Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ
Straight-Line Graphsกราฟเส้นตรง
IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ
1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม
Substitute $x$, or use a known point to find $c$แทน $x$ หรือใช้จุดที่รู้เพื่อหา $c$
Level 1 renames the $2$ and the $1$. The arithmetic stays the same.ขั้นแรกตั้งชื่อใหม่ให้ $2$ กับ $1$ ส่วนการคำนวณยังเหมือนเดิม
$x$
$y$
$0$
$1$
$1$
$3$
$2$
$?$
$y=2x+1$. Complete the table. What is $y$ when $x=2$?
$x$
$y$
$0$
$1$
$1$
$3$
$2$
$?$
$y=2x+1$ เติมตารางให้ครบ · ตอน $x=2$ ค่า $y$ คือเท่าไร? Answer:เฉลย: $y=5$This whole lesson runs on tables of values: each row is one point of the graph.ทั้งบทนี้ใช้ตารางค่าตลอด: แต่ละแถวคือหนึ่งจุดบนกราฟ
The line $y=2x+c$ passes through the point $(3,10)$. Find $c$.เส้นตรง $y=2x+c$ ผ่านจุด $(3,10)$ หา $c$ Answer:เฉลย: $c=4$Substitute a point, solve for $c$: $10=2(3)+c$ $10=6+c$ $c=4$ This one move is the whole second half of the lesson.แทนค่าจุด แล้วแก้หา $c$: $10=2(3)+c$ $10=6+c$ $c=4$ ท่านี้ท่าเดียว คือครึ่งหลังของบททั้งหมด
2. From table to pictureจากตารางเป็นรูป
Every row of the table is one dot, and the dots of $y=x$ line up.ทุกแถวในตารางคือหนึ่งจุด · จุดของ $y=x$ เรียงเป็นเส้นตรง
$y=x$ means $y$ copies $x$$y=x$ แปลว่า $y$ ลอกค่ามาจาก $x$
Three rows, three pairs: $(1,1)$, $(2,2)$, $(3,3)$.สามแถว สามคู่: $(1,1)$, $(2,2)$, $(3,3)$
Six dots, one straight lineหกจุด เส้นตรงเส้นเดียว
The line does not stop at the last dot. It keeps going both ways.เส้นไม่ได้หยุดที่จุดสุดท้าย · มันลากต่อไปทั้งสองทาง
$y=x$. What is $y$ when $x=3$?$y=x$ ตอน $x=3$ ค่า $y$ คือเท่าไร? Answer:เฉลย: $y=3$$y$ copies $x$: $y=x$ $x=3\ \Rightarrow\ y=3$$y$ ลอกค่า $x$: $y=x$ $x=3\ \Rightarrow\ y=3$
$y=x$
$x$
$y$
$1$
$1$
$2$
$2$
$3$
$3$
Each row is one dot. Plot all three.$y=x$
$x$
$y$
$1$
$1$
$2$
$2$
$3$
$3$
หนึ่งแถวคือหนึ่งจุด · พล็อตให้ครบทั้งสาม Answer:เฉลย:$(1,1)$, $(2,2)$, $(3,3)$$(1,1)$, $(2,2)$, $(3,3)$Each row of the table is one dot.แต่ละแถวของตารางคือหนึ่งจุด
$y=x$ · the three dots so far: $(1,1)$, $(2,2)$, $(3,3)$. Lay a ruler on them. Which dot does it hit next?$y=x$ · สามจุดที่พล็อตไปแล้ว: $(1,1)$, $(2,2)$, $(3,3)$ วางไม้บรรทัดทาบสามจุดนี้ · จุดถัดไปที่โดนคือจุดไหน? Answer:เฉลย:$(4,4)$ — the pattern keeps going.$(4,4)$ — แบบเดิมเดินต่อไปเรื่อย ๆthe dots stay in line: $x=4\ \Rightarrow\ y=4$จุดยังอยู่ในแนวเดิม: $x=4\ \Rightarrow\ y=4$
$y=x$. What is $y$ when $x=0$?$y=x$ ตอน $x=0$ ค่า $y$ คือเท่าไร? Answer:เฉลย: $y=0$$x=0$ gives $y=0$: $y=x$ $x=0\ \Rightarrow\ y=0$$x=0$ ได้ $y=0$: $y=x$ $x=0\ \Rightarrow\ y=0$
Still $y=x$, so $y$ copies $x$ every time. The dots already on the grid are $(1,1)$, $(2,2)$, $(3,3)$. Now plot $x=0$, $x=-1$ and $x=-2$.ยังเป็น $y=x$ อยู่ — $y$ ลอกค่า $x$ ทุกครั้ง จุดที่อยู่บนกริดแล้วคือ $(1,1)$, $(2,2)$, $(3,3)$ ทีนี้พล็อต $x=0$, $x=-1$ และ $x=-2$ Answer:เฉลย:$(0,0)$, $(-1,-1)$, $(-2,-2)$$(0,0)$, $(-1,-1)$, $(-2,-2)$Negatives fit the equation too, so the line carries on.ค่าติดลบก็แทนในสมการได้ เส้นจึงลากต่อไปอีกฝั่ง
3. Move it, tilt itเลื่อนขึ้น กับ เอียงขึ้น
$+1$ lifts the whole line; the number on $x$ tilts it.$+1$ ยกทั้งเส้นขึ้น · เลขที่คูณ $x$ ทำให้เอียง
$y=x+1$: one more, every row$y=x+1$: บวกหนึ่งทุกแถว
Same $x$; every $y$ is $1$ bigger.$x$ ชุดเดิม แต่ $y$ มากขึ้น $1$ ทุกตัว
$y=2x+1$: double it, then add $1$$y=2x+1$: คูณสอง แล้วบวกหนึ่ง
$x$ goes up by $1$; $y$ goes up by $2$.$x$ เพิ่มทีละ $1$ · $y$ เพิ่มทีละ $2$
Same start, different tiltเริ่มจุดเดียวกัน แต่เอียงไม่เท่ากัน
$+1$ set the start. The number on $x$ set the tilt. Next: those two numbers get their names.$+1$ กำหนดจุดเริ่ม · เลขที่คูณ $x$ กำหนดความเอียง · ต่อไป: เลขสองตัวนี้จะได้ชื่อประจำตัว
Dashed line: $y=x$. Your line: $y=x+1$.
$x$
$y=x+1$
$1$
$2$
$2$
$3$
$3$
$4$
Plot those three dots.เส้นประคือ $y=x$ เส้นของเรา: $y=x+1$
$x$
$y=x+1$
$1$
$2$
$2$
$3$
$3$
$4$
พล็อตสามจุดนี้ Answer:เฉลย:$(1,2)$, $(2,3)$, $(3,4)$$(1,2)$, $(2,3)$, $(3,4)$Same $x$ values, each $y$ one higher.ค่า $x$ ชุดเดิม แต่ $y$ สูงขึ้นทีละหนึ่ง
Dashed line $y=x$ goes through $(1,1)$, $(2,2)$, $(3,3)$. Your dots $y=x+1$ are $(1,2)$, $(2,3)$, $(3,4)$. What did the $+1$ do?เส้นประ $y=x$ ผ่าน $(1,1)$, $(2,2)$, $(3,3)$ จุดที่พล็อต $y=x+1$ คือ $(1,2)$, $(2,3)$, $(3,4)$ แล้ว $+1$ ทำอะไรกับเส้น? Answer:เฉลย:$+1$ lifts the whole line by $1$.$+1$ ยกทั้งเส้นขึ้น $1$$+1$ lifts every dot: $x=1:\ 1+1=2$ $x=2:\ 2+1=3$$+1$ ยกทุกจุด: $x=1:\ 1+1=2$ $x=2:\ 2+1=3$
$y=x+1$. What is $y$ when $x=0$?$y=x+1$ ตอน $x=0$ ค่า $y$ คือเท่าไร? Answer:เฉลย: $y=1$Line meets the $y$-axis: $x=0\ \Rightarrow\ y=0+1=1$ The line crosses the $y$-axis at $(0,1)$.จุดที่เส้นพบแกน $y$: $x=0\ \Rightarrow\ y=0+1=1$ เส้นตัดแกน $y$ ที่ $(0,1)$
Dashed line: $y=x+1$. Your line: $y=2x+1$.
$x$
$y=2x+1$
$0$
$1$
$1$
$3$
$2$
$5$
Plot those three dots.เส้นประคือ $y=x+1$ เส้นของเรา: $y=2x+1$
$x$
$y=2x+1$
$0$
$1$
$1$
$3$
$2$
$5$
พล็อตสามจุดนี้ Answer:เฉลย:$(0,1)$, $(1,3)$, $(2,5)$$(0,1)$, $(1,3)$, $(2,5)$Double the $x$ first, then add $1$.คูณสองก่อน แล้วค่อยบวกหนึ่ง
On $y=2x+1$: from $(1,3)$ to $(2,5)$ is $1$ across and how many up?บนเส้น $y=2x+1$: จาก $(1,3)$ ไป $(2,5)$ คือไปขวา $1$ แล้วขึ้นกี่ช่อง? Answer:เฉลย: $2$the tilt is the up-step: $5-3=2$ $2-1=1$ $1\ \text{across}\ \Rightarrow\ 2\ \text{up}$ความเอียงคือก้าวขึ้น: $5-3=2$ $2-1=1$ $1\ \text{across}\ \Rightarrow\ 2\ \text{up}$
4. Our familiar line, renamedเส้นเดิม ได้ชื่อใหม่
The line is every solution at once; $m$ and $c$ are its two numbers.เส้นตรงคือทุกคำตอบพร้อมกัน · $m$ กับ $c$ คือตัวเลขสองตัวของมัน
Each dot is one row of the table. Join them with a ruler: that line is $y=2x+1$.แต่ละจุดคือหนึ่งแถวของตาราง · ลากไม้บรรทัดเชื่อม ได้เส้น $y=2x+1$
Look at the picture. What is this line?ดูรูปแล้วตอบ: เส้นนี้คืออะไรกันแน่? Answer:เฉลย:The line = all solutions of the equation, drawn.เส้นตรง = คำตอบทั้งหมดของสมการ วาดออกมาเป็นรูปThe line = every solution: $(x,y)\text{ on the line}\iff y=2x+1\text{ is true}$ $(\tfrac12,2):\ 2(\tfrac12)+1=2\ \checkmark$เส้นตรง = คำตอบทุกตัว: $(x,y)\text{ on the line}\iff y=2x+1\text{ is true}$ $(\tfrac12,2):\ 2(\tfrac12)+1=2\ \checkmark$
$y=2x+1$. Write down $c$, the y-intercept.$y=2x+1$ บอกค่า $c$ (จุดตัดแกน y) Answer:เฉลย: $c=1$$c$ is the value at $x=0$: $x=0\ \Rightarrow\ y=m(0)+c=c$ $\text{graph: crosses the }y\text{-axis at }(0,c)$$c$ คือค่าตอน $x=0$: $x=0\ \Rightarrow\ y=m(0)+c=c$ $\text{graph: crosses the }y\text{-axis at }(0,c)$
5. When m and c hideตอน m กับ c ซ่อนตัว
Only read $m$ and $c$ once $y$ is alone.จะอ่าน $m$ กับ $c$ ได้ ต้องให้ $y$ อยู่ลำพังก่อน
Rearrange the equation firstจัดรูปสมการก่อนเสมอ
Rearrange first: gradient $3$, intercept $2$. Using $6$ and $4$ loses both marks.จัดรูปก่อน: ความชัน $3$ จุดตัด $2$ · ใช้ $6$ กับ $4$ ตรงๆ เสียทั้งสองคะแนน
$2y=6x+4$. The gradient of this line is:$2y=6x+4$ ความชันของเส้นนี้คือ: Answer:เฉลย: $m=3$Rearrange first, read second: $2y=6x+4$ $y=3x+2$ $m=3,\ c=2$จัดรูปก่อน แล้วค่อยอ่าน: $2y=6x+4$ $y=3x+2$ $m=3,\ c=2$
$y=5-3x$. What is the gradient?$y=5-3x$ ความชันคือเท่าไร? Answer:เฉลย: $m=-3$Reorder into $mx+c$: $y=5-3x$ $y=-3x+5$ $m=-3\ \Rightarrow\ \text{downhill}$เรียงใหม่ให้เป็น $mx+c$: $y=5-3x$ $y=-3x+5$ $m=-3\ \Rightarrow\ \text{downhill}$
6. Steepness from two pointsความชันจากสองจุด
Rise over run: counting squares, written as a formula.rise over run · การนับช่อง เขียนเป็นสูตร
Same four numbers, three wrong answersเลขสี่ตัวเดิม ตอบผิดได้สามแบบ
Correct: $\dfrac{9-3}{5-2}=2$. The labels keep the four numbers apart.ที่ถูก: $\dfrac{9-3}{5-2}=2$ ชื่อกำกับคือสิ่งที่กันเลขสี่ตัวไม่ให้ปนกัน
Count squares from $A$ to $B$: how far across, how far up. Gradient = up per one across. What is it?นับช่องจาก $A$ ไป $B$: ไปขวากี่ช่อง ขึ้นบนกี่ช่อง ความชัน = ขึ้นเท่าไรต่อการไปขวาหนึ่งช่อง · ตอบเท่าไร? Answer:เฉลย: $m=2$Gradient is up per one across: $\text{up }4,\ \text{across }2$ $m=\dfrac{4}{2}=2$ $\text{matches }y=2x+1$ความชัน = ขึ้นเท่าไร ต่อไปขวา $1$: $\text{up }4,\ \text{across }2$ $m=\dfrac{4}{2}=2$ $\text{matches }y=2x+1$
Points $A(2,3)$ and $B(5,9)$. Which labelling is right?จุด $A(2,3)$ และ $B(5,9)$ ตั้งชื่อแบบไหนถูก? Answer:เฉลย: $x_1=2,\;y_1=3,\;x_2=5,\;y_2=9$Label first, subtract second. Almost every lost gradient mark happens here, not in the arithmetic.ตั้งชื่อก่อน แล้วค่อยลบ · คะแนนความชันที่หายไปเกือบทั้งหมดพลาดตรงนี้ ไม่ใช่ตอนคิดเลข
$P(4,1)$ and $Q(6,7)$. Write all four labels in your book, then type $x_2$.$P(4,1)$ และ $Q(6,7)$ เขียนชื่อกำกับให้ครบสี่ตัวลงสมุด แล้วพิมพ์ $x_2$ Answer:เฉลย: $x_1=4,\;y_1=1,\;x_2=6,\;y_2=7$Four numbers, four names. Once they are written down the formula is only typing.เลขสี่ตัว ชื่อสี่ชื่อ · พอเขียนกำกับครบแล้ว ที่เหลือคือแค่แทนค่า
Read the labels. Then fill the top: $y_2-y_1=?$ดูป้ายกำกับ แล้วเติมข้างบน: $y_2-y_1=?$ Answer:เฉลย: $y_2-y_1=9-3=6$Top row: the two $y$'s: $A(2,3):\ x_1=2,\ y_1=3$ $B(5,9):\ x_2=5,\ y_2=9$ $y_2-y_1=9-3=6$แถวบน: $y$ สองตัว: $A(2,3):\ x_1=2,\ y_1=3$ $B(5,9):\ x_2=5,\ y_2=9$ $y_2-y_1=9-3=6$
Now the bottom: $x_2-x_1=?$ทีนี้ข้างล่าง: $x_2-x_1=?$ Answer:เฉลย: $x_2-x_1=5-2=3$Bottom row: the two $x$'s: $x_2-x_1=5-2=3$ $\text{up }6,\ \text{across }3$แถวล่าง: $x$ สองตัว: $x_2-x_1=5-2=3$ $\text{up }6,\ \text{across }3$
Both slots are full. Finish it: $m=?$ช่องเต็มทั้งสองแล้ว · ทำให้จบ: $m=?$ Answer:เฉลย: $m=\dfrac{9-3}{5-2}=\dfrac{6}{3}=2$Divide the climb by the step: $m=\dfrac{9-3}{5-2}=\dfrac{6}{3}=2$ The formula replaces counting squares once the points are too far apart to draw.เอาระยะขึ้น หารด้วยระยะไปขวา: $m=\dfrac{9-3}{5-2}=\dfrac{6}{3}=2$ สูตรมาแทนการนับช่อง ตอนที่จุดไกลเกินกว่าจะวาด
Different points now: $(1,4)$ and $(3,10)$. Which calculation gives the gradient?คราวนี้คนละจุด: $(1,4)$ กับ $(3,10)$ อันไหนคำนวณความชันได้ถูก? Answer:เฉลย: $m=3$Same direction, top and bottom: $\dfrac{10-4}{3-1}=\dfrac{6}{2}=3$ $\dfrac{4-10}{1-3}=\dfrac{-6}{-2}=3$ลบทิศเดียวกัน ทั้งบนและล่าง: $\dfrac{10-4}{3-1}=\dfrac{6}{2}=3$ $\dfrac{4-10}{1-3}=\dfrac{-6}{-2}=3$
7. Negative coordinatesพิกัดติดลบ
Substitute inside brackets, then simplify the signs.แทนค่าในวงเล็บก่อน แล้วค่อยจัดเครื่องหมาย
Two minus signs must never touchห้ามให้เครื่องหมายลบสองตัวชนกัน
Brackets are not decoration. They hold each minus sign to its own number.วงเล็บไม่ใช่ของประดับ · มันยึดเครื่องหมายลบไว้กับตัวเลขของมัน
Three lines, every timeเขียนสามบรรทัดทุกครั้ง
$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$Write the formula first, every time.เขียนสูตรก่อนเสมอ
$m=\frac{(-1)-(-5)}{(2)-(-3)}$Substitute the numbers inside brackets. This stops the lost minus sign.แทนเลขโดยใส่วงเล็บไว้ · แบบนี้กันเครื่องหมายลบหาย
$m=\frac{-1+5}{2+3}$Minus a minus is plus, top and bottom.ลบกับลบเป็นบวก ทั้งเศษและส่วน
$m=\frac{4}{5}$Up $4$ for every $5$ across.ไปขวา $5$ ขึ้น $4$
Skipping line 1 is what turns $4$ into $-6$. It costs three seconds.ที่ $4$ กลายเป็น $-6$ ก็เพราะข้ามบรรทัดแรก · เขียนเพิ่มแค่สามวินาที
New points: $A(-3,-5)$ and $B(2,-1)$. Top row only: $y_2-y_1=?$จุดใหม่: $A(-3,-5)$ และ $B(2,-1)$ เอาแค่แถวบน: $y_2-y_1=?$ Answer:เฉลย: $y_2-y_1=(-1)-(-5)=4$Brackets hold the minus signs: $y_1=-5,\ y_2=-1$ $(-1)-(-5)=-1+5=4$วงเล็บยึดเครื่องหมายลบไว้: $y_1=-5,\ y_2=-1$ $(-1)-(-5)=-1+5=4$
Now the bottom. Write the brackets in first: $x_2-x_1=?$ทีนี้ข้างล่าง · ใส่วงเล็บก่อน: $x_2-x_1=?$ Answer:เฉลย: $x_2-x_1=(2)-(-3)=2+3=5$Both slots did the same thing: brackets in, then minus-a-minus becomes plus.ทั้งสองช่องทำเหมือนกัน: ใส่วงเล็บ แล้วลบด้วยจำนวนลบกลายเป็นบวก
Both slots are full. Find $m$.เติมครบทั้งสองช่องแล้ว หา $m$ Answer:เฉลย: $m=\dfrac{4}{5}$A fraction is a fine answer: $m=\dfrac{4}{5}$ $\text{up }4\ \text{for every across }5$ตอบเป็นเศษส่วนได้ ปกติ: $m=\dfrac{4}{5}$ $\text{up }4\ \text{for every across }5$
8. Backwards: points to equationย้อนทาง: จากจุดหาสมการ
Given two points, build $y=mx+c$: find $m$ first, then $c$.มีสองจุด สร้าง $y=mx+c$ · หา $m$ ก่อน แล้วค่อย $c$
Two points to an equation, every timeจากสองจุดสู่สมการ · ใช้ได้ทุกครั้ง
Find $m$, then $c$ from one point. Check the other: $4(3)-1=11$ ✓หา $m$ ก่อน แล้วใช้จุดเดียวหา $c$ · ตรวจจุดที่เหลือ: $4(3)-1=11$ ✓
Two points: $(1,3)$ and $(3,11)$. The exam wants $y=mx+c$, and one letter you can find already. Find $m$.สองจุด $(1,3)$ กับ $(3,11)$ · ข้อสอบอยากได้ $y=mx+c$ และมีตัวหนึ่งที่หาได้แล้ว · หา $m$ Answer:เฉลย: $m=4$$m$ never needed the equation. Two points are enough. Now $c$ is the only unknown left.$m$ ไม่ต้องใช้สมการเลย มีสองจุดก็พอ · ตอนนี้เหลือ $c$ ตัวเดียวที่ยังไม่รู้
So far: $y=4x+c$. The line passes through $(1,3)$, so $x=1,\;y=3$ must make it true. Substitute them in and make $c$ the subject.ตอนนี้ได้ $y=4x+c$ · เส้นผ่านจุด $(1,3)$ แปลว่า $x=1,\;y=3$ ต้องทำให้สมการจริง · แทนลงไป แล้วทำ $c$ เป็นตัวตั้ง Answer:เฉลย: $c=-1$One point leaves one unknown: $y=4x+c,\ (1,3)$ $3=4(1)+c$ $c=3-4=-1$ $y=4x-1$จุดเดียว เหลือตัวไม่รู้ตัวเดียว: $y=4x+c,\ (1,3)$ $3=4(1)+c$ $c=3-4=-1$ $y=4x-1$
9. Parallel linesเส้นขนาน
Parallel copies $m$. The point you are given supplies $c$.ขนานลอก $m$ มาตรงๆ · จุดที่โจทย์ให้มาเอาไว้หา $c$
$(0,-4)$ handed you $c$. Most points do not.$(0,-4)$ ยก $c$ ให้ฟรี · จุดส่วนใหญ่ไม่ใจดีขนาดนั้น
$x=0$ makes $mx=0$, so $y=c$. Any other point: substitute.$x=0$ ทำให้ $mx=0$ จึงได้ $y=c$ · จุดอื่นต้องแทนค่า
Parallel: name the two lines, then copy the gradientขนาน: ตั้งชื่อสองเส้นก่อน แล้วลอกความชันมา
Label the point $x$, $y$ first. The $4$ is $y$, not $x$.เขียน $x$ กับ $y$ กำกับจุดก่อน · $4$ คือ $y$ ไม่ใช่ $x$
The same step is drawn on both lines. The lines never meet. Look at the equations. Why?ก้าวเดียวกันถูกวาดบนทั้งสองเส้น และสองเส้นไม่มีวันเจอกัน · ดูจากสมการ เพราะอะไร? Answer:เฉลย:Parallel ⇔ same gradient.ขนาน ⇔ ความชันเท่ากันParallel $\Leftrightarrow$ same $m$: $y=2x+1,\ \ y=2x-3$ $m=2\ \text{for both}$ $c\ \text{only shifts up or down}$ขนาน $\Leftrightarrow$ $m$ เท่ากัน: $y=2x+1,\ \ y=2x-3$ $m=2\ \text{for both}$ $c\ \text{only shifts up or down}$
Both lines climb by $2$ every step across. So how far apart are they at $x=3$?ทั้งสองเส้นขึ้นทีละ $2$ ต่อการไปขวาหนึ่งช่องเท่ากัน · แล้วตอน $x=3$ สองเส้นห่างกันเท่าไร? Answer:เฉลย: $7-3=4$The gap never changes: $x=3:\ 7-3=4$ $\text{both gain }+2\ \text{per step}$ $\Rightarrow\ \text{the gap stays }4$ระยะห่างไม่เปลี่ยน: $x=3:\ 7-3=4$ $\text{both gain }+2\ \text{per step}$ $\Rightarrow\ \text{the gap stays }4$
A line is parallel to $y=5x-2$. Write down its gradient $m$.เส้นตรงเส้นหนึ่งขนานกับ $y=5x-2$ บอกค่าความชัน $m$ ของมัน Answer:เฉลย: $m=5$Parallel gives you $m$: $y=5x-2\ \Rightarrow\ m=5$ $c\ \text{comes from the point}$ขนานให้ $m$ มาฟรี: $y=5x-2\ \Rightarrow\ m=5$ $c\ \text{comes from the point}$
A line is parallel to $y=2x+1$ and passes through $(0,-4)$. Write its equation.เส้นตรงเส้นหนึ่งขนานกับ $y=2x+1$ และผ่านจุด $(0,-4)$ · เขียนสมการของมัน Answer:เฉลย: $y=2x-4$An $x=0$ point is $c$: $\text{parallel}\ \Rightarrow\ m=2$ $(0,-4)\ \Rightarrow\ c=-4$ $y=2x-4$จุดที่ $x=0$ คือ $c$: $\text{parallel}\ \Rightarrow\ m=2$ $(0,-4)\ \Rightarrow\ c=-4$ $y=2x-4$
A line is parallel to $y=3x-1$ and passes through $(2,4)$. Copying the gradient gives $y=3x+c$. Substitute the point and find $c$.เส้นตรงเส้นหนึ่งขนานกับ $y=3x-1$ และผ่านจุด $(2,4)$ · ลอกความชันมาได้ $y=3x+c$ แทนจุดลงไปแล้วหา $c$ Answer:เฉลย: $4=3(2)+c=6+c \Rightarrow c=-2$Point in, solve for $c$: $4=3(2)+c$ $4=6+c$ $c=4-6=-2$แทนจุด แก้หา $c$: $4=3(2)+c$ $4=6+c$ $c=4-6=-2$
So $m=3$ and $c=-2$. Write the equation of the line.ได้ $m=3$ กับ $c=-2$ แล้ว เขียนสมการของเส้นนี้ Answer:เฉลย: $y=3x-2$Put $m$ and $c$ together: $m=3,\ c=-2\ \Rightarrow\ y=3x-2$ $\text{check }x=2:\ 6-2=4\ \checkmark$เอา $m$ กับ $c$ มาประกอบ: $m=3,\ c=-2\ \Rightarrow\ y=3x-2$ $\text{check }x=2:\ 6-2=4\ \checkmark$
10. Perpendicular linesเส้นตั้งฉาก
Flip the fraction and change the sign. Then use the same two steps as before.กลับเศษส่วนแล้วสลับเครื่องหมาย · จากนั้นทำสองขั้นเดิม
Turn the same step a quarter turnหมุนก้าวเดิมไปหนึ่งในสี่รอบ
A perpendicular line is the same line turned $90^\circ$. Turn the step with it.เส้นตั้งฉากคือเส้นเดิมที่หมุนไป $90^\circ$ · หมุนก้าวตามไปด้วย
Perpendicular: the same page, one line differentตั้งฉาก: หน้าตาเหมือนเดิม ต่างกันบรรทัดเดียว
Below the $m_2$ line, it is the parallel page again.ใต้บรรทัด $m_2$ ลงไป เหมือนหน้าขนานทุกบรรทัด
The turned step goes $2$ across. How far down does it go?ก้าวที่หมุนแล้วไปขวา $2$ · แล้วลงเท่าไร? Answer:เฉลย: $1$Swap them, up becomes down: $1\ \text{across},\ 2\ \text{up}$ $\to\ 2\ \text{across},\ 1\ \text{down}$สลับสองตัว ขึ้นกลายเป็นลง: $1\ \text{across},\ 2\ \text{up}$ $\to\ 2\ \text{across},\ 1\ \text{down}$
The turned step goes $2$ across and $1$ down. Write that step as a gradient.ก้าวที่หมุนแล้วไปขวา $2$ และลง $1$ เขียนก้าวนี้ให้เป็นความชัน Answer:เฉลย: $m=-\tfrac12$Across $2$, down $1$: $m=\dfrac{-1}{2}=-\tfrac12$ $2\ \to\ -\tfrac12$ไปขวา $2$ ลง $1$: $m=\dfrac{-1}{2}=-\tfrac12$ $2\ \to\ -\tfrac12$
One line has gradient $2$; the line at right angles to it has $-\tfrac12$. Multiply them: $2\times\left(-\tfrac12\right)=?$เส้นหนึ่งความชัน $2$ · เส้นที่ตั้งฉากกับมันความชัน $-\tfrac12$ คูณกัน: $2\times\left(-\tfrac12\right)=?$ Answer:เฉลย: $-1$Every perpendicular pair gives $-1$: $2\times\left(-\tfrac12\right)=-1$ Fastest check in the exam: multiply the two gradients.คู่ตั้งฉากทุกคู่ คูณกันได้ $-1$: $2\times\left(-\tfrac12\right)=-1$ ตรวจเร็วสุดในห้องสอบ: คูณความชันสองเส้นเข้าด้วยกัน
A line has gradient $3$. A line perpendicular to it has gradient:เส้นหนึ่งมีความชัน $3$ · เส้นที่ตั้งฉากกับมันมีความชันเท่าไร: Answer:เฉลย: $-\tfrac13$Flip: $3=\tfrac31 \to \tfrac13$. Change the sign: $-\tfrac13$. Check: $3\times-\tfrac13=-1$ ✓กลับเศษส่วน: $3=\tfrac31 \to \tfrac13$ สลับเครื่องหมาย: $-\tfrac13$ ตรวจ: $3\times-\tfrac13=-1$ ✓
A line is perpendicular to $y=4x+1$ and passes through $(8,3)$. Step 1: write down the gradient of the new line.เส้นตรงเส้นหนึ่งตั้งฉากกับ $y=4x+1$ และผ่านจุด $(8,3)$ ขั้นที่ 1: บอกความชันของเส้นใหม่ Answer:เฉลย: $m=-\tfrac14$$4 \to \tfrac14 \to -\tfrac14$. Check: $4\times-\tfrac14=-1$ ✓$4 \to \tfrac14 \to -\tfrac14$ ตรวจ: $4\times-\tfrac14=-1$ ✓
So the new line is $y=-\tfrac14x+c$, and it passes through $(8,3)$. Find $c$.เส้นใหม่คือ $y=-\tfrac14x+c$ และผ่านจุด $(8,3)$ หา $c$ Answer:เฉลย: $3=-\tfrac14(8)+c=-2+c \Rightarrow c=5$$-\tfrac14\times8=-2$. $3=-2+c \Rightarrow c=5$. Step 2 is the same as in the parallel question. Only step 1 was different.$-\tfrac14\times8=-2$ $3=-2+c \Rightarrow c=5$ ขั้นที่สองเหมือนข้อขนาน · ต่างกันแค่ขั้นที่หนึ่ง
Write the equation of the perpendicular line.เขียนสมการของเส้นตั้งฉากเส้นนี้ Answer:เฉลย: $y=-\tfrac14x+5$Three lines, every time: $y=-\tfrac14x+5$ $\text{check }x=8:\ -2+5=3\ \checkmark$ $\text{gradient}\to\text{substitute}\to y=mx+c$สามบรรทัด ทุกครั้ง: $y=-\tfrac14x+5$ $\text{check }x=8:\ -2+5=3\ \checkmark$ $\text{gradient}\to\text{substitute}\to y=mx+c$
11. Which one — parallel or perpendicular?ข้อนี้ขนานหรือตั้งฉาก?
One word in the question decides step 1. Everything after it is identical.คำเดียวในโจทย์ตัดสินขั้นที่ 1 · ที่เหลือเหมือนกันหมด
Only step 1 changesเปลี่ยนแค่ขั้นที่ 1 ขั้นเดียว
Read the word before you write. A wrong step 1 loses every mark after it.อ่านคำนั้นให้ชัดก่อนลงมือเขียน · ขั้นที่ 1 ผิด คะแนนหลังจากนั้นหลุดหมด
A line is parallel to $y=-3x+2$ and passes through $(1,4)$. Find its equation. (3 marks)เส้นตรงเส้นหนึ่งขนานกับ $y=-3x+2$ และผ่านจุด $(1,4)$ หาสมการของมัน (3 คะแนน) Answer:เฉลย: $m=-3,\; 4=-3+c \Rightarrow c=7,\; y=-3x+7$Step 1: parallel, so $m=-3$. Step 2: $4=-3(1)+c=-3+c \Rightarrow c=7$. Step 3: $y=-3x+7$.ขั้นที่ 1: ขนาน จึงได้ $m=-3$ ขั้นที่ 2: $4=-3(1)+c=-3+c \Rightarrow c=7$ ขั้นที่ 3: $y=-3x+7$
A line is perpendicular to $y=\tfrac13x-4$ and passes through $(2,-1)$. Find its equation. (3 marks)เส้นตรงเส้นหนึ่งตั้งฉากกับ $y=\tfrac13x-4$ และผ่านจุด $(2,-1)$ หาสมการของมัน (3 คะแนน) Answer:เฉลย: $m=-3,\; -1=-6+c \Rightarrow c=5,\; y=-3x+5$Only step 1 changed: $\tfrac13\ \to\ 3\ \to\ -3$ $-1=-3(2)+c=-6+c\ \Rightarrow\ c=5$ $y=-3x+5$เปลี่ยนแค่ขั้นที่ 1: $\tfrac13\ \to\ 3\ \to\ -3$ $-1=-3(2)+c=-6+c\ \Rightarrow\ c=5$ $y=-3x+5$
12. Exam formรูปแบบข้อสอบ
Same ideas, exam packaging: turn $y=mx+c$ into $ax+by=c$.เนื้อหาเดิม แต่ห่อแบบข้อสอบ: เปลี่ยน $y=mx+c$ เป็น $ax+by=c$
The costume $ax+by=c$ชุดสุดท้าย: $ax+by=c$
Exams ask for $ax+by=c$ with integers. Same line, new form.ข้อสอบสั่งให้ตอบในรูป $ax+by=c$ เป็นจำนวนเต็ม · เส้นเดิม แค่เปลี่ยนรูป
$y=-2x+5$. There is no fraction here, so one move is enough: bring the $x$-term across.$y=-2x+5$ ข้อนี้ไม่มีเศษส่วน ใช้ท่าเดียวพอ: ย้ายก้อน $x$ ข้ามมา Answer:เฉลย: $2x+y=5$$y=-2x+5$ $\xrightarrow{+2x}$ $2x+y=5$. Nothing needed multiplying, because there was no fraction to clear.$y=-2x+5$ $\xrightarrow{+2x}$ $2x+y=5$ ไม่ต้องคูณอะไรเลย เพราะไม่มีเศษส่วนให้กำจัด
$y=\tfrac12x+3$ does have a fraction, so multiply every term by $2$ first. What do you get?$y=\tfrac12x+3$ มีเศษส่วน ต้องคูณ $2$ ทุกพจน์ก่อน ได้อะไร? Answer:เฉลย: $2y=x+6$Multiply every term by $2$: $2\times y=2y$ $2\times\tfrac12x=x$ $2\times 3=6$ $2y=x+6$คูณ $2$ ทุกพจน์: $2\times y=2y$ $2\times\tfrac12x=x$ $2\times 3=6$ $2y=x+6$
Now finish it. Put $2y=x+6$ into the form $ax+by=c$.ทีนี้ปิดจ๊อบ จัด $2y=x+6$ ให้อยู่ในรูป $ax+by=c$ Answer:เฉลย: $-x+2y=6$ (or $x-2y=-6$)Both forms are accepted: $2y=x+6\ \xrightarrow{-x}\ -x+2y=6$ $\times(-1):\ x-2y=-6$ตอบได้ทั้งสองรูป: $2y=x+6\ \xrightarrow{-x}\ -x+2y=6$ $\times(-1):\ x-2y=-6$
Exam: Find the equation of the line through $(2,5)$ that is perpendicular to $y=2x+1$. Give your answer in the form $ax+by=c$ where $a$, $b$, $c$ are integers. (4 marks)ข้อสอบ: หาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด $(2,5)$ และตั้งฉากกับ $y=2x+1$ · ตอบในรูป $ax+by=c$ โดย $a$, $b$, $c$ เป็นจำนวนเต็ม (4 คะแนน) Answer:เฉลย: $m=-\tfrac12,\; 5=-1+c \Rightarrow c=6,\; y=-\tfrac12 x+6 \Rightarrow x+2y=12$4 marks: $\text{M1}\ \ m=-\tfrac12$ $\text{M2}\ \ 5=-\tfrac12(2)+c=-1+c\ \Rightarrow\ c=6$ $\text{M3}\ \ y=-\tfrac12x+6$ $\text{A1}\ \ x+2y=12$ Stopping at $y=-\tfrac12x+6$ costs the last mark; $m=-2$ costs three.4 คะแนน: $\text{M1}\ \ m=-\tfrac12$ $\text{M2}\ \ 5=-\tfrac12(2)+c=-1+c\ \Rightarrow\ c=6$ $\text{M3}\ \ y=-\tfrac12x+6$ $\text{A1}\ \ x+2y=12$ หยุดที่ $y=-\tfrac12x+6$ เสียคะแนนสุดท้าย · ใช้ $m=-2$ เสียสามคะแนน
Exam: The line $L$ has equation $2x+3y=12$ and crosses the $x$-axis at $P$. Find the equation of the line through $P$ that is perpendicular to $L$. Give your answer in the form $ax+by=c$ where $a$, $b$, $c$ are integers. (5 marks)ข้อสอบ: เส้นตรง $L$ คือ $2x+3y=12$ · ตัดแกน $x$ ที่จุด $P$ · หาสมการเส้นตรงที่ผ่าน $P$ และ ตั้งฉาก กับ $L$ · ตอบในรูป $ax+by=c$ โดย $a$, $b$, $c$ เป็นจำนวนเต็ม (5 คะแนน) Answer:เฉลย: $3x-2y=18$5 marks: $\text{M1}\ \ y=-\tfrac23x+4,\ \ m_L=-\tfrac23$ $\text{M2}\ \ y=0:\ 2x=12,\ \ P(6,0)$ $\text{M3}\ \ m=\tfrac32\ \ (-\tfrac23\times\tfrac32=-1)$ $\text{M4}\ \ 0=\tfrac32(6)+c\ \Rightarrow\ c=-9$ $\text{A1}\ \ \times 2:\ 3x-2y=18$ $P$ is on the $x$-axis, so substitute $y=0$. Do not use the $(0,4)$ intercept.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ y=-\tfrac23x+4,\ \ m_L=-\tfrac23$ $\text{M2}\ \ y=0:\ 2x=12,\ \ P(6,0)$ $\text{M3}\ \ m=\tfrac32\ \ (-\tfrac23\times\tfrac32=-1)$ $\text{M4}\ \ 0=\tfrac32(6)+c\ \Rightarrow\ c=-9$ $\text{A1}\ \ \times 2:\ 3x-2y=18$ $P$ อยู่บนแกน $x$ จึงแทน $y=0$ ไม่ใช่จุด $(0,4)$
Line $M$ passes through $(4,-1)$ and never meets the line $y=-\tfrac12x+3$. Find the equation of $M$ in the form $y=mx+c$.เส้นตรง $M$ ผ่านจุด $(4,-1)$ และ ไม่ตัด กับเส้น $y=-\tfrac12x+3$ เลย · หาสมการ $M$ ในรูป $y=mx+c$ Answer:เฉลย: $y=-\tfrac12x+1$The wording decides step 1: $\text{“never meets”, “parallel”}\ \Rightarrow\ \text{copy }m=-\tfrac12$ $\text{“perpendicular”, “at }90^{\circ}\text{”}\ \Rightarrow\ \text{flip and negate},\ m=2$ $-1=-\tfrac12(4)+c=-2+c\ \Rightarrow\ c=1$ $y=-\tfrac12x+1$ Perpendicular lines do meet, at $90^{\circ}$. So “never meets” means parallel.คำในโจทย์ตัดสินขั้นที่ 1: $\text{“never meets”, “parallel”}\ \Rightarrow\ \text{copy }m=-\tfrac12$ $\text{“perpendicular”, “at }90^{\circ}\text{”}\ \Rightarrow\ \text{flip and negate},\ m=2$ $-1=-\tfrac12(4)+c=-2+c\ \Rightarrow\ c=1$ $y=-\tfrac12x+1$ เส้นตั้งฉากก็ตัดกัน ตัดที่ $90^{\circ}$ · “ไม่มีวันตัดกัน” จึงแปลว่าขนาน
13. Draw itวาดเอง
Put the line on the grid yourself: start at $c$, then step with $m$.วาดเส้นลงกริดเอง: เริ่มที่ $c$ แล้วก้าวตาม $m$
Draw $y=2x-3$.วาดกราฟ $y=2x-3$ Answer:เฉลย:$y=2x-3$ goes through $(0,-3)$ and $(1,-1)$$y=2x-3$ ผ่าน $(0,-3)$ และ $(1,-1)$$c$ gives the first point. $m$ gives the step to the next one.$c$ ให้จุดแรก · $m$ ให้ก้าวไปจุดถัดไป
Draw $y=-\tfrac12x+2$.วาดกราฟ $y=-\tfrac12x+2$ Answer:เฉลย:$y=-\tfrac12x+2$ goes through $(0,2)$ and $(2,1)$$y=-\tfrac12x+2$ ผ่าน $(0,2)$ และ $(2,1)$A fraction gradient is a step of $2$ across and $1$ down, so the next point lands on the grid.ความชันเป็นเศษส่วน ก้าวขวา $2$ ลง $1$ จุดถัดไปจึงตกบนกริดพอดี
The grey line is $y=2x+1$. Draw the line perpendicular to it through $P(2,-2)$.เส้นสีเทาคือ $y=2x+1$ · วาดเส้นที่ตั้งฉากกับมัน และผ่าน $P(2,-2)$ Answer:เฉลย:$y=-\tfrac12x-1$, through $(2,-2)$ and $(0,-1)$$y=-\tfrac12x-1$ ผ่าน $(2,-2)$ และ $(0,-1)$The new line starts at $P$ and steps with $m_2=-\tfrac12$.เส้นใหม่เริ่มที่ $P$ แล้วก้าวตาม $m_2=-\tfrac12$
14. Exercise setชุดโจทย์
The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว
Find the equation of the line through $(1,4)$ and $(3,10)$. Answer:เฉลย: $y=3x+1$Same as Level 4, new numbers: $m$, substitute, make $c$ the subject, check. Confidence before difficulty.เหมือนขั้นที่ 4 เปลี่ยนแค่ตัวเลข: หา $m$ แทนจุด ทำ $c$ เป็นตัวตั้ง แล้วตรวจ · สร้างความมั่นใจก่อนเพิ่มความยาก
Find the equation of the line through $(-2,5)$ and $(4,-4)$. Answer:เฉลย: $y=-\dfrac{3}{2}x+2$Same method with negative numbers and a fractional gradient. Easy to get a sign wrong in rise over run.วิธีเดิม แต่มีเลขติดลบและความชันเป็นเศษส่วน · เครื่องหมายใน rise over run ผิดได้ง่าย
$w=5-2v$ ($v$ on the horizontal axis, $w$ on the vertical). State the gradient and the $w$-intercept. Answer:เฉลย: gradient $-2$; $w$-intercept $5$New letters, same reading skill, including the level 2 form $5-2v$. Memorising only $y$ and $x$ feels strange here.เปลี่ยนตัวอักษร แต่ทักษะอ่านค่าเหมือนเดิม รวมถึงรูป $5-2v$ จากขั้นที่ 2 · ท่องมาแค่ $y$ กับ $x$ จะรู้สึกแปลกตรงนี้
The line through $(1,7)$ and $(4,1)$ crosses the x-axis at $P$. Find the coordinates of $P$. Answer:เฉลย: $y=-2x+9$; $P=(4.5,\;0)$Equation-from-two-points chained with an old skill: set $y=0$ and solve. Nothing new: two known moves joined together.หาสมการจากสองจุด ต่อด้วยของเก่า: แทน $y=0$ แล้วแก้สมการ · ไม่มีอะไรใหม่ แค่เอาสองท่าที่รู้แล้วมาต่อกัน
The line through $(2,a)$ and $(5,13)$ has gradient $3$. Find $a$. Answer:เฉลย: $a=4$The gradient is given and a coordinate is missing, so run the formula backwards. This checks understanding, not memorised steps.โจทย์ให้ความชันมา แต่พิกัดหายไปหนึ่งตัว ต้องเดินสูตรย้อนกลับ · ข้อนี้วัดความเข้าใจ ไม่ใช่การท่องขั้นตอน
Line $L$ is perpendicular to $y=3x-2$ and passes through $(6,1)$. Find the equation of $L$ in the form $ax+by=c$ where $a$, $b$, $c$ are integers. (4 marks) Answer:เฉลย: $x+3y=9$Full exam wording, marks split as taught: perpendicular gradient $-\tfrac13$ (1), $c=3$ (1), the line (1), integer form (1).ภาษาข้อสอบเต็มรูปแบบ แบ่งคะแนนตามที่สอน: ความชันตั้งฉาก $-\tfrac13$ (1) · $c=3$ (1) · สมการเส้น (1) · จัดรูปจำนวนเต็ม (1)
Points $(2,9)$ and $(5,3)$. A student writes $\;m=\dfrac{5-2}{3-9}=-\dfrac12$. Mark the work: what went wrong, and what is the correct gradient? Answer:เฉลย: The fraction is upside-down — the $x$-changes are on top. Correct: $m=\dfrac{3-9}{5-2}=-2$Spotting an upside-down gradient in someone else's work is harder than avoiding it yourself.จับความชันกลับหัวในงานคนอื่นยากกว่าระวังของตัวเอง