Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ
Combined Transformationsการแปลงรูปต่อเนื่อง
IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ
1. Warm-upวอร์มอัพ
Each type needs its own detailsแต่ละชนิดต้องการรายละเอียดคนละชุด
One mark per detail. The type on its own never gets full marks.หนึ่งรายละเอียด หนึ่งคะแนน · เขียนแค่ชนิด ไม่ได้คะแนนเต็ม
- Shape $A$ is reflected onto shape $B$. Write the equation of the mirror line.รูป $A$ สะท้อนไปเป็นรูป $B$ · เขียนสมการของเส้นกระจก
Answer:เฉลย: $x=4$Halfway between a pair: $A(1,1)\ \to\ B(7,1)$ $\dfrac{1+7}{2}=4$ $\text{mirror}:\ x=4$กึ่งกลางของจุดคู่กัน: $A(1,1)\ \to\ B(7,1)$ $\dfrac{1+7}{2}=4$ $\text{mirror}:\ x=4$
- Shape $A$ is rotated onto shape $B$ about $O$. Which list describes it fully?รูป $A$ หมุนไปเป็นรูป $B$ รอบจุด $O$ · รายการไหนบอกครบ?
Answer:เฉลย: angle, direction, centreมุม ทิศทาง จุดศูนย์กลางRotation takes three details: $\text{translation}:\ \text{vector}$ $\text{reflection}:\ \text{line}$ $\text{rotation}:\ \text{centre}+\text{angle}+\text{direction}$ $\text{enlargement}:\ \text{centre}+\text{SF}$การหมุนต้องการสามอย่าง: $\text{translation}:\ \text{vector}$ $\text{reflection}:\ \text{line}$ $\text{rotation}:\ \text{centre}+\text{angle}+\text{direction}$ $\text{enlargement}:\ \text{centre}+\text{SF}$
2. One after the otherทำทีละขั้น สองขั้น
Do the first transformation. Then do the second one on the image.ทำการแปลงอันแรกก่อน · แล้วทำอันที่สองกับภาพที่ได้
$P$, then $P'$, then $P''$$P$ แล้ว $P'$ แล้ว $P''$
The second move acts on the image, never on $P$.การแปลงอันที่สองทำกับภาพ ไม่ได้ทำกับ $P$
Reflect $P$ in $y=x$, then translate by $\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}$สะท้อน $P$ ที่ $y=x$ แล้วเลื่อนด้วย $\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}$
- $B(3,1)$Follow one corner. The other corners do the same.ตามมุมเดียวไปก่อน · มุมอื่นทำเหมือนกัน
- $\text{reflect in }y=x:\ (x,y)\to(y,x)$The mirror $y=x$ swaps the two coordinates.เส้นกระจก $y=x$ สลับพิกัดสองตัว
- $B(3,1)\ \to\ B'(1,3)$
- $\text{translate}:\ (x,y)\to(x+4,y)$The vector adds $4$ to $x$ and $0$ to $y$.เวกเตอร์บวก $4$ ที่ $x$ และบวก $0$ ที่ $y$
- $B'(1,3)\ \to\ B''(5,3)$
- $B''(5,3)$Two dashes, because two moves were done.สองขีด เพราะทำการแปลงไปสองครั้ง
- Reflect $C(1,2)$ in $y=x$, then translate by $\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}$.สะท้อน $C(1,2)$ ที่ $y=x$ แล้วเลื่อนด้วย $\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}$
Answer:เฉลย: $(6,1)$Swap, then add 4 to x: $C(1,2)\ \to\ (2,1)$ $(2,1)\ \to\ (6,1)$สลับก่อน แล้วบวก 4 ที่ x: $C(1,2)\ \to\ (2,1)$ $(2,1)\ \to\ (6,1)$
