Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ
Probabilityความน่าจะเป็น
IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ
1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม
Two things you already knowสองอย่างที่ทำเป็นอยู่แล้ว
If these two are easy, the rest of the lesson will be too.ถ้าสองเรื่องนี้ง่าย ที่เหลือก็จะง่ายด้วย
A fair die has $6$ faces. What fraction of the faces show an even number?ลูกเต๋าเที่ยงตรงมี $6$ หน้า หน้าที่เป็นเลขคู่คิดเป็นเศษส่วนเท่าไรของทั้งหมด? Answer:เฉลย: $\tfrac36=\tfrac12$Count the faces you want, over all the faces. This whole topic is built on that one fraction.นับหน้าที่ต้องการ ส่วนหน้าทั้งหมด · ทั้งบทนี้สร้างขึ้นจากเศษส่วนตัวเดียวนี้
$\dfrac12\times\dfrac13=?$$\dfrac12\times\dfrac13=?$ Answer:เฉลย: $\tfrac16$Multiply two fractions: $\dfrac12\times\dfrac13=\dfrac16$ In 20 minutes this becomes the rule for two things happening in a row.คูณเศษส่วนสองตัว: $\dfrac12\times\dfrac13=\dfrac16$ อีก 20 นาที ท่านี้จะกลายเป็นกฎของเหตุการณ์ที่เกิดต่อกัน
2. Chance becomes a fractionโอกาสกลายเป็นเศษส่วน
P(event) = favourable over total, on a 0-to-1 scale.P(เหตุการณ์) = แบบที่ต้องการ ส่วนทั้งหมด บนสเกล 0 ถึง 1
You already say itพูดแบบนี้อยู่แล้ว
Top: the faces you want. Bottom: all the faces.ข้างบน: หน้าที่ต้องการ · ข้างล่าง: หน้าทั้งหมด
One roll of a fair die. Find $P(\text{a number bigger than }4)$.ทอยลูกเต๋าเที่ยงตรงหนึ่งครั้ง หา $P($ได้เลขมากกว่า $4)$ Answer:เฉลย: $P=\tfrac26=\tfrac13$This is the counting you did in the warm-up. Now it has its official name, $P(\;)$.การนับแบบเดียวกับตอนวอร์มอัพ แค่ใส่ชื่อทางการ $P(\;)$ เข้าไป
$P(\text{six})=\tfrac16$, and the probabilities of all six faces add up to $1$. So $P(\text{NOT a six})=?$$P($ได้หก$)=\tfrac16$ และความน่าจะเป็นของทั้งหกหน้ารวมกันได้ $1$ พอดี แล้ว $P($ไม่ได้หก$)=?$ Answer:เฉลย: $1-\tfrac16=\tfrac56$It either happens or it does not, and the two fill the whole $1$. So $P(\text{not }A)=1-P(A)$.ไม่เกิดก็ต้องเกิด สองฝั่งรวมกันเต็ม $1$ พอดี ดังนั้น $P($ไม่เกิด $A)=1-P(A)$
3. New objects, same fractionเปลี่ยนของ เศษส่วนเดิม
Cards and spinners are the same counting.ไพ่กับวงล้อก็นับแบบเดียวกันหมด
One card is taken at random from a full pack of $52$. Find $P(\text{heart})$.หยิบไพ่หนึ่งใบแบบสุ่มจากสำรับเต็ม $52$ ใบ หา $P($โพแดง$)$ Answer:เฉลย: $\tfrac{13}{52}=\tfrac14$Wanted over total, every time: $P(\text{heart})=\dfrac{13}{52}=\dfrac14$ $\text{dice, cards, spinners: same fraction}$ที่ต้องการ หารด้วยทั้งหมด ทุกครั้ง: $P(\text{heart})=\dfrac{13}{52}=\dfrac14$ $\text{dice, cards, spinners: same fraction}$
