Probability · practice ladders ชุดไต่ระดับ · ความน่าจะเป็น
Start at question 1. It is one small step. Question 10 is the real exam question at the top of the set. เริ่มที่ข้อ 1 เป็นสเต็ปเล็กๆ ข้อเดียว · ข้อ 10 คือข้อสอบจริงที่อยู่หัวชุด
Two pens, and the box gets smaller ปากกาสองด้าม และกล่องที่เหลือน้อยลง
A box contains 12 pens. 7 of the pens are blue and 5 of the pens are black. Malee takes at random a pen from the box and does not replace it. She then takes at random a second pen from the box. The tree diagram shows this, where $B$ is blue and $K$ is black.
(a) Complete the tree diagram.
(b) Work out the probability that both pens are blue. Give your answer as a fraction in its simplest form.
(c) Work out the probability that the two pens are different colours. Give your answer as a fraction in its simplest form.
กล่องใบหนึ่งมีปากกา 12 ด้าม เป็นสีน้ำเงิน 7 ด้าม และสีดำ 5 ด้าม มาลีหยิบปากกาจากกล่องแบบสุ่มหนึ่งด้ามโดยไม่ใส่คืน แล้วหยิบด้ามที่สองแบบสุ่ม แผนภาพต้นไม้แสดงเหตุการณ์นี้ โดย $B$ คือสีน้ำเงิน และ $K$ คือสีดำ
(ก) จงเติมแผนภาพต้นไม้ให้สมบูรณ์
(ข) จงหาความน่าจะเป็นที่ปากกาทั้งสองด้ามเป็นสีน้ำเงิน ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
(ค) จงหาความน่าจะเป็นที่ปากกาสองด้ามมีสีต่างกัน ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
A box holds $12$ pens, $7$ of them blue. Work out the probability that the first pen taken is blue.
กล่องมีปากกา $12$ ด้าม เป็นสีน้ำเงิน $7$ ด้าม จงหาความน่าจะเป็นที่ปากกาด้ามแรกที่หยิบเป็นสีน้ำเงิน
Answershow ▾
Wanted over total. Nothing has been taken out yet.จำนวนที่ต้องการ หารด้วย จำนวนทั้งหมด · ยังไม่มีอะไรถูกหยิบออกไป
A blue pen is taken from the box of $12$ and not replaced. How many pens are left, and how many of them are blue?
หยิบปากกาสีน้ำเงินออกจากกล่อง $12$ ด้ามโดยไม่ใส่คืน เหลือปากกากี่ด้าม และเป็นสีน้ำเงินกี่ด้าม
Answershow ▾
One pen has gone, and it was a blue one. Both numbers drop by one.ปากกาหายไปหนึ่งด้าม และเป็นสีน้ำเงิน · ตัวเลขทั้งสองลดลงหนึ่ง
Work out $\dfrac{7}{12}\times\dfrac{6}{11}$, giving your answer in its simplest form.
จงหา $\dfrac{7}{12}\times\dfrac{6}{11}$ ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
Answershow ▾
Tops together, bottoms together, then cancel: $\dfrac{42}{132}$ divides by $6$.คูณเศษกับเศษ ส่วนกับส่วน แล้วทอน · $\dfrac{42}{132}$ หารด้วย $6$ ได้
The pen is not replaced. On the second set of branches, decide what changes: only the top of the fraction, only the bottom, or both. Then write the bottom number that appears on every second branch.