- Now the other order, on the same corner: translate $C(1,2)$ by $\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}$ first, then reflect in $y=x$.คราวนี้สลับลำดับ กับมุมเดิม: เลื่อน $C(1,2)$ ด้วย $\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}$ ก่อน แล้วสะท้อนที่ $y=x$
Answer:เฉลย: $(2,5)$The other order lands elsewhere: $C(1,2)\ \to\ (5,2)$ $(5,2)\ \to\ (2,5)$ $\text{order 1 gave}\ (6,1)$ A translation and a reflection do not give the same answer in both orders.สลับลำดับ ได้คนละจุด: $C(1,2)\ \to\ (5,2)$ $(5,2)\ \to\ (2,5)$ $\text{order 1 gave}\ (6,1)$ การเลื่อนกับการสะท้อน สลับลำดับแล้วได้คนละคำตอบ
3. Two parallel mirrorsกระจกสองบานที่ขนานกัน
Reflect twice in parallel mirrors and the shape slides. It is a translation.สะท้อนสองครั้งในกระจกที่ขนานกัน รูปจะเลื่อนไป · มันคือการเลื่อนขนาน
Two parallel mirrors give one translationกระจกขนานสองบาน ให้การเลื่อนหนึ่งครั้ง
The slide is $2\times$ the gap, straight across the mirrors.ระยะเลื่อนเป็น $2$ เท่าของระยะห่าง และตั้งฉากกับกระจก
- Reflect $(-1,1)$ in $x=1$, then reflect the image in $x=4$.สะท้อน $(-1,1)$ ที่ $x=1$ แล้วสะท้อนภาพที่ได้ที่ $x=4$
Answer:เฉลย: $(5,1)$Reflect, then reflect again: $(-1,1)\ \to\ (3,1)$ $(3,1)\ \to\ (5,1)$สะท้อน แล้วสะท้อนอีกที: $(-1,1)\ \to\ (3,1)$ $(3,1)\ \to\ (5,1)$
- That pair of reflections is one translation $\begin{pmatrix}a\\0\end{pmatrix}$. Write down $a$.การสะท้อนคู่นั้นคือการเลื่อน $\begin{pmatrix}a\\0\end{pmatrix}$ หนึ่งครั้ง · เขียนค่า $a$
Answer:เฉลย: $a=6$Twice the gap: $4-1=3$ $2\times3=6$ $-1+6=5\ \checkmark$สองเท่าของระยะห่าง: $4-1=3$ $2\times3=6$ $-1+6=5\ \checkmark$
- Reflect $D(3,0)$ in $y=1$, then reflect the image in $y=4$.สะท้อน $D(3,0)$ ที่ $y=1$ แล้วสะท้อนภาพที่ได้ที่ $y=4$
Answer:เฉลย: $(3,6)$Same rule, turned sideways: $D(3,0)\ \to\ (3,2)$ $(3,2)\ \to\ (3,6)$ $2\times(4-1)=6$กฎเดิม แค่หมุนแกน: $D(3,0)\ \to\ (3,2)$ $(3,2)\ \to\ (3,6)$ $2\times(4-1)=6$
- Two parallel mirrors give $\begin{pmatrix}10\\0\end{pmatrix}$. The first is $x=2$. Write the equation of the second.กระจกขนานสองบานให้ $\begin{pmatrix}10\\0\end{pmatrix}$ · บานแรกคือ $x=2$ · เขียนสมการของบานที่สอง
Answer:เฉลย: $x=7$Halve the slide, get the gap: $10\div2=5$ $2+5=7$ $\text{mirror}:\ x=7$หารครึ่งระยะเลื่อน ได้ระยะห่าง: $10\div2=5$ $2+5=7$ $\text{mirror}:\ x=7$
4. Two mirrors that meetกระจกสองบานที่ตัดกัน
Reflect twice in mirrors that cross and the shape turns. It is a rotation.สะท้อนสองครั้งในกระจกที่ตัดกัน รูปจะหมุน · มันคือการหมุน
Two mirrors that cross give one rotationกระจกที่ตัดกันสองบาน ให้การหมุนหนึ่งครั้ง
The turn is $2\times$ the angle between the mirrors, about the crossing point.มุมหมุนเป็น $2$ เท่าของมุมระหว่างกระจก รอบจุดที่กระจกตัดกัน
- Reflect $(2,1)$ in the $x$-axis, then reflect the image in $y=x$.สะท้อน $(2,1)$ ที่แกน $x$ แล้วสะท้อนภาพที่ได้ที่ $y=x$