A spinner has $4$ equal sectors coloured red, red, blue, green. $P(\text{red})=?$วงล้อมี $4$ ช่องเท่ากัน ทาสีแดง แดง น้ำเงิน เขียว $P($แดง$)=?$ Answer:เฉลย: $\tfrac24=\tfrac12$The fraction only works when the things you count are equally likely. Count faces, cards or sectors, never categories.เศษส่วนนี้ใช้ได้ก็ต่อเมื่อของที่นับมีโอกาสเท่ากัน · นับหน้า นับใบ นับช่อง ห้ามนับหมวดหมู่
4. Two events: see everythingสองเหตุการณ์: กางให้เห็นหมด
One event, count faces. Two events, count cells.เหตุการณ์เดียวนับหน้า สองเหตุการณ์นับช่องในตาราง
Two dice: the table shows every outcomeลูกเต๋าสองลูก · ตารางโชว์ทุกผลลัพธ์
$6\times6=36$ equally likely cells. Each shows the total. Orange: total $7$.$6\times6=36$ ช่อง โอกาสเท่ากันทุกช่อง · เลขในช่องคือผลรวม · สีส้ม: ผลรวม $7$
+
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
From the table: $P(\text{total}=7)=?$
+
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
จากตาราง: $P($ผลรวม${}=7)=?$ Answer:เฉลย: $\tfrac6{36}=\tfrac16$The spinner's warning again: count the equally likely things. For two dice that means cells, never totals.คำเตือนจากข้อวงล้อกลับมาอีกรอบ: นับของที่มีโอกาสเท่ากัน สำหรับลูกเต๋าสองลูกคือช่อง ไม่ใช่ผลรวม
New pair: flip a coin and roll a die. The $12$ equally likely outcomes are H1…H6, T1…T6. $P(\text{head AND a six})=?$คู่ใหม่: โยนเหรียญและทอยลูกเต๋า ผลลัพธ์ที่มีโอกาสเท่ากันมี $12$ แบบ: H1…H6, T1…T6 $P($หัว และ หก$)=?$ Answer:เฉลย: $\tfrac1{12}$AND multiplies, and shrinks: $\text{1 of the 12 outcomes: H6}$ $\dfrac12\times\dfrac16=\dfrac1{12}$ $\text{needing both}\ \Rightarrow\ \text{smaller}$and คือคูณ และทำให้เล็กลง: $\text{1 of the 12 outcomes: H6}$ $\dfrac12\times\dfrac16=\dfrac1{12}$ $\text{needing both}\ \Rightarrow\ \text{smaller}$
Back to one die, one roll. $P(\text{a }2\text{ OR a }3)=?$กลับมาลูกเต๋าลูกเดียว ทอยครั้งเดียว $P($ได้ $2$ หรือ $3)=?$ Answer:เฉลย: $\tfrac26=\tfrac13$OR adds, and grows: $\dfrac16+\dfrac16=\dfrac26=\dfrac13$ $\text{AND}\ \to\ \times\ \to\ \text{smaller}$ $\text{OR}\ \to\ +\ \to\ \text{bigger}$or คือบวก และทำให้ใหญ่ขึ้น: $\dfrac16+\dfrac16=\dfrac26=\dfrac13$ $\text{AND}\ \to\ \times\ \to\ \text{smaller}$ $\text{OR}\ \to\ +\ \to\ \text{bigger}$
5. When the table breaks: treesพอตารางเอาไม่อยู่: วาดต้นไม้
Multiply along a branch, add between routes.คูณตามกิ่ง บวกระหว่างเส้นทาง
A bag, two picks: draw a tree insteadถุงหนึ่งใบ หยิบสองครั้ง · วาดต้นไม้แทน
3 red, 2 blue, put back: two picksแดง 3 น้ำเงิน 2 หยิบแล้วใส่คืน หยิบสองครั้ง
$P(R)=\tfrac{3}{5}$The ball goes back: same bag for pick 2.ใส่คืน · ครั้งที่สองเจอถุงเดิม
$P(B)=\tfrac{2}{5}$One per line · $\tfrac35+\tfrac25=1$.หนึ่งบรรทัดหนึ่งค่า · $\tfrac35+\tfrac25=1$
$P(R,R)=\tfrac{3}{5}\times\tfrac{3}{5}=\tfrac{9}{25}$Multiply along a branch.คูณไปตามกิ่ง
$P(R,B)=\tfrac{3}{5}\times\tfrac{2}{5}=\tfrac{6}{25}$Same rule, different branch.กฎเดิม คนละกิ่ง