ปากกาไม่ถูกใส่คืน · บนกิ่งชุดที่สอง จงตัดสินว่าอะไรเปลี่ยน เศษอย่างเดียว ส่วนอย่างเดียว หรือทั้งคู่ แล้วเขียนตัวส่วนที่ปรากฏบนกิ่งที่สองทุกกิ่ง
Answershow ▾
A pen has left the box, so the total drops for everybody — that is the $11$, and it is the same on all four second branches. The top changes only on the branch that matches the colour already taken. Students who change only the top get $\tfrac{6}{12}$ and students who copy the first branches get $\tfrac{7}{12}$ again, and both then produce clean-looking answers all the way to part (c). The two B1 marks in part (a) are for the four fractions; noticing the words “does not replace” carries no mark and decides all six.ปากกาออกจากกล่องไปแล้ว จำนวนรวมจึงลดลงสำหรับทุกกรณี นั่นคือเลข $11$ และเป็น $11$ เหมือนกันทั้งสี่กิ่ง · ส่วนตัวเศษเปลี่ยนเฉพาะกิ่งที่ตรงกับสีที่หยิบไปแล้ว · คนที่เปลี่ยนแค่ตัวเศษจะได้ $\tfrac{6}{12}$ และคนที่ลอกกิ่งแรกลงมาจะได้ $\tfrac{7}{12}$ อีกครั้ง ทั้งคู่จะให้คำตอบที่ดูเรียบร้อยไปจนถึงข้อ (ค) · B1 สองคะแนนของข้อ (ก) ให้กับเศษส่วนสี่ตัว · การสังเกตคำว่า “ไม่ใส่คืน” ไม่มีคะแนน แต่ชี้ขาดทั้งหกคะแนน
Write the four probabilities on the second set of branches.
จงเขียนความน่าจะเป็นสี่ค่าบนกิ่งชุดที่สอง
Answershow ▾
Part (a), two marks. Each pair must add to $1$ — that is your check.ข้อ (ก) สองคะแนน · แต่ละคู่ต้องรวมกันได้ $1$ · นั่นคือวิธีตรวจ
You want $P(\text{blue then blue})$. Decide whether you go along the two branches or down the list of outcomes, and name the operation each direction uses.
ต้องการความน่าจะเป็นที่ได้สีน้ำเงินแล้วสีน้ำเงินอีก จงตัดสินว่าจะเดินตามกิ่งหรือเดินลงมาตามรายการผลลัพธ์ และบอกว่าแต่ละทิศใช้การดำเนินการอะไร
Answershow ▾
Along a path is “this and then that”, and and multiplies. Down the list is “this outcome or that outcome”, and or adds. Adding $\tfrac{7}{12}+\tfrac{6}{11}$ gives $\tfrac{149}{132}$, which is bigger than $1$ — a probability that cannot exist, and a check worth doing every time. The M1 in part (b) is for the product being written; knowing which way to travel is worth nothing.การเดินตามกิ่งคือ “อันนี้ แล้วก็ อันนั้น” และคำว่า และ คือการคูณ · การเดินลงมาตามรายการคือ “ผลลัพธ์นี้ หรือ ผลลัพธ์นั้น” และคำว่า หรือ คือการบวก · ถ้าบวก $\tfrac{7}{12}+\tfrac{6}{11}$ จะได้ $\tfrac{149}{132}$ ซึ่งมากกว่า $1$ เป็นความน่าจะเป็นที่มีไม่ได้ และเป็นการตรวจที่ควรทำทุกครั้ง · M1 ของข้อ (ข) ให้กับการเขียนผลคูณ ส่วนการรู้ว่าต้องเดินทางไหนไม่มีคะแนน
Work out the probability that both pens are blue.
จงหาความน่าจะเป็นที่ปากกาทั้งสองด้ามเป็นสีน้ำเงิน
Answershow ▾
Part (b), two marks. One path, so one product.ข้อ (ข) สองคะแนน · เส้นทางเดียว จึงคูณครั้งเดียว
“The two pens are different colours.” Count the paths through the tree that give this, name them, and say why $BK$ and $KB$ are not the same path.
“ปากกาสองด้ามมีสีต่างกัน” จงนับเส้นทางในแผนภาพต้นไม้ที่ให้ผลนี้ บอกชื่อเส้นทางเหล่านั้น และบอกว่าทำไม $BK$ กับ $KB$ ไม่ใช่เส้นทางเดียวกัน
Answershow ▾
The order in which the pens came out is part of the outcome: taking blue first and black second is a different journey through the tree from taking black first. Their probabilities happen to be equal here, $\tfrac{35}{132}$ each, which is exactly why forgetting one of them produces an answer that looks reasonable — and is exactly half of the right one. The M1 in part (c) is awarded only when both products are there; counting the paths is free.ลำดับที่ปากกาถูกหยิบออกมาเป็นส่วนหนึ่งของผลลัพธ์ · หยิบน้ำเงินก่อนแล้วดำ เป็นคนละเส้นทางกับหยิบดำก่อนแล้วน้ำเงิน · ความน่าจะเป็นบังเอิญเท่ากันที่ $\tfrac{35}{132}$ นี่แหละคือเหตุผลที่ลืมไปหนึ่งเส้นทางแล้วยังได้คำตอบที่ดูสมเหตุสมผล และเป็นครึ่งหนึ่งของคำตอบที่ถูกพอดี · M1 ของข้อ (ค) ให้ก็ต่อเมื่อมีผลคูณครบทั้งสอง · การนับเส้นทางไม่มีคะแนน
Work out the probability that the first pen is blue and the second is black.
