Right-Angled Trigonometryตรีโกณมิติสามเหลี่ยมมุมฉาก

IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

Pythagoras, and one missing multiplierพีทาโกรัส กับตัวคูณที่หายไปหนึ่งตัว

For a fixed angle it never changes. $\sin$, $\cos$, $\tan$ are that multiplier, one per pair of sides.มุมคงที่ ตัวคูณนั้นไม่เปลี่ยน · $\sin$, $\cos$, $\tan$ คือตัวคูณนั้น อันละหนึ่งคู่ด้าน

1. A right-angled triangle has the two shorter sides $6$ and $8$.  How long is the hypotenuse?สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านสั้นสองด้านยาว $6$ กับ $8$  ด้านตรงข้ามมุมฉาก (hypotenuse) ยาวเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{100}=10$You already know the hypotenuse: the side facing the right angle. Today the other two sides get names too.hypotenuse เรารู้จักอยู่แล้ว: ด้านที่หันเข้าหามุมฉาก วันนี้อีกสองด้านจะได้ชื่อบ้าง
2. $10\times\square=5$.  What number is in the box?$10\times\square=5$  ในช่องคือเลขอะไร?
   Answer:เฉลย: $\square=5\div10=0.5$Undo the multiply: $10\times\square=5$   $\square=5\div 10=0.5$ Later the hidden number is an angle, and the calculator undoes $\sin$.ย้อนการคูณ: $10\times\square=5$   $\square=5\div 10=0.5$ ต่อไปตัวที่ซ่อนอยู่คือมุม · เครื่องคิดเลขเป็นตัวย้อน $\sin$

2. Same triangle, new namesสามเหลี่ยมเดิม ชื่อใหม่

Three sides, three names. They depend on the angle you pick.สามด้าน สามชื่อ · ขึ้นกับมุมที่เราเลือกมอง

You already know one of the three namesชื่อหนึ่งในสาม รู้อยู่แล้ว

$c$ is the hypotenuse: opposite the right angle, and longest. Name the other two from $\theta$.$c$ คือ hypotenuse · ตรงข้ามมุมฉาก และยาวสุด · อีกสองด้านตั้งชื่อจากมุม $\theta$

1. Triangle $ABC$: right angle at $B$, the angle $\theta$ at $A$.  Which side is the hypotenuse?สามเหลี่ยม $ABC$: มุมฉากอยู่ที่ $B$ มุม $\theta$ อยู่ที่ $A$  ด้านไหนคือ hypotenuse?
   Answer:เฉลย: $AC$ — the side facing the right angle$AC$ — ด้านที่หันหน้าเข้าหามุมฉากH first, then O and A: $H\ \to\ \text{faces the right angle, longest}$   $O\ \to\ \text{faces }\theta$   $A\ \to\ \text{whatever is left}$หา H ก่อน แล้วค่อย O กับ A: $H\ \to\ \text{faces the right angle, longest}$   $O\ \to\ \text{faces }\theta$   $A\ \to\ \text{whatever is left}$
2. Same triangle $ABC$ (right angle at $B$). Now stand at the angle at $C$ instead. Which side is the opposite now?สามเหลี่ยม $ABC$ เดิม (มุมฉากที่ $B$) · คราวนี้ย้ายไปยืนที่มุม $C$ แทน · ด้านไหนคือ opposite ตอนนี้?
   Answer:เฉลย: $AB$ — across from the angle at $C$$AB$ — ฟากตรงข้ามของมุมที่ $C$O and A follow the angle: $\text{at }A:\ O=BC,\ A=AB$   $\text{at }C:\ O=AB,\ A=BC$   $H=AC\ \text{ either way}$O กับ A ขึ้นกับมุมที่ยืน: $\text{at }A:\ O=BC,\ A=AB$   $\text{at }C:\ O=AB,\ A=BC$   $H=AC\ \text{ either way}$