Answer:เฉลย: $(-1,2)$Flip the sign, then swap: $(2,1)\ \to\ (2,-1)$ $(2,-1)\ \to\ (-1,2)$พลิกเครื่องหมาย แล้วสลับ: $(2,1)\ \to\ (2,-1)$ $(2,-1)\ \to\ (-1,2)$
- That pair of reflections is a rotation about $(0,0)$. Write down the angle, in degrees.การสะท้อนคู่นั้นคือการหมุนรอบ $(0,0)$ · เขียนขนาดมุม หน่วยองศา
Answer:เฉลย: $90^\circ$Twice the angle between them: $2\times45^\circ=90^\circ$ $(2,1)\ \to\ (-1,2)\ \checkmark$ The centre is the point where the two mirrors cross.สองเท่าของมุมระหว่างกระจก: $2\times45^\circ=90^\circ$ $(2,1)\ \to\ (-1,2)\ \checkmark$ จุดศูนย์กลางคือจุดที่กระจกสองบานตัดกัน
- Do the same two mirrors the other way round: $y=x$ first, then the $x$-axis. Which single transformation is that?ใช้กระจกคู่เดิมแต่สลับลำดับ: $y=x$ ก่อน แล้วแกน $x$ · ได้การแปลงเดียวแบบไหน?
Answer:เฉลย: Rotation, $90^\circ$ clockwise, centre $(0,0)$หมุนตามเข็ม $90^\circ$ รอบ $(0,0)$Order picks the direction: $(2,1)\ \to\ (1,2)$ $(1,2)\ \to\ (1,-2)$ $90^\circ\text{ clockwise}:\ (x,y)\to(y,-x)$ The angle stays $90^\circ$. Only the direction changed.ลำดับเป็นตัวกำหนดทิศ: $(2,1)\ \to\ (1,2)$ $(1,2)\ \to\ (1,-2)$ $90^\circ\text{ clockwise}:\ (x,y)\to(y,-x)$ ขนาดมุมยังเป็น $90^\circ$ · เปลี่ยนแค่ทิศ
- Two mirrors cross at $O$ at an angle of $30^\circ$. Write down the angle of the rotation they give, in degrees.กระจกสองบานตัดกันที่ $O$ เป็นมุม $30^\circ$ · เขียนขนาดมุมของการหมุนที่ได้ หน่วยองศา
Answer:เฉลย: $60^\circ$Double it, whatever it is: $2\times30^\circ=60^\circ$คูณสองเสมอ ไม่ว่ามุมเท่าไหร่: $2\times30^\circ=60^\circ$
5. Two of the same kindการแปลงชนิดเดียวกันสองครั้ง
Two rotations about one centre add their angles. Two translations add their vectors.หมุนสองครั้งรอบจุดเดียวกัน มุมบวกกัน · เลื่อนสองครั้ง เวกเตอร์บวกกัน
Same centre, so the angles addจุดศูนย์กลางเดียวกัน มุมจึงบวกกัน
$90^\circ+90^\circ=180^\circ$. Two translations add their vectors the same way.$90^\circ+90^\circ=180^\circ$ · การเลื่อนสองครั้ง เวกเตอร์บวกกันแบบเดียวกัน
- Rotate $C(2,3)$ by $90^\circ$ clockwise about $O$, then by $180^\circ$ about $O$.หมุน $C(2,3)$ ตามเข็ม $90^\circ$ รอบ $O$ แล้วหมุน $180^\circ$ รอบ $O$
Answer:เฉลย: $(-3,2)$Add the turns, then one move: $(2,3)\ \to\ (3,-2)$ $(3,-2)\ \to\ (-3,2)$บวกมุมก่อน แล้วค่อยทำครั้งเดียว: $(2,3)\ \to\ (3,-2)$ $(3,-2)\ \to\ (-3,2)$
- Translate $B(1,2)$ by $\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}$, then by $\begin{pmatrix}-5\\4\end{pmatrix}$.เลื่อน $B(1,2)$ ด้วย $\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}$ แล้วเลื่อนด้วย $\begin{pmatrix}-5\\4\end{pmatrix}$
Answer:เฉลย: $(-1,5)$Add one vector at a time: $(1,2)+(3,-1)=(4,1)$ $(4,1)+(-5,4)=(-1,5)$บวกทีละเวกเตอร์: $(1,2)+(3,-1)=(4,1)$ $(4,1)+(-5,4)=(-1,5)$
- Which single translation does the same as those two?การเลื่อนครั้งเดียวแบบไหน ให้ผลเหมือนสองครั้งนั้น?