จงหาความน่าจะเป็นที่ปากกาด้ามแรกเป็นสีน้ำเงินและด้ามที่สองเป็นสีดำ
Answershow ▾
Along the branches again. Leave it unsimplified so it is easy to add to the next one.เดินตามกิ่งอีกครั้ง · ยังไม่ต้องทอน จะได้บวกกับอีกเส้นทางง่ายๆ
Work out the probability that the two pens are different colours.
จงหาความน่าจะเป็นที่ปากกาสองด้ามมีสีต่างกัน
Answershow ▾
Part (c), two marks. Add the two paths, then cancel by $2$.ข้อ (ค) สองคะแนน · บวกสองเส้นทาง แล้วทอนด้วย $2$
Work out the probability that both pens are black.
จงหาความน่าจะเป็นที่ปากกาทั้งสองด้ามเป็นสีดำ
Answershow ▾
Check the whole tree: $\tfrac{7}{22} + \tfrac{35}{66} + \tfrac{5}{33} = 1$.ตรวจทั้งแผนภาพ: $\tfrac{7}{22} + \tfrac{35}{66} + \tfrac{5}{33} = 1$
A bag holds $10$ counters: $6$ red and $4$ green. Two counters are taken at random without replacement.
(a) Work out the probability that both are red. (b) Work out the probability that they are different colours.
ถุงใบหนึ่งมีเบี้ย $10$ อัน เป็นสีแดง $6$ อัน และสีเขียว $4$ อัน หยิบสองอันแบบสุ่มโดยไม่ใส่คืน
(ก) จงหาความน่าจะเป็นที่ทั้งสองอันเป็นสีแดง (ข) จงหาความน่าจะเป็นที่ทั้งสองอันมีสีต่างกัน
Answershow ▾
Second denominator $9$ this time, and still two paths for “different”.คราวนี้ตัวส่วนที่สองคือ $9$ · และ “สีต่างกัน” ก็ยังมีสองเส้นทางเหมือนเดิม
A box contains 12 pens. 7 of the pens are blue and 5 of the pens are black. Malee takes at random a pen from the box and does not replace it. She then takes at random a second pen from the box.
(a) Complete the tree diagram.
(b) Work out the probability that both pens are blue.
(c) Work out the probability that the two pens are different colours.
กล่องใบหนึ่งมีปากกา 12 ด้าม เป็นสีน้ำเงิน 7 ด้าม และสีดำ 5 ด้าม มาลีหยิบปากกาจากกล่องแบบสุ่มหนึ่งด้ามโดยไม่ใส่คืน แล้วหยิบด้ามที่สองแบบสุ่ม
(ก) จงเติมแผนภาพต้นไม้ให้สมบูรณ์
(ข) จงหาความน่าจะเป็นที่ปากกาทั้งสองด้ามเป็นสีน้ำเงิน
(ค) จงหาความน่าจะเป็นที่ปากกาสองด้ามมีสีต่างกัน
Answershow ▾
6 marks. Four words did all the damage: does not replace it.6 คะแนน · สี่คำนี้คือตัวการทั้งหมด: โดยไม่ใส่คืน
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) M1 $\tfrac{7}{12}\times\tfrac{6}{11}$ A1 $\tfrac{7}{22}$.
(c) M1 $\tfrac{7}{12}\times\tfrac{5}{11} + \tfrac{5}{12}\times\tfrac{7}{11}$ A1 $\tfrac{35}{66}$.
The M1 in (c) needs both paths. Nothing pays for realising there are two.
A Venn diagram, and what you are dividing by แผนภาพเวนน์ กับตัวส่วนที่ต้องใช้
There are 60 members of a fitness club. The Venn diagram shows the number of members who swim ($S$) and the number who cycle ($C$).
(a) Find $n(S\cup C)$.
(b) One of the 60 members is chosen at random. Work out the probability that this member neither swims nor cycles. Give your answer as a fraction in its simplest form.
(c) A member is chosen at random from those who cycle. Work out the probability that this member also swims.
สโมสรฟิตเนสมีสมาชิก 60 คน แผนภาพเวนน์แสดงจำนวนสมาชิกที่ว่ายน้ำ ($S$) และที่ปั่นจักรยาน ($C$)
(ก) จงหา $n(S\cup C)$
(ข) สุ่มเลือกสมาชิกหนึ่งคนจาก 60 คน จงหาความน่าจะเป็นที่คนนี้ไม่ว่ายน้ำและไม่ปั่นจักรยาน ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
(ค) สุ่มเลือกสมาชิกหนึ่งคนจากกลุ่มที่ปั่นจักรยาน จงหาความน่าจะเป็นที่คนนี้ว่ายน้ำด้วย
In the Venn diagram, $23$ members swim only, $11$ both swim and cycle, $17$ cycle only and $9$ do neither. Work out $n(S)$.
ในแผนภาพเวนน์ มีสมาชิก $23$ คนว่ายน้ำอย่างเดียว $11$ คนทำทั้งสองอย่าง $17$ คนปั่นจักรยานอย่างเดียว และ $9$ คนไม่ทำทั้งสองอย่าง จงหา $n(S)$
Answershow ▾
Everyone inside the $S$ circle counts, including the $11$ who are also in $C$.ทุกคนที่อยู่ในวง $S$ นับหมด รวมถึง $11$ คนที่อยู่ในวง $C$ ด้วย
Work out how many members are in at least one of the two circles.
จงหาจำนวนสมาชิกที่อยู่ในวงกลมอย่างน้อยหนึ่งวง
Answershow ▾
Add the three regions inside the circles. Do not count the $11$ twice.บวกสามส่วนที่อยู่ในวงกลม · อย่านับ $11$ ซ้ำสองครั้ง
Write $\dfrac{9}{60}$ in its simplest form.
จงเขียน $\dfrac{9}{60}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
Answershow ▾
Both divide by $3$.ทั้งเศษและส่วนหารด้วย $3$ ได้
The number in the middle of the Venn diagram is $11$. Decide whether $n(S)$ is $23$ or $34$, and then say in one line what each number printed in a Venn diagram is counting.
ตัวเลขตรงกลางแผนภาพเวนน์คือ $11$ จงตัดสินว่า $n(S)$ เป็น $23$ หรือ $34$ แล้วเขียนหนึ่งบรรทัดว่าตัวเลขแต่ละตัวในแผนภาพเวนน์นับอะไรอยู่
Answershow ▾
A Venn diagram is drawn in separate pieces, and the piece labelled $23$ is only the part of $S$ that is outside $C$. The set $S$ is everything inside its circle, so the overlap belongs to it too. Reading $23$ as $n(S)$ makes the union come out as $40$ and part (c) come out as $\tfrac{11}{17}$, and neither answer looks alarming. The M1 in part (a) is for the sum $23+11+17$; knowing that a region is not a set carries no mark.แผนภาพเวนน์วาดเป็นส่วนๆ แยกกัน และส่วนที่เขียน $23$ คือเฉพาะส่วนของ $S$ ที่อยู่นอก $C$ · เซต $S$ คือทุกอย่างที่อยู่ในวงของมัน ส่วนที่ซ้อนกันจึงเป็นของมันด้วย · ถ้าอ่าน $23$ เป็น $n(S)$ ยูเนียนจะกลายเป็น $40$ และข้อ (ค) จะกลายเป็น $\tfrac{11}{17}$ ซึ่งไม่มีคำตอบไหนดูน่าตกใจเลย · M1 ของข้อ (ก) ให้กับผลบวก $23+11+17$ · การรู้ว่าส่วนของแผนภาพไม่ใช่เซต ไม่มีคะแนน
Find $n(S\cup C)$.
จงหา $n(S\cup C)$
Answershow ▾
Part (a), two marks. $S\cup C$ means “in $S$ or in $C$ or in both”.ข้อ (ก) สองคะแนน · $S\cup C$ แปลว่า “อยู่ใน $S$ หรือ $C$ หรือทั้งสอง”
$51$ members are in at least one circle, and the club has $60$ members. Produce the number outside both circles, and say why it is not part of $n(S\cup C)$.
มีสมาชิก $51$ คนอยู่ในวงกลมอย่างน้อยหนึ่งวง และสโมสรมีสมาชิก $60$ คน จงหาจำนวนคนที่อยู่นอกวงกลมทั้งสอง และบอกว่าทำไมจำนวนนั้นไม่รวมอยู่ใน $n(S\cup C)$
Answershow ▾
The rectangle is everybody, and the two circles sit inside it. The union is only what the circles cover, so the $9$ who do neither belong to the club but not to $S\cup C$. That is exactly the group part (b) asks about, and it is the only number in the question that is not printed inside a circle. The B1 in part (b) is for $\tfrac{3}{20}$; finding the $9$ by subtracting from the total is the step that is never written down and never rewarded.สี่เหลี่ยมคือทุกคน และวงกลมสองวงอยู่ข้างใน · ยูเนียนคือเฉพาะส่วนที่วงกลมคลุมไว้ คน $9$ คนที่ไม่ทำทั้งสองอย่างจึงเป็นสมาชิกสโมสร แต่ไม่อยู่ใน $S\cup C$ · และนั่นคือกลุ่มที่ข้อ (ข) ถามพอดี · เป็นตัวเลขเดียวในโจทย์ที่ไม่ได้พิมพ์อยู่ในวงกลม · B1 ของข้อ (ข) ให้กับ $\tfrac{3}{20}$ · การหา $9$ โดยลบออกจากจำนวนรวมเป็นขั้นที่ไม่เคยถูกเขียนและไม่เคยมีคะแนน
One of the 60 members is chosen at random. Work out the probability that the member neither swims nor cycles.
สุ่มเลือกสมาชิกหนึ่งคนจาก 60 คน จงหาความน่าจะเป็นที่คนนี้ไม่ว่ายน้ำและไม่ปั่นจักรยาน
Answershow ▾
Part (b), one mark. Chosen from all $60$, so $60$ is the denominator.ข้อ (ข) หนึ่งคะแนน · เลือกจากทั้งหมด $60$ คน ตัวส่วนจึงเป็น $60$
Part (c) says the member is chosen from those who cycle. Pick the denominator, and say what each of the other two would mean.
(A) $60$ (B) $51$ (C) $28$
ข้อ (ค) บอกว่าเลือกสมาชิกจากกลุ่มที่ปั่นจักรยาน จงเลือกตัวส่วน และบอกว่าอีกสองอันหมายถึงอะไร
(A) $60$ (B) $51$ (C) $28$
Answershow ▾
The words “chosen from those who cycle” shrink the pool: only cyclists can be picked, so the bottom of the fraction is $n(C) = 28$. (A) picks from the whole club and gives $\tfrac{11}{60}$; (B) picks from everyone who does at least one sport and gives $\tfrac{11}{51}$. Three fractions, three defensible-looking answers, and only one is the question that was asked. The M1 in part (c) is the denominator, and the reading of the phrase that fixes it is worth nothing.คำว่า “เลือกจากกลุ่มที่ปั่นจักรยาน” ทำให้กลุ่มตัวอย่างเล็กลง · เลือกได้เฉพาะคนที่ปั่นจักรยาน ตัวส่วนจึงเป็น $n(C) = 28$ · (A) เลือกจากทั้งสโมสรได้ $\tfrac{11}{60}$ · (B) เลือกจากคนที่เล่นกีฬาอย่างน้อยหนึ่งอย่างได้ $\tfrac{11}{51}$ · เศษส่วนสามตัว คำตอบที่ดูมีเหตุผลสามแบบ แต่มีอันเดียวที่ตรงกับคำถาม · M1 ของข้อ (ค) คือตัวส่วน และการอ่านวลีที่กำหนดมันไม่มีคะแนน
A member is chosen at random from those who cycle. Work out the probability that this member also swims.
สุ่มเลือกสมาชิกหนึ่งคนจากกลุ่มที่ปั่นจักรยาน จงหาความน่าจะเป็นที่คนนี้ว่ายน้ำด้วย
Answershow ▾
Part (c), two marks. The $11$ are the cyclists who also swim.ข้อ (ค) สองคะแนน · $11$ คือคนปั่นจักรยานที่ว่ายน้ำด้วย
A member is chosen at random from those who swim. Work out the probability that this member also cycles.
สุ่มเลือกสมาชิกหนึ่งคนจากกลุ่มที่ว่ายน้ำ จงหาความน่าจะเป็นที่คนนี้ปั่นจักรยานด้วย
Answershow ▾
The top is the same $11$; only the pool has changed, from $28$ to $34$.ตัวเศษยังเป็น $11$ เท่าเดิม เปลี่ยนแค่กลุ่มตัวอย่าง จาก $28$ เป็น $34$
One of the $60$ members is chosen at random. Work out the probability that the member swims but does not cycle. Give your answer in its simplest form.
สุ่มเลือกสมาชิกหนึ่งคนจาก $60$ คน จงหาความน่าจะเป็นที่คนนี้ว่ายน้ำแต่ไม่ปั่นจักรยาน ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
Answershow ▾
One region only this time, and the pool is the whole club again.คราวนี้ใช้ส่วนเดียวของแผนภาพ และกลุ่มตัวอย่างกลับมาเป็นทั้งสโมสร
$80$ students each study French ($F$), Spanish ($P$), or neither. $30$ study French only, $14$ study both, $22$ study Spanish only.
(a) Find $n(F\cup P)$. (b) Work out the probability that a student chosen from all $80$ studies neither. (c) A student is chosen from those who study Spanish. Work out the probability that this student also studies French.
นักเรียน $80$ คน เรียนภาษาฝรั่งเศส ($F$) ภาษาสเปน ($P$) หรือไม่เรียนทั้งสองภาษา มี $30$ คนเรียนฝรั่งเศสอย่างเดียว $14$ คนเรียนทั้งสองภาษา และ $22$ คนเรียนสเปนอย่างเดียว
(ก) จงหา $n(F\cup P)$ (ข) จงหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนที่สุ่มจาก $80$ คนไม่เรียนทั้งสองภาษา (ค) สุ่มเลือกนักเรียนจากกลุ่มที่เรียนสเปน จงหาความน่าจะเป็นที่คนนี้เรียนฝรั่งเศสด้วย
Answershow ▾
The three denominators are $80$, then $36$. Same three decisions.ตัวส่วนคือ $80$ แล้วก็ $36$ · การตัดสินใจสามอย่างเดิม
There are 60 members of a fitness club. The Venn diagram shows the number of members who swim ($S$) and the number who cycle ($C$).
(a) Find $n(S\cup C)$.
(b) One of the 60 members is chosen at random. Work out the probability that this member neither swims nor cycles.
(c) A member is chosen at random from those who cycle. Work out the probability that this member also swims.
สโมสรฟิตเนสมีสมาชิก 60 คน แผนภาพเวนน์แสดงจำนวนสมาชิกที่ว่ายน้ำ ($S$) และที่ปั่นจักรยาน ($C$)
(ก) จงหา $n(S\cup C)$
(ข) สุ่มเลือกสมาชิกหนึ่งคนจาก 60 คน จงหาความน่าจะเป็นที่คนนี้ไม่ว่ายน้ำและไม่ปั่นจักรยาน
(ค) สุ่มเลือกสมาชิกหนึ่งคนจากกลุ่มที่ปั่นจักรยาน จงหาความน่าจะเป็นที่คนนี้ว่ายน้ำด้วย
Answershow ▾
5 marks, and each part has a different denominator. That is the whole question.5 คะแนน และแต่ละข้อย่อยใช้ตัวส่วนคนละตัว · นั่นแหละคือทั้งข้อ
Full mark scheme for the exam questionshow ▾
(b) B1 $\dfrac{9}{60} = \dfrac{3}{20}$.
(c) M1 denominator $n(C) = 11 + 17 = 28$ A1 $\dfrac{11}{28}$.
The M1 in (c) is the denominator. Choosing $28$ over $60$ is the question, and it carries no mark of its own.