3. Now divide the sidesทีนี้เอาด้านมาหารกัน

Pick two sides, make a fraction.เลือกสองด้าน สร้างเศษส่วน

The 3–4–5 triangleสามเหลี่ยม 3–4–5

Right angle at $C$, $\theta$ at $A$. Label first, then divide.มุมฉากที่ $C$ · $\theta$ ที่ $A$ · ติดป้ายก่อน แล้วค่อยหาร

1. For the angle $\theta$ at $A$:  $\dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}=?$  (fraction or decimal)สำหรับมุม $\theta$ ที่ $A$:  $\dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}=?$  (ตอบเศษส่วนหรือทศนิยมก็ได้)
   Answer:เฉลย: $\dfrac{O}{H}=\dfrac{3}{5}=0.6$The ratio is the angle's fingerprint: $\frac{O}{H}=\frac{3}{5}=0.6$   $\text{same }\theta\ \Rightarrow\ \text{same }0.6$อัตราส่วนคือลายนิ้วมือของมุม: $\frac{O}{H}=\frac{3}{5}=0.6$   $\text{same }\theta\ \Rightarrow\ \text{same }0.6$
2. Same 3–4–5 triangle. Now stand at the other sharp angle, at $B$. For the angle at $B$: $\dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}=?$สามเหลี่ยม 3–4–5 เดิม · คราวนี้ยืนที่มุมแหลมอีกมุม ที่ $B$ · สำหรับมุมที่ $B$: $\dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}=?$
   Answer:เฉลย: $\dfrac{O}{H}=\dfrac{4}{5}$ for the angle at $B$$\dfrac{O}{H}=\dfrac{4}{5}$ สำหรับมุมที่ $B$The ratio belongs to the angle: $\text{at }A:\ \frac{O}{H}=\frac{3}{5}=0.6$   $\text{at }B:\ \frac{O}{H}=\frac{4}{5}=0.8$ Move to a different angle and O and A must be relabelled.อัตราส่วนเป็นของมุม ไม่ใช่ของรูป: $\text{at }A:\ \frac{O}{H}=\frac{3}{5}=0.6$   $\text{at }B:\ \frac{O}{H}=\frac{4}{5}=0.8$ ย้ายมุมเมื่อไร ติดป้าย O กับ A ใหม่ทุกครั้ง

4. The fractions have namesเศษส่วนพวกนี้มีชื่อ

sin, cos and tan are all on the calculator.sin, cos, tan มีครบบนเครื่องคิดเลข

One setting before anything else: degree modeตั้งค่าหนึ่งอย่างก่อนอื่นเลย: โหมดองศา

Radian mode gives wrong trig answers. Check for the D every time.โหมด radian ให้คำตอบตรีโกณฯ ผิด · ตรวจตัว D ทุกครั้ง

1. In a problem, the two sides in play are the adjacent and the hypotenuse (the opposite is not mentioned at all). Which ratio do you reach for?ในโจทย์ข้อหนึ่ง ด้านที่เกี่ยวข้องคือ adjacent กับ hypotenuse (opposite ไม่โผล่มาเลย) · ต้องหยิบอัตราส่วนตัวไหน?
   Answer:เฉลย: $\cos\theta=\dfrac{A}{H}$The two sides pick the ratio: $O,H\ \to\ \sin$   $A,H\ \to\ \cos$   $O,A\ \to\ \tan$คู่ด้านเป็นตัวเลือกอัตราส่วน: $O,H\ \to\ \sin$   $A,H\ \to\ \cos$   $O,A\ \to\ \tan$
2. Right-angled triangle: $\theta=30^{\circ}$, hypotenuse $=10$. Find the opposite side $x$.สามเหลี่ยมมุมฉาก: $\theta=30^{\circ}$, hypotenuse $=10$ · หาด้าน opposite $x$
   Answer:เฉลย: $\sin30^{\circ}=\dfrac{x}{10}\;\Rightarrow\; x=10\sin30^{\circ}=5$$x$ is the ratio times $H$: $\sin 30^{\circ}=\frac{x}{10}$   $x=10\sin 30^{\circ}=5$ The ratio is the angle's fingerprint; the hypotenuse scales it up.ด้าน = อัตราส่วน คูณ H: $\sin 30^{\circ}=\frac{x}{10}$   $x=10\sin 30^{\circ}=5$ อัตราส่วนคือลายนิ้วมือของมุม · H เป็นตัวขยายขนาด

5. Run it backwards: find the angleเดินย้อนกลับ: หามุม

You already know the move. Now it has a button.ท่านี้ทำเป็นอยู่แล้ว · คราวนี้มีปุ่มบนเครื่อง

It is the warm-up question, with $\sin$ข้อวอร์มอัพเดิม แค่มี $\sin$

The warm-up undid $\times10$ with $\div10$. Undo $\sin$ with its own button.วอร์มอัพแก้ $\times10$ ด้วย $\div10$ · รอบนี้ย้อน $\sin$ ด้วยปุ่มของมันเอง

1. This time the angle is unknown. So $\sin\theta=\dfrac{5}{10}=0.5$. What are we looking for?คราวนี้มุมคือตัวที่ไม่รู้ · ดังนั้น $\sin\theta=\dfrac{5}{10}=0.5$ · เรากำลังหาอะไร?
   Answer:เฉลย: The angle that makes $\sin$ give $0.5$มุมที่ทำให้ $\sin$ ให้ค่า $0.5$Run the machine backwards: $\text{forwards: angle}\ \to\ \text{ratio}$   $\text{backwards: ratio}\ \to\ \text{angle}$   $\sin\theta=0.5\ \Rightarrow\ \theta=?$ย้อนเครื่องกลับ: $\text{forwards: angle}\ \to\ \text{ratio}$   $\text{backwards: ratio}\ \to\ \text{angle}$   $\sin\theta=0.5\ \Rightarrow\ \theta=?$
2. $\sin\theta=0.5$. Which line is correct?$\sin\theta=0.5$ · บรรทัดไหนถูก?
   Answer:เฉลย: $\theta=\sin^{-1}(0.5)=30^{\circ}$$-1$ means undo, not power: $\sin^{-1}(0.5)=30^{\circ}$   $\frac{1}{\sin 0.5^{\circ}}\approx 114.6\ \times$ $\sin^{-1}$ lives on the SHIFT key, above sin.$-1$ แปลว่าย้อน ไม่ใช่ยกกำลัง: $\sin^{-1}(0.5)=30^{\circ}$   $\frac{1}{\sin 0.5^{\circ}}\approx 114.6\ \times$ $\sin^{-1}$ อยู่ที่ปุ่ม SHIFT เหนือปุ่ม sin
3. The 3–4–5 triangle again: opposite $=3$, adjacent $=4$. Find $\theta$ to 1 d.p.สามเหลี่ยม 3–4–5 อีกรอบ: opposite $=3$, adjacent $=4$ · หา $\theta$ ตอบทศนิยม 1 ตำแหน่ง
   Answer:เฉลย: $\tan\theta=\dfrac{3}{4}\;\Rightarrow\;\theta=\tan^{-1}(0.75)=36.9^{\circ}$The backwards routine: pick the ratio, write the fraction, then $\tan^{-1}$ for the angle. Two known sides find any angle.ท่าย้อนกลับ: เลือกอัตราส่วน เขียนเศษส่วน แล้วกด $\tan^{-1}$ เอามุมออกมา รู้ด้านสองด้านก็หามุมได้ทุกมุม

6. Choose it yourselfเลือกเองทั้งกระบวน

Pick the ratio, and survive $x$ on the bottom.เลือกอัตราส่วนเอง และรอดตอน $x$ อยู่ข้างล่าง

Four lines, every problemสี่บรรทัด ใช้ได้ทุกข้อ

Line 4 is where marks get lost. Watch what happens when $x$ sits underneath.บรรทัดที่ 4 คือจุดที่เสียคะแนนบ่อยสุด · ดูว่าเกิดอะไรตอน $x$ อยู่ข้างล่าง

Angle of elevationมุมเงย (angle of elevation)

Measured up from the horizontal. Ground distance = adjacent. Height = opposite.วัดเงยขึ้นจากแนวราบ · ระยะตามพื้นคือ adjacent · ความสูงคือ opposite

$\cos40^{\circ}=\dfrac{8}{x}$: make $x$ the subject$\cos40^{\circ}=\dfrac{8}{x}$ · ย้ายข้างให้ได้ $x$

1. $\cos40^{\circ}=\frac{8}{x}$$x$ is underneath, so multiply both sides by $x$.$x$ อยู่ข้างล่าง ก็คูณ $x$ ทั้งสองข้าง
2. $x\cos40^{\circ}=8$Now divide both sides by $\cos40^{\circ}$.ทีนี้หารด้วย $\cos40^{\circ}$ ทั้งสองข้าง
3. $x=\frac{8}{\cos40^{\circ}}$$\cos40^{\circ}$ ends up underneath. That is the whole trick.$\cos40^{\circ}$ ไปอยู่ข้างล่างแทน · ทริกมีแค่นี้
4. $x=10.4$$8\div0.766=10.44$, so $10.4$ to 3 s.f. The hypotenuse is longer than $8$.$8\div0.766=10.44$ ตอบ $10.4$ (3 ตัวเลขนัยสำคัญ) · hypotenuse ยาวกว่า $8$

1. $\theta=40^{\circ}$, opposite $=7$. Find the adjacent $x$, to 3 s.f.  (Start: $\tan40^{\circ}=\dfrac{7}{x}$)$\theta=40^{\circ}$, opposite $=7$ · หา adjacent $x$ ตอบ 3 ตัวเลขนัยสำคัญ  (ตั้งต้น: $\tan40^{\circ}=\dfrac{7}{x}$)
   Answer:เฉลย: $x=\dfrac{7}{\tan40^{\circ}}=8.34$ (3 s.f.)Size check: is it longer?: $\tan 40^{\circ}=\frac{7}{x}$   $x=\frac{7}{\tan 40^{\circ}}=8.34$   $40^{\circ}\lt 45^{\circ}\ \Rightarrow\ x\gt 7\ \checkmark$ตรวจขนาด: ยาวขึ้นหรือเปล่า: $\tan 40^{\circ}=\frac{7}{x}$   $x=\frac{7}{\tan 40^{\circ}}=8.34$   $40^{\circ}\lt 45^{\circ}\ \Rightarrow\ x\gt 7\ \checkmark$
2. In which equation is $x$ found by dividing?สมการไหนที่ต้องหา $x$ ด้วยการหาร?
   Answer:เฉลย: $\tan40^{\circ}=\dfrac{7}{x}\;\Rightarrow\;x=\dfrac{7}{\tan40^{\circ}}$$\tan40^{\circ}=\dfrac{7}{x}\;\Rightarrow\;x=\dfrac{7}{\tan40^{\circ}}$Where is $x$?: $\text{top}:\ \sin 30^{\circ}=\frac{x}{10}\ \Rightarrow\ x=10\sin 30^{\circ}$   $\text{bottom}:\ \tan 40^{\circ}=\frac{7}{x}\ \Rightarrow\ x=\frac{7}{\tan 40^{\circ}}$ A bottom $x$ swaps places with the ratio, so you divide.$x$ อยู่ตรงไหน: $\text{top}:\ \sin 30^{\circ}=\frac{x}{10}\ \Rightarrow\ x=10\sin 30^{\circ}$   $\text{bottom}:\ \tan 40^{\circ}=\frac{7}{x}\ \Rightarrow\ x=\frac{7}{\tan 40^{\circ}}$ $x$ อยู่ข้างล่าง · $x$ กับอัตราส่วนสลับที่กัน กลายเป็นหาร
3. You stand from the tree as shown. Find the height $h$, to 3 s.f.ยืนห่างจากต้นไม้ตามรูป · หาความสูง $h$ ตอบ 3 ตัวเลขนัยสำคัญ
   Answer:เฉลย: $\tan30^{\circ}=\dfrac{h}{50}\;\Rightarrow\;h=50\tan30^{\circ}=28.9$ m (3 s.f.)Draw, label, tick the pair: $h=O,\ \ 50=A\ \Rightarrow\ \tan$   $\tan 30^{\circ}=\frac{h}{50}$   $h=50\tan 30^{\circ}=28.9\text{ m}$วาด · ติดป้าย · เลือกคู่ด้าน: $h=O,\ \ 50=A\ \Rightarrow\ \tan$   $\tan 30^{\circ}=\frac{h}{50}$   $h=50\tan 30^{\circ}=28.9\text{ m}$

7. Exam formรูปแบบข้อสอบ

Same triangle, marked mark by mark.สามเหลี่ยมเดิม แต่นับคะแนนทีละเม็ด

A 3-mark trig question, dissectedผ่าโจทย์ตรีโกณฯ 3 คะแนน

Lengths to 3 s.f., angles to 1 d.p. Keep the full number and round once, at the end.ความยาว 3 ตัวเลขนัยสำคัญ มุมทศนิยม 1 ตำแหน่ง · เก็บเลขเต็มไว้ ปัดครั้งเดียวตอนจบ

1. A student solves $\sin\theta=0.5$ and the calculator shows $0.524$. What went wrong?เพื่อนคนหนึ่งแก้ $\sin\theta=0.5$ แล้วเครื่องโชว์ $0.524$ · เกิดอะไรขึ้น?
   Answer:เฉลย: Radian mode. Fix the mode, get $30^{\circ}$.โหมด radian · แก้โหมดแล้วจะได้ $30^{\circ}$Wrong size means wrong mode: $\sin^{-1}(0.5)=0.524\text{ rad}=30^{\circ}$   $\text{no D on screen}\ \Rightarrow\ \text{radian mode}$ A tiny angle or a negative length always means radian mode.ขนาดผิด = โหมดผิด: $\sin^{-1}(0.5)=0.524\text{ rad}=30^{\circ}$   $\text{no D on screen}\ \Rightarrow\ \text{radian mode}$ มุมจิ๋ว หรือความยาวติดลบ = โหมด radian เสมอ
2. Exam: A ladder $6$ m long leans against a vertical wall, with its foot $3$ m from the base of the wall on horizontal ground. Find the angle between the ladder and the ground.  (3 marks)ข้อสอบ: บันไดยาว $6$ เมตรพิงกำแพงแนวดิ่ง โคนบันไดห่างจากตีนกำแพง $3$ เมตรบนพื้นราบ · หามุมระหว่างบันไดกับพื้น  (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $\cos\theta=\dfrac{3}{6}=0.5\;\Rightarrow\;\theta=\cos^{-1}(0.5)=60^{\circ}$3 marks: $\text{M1}\ \ \cos\theta=\frac{3}{6}=0.5$   $\text{M1}\ \ \theta=\cos^{-1}(0.5)$   $\text{A1}\ \ \theta=60^{\circ}$ The ladder is the hypotenuse and the $3$ m is the adjacent. That choice is mark one.3 คะแนน: $\text{M1}\ \ \cos\theta=\frac{3}{6}=0.5$   $\text{M1}\ \ \theta=\cos^{-1}(0.5)$   $\text{A1}\ \ \theta=60^{\circ}$ บันไดคือ H · $3$ ม. คือ A · เลือกตรงนี้คือคะแนนแรก
3. Exam: A vertical mast stands on level ground. From a point $P$ on the ground the angle of elevation of the top of the mast is $34^{\circ}$. From a point $Q$, $20$ m nearer the mast and on the same straight line, the angle of elevation is $52^{\circ}$.
   Find the height of the mast, in metres, to 3 s.f.  (5 marks)ข้อสอบ: เสาสูงตั้งฉากอยู่บนพื้นราบ · จากจุด $P$ บนพื้น มุมเงย (angle of elevation) ของยอดเสาเท่ากับ $34^{\circ}$ · จากจุด $Q$ ซึ่งอยู่ใกล้เสาเข้ามาอีก $20$ m บนเส้นตรงเดียวกัน มุมเงยเท่ากับ $52^{\circ}$
   หาความสูงของเสา หน่วยเมตร ตอบ 3 s.f.  (5 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $28.5$ m5 marks: $\text{M1}\ \ \text{far base}=\frac{h}{\tan 34^{\circ}}$   $\text{M1}\ \ \text{near base}=\frac{h}{\tan 52^{\circ}}$   $\text{M1}\ \ \frac{h}{\tan 34^{\circ}}-\frac{h}{\tan 52^{\circ}}=20$   $\text{M1}\ \ h(1.4826-0.7813)=20$   $\text{A1}\ \ h=\frac{20}{0.70128}=28.5\text{ m}$ The $20$ m is the difference between the two bases, never a base itself.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ \text{far base}=\frac{h}{\tan 34^{\circ}}$   $\text{M1}\ \ \text{near base}=\frac{h}{\tan 52^{\circ}}$   $\text{M1}\ \ \frac{h}{\tan 34^{\circ}}-\frac{h}{\tan 52^{\circ}}=20$   $\text{M1}\ \ h(1.4826-0.7813)=20$   $\text{A1}\ \ h=\frac{20}{0.70128}=28.5\text{ m}$ $20$ ม. คือผลต่างของฐานสองอัน ไม่ใช่ฐานอันใดอันหนึ่ง
4. Triangle $PQR$ has its right angle at $Q$, with $PQ=7$ cm and $QR=4$ cm.
   Find angle $QPR$, to 1 d.p.สามเหลี่ยม $PQR$ มีมุมฉากที่ $Q$ · $PQ=7$ cm และ $QR=4$ cm
   หามุม $QPR$ ตอบ 1 d.p.
   Answer:เฉลย: $29.7^{\circ}$Two sides, no angle: go backwards: $\text{angle}+\text{side}\ \to\ \text{forwards}$   $\text{2 sides, no angle}\ \to\ \sin^{-1},\ \cos^{-1},\ \tan^{-1}$   $\text{at }P:\ O=QR=4,\ A=PQ=7$   $\theta=\tan^{-1}\!\left(\frac{4}{7}\right)=29.7^{\circ}$ $PR$ was never given, so $\tan$ is the only ratio that avoids it.สองด้าน ไม่มีมุม = เดินย้อน: $\text{angle}+\text{side}\ \to\ \text{forwards}$   $\text{2 sides, no angle}\ \to\ \sin^{-1},\ \cos^{-1},\ \tan^{-1}$   $\text{at }P:\ O=QR=4,\ A=PQ=7$   $\theta=\tan^{-1}\!\left(\frac{4}{7}\right)=29.7^{\circ}$ โจทย์ไม่ให้ $PR$ มา · $\tan$ คือตัวเดียวที่ไม่ต้องใช้ H

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. $\theta=30^{\circ}$, hypotenuse $=12$. Find the opposite side.
   Answer:เฉลย: $12\sin30^{\circ}=6$Same as the worked example, with new numbers. It builds confidence and shows the method transfers.เหมือนตัวอย่างที่ทำไปทุกอย่าง เปลี่ยนแค่ตัวเลข สร้างความมั่นใจ และพิสูจน์ว่าท่านี้ติดตัวไปแล้ว
2. $\theta=38^{\circ}$, hypotenuse $=9.4$ cm. Find the opposite side, to 3 s.f.
   Answer:เฉลย: $9.4\sin38^{\circ}=5.79$ cm (3 s.f.)Same move, awkward angle, decimal hypotenuse. This tests calculator discipline: degree mode, round once at the end.ท่าเดิม แต่มุมไม่สวยและ hypotenuse เป็นทศนิยม ข้อนี้วัดวินัยเครื่องคิดเลข: โหมดองศา ปัดครั้งเดียวตอนจบ
3. Triangle $PQR$: right angle at $Q$, angle $P=45^{\circ}$, $PQ=5$. Find $QR$.
   Answer:เฉลย: $QR=5\tan45^{\circ}=5$The wording gives no “opposite” or “adjacent”, only vertex letters. Label from the angle and it is easy.โจทย์ไม่บอกคำว่า opposite หรือ adjacent ให้แล้ว มีแต่ชื่อจุดยอด ติดป้ายจากมุมเองแล้วจะง่าย
4. A right-angled triangle has shorter sides $5$ and $12$. (a)(ก) Find the hypotenuse. (b)(ข) Find the angle opposite the side of length $5$, to 1 d.p.
   Answer:เฉลย: (a) $13$ (Pythagoras)  (b) $\tan^{-1}\!\big(\tfrac{5}{12}\big)=22.6^{\circ}$Pythagoras chained with the new backwards move. Part (b) can be done with tan alone, before part (a).พีทาโกรัสต่อด้วยท่าย้อนกลับตัวใหม่ ข้อ (b) ใช้ tan ทำได้เลย ไม่ต้องรอข้อ (a)
5. A student's final line reads $\theta=\tan^{-1}\!\big(\tfrac{3}{4}\big)=36.9^{\circ}$. Describe the triangle they were solving: which two sides were known, and what were their lengths?
   Answer:เฉลย: Opposite $=3$, adjacent $=4$ (hypotenuse not needed — e.g. the 3–4–5 triangle)Given the answer, rebuild the setup. Procedure-memorisers cannot start this one: the best understanding check here.ให้คำตอบมา แล้วสร้างโจทย์กลับ · คนท่องขั้นตอนจะเริ่มไม่ถูกเลย เป็นข้อวัดความเข้าใจที่ดีที่สุดในชุด
6. From a point $80$ m from the base of a building, the angle of elevation of the top is $30^{\circ}$. Calculate the height of the building. Give your answer to 3 s.f.  (3 marks)
   Answer:เฉลย: $h=80\tan30^{\circ}=46.2$ m (3 s.f.)Full exam question, marks stated. M1 ratio $\tan30^{\circ}=\frac{h}{80}$, M1 rearrange, A1 $46.2$ m with units.ข้อสอบเต็มรูปแบบ บอกคะแนน · M1 อัตราส่วน $\tan30^{\circ}=\frac{h}{80}$ M1 ย้ายข้าง A1 $46.2$ ม. พร้อมหน่วย
7. $\theta=30^{\circ}$, hypotenuse $=10$, and the side next to $\theta$ is wanted. A student writes $x=10\sin30^{\circ}=5$. Find the mark they lost and the correct answer.
   Answer:เฉลย: They used sin, but the wanted side is the adjacent — A with H is cos. Correct: $x=10\cos30^{\circ}=8.66$ (3 s.f.)Using sin when the sides need cos is the most common lost mark here. Watch for it in others' working.ใช้ sin ทั้งที่ด้านที่ให้มาต้องใช้ cos คือคะแนนที่หลุดบ่อยที่สุดในบทนี้ · ให้มองหาจุดนี้เวลาอ่านงานคนอื่น

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี