🎁 Free while we launch — unlock every level with your email.
🎁 ฟรีช่วงเปิดตัว — ใส่อีเมลปลดล็อกทุกระดับ
A-Level Pure 3 · CAIE 9709 & Edexcel P3
Vectors เวกเตอร์ (Vectors)
Work each problem step by step. Every step is a choice, and every answer opens a full mini-lesson: the method, the working, the mark to secure, and the exam tip.
ทำทีละข้อ ทีละสเต็ป ทุกสเต็ปคือการเลือก และทุกคำตอบจะกางเป็นมินิบทเรียนเต็ม: วิธีคิด การแสดงวิธีทำ คะแนนที่ต้องเก็บ และทิปข้อสอบ
The Pure 3 Method: practice, explain the why, repeat. The quiz-and-recall method top students use, so the marks stick.
The Pure 3 Method: ฝึก อธิบายเหตุผล ทำซ้ำ ใช้หลัก quiz-and-recall แบบเด็กท็อป คะแนนเลยอยู่ตัว
Practice ฝึกทำ Revision notes สรุปเนื้อหา Past papers ข้อสอบเก่า
The map แผนที่วิธี See this → use this เห็นแบบนี้ → ใช้แบบนี้
Match the shape of the question to the tool.
จับรูปของโจทย์ให้ตรงกับเครื่องมือ
length / unit vector ความยาว / เวกเตอร์หนึ่งหน่วย → $|\mathbf{a}|=\sqrt{\textstyle\sum a_i^{2}}$, $\hat{\mathbf{a}}=\tfrac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}$ try → ลอง → angle between vectors มุมระหว่างเวกเตอร์ → dot $\div |\mathbf{a}||\mathbf{b}|$, then $\cos^{-1}$ dot $\div |\mathbf{a}||\mathbf{b}|$ แล้ว $\cos^{-1}$ try → ลอง → perpendicular? ตั้งฉาก? → $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$
line equation สมการเส้นตรง → $\mathbf{r}=\mathbf{a}+t\,\mathbf{d}$ (point + direction) (จุด + ทิศทาง)
do two lines meet? สองเส้นตัดกันไหม? → equate, solve, check 3rd จับเท่ากัน แก้ เช็กที่สาม try → ลอง → angle between lines มุมระหว่างเส้น → use the directions ใช้เวกเตอร์ทิศทาง try → ลอง →
Toolkit กล่องเครื่องมือ Standard results to know สูตรมาตรฐานที่ต้องจำ
A quick sketch of the two vectors makes the angle and the answer obvious.
วาดเวกเตอร์สองตัวคร่าวๆ ช่วยให้เห็นมุมและคำตอบชัด
Lock in the marks เก็บคะแนนให้ครบ 5 marks to lock in 5 คะแนนที่เก็บเพิ่มได้
Hover (or tap) each one to see the fix.
เลื่อนเมาส์ (หรือแตะ) แต่ละอันเพื่อดูวิธีแก้
✗ Stopped at the ratio หยุดที่อัตราส่วน i
$\tfrac{8}{9}$ → $\cos^{-1}\tfrac{8}{9}$
take the inverse cosine ใช้อินเวอร์สโคไซน์
✗ Used points, not directions ใช้จุด ไม่ใช่ทิศทาง i
angle of lines = angle of มุมของเส้น = มุมของ $\mathbf{d}$
✗ Skipped the 3rd equation ข้ามสมการที่สาม i
3rd must check, else สมการที่สามต้องผ่าน ไม่งั้น skew
✗ $|\mathbf{a}|$ vs $|\mathbf{a}|^{2}$ i
$\hat{\mathbf{a}}=\mathbf{a}\div|\mathbf{a}|$
divide by $|\mathbf{a}|$, not $|\mathbf{a}|^{2}$ หารด้วย $|\mathbf{a}|$ ไม่ใช่ $|\mathbf{a}|^{2}$
✗ Obtuse not made acute ไม่ปรับเป็นมุมแหลม i
if ถ้า $\cos<0$ → $180^{\circ}-\theta$
Still stuck on a topic? Book a free call → ยังติดทั้งหัวข้อ? จองคุยฟรี →