Answer:เฉลย: $\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$Vectors add, line by line: $3+(-5)=-2$ $-1+4=3$ $\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-5\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$ The order of two translations does not change the answer.เวกเตอร์บวกกันทีละบรรทัด: $3+(-5)=-2$ $-1+4=3$ $\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-5\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$ การเลื่อนสองครั้ง สลับลำดับแล้วได้คำตอบเดิม
6. Name the single transformationบอกชื่อการแปลงเดียวที่แทนได้
Check the size, then the flip, then the turn. Then name it.ดูขนาดก่อน แล้วดูว่าพลิกไหม แล้วดูว่าหมุนไหม · แล้วค่อยบอกชื่อ
Look at what changed, not at what was doneดูว่าอะไรเปลี่ยนไป ไม่ใช่ดูว่าทำอะไรไปบ้าง
Different size: enlargement. Same size and flipped: reflection. Turned: rotation.ขนาดเปลี่ยน: การขยาย · ขนาดเท่าเดิมแต่พลิก: การสะท้อน · หมุน: การหมุน
- Shape $T$ maps onto shape $V$. Describe fully the single transformation.รูป $T$ ไปเป็นรูป $V$ · บอกการแปลงเดียวให้ครบ
Answer:เฉลย: Rotation, $180^\circ$, centre $(0,0)$หมุน $180^\circ$ รอบ $(0,0)$Check every corner, not one: $(1,1)\ \to\ (-1,-1)$ $(4,1)\ \to\ (-4,-1)$ $(1,3)\ \to\ (-1,-3)$ $(x,y)\to(-x,-y)$ One matching corner is not enough. A wrong type can still match one.ตรวจทุกมุม ไม่ใช่มุมเดียว: $(1,1)\ \to\ (-1,-1)$ $(4,1)\ \to\ (-4,-1)$ $(1,3)\ \to\ (-1,-3)$ $(x,y)\to(-x,-y)$ มุมเดียวที่ตรงยังไม่พอ · ชนิดที่ผิดก็ตรงได้หนึ่งมุม
- Reflect in $y=x$, then reflect in the $x$-axis. One point does not move. Write it down.สะท้อนที่ $y=x$ แล้วสะท้อนที่แกน $x$ · มีจุดหนึ่งที่ไม่ขยับ · เขียนจุดนั้น
Answer:เฉลย: $(0,0)$The crossing point stays: $(0,0)\ \to\ (0,0)$ $(0,0)\ \to\ (0,0)$ That point is the centre of the rotation the two mirrors give.จุดตัดอยู่ที่เดิม: $(0,0)\ \to\ (0,0)$ $(0,0)\ \to\ (0,0)$ จุดนั้นคือจุดศูนย์กลางของการหมุนที่กระจกสองบานให้
- A single reflection maps $A(2,5)$ to $A'(2,-1)$ and $B(6,5)$ to $B'(6,-1)$. Write the equation of the mirror line.การสะท้อนครั้งเดียวส่ง $A(2,5)$ ไปที่ $A'(2,-1)$ และ $B(6,5)$ ไปที่ $B'(6,-1)$ · เขียนสมการของเส้นกระจก
Answer:เฉลย: $y=2$Halfway, and horizontal: $\dfrac{5+(-1)}{2}=2$ $\text{mirror}:\ y=2$กึ่งกลาง และเป็นแนวนอน: $\dfrac{5+(-1)}{2}=2$ $\text{mirror}:\ y=2$
- A single enlargement maps $S$ onto $W$. Write down the centre of enlargement.การขยายครั้งเดียวส่ง $S$ ไปเป็น $W$ · เขียนจุดศูนย์กลางของการขยาย