$P(B,R)=\tfrac{2}{5}\times\tfrac{3}{5}=\tfrac{6}{25}$'One of each' has two routes. This one gets forgotten.'อย่างละหนึ่ง' มีสองเส้นทาง · เส้นนี้แหละที่คนลืม
$\tfrac{6}{25}+\tfrac{6}{25}=\tfrac{12}{25}$Add between routes. Multiply along, add across.บวกระหว่างเส้นทาง · คูณตามกิ่ง บวกข้ามกิ่ง
Follow the highlighted route: red, then red again. Each branch carries $\tfrac35$. $P(\text{R,R})=?$ไล่ตามเส้นทางสีส้ม: แดง แล้วแดงอีกรอบ กิ่งละ $\tfrac35$ $P($แดง,แดง$)=?$ Answer:เฉลย: $\tfrac35\times\tfrac35=\tfrac9{25}$Both picks must happen, so you multiply along the branch. That is the AND rule drawn as a tree.ต้องเกิดทั้งสองครั้ง เลยคูณตามกิ่ง · ก็คือกฎ AND ที่วาดเป็นต้นไม้
'One of each colour' has two routes: R,B and B,R. Each route gives $\tfrac35\times\tfrac25=\tfrac6{25}$. $P(\text{one of each})=?$'ได้สีละลูก' มีสองเส้นทางที่ให้แบบนี้: แดง,น้ำเงิน กับ น้ำเงิน,แดง แต่ละเส้นทางได้ $\tfrac35\times\tfrac25=\tfrac6{25}$ แล้ว $P($ได้สีละลูก$)=?$ Answer:เฉลย: $\tfrac6{25}+\tfrac6{25}=\tfrac{12}{25}$Different routes cannot happen together, so you add between routes. That is the OR rule, drawn as a diagram.คนละเส้นทางเกิดพร้อมกันไม่ได้ ระหว่างเส้นทางจึงบวก · ก็คือกฎ OR ที่วาดเป็นแผนภาพ
6. Keep it out: no replacementหยิบแล้วไม่ใส่คืน
The second pick meets a changed bag.หยิบครั้งที่สองเจอถุงที่เปลี่ยนไปแล้ว
Same bag, but the counter stays outถุงเดิม · แต่ลูกแรกไม่ใส่คืน
No replacement. $P(\text{R,R})=?$แบบไม่ใส่คืน $P($แดง,แดง$)=?$ Answer:เฉลย: $\tfrac35\times\tfrac24=\tfrac6{20}=\tfrac3{10}$Only the second fraction changes: $\dfrac35\times\dfrac24=\dfrac6{20}=\dfrac3{10}$ $\text{2nd fraction = the bag now}$เปลี่ยนแค่เศษส่วนตัวที่สอง: $\dfrac35\times\dfrac24=\dfrac6{20}=\dfrac3{10}$ $\text{2nd fraction = the bag now}$
A puts the counter back. B keeps it out. Which pair of lines is right?A หยิบแล้วใส่คืน B หยิบแล้วเก็บออก คู่บรรทัดไหนถูก? Answer:เฉลย: A: $\tfrac35\times\tfrac35=\tfrac9{25}$ · B: $\tfrac35\times\tfrac24=\tfrac3{10}$The first pick never changes: $\text{with}:\ \ \dfrac35\times\dfrac35=\dfrac9{25}$ $\text{without}:\ \ \dfrac35\times\dfrac24=\dfrac3{10}$ Underline with or without replacement before writing a single fraction.การหยิบครั้งแรกไม่เปลี่ยน: $\text{with}:\ \ \dfrac35\times\dfrac35=\dfrac9{25}$ $\text{without}:\ \ \dfrac35\times\dfrac24=\dfrac3{10}$ ขีดเส้นใต้คำว่า ใส่คืน / ไม่ใส่คืน ก่อนเขียนเศษส่วนตัวแรก
7. Overlaps: the Venn pictureส่วนซ้อนทับ: ภาพเวนน์
Two groups that overlap. The Venn diagram stops the double count.สองกลุ่มที่ซ้อนกัน · แผนภาพเวนน์กันการนับซ้ำ
In a class of $30$: $18$ play football (F), $14$ play basketball (B), and $7$ play both. How many play football only?ห้องเรียน $30$ คน: เล่นฟุตบอล (F) $18$ คน บาสเกตบอล (B) $14$ คน และเล่นทั้งคู่ $7$ คน · มีกี่คนที่เล่นฟุตบอลอย่างเดียว? Answer:เฉลย: $18-7=11$Fill the Venn from the middle: $\text{overlap}=7$ $\text{football only}=18-7=11$ $\text{basketball only}=14-7=7$เติมเวนน์จากตรงกลางออกมา: $\text{overlap}=7$ $\text{football only}=18-7=11$ $\text{basketball only}=14-7=7$
Same class. How many play neither sport?ห้องเดิม · มีกี่คนที่ไม่เล่นสักอย่าง? Answer:เฉลย: $30-(11+7+7)=5$The four regions make the whole: $11+7+7=25$ $30-25=5$สี่ส่วนรวมกันเป็นทั้งหมด: $11+7+7=25$ $30-25=5$
One student is picked at random. Find $P(F\cap B)$. The student plays both sports.สุ่มหยิบมาหนึ่งคน · หา $P(F\cap B)$ · เล่นทั้งสองอย่าง Answer:เฉลย:$P(F\cap B)=\dfrac{7}{30}$$P(F\cap B)=\dfrac{7}{30}$$\cap$ is the middle region: $\text{both}=7$ $P(F\cap B)=\dfrac{7}{30}$$\cap$ คือส่วนตรงกลาง: $\text{both}=7$ $P(F\cap B)=\dfrac{7}{30}$
Same student, same picture. Now find $P(F\cup B)$. The student plays at least one of them.คนเดิม ภาพเดิม · ทีนี้หา $P(F\cup B)$ · เล่นอย่างน้อยหนึ่งอย่าง Answer:เฉลย:$P(F\cup B)=\dfrac{25}{30}=\dfrac{5}{6}$$P(F\cup B)=\dfrac{25}{30}=\dfrac{5}{6}$Add the regions for $\cup$: $11+7+7=25$ $P(F\cup B)=\dfrac{25}{30}=\dfrac56$ $18+14=32\ \ \text{counts the middle twice}$รวมส่วนย่อยสำหรับ $\cup$: $11+7+7=25$ $P(F\cup B)=\dfrac{25}{30}=\dfrac56$ $18+14=32\ \ \text{counts the middle twice}$
8. Exam: at least oneข้อสอบ: อย่างน้อยหนึ่ง
1 minus P(none): the shortcut from level 1 is useful now.1 ลบ P(ไม่ได้เลย) · ทางลัดจากขั้นแรกได้เวลาทำงาน
'At least one blue': three routes qualify'น้ำเงินอย่างน้อยหนึ่งลูก' · เข้าเงื่อนไขสามเส้นทาง
Same bag, no replacement. Count the route left out instead.ถุงเดิม ไม่ใส่คืน · นับเส้นทางที่ตกค้างแทน
Which is the only route with no blue in it at all?เส้นทางไหนคือเส้นทางเดียวที่ไม่มีน้ำเงินเลยสักลูก? Answer:เฉลย: R,ROne route instead of three: $\text{no blue}\ \Rightarrow\ \text{R,R only}$ $P(\text{at least one blue})=1-P(\text{R,R})$คิดเส้นทางเดียว แทนสามเส้น: $\text{no blue}\ \Rightarrow\ \text{R,R only}$ $P(\text{at least one blue})=1-P(\text{R,R})$
Exam: A bag holds $3$ red and $2$ blue counters. Two counters are taken at random without replacement. Find the probability that at least one counter is blue. (4 marks)ข้อสอบ: ถุงมีลูกแดง $3$ ลูก น้ำเงิน $2$ ลูก หยิบสองลูกแบบสุ่มโดยไม่ใส่คืน หาความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกน้ำเงินอย่างน้อยหนึ่งลูก (4 คะแนน) Answer:เฉลย: $1-\tfrac35\times\tfrac24=1-\tfrac3{10}=\tfrac7{10}$4 marks: $\text{M1}\ \ \text{2nd pick has }4\text{ on the bottom}$ $\text{M2}\ \ P(\text{R,R})=\dfrac35\times\dfrac24=\dfrac3{10}$ $\text{M3}\ \ 1-P(\text{R,R})$ $\text{A1}\ \ \dfrac7{10}$ Adding the three routes scores the same marks.4 คะแนน: $\text{M1}\ \ \text{2nd pick has }4\text{ on the bottom}$ $\text{M2}\ \ P(\text{R,R})=\dfrac35\times\dfrac24=\dfrac3{10}$ $\text{M3}\ \ 1-P(\text{R,R})$ $\text{A1}\ \ \dfrac7{10}$ บวกสามเส้นทาง ได้คะแนนเท่ากัน
Exam: A bag contains $4$ red, $3$ blue and $2$ green counters. Two counters are taken at random, without replacement. Find the probability that the two counters are different colours. Give your answer as a fraction in its simplest form. (5 marks)ข้อสอบ: ถุงมีตัวนับแดง $4$ น้ำเงิน $3$ เขียว $2$ · หยิบสองครั้งแบบไม่ใส่คืน · หาความน่าจะเป็นที่ได้คนละสี · ตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ (5 คะแนน) Answer:เฉลย: $1-\left(\tfrac{12}{72}+\tfrac{6}{72}+\tfrac{2}{72}\right)=1-\tfrac{5}{18}=\tfrac{13}{18}$5 marks: $\text{M1}\ \ P(RR)=\dfrac49\times\dfrac38=\dfrac{12}{72}$ $\text{M2}\ \ P(BB)=\dfrac{6}{72},\ \ P(GG)=\dfrac{2}{72}$ $\text{M3}\ \ P(\text{same})=\dfrac{20}{72}=\dfrac5{18}$ $\text{M4}\ \ P(\text{different})=1-\dfrac5{18}$ $\text{A1}\ \ =\dfrac{13}{18}$ Without replacement the second bottom is $8$, with one fewer of that colour.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ P(RR)=\dfrac49\times\dfrac38=\dfrac{12}{72}$ $\text{M2}\ \ P(BB)=\dfrac{6}{72},\ \ P(GG)=\dfrac{2}{72}$ $\text{M3}\ \ P(\text{same})=\dfrac{20}{72}=\dfrac5{18}$ $\text{M4}\ \ P(\text{different})=1-\dfrac5{18}$ $\text{A1}\ \ =\dfrac{13}{18}$ ไม่ใส่คืน ตัวส่วนตัวที่สองเป็น $8$ และสีนั้นหายไปหนึ่ง
A box holds $7$ white discs and $3$ red discs. You remove two discs from the box together, in one go. Find the probability that both are white.กล่องมีแผ่นกลมขาว $7$ แดง $3$ · หยิบขึ้นมาทีเดียวสองแผ่นพร้อมกัน · หาความน่าจะเป็นที่ได้ขาวทั้งคู่ Answer:เฉลย: $\tfrac7{10}\times\tfrac69=\tfrac{42}{90}=\tfrac7{15}$Can the first one come back?: $\text{“put back”, “independent”}\ \Rightarrow\ \dfrac7{10}\times\dfrac7{10}$ $\text{“kept out”, “taken together”}\ \Rightarrow\ \dfrac7{10}\times\dfrac69$ $=\dfrac{42}{90}=\dfrac7{15}$ $\dfrac7{15}=0.467\ \ \text{vs}\ \ \dfrac{49}{100}=0.49$ The two answers are too close to warn you. Only the wording decides.ตัวแรกกลับเข้าถุงได้ไหม: $\text{“put back”, “independent”}\ \Rightarrow\ \dfrac7{10}\times\dfrac7{10}$ $\text{“kept out”, “taken together”}\ \Rightarrow\ \dfrac7{10}\times\dfrac69$ $=\dfrac{42}{90}=\dfrac7{15}$ $\dfrac7{15}=0.467\ \ \text{vs}\ \ \dfrac{49}{100}=0.49$ คำตอบสองแบบใกล้กันเกินกว่าจะเตือนเราได้ · มีแต่คำในโจทย์เท่านั้นที่ตัดสิน
9. Exercise setชุดโจทย์
The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว
A bag holds $4$ red and $3$ blue counters. Two are taken without replacement. Find $P(\text{both red})$. Answer:เฉลย: $\tfrac47\times\tfrac36=\tfrac27$Identical to the taught tree, numbers changed. Confidence first, and proof that the shrinking denominator carried over.ต้นไม้ต้นเดิมกับที่เรียน เปลี่ยนแค่ตัวเลข · เอาความมั่นใจก่อน และพิสูจน์ว่าตัวส่วนที่หดติดตัวมาแล้วจริง
$5$ red and $7$ blue, without replacement. Find $P(\text{one of each colour})$. Answer:เฉลย: $\tfrac5{12}\times\tfrac7{11}+\tfrac7{12}\times\tfrac5{11}=\tfrac{35}{66}$Same tree, but twelfths and elevenths this time: work carefully. Remember there are two routes to add.ต้นไม้เหมือนเดิม แต่เป็นส่วนสิบสองกับสิบเอ็ด ต้องคิดระวัง · อย่าลืมว่ามีสองเส้นทางที่ต้องบวก
A component passes a quality test with probability $0.9$, independently of other components. Two components are tested. Find $P(\text{both pass})$. Answer:เฉลย: $0.9\times0.9=0.81$Decimals and a factory, not a bag. If you memorised 'counters' instead of the tree, this stalls you.เปลี่ยนเป็นทศนิยมกับโรงงาน ไม่ใช่ถุงลูกแก้ว · ท่องมาแต่ 'ลูกในถุง' จะค้างตรงนี้
$P(\text{rain Saturday})=\tfrac23$ and $P(\text{rain Sunday})=\tfrac12$, independent. Find the probability it rains on exactly one of the two days. Answer:เฉลย: $\tfrac23\times\tfrac12+\tfrac13\times\tfrac12=\tfrac12$Tree plus a hidden complement: $\tfrac13$ comes from $1-\tfrac23$. Two known moves, chained.ต้นไม้บวกกับคอมพลีเมนต์ที่ซ่อนอยู่: $\tfrac13$ มาจาก $1-\tfrac23$ · สองท่าที่รู้แล้วต่อกัน
Two picks with replacement from a bag of $7$ counters give $P(\text{both red})=\tfrac9{49}$. How many red counters are in the bag? Answer:เฉลย: $\left(\tfrac{r}{7}\right)^{2}=\tfrac9{49}\Rightarrow r=3$Given the answer, rebuild the bag. Running the tree backwards is the best understanding check here.ให้คำตอบมา แล้วย้อนไปสร้างถุง · เดินต้นไม้ถอยหลังได้คือข้อวัดความเข้าใจที่ดีที่สุด
A box holds $5$ working and $3$ faulty bulbs. Two bulbs are taken at random without replacement. (5 marks)(a)(ก) Find $P(\text{both working})$. (b)(ข) Find $P(\text{at least one faulty})$. Answer:เฉลย: (a) $\tfrac58\times\tfrac47=\tfrac5{14}$ (b) $1-\tfrac5{14}=\tfrac9{14}$Exam favourite: part (a) quietly builds $P(\text{none})$, so part (b) is one subtraction.โครงสร้างสุดโปรดของข้อสอบ: ข้อ (a) แอบสร้าง P(ไม่ได้เลย) ให้เสร็จ ข้อ (b) เหลือแค่ลบครั้งเดียว
With replacement, bag of $3$ red and $2$ blue. A student writes $P(\text{R,R})=\tfrac35+\tfrac35=\tfrac65$. Give two reasons the answer must be wrong, then correct it. Answer:เฉลย: Added along a branch (AND needs $\times$); and $\tfrac65\gt1$ is impossible for any probability. Correct: $\tfrac35\times\tfrac35=\tfrac9{25}$Spotting someone else's slip is harder than avoiding your own. The impossible $\tfrac65$ trains you to check against $1$.จับข้อผิดของคนอื่นยากกว่าไม่ผิดเอง · เจ้า $\tfrac65$ ที่เป็นไปไม่ได้ ฝึกให้เราตรวจกับ $1$ เสมอ