\dfrac{9}{17}$
จงใช้พีชคณิตและแสดงทุกขั้นตอน คำนวณหาค่าของ $n$
A bag has $n$ beads. One bead is taken out and not replaced. Write an expression for how many beads remain, for the second pick.
ถุงมีลูกปัด $n$ เม็ด หยิบออกหนึ่งเม็ดโดยไม่ใส่คืน จงเขียนนิพจน์แสดงจำนวนลูกปัดที่เหลือ สำหรับการหยิบครั้งที่สอง
Answershow ▾
Without replacement, the total drops by $1$ for the second pick.ไม่ใส่คืน จำนวนรวมลดลง $1$ สำหรับการหยิบครั้งที่สอง
A bag has $n$ beads in total, and $6$ of them are red. Write an expression for the number of blue beads.
ถุงมีลูกปัดทั้งหมด $n$ เม็ด และ $6$ เม็ดเป็นสีแดง จงเขียนนิพจน์แสดงจำนวนลูกปัดสีน้ำเงิน
Answershow ▾
The total minus the red count leaves the blue count.จำนวนรวม ลบ จำนวนสีแดง เหลือจำนวนสีน้ำเงิน
Cross-multiply to form an equation from $\dfrac{y}{n(n-1)}=\dfrac{9}{17}$.
จงคูณไขว้เพื่อตั้งสมการจาก $\dfrac{y}{n(n-1)}=\dfrac{9}{17}$
Answershow ▾
Cross-multiply by multiplying each side by both denominators.คูณไขว้ โดยคูณแต่ละข้างด้วยตัวส่วนทั้งสอง
The $2$ beads are the same colour if they are Red-Red, OR Blue-Blue. How should the two pair-counts be combined?
(A) multiply them together
(B) add them together
(C) use only the red-red count, since red is named first
ลูกปัด $2$ เม็ดเป็นสีเดียวกัน ถ้าเป็นแดง-แดง หรือ น้ำเงิน-น้ำเงิน ควรนำสองจำนวนคู่นี้มารวมกันอย่างไร
(A) คูณเข้าด้วยกัน
(B) บวกเข้าด้วยกัน
(C) ใช้แค่จำนวนคู่แดง-แดง เพราะพูดถึงสีแดงก่อน
Answershow ▾
(A) multiplying is for two things happening together; here it is one case OR the other, so add. (C) drops the blue-blue case, which is an equally valid way to get the same colour.(A) การคูณใช้กับสองเหตุการณ์ที่เกิดร่วมกัน แต่นี่คือเกิดกรณีหนึ่ง หรือ อีกกรณีหนึ่ง จึงต้องบวก (C) ตัดกรณีน้ำเงิน-น้ำเงินทิ้ง ซึ่งก็ทำให้ได้สีเดียวกันได้เหมือนกัน
The bag has $6$ red beads. Write the number of ways to pick $2$ red beads, without replacement, as a product.
ถุงมีลูกปัดสีแดง $6$ เม็ด จงเขียนจำนวนวิธีหยิบลูกปัดสีแดง $2$ เม็ด โดยไม่ใส่คืน ในรูปการคูณ
Answershow ▾
The first pick is from $6$ red, the second from the $5$ red left.หยิบครั้งแรกจากสีแดง $6$ เม็ด ครั้งที่สองจากสีแดงที่เหลือ $5$ เม็ด
The bag has $n-6$ blue beads. Write the number of ways to pick $2$ blue beads, without replacement, as a product. Do not expand it.
ถุงมีลูกปัดสีน้ำเงิน $n-6$ เม็ด จงเขียนจำนวนวิธีหยิบลูกปัดสีน้ำเงิน $2$ เม็ด โดยไม่ใส่คืน ในรูปการคูณ ยังไม่ต้องกระจาย
Answershow ▾
The first pick is from $n-6$ blue, the second from one fewer blue.หยิบครั้งแรกจากสีน้ำเงิน $n-6$ เม็ด ครั้งที่สองจากสีน้ำเงินที่น้อยลงหนึ่งเม็ด
Show that $\dfrac{30+(n-6)(n-7)}{n(n-1)}=\dfrac{9}{17}$ becomes $2n^{2}-53n+306=0$.
จงแสดงว่า $\dfrac{30+(n-6)(n-7)}{n(n-1)}=\dfrac{9}{17}$ จัดรูปได้เป็น $2n^{2}-53n+306=0$
Answershow ▾
Cross-multiply, expand both brackets, then collect every term on one side.คูณไขว้ กระจายวงเล็บทั้งสองฝั่ง แล้วรวมทุกพจน์ไว้ข้างเดียว
Solve $2n^{2}-53n+306=0$.
จงแก้สมการ $2n^{2}-53n+306=0$
Answershow ▾
Check by expanding: $(2n-17)(n-18)$ gives $-36n-17n=-53n$.ตรวจโดยกระจายกลับ: $(2n-17)(n-18)$ ได้ $-36n-17n=-53n$
Solving $2n^{2}-53n+306=0$ gives $n=8.5$ or $n=18$, where $n$ is the number of beads. Which value is possible?
(A) $n=8.5$, since it rounds close to a whole number
(B) $n=18$, since $n$ must be a whole number
(C) both values, since the equation has two roots
การแก้สมการ $2n^{2}-53n+306=0$ ได้ $n=8.5$ หรือ $n=18$ โดย $n$ คือจำนวนลูกปัด ค่าไหนเป็นไปได้
(A) $n=8.5$ เพราะใกล้เคียงจำนวนเต็ม
(B) $n=18$ เพราะ $n$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม
(C) ทั้งสองค่า เพราะสมการมีสองคำตอบ
Answershow ▾
(A) beads cannot be half a bead, no matter how close $8.5$ is to a whole number. (C) a bag cannot hold half a bead, so one root must be rejected.(A) ลูกปัดเป็นเศษส่วนไม่ได้ ไม่เกี่ยวกับความใกล้เคียงจำนวนเต็ม (C) ถุงมีลูกปัดครึ่งเม็ดไม่ได้ จึงต้องตัดคำตอบหนึ่งทิ้ง
Using $n=18$, check that the probability of same colour is $\dfrac{9}{17}$.
ใช้ $n=18$ จงตรวจว่าความน่าจะเป็นที่ได้สีเดียวกันคือ $\dfrac{9}{17}$
Answershow ▾
The same-colour count over the total pair-count must reduce to $\dfrac{9}{17}$.จำนวนคู่สีเดียวกัน หารด้วยจำนวนคู่ทั้งหมด ต้องลดรูปได้เป็น $\dfrac{9}{17}$
A bag has $2$ red beads and $n$ beads altogether. The rest are blue. The probability that $2$ beads taken at random are the same colour is $\dfrac{2}{5}$. Using algebra, find $n$.
ถุงมีลูกปัดสีแดง $2$ เม็ด และลูกปัดทั้งหมด $n$ เม็ด ที่เหลือเป็นสีน้ำเงิน ความน่าจะเป็นที่ลูกปัด $2$ เม็ดที่สุ่มหยิบเป็นสีเดียวกันคือ $\dfrac{2}{5}$ จงใช้พีชคณิตหาค่า $n$
Answershow ▾
Same method: count the pairs, add, set equal to the given probability, then reject the fraction root.วิธีเดิม: นับจำนวนคู่ บวกกัน ตั้งให้เท่ากับความน่าจะเป็นที่กำหนด แล้วตัดคำตอบที่เป็นเศษส่วนทิ้ง
A bag contains $n$ beads.
$6$ of the beads are red and the rest are blue.
Ravi is going to take at random $2$ beads from the bag.
The probability that the $2$ beads will be of the same colour is $\dfrac{9}{17}$
Using algebra, and showing each stage of your working, calculate the value of $n$.
ในถุงมีลูกปัด $n$ เม็ด
$6$ เม็ดเป็นสีแดง ที่เหลือเป็นสีน้ำเงิน
ราวีจะสุ่มหยิบลูกปัด $2$ เม็ดจากถุง
ความน่าจะเป็นที่ลูกปัด $2$ เม็ดจะเป็นสีเดียวกันคือ $\dfrac{9}{17}$
จงใช้พีชคณิตและแสดงทุกขั้นตอน คำนวณหาค่าของ $n$
Answershow ▾
6 marks: count the same-colour pairs, form the quadratic, solve it, then reject the non-integer root.6 คะแนน: นับจำนวนคู่สีเดียวกัน ตั้งสมการกำลังสอง แก้สมการ แล้วตัดคำตอบที่ไม่ใช่จำนวนเต็มทิ้ง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$30+(n-6)(n-7)$
M1 set up the equationตั้งสมการ
$\dfrac{30+(n-6)(n-7)}{n(n-1)}=\dfrac{9}{17}$
M1 expand both sidesกระจายทั้งสองข้าง
$17(n^{2}-13n+72)=9n^{2}-9n$
M1 collect to a quadraticรวมเป็นสมการกำลังสอง
$8n^{2}-212n+1224=0$
M1 simplify and solveตัดตัวร่วมแล้วแก้สมการ
$2n^{2}-53n+306=0$
$n=18\text{ or }n=8.5$
A1 reject 8.5ตัด 8.5 ทิ้ง
$n=18$
A with-replacement tree, same bag twice ต้นไม้แบบใส่คืน ถุงเดิมสองครั้ง
(a) Hector has a bag that contains $12$ counters.
There are $7$ green counters and $5$ red counters in the bag.
Hector takes at random a counter from the bag. He looks at the counter and puts the counter back into the bag.
Hector then takes at random a second counter from the bag. He looks at the counter and puts the counter back into the bag.
Complete the probability tree diagram.
(b) Work out the probability that both counters are red.
(c) Meghan has a jar containing $15$ counters.
There are only blue counters, green counters and red counters in the jar.
Hector is going to take at random one of the counters from his bag of $12$ counters. He will look at the counter and put the counter back into the bag.
Hector is then going to take at random a second counter from his bag. He will look at the counter and put the counter back into the bag.
Meghan is then going to take at random one of the counters from her jar of counters. She will look at the counter and put the counter back into the jar.
The probability that the $3$ counters each have a different colour is $\dfrac{7}{24}$
Work out how many blue counters there are in the jar.
(ก) เฮคเตอร์มีถุงที่บรรจุเคาน์เตอร์ $12$ ชิ้น
เป็นสีเขียว $7$ ชิ้น และสีแดง $5$ ชิ้น
เฮคเตอร์สุ่มหยิบเคาน์เตอร์จากถุงหนึ่งชิ้น ดูสีแล้วใส่กลับคืนถุง
จากนั้นเฮคเตอร์สุ่มหยิบเคาน์เตอร์ชิ้นที่สอง ดูสีแล้วใส่กลับคืนถุง
จงเติมแผนภาพต้นไม้ให้สมบูรณ์
(ข) จงหาความน่าจะเป็นที่เคาน์เตอร์ทั้งสองชิ้นเป็นสีแดง
(ค) เมแกนมีโถที่บรรจุเคาน์เตอร์ $15$ ชิ้น
ในโถมีเฉพาะสีน้ำเงิน สีเขียว และสีแดงเท่านั้น
เฮคเตอร์จะสุ่มหยิบเคาน์เตอร์จากถุง $12$ ชิ้นของเขาหนึ่งชิ้น ดูสีแล้วใส่กลับคืนถุง
จากนั้นเฮคเตอร์จะสุ่มหยิบเคาน์เตอร์ชิ้นที่สองจากถุงของเขา ดูสีแล้วใส่กลับคืนถุง
จากนั้นเมแกนจะสุ่มหยิบเคาน์เตอร์จากโถของเธอหนึ่งชิ้น ดูสีแล้วใส่กลับคืนโถ
ความน่าจะเป็นที่เคาน์เตอร์ทั้ง $3$ ชิ้นเป็นคนละสีกันคือ $\dfrac{7}{24}$
จงหาว่าในโถมีเคาน์เตอร์สีน้ำเงินกี่ชิ้น
A bag has $12$ counters: $7$ green and $5$ red. Find the probability of taking a red counter.
ถุงมีเคาน์เตอร์ $12$ ชิ้น เขียว $7$ แดง $5$ จงหาความน่าจะเป็นที่หยิบได้สีแดง
Answershow ▾
Red counters over the total number of counters.จำนวนสีแดง หารด้วยจำนวนเคาน์เตอร์ทั้งหมด
A bag has $12$ counters. One is taken, looked at, then put back. How many counters are in the bag for the next pick?
ถุงมีเคาน์เตอร์ $12$ ชิ้น หยิบมาหนึ่งชิ้น ดูแล้วใส่กลับคืนถุง จะมีเคาน์เตอร์กี่ชิ้นสำหรับการหยิบครั้งต่อไป
Answershow ▾
Putting the counter back means nothing is missing - the bag resets.ใส่เคาน์เตอร์กลับคืน แปลว่าไม่มีอะไรหายไป ถุงกลับสู่สภาพเดิม
A bag has $12$ counters: $7$ green and $5$ red. Find the probability of taking a green counter.
ถุงมีเคาน์เตอร์ $12$ ชิ้น เขียว $7$ แดง $5$ จงหาความน่าจะเป็นที่หยิบได้สีเขียว
Answershow ▾
Green counters over the total - or $1$ minus the answer to question $1$.จำนวนสีเขียว หารด้วยจำนวนทั้งหมด หรือ $1$ ลบคำตอบข้อ $1$
The tree has a second pick, with replacement. Pick the correct branches for it.
(A) $\dfrac{7}{11},\dfrac{5}{11}$
(B) $\dfrac{7}{12},\dfrac{5}{12}$
(C) $\dfrac{7}{24},\dfrac{5}{24}$
กิ่งการหยิบครั้งที่สอง แบบใส่คืน จงเลือกกิ่งที่ถูกต้อง
(A) $\dfrac{7}{11},\dfrac{5}{11}$
(B) $\dfrac{7}{12},\dfrac{5}{12}$
(C) $\dfrac{7}{24},\dfrac{5}{24}$
Answershow ▾
(A) uses $11$, the denominator for a bag with nothing put back - but this counter WAS replaced, so the bag is still $12$. (C) halves the fractions for no reason; the bag is not shared between picks.(A) ใช้ส่วน $11$ ซึ่งเป็นกรณีไม่ใส่คืน แต่เคาน์เตอร์นี้ถูกใส่คืนแล้ว ถุงจึงยังเป็น $12$ เหมือนเดิม · (C) หารเศษส่วนด้วย $2$ โดยไม่มีเหตุผล ถุงไม่ได้ถูกแบ่งระหว่างการหยิบสองครั้ง
Write the probability of green and of red for the first pick.
จงเขียนความน่าจะเป็นของสีเขียวและสีแดง สำหรับการหยิบครั้งแรกของเฮคเตอร์
Answershow ▾
Same values as questions $1$ and $3$, now on the real tree.ค่าเดียวกับข้อ $1$ และ $3$ แต่อยู่บนต้นไม้จริง
The counter is replaced before the second pick. Write the probability of green and of red for this pick.
เคาน์เตอร์ถูกใส่กลับคืนก่อนหยิบครั้งที่สอง จงเขียนความน่าจะเป็นของสีเขียวและสีแดง สำหรับการหยิบครั้งนี้
Answershow ▾
Same as the first pick - the decision above: replacement keeps the bag at $12$.เหมือนการหยิบครั้งแรก ตามที่เลือกไว้ด้านบน: ใส่คืนแล้ว ถุงยังเป็น $12$
Work out $\dfrac{5}{12}\times\dfrac{5}{12}$, multiplying along "red" then "red".
จงคำนวณ $\dfrac{5}{12}\times\dfrac{5}{12}$ โดยคูณตามกิ่ง "แดง" แล้ว "แดง"
Answershow ▾
Both picks must be red, so multiply along one branch - the AND rule.ต้องเป็นสีแดงทั้งสองครั้ง จึงคูณตามกิ่งเดียว นี่คือกฎ AND
Work out the probability that the two picks are one green and one red, in either order.
จงหาความน่าจะเป็นที่การหยิบสองครั้งของเฮคเตอร์ได้สีเขียวหนึ่งชิ้นและสีแดงหนึ่งชิ้น ไม่ว่าลำดับใด
Answershow ▾
Two routes give this: green-then-red or red-then-green, so double the one branch.มีสองเส้นทางที่ให้ผลนี้: เขียวแล้วแดง หรือแดงแล้วเขียว จึงคูณกิ่งเดียวแล้วเอาสองเท่า
Check: do $P(\text{GG})=\dfrac{49}{144}$, $P(\text{one of each})=\dfrac{35}{72}$ and $P(\text{RR})=\dfrac{25}{144}$ add to $1$?
จงตรวจ: $P(GG)=\dfrac{49}{144}$, ความน่าจะเป็นได้สีละหนึ่ง $=\dfrac{35}{72}$ และ $P(RR)=\dfrac{25}{144}$ รวมกันได้ $1$ หรือไม่
Answershow ▾
Every possible pair of outcomes must add to $1$ - this catches a wrong branch early.ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดต้องรวมกันได้ $1$ ซึ่งช่วยจับกิ่งที่ผิดได้ตั้งแต่ต้น
Meghan picks one counter from her jar of $15$ after the two picks from the bag. All $3$ must be different colours. Pick the correct equation for $b$, the number of blue counters.
(A) $\dfrac{35}{72}+\dfrac{b}{15}=\dfrac{7}{24}$
(B) $\dfrac{35}{72}\times\dfrac{b}{15}=\dfrac{7}{24}$
(C) $\dfrac{35}{72}\times\dfrac{15}{b}=\dfrac{7}{24}$
เมแกนหยิบเคาน์เตอร์หนึ่งชิ้นจากโถ $15$ ชิ้น หลังจากเฮคเตอร์หยิบสองครั้ง ทั้ง $3$ ชิ้นต้องเป็นคนละสีกัน จงเลือกสมการที่ถูกต้องสำหรับ $b$ จำนวนเคาน์เตอร์สีน้ำเงิน
(A) $\dfrac{35}{72}+\dfrac{b}{15}=\dfrac{7}{24}$
(B) $\dfrac{35}{72}\times\dfrac{b}{15}=\dfrac{7}{24}$
(C) $\dfrac{35}{72}\times\dfrac{15}{b}=\dfrac{7}{24}$
Answershow ▾
(A) adds the two probabilities, which treats Hector and Meghan as separate routes - both events must happen together, so they multiply. (C) puts $b$ in the denominator, which is $P(\text{blue})$ upside down.(A) บวกความน่าจะเป็นสองค่า ซึ่งถือว่าเป็นเส้นทางที่แยกกัน แต่ทั้งสองเหตุการณ์ต้องเกิดพร้อมกัน จึงต้องคูณ · (C) เอา $b$ ไปไว้ส่วนล่าง ซึ่งเป็นความน่าจะเป็นสีน้ำเงินที่กลับหัวกลับหาง
A bag has $8$ counters: $5$ blue and $3$ yellow. Two are taken, with replacement.
(a) Write the probability of blue and of yellow, for each pick.
(b) Work out the probability that both counters are yellow.
(c) A jar has $10$ counters, with only red, blue and yellow counters. One counter is taken from the jar. The probability that the $3$ counters (the $2$ from the bag and the $1$ from the jar) are each a different colour is $\dfrac{3}{8}$. Work out how many red counters are in the jar.
ถุงมีเคาน์เตอร์ $8$ ชิ้น น้ำเงิน $5$ เหลือง $3$ หยิบสองชิ้นแบบใส่คืน
(ก) จงเขียนความน่าจะเป็นของสีน้ำเงินและสีเหลือง สำหรับการหยิบแต่ละครั้ง
(ข) จงหาความน่าจะเป็นที่เคาน์เตอร์ทั้งสองชิ้นเป็นสีเหลือง
(ค) โถมีเคาน์เตอร์ $10$ ชิ้น มีเฉพาะสีแดง สีน้ำเงิน และสีเหลืองเท่านั้น หยิบเคาน์เตอร์จากโถหนึ่งชิ้น ความน่าจะเป็นที่เคาน์เตอร์ทั้ง $3$ ชิ้น ($2$ ชิ้นจากถุง และ $1$ ชิ้นจากโถ) เป็นคนละสีกันคือ $\dfrac{3}{8}$ จงหาว่าในโถมีเคาน์เตอร์สีแดงกี่ชิ้น
Answershow ▾
Same four moves: branches stay the same with replacement, multiply along, double for either order, then solve the equation.สี่ขั้นเดิม: กิ่งเหมือนเดิมเพราะใส่คืน คูณตามกิ่ง เอาสองเท่าสำหรับลำดับที่สลับได้ แล้วแก้สมการ
(a) Hector has a bag that contains $12$ counters.
There are $7$ green counters and $5$ red counters in the bag.
Hector takes at random a counter from the bag. He looks at the counter and puts the counter back into the bag.
Hector then takes at random a second counter from the bag. He looks at the counter and puts the counter back into the bag.
Complete the probability tree diagram.
(b) Work out the probability that both counters are red.
(c) Meghan has a jar containing $15$ counters.
There are only blue counters, green counters and red counters in the jar.
Hector is going to take at random one of the counters from his bag of $12$ counters. He will look at the counter and put the counter back into the bag.
Hector is then going to take at random a second counter from his bag. He will look at the counter and put the counter back into the bag.
Meghan is then going to take at random one of the counters from her jar of counters. She will look at the counter and put the counter back into the jar.
The probability that the $3$ counters each have a different colour is $\dfrac{7}{24}$
Work out how many blue counters there are in the jar.
(ก) เฮคเตอร์มีถุงที่บรรจุเคาน์เตอร์ $12$ ชิ้น
เป็นสีเขียว $7$ ชิ้น และสีแดง $5$ ชิ้น
เฮคเตอร์สุ่มหยิบเคาน์เตอร์จากถุงหนึ่งชิ้น ดูสีแล้วใส่กลับคืนถุง
จากนั้นเฮคเตอร์สุ่มหยิบเคาน์เตอร์ชิ้นที่สอง ดูสีแล้วใส่กลับคืนถุง
จงเติมแผนภาพต้นไม้ให้สมบูรณ์
(ข) จงหาความน่าจะเป็นที่เคาน์เตอร์ทั้งสองชิ้นเป็นสีแดง
(ค) เมแกนมีโถที่บรรจุเคาน์เตอร์ $15$ ชิ้น
ในโถมีเฉพาะสีน้ำเงิน สีเขียว และสีแดงเท่านั้น
เฮคเตอร์จะสุ่มหยิบเคาน์เตอร์จากถุง $12$ ชิ้นของเขาหนึ่งชิ้น ดูสีแล้วใส่กลับคืนถุง
จากนั้นเฮคเตอร์จะสุ่มหยิบเคาน์เตอร์ชิ้นที่สองจากถุงของเขา ดูสีแล้วใส่กลับคืนถุง
จากนั้นเมแกนจะสุ่มหยิบเคาน์เตอร์จากโถของเธอหนึ่งชิ้น ดูสีแล้วใส่กลับคืนโถ
ความน่าจะเป็นที่เคาน์เตอร์ทั้ง $3$ ชิ้นเป็นคนละสีกันคือ $\dfrac{7}{24}$
จงหาว่าในโถมีเคาน์เตอร์สีน้ำเงินกี่ชิ้น
Answershow ▾
7 marks across three parts. The with-replacement branches never shrink the $12$.7 คะแนน กระจายอยู่ 3 ส่วน กิ่งแบบใส่คืนไม่ทำให้ $12$ หดลง
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\dfrac{7}{12},\;\dfrac{5}{12}$
B1 second pick branches (with replacement)กิ่งการหยิบครั้งที่สอง (ใส่คืนแล้ว)
$\dfrac{7}{12},\;\dfrac{5}{12}$
M1 multiply along red-redคูณตามกิ่งแดง-แดง
$\dfrac{5}{12}\times\dfrac{5}{12}$
A1 probability both redความน่าจะเป็นแดงทั้งสอง
$=\dfrac{25}{144}$
M1 P(one green, one red) for HectorP(เขียวหนึ่ง แดงหนึ่ง) ของเฮคเตอร์
$2\times\dfrac{7}{12}\times\dfrac{5}{12}$
$=\dfrac{35}{72}$
M1 equation for Meghan's blue countตั้งสมการหาจำนวนสีน้ำเงิน
$\dfrac{35}{72}\times\dfrac{b}{15}$
$=\dfrac{7}{24}$
A1 solve for bแก้หา b
$b=9$
Two bags, one probability tree สองถุง ต้นไม้เดียว
(a) Cody has two bags of counters, bag $A$ and bag $B$.
Each of the counters has either an odd number or an even number written on it.
There are $10$ counters in bag $A$ and $7$ of these counters have an odd number written on them.
There are $12$ counters in bag $B$ and $7$ of these counters have an odd number written on them.
Cody is going to take at random a counter from bag $A$ and a counter from bag $B$.
Complete the probability tree diagram.
(b) Calculate the probability that the total of the numbers on the two counters will be an odd number.
(c) Harriet also has a bag of counters.
Each of her counters also has either an odd number or an even number written on it.
Harriet is going to take at random a counter from her bag of counters.
The probability that the number on each of Cody's two counters and the number on Harriet's counter will all be even is $\dfrac{3}{100}$
Find the least number of counters that Harriet has in her bag.
Show your working clearly.
(ก) โคดีมีถุงเคาน์เตอร์สองใบ คือถุง $A$ และถุง $B$
เคาน์เตอร์แต่ละชิ้นมีตัวเลขคี่หรือคู่เขียนอยู่หนึ่งอย่าง
ถุง $A$ มีเคาน์เตอร์ $10$ ชิ้น เป็นเลขคี่ $7$ ชิ้น
ถุง $B$ มีเคาน์เตอร์ $12$ ชิ้น เป็นเลขคี่ $7$ ชิ้น
โคดีจะสุ่มหยิบเคาน์เตอร์จากถุง $A$ หนึ่งชิ้น และจากถุง $B$ หนึ่งชิ้น
จงเติมแผนภาพต้นไม้ให้สมบูรณ์
(ข) จงหาความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเลขบนเคาน์เตอร์ทั้งสองชิ้นเป็นเลขคี่
(ค) แฮเรียตก็มีถุงเคาน์เตอร์เช่นกัน
เคาน์เตอร์ของเธอแต่ละชิ้นก็มีตัวเลขคี่หรือคู่เขียนอยู่หนึ่งอย่าง
แฮเรียตจะสุ่มหยิบเคาน์เตอร์จากถุงของเธอหนึ่งชิ้น
ความน่าจะเป็นที่ตัวเลขบนเคาน์เตอร์ทั้งสองชิ้นของโคดี และตัวเลขบนเคาน์เตอร์ของแฮเรียต เป็นเลขคู่ทั้งหมดคือ $\dfrac{3}{100}$
จงหาจำนวนเคาน์เตอร์ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ในถุงของแฮเรียต
แสดงวิธีทำให้ชัดเจน
Bag $A$ has $10$ counters. $7$ of them have an odd number on them. Write the probability of taking an odd counter from bag $A$.
ถุง $A$ มีเคาน์เตอร์ $10$ ชิ้น เป็นเลขคี่ $7$ ชิ้น จงหาความน่าจะเป็นที่หยิบได้เคาน์เตอร์เลขคี่จากถุง $A$
Answershow ▾
Probability is the odd counters over the total counters.ความน่าจะเป็นคือจำนวนเคาน์เตอร์เลขคี่ หารด้วยจำนวนทั้งหมด
The probability of odd from bag $A$ is $\dfrac{7}{10}$. Write the probability of even.
ความน่าจะเป็นที่หยิบได้เลขคี่จากถุง $A$ คือ $\dfrac{7}{10}$ จงหาความน่าจะเป็นที่หยิบได้เลขคู่
Answershow ▾
Odd and even are the only two options, so subtract from $1$.คี่กับคู่เป็นไปได้สองทางเท่านั้น จึงนำไปลบออกจาก $1$
Solve $\dfrac{1}{8}\times y=\dfrac{3}{100}$ for $y$.
จงแก้สมการ $\dfrac{1}{8}\times y=\dfrac{3}{100}$ หา $y$
Answershow ▾
Multiplying both sides by $8$ undoes multiplying by $\dfrac{1}{8}$.คูณทั้งสองข้างด้วย $8$ จะย้อนการคูณด้วย $\dfrac{1}{8}$
Bag $A$ has $10$ counters, $7$ odd. Bag $B$ has $12$ counters, $7$ odd. To fill bag $B$ branches on the tree, which counts do you use?
(A) bag $A$ counts: $10$ total, $7$ odd
(B) bag $B$ own counts: $12$ total, $7$ odd
(C) both bags combined: $22$ total, $14$ odd
ถุง $A$ มีเคาน์เตอร์ $10$ ชิ้น เป็นเลขคี่ $7$ ชิ้น ถุง $B$ มีเคาน์เตอร์ $12$ ชิ้น เป็นเลขคี่ $7$ ชิ้น เพื่อเติมกิ่งของถุง $B$ บนต้นไม้ ควรใช้จำนวนใด
(A) จำนวนของถุง $A$: รวม $10$ คี่ $7$
(B) จำนวนของถุง $B$ เอง: รวม $12$ คี่ $7$
(C) รวมสองถุงเข้าด้วยกัน: รวม $22$ คี่ $14$
Answershow ▾
(A) uses bag A numbers for a bag B branch - wrong bag. (C) treats both bags as one pool of $22$, right only for ONE bag; here there are two bags, each keeping its own total.(A) ใช้จำนวนของถุง $A$ กับกิ่งของถุง $B$ ซึ่งเป็นถุงที่ผิด · (C) รวมสองถุงเป็นหนึ่งเดียวขนาด $22$ ซึ่งถูกเฉพาะกรณีหยิบเคาน์เตอร์หนึ่งชิ้นจากถุงเดียว แต่ที่นี่หยิบจากสองถุงที่แยกกัน จึงต้องใช้จำนวนรวมของถุงตนเอง
Bag $A$ has $10$ counters, $7$ of them odd. Write the probability of odd then the probability of even, for the two bag $A$ branches.
ถุง $A$ มีเคาน์เตอร์ $10$ ชิ้น เป็นเลขคี่ $7$ ชิ้น จงหาความน่าจะเป็นของกิ่งคี่ แล้วกิ่งคู่ ของถุง $A$
Answershow ▾
The first branch uses the counts given; the second is its complement.กิ่งแรกใช้จำนวนที่กำหนด กิ่งที่สองคือส่วนเติมเต็มของกิ่งแรก
Bag $B$ has $12$ counters, $7$ of them odd. Write the probability of odd then the probability of even, for the two bag $B$ branches.
ถุง $B$ มีเคาน์เตอร์ $12$ ชิ้น เป็นเลขคี่ $7$ ชิ้น จงหาความน่าจะเป็นของกิ่งคี่ แล้วกิ่งคู่ ของถุง $B$
Answershow ▾
Bag $B$ has its own total, $12$, not bag A $10$.ถุง $B$ มีจำนวนรวมของตัวเอง คือ $12$ ไม่ใช่ $10$ ของถุง $A$
Work out the probability that bag $A$ gives odd and bag $B$ gives even: $\dfrac{7}{10}\times\dfrac{5}{12}$.
จงหาความน่าจะเป็นที่ถุง $A$ ได้คี่ และถุง $B$ ได้คู่: $\dfrac{7}{10}\times\dfrac{5}{12}$
Answershow ▾
Both must happen, so multiply along one path of the tree.ต้องเกิดทั้งสองอย่าง จึงคูณตามกิ่งเดียวของต้นไม้
For the total to be odd, one counter is odd and the other even. Pick the correct way to combine the two paths.
(A) $\dfrac{7}{10}\times\dfrac{7}{12}$ only
(B) $\dfrac{7}{10}\times\dfrac{5}{12}+\dfrac{3}{10}\times\dfrac{7}{12}$
(C) $\dfrac{7}{10}\times\dfrac{5}{12}\times\dfrac{3}{10}\times\dfrac{7}{12}$
ผลรวมเป็นเลขคี่ได้เมื่อตัวหนึ่งคี่และอีกตัวคู่ จงเลือกวิธีรวมสองเส้นทางที่ถูกต้อง
(A) $\dfrac{7}{10}\times\dfrac{7}{12}$ เท่านั้น
(B) $\dfrac{7}{10}\times\dfrac{5}{12}+\dfrac{3}{10}\times\dfrac{7}{12}$
(C) $\dfrac{7}{10}\times\dfrac{5}{12}\times\dfrac{3}{10}\times\dfrac{7}{12}$
Answershow ▾
(A) multiplies two odd branches, giving both counters odd, not one of each. (C) multiplies all four numbers together - not a probability rule. Two separate paths give one odd and one even, so they are added, not merged.(A) คูณสองกิ่งคี่เข้าด้วยกัน ซึ่งได้เลขคี่ทั้งสองชิ้น ไม่ใช่อย่างละหนึ่ง · (C) คูณตัวเลขทั้งสี่เข้าด้วยกัน ซึ่งไม่ใช่กฎความน่าจะเป็น มีสองทางที่ได้อย่างละหนึ่ง จึงต้องบวกสองเส้นทางนั้น ไม่ใช่คูณรวม
Work out the other path, bag $A$ even and bag $B$ odd: $\dfrac{3}{10}\times\dfrac{7}{12}$. Then add it to $\dfrac{35}{120}$ to get the probability the total is odd.
จงหาเส้นทางอีกฝั่ง ถุง $A$ คู่และถุง $B$ คี่: $\dfrac{3}{10}\times\dfrac{7}{12}$ แล้วบวกกับ $\dfrac{35}{120}$ เพื่อหาความน่าจะเป็นที่ผลรวมเป็นเลขคี่
Answershow ▾
Add the two paths that give one odd and one even; that is the OR rule.บวกสองเส้นทางที่ได้อย่างละหนึ่ง นี่คือกฎ OR
Check: do all four paths through the tree, $\dfrac{49}{120}+\dfrac{15}{120}+\dfrac{35}{120}+\dfrac{21}{120}$, add up to $1$?
จงตรวจ: สี่เส้นทางของต้นไม้ $\dfrac{49}{120}+\dfrac{15}{120}+\dfrac{35}{120}+\dfrac{21}{120}$ รวมกันได้ $1$ หรือไม่
Answershow ▾
The four paths cover every outcome, so their probabilities must add to $1$.สี่เส้นทางครอบคลุมทุกความเป็นไปได้ จึงบวกกันได้ $1$
Bag $P$ has $5$ counters, $3$ odd. Bag $Q$ has $4$ counters, $1$ odd. One counter is taken from each bag. Work out the probability that the total is odd.
ถุง $P$ มีเคาน์เตอร์ $5$ ชิ้น เป็นเลขคี่ $3$ ชิ้น ถุง $Q$ มีเคาน์เตอร์ $4$ ชิ้น เป็นเลขคี่ $1$ ชิ้น หยิบเคาน์เตอร์จากแต่ละถุงหนึ่งชิ้น จงหาความน่าจะเป็นที่ผลรวมเป็นเลขคี่
Answershow ▾
Same two moves: multiply along each path, then add the two paths that give one odd and one even.สองขั้นเดิม: คูณตามแต่ละเส้นทาง แล้วบวกสองเส้นทางที่ได้อย่างละหนึ่ง
(a) Cody has two bags of counters, bag $A$ and bag $B$.
Each of the counters has either an odd number or an even number written on it.
There are $10$ counters in bag $A$ and $7$ of these counters have an odd number written on them.
There are $12$ counters in bag $B$ and $7$ of these counters have an odd number written on them.
Cody is going to take at random a counter from bag $A$ and a counter from bag $B$.
Complete the probability tree diagram.
(b) Calculate the probability that the total of the numbers on the two counters will be an odd number.
(c) Harriet also has a bag of counters.
Each of her counters also has either an odd number or an even number written on it.
Harriet is going to take at random a counter from her bag of counters.
The probability that the number on each of Cody's two counters and the number on Harriet's counter will all be even is $\dfrac{3}{100}$
Find the least number of counters that Harriet has in her bag.
Show your working clearly.
(ก) โคดีมีถุงเคาน์เตอร์สองใบ คือถุง $A$ และถุง $B$
เคาน์เตอร์แต่ละชิ้นมีตัวเลขคี่หรือคู่เขียนอยู่หนึ่งอย่าง
ถุง $A$ มีเคาน์เตอร์ $10$ ชิ้น เป็นเลขคี่ $7$ ชิ้น
ถุง $B$ มีเคาน์เตอร์ $12$ ชิ้น เป็นเลขคี่ $7$ ชิ้น
โคดีจะสุ่มหยิบเคาน์เตอร์จากถุง $A$ หนึ่งชิ้น และจากถุง $B$ หนึ่งชิ้น
จงเติมแผนภาพต้นไม้ให้สมบูรณ์
(ข) จงหาความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเลขบนเคาน์เตอร์ทั้งสองชิ้นเป็นเลขคี่
(ค) แฮเรียตก็มีถุงเคาน์เตอร์เช่นกัน
เคาน์เตอร์ของเธอแต่ละชิ้นก็มีตัวเลขคี่หรือคู่เขียนอยู่หนึ่งอย่าง
แฮเรียตจะสุ่มหยิบเคาน์เตอร์จากถุงของเธอหนึ่งชิ้น
ความน่าจะเป็นที่ตัวเลขบนเคาน์เตอร์ทั้งสองชิ้นของโคดี และตัวเลขบนเคาน์เตอร์ของแฮเรียต เป็นเลขคู่ทั้งหมดคือ $\dfrac{3}{100}$
จงหาจำนวนเคาน์เตอร์ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ในถุงของแฮเรียต
แสดงวิธีทำให้ชัดเจน
Answershow ▾
8 marks: $2$ for the tree, $3$ for adding the two paths, $3$ for forming and solving the equation for the least bag size.8 คะแนน: $2$ สำหรับต้นไม้ $3$ สำหรับบวกสองเส้นทาง และ $3$ สำหรับตั้งสมการแล้วแก้หาจำนวนถุงที่น้อยที่สุด
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$\dfrac{7}{10},\;\dfrac{3}{10}$
B1 bag B branchesกิ่งถุง B
$\dfrac{7}{12},\;\dfrac{5}{12}$
M1 P(odd, even)P(คี่ แล้วคู่)
$\dfrac{7}{10}\times\dfrac{5}{12}$
$=\dfrac{35}{120}$
M1 P(even, odd)P(คู่ แล้วคี่)
$\dfrac{3}{10}\times\dfrac{7}{12}$
$=\dfrac{21}{120}$
A1 add the two pathsบวกสองเส้นทาง
$\dfrac{35}{120}+\dfrac{21}{120}=\dfrac{7}{15}$
M1 P(both of Cody's are even)P(ของโคดีคู่ทั้งสอง)
$\dfrac{3}{10}\times\dfrac{5}{12}=\dfrac{1}{8}$
M1 form the equation for Harrietตั้งสมการหาของแฮเรียต
$\dfrac{1}{8}\times P(\text{even})$
$=\dfrac{3}{100}$
$P(\text{even})=\dfrac{6}{25}$
A1 least bag sizeจำนวนถุงที่น้อยที่สุด
$25$
Three circles, three counts to read สามวงเวนน์ อ่านสามค่า
(i) The Venn diagram shows a universal set, $\mathcal{E}$ and sets $A$, $B$ and $C$.
$12, 5, 9, 10, 6, 3, 4$ and $8$ represent the numbers of elements.
Find $n(A\cup B)$
(ii) Find $n(A'\cap B')$
(iii) Find $n([A\cap B]\cup C)$
(i) แผนภาพเวนน์แสดงเซตจักรวาล $\mathcal{E}$ และเซต $A$, $B$ และ $C$
$12, 5, 9, 10, 6, 3, 4$ และ $8$ แทนจำนวนสมาชิก
จงหา $n(A\cup B)$
(ii) จงหา $n(A'\cap B')$
(iii) จงหา $n([A\cap B]\cup C)$
Ignore $C$ for a moment. $A\;\text{only}=12$, $B\;\text{only}=9$, $A\cap B\;\text{only}=5$ (none in $C$). Find $n(A\cup B)$ for these three regions.
ลืม $C$ ไปก่อน · $A$ เท่านั้น $=12$ · $B$ เท่านั้น $=9$ · $A\cap B$ เท่านั้น $=5$ (ไม่มี $C$) · จงหา $n(A\cup B)$ ของสามบริเวณนี้
Answershow ▾
Every region that touches $A$ or $B$ gets added, even once.ทุกบริเวณที่แตะ $A$ หรือ $B$ ถูกบวกเข้าไปครั้งเดียว
$C\;\text{only}=4$ and outside all three $=8$. Both are outside $A$ and outside $B$. Find $n(A'\cap B')$.
$C$ เท่านั้น $=4$ และนอกทั้งสามวง $=8$ · ทั้งสองอยู่นอก $A$ และนอก $B$ · จงหา $n(A'\cap B')$
Answershow ▾
$C\;\text{only}$ has no $A$ and no $B$, even though it sits inside circle $C$.$C$ เท่านั้น ไม่มี $A$ และไม่มี $B$ ถึงแม้จะอยู่ในวง $C$ ก็ตาม
$C\;\text{only}=4$, $A\cap C\;\text{only}=10$, $B\cap C\;\text{only}=3$, $A\cap B\cap C=6$. Find $n(C)$.
$C$ เท่านั้น $=4$ · $A\cap C$ เท่านั้น $=10$ · $B\cap C$ เท่านั้น $=3$ · $A\cap B\cap C=6$ · จงหา $n(C)$
Answershow ▾
Every region inside circle $C$, added together.ทุกบริเวณที่อยู่ในวง $C$ นำมารวมกัน
To find $n([A\cap B]\cup C)$, pick the first move.
(A) add $n(A\cap B)$ and $n(C)$ directly
(B) add $n(C)$, then add the part of $A\cap B$ not already in $C$
(C) add only $C\;\text{only}$ and $A\cap B\;\text{only}$
หา $n([A\cap B]\cup C)$ · จงเลือกขั้นแรก
(A) บวก $n(A\cap B)$ กับ $n(C)$ ตรงๆ
(B) บวก $n(C)$ แล้วบวกส่วนของ $A\cap B$ ที่ยังไม่อยู่ใน $C$
(C) บวกแค่ $C$ เท่านั้น กับ $A\cap B$ เท่านั้น
Answershow ▾
(A) double-counts the centre $6$: it sits inside both $n(A\cap B)$ and $n(C)$. (C) misses $A\cap C\;\text{only}$, $B\cap C\;\text{only}$ and the centre, all inside $C$ too.(A) นับตรงกลาง $6$ ซ้ำ เพราะอยู่ในทั้ง $n(A\cap B)$ และ $n(C)$ · (C) ขาด $A\cap C$ เท่านั้น, $B\cap C$ เท่านั้น และตรงกลาง ซึ่งอยู่ใน $C$ ด้วยทั้งหมด
Using the diagram: $A\;\text{only}=12$, $B\;\text{only}=9$, $A\cap B\;\text{only}=5$, $A\cap C\;\text{only}=10$, $A\cap B\cap C=6$, $B\cap C\;\text{only}=3$. Find $n(A\cup B)$.
จากแผนภาพ: $A$ เท่านั้น $=12$ · $B$ เท่านั้น $=9$ · $A\cap B$ เท่านั้น $=5$ · $A\cap C$ เท่านั้น $=10$ · $A\cap B\cap C=6$ · $B\cap C$ เท่านั้น $=3$ · จงหา $n(A\cup B)$
Answershow ▾
Six regions touch $A$ or $B$; $C\;\text{only}$ and outside do not.หกบริเวณแตะ $A$ หรือ $B$ · ส่วน $C$ เท่านั้น กับข้างนอก ไม่แตะเลย
Using the diagram: $C\;\text{only}=4$, outside all three $=8$. Find $n(A'\cap B')$.
จากแผนภาพ: $C$ เท่านั้น $=4$ · นอกทั้งสามวง $=8$ · จงหา $n(A'\cap B')$
Answershow ▾
These are the only two regions with no $A$ and no $B$.นี่คือสองบริเวณเดียวที่ไม่มี $A$ และไม่มี $B$
Using $n(C)=23$ (question $3$) and $A\cap B\;\text{only}=5$: find $n([A\cap B]\cup C)$.
ใช้ $n(C)=23$ (จากข้อ $3$) และ $A\cap B$ เท่านั้น $=5$ · จงหา $n([A\cap B]\cup C)$
Answershow ▾
$n(C)$ already has the centre; only the extra $A\cap B$ part is new.$n(C)$ มีตรงกลางอยู่แล้ว ที่เพิ่มมาคือส่วนของ $A\cap B$ เท่านั้น
From the diagram, $n(A)=12+5+10+6=33$, $n(B)=9+5+3+6=23$, $n(A\cap B)=5+6=11$. Work out $n(A)+n(B)-n(A\cap B)$.
จากแผนภาพ $n(A)=12+5+10+6=33$ · $n(B)=9+5+3+6=23$ · $n(A\cap B)=5+6=11$ · จงหา $n(A)+n(B)-n(A\cap B)$
Answershow ▾
Adding the two circles double-counts the overlap once, so it is subtracted back.การบวกสองวงนับส่วนที่ซ้อนกันซ้ำหนึ่งครั้ง จึงต้องหักออก
The whole diagram totals $57$. Work out $57-n(A\cup B)$.
แผนภาพทั้งหมดรวมเป็น $57$ · จงหา $57-n(A\cup B)$
Answershow ▾
Every region is either in $A\cup B$ or in $A'\cap B'$, never both.ทุกบริเวณอยู่ใน $A\cup B$ หรือ $A'\cap B'$ อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น
$A\;\text{only}=7$, $B\;\text{only}=5$, $C\;\text{only}=9$, $A\cap B\;\text{only}=3$, $A\cap C\;\text{only}=4$, $B\cap C\;\text{only}=6$, $A\cap B\cap C=2$, outside all three $=5$.
Find (i) $n(A\cup B)$ (ii) $n(A'\cap B')$ (iii) $n([A\cap B]\cup C)$.
$A$ เท่านั้น $=7$ · $B$ เท่านั้น $=5$ · $C$ เท่านั้น $=9$ · $A\cap B$ เท่านั้น $=3$ · $A\cap C$ เท่านั้น $=4$ · $B\cap C$ เท่านั้น $=6$ · $A\cap B\cap C=2$ · นอกทั้งสามวง $=5$
จงหา (i) $n(A\cup B)$ (ii) $n(A'\cap B')$ (iii) $n([A\cap B]\cup C)$
Answershow ▾
Same three moves: add the $A$-or-$B$ regions, add outside both, then $n(C)$ plus the extra $A\cap B$ part.สามขั้นเดิม: บวกบริเวณ $A$ หรือ $B$ · บวกที่อยู่นอกทั้งสอง · แล้ว $n(C)$ บวกส่วนเพิ่มของ $A\cap B$
(i) The Venn diagram shows a universal set, $\mathcal{E}$ and sets $A$, $B$ and $C$.
$12, 5, 9, 10, 6, 3, 4$ and $8$ represent the numbers of elements.
Find $n(A\cup B)$
(ii) Find $n(A'\cap B')$
(iii) Find $n([A\cap B]\cup C)$
(i) แผนภาพเวนน์แสดงเซตจักรวาล $\mathcal{E}$ และเซต $A$, $B$ และ $C$
$12, 5, 9, 10, 6, 3, 4$ และ $8$ แทนจำนวนสมาชิก
จงหา $n(A\cup B)$
(ii) จงหา $n(A'\cap B')$
(iii) จงหา $n([A\cap B]\cup C)$
Answershow ▾
3 marks, one for each part. Read every region straight off the diagram.3 คะแนน คะแนนละข้อ · อ่านทุกบริเวณตรงจากแผนภาพได้เลย
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$12+5+9 = 26$
$10+6+3 = 19$
$n(A\cup B) = 26+19$
$= 45$
B1 sum regions outside A and Bรวมบริเวณที่อยู่นอก A และ B ทั้งคู่
$n(A'\cap B') = 4+8$
$= 12$
B1 add regions in A∩B or Cรวมบริเวณที่อยู่ใน (A และ B) หรือใน C
$n([A\cap B]\cup C) = 5+6+10+3+4$
$= 28$
List two sets, describe a third แสดงสองเซต แล้วอธิบายเซตที่สาม
(a)(i) $\mathcal{E} = \{21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30\}$
$A = \{22, 24, 26, 28, 30\}$
$B = \{21, 24, 27, 30\}$
List the members of the set $A\cap B$
(a)(ii) List the members of the set $A'$
(b) $C = \{23, 25, 29\}$
Using set notation, find an expression for $C$ in terms of $A$ and $B$.
(a)(i) $\mathcal{E} = \{21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30\}$
$A = \{22, 24, 26, 28, 30\}$
$B = \{21, 24, 27, 30\}$
จงแสดงรายการสมาชิกของเซต $A\cap B$
(a)(ii) จงแสดงรายการสมาชิกของเซต $A'$
(ข) $C = \{23, 25, 29\}$
จงใช้สัญลักษณ์เซตเขียนนิพจน์ของ $C$ ในรูปของ $A$ และ $B$
$P=\{1,2,3,4\}$, $Q=\{3,4,5,6\}$. List the members of $P\cap Q$.
$P=\{1,2,3,4\}$, $Q=\{3,4,5,6\}$ จงแสดงสมาชิกของ $P\cap Q$
Answershow ▾
Keep only the numbers that appear in both lists.เก็บไว้เฉพาะตัวเลขที่อยู่ในสองรายการพร้อมกัน
$\mathcal{E}=\{1,2,3,4,5,6\}$, $P=\{1,2,3,4\}$. List the members of $P'$.
$\mathcal{E}=\{1,2,3,4,5,6\}$, $P=\{1,2,3,4\}$ จงแสดงสมาชิกของ $P'$
Answershow ▾
P' is every member of E that is not in P.P' คือทุกสมาชิกของ E ที่ไม่อยู่ใน P
$\mathcal{E}=\{1,2,3,4,5,6\}$, $P=\{1,2,4\}$, $Q=\{2,3,5\}$. $R=\{6\}$ is the only member of $\mathcal{E}$ in neither $P$ nor $Q$. Write $R$ in terms of $P$ and $Q$.
$\mathcal{E}=\{1,2,3,4,5,6\}$, $P=\{1,2,4\}$, $Q=\{2,3,5\}$ สมาชิกตัวเดียวของ $\mathcal{E}$ ที่ไม่อยู่ใน $P$ และไม่อยู่ใน $Q$ คือ $R=\{6\}$ จงเขียน $R$ ในรูปของ $P$ และ $Q$
Answershow ▾
R is what is left once every member of P and every member of Q is removed.R คือสิ่งที่เหลืออยู่ เมื่อเอาสมาชิกทุกตัวของ P และของ Q ออกไปแล้ว
$A=\{22,24,26,28,30\}$, $B=\{21,24,27,30\}$. List the members of $A\cap B$.
$A=\{22,24,26,28,30\}$, $B=\{21,24,27,30\}$ จงแสดงสมาชิกของ $A\cap B$
Answershow ▾
Keep only the numbers that appear in both A and B.เก็บไว้เฉพาะตัวเลขที่อยู่ในทั้ง A และ B
$\mathcal{E}=\{21,22,23,24,25,26,27,28,29,30\}$, $A=\{22,24,26,28,30\}$. List the members of $A'$.
$\mathcal{E}=\{21,22,23,24,25,26,27,28,29,30\}$, $A=\{22,24,26,28,30\}$ จงแสดงสมาชิกของ $A'$
Answershow ▾
A' is every number in E that is not in A.A' คือทุกตัวเลขใน E ที่ไม่อยู่ใน A
$A=\{22,24,26,28,30\}$, $B=\{21,24,27,30\}$. List the members of $A\cup B$.
$A=\{22,24,26,28,30\}$, $B=\{21,24,27,30\}$ จงแสดงสมาชิกของ $A\cup B$
Answershow ▾
A union B is every number in A, in B, or in both - write each number once.A ยูเนียน B คือทุกตัวเลขที่อยู่ใน A หรือใน B หรือทั้งคู่ โดยเขียนแต่ละตัวเลขครั้งเดียว
$\mathcal{E}=\{21,22,23,24,25,26,27,28,29,30\}$, $A=\{22,24,26,28,30\}$, $B=\{21,24,27,30\}$.
$C=\{23,25,29\}$ is what is left once every member of $A$ and every member of $B$ is removed from $\mathcal{E}$. Pick the expression for $C$.
(A) $A\cap B$
(B) $(A\cup B)'$
(C) $A'\cup B'$
$\mathcal{E}=\{21,22,23,24,25,26,27,28,29,30\}$, $A=\{22,24,26,28,30\}$, $B=\{21,24,27,30\}$
$C=\{23,25,29\}$ คือสิ่งที่เหลืออยู่ เมื่อเอาสมาชิกทุกตัวของ $A$ และของ $B$ ออกจาก $\mathcal{E}$ แล้ว จงเลือกนิพจน์ของ $C$
(A) $A\cap B$
(B) $(A\cup B)'$
(C) $A'\cup B'$
Answershow ▾
(A) $A\cap B=\{24,30\}$ is the overlap, not what is left over outside both sets. (C) $A'\cup B'$ is actually $(A\cap B)'$ by De Morgan - it keeps every number except the ones in both A and B, which is a much bigger set than C.(A) $A\cap B=\{24,30\}$ คือส่วนที่ซ้อนกัน ไม่ใช่สิ่งที่เหลือนอกทั้งสองเซต · (C) $A'\cup B'$ จริงๆคือ $(A\cap B)'$ ตามกฎเดอมอร์แกน ซึ่งเก็บทุกตัวเลขไว้ยกเว้นตัวที่ซ้อนกันทั้ง A และ B ทำให้ได้เซตที่ใหญ่กว่า C มาก
$\mathcal{E}=\{21,22,23,24,25,26,27,28,29,30\}$, $A\cup B=\{21,22,24,26,27,28,30\}$. List the members of $(A\cup B)'$.
$\mathcal{E}=\{21,22,23,24,25,26,27,28,29,30\}$, $A\cup B=\{21,22,24,26,27,28,30\}$ จงแสดงสมาชิกของ $(A\cup B)'$
Answershow ▾
Remove every member of A union B from E - what is left is C.เอาสมาชิกทุกตัวของ A ยูเนียน B ออกจาก E สิ่งที่เหลืออยู่คือ C
Check that $29$ is a member of $C$, by showing it is not in $A=\{22,24,26,28,30\}$ and not in $B=\{21,24,27,30\}$.
จงตรวจว่า $29$ เป็นสมาชิกของ $C$ โดยแสดงว่าไม่อยู่ใน $A=\{22,24,26,28,30\}$ และไม่อยู่ใน $B=\{21,24,27,30\}$
Answershow ▾
A number belongs to C only when it is in neither A nor B.ตัวเลขจะอยู่ใน C ก็ต่อเมื่อไม่อยู่ใน A และไม่อยู่ใน B เลย
$\mathcal{E}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, $A=\{2,4,6,8,10\}$, $B=\{3,6,9\}$.
(a)(i) List the members of $A\cap B$
(a)(ii) List the members of $A'$
(b) $C=\{1,5,7\}$. Using set notation, find an expression for $C$ in terms of $A$ and $B$.
$\mathcal{E}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, $A=\{2,4,6,8,10\}$, $B=\{3,6,9\}$
(a)(i) จงแสดงสมาชิกของ $A\cap B$
(a)(ii) จงแสดงสมาชิกของ $A'$
(b) $C=\{1,5,7\}$ จงใช้สัญลักษณ์เซตเขียนนิพจน์ของ $C$ ในรูปของ $A$ และ $B$
Answershow ▾
Same three moves: find A intersect B, find A complement, then C is the union complement.สามขั้นเดิม: หา A ตัด B หา A คอมพลีเมนต์ แล้ว C คือคอมพลีเมนต์ของ A ยูเนียน B
(a)(i) $\mathcal{E} = \{21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30\}$
$A = \{22, 24, 26, 28, 30\}$
$B = \{21, 24, 27, 30\}$
List the members of the set $A\cap B$
(a)(ii) List the members of the set $A'$
(b) $C = \{23, 25, 29\}$
Using set notation, find an expression for $C$ in terms of $A$ and $B$.
(a)(i) $\mathcal{E} = \{21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30\}$
$A = \{22, 24, 26, 28, 30\}$
$B = \{21, 24, 27, 30\}$
จงแสดงรายการสมาชิกของเซต $A\cap B$
(a)(ii) จงแสดงรายการสมาชิกของเซต $A'$
(ข) $C = \{23, 25, 29\}$
จงใช้สัญลักษณ์เซตเขียนนิพจน์ของ $C$ ในรูปของ $A$ และ $B$
Answershow ▾
3 marks, one for each part: the intersection, the complement, then the union complement.3 คะแนน ข้อละ 1 คะแนน: อินเตอร์เซกชัน คอมพลีเมนต์ แล้วคอมพลีเมนต์ของยูเนียน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$A\cap B = \{24,30\}$
B1 every number not in Aทุกตัวเลขที่ไม่อยู่ใน A
$A' = \{21,23,25,27,29\}$
B1 C is everything outside A∪BC คือทุกอย่างที่เหลือนอก A ยูเนียน B
$C = (A\cup B)'$
Two circles that never touch สองวงกลมที่ไม่แตะกันเลย
(i) The Venn diagram shows a universal set $\mathcal{E}$ and three sets $A$, $B$ and $C$.
$6, 3, 8, 2, 5$ and $4$ represent the numbers of elements.
Find $n(A\cup B)$
(ii) Find $n(A\cap C)$
(iii) Find $n(B\cap C')$
(iv) Find $n(A'\cup B'\cup C')$
(i) แผนภาพเวนน์แสดงเซตจักรวาล $\mathcal{E}$ และสามเซต $A$, $B$ และ $C$
$6, 3, 8, 2, 5$ และ $4$ แทนจำนวนสมาชิก
จงหา $n(A\cup B)$
(ii) จงหา $n(A\cap C)$
(iii) จงหา $n(B\cap C')$
(iv) จงหา $n(A'\cup B'\cup C')$
In a Venn diagram, $6$ elements are in set $A$ only, and $3$ are in $A$ and $B$ only. Find $n(A)$.
ในแผนภาพเวนน์ สมาชิก $6$ ตัวอยู่ในเซต $A$ เท่านั้น และ $3$ ตัวอยู่ใน $A$ และ $B$ เท่านั้น จงหา $n(A)$
Answershow ▾
Add every region that lies inside circle $A$.รวมทุกบริเวณที่อยู่ในวง $A$
Sets $A$ and $C$ are drawn as two separate circles that do not touch. Find $n(A\cap C)$.
เซต $A$ และ $C$ วาดเป็นสองวงกลมที่แยกจากกัน ไม่แตะกันเลย จงหา $n(A\cap C)$
Answershow ▾
Circles that do not touch share no region at all.วงกลมที่ไม่แตะกันเลย ไม่มีบริเวณที่ซ้อนทับกันเลย
A region of a Venn diagram has $0$ elements in it. The diagram has $28$ elements altogether. Find the number of elements NOT in that region.
บริเวณหนึ่งของแผนภาพเวนน์มีสมาชิก $0$ ตัว แผนภาพมีสมาชิกทั้งหมด $28$ ตัว จงหาจำนวนสมาชิกที่ไม่อยู่ในบริเวณนี้
Answershow ▾
Taking $0$ away from the total leaves the whole total.หัก $0$ ออกจากผลรวม ยังเหลือผลรวมทั้งหมดเท่าเดิม
A Venn diagram shows $A$-only $=6$, $A\cap B$ only $=3$, $B$-only $=8$, $B\cap C$ only $=2$. Pick the first move to find $n(A\cup B)$.
(A) add $6+3+8+2$
(B) add all six numbers on the diagram
(C) add $n(A)$ and $n(B)$
แผนภาพเวนน์แสดง $A$ เท่านั้น $=6$, $A\cap B$ เท่านั้น $=3$, $B$ เท่านั้น $=8$, $B\cap C$ เท่านั้น $=2$ จงเลือกขั้นแรกในการหา $n(A\cup B)$
(A) บวก $6+3+8+2$
(B) บวกตัวเลขทั้งหกตัวบนแผนภาพ
(C) บวก $n(A)$ กับ $n(B)$
Answershow ▾
(B) also adds the $C$-only and outside regions, which are not in $A$ or $B$ at all. (C) adds $n(A)=9$ and $n(B)=13$, which counts the $A\cap B$ region twice, and never removes the double count.(B) ยังบวกบริเวณ $C$ เท่านั้นและบริเวณนอกด้วย ทั้งที่ไม่ได้อยู่ใน $A$ หรือ $B$ เลย · (C) บวก $n(A)=9$ กับ $n(B)=13$ ซึ่งนับบริเวณ $A\cap B$ ซ้ำสองครั้ง และไม่ได้หักส่วนที่นับซ้ำออก
On the diagram, $A$-only $=6$, $A\cap B$ only $=3$, $B$-only $=8$, $B\cap C$ only $=2$. Find $n(A\cup B)$.
จากแผนภาพ $A$ เท่านั้น $=6$, $A\cap B$ เท่านั้น $=3$, $B$ เท่านั้น $=8$, $B\cap C$ เท่านั้น $=2$ จงหา $n(A\cup B)$
Answershow ▾
Add every region that lies inside $A$ or inside $B$.รวมทุกบริเวณที่อยู่ใน $A$ หรือใน $B$
On the diagram, $A$ and $C$ are drawn as separate circles. Find $n(A\cap C)$.
จากแผนภาพ $A$ และ $C$ วาดเป็นวงกลมที่แยกจากกัน จงหา $n(A\cap C)$
Answershow ▾
No region of the diagram lies inside both $A$ and $C$.ไม่มีบริเวณใดในแผนภาพที่อยู่ในทั้ง $A$ และ $C$
On the diagram, $B$-only $=8$ and $A\cap B$ only $=3$. Find $n(B\cap C')$.
จากแผนภาพ $B$ เท่านั้น $=8$ และ $A\cap B$ เท่านั้น $=3$ จงหา $n(B\cap C')$
Answershow ▾
$B\cap C'$ is every region inside $B$ but outside $C$.$B\cap C'$ คือทุกบริเวณที่อยู่ใน $B$ แต่ไม่อยู่ใน $C$
To find $n(A'\cup B'\cup C')$, first work out $n(A\cap B\cap C)$. Since $A$ and $C$ never touch, what is it, and what follows?
(A) $n(A\cap B\cap C)=0$, so $n(A'\cup B'\cup C')=28-0=28$
(B) $n(A\cap B\cap C)=0$, so $n(A'\cup B'\cup C')=0$
(C) add $n(A')+n(B')+n(C')$ separately
หา $n(A'\cup B'\cup C')$ ต้องหา $n(A\cap B\cap C)$ ก่อน เนื่องจาก $A$ และ $C$ ไม่แตะกันเลย ค่าของมันคือเท่าไหร่ และขั้นต่อไปคืออะไร
(A) $n(A\cap B\cap C)=0$ ดังนั้น $n(A'\cup B'\cup C')=28-0=28$
(B) $n(A\cap B\cap C)=0$ ดังนั้น $n(A'\cup B'\cup C')=0$
(C) บวก $n(A')+n(B')+n(C')$ แยกกัน
Answershow ▾
(B) confuses the intersection with its complement: the intersection is $0$, but the complement of an empty region is the rest of the $28$. (C) adds the three complements separately, which counts most elements more than once.(B) สับสนระหว่างอินเตอร์เซกชันกับคอมพลีเมนต์: อินเตอร์เซกชันคือ $0$ แต่คอมพลีเมนต์ของบริเวณว่าง คือส่วนที่เหลือใน $28$ · (C) บวกคอมพลีเมนต์ทั้งสามแยกกัน ทำให้สมาชิกส่วนใหญ่ถูกนับซ้ำ
The diagram has $28$ elements altogether, and $n(A\cap B\cap C)=0$. Find $n(A'\cup B'\cup C')$.
แผนภาพมีสมาชิกทั้งหมด $28$ ตัว และ $n(A\cap B\cap C)=0$ จงหา $n(A'\cup B'\cup C')$
Answershow ▾
$A'\cup B'\cup C'$ is everything except the (empty) $A\cap B\cap C$ region.$A'\cup B'\cup C'$ คือทุกอย่างยกเว้นบริเวณ $A\cap B\cap C$ ที่ว่างเปล่า
Check $n(A\cup B)=19$: using $n(A)=9$, $n(B)=13$ and $n(A\cap B)=3$, work out $n(A)+n(B)-n(A\cap B)$. Does it match?
ตรวจ $n(A\cup B)=19$: ใช้ $n(A)=9$, $n(B)=13$ และ $n(A\cap B)=3$ หา $n(A)+n(B)-n(A\cap B)$ ตรงกันหรือไม่
Answershow ▾
The union rule and the direct region count give the same answer.กฎยูเนียนกับการรวมบริเวณตรงๆ ให้คำตอบตรงกัน
A Venn diagram shows sets $P$, $Q$ and $R$. $P$ and $R$ are drawn as separate circles. $P$-only $=4$, $Q$-only $=10$, $R$-only $=6$, $P\cap Q$ only $=2$, $Q\cap R$ only $=3$, outside all three $=5$.
(i) Find $n(P\cup Q)$.
(ii) Find $n(P\cap R)$.
(iii) Find $n(Q\cap R')$.
(iv) Find $n(P'\cup Q'\cup R')$.
แผนภาพเวนน์แสดงเซต $P$, $Q$ และ $R$ โดย $P$ และ $R$ วาดเป็นวงกลมที่แยกจากกัน $P$ เท่านั้น $=4$, $Q$ เท่านั้น $=10$, $R$ เท่านั้น $=6$, $P\cap Q$ เท่านั้น $=2$, $Q\cap R$ เท่านั้น $=3$, นอกทั้งสาม $=5$
(i) จงหา $n(P\cup Q)$
(ii) จงหา $n(P\cap R)$
(iii) จงหา $n(Q\cap R')$
(iv) จงหา $n(P'\cup Q'\cup R')$
Answershow ▾
Same chain: add inside the union, spot the empty overlap, add inside one circle outside the other, then take the whole total.ลำดับเดิม: บวกในยูเนียน หาจุดตัดที่ว่าง บวกในวงเดียวที่ไม่อยู่ในอีกวง แล้วเอาผลรวมทั้งหมด
(i) The Venn diagram shows a universal set $\mathcal{E}$ and three sets $A$, $B$ and $C$.
$6, 3, 8, 2, 5$ and $4$ represent the numbers of elements.
Find $n(A\cup B)$
(ii) Find $n(A\cap C)$
(iii) Find $n(B\cap C')$
(iv) Find $n(A'\cup B'\cup C')$
(i) แผนภาพเวนน์แสดงเซตจักรวาล $\mathcal{E}$ และสามเซต $A$, $B$ และ $C$
$6, 3, 8, 2, 5$ และ $4$ แทนจำนวนสมาชิก
จงหา $n(A\cup B)$
(ii) จงหา $n(A\cap C)$
(iii) จงหา $n(B\cap C')$
(iv) จงหา $n(A'\cup B'\cup C')$
Answershow ▾
4 marks, one per part: add inside the union, spot the circles that never touch, add inside $B$ outside $C$, then take the whole total since nothing is in all three.4 คะแนน ข้อละ 1 คะแนน: บวกในยูเนียน หาวงกลมที่ไม่แตะกัน บวกในวง $B$ ที่ไม่อยู่ใน $C$ แล้วเอาผลรวมทั้งหมด เพราะไม่มีสมาชิกอยู่ในทั้งสามเซต
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$n(A\cup B) = 6+3+8+2$
$= 19$
B1 A and C circles never touchวงกลม A กับ C ไม่แตะกันเลย
$n(A\cap C) = 0$
B1 add B-only and A∩B regionsรวมบริเวณ B อย่างเดียวกับ A และ B (ที่อยู่นอก C)
$n(B\cap C') = 8+3$
$= 11$
B1 everything except the empty A-and-C regionทุกอย่างยกเว้นบริเวณ A และ C ที่ว่างเปล่า
$n(A'\cup B'\cup C') = 28$
Numbers placed in a Venn diagram ตัวเลขที่วางในแผนภาพเวนน์
(a) The numbers from $1$ to $14$ are shown in the Venn diagram.
List the members of the set $A\cap B$
(b) List the members of the set $B'$
(c) A number is picked at random from the numbers in the Venn diagram.
Find the probability that this number is in set $A$ but is not in set $B$.
(ก) ตัวเลขตั้งแต่ $1$ ถึง $14$ แสดงอยู่ในแผนภาพเวนน์
จงแสดงรายการสมาชิกของเซต $A\cap B$
(ข) จงแสดงรายการสมาชิกของเซต $B'$
(ค) สุ่มหยิบตัวเลขหนึ่งตัวจากตัวเลขในแผนภาพเวนน์
จงหาความน่าจะเป็นที่ตัวเลขนี้อยู่ในเซต $A$ แต่ไม่อยู่ในเซต $B$
In the Venn diagram, list the numbers that are in circle $A$ only (not in the overlap with $B$).
ในแผนภาพเวนน์ จงแสดงรายการตัวเลขที่อยู่ในวงกลม $A$ เท่านั้น (ไม่รวมส่วนที่ซ้อนกับ $B$)
Answershow ▾
Circle $A$ only is the part of circle $A$ that circle $B$ does not cover.เฉพาะวงกลม $A$ คือส่วนของวงกลม $A$ ที่วงกลม $B$ ไม่ได้ครอบคลุม
In the Venn diagram, list the numbers that are outside both circles.
ในแผนภาพเวนน์ จงแสดงรายการตัวเลขที่อยู่นอกทั้งสองวง
Answershow ▾
Outside both circles is still inside the rectangle $\mathcal{E}$.นอกทั้งสองวงยังอยู่ในสี่เหลี่ยม $\mathcal{E}$
How many numbers in total are placed in the Venn diagram?
มีตัวเลขทั้งหมดกี่ตัวที่ถูกวางอยู่ในแผนภาพเวนน์
Answershow ▾
Every number from $1$ to $14$ is placed somewhere in the diagram.ตัวเลขทุกตัวตั้งแต่ $1$ ถึง $14$ ถูกวางอยู่ในแผนภาพ
To find $B'$, which numbers count?
(A) only the numbers outside both circles
(B) the numbers in circle $A$ only, plus the numbers outside both circles
(C) only the numbers in circle $A$ only
หากต้องการหา $B'$ ต้องใช้ตัวเลขใด
(A) เฉพาะตัวเลขที่อยู่นอกทั้งสองวง
(B) ตัวเลขในวงกลม $A$ เท่านั้น รวมกับตัวเลขที่อยู่นอกทั้งสองวง
(C) เฉพาะตัวเลขในวงกลม $A$ เท่านั้น
Answershow ▾
(A) misses the numbers in circle $A$ only, which are also not in $B$. (C) misses the numbers outside both circles, which are also not in $B$.(A) ขาดตัวเลขในวงกลม $A$ เท่านั้น ซึ่งก็ไม่อยู่ใน $B$ เช่นกัน · (C) ขาดตัวเลขที่อยู่นอกทั้งสองวง ซึ่งก็ไม่อยู่ใน $B$ เช่นกัน
In the Venn diagram, list the members of $A\cap B$.
ในแผนภาพเวนน์ จงแสดงรายการสมาชิกของ $A\cap B$
Answershow ▾
The overlap is where the two circles cross.ส่วนที่ซ้อนกันคือบริเวณที่วงกลมทั้งสองทับกัน
In the Venn diagram, list the members of $B'$.
ในแผนภาพเวนน์ จงแสดงรายการสมาชิกของ $B'$
Answershow ▾
$B'$ is circle $A$ only, plus outside both circles.$B'$ คือวงกลม $A$ เท่านั้น รวมกับนอกทั้งสองวง
For the numbers in $A$ but not in $B$, which do you count?
(A) all of circle $A$
(B) circle $A$ only, not the overlap
(C) the overlap only
สำหรับตัวเลขที่อยู่ใน $A$ แต่ไม่อยู่ใน $B$ ต้องนับตัวเลขกลุ่มใด
(A) วงกลม $A$ ทั้งหมด
(B) เฉพาะวงกลม $A$ ไม่รวมส่วนที่ซ้อนกัน
(C) ส่วนที่ซ้อนกันเท่านั้น
Answershow ▾
(A) includes the overlap, which is also in $B$. (C) the overlap is in both circles, not outside $B$.(A) รวมส่วนที่ซ้อนกัน ซึ่งอยู่ใน $B$ ด้วย · (C) ส่วนที่ซ้อนกันอยู่ในทั้งสองวง ไม่ใช่นอก $B$
A number is picked at random from the Venn diagram. Find the probability that it is in $A$ but not in $B$.
สุ่มหยิบตัวเลขหนึ่งตัวจากแผนภาพเวนน์ จงหาความน่าจะเป็นที่ตัวเลขนั้นอยู่ใน $A$ แต่ไม่อยู่ใน $B$
Answershow ▾
$3$ numbers are in $A$ but not $B$, out of $14$ numbers in total.มี $3$ ตัวที่อยู่ใน $A$ แต่ไม่อยู่ใน $B$ จากทั้งหมด $14$ ตัว
Check $B'$: $B$ has $4+2=6$ numbers. Does $14-6$ match the size of your list for $B'$?
ตรวจ $B'$: $B$ มีตัวเลข $4+2=6$ ตัว $14-6$ ตรงกับจำนวนสมาชิกใน $B'$ ที่หาไว้หรือไม่
Answershow ▾
Every number not in $B$ makes up $B'$, so $n(B')=n(\mathcal{E})-n(B)$.ตัวเลขทุกตัวที่ไม่อยู่ใน $B$ รวมกันเป็น $B'$ ดังนั้น $n(B')=n(\mathcal{E})-n(B)$
Check the diagram: add the sizes of the four regions, $3+2+4+5$. Does it equal $n(\mathcal{E})=14$?
ตรวจแผนภาพ: บวกขนาดของทั้งสี่บริเวณ $3+2+4+5$ ได้เท่ากับ $n(\mathcal{E})=14$ หรือไม่
Answershow ▾
Every number of $\mathcal{E}$ placed exactly once means the four sizes add back to $n(\mathcal{E})$.ตัวเลขทุกตัวของ $\mathcal{E}$ ถูกวางเพียงครั้งเดียว ขนาดทั้งสี่บริเวณจึงรวมกันได้ $n(\mathcal{E})$
$\mathcal{E}=\{1,\ldots,10\}$. In a Venn diagram for $P$ and $Q$: $P$ only $=\{1,2\}$, $Q$ only $=\{9,10\}$, $P\cap Q=\{3,4\}$, outside both $=\{5,6,7,8\}$. Find (a) $P\cap Q$ (b) $Q'$ (c) the probability a number is in $P$ but not $Q$.
$\mathcal{E}=\{1,\ldots,10\}$ ในแผนภาพเวนน์ของ $P$ และ $Q$: เฉพาะ $P=\{1,2\}$ เฉพาะ $Q=\{9,10\}$ $P\cap Q=\{3,4\}$ นอกทั้งสองวง $=\{5,6,7,8\}$ จงหา (a) $P\cap Q$ (b) $Q'$ (c) ความน่าจะเป็นที่ตัวเลขนั้นอยู่ใน $P$ แต่ไม่อยู่ใน $Q$
Answershow ▾
Same three moves: read the overlap, combine $P$ only with outside, then count $P$ only over $10$.สามขั้นเดิม: อ่านส่วนที่ซ้อนกัน รวมเฉพาะ $P$ กับนอกทั้งสองวง แล้วนับเฉพาะ $P$ เทียบกับ $10$
(a) The numbers from $1$ to $14$ are shown in the Venn diagram.
List the members of the set $A\cap B$
(b) List the members of the set $B'$
(c) A number is picked at random from the numbers in the Venn diagram.
Find the probability that this number is in set $A$ but is not in set $B$.
(ก) ตัวเลขตั้งแต่ $1$ ถึง $14$ แสดงอยู่ในแผนภาพเวนน์
จงแสดงรายการสมาชิกของเซต $A\cap B$
(ข) จงแสดงรายการสมาชิกของเซต $B'$
(ค) สุ่มหยิบตัวเลขหนึ่งตัวจากตัวเลขในแผนภาพเวนน์
จงหาความน่าจะเป็นที่ตัวเลขนี้อยู่ในเซต $A$ แต่ไม่อยู่ในเซต $B$
Answershow ▾
4 marks: read the overlap, list every number outside circle $B$, then put the circle $A$ only count over $14$.4 คะแนน: อ่านส่วนที่ซ้อนกัน แสดงรายการตัวเลขทุกตัวที่อยู่นอกวงกลม $B$ แล้วนำจำนวนเฉพาะวงกลม $A$ หารด้วย $14$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$A\cap B = \{2,4,6,12\}$
B1 list every number not in Bแสดงรายการทุกตัวเลขที่ไม่อยู่ใน B
$B'$
$\{5,7,8,9,10,11,13,14\}$
M1 count A-only against all 14 numbersนับจำนวนที่อยู่ใน A อย่างเดียว เทียบกับ 14 ตัวทั้งหมด
$A\text{ only} = \{8,10,14\}$
$P = 3\div14$
A1 probability as a fractionความน่าจะเป็นในรูปเศษส่วน
$P = \dfrac{3}{14}$
Three sets, one unknown region สามเซต หนึ่งบริเวณไม่ทราบค่า
(a) The Venn diagram shows a universal set $\mathcal{E}$ and sets $A$, $B$ and $C$
The numbers and the letter $x$ represent numbers of elements.
Given that $n(A\cup B) = 42$
find the value of $x$
(b) Find $n(A')$
(c) Find $n(B'\cap C)$
(ก) แผนภาพเวนน์แสดงเซตจักรวาล $\mathcal{E}$ และเซต $A$, $B$ และ $C$
ตัวเลขและตัว $x$ แทนจำนวนสมาชิก
กำหนดให้ $n(A\cup B) = 42$
จงหาค่าของ $x$
(ข) จงหา $n(A')$
(ค) จงหา $n(B'\cap C)$
Find the sum of $9$, $12$, $5$, $3$ and $7$.
จงหาผลรวมของ $9$, $12$, $5$, $3$ และ $7$
Answershow ▾
Add them in any order.บวกตามลำดับใดก็ได้
Solve $36+x=42$ for $x$.
จงแก้สมการ $36+x=42$ หาค่า $x$
Answershow ▾
Subtract $36$ from both sides.หัก $36$ ออกจากทั้งสองข้าง
A group of $59$ has $23$ of a certain kind. How many are NOT that kind?
กลุ่มหนึ่งมี $59$ คน โดย $23$ คนเป็นประเภทหนึ่ง มีกี่คนที่ไม่ใช่ประเภทนั้น
Answershow ▾
Subtract the part from the whole.หักส่วนที่รู้แล้วออกจากทั้งหมด
The Venn diagram has sets $A$, $B$ and $C$. The regions inside $A\cup B$ hold $9$, $x$, $12$, $5$, $3$ and $7$ - one region, $x$, is unknown. Given $n(A\cup B)=42$, pick the first move.
(A) add every number on the whole diagram, including the region outside all three circles and the region in $C$ only
(B) add the five known regions inside $A\cup B$, then set that total plus $x$ equal to $42$
(C) divide $42$ by the number of regions inside $A\cup B$
แผนภาพเวนน์มีเซต $A$, $B$ และ $C$ · บริเวณที่อยู่ใน $A\cup B$ มี $9$, $x$, $12$, $5$, $3$ และ $7$ — บริเวณหนึ่งคือ $x$ ยังไม่ทราบค่า กำหนดให้ $n(A\cup B)=42$ จงเลือกขั้นแรก
(A) บวกทุกตัวเลขในแผนภาพทั้งหมด รวมถึงบริเวณที่อยู่นอกวงกลมทั้งสามและบริเวณ $C$ อย่างเดียว
(B) บวกห้าบริเวณที่รู้แล้วใน $A\cup B$ แล้วให้ผลรวมนั้นบวก $x$ เท่ากับ $42$
(C) หาร $42$ ด้วยจำนวนบริเวณที่อยู่ใน $A\cup B$
Answershow ▾
(A) adds regions outside $A\cup B$ entirely - $C$ only and the outside region do not belong here. (C) shares the total equally, but each region is its own separate count.(A) บวกบริเวณที่อยู่นอก $A\cup B$ ไปด้วย — บริเวณ $C$ อย่างเดียวกับบริเวณนอกวงไม่เกี่ยวกับที่นี่ · (C) แบ่งผลรวมเท่า ๆ กัน แต่แต่ละบริเวณมีจำนวนของตัวเองแยกกัน
The diagram shows $9$ ($A$ only), $12$ ($B$ only), $5$ ($A\cap C$ only), $3$ (all three) and $7$ ($B\cap C$ only) inside $A\cup B$, plus the unknown region $x$. Find $9+12+5+3+7$.
แผนภาพแสดง $9$ ($A$ อย่างเดียว), $12$ ($B$ อย่างเดียว), $5$ ($A\cap C$ อย่างเดียว), $3$ (ทั้งสามเซต) และ $7$ ($B\cap C$ อย่างเดียว) ที่อยู่ใน $A\cup B$ พร้อมบริเวณ $x$ ที่ยังไม่ทราบค่า จงหา $9+12+5+3+7$
Answershow ▾
Every region except $x$ is already known.ทุกบริเวณยกเว้น $x$ รู้ค่าอยู่แล้ว
Given $n(A\cup B)=42$ and the known regions totalling $36$, find $x$.
กำหนดให้ $n(A\cup B)=42$ และบริเวณที่รู้แล้วรวมกันได้ $36$ จงหา $x$
Answershow ▾
The missing region makes up the rest of $42$.บริเวณที่ขาดไปคือส่วนที่เหลือของ $42$
Now that $x=6$, find $n(A)$ using $A$ only $(9)$, $A\cap B$ only $(6)$, $A\cap C$ only $(5)$ and all three $(3)$.
เมื่อ $x=6$ แล้ว จงหา $n(A)$ จาก $A$ อย่างเดียว $(9)$, $A\cap B$ อย่างเดียว $(6)$, $A\cap C$ อย่างเดียว $(5)$ และทั้งสามเซต $(3)$
Answershow ▾
Every region inside circle $A$, added together.ทุกบริเวณที่อยู่ในวง $A$ นำมารวมกัน
To find $n(A')=n(\mathcal{E})-n(A)$, you need $n(\mathcal{E})$. The regions are $9$, $12$, $10$, $6$, $5$, $7$, $3$ and $7$ (the last, outside all three circles). Pick the first move.
(A) add only the regions inside $A$, $B$ or $C$ - leave out the region outside all three
(B) add every region shown, including the one outside all three circles
(C) add the three set totals $n(A)$, $n(B)$ and $n(C)$ together
จะหา $n(A')=n(\mathcal{E})-n(A)$ ต้องรู้ $n(\mathcal{E})$ ก่อน · บริเวณต่าง ๆ คือ $9$, $12$, $10$, $6$, $5$, $7$, $3$ และ $7$ (ตัวสุดท้ายคือบริเวณนอกวงกลมทั้งสาม) จงเลือกขั้นแรก
(A) บวกเฉพาะบริเวณที่อยู่ใน $A$, $B$ หรือ $C$ — ไม่รวมบริเวณที่อยู่นอกทั้งสามวง
(B) บวกทุกบริเวณที่แสดงไว้ รวมถึงบริเวณที่อยู่นอกวงกลมทั้งสาม
(C) บวกผลรวมของแต่ละเซต $n(A)$, $n(B)$ และ $n(C)$ เข้าด้วยกัน
Answershow ▾
(A) leaves out everyone outside all three sets, who are still part of $\mathcal{E}$. (C) adds each set's total separately, counting every overlapping region more than once.(A) ไม่รวมคนที่อยู่นอกทั้งสามเซต ซึ่งก็ยังอยู่ใน $\mathcal{E}$ · (C) บวกผลรวมของแต่ละเซตแยกกัน ทำให้บริเวณที่ซ้อนทับถูกนับมากกว่าหนึ่งครั้ง
Given $n(\mathcal{E})=59$ and $n(A)=23$, find $n(A')$.
กำหนดให้ $n(\mathcal{E})=59$ และ $n(A)=23$ จงหา $n(A')$
Answershow ▾
Everything in $\mathcal{E}$ that is not in $A$.ทุกอย่างใน $\mathcal{E}$ ที่ไม่อยู่ใน $A$
Find $n(B'\cap C)$ using $C$ only $(10)$ and $A\cap C$ only $(5)$ - the two regions inside $C$ that are NOT inside $B$.
จงหา $n(B'\cap C)$ โดยใช้ $C$ อย่างเดียว $(10)$ และ $A\cap C$ อย่างเดียว $(5)$ — สองบริเวณ ที่อยู่ใน $C$ แต่ไม่อยู่ใน $B$
Answershow ▾
$B\cap C$ only and the triple region are inside $B$, so they are excluded.$B\cap C$ อย่างเดียวและบริเวณทั้งสามเซตอยู่ใน $B$ จึงไม่นับ
(a) $30$ tourists are asked if they visited the Beach ($B$), the Market ($M$) or the Temple ($T$). The Venn diagram shows $3$ (Beach only), $4$ (Market only), $1$ (Temple only), $x$ (Beach and Market only), $2$ (Beach and Temple only), $2$ (Market and Temple only), $1$ (all three) and $3$ outside. Given $n(B\cup M)=20$, find $x$.
(b) Find $n(B')$.
(c) Find $n(M'\cap T)$.
(ก) นักท่องเที่ยว $30$ คนถูกถามว่าไปชายหาด ($B$) ตลาด ($M$) หรือวัด ($T$) · แผนภาพเวนน์แสดง $3$ (ชายหาดอย่างเดียว), $4$ (ตลาดอย่างเดียว), $1$ (วัดอย่างเดียว), $x$ (ชายหาดและตลาดอย่างเดียว), $2$ (ชายหาดและวัดอย่างเดียว), $2$ (ตลาดและวัดอย่างเดียว), $1$ (ทั้งสามอย่าง) และ $3$ นอกวง กำหนดให้ $n(B\cup M)=20$ จงหา $x$
(ข) จงหา $n(B')$
(ค) จงหา $n(M'\cap T)$
Answershow ▾
The same three moves: solve for the missing region, subtract for the complement, then add inside one circle.สามขั้นเดิม: แก้หาบริเวณที่ขาด หักหาคอมพลีเมนต์ แล้วบวกในวงเดียว
(a) The Venn diagram shows a universal set $\mathcal{E}$ and sets $A$, $B$ and $C$
The numbers and the letter $x$ represent numbers of elements.
Given that $n(A\cup B) = 42$
find the value of $x$
(b) Find $n(A')$
(c) Find $n(B'\cap C)$
(ก) แผนภาพเวนน์แสดงเซตจักรวาล $\mathcal{E}$ และเซต $A$, $B$ และ $C$
ตัวเลขและตัว $x$ แทนจำนวนสมาชิก
กำหนดให้ $n(A\cup B) = 42$
จงหาค่าของ $x$
(ข) จงหา $n(A')$
(ค) จงหา $n(B'\cap C)$
Answershow ▾
5 marks across three parts: find $x$ from the union total, then $n(A)$ and its complement, then the two regions inside $C$ but outside $B$.5 คะแนนตลอดสามข้อ: หา $x$ จากยูเนียน แล้วหา $n(A)$ กับคอมพลีเมนต์ของมัน แล้วบวกสองบริเวณ ที่อยู่ใน $C$ แต่ไม่อยู่ใน $B$
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$9+12+5+3+7$
$= 36$
A1 solve for xแก้หา x
$36+x = 42$
$x = 6$
M1 add every region in Aรวมทุกบริเวณที่อยู่ใน A
$n(A) = 9+6+5+3$
$= 23$
A1 total in E minus Aจำนวนทั้งหมดใน E ลบด้วย A
$n(A') = 59-23$
$= 36$
A1 C-only plus A-and-C-onlyบริเวณ C อย่างเดียว บวกบริเวณ A และ C อย่างเดียว
$n(B'\cap C) = 10+5$
$= 15$
Complete a Venn, then two probabilities เติมแผนภาพเวนน์ แล้วหาความน่าจะเป็นสองข้อ
(a) Two events $A$ and $B$ are such that $n(A) = 62$, $n(B) = 30$ and $n(A\cup B) = 68$
Given that $n(\mathcal{E}) = 80$
complete the Venn diagram to show the number of elements in each region.
(b)(i) An element is chosen at random from $\mathcal{E}$.
Using the Venn diagram, find the probability that this element is in $A\cap B$
(b)(ii) Find the probability that this element is in $A\cup B'$
(ก) เหตุการณ์ $A$ และ $B$ เป็นไปตามที่ $n(A) = 62$, $n(B) = 30$ และ $n(A\cup B) = 68$
กำหนดให้ $n(\mathcal{E}) = 80$
จงเติมแผนภาพเวนน์แสดงจำนวนสมาชิกในแต่ละบริเวณ
(b)(i) สุ่มเลือกสมาชิกหนึ่งตัวจาก $\mathcal{E}$
ใช้แผนภาพเวนน์ จงหาความน่าจะเป็นที่สมาชิกนี้อยู่ใน $A\cap B$
(b)(ii) จงหาความน่าจะเป็นที่สมาชิกนี้อยู่ใน $A\cup B'$
For two sets $A$ and $B$, $n(A)=62$, $n(B)=30$ and $n(A\cup B)=68$. Find $n(A\cap B)$.
สำหรับเซต $A$ และ $B$ ใด ๆ $n(A)=62$, $n(B)=30$ และ $n(A\cup B)=68$ จงหา $n(A\cap B)$
Answershow ▾
Add the two sets, then take off the union once - that removes the double count.บวกสองเซตเข้าด้วยกัน แล้วหักยูเนียนออกหนึ่งครั้งเพื่อตัดส่วนที่นับซ้ำ
$n(A)=62$ and $n(A\cap B)=24$. Find the number of elements in $A$ only (not in $B$).
$n(A)=62$ และ $n(A\cap B)=24$ จงหาจำนวนสมาชิกที่อยู่ใน $A$ เพียงอย่างเดียว (ไม่อยู่ใน $B$)
Answershow ▾
Take the shared part out of A; what is left belongs to A alone.ตัดส่วนที่ซ้อนทับออกจาก A ส่วนที่เหลืออยู่ใน A เพียงวงเดียว
Write $\dfrac{24}{80}$ as a fraction in its simplest form.
จงเขียน $\dfrac{24}{80}$ ให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
Answershow ▾
Divide the top and bottom by their highest common factor, 8.หารทั้งเศษและส่วนด้วย ห.ร.ม. ของทั้งสองคือ $8$
$n(A)=62$, $n(B)=30$, $n(A\cup B)=68$ and $n(\mathcal{E})=80$. Pick the first move to complete the Venn diagram.
(A) write $62$ in circle $A$ and $30$ in circle $B$, with no overlap number
(B) find $n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)$ first
(C) add $n(A)+n(B)$ and put that number in the overlap
$n(A)=62$, $n(B)=30$, $n(A\cup B)=68$ และ $n(\mathcal{E})=80$ จงเลือกขั้นแรกในการเติมแผนภาพเวนน์
(A) เขียน $62$ ในวง $A$ และ $30$ ในวง $B$ โดยไม่มีเลขส่วนที่ซ้อนทับ
(B) หา $n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)$ ก่อน
(C) บวก $n(A)+n(B)$ แล้วนำไปใส่ในส่วนที่ซ้อนทับ
Answershow ▾
(A) puts the full totals in the circles, but each total already counts the shared part once. (C) adds $n(A)+n(B)=92$, already double-counting the overlap, so it is too big.(A) ใส่ผลรวมทั้งหมดในวง ทั้งที่ผลรวมนั้นมีส่วนที่ซ้อนทับรวมอยู่แล้ว · (C) บวก $n(A)+n(B)=92$ ซึ่งนับส่วนที่ซ้อนทับไปแล้วสองครั้ง จึงมากเกินไป
$n(A)=62$, $n(B)=30$ and $n(A\cup B)=68$. Find $n(A\cap B)$.
$n(A)=62$, $n(B)=30$ และ $n(A\cup B)=68$ จงหา $n(A\cap B)$
Answershow ▾
Same formula as the warm-up, now for the real question.สูตรเดิมจากที่ฝึกมา ใช้กับคำถามจริง
Using $n(A)=62$, $n(B)=30$, $n(A\cap B)=24$ and $n(\mathcal{E})=80$, find $A$ only, $B$ only and the number outside both circles.
จาก $n(A)=62$, $n(B)=30$, $n(A\cap B)=24$ และ $n(\mathcal{E})=80$ จงหาเฉพาะ $A$ เฉพาะ $B$ และจำนวนที่อยู่นอกทั้งสองวง
Answershow ▾
Subtract the overlap from each set; subtract the union from the total for outside.ตัดส่วนที่ซ้อนทับออกจากแต่ละเซต แล้วตัด $n(A\cup B)$ ออกจากทั้งหมดสำหรับส่วนนอก
An element is chosen at random from $\mathcal{E}$. Using $n(A\cap B)=24$ and $n(\mathcal{E})=80$, find $P(A\cap B)$.
สุ่มเลือกสมาชิกหนึ่งตัวจาก $\mathcal{E}$ จาก $n(A\cap B)=24$ และ $n(\mathcal{E})=80$ จงหา $P(A\cap B)$
Answershow ▾
A probability from a Venn diagram is that region count over n(E).ความน่าจะเป็นจากแผนภาพเวนน์ คือจำนวนในบริเวณนั้นหารด้วย n(E)
You know all four regions: $A$ only $38$, $A\cap B$ $24$, $B$ only $6$, outside $12$. Pick the first move to find $n(A\cup B')$.
(A) $n(\mathcal{E})-n(B)=80-30$
(B) $n(\mathcal{E})-(B\text{ only})=80-6$
(C) $(A\text{ only})+(A\cap B)=38+24$
ทราบทั้งสี่บริเวณ: เฉพาะ $A$ $38$, $A\cap B$ $24$, เฉพาะ $B$ $6$, นอกวง $12$ จงเลือกขั้นแรกในการหา $n(A\cup B')$
(A) $n(\mathcal{E})-n(B)=80-30$
(B) $n(\mathcal{E})-(B\text{ only})=80-6$
(C) $(A\text{ only})+(A\cap B)=38+24$
Answershow ▾
(A) removes the shared part too, which is still inside $A$. (C) leaves out the outside region, which also belongs in $A\cup B'$.(A) หักส่วนที่ซ้อนกับ $A$ ออกด้วย ทั้งที่ยังอยู่ใน $A$ · (C) ไม่ได้รวมบริเวณนอกวง ซึ่งก็ต้องอยู่ใน $A\cup B'$ ด้วย
Find $n(A\cup B')$, then find $P(A\cup B')$ as a fraction in its simplest form.
จงหา $n(A\cup B')$ แล้วหา $P(A\cup B')$ ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ
Answershow ▾
Everything except B only, out of the total, then simplify the fraction.ทุกอย่างยกเว้นเฉพาะ B เทียบกับทั้งหมด แล้วลดเศษส่วน
Check the diagram: add the four regions, $38+24+6+12$. Does it equal $n(\mathcal{E})=80$?
ตรวจแผนภาพ: บวกทั้งสี่บริเวณ $38+24+6+12$ ได้เท่ากับ $n(\mathcal{E})=80$ หรือไม่
Answershow ▾
Every element of E placed once means the four regions add back to n(E).สมาชิกทุกตัวของ E ถูกวางเพียงครั้งเดียว ขนาดทั้งสี่บริเวณจึงรวมกันได้ n(E)
$n(A)=50$, $n(B)=20$ and $n(A\cup B)=60$. Given that $n(\mathcal{E})=100$, complete the Venn diagram, then find $P(A\cap B)$ and $P(A\cup B')$.
$n(A)=50$, $n(B)=20$ และ $n(A\cup B)=60$ กำหนดให้ $n(\mathcal{E})=100$ จงเติมแผนภาพเวนน์ แล้วหา $P(A\cap B)$ และ $P(A\cup B')$
Answershow ▾
Same three moves: overlap first, then the other regions, then each probability over n(E).สามขั้นเดิม: หาส่วนที่ซ้อนทับก่อน แล้วหาบริเวณอื่น แล้วหาความน่าจะเป็นแต่ละข้อเทียบกับ n(E)
(a) Two events $A$ and $B$ are such that $n(A) = 62$, $n(B) = 30$ and $n(A\cup B) = 68$
Given that $n(\mathcal{E}) = 80$
complete the Venn diagram to show the number of elements in each region.
(b)(i) An element is chosen at random from $\mathcal{E}$.
Using the Venn diagram, find the probability that this element is in $A\cap B$
(b)(ii) Find the probability that this element is in $A\cup B'$
(ก) เหตุการณ์ $A$ และ $B$ เป็นไปตามที่ $n(A) = 62$, $n(B) = 30$ และ $n(A\cup B) = 68$
กำหนดให้ $n(\mathcal{E}) = 80$
จงเติมแผนภาพเวนน์แสดงจำนวนสมาชิกในแต่ละบริเวณ
(b)(i) สุ่มเลือกสมาชิกหนึ่งตัวจาก $\mathcal{E}$
ใช้แผนภาพเวนน์ จงหาความน่าจะเป็นที่สมาชิกนี้อยู่ใน $A\cap B$
(b)(ii) จงหาความน่าจะเป็นที่สมาชิกนี้อยู่ใน $A\cup B'$
Answershow ▾
5 marks across three parts: the overlap, the other three regions, then both probabilities.5 คะแนนในสามส่วน: ส่วนที่ซ้อนทับ อีกสามบริเวณ แล้วความน่าจะเป็นทั้งสองข้อ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$n(A\cap B) = 62+30-68$
$= 24$
A1 the other three regionsอีกสามบริเวณที่เหลือ
$A\text{ only}=38$
$B\text{ only}=6$
$\text{outside}=12$
B1 overlap over the totalส่วนซ้อนทับเทียบกับทั้งหมด
$P(A\cap B) = 24\div80$
$= \dfrac{3}{10}$
M1 everything except B-onlyทุกอย่างยกเว้น B อย่างเดียว
$A\cup B' = 80-6$
$= 74$
A1 as a fractionในรูปเศษส่วน
$P(A\cup B') = \dfrac{74}{80}$
$= \dfrac{37}{40}$
Boundaries, complement, and a forced set ขอบเขต คอมพลีเมนต์ และเซตที่ถูกบังคับ
(a) $\mathcal{E} = \{\text{integers }x\text{ such that }10\leqslant x\leqslant25\}$
$A = \{x : x\lt18\}$
$B = \{x : 13\leqslant x\lt22\}$
Write down $n(A)$
(b) List the members of the set $(A\cup B)'$
(c) List the members of the set $A'\cap B$
(d) $C\subset A$, $C\subset B$ and $n(C)=5$
List the members of the set $C$
(ก) $\mathcal{E} = \{x : 10\leqslant x\leqslant25\}$ โดย $x$ เป็นจำนวนเต็ม
$A = \{x : x\lt18\}$
$B = \{x : 13\leqslant x\lt22\}$
จงเขียน $n(A)$
(ข) จงแสดงรายการสมาชิกของเซต $(A\cup B)'$
(ค) จงแสดงรายการสมาชิกของเซต $A'\cap B$
(ง) $C\subset A$, $C\subset B$ และ $n(C)=5$
จงแสดงรายการสมาชิกของเซต $C$
The universal set is $\mathcal{E} = \{x : 10\leqslant x\leqslant25\}$, $x$ an integer. List the members of $\mathcal{E}$.
เอกภพสัมพัทธ์คือ $\mathcal{E} = \{x : 10\leqslant x\leqslant25\}$ โดย $x$ เป็นจำนวนเต็ม จงแสดงรายการสมาชิกของ $\mathcal{E}$
Answershow ▾
List every integer from the lower bound to the upper bound; both ends are included.แสดงรายการจำนวนเต็มทุกตัวจากขอบล่างถึงขอบบน ทั้งสองขอบรวมอยู่ด้วย
List the members of $A=\{x:x\lt18\}$ inside $\mathcal{E}$ above.
จงแสดงรายการสมาชิกของ $A=\{x:x\lt18\}$ ภายใน $\mathcal{E}$ ข้างต้น
Answershow ▾
$x\lt18$ stops at $17$: $18$ itself is not less than $18$.$x\lt18$ หยุดที่ $17$ เพราะ $18$ ไม่น้อยกว่า $18$
List the members of $B=\{x:13\leqslant x\lt22\}$ inside $\mathcal{E}$.
จงแสดงรายการสมาชิกของ $B=\{x:13\leqslant x\lt22\}$ ภายใน $\mathcal{E}$
Answershow ▾
$13\leqslant x$ includes $13$; $x\lt22$ stops at $21$.$13\leqslant x$ รวม $13$ ด้วย ส่วน $x\lt22$ หยุดที่ $21$
You need $(A\cup B)'$. Pick the first move.
(A) list $A\cup B$, then take what is left in $\mathcal{E}$
(B) list $A'$ and $B'$ separately, then union them
(C) remove every member of $B$ from $A$
ต้องการ $(A\cup B)'$ จงเลือกขั้นแรก
(A) แสดงรายการ $A\cup B$ แล้วหาสิ่งที่เหลือใน $\mathcal{E}$
(B) แสดงรายการ $A'$ และ $B'$ แยกกัน แล้วยูเนียนกัน
(C) ตัด $B$ ออกจาก $A$
Answershow ▾
(B) swaps De Morgan's law: $(A\cup B)'=A'\cap B'$, not $A'\cup B'$. (C) removes $B$ from $A$, which answers a different question.(B) สลับกฎเดอมอร์แกน: $(A\cup B)'=A'\cap B'$ ไม่ใช่ $A'\cup B'$ · (C) ตัด $B$ ออกจาก $A$ ซึ่งตอบคำถามอื่น
Using $A=\{10,11,...,17\}$ from question 2, write down $n(A)$.
ใช้ $A=\{10,11,...,17\}$ จากข้อ 2 จงเขียน $n(A)$
Answershow ▾
Count the members of the list.นับจำนวนสมาชิกในรายการ
Using $A\cup B=\{10,11,...,21\}$ from the decision step, list the members of $(A\cup B)'$.
ใช้ $A\cup B=\{10,11,...,21\}$ จากขั้นตัดสินใจ จงแสดงรายการสมาชิกของ $(A\cup B)'$
Answershow ▾
Everything in $\mathcal{E}$ that is not in the list above.ทุกตัวใน $\mathcal{E}$ ที่ไม่อยู่ในรายการข้างต้น
List the members of $A'\cap B$, using $B=\{13,14,...,21\}$ from question 3.
จงแสดงรายการสมาชิกของ $A'\cap B$ โดยใช้ $B=\{13,14,...,21\}$ จากข้อ 3
Answershow ▾
$A'\cap B$ is $B$ with every member of $A$ taken out.$A'\cap B$ คือ $B$ ที่ตัดสมาชิกของ $A$ ออกไป
$C\subset A$, $C\subset B$ and $n(C)=5$. Pick the correct description of $C$.
(A) any $5$ members chosen from $A$
(B) the members common to both $A$ and $B$ - there happen to be exactly $5$ of them
(C) any $5$ members of $\mathcal{E}$ that are not in $A$ or $B$
$C\subset A$, $C\subset B$ และ $n(C)=5$ จงเลือกคำอธิบายที่ถูกต้องของ $C$
(A) สมาชิก $5$ ตัวใดก็ได้จาก $A$
(B) สมาชิกที่อยู่ในทั้ง $A$ และ $B$ ซึ่งมีพอดี $5$ ตัว
(C) สมาชิก $5$ ตัวใดก็ได้ใน $\mathcal{E}$ ที่ไม่อยู่ใน $A$ หรือ $B$
Answershow ▾
$C\subset A$ and $C\subset B$ together mean $C\subset(A\cap B)$. (A) ignores the $B$ condition. (C) ignores both conditions. $A\cap B$ already has exactly $5$ members, so $C$ is not a choice - it has to be all of $A\cap B$.$C\subset A$ และ $C\subset B$ รวมกันหมายความว่า $C\subset(A\cap B)$ · (A) ไม่สนใจเงื่อนไข $B$ · (C) ไม่สนใจทั้งสองเงื่อนไข · $A\cap B$ มีสมาชิกพอดี $5$ ตัวอยู่แล้ว $C$ จึงไม่ใช่ตัวเลือก แต่ต้องเป็น $A\cap B$ ทั้งหมด
Find $A\cap B$, using $A=\{10,11,...,17\}$ and $B=\{13,14,...,21\}$. Hence write down $C$.
จงหา $A\cap B$ โดยใช้ $A=\{10,11,...,17\}$ และ $B=\{13,14,...,21\}$ แล้วจงเขียน $C$
Answershow ▾
$A\cap B$ has exactly $5$ members, matching $n(C)=5$ - so $C$ must be all of it.$A\cap B$ มีสมาชิกพอดี $5$ ตัว ตรงกับ $n(C)=5$ ดังนั้น $C$ ต้องเป็น $A\cap B$ ทั้งหมด
Check: is every member of $C=\{13,14,15,16,17\}$ inside both $A=\{10,11,...,17\}$ and $B=\{13,14,...,21\}$?
จงตรวจสอบ: สมาชิกทุกตัวของ $C=\{13,14,15,16,17\}$ อยู่ในทั้ง $A=\{10,11,...,17\}$ และ $B=\{13,14,...,21\}$ หรือไม่
Answershow ▾
A quick scan of both lists confirms the subset conditions.การตรวจรายการทั้งสองอย่างรวดเร็ว ยืนยันเงื่อนไขสับเซต
$\mathcal{E}=\{x:1\leqslant x\leqslant10\}$, $x$ an integer. $A=\{x:x\lt6\}$ and $B=\{x:4\leqslant x\lt8\}$.
(a) Write down $n(A)$
(b) List $(A\cup B)'$
(c) List $A'\cap B$
(d) $C\subset A$, $C\subset B$, $n(C)=2$. List $C$
$\mathcal{E}=\{x:1\leqslant x\leqslant10\}$ โดย $x$ เป็นจำนวนเต็ม $A=\{x:x\lt6\}$ และ $B=\{x:4\leqslant x\lt8\}$
(ก) จงเขียน $n(A)$
(ข) จงแสดงรายการ $(A\cup B)'$
(ค) จงแสดงรายการ $A'\cap B$
(ง) $C\subset A$, $C\subset B$, $n(C)=2$ จงแสดงรายการ $C$
Answershow ▾
Same four moves: list $A$ and $B$, take the leftover in $\mathcal{E}$, remove $A$ from $B$, then spot that $A\cap B$ is already the right size for $C$.สี่ขั้นเดิม: แสดงรายการ $A$ กับ $B$ หาสิ่งที่เหลือใน $\mathcal{E}$ ตัด $A$ ออกจาก $B$ แล้วสังเกตว่า $A\cap B$ มีขนาดพอดีสำหรับ $C$
(a) $\mathcal{E} = \{\text{integers }x\text{ such that }10\leqslant x\leqslant25\}$
$A = \{x : x\lt18\}$
$B = \{x : 13\leqslant x\lt22\}$
Write down $n(A)$
(b) List the members of the set $(A\cup B)'$
(c) List the members of the set $A'\cap B$
(d) $C\subset A$, $C\subset B$ and $n(C)=5$
List the members of the set $C$
(ก) $\mathcal{E} = \{x : 10\leqslant x\leqslant25\}$ โดย $x$ เป็นจำนวนเต็ม
$A = \{x : x\lt18\}$
$B = \{x : 13\leqslant x\lt22\}$
จงเขียน $n(A)$
(ข) จงแสดงรายการสมาชิกของเซต $(A\cup B)'$
(ค) จงแสดงรายการสมาชิกของเซต $A'\cap B$
(ง) $C\subset A$, $C\subset B$ และ $n(C)=5$
จงแสดงรายการสมาชิกของเซต $C$
Answershow ▾
6 marks: 1 for $n(A)$, 2 for $(A\cup B)'$, 2 for $A'\cap B$, 1 for spotting that $C$ is forced.6 คะแนน: 1 คะแนนสำหรับ $n(A)$, 2 คะแนนสำหรับ $(A\cup B)'$, 2 คะแนนสำหรับ $A'\cap B$, 1 คะแนนสำหรับการสังเกตว่า $C$ ถูกบังคับ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$A = \{10,11,...,17\}$
$n(A) = 8$
M1 list A union B firstแสดงรายการ A รวม B ก่อน
$A\cup B = \{10,11,...,21\}$
A1 everything in E left overทุกตัวใน E ที่เหลืออยู่
$(A\cup B)' = \{22,23,24,25\}$
M1 B with A removedB ที่ตัด A ออก
$A'\cap B = B\setminus A$
A1 the remaining members of Bสมาชิกที่เหลือของ B
$A'\cap B = \{18,19,20,21\}$
B1 A∩B has exactly 5 integersA กับ B ซ้อนทับกันพอดี 5 จำนวนเต็ม
$A\cap B = \{13,14,15,16,17\}$
$C = A\cap B$
Three circles, one unknown region สามวงเวนน์ หนึ่งบริเวณที่ไม่รู้ค่า
(a) Some students in a school were asked the following question.
“Do you have a dog ($D$), a cat ($C$) or a rabbit ($R$)?”
Of these students
$28$ have a dog
$18$ have a cat
$20$ have a rabbit
$8$ have both a cat and a rabbit
$9$ have both a dog and a rabbit
$x$ have both a dog and a cat
$6$ have a dog, a cat and a rabbit
$5$ have not got a dog or a cat or a rabbit
Using this information, complete the Venn diagram to show the number of students in each appropriate subset.
Give the numbers in terms of $x$ where necessary.
(b) Given that a total of $50$ students answered the question,
work out the value of $x$.
(c) Find $n(C'\cap D')$
(ก) นักเรียนบางคนในโรงเรียนถูกถามคำถามต่อไปนี้
“คุณมีสุนัข ($D$) แมว ($C$) หรือกระต่าย ($R$) หรือไม่?”
ในจำนวนนักเรียนเหล่านี้
$28$ คนมีสุนัข
$18$ คนมีแมว
$20$ คนมีกระต่าย
$8$ คนมีทั้งแมวและกระต่าย
$9$ คนมีทั้งสุนัขและกระต่าย
$x$ คนมีทั้งสุนัขและแมว
$6$ คนมีทั้งสุนัข แมว และกระต่าย
$5$ คนไม่มีทั้งสุนัข แมว หรือกระต่ายเลย
จงใช้ข้อมูลนี้เติมแผนภาพเวนน์แสดงจำนวนนักเรียนในแต่ละส่วนที่เกี่ยวข้อง
เขียนจำนวนในรูป $x$ ในกรณีที่จำเป็น
(ข) กำหนดให้มีนักเรียนทั้งหมด $50$ คนที่ตอบคำถามนี้
จงหาค่าของ $x$
(ค) จงหา $n(C'\cap D')$
$9$ students have a dog and a rabbit. $6$ of these have a dog, a cat and a rabbit too. How many have a dog and a rabbit only (not a cat)?
นักเรียน $9$ คนมีทั้งสุนัขและกระต่าย ในจำนวนนี้ $6$ คนมีแมวด้วย จงหาว่ามีกี่คนที่มีสุนัขและกระต่ายเท่านั้น (ไม่มีแมว)
Answershow ▾
The $9$ already includes the $6$ who have all three.$9$ รวม $6$ คนที่มีทั้งสามอย่างไว้แล้ว
$20$ students have a rabbit. Of these, $3$ have a dog and a rabbit only, $2$ have a cat and a rabbit only, and $6$ have all three. How many have a rabbit only?
นักเรียน $20$ คนมีกระต่าย ในจำนวนนี้ $3$ คนมีสุนัขและกระต่ายเท่านั้น $2$ คนมีแมวและกระต่ายเท่านั้น และ $6$ คนมีทั้งสามอย่าง จงหาว่ามีกี่คนที่มีกระต่ายเท่านั้น
Answershow ▾
Take away every region already inside the rabbit circle.หักทุกบริเวณที่อยู่ในวงกระต่ายไปแล้วออกไป
Simplify $28-(x-6)$.
จงจัดรูป $28-(x-6)$ ให้ง่ายขึ้น
Answershow ▾
Expanding $-(x-6)$ flips both signs inside: $-x+6$.กระจาย $-(x-6)$ แล้วเปลี่ยนเครื่องหมายทั้งสองตัวข้างใน เป็น $-x+6$
$8$ students have a cat and a rabbit. $6$ of these have a dog too. Pick the first move to find the cat-and-rabbit-only region.
(A) write $8$ in the cat-and-rabbit-only region
(B) write $6$ in the centre, then subtract it from $8$
(C) subtract $5$ (the students with none) from $8$
นักเรียน $8$ คนมีทั้งแมวและกระต่าย ในจำนวนนี้ $6$ คนมีสุนัขด้วย จงเลือกขั้นแรกในการหาบริเวณแมวและกระต่ายเท่านั้น
(A) เขียน $8$ ลงในบริเวณแมวและกระต่ายเท่านั้น
(B) เขียน $6$ ลงตรงกลางก่อน แล้วหักออกจาก $8$
(C) หัก $5$ (นักเรียนที่ไม่มีสักอย่าง) ออกจาก $8$
Answershow ▾
(A) "$8$ have a cat and a rabbit" counts everyone with both, including the $6$ who also have a dog - writing $8$ there double-counts the centre. (C) $5$ have none of the three; unrelated to this region.(A) "$8$ คนมีแมวและกระต่าย" รวมทุกคนที่มีทั้งสองอย่าง รวมถึง $6$ คนที่มีสุนัขด้วย เขียน $8$ ตรงนั้นจึงนับตรงกลางซ้ำ · (C) $5$ คือนักเรียนที่ไม่มีสักอย่าง ไม่เกี่ยวกับบริเวณนี้
$x$ students have a dog and a cat in total. $6$ have all three. Write the dog-and-cat-only region in terms of $x$.
นักเรียน $x$ คนมีทั้งสุนัขและแมว $6$ คนมีทั้งสามอย่าง จงเขียนบริเวณสุนัขและแมวเท่านั้นในรูป $x$
Answershow ▾
Same move as before: subtract the centre from the pair total.ขั้นเดียวกับก่อนหน้า หักตรงกลางออกจากยอดรวมของคู่
$28$ students have a dog. $(x-6)$ have a dog and a cat only, $3$ have a dog and a rabbit only, and $6$ have all three. Pick the first move to find dog-only.
(A) $28-x$
(B) $28-(x-6)-3-6$
(C) $28-x-3-6-9$
นักเรียน $28$ คนมีสุนัข $(x-6)$ คนมีสุนัขและแมวเท่านั้น $3$ คนมีสุนัขและกระต่ายเท่านั้น และ $6$ คนมีทั้งสามอย่าง จงเลือกขั้นแรกในการหาสุนัขเท่านั้น
(A) $28-x$
(B) $28-(x-6)-3-6$
(C) $28-x-3-6-9$
Answershow ▾
(A) subtracts only the pair total $x$, and leaves out the dog-and-rabbit and all-three regions. (C) uses $9$, the full dog-and-rabbit total, instead of $3$, the dog-and-rabbit-only region - that subtracts the centre twice.(A) หักแค่ยอดรวมคู่ $x$ และลืมบริเวณสุนัข-กระต่ายกับบริเวณทั้งสามอย่าง · (C) ใช้ $9$ ซึ่งเป็นยอดรวมสุนัข-กระต่ายทั้งหมด แทนที่จะใช้ $3$ ซึ่งเป็นบริเวณสุนัข-กระต่ายเท่านั้น ทำให้หักตรงกลางซ้ำสองครั้ง
Simplify $28-(x-6)-3-6$ to find dog-only.
จงจัดรูป $28-(x-6)-3-6$ ให้ง่ายขึ้น เพื่อหาสุนัขเท่านั้น
Answershow ▾
Expand the bracket first, the same way as before.กระจายวงเล็บก่อน เหมือนขั้นตอนก่อนหน้า
$18$ students have a cat. $(x-6)$ have a dog and a cat only, $2$ have a cat and a rabbit only, and $6$ have all three. Find cat-only, in terms of $x$.
นักเรียน $18$ คนมีแมว $(x-6)$ คนมีสุนัขและแมวเท่านั้น $2$ คนมีแมวและกระต่ายเท่านั้น และ $6$ คนมีทั้งสามอย่าง จงหาแมวเท่านั้น ในรูป $x$
Answershow ▾
Same three-region subtraction as dog-only, with the cat numbers.หักสามบริเวณเหมือนสุนัขเท่านั้น แต่เปลี่ยนเป็นตัวเลขของแมว
All $8$ regions add up to $50$: dog-only $(25-x)$, cat-only $(16-x)$, rabbit-only $9$, dog-and-cat only $(x-6)$, dog-and-rabbit only $3$, cat-and-rabbit only $2$, all three $6$, none $5$. Work out $x$.
ทั้ง $8$ บริเวณรวมกันได้ $50$: สุนัขเท่านั้น $(25-x)$ แมวเท่านั้น $(16-x)$ กระต่ายเท่านั้น $9$ สุนัขและแมวเท่านั้น $(x-6)$ สุนัขและกระต่ายเท่านั้น $3$ แมวและกระต่ายเท่านั้น $2$ ทั้งสามอย่าง $6$ ไม่มีเลย $5$ จงหาค่าของ $x$
Answershow ▾
Collect the $x$ terms, then the numbers, then solve.รวมพจน์ $x$ ก่อน แล้วรวมตัวเลข จากนั้นแก้สมการ
Using the completed diagram: rabbit-only $9$, none $5$. Find $n(C'\cap D')$.
จากแผนภาพที่เติมสมบูรณ์แล้ว: กระต่ายเท่านั้น $9$ ไม่มีเลย $5$ จงหา $n(C'\cap D')$
Answershow ▾
Students with neither a cat nor a dog are the rabbit-only region plus the ones with none.นักเรียนที่ไม่มีทั้งแมวและสุนัข คือบริเวณกระต่ายเท่านั้น รวมกับคนที่ไม่มีสักอย่าง
(a) $39$ students are asked if they play football ($F$), basketball ($B$) or swimming ($S$).
Of these students
$22$ play football
$19$ play basketball
$14$ play swimming
$6$ play basketball and swimming
$7$ play football and swimming
$x$ play football and basketball
$4$ play all three
$3$ play none of the three
Complete the Venn diagram to show the number of students in each region. Give the numbers in terms of $x$ where necessary.
(b) Given that $39$ students answered in total, work out the value of $x$.
(c) Find $n(B'\cap F')$.
(ก) นักเรียน $39$ คนถูกถามว่าเล่นฟุตบอล ($F$) บาสเกตบอล ($B$) หรือว่ายน้ำ ($S$) หรือไม่
ในจำนวนนักเรียนเหล่านี้
$22$ คนเล่นฟุตบอล
$19$ คนเล่นบาสเกตบอล
$14$ คนว่ายน้ำ
$6$ คนเล่นบาสเกตบอลและว่ายน้ำ
$7$ คนเล่นฟุตบอลและว่ายน้ำ
$x$ คนเล่นฟุตบอลและบาสเกตบอล
$4$ คนเล่นทั้งสามอย่าง
$3$ คนไม่เล่นสักอย่าง
จงเติมแผนภาพเวนน์แสดงจำนวนนักเรียนในแต่ละบริเวณ เขียนจำนวนในรูป $x$ ในกรณีที่จำเป็น
(ข) กำหนดให้มีนักเรียนทั้งหมด $39$ คนที่ตอบคำถามนี้ จงหาค่าของ $x$
(ค) จงหา $n(B'\cap F')$
Answershow ▾
The same chain: pairwise-only from the centre, single-only in x, then solve from the total.ลำดับเดิม: หาคู่ซ้อนทับเท่านั้นจากตรงกลาง บริเวณเดี่ยวในรูป x แล้วแก้จากผลรวมทั้งหมด
(a) Some students in a school were asked the following question.
“Do you have a dog ($D$), a cat ($C$) or a rabbit ($R$)?”
Of these students
$28$ have a dog
$18$ have a cat
$20$ have a rabbit
$8$ have both a cat and a rabbit
$9$ have both a dog and a rabbit
$x$ have both a dog and a cat
$6$ have a dog, a cat and a rabbit
$5$ have not got a dog or a cat or a rabbit
Using this information, complete the Venn diagram to show the number of students in each appropriate subset.
Give the numbers in terms of $x$ where necessary.
(b) Given that a total of $50$ students answered the question,
work out the value of $x$.
(c) Find $n(C'\cap D')$
(ก) นักเรียนบางคนในโรงเรียนถูกถามคำถามต่อไปนี้
“คุณมีสุนัข ($D$) แมว ($C$) หรือกระต่าย ($R$) หรือไม่?”
ในจำนวนนักเรียนเหล่านี้
$28$ คนมีสุนัข
$18$ คนมีแมว
$20$ คนมีกระต่าย
$8$ คนมีทั้งแมวและกระต่าย
$9$ คนมีทั้งสุนัขและกระต่าย
$x$ คนมีทั้งสุนัขและแมว
$6$ คนมีทั้งสุนัข แมว และกระต่าย
$5$ คนไม่มีทั้งสุนัข แมว หรือกระต่ายเลย
จงใช้ข้อมูลนี้เติมแผนภาพเวนน์แสดงจำนวนนักเรียนในแต่ละส่วนที่เกี่ยวข้อง
เขียนจำนวนในรูป $x$ ในกรณีที่จำเป็น
(ข) กำหนดให้มีนักเรียนทั้งหมด $50$ คนที่ตอบคำถามนี้
จงหาค่าของ $x$
(ค) จงหา $n(C'\cap D')$
Answershow ▾
6 marks across three parts: fill the Venn in terms of $x$, solve $x$ from the total, then read off the complement for (c).6 คะแนนตลอดสามข้อ: เติมแผนภาพเวนน์ในรูป $x$ แก้หา $x$ จากผลรวมทั้งหมด แล้วอ่านส่วนเติมเต็มสำหรับ (ค)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$D\cap R\text{ only} = 9-6$
$= 3$
$C\cap R\text{ only} = 8-6$
$= 2$
M1 write D-only and C-only in xD อย่างเดียวและ C อย่างเดียวในรูป x
$D\text{ only}=28-(x-6)-3-6$
$C\text{ only}=18-(x-6)-2-6$
A1 tidy both expressionsจัดรูปทั้งสองนิพจน์ให้ง่ายขึ้น
$D\text{ only}=25-x$
$C\text{ only}=16-x$
M1 all regions must add to totalทุกบริเวณต้องรวมกันได้เท่ากับทั้งหมด
$R\text{ only} = 20-3-2-6$
$= 9$
$9+3+2+6+5 = 25$
$25+(x-6) = 19+x$
$(25-x)+(16-x)$
$= 41-2x$
$41-2x+19+x=50$
A1 solve for xแก้หา x
$60-x=50$
$x=10$
B1 R-only plus the none regionR อย่างเดียว บวกกับบริเวณไม่มีเลย
$n(C'\cap D') = 9+5$
$= 14$
Three subjects, one unknown สามวิชา หนึ่งตัวแปร
(a) Some students were asked the following question.
“Which of the subjects Russian ($R$), French ($F$) and German ($G$) do you study?”
Of these students
$4$ study all three of Russian, French and German
$10$ study Russian and French
$13$ study French and German
$6$ study Russian and German
$24$ study German
$11$ study none of the three subjects
the number who study Russian only is twice the number who study French only.
Let $x$ be the number of students who study French only.
Show all this information on the Venn diagram, giving the number of students in each appropriate subset, in terms of $x$ where necessary.
(b) Given that the number of students who were asked the question was $80$
work out the number of these students that study Russian.
(ก) นักเรียนบางคนถูกถามคำถามต่อไปนี้
“คุณเรียนวิชารัสเซีย ($R$) ฝรั่งเศส ($F$) หรือเยอรมัน ($G$) วิชาใดบ้าง?”
ในจำนวนนักเรียนเหล่านี้
$4$ คนเรียนทั้งสามวิชา รัสเซีย ฝรั่งเศส และเยอรมัน
$10$ คนเรียนรัสเซียและฝรั่งเศส
$13$ คนเรียนฝรั่งเศสและเยอรมัน
$6$ คนเรียนรัสเซียและเยอรมัน
$24$ คนเรียนเยอรมัน
$11$ คนไม่ได้เรียนวิชาใดในสามวิชานี้เลย
จำนวนคนที่เรียนรัสเซียอย่างเดียวเป็นสองเท่าของจำนวนคนที่เรียนฝรั่งเศสอย่างเดียว
ให้ $x$ แทนจำนวนนักเรียนที่เรียนฝรั่งเศสอย่างเดียว
จงแสดงข้อมูลนี้บนแผนภาพเวนน์ พร้อมเขียนจำนวนนักเรียนในแต่ละส่วนที่เกี่ยวข้อง เขียนในรูป $x$ ในกรณีที่จำเป็น
(ข) กำหนดให้มีนักเรียนทั้งหมด $80$ คนที่ถูกถามคำถามนี้
จงหาจำนวนนักเรียนที่เรียนรัสเซีย
$10$ students study Russian and French. $4$ study all three subjects. How many study Russian and French only (not German)?
นักเรียน $10$ คนเรียนรัสเซียและฝรั่งเศส · $4$ คนเรียนทั้งสามวิชา จงหาว่ามีกี่คนที่เรียนรัสเซียและฝรั่งเศสเท่านั้น (ไม่เรียนเยอรมัน)
Answershow ▾
The $10$ already includes the $4$ who study all three.$10$ รวม $4$ คนที่เรียนทั้งสามวิชาไว้แล้ว
$24$ students study German. Of these, $9$ study French and German only, $2$ study Russian and German only, and $4$ study all three. How many study German only?
นักเรียน $24$ คนเรียนเยอรมัน · ในจำนวนนี้ $9$ คนเรียนฝรั่งเศสและเยอรมันเท่านั้น $2$ คนเรียนรัสเซียและเยอรมันเท่านั้น และ $4$ คนเรียนทั้งสามวิชา จงหาว่ามีกี่คนที่เรียนเยอรมันเท่านั้น
Answershow ▾
Take away every region already inside the German circle.หักทุกบริเวณที่อยู่ในวงเยอรมันไปแล้วออกไป
Solve $3x+41=80$ for $x$.
จงแก้สมการ $3x+41=80$ หาค่า $x$
Answershow ▾
Subtract $41$ from both sides first, then divide by $3$.หัก $41$ ออกจากทั้งสองข้างก่อน แล้วหารด้วย $3$
$4$ students study all three subjects. $6$ students study Russian and German. Pick the first move to find how many study Russian and German only (not French).
(A) write $6$ directly in the Russian-and-German-only region
(B) write $4$ in the centre first, then subtract it from $6$
(C) subtract $11$ (the students with none) from $6$
นักเรียน $4$ คนเรียนทั้งสามวิชา · นักเรียน $6$ คนเรียนรัสเซียและเยอรมัน จงเลือกขั้นแรกในการหาจำนวนคนที่เรียนรัสเซียและเยอรมันเท่านั้น (ไม่เรียนฝรั่งเศส)
(A) เขียน $6$ ลงในบริเวณรัสเซียและเยอรมันเท่านั้นโดยตรง
(B) เขียน $4$ ลงตรงกลางก่อน แล้วหักออกจาก $6$
(C) หัก $11$ (นักเรียนที่ไม่เรียนสักวิชา) ออกจาก $6$
Answershow ▾
(A) "$6$ study Russian and German" includes the $4$ who also study French, so writing $6$ there double-counts the centre. (C) $11$ is the students with none of the three subjects, unrelated to this region.(A) "$6$ คนเรียนรัสเซียและเยอรมัน" รวม $4$ คนที่เรียนฝรั่งเศสด้วยไว้แล้ว เขียน $6$ ลงตรงนั้น จึงนับตรงกลางซ้ำ · (C) $11$ คือนักเรียนที่ไม่เรียนสักวิชา ไม่เกี่ยวกับบริเวณนี้
$6$ students study Russian and German. $4$ study all three. Work out the Russian-and-German-only region.
นักเรียน $6$ คนเรียนรัสเซียและเยอรมัน · $4$ คนเรียนทั้งสามวิชา จงหาบริเวณรัสเซียและเยอรมันเท่านั้น
Answershow ▾
Same move as question $1$, with a different pair.ขั้นเดียวกับข้อ $1$ แต่เปลี่ยนเป็นอีกคู่หนึ่ง
$13$ students study French and German. $4$ study all three. Work out the French-and-German-only region.
นักเรียน $13$ คนเรียนฝรั่งเศสและเยอรมัน · $4$ คนเรียนทั้งสามวิชา จงหาบริเวณฝรั่งเศสและเยอรมันเท่านั้น
Answershow ▾
Same move again, with the last pair.ขั้นเดียวกันอีกครั้ง กับคู่สุดท้าย
Russian only is $2x$, French only is $x$. The other regions are: German only $9$, Russian-and-French only $6$, Russian-and-German only $2$, French-and-German only $9$, all three $4$, and none $11$. The total asked was $80$. Write the equation.
รัสเซียเท่านั้นคือ $2x$ ฝรั่งเศสเท่านั้นคือ $x$ · บริเวณอื่น ๆ คือ เยอรมันเท่านั้น $9$ รัสเซียและฝรั่งเศสเท่านั้น $6$ รัสเซียและเยอรมันเท่านั้น $2$ ฝรั่งเศสและเยอรมันเท่านั้น $9$ ทั้งสามวิชา $4$ และไม่เรียนสักวิชา $11$ · จำนวนที่ถูกถามทั้งหมดคือ $80$ จงเขียนสมการ
Answershow ▾
Every region, added once, must equal the total asked.ทุกบริเวณ บวกกันครั้งเดียว ต้องเท่ากับจำนวนที่ถูกถามทั้งหมด
$x=13$. Pick the first move to find $n(R)$, the number of students who study Russian.
(A) work out $2x$ only
(B) add every region inside circle $R$: $2x+6+2+4$
(C) add $2x$ and the total $80$
$x=13$ · จงเลือกขั้นแรกในการหา $n(R)$ จำนวนนักเรียนที่เรียนรัสเซีย
(A) หา $2x$ อย่างเดียว
(B) บวกทุกบริเวณที่อยู่ในวง $R$: $2x+6+2+4$
(C) บวก $2x$ กับผลรวมทั้งหมด $80$
Answershow ▾
(A) counts Russian-only only, missing the two overlaps and the centre, which also belong to Russian. (C) adds the whole-survey total, not part of circle $R$.(A) นับแค่รัสเซียเท่านั้น ขาดส่วนซ้อนสองส่วนและตรงกลาง ซึ่งก็เรียนรัสเซียด้วยเหมือนกัน · (C) บวกผลรวมทั้งหมดของแบบสำรวจ ซึ่งไม่ได้อยู่ในวง $R$
Simplify $2x+x+9+6+2+9+4+11=80$, then solve for $x$.
จงจัดรูป $2x+x+9+6+2+9+4+11=80$ แล้วแก้หา $x$
Answershow ▾
Collect the $x$ terms and the number terms separately, then balance.รวมพจน์ $x$ และพจน์ตัวเลขแยกกันก่อน แล้วปรับสมดุล
Check $x=13$: does every region add back up to $80$?
ตรวจ $x=13$: ทุกบริเวณบวกกันกลับเป็น $80$ หรือไม่
Answershow ▾
Substituting the solved value back into every region should return the original total.แทนค่าที่แก้ได้กลับเข้าไปในทุกบริเวณ ต้องได้ผลรวมเดิม
(a) Some students were asked which of Chinese ($C$), Japanese ($J$) and Korean ($K$) they study.
Of these students
$2$ study all three of Chinese, Japanese and Korean
$8$ study Chinese and Japanese
$10$ study Japanese and Korean
$6$ study Chinese and Korean
$20$ study Korean
$6$ study none of the three subjects
the number who study Chinese only is twice the number who study Japanese only.
Let $y$ be the number of students who study Japanese only.
Show all this information on the Venn diagram, giving the number of students in each appropriate subset, in terms of $y$ where necessary.
(b) Given that the number of students who were asked the question was $50$
work out the number of these students that study Chinese.
(ก) มีการถามนักเรียนกลุ่มหนึ่งว่าเรียนวิชาจีน ($C$) ญี่ปุ่น ($J$) หรือเกาหลี ($K$) วิชาใดบ้าง
ในจำนวนนักเรียนเหล่านี้
$2$ คนเรียนทั้งสามวิชา จีน ญี่ปุ่น และเกาหลี
$8$ คนเรียนจีนและญี่ปุ่น
$10$ คนเรียนญี่ปุ่นและเกาหลี
$6$ คนเรียนจีนและเกาหลี
$20$ คนเรียนเกาหลี
$6$ คนไม่ได้เรียนวิชาใดในสามวิชานี้เลย
จำนวนคนที่เรียนจีนอย่างเดียวเป็นสองเท่าของจำนวนคนที่เรียนญี่ปุ่นอย่างเดียว
ให้ $y$ แทนจำนวนนักเรียนที่เรียนญี่ปุ่นอย่างเดียว
จงแสดงข้อมูลนี้บนแผนภาพเวนน์ พร้อมเขียนจำนวนนักเรียนในแต่ละส่วนที่เกี่ยวข้อง เขียนในรูป $y$ ในกรณีที่จำเป็น
(ข) กำหนดให้มีนักเรียนทั้งหมด $50$ คนที่ถูกถามคำถามนี้
จงหาจำนวนนักเรียนที่เรียนจีน
Answershow ▾
Same chain as the real question, now with numbers that come out exactly.ลำดับเดิมของข้อสอบจริง แต่ใช้ตัวเลขที่คำนวณได้ลงตัว
(a) Some students were asked the following question.
“Which of the subjects Russian ($R$), French ($F$) and German ($G$) do you study?”
Of these students
$4$ study all three of Russian, French and German
$10$ study Russian and French
$13$ study French and German
$6$ study Russian and German
$24$ study German
$11$ study none of the three subjects
the number who study Russian only is twice the number who study French only.
Let $x$ be the number of students who study French only.
Show all this information on the Venn diagram, giving the number of students in each appropriate subset, in terms of $x$ where necessary.
(b) Given that the number of students who were asked the question was $80$
work out the number of these students that study Russian.
(ก) นักเรียนบางคนถูกถามคำถามต่อไปนี้
“คุณเรียนวิชารัสเซีย ($R$) ฝรั่งเศส ($F$) หรือเยอรมัน ($G$) วิชาใดบ้าง?”
ในจำนวนนักเรียนเหล่านี้
$4$ คนเรียนทั้งสามวิชา รัสเซีย ฝรั่งเศส และเยอรมัน
$10$ คนเรียนรัสเซียและฝรั่งเศส
$13$ คนเรียนฝรั่งเศสและเยอรมัน
$6$ คนเรียนรัสเซียและเยอรมัน
$24$ คนเรียนเยอรมัน
$11$ คนไม่ได้เรียนวิชาใดในสามวิชานี้เลย
จำนวนคนที่เรียนรัสเซียอย่างเดียวเป็นสองเท่าของจำนวนคนที่เรียนฝรั่งเศสอย่างเดียว
ให้ $x$ แทนจำนวนนักเรียนที่เรียนฝรั่งเศสอย่างเดียว
จงแสดงข้อมูลนี้บนแผนภาพเวนน์ พร้อมเขียนจำนวนนักเรียนในแต่ละส่วนที่เกี่ยวข้อง เขียนในรูป $x$ ในกรณีที่จำเป็น
(ข) กำหนดให้มีนักเรียนทั้งหมด $80$ คนที่ถูกถามคำถามนี้
จงหาจำนวนนักเรียนที่เรียนรัสเซีย
Answershow ▾
6 marks: fill the Venn in terms of $x$ for (a), then use the total $80$ to solve for $x$ and find $n(R)$ for (b).6 คะแนน: เติมแผนภาพเวนน์ในรูป $x$ สำหรับ (ก) แล้วใช้ผลรวม $80$ แก้หา $x$ และหา $n(R)$ สำหรับ (ข)
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$R\cap F\text{ only} = 10-4$
$= 6$
$F\cap G\text{ only} = 13-4$
$= 9$
$R\cap G\text{ only} = 6-4$
$= 2$
M1 G-only from the German totalG อย่างเดียวจากยอดรวมเยอรมัน
$G\text{ only}=24-9-2-4$
$= 9$
M1 all regions must add to totalทุกบริเวณต้องรวมกันได้เท่ากับทั้งหมด
$2x+x = 3x$
$9+6+9 = 24$
$2+4+11 = 17$
$24+17 = 41$
$2x+x+41 = 80$
A1 solve for xแก้หา x
$3x+41=80$
$x=13$
M1 add every region in Rรวมทุกบริเวณที่อยู่ใน R
$n(R) = 2(13)+6+2+4$
A1 number who study Russianจำนวนคนที่เรียนรัสเซีย
$n(R) = 38$
Eight facts, no diagram given ข้อเท็จจริงแปดข้อ ไม่มีแผนภาพให้
$A$, $B$ and $C$ are three sets.
$n(A\cap B\cap C) = 5$
$n(A\cap B\cap C') = 2$
$n(A\cap C) = 5$
$n(A) = 17$
$n\big([A\cup B\cup C]'\big) = 3$
$n(A'\cap B\cap C') = 6$
$n(B\cap C) = 7$
$n(C) = 14$
Complete the Venn diagram to show the number of elements in each region.
(Total for Question is 4 marks)
$A$, $B$ และ $C$ เป็นสามเซต
$n(A\cap B\cap C) = 5$
$n(A\cap B\cap C') = 2$
$n(A\cap C) = 5$
$n(A) = 17$
$n\big([A\cup B\cup C]'\big) = 3$
$n(A'\cap B\cap C') = 6$
$n(B\cap C) = 7$
$n(C) = 14$
จงเติมแผนภาพเวนน์แสดงจำนวนสมาชิกในแต่ละบริเวณ
$n(B\cap C)=7$. The centre $n(A\cap B\cap C)=5$. Work out the $B\cap C$ only region.
$n(B\cap C)=7$ · ตรงกลาง $n(A\cap B\cap C)=5$ จงหาบริเวณ $B\cap C$ อย่างเดียว
Answershow ▾
The $7$ already includes the $5$ that are in all three sets.$7$ รวมสมาชิก $5$ ตัวที่อยู่ในทั้งสามเซตไว้แล้ว
$n(A\cap B\cap C')=2$. This already excludes $C$. Write the count for the $A\cap B$ only region.
$n(A\cap B\cap C')=2$ ซึ่งไม่รวม $C$ อยู่แล้ว จงเขียนจำนวนสำหรับบริเวณ $A\cap B$ อย่างเดียว
Answershow ▾
$C'$ means not in $C$, so $A\cap B\cap C'$ is already the $A$-and-$B$-only region.C' หมายถึงไม่อยู่ใน C ดังนั้น A∩B∩C' คือบริเวณ A และ B อย่างเดียวอยู่แล้ว
A set $X$ has $n(X)=20$. The centre is $4$. $X\cap Y$ only is $3$ and $X\cap Z$ only is $5$. Work out $X$ only.
เซต $X$ มี $n(X)=20$ · ตรงกลางคือ $4$ · $X\cap Y$ อย่างเดียวคือ $3$ และ $X\cap Z$ อย่างเดียวคือ $5$ จงหา $X$ อย่างเดียว
Answershow ▾
Take away every region already inside $X$.หักทุกบริเวณที่อยู่ใน X ไปแล้วออกไป
$n(A\cap C)=5$. The centre $n(A\cap B\cap C)=5$. Pick the first move to find $A\cap C$ only.
(A) write $5$ directly in the $A\cap C$ only region
(B) subtract the centre: $5-5$
(C) subtract $A\cap B$ only ($2$) from $5$
$n(A\cap C)=5$ · ตรงกลาง $n(A\cap B\cap C)=5$ จงเลือกขั้นแรกในการหาบริเวณ $A\cap C$ อย่างเดียว
(A) เขียน $5$ ลงในบริเวณ $A\cap C$ อย่างเดียวโดยตรง
(B) หักตรงกลาง: $5-5$
(C) หักบริเวณ $A\cap B$ อย่างเดียว ($2$) ออกจาก $5$
Answershow ▾
(A) copies the $A\cap C$ total straight in, forgetting it already counts the $5$ that are also in $B$ - the centre. (C) subtracts the wrong region; only the centre is shared by all three sets.(A) เอาผลรวม A∩C มาเขียนตรงๆ โดยลืมว่ามันรวมสมาชิก 5 ตัวที่อยู่ใน B ด้วยไว้แล้ว ซึ่งคือตรงกลาง · (C) หักบริเวณผิด เพราะมีแค่ตรงกลางเท่านั้นที่อยู่ในทั้งสามเซต
Using $n(A)=17$, the centre $5$, $A\cap B$ only $2$, and $A\cap C$ only $0$, work out $A$ only.
ใช้ $n(A)=17$ ตรงกลาง $5$ $A\cap B$ อย่างเดียว $2$ และ $A\cap C$ อย่างเดียว $0$ จงหา $A$ อย่างเดียว
Answershow ▾
Take away every region already inside $A$.หักทุกบริเวณที่อยู่ใน A ไปแล้วออกไป
Using $n(C)=14$, the centre $5$, $A\cap C$ only $0$, and $B\cap C$ only $2$, work out $C$ only.
ใช้ $n(C)=14$ ตรงกลาง $5$ $A\cap C$ อย่างเดียว $0$ และ $B\cap C$ อย่างเดียว $2$ จงหา $C$ อย่างเดียว
Answershow ▾
Take away every region already inside $C$.หักทุกบริเวณที่อยู่ใน C ไปแล้วออกไป
$n(A'\cap B\cap C')=6$. Both complements already exclude $A$ and $C$. Pick the first move to place $B$ only.
(A) use $6$ directly as $B$ only
(B) subtract the centre: $6-5$
(C) subtract $A\cap B$ only ($2$) from $6$
$n(A'\cap B\cap C')=6$ · ส่วนเติมเต็มทั้งสองตัวไม่รวม A และ C อยู่แล้ว จงเลือกขั้นแรกในการวางบริเวณ $B$ อย่างเดียว
(A) ใช้ $6$ โดยตรงเป็น $B$ อย่างเดียว
(B) หักตรงกลาง: $6-5$
(C) หักบริเวณ $A\cap B$ อย่างเดียว ($2$) ออกจาก $6$
Answershow ▾
$A'$ and $C'$ already exclude the centre and the $A\cap B$ only region, so there is nothing left to subtract from $6$.A' และ C' ไม่รวมตรงกลางและบริเวณ A∩B อย่างเดียวอยู่แล้ว จึงไม่มีอะไรต้องหักออกจาก 6
The fact list gives $n\big([A\cup B\cup C]'\big)=3$. Write the count for the region outside all three circles.
ข้อเท็จจริงให้ $n\big([A\cup B\cup C]'\big)=3$ จงเขียนจำนวนสำหรับบริเวณที่อยู่นอกวงทั้งสาม
Answershow ▾
This complement means in none of the three circles.ส่วนเติมเต็มนี้หมายถึงไม่อยู่ในวงใดวงหนึ่งของทั้งสาม
Check the diagram: $A$ only $10$, $A\cap B$ only $2$, $A\cap C$ only $0$, centre $5$. Do these add to $n(A)=17$?
ตรวจแผนภาพ: $A$ อย่างเดียว $10$ $A\cap B$ อย่างเดียว $2$ $A\cap C$ อย่างเดียว $0$ ตรงกลาง $5$ รวมกันได้ $n(A)=17$ หรือไม่
Answershow ▾
Add every region that lies inside circle $A$.บวกทุกบริเวณที่อยู่ในวง A
Check again: $C$ only $7$, $A\cap C$ only $0$, $B\cap C$ only $2$, centre $5$. Do these add to $n(C)=14$?
ตรวจอีกครั้ง: $C$ อย่างเดียว $7$ $A\cap C$ อย่างเดียว $0$ $B\cap C$ อย่างเดียว $2$ ตรงกลาง $5$ รวมกันได้ $n(C)=14$ หรือไม่
Answershow ▾
Add every region that lies inside circle $C$.บวกทุกบริเวณที่อยู่ในวง C
$P$, $Q$ and $R$ are three sets.
$n(P\cap Q\cap R) = 4$
$n(P\cap Q\cap R') = 3$
$n(P\cap R) = 4$
$n(P) = 20$
$n\big([P\cup Q\cup R]'\big) = 2$
$n(P'\cap Q\cap R') = 9$
$n(Q\cap R) = 10$
$n(R) = 16$
Complete the Venn diagram to show the number of elements in each region.
$P$, $Q$ และ $R$ เป็นสามเซต
$n(P\cap Q\cap R) = 4$
$n(P\cap Q\cap R') = 3$
$n(P\cap R) = 4$
$n(P) = 20$
$n\big([P\cup Q\cup R]'\big) = 2$
$n(P'\cap Q\cap R') = 9$
$n(Q\cap R) = 10$
$n(R) = 16$
จงเติมแผนภาพเวนน์แสดงจำนวนสมาชิกในแต่ละบริเวณ
Answershow ▾
The same order as before: pair totals minus the centre, then each only region from its total.ลำดับเดิม: หักตรงกลางออกจากคู่ แล้วหาบริเวณเดียวของแต่ละเซตจากผลรวม
$A$, $B$ and $C$ are three sets.
$n(A\cap B\cap C) = 5$
$n(A\cap B\cap C') = 2$
$n(A\cap C) = 5$
$n(A) = 17$
$n\big([A\cup B\cup C]'\big) = 3$
$n(A'\cap B\cap C') = 6$
$n(B\cap C) = 7$
$n(C) = 14$
Complete the Venn diagram to show the number of elements in each region.
(Total for Question is 4 marks)
$A$, $B$ และ $C$ เป็นสามเซต
$n(A\cap B\cap C) = 5$
$n(A\cap B\cap C') = 2$
$n(A\cap C) = 5$
$n(A) = 17$
$n\big([A\cup B\cup C]'\big) = 3$
$n(A'\cap B\cap C') = 6$
$n(B\cap C) = 7$
$n(C) = 14$
จงเติมแผนภาพเวนน์แสดงจำนวนสมาชิกในแต่ละบริเวณ
Answershow ▾
4 marks: subtract the centre from each pair total, then each only region from its total.4 คะแนน: หักตรงกลางออกจากผลรวมของแต่ละคู่ แล้วหาบริเวณเดียวของแต่ละเซตจากผลรวม
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
$A\cap C\text{ only} = 5-5$
$= 0$
$A\cap B\text{ only} = 2$
B1 find B only and BnC onlyหา B อย่างเดียว และ B∩C อย่างเดียว
$B\text{ only} = 6$
$B\cap C\text{ only} = 7-5$
$= 2$
B1 find A only from n(A)หา A อย่างเดียวจาก n(A)
$A\text{ only} = 17-2-0-5$
$= 10$
B1 find C only and place factsหา C อย่างเดียว แล้ววางข้อมูลที่เหลือ
$C\text{ only} = 14-0-2-5$
$= 7$
$n(A\cap B\cap C) = 5$
$n([A\cup B\cup C]') = 3$