Answer:เฉลย: $(1,1)$The point that stayed: $(4,1)\ \to\ (7,1)$ $(1,3)\ \to\ (1,5)$ $(1,1)\ \to\ (1,1)$ Rays from the centre through matching corners meet at that point.จุดที่ไม่ขยับ: $(4,1)\ \to\ (7,1)$ $(1,3)\ \to\ (1,5)$ $(1,1)\ \to\ (1,1)$ เส้นจากจุดศูนย์กลางผ่านมุมที่คู่กัน มาเจอกันที่จุดนั้น
7. Exam formฟอร์มข้อสอบ
Real wording, real marks. Every detail of the single transformation is a mark.ภาษาข้อสอบจริง คะแนนจริง · รายละเอียดของการแปลงเดียว อย่างละคะแนน
Write the image after the first move, then the answerเขียนภาพหลังการแปลงอันแรกก่อน แล้วค่อยเขียนคำตอบ
The first image earns a mark even when the second step goes wrong.ภาพหลังขั้นแรกได้คะแนน แม้ขั้นที่สองจะพลาด
- Exam: Triangle $T$ has a vertex at $B(4,1)$. $T$ is reflected in the $y$-axis to give $T_{1}$. $T_{1}$ is translated by $\begin{pmatrix}0\\-4\end{pmatrix}$ to give $T_{2}$. Write down the coordinates of the image of $B$ on $T_{2}$. (2 marks)ข้อสอบ: สามเหลี่ยม $T$ มีจุดยอด $B(4,1)$ · สะท้อน $T$ ที่แกน $y$ ได้ $T_{1}$ · เลื่อน $T_{1}$ ด้วย $\begin{pmatrix}0\\-4\end{pmatrix}$ ได้ $T_{2}$ · เขียนพิกัดภาพของ $B$ บน $T_{2}$ (2 คะแนน)
Answer:เฉลย: $(4,1)\to(-4,1)\to(-4,-3)$2 marks: $\text{M1}\quad (4,1)\to(-4,1)$ $\text{A1}\quad (-4,-3)$ The method mark is for $T_{1}$, so write that line down.2 คะแนน: $\text{M1}\quad (4,1)\to(-4,1)$ $\text{A1}\quad (-4,-3)$ คะแนนวิธีอยู่ที่ $T_{1}$ · ต้องเขียนบรรทัดนั้นไว้
- Exam: Shape $A$ is reflected in the line $x=-1$ to give shape $B$. Shape $B$ is reflected in the line $x=3$ to give shape $C$. (4 marks)ข้อสอบ: สะท้อนรูป $A$ ที่เส้น $x=-1$ ได้รูป $B$ · สะท้อนรูป $B$ ที่เส้น $x=3$ ได้รูป $C$ (4 คะแนน)
Answer:เฉลย: $a=8$, and $K$ maps to $(4,2)$4 marks: $\text{M1}\quad 3-(-1)=4$ $\text{A1}\quad a=2\times4=8$ $\text{M1}\quad -4+8=4$ $\text{A1}\quad (4,2)$ Parallel mirrors always give a translation, never a reflection.4 คะแนน: $\text{M1}\quad 3-(-1)=4$ $\text{A1}\quad a=2\times4=8$ $\text{M1}\quad -4+8=4$ $\text{A1}\quad (4,2)$ กระจกที่ขนานกันให้การเลื่อนเสมอ ไม่ใช่การสะท้อน
- Exam: $P(3,2)$ is rotated $90^\circ$ anticlockwise about $(0,0)$ to give $P_{1}$. $P_{1}$ is rotated $180^\circ$ about $(0,0)$ to give $P_{2}$. Describe fully the single transformation that maps $P$ onto $P_{2}$. (3 marks)ข้อสอบ: หมุน $P(3,2)$ ทวนเข็ม $90^\circ$ รอบ $(0,0)$ ได้ $P_{1}$ · หมุน $P_{1}$ ไป $180^\circ$ รอบ $(0,0)$ ได้ $P_{2}$ · บอกการแปลงเดียวที่ส่ง $P$ ไปเป็น $P_{2}$ ให้ครบ (3 คะแนน)
Answer:เฉลย: Rotation, $90^\circ$ clockwise, centre $(0,0)$หมุนตามเข็ม $90^\circ$ รอบ $(0,0)$3 marks: $\text{M1}\quad P_{1}=(-2,3)$ $\text{M1}\quad P_{2}=(2,-3)$ $\text{A1}\quad \text{rotation},\ 90^\circ\text{ clockwise},\ (0,0)$ A missing direction costs the accuracy mark, even with the right angle.3 คะแนน: $\text{M1}\quad P_{1}=(-2,3)$ $\text{M1}\quad P_{2}=(2,-3)$ $\text{A1}\quad \text{rotation},\ 90^\circ\text{ clockwise},\ (0,0)$ ลืมเขียนทิศ เสียคะแนนความถูกต้อง แม้มุมจะถูก
8. Exercise setชุดโจทย์
The order is the lesson. Each question changes one thing from the one before.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน · แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าหนึ่งอย่าง
- Reflect $(2,3)$ in the $x$-axis, then translate by $\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}$.
Answer:เฉลย: $(2,-3)\to(5,-3)$Do the first move, then work on the image.ทำขั้นแรกก่อน แล้วค่อยทำกับภาพที่ได้
- Reflect $(1,4)$ in $x=-2$, then reflect the image in $x=5$.
Answer:เฉลย: $(-5,4)\to(15,4)$; the pair is a translation of $14$The two mirrors are parallel, so the pair slides the point $2\times7$.กระจกสองบานขนานกัน · คู่นี้จึงเลื่อนจุดไป $2\times7$
- Two mirrors cross at $O$ at an angle of $60^\circ$. Describe fully the single transformation.
Answer:เฉลย: Rotation, $120^\circ$, centre $O$Same rule, with no grid and no coordinates to lean on.กฎเดิม แต่ไม่มีกริดและไม่มีพิกัดให้พึ่ง
- Enlarge $(3,4)$ by scale factor $2$, centre $O$, then translate by $\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}$.
Answer:เฉลย: $(6,8)\to(7,5)$Enlargement comes from the earlier lesson. The routine does not change.การขยายมาจากบทก่อน · ขั้นตอนยังเหมือนเดิม
- A translation $\begin{pmatrix}0\\8\end{pmatrix}$ is a reflection in $y=1$ followed by a reflection in $y=k$. Find $k$.
Answer:เฉลย: $2(k-1)=8$, so $k=5$Run the parallel-mirror rule backwards from the finished translation.ย้อนกฎกระจกขนาน จากการเลื่อนที่ได้มาแล้ว
- $F$ is reflected in the $y$-axis to give $G$. $G$ is rotated $180^\circ$ about $(0,0)$ to give $H$. Describe fully the single transformation that maps $F$ onto $H$.
Answer:เฉลย: Reflection in the $x$-axisTwo marks for the type, one for the mirror line.สองคะแนนสำหรับชนิด · หนึ่งคะแนนสำหรับเส้นกระจก
All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี