Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ
Algebra basicsพีชคณิตพื้นฐาน
IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ
1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม
Adding and multiplying are different jobsบวก กับ คูณ ไม่ใช่งานเดียวกัน
- $2+2$ and $2\times2$ both give $4$. So adding and multiplying are the same thing?$2+2$ กับ $2\times2$ ได้ $4$ เท่ากัน — แปลว่าบวกกับคูณคือเรื่องเดียวกัน?
Answer:เฉลย: Only at $2$ do they coincide.มีแค่เลข $2$ ที่บังเอิญเท่ากันRemember this coincidence. Soon you will compare $2x$ with $x^{2}$.จำความบังเอิญนี้ไว้ · เดี๋ยวเราจะเทียบ $2x$ กับ $x^{2}$
- $5+\square=8$. What goes in the box?$5+\square=8$ ในช่องว่างต้องเป็นเลขอะไร?
Answer:เฉลย: $\square=3$Filling the box is solving an equation. Call the box $x$ and you get $x+5=8$.การเติมช่องว่างคือการแก้สมการ · ตั้งชื่อช่องว่างว่า $x$ ก็ได้ $x+5=8$
2. x+x vs x·xx+x กับ x·x
Not the same. Substitute $x=3$ to get $6$ and $9$.ไม่เหมือนกัน · แทน $x=3$ จะได้ $6$ กับ $9$
Now the number keeps its value hiddenทีนี้ตัวเลขยังไม่บอกว่าตัวเองเป็นเท่าไร
$x$ is a number we have not been told yet. Same rules for $+$ and $\times$.$x$ คือเลขตัวหนึ่งที่ยังไม่บอกค่า · บวกกับคูณใช้กติกาเดิมทุกอย่าง
- Is $x+x$ equal to $2x$ or $x^{2}$?$x+x$ ได้ $2x$ หรือ $x^{2}$?
Answer:เฉลย: $x+x=2x$Test with $3$, not $2$: $x=3:\ x+x=6=2\times 3$ $x=3:\ x^{2}=9$ $6\neq 9$ $2$ is one number where both agree. It proves nothing.ลองแทน $3$ อย่าแทน $2$: $x=3:\ x+x=6=2\times 3$ $x=3:\ x^{2}=9$ $6\neq 9$ $2$ คือเลขเดียวที่บังเอิญเท่ากัน ใช้พิสูจน์อะไรไม่ได้
- So what is $x\cdot x$?แล้ว $x\cdot x$ ล่ะ ได้อะไร?
Answer:เฉลย: $x\cdot x=x^{2}$Multiplying by itself squares: $3\times3=3^{2}$.คูณตัวเอง = ยกกำลังสอง เหมือน $3\times3=3^{2}$
3. What can combineอะไรบวกกันได้
Only terms of the same kind add up.พจน์จะรวมกันได้ ต้องเป็นชนิดเดียวกัน
- $x+3x$ = ?$x+3x$ = ?
Answer:เฉลย: $x+3x=4x$One cup plus three cups is four cups. $x+3x$ is one $x$ plus three $x$\'s: four $x$\'s.$1$ แก้ว + $3$ แก้ว = $4$ แก้ว · $x+3x$ คือ $x$ หนึ่งตัวบวก $x$ สามตัว = $x$ สี่ตัว
- Can $x+2$ combine into $2x$?$x+2$ รวมกันเป็น $2x$ ได้ไหม?
Answer:เฉลย: It cannot combine — $x+2$ is finished.รวมไม่ได้ — $x+2$ จบแล้วDifferent kinds never combine: $x=5:\ x+2=7$ $x=5:\ 2x=10$ $x+2\ \text{is already the answer}$คนละชนิด รวมกันไม่ได้: $x=5:\ x+2=7$ $x=5:\ 2x=10$ $x+2\ \text{is already the answer}$
- $x+2+2x+2$ = ?$x+2+2x+2$ = ?
Answer:เฉลย: $3x+4$Sort into piles, then add: $(x+2x)+(2+2)$ $=3x+4$จัดกองก่อน แล้วค่อยบวก: $(x+2x)+(2+2)$ $=3x+4$
- $2x^{2}+x+3x^{2}+x$ = ?$2x^{2}+x+3x^{2}+x$ = ?
Answer:เฉลย: $5x^{2}+2x$Rename $x^{2}$ as $A$: $2A+x+3A+x$ $=5A+2x$ $=5x^{2}+2x$ตั้งชื่อ $x^{2}$ ใหม่ว่า $A$: $2A+x+3A+x$ $=5A+2x$ $=5x^{2}+2x$
4. Minus before a bracketลบหน้าวงเล็บ
Subtracting a bracket flips every sign inside.ลบทั้งวงเล็บ = กลับเครื่องหมายทุกตัวข้างใน
Two cases, one habitสองกรณี ท่องเป็นนิสัยเดียว
- Numbers first: $8-(5-1)$ equals which one?เอาตัวเลขจริงก่อน: $8-(5-1)$ เท่ากับอันไหน?
Answer:เฉลย: $8-(5-1)=8-5+1=4$Took away too much, add back: $8-(5-1)=8-4=4$ $8-5=3\ \text{took one too many}$ $8-5+1=4$ลบเกินไป ต้องบวกคืน: $8-(5-1)=8-4=4$ $8-5=3\ \text{took one too many}$ $8-5+1=4$
- $5+(2x-3)$ = ?$5+(2x-3)$ = ?
Answer:เฉลย: $2x+2$Plus in front: the bracket changes nothing. Remove it and collect like terms, as in the previous level.บวกหน้าวงเล็บ วงเล็บไม่เปลี่ยนอะไร · ถอดทิ้งแล้วรวมพจน์เหมือน เหมือนขั้นที่แล้ว
- $5-(2x-3)$ = ?$5-(2x-3)$ = ?
Answer:เฉลย: $8-2x$A minus flips every sign inside the bracket. The last term is the one people forget, so slow down there.ลบหน้าวงเล็บ กลับเครื่องหมายทุกตัวข้างใน · ตัวท้ายคือตัวที่คนลืมบ่อยสุด ตรงนั้นต้องช้าลง
5. Multiply into a bracketคูณเข้าวงเล็บ
The front multiplies every term inside.ตัวหน้าคูณทุกพจน์ข้างใน
What does $2(x+1)$ mean?$2(x+1)$ แปลว่าอะไร?
- $2(x+1)$The front $2$ means two copies of $(x+1)$.เลข $2$ ข้างหน้าหมายถึง $(x+1)$ สองชุด
- $=(x+1)+(x+1)$Write the two copies out.เขียนสองชุดออกมาเลย
- $=x+x+1+1$Drop the brackets and group the like terms.ทิ้งวงเล็บ แล้วจับพจน์เหมือนกันมารวมกัน
- $=2x+2$Same as dealing the $2$ to each term inside: $2\cdot x+2\cdot 1$.ได้เท่ากับแจก $2$ เข้าไปหาทุกพจน์: $2\cdot x+2\cdot 1$
- $3(x+2)$ = ?$3(x+2)$ = ?
Answer:เฉลย: $3x+6$A line to every term: $3(x+2)=3\times x+3\times 2$ $=3x+6$ The term everyone forgets is the last one.ลากเส้นไปทุกพจน์: $3(x+2)=3\times x+3\times 2$ $=3x+6$ พจน์ที่คนลืมบ่อยสุด คือพจน์สุดท้าย
- $4(x+2)-2(x+3)$ = ?$4(x+2)-2(x+3)$ = ?
Answer:เฉลย: $2x+2$Two steps: multiply in, carrying the minus with the $2$, then collect like terms.สองขั้น: กระจายก่อน โดยเครื่องหมายลบไปกับ $2$ ด้วย แล้วค่อยรวมพจน์เหมือน
- Now the front is a letter: $x(x+3)$ = ?ทีนี้ตัวหน้าเป็นตัวอักษร: $x(x+3)$ = ?
Answer:เฉลย: $x^{2}+3x$Only the front changed: $x(x+3)=x\cdot x+x\cdot 3$ $=x^{2}+3x$เปลี่ยนแค่ตัวหน้า: $x(x+3)=x\cdot x+x\cdot 3$ $=x^{2}+3x$
6. Two bracketsสองวงเล็บ
Four lines, every time.โยงเส้นให้ครบ 4 เส้นเสมอ
The front is now a whole bracketตัวหน้ากลายเป็นวงเล็บทั้งก้อน
Four multiplications: draw one line for each.คูณสี่ครั้ง · ลากเส้นให้ครบสี่เส้น
- $(x+2)(x+3)$ = ?$(x+2)(x+3)$ = ?
Answer:เฉลย: $x^{2}+5x+6$Always four lines: $x^{2}$ (front·front), $3x+2x$ (two cross lines: combine them, level 2), and $6$ (last·last).สี่เส้นเสมอ: $x^{2}$ (หน้า·หน้า) · $3x+2x$ (เส้นไขว้สองเส้น รวมกันได้ตามขั้นที่ 2) · $6$ (หลัง·หลัง)
- With a minus on board: $(x-4)(x+2)$ = ?มีลบติดมาด้วย: $(x-4)(x+2)$ = ?
Answer:เฉลย: $x^{2}-2x-8$Keep each sign glued to its number and the four lines take care of themselves.ให้เครื่องหมายติดกาวไปกับตัวเลขของมันตลอดทาง แล้วโยง 4 เส้นตามปกติ ที่เหลือถูกเอง
7. Factorise: one bracketแยกตัวประกอบ: วงเล็บเดียว
Walk the expansion road backwards.เดินย้อนทางเดิมของการกระจาย
Now we walk backwardsทีนี้เดินถอยหลัง
- Write each term of $2x+6$ as a product: $2x=2\cdot x$ and $6=2\cdot 3$. What appears in both?เขียนแต่ละพจน์ของ $2x+6$ เป็นการคูณ: $2x=2\cdot x$ และ $6=2\cdot 3$ — ตัวไหนโผล่ทั้งสองพจน์?
Answer:เฉลย: The common factor is $2$.ตัวร่วมคือ $2$The repeated factor steps out: $2x=2\cdot x$ $6=2\cdot 3$ $2(x+3)$ตัวที่ซ้ำกัน ออกไปอยู่ข้างหน้า: $2x=2\cdot x$ $6=2\cdot 3$ $2(x+3)$
- So: $2x+6$ = ?ดังนั้น $2x+6$ = ?
Answer:เฉลย: $2x+6=2(x+3)$Check your answer by multiplying back out.
$2(x+3)=2x+6$ ✓
In factorising you can always check your own answer this way.ตรวจคำตอบด้วยการคูณกลับ
$2(x+3)=2x+6$ ✓
เรื่องแยกตัวประกอบ ตรวจคำตอบตัวเองแบบนี้ได้เสมอ
- $3x^{2}+6x$ = ? (factorise fully)$3x^{2}+6x$ = ? (ดึงตัวร่วมให้สุด)
Answer:เฉลย: $3x^{2}+6x=3x(x+2)$Number part and letter part: $3x^{2}=3\cdot x\cdot x$ $6x=3\cdot 2\cdot x$ $3x(x+2)$ “Not fully factorised” loses a mark even when nothing is wrong.เอาออกทั้งตัวเลขและตัวอักษร: $3x^{2}=3\cdot x\cdot x$ $6x=3\cdot 2\cdot x$ $3x(x+2)$ แยกตัวประกอบไม่สุด เสียคะแนน ทั้งที่ไม่ได้ผิด
8. Fraction equationsสมการติดเศษส่วน
Clear the fraction. Then it is a question you already solved.คูณไล่เศษส่วนทิ้ง แล้วมันกลายเป็นข้อที่ทำเป็นแล้ว
Nothing new is hiding under itข้างใต้ไม่มีของใหม่เลย
- Solve $\dfrac{12}{x}=4$แก้สมการ $\dfrac{12}{x}=4$
Answer:เฉลย: $12=4x \Rightarrow x=3$Multiply both sides by $x$: $\frac{12}{x}=4$ $12=4x$ $x=3$ $\text{check}:\ 12\div 3=4$คูณ $x$ ทั้งสองข้าง: $\frac{12}{x}=4$ $12=4x$ $x=3$ $\text{check}:\ 12\div 3=4$
- Exam: Solve $\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}=5$ (3 marks)ข้อสอบ: แก้สมการ $\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}=5$ (3 คะแนน)
Answer:เฉลย: $x=6$3 marks: $\text{M1}\ \ \times 6\ \text{on every term}:\ 3x+2x=30$ $\text{M1}\ \ 5x=30$ $\text{A1}\ \ x=6$ Multiplying by the LCM is what removes the fractions.3 คะแนน: $\text{M1}\ \ \times 6\ \text{on every term}:\ 3x+2x=30$ $\text{M1}\ \ 5x=30$ $\text{A1}\ \ x=6$ คูณด้วย ค.ร.น. คือท่าที่กำจัดเศษส่วน
9. Rearranging: solve for a letterย้ายข้างสูตร: แก้หาตัวอักษร
A formula is an equation whose answer is made of letters. The moves are the same.สูตรก็คือสมการที่คำตอบเป็นตัวอักษร · ขั้นตอนเหมือนเดิมทุกอย่าง
- $v=u+at$ is a physics formula. Make $t$ the subject. Which first move is correct?$v=u+at$ · สูตรฟิสิกส์ · อยากได้ $t$ โดดๆ · ท่าแรกท่าไหนที่ใช้ได้จริง?
Answer:เฉลย: Subtract $u$: $v-u=at$Rearranging is solving an equation. The answer has letters. Peel from the outside in: $+u$ first, then $\times a$.ย้ายข้างสูตรคือการแก้สมการ แค่คำตอบเป็นตัวอักษร · แกะจากนอกเข้าใน: $+u$ ออกก่อน แล้วค่อย $\times a$
- Make $x$ the subject: $y=3x-7$.จัด $x$ เป็นประธานของสูตร: $y=3x-7$
Answer:เฉลย: $x=\dfrac{y+7}{3}$Move first, divide last: $y=3x-7$ $y+7=3x$ $x=\frac{y+7}{3}$ย้ายก่อน หารทีหลัง: $y=3x-7$ $y+7=3x$ $x=\frac{y+7}{3}$
- Make $x$ the subject: $y=x^{2}+5$, given $x>0$. (Type sqrt.)จัด $x$ เป็นประธาน: $y=x^{2}+5$ โดย $x>0$ (พิมพ์ sqrt)
Answer:เฉลย: $x=\sqrt{y-5}$Undo in reverse order: $x\ \to\ x^{2}\ \to\ x^{2}+5$ $y-5=x^{2}$ $x=\sqrt{y-5}$แก้ย้อนลำดับ: $x\ \to\ x^{2}\ \to\ x^{2}+5$ $y-5=x^{2}$ $x=\sqrt{y-5}$
10. When x appears twiceเมื่อ x โผล่สองที่
Peeling cannot free a letter that lives in two places. Collect, factorise, divide.ปอกทีละชั้นใช้ไม่ได้ ถ้า x อยู่สองที่ — ต้องต้อนมารวมกัน แยกตัวประกอบ แล้วหาร
Two x's, and peeling stops workingมี x สองตัว ปอกต่อไม่ได้แล้ว
$x$ is on top and bottom. Clear the fraction, gather the $x$ terms, factorise.$x$ อยู่ทั้งบนและล่าง · กำจัดเศษส่วน · ต้อน $x$ ไปข้างเดียว · แยกตัวประกอบ
One fraction each side? Turn both upside downเหลือเศษส่วนข้างละก้อน? พลิกกลับหัวได้ทั้งคู่
- $\frac{1}{x-3}=\frac{5}{y}$Each side is one single fraction with nothing added. So flipping is legal.แต่ละข้างเหลือเศษส่วนก้อนเดียว ไม่มีอะไรบวกต่อท้าย · พลิกได้
- $\frac{x-3}{1}=\frac{y}{5}$Flip both sides. $x$ comes up out of the basement.พลิกกลับหัวทั้งสองข้าง · $x$ โผล่ขึ้นมาจากใต้เส้น
- $x-3=\frac{y}{5}$To remove $-3$, write $+3$ under both sides. Strike the pair.$-3$ ย้ายข้าง เขียน $+3$ ใต้ทั้งสองข้าง แล้วขีดฆ่า
- $x=\frac{y}{5}+3$Add $3$ to both sides. Done.บวก $3$ ทั้งสองข้าง จบ
- Tempting shortcut: in $\dfrac{xy-y+15}{x}$, cancel the $x$ on top with the $x$ underneath. Legal?ทางลัดที่น่าลอง: ใน $\dfrac{xy-y+15}{x}$ ตัด $x$ ข้างบนกับ $x$ ข้างล่างทิ้งเลย ได้ไหม?
Answer:เฉลย: Illegal — $x$ is not a factor of the whole top.ตัดไม่ได้ — $x$ ไม่ใช่ตัวประกอบของทั้งก้อนข้างบนCancelling is division: $\frac{5+5}{5}=2$ $\text{cross out one }5\ \to\ 5\quad\times$ Division hits every term, or none.การตัด คือการหาร: $\frac{5+5}{5}=2$ $\text{cross out one }5\ \to\ 5\quad\times$ หารต้องโดนทุกพจน์ ไม่งั้นก็ห้ามหาร
- $y=\dfrac{2x+5}{x-3}$. What is the first legal move?$y=\dfrac{2x+5}{x-3}$ ท่าแรกที่ถูกกติกาคืออะไร?
Answer:เฉลย: $y(x-3)=2x+5$$y(x-3)=2x+5$Clear the fraction first: $y=\frac{2x+5}{x-3}$ $y(x-3)=2x+5$ $xy-3y=2x+5$กำจัดเศษส่วนก่อน: $y=\frac{2x+5}{x-3}$ $y(x-3)=2x+5$ $xy-3y=2x+5$
- From $xy-3y=2x+5$: bring both $x$-terms to the left and take $x$ out. What is the left side now?จาก $xy-3y=2x+5$: ย้ายพจน์ที่มี $x$ มาไว้ซ้ายให้หมด แล้วดึง $x$ ออก · ฝั่งซ้ายกลายเป็นอะไร?
Answer:เฉลย: $x(y-2)$Two $x$'s become one: $xy-3y=2x+5$ $xy-2x=5+3y$ $x(y-2)=5+3y$$x$ สองตัว รวมเหลือตัวเดียว: $xy-3y=2x+5$ $xy-2x=5+3y$ $x(y-2)=5+3y$
- Exam: $f(x)=\dfrac{2x+5}{x-3}$. Find $f^{-1}(x)$. (3 marks)ข้อสอบ: $f(x)=\dfrac{2x+5}{x-3}$ จงหา $f^{-1}(x)$ (3 คะแนน)
Answer:เฉลย: $f^{-1}(x)=\dfrac{3x+5}{x-2}$3 marks: $y=\dfrac{2x+5}{x-3}$ $y(x-3)=2x+5$ $xy-3y=2x+5$ $xy-2x=5+3y$ $x(y-2)=5+3y$ $x=\dfrac{5+3y}{y-2}$ $f^{-1}(x)=\dfrac{3x+5}{x-2}$ Check with one number: $f(4)=13$ and $f^{-1}(13)=4$.3 คะแนน: $y=\dfrac{2x+5}{x-3}$ $y(x-3)=2x+5$ $xy-3y=2x+5$ $xy-2x=5+3y$ $x(y-2)=5+3y$ $x=\dfrac{5+3y}{y-2}$ $f^{-1}(x)=\dfrac{3x+5}{x-2}$ ตรวจด้วยเลขตัวเดียว $f(4)=13$ และ $f^{-1}(13)=4$
- Make $x$ the subject of $\dfrac{x-1}{x-3}=\dfrac{5}{y}$.$\dfrac{x-1}{x-3}=\dfrac{5}{y}$ · จัด $x$ เป็นประธาน
Answer:เฉลย: $x=\dfrac{y-15}{y-5}$Not $1$ on top, so cross-multiply: $\frac{x-1}{x-3}=\frac{5}{y}$ $xy-y=5x-15$ $xy-5x=y-15$ $x(y-5)=y-15$ $x=\frac{y-15}{y-5}$ $\dfrac{15-y}{5-y}$ is the same answer, both rows times $-1$.ข้างบนไม่ใช่ $1$ ต้องคูณไขว้: $\frac{x-1}{x-3}=\frac{5}{y}$ $xy-y=5x-15$ $xy-5x=y-15$ $x(y-5)=y-15$ $x=\frac{y-15}{y-5}$ $\dfrac{15-y}{5-y}$ คือคำตอบเดียวกัน คูณ $-1$ ทั้งบนและล่าง
- Exam: Make $x$ the subject of $y=\dfrac{3(x+2)}{x-4}$. (5 marks)ข้อสอบ: จัดรูปให้ $x$ เป็นตัวประธาน (subject) ของ $y=\dfrac{3(x+2)}{x-4}$ (5 คะแนน)
Answer:เฉลย: $x=\dfrac{4y+6}{y-3}$5 marks: $\text{M1}\ \ y(x-4)=3(x+2)$ $\text{M1}\ \ xy-4y=3x+6$ $\text{M1}\ \ xy-3x=4y+6$ $\text{M1}\ \ x(y-3)=4y+6$ $\text{A1}\ \ x=\frac{4y+6}{y-3}$ Check with $y=5$: $x=13$, and $\dfrac{3(15)}{9}=5$.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ y(x-4)=3(x+2)$ $\text{M1}\ \ xy-4y=3x+6$ $\text{M1}\ \ xy-3x=4y+6$ $\text{M1}\ \ x(y-3)=4y+6$ $\text{A1}\ \ x=\frac{4y+6}{y-3}$ ตรวจด้วย $y=5$: $x=13$ และ $\dfrac{3(15)}{9}=5$
- Make $x$ the subject of $y=\dfrac{4x-1}{2x}$.จัดรูปให้ $x$ เป็นตัวประธานของ $y=\dfrac{4x-1}{2x}$
Answer:เฉลย: $x=\dfrac{1}{4-2y}$Clear the fraction, then count $x$: $y=\frac{4x-1}{2x}\ \Rightarrow\ 2xy=4x-1$ $x\ \text{in two places}\ \Rightarrow\ \text{no peeling}$ $2xy-4x=-1$ $x(2y-4)=-1$ $x=\frac{-1}{2y-4}=\frac{1}{4-2y}$ One $x$ left after clearing? Then peel instead, as in $y=\dfrac{x+7}{5}$.กำจัดเศษส่วน แล้วนับว่ามี $x$ กี่ตัว: $y=\frac{4x-1}{2x}\ \Rightarrow\ 2xy=4x-1$ $x\ \text{in two places}\ \Rightarrow\ \text{no peeling}$ $2xy-4x=-1$ $x(2y-4)=-1$ $x=\frac{-1}{2y-4}=\frac{1}{4-2y}$ ถ้าเคลียร์แล้วเหลือ $x$ ตัวเดียว ให้ลอกทีละชั้นแทน เช่น $y=\dfrac{x+7}{5}$
11. Exercise setชุดโจทย์
The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว
- Simplify $4a+3b-a+2b$
Answer:เฉลย: $3a+5b$Identical to the worked example, numbers changed. Builds confidence, proves the move transferred.เหมือนตัวอย่างที่ทำไป เปลี่ยนแค่ตัวเลข · สร้างความมั่นใจ และพิสูจน์ว่าท่านี้ติดตัวไปแล้ว
- Expand and simplify $3(2x-5)-2(x-4)$
Answer:เฉลย: $6x-15-2x+8=4x-7$Minus flips both terms in the second bracket: $-4$ becomes $+8$.เครื่องหมายลบพลิกทั้งสองพจน์ในวงเล็บหลัง $-4$ กลายเป็น $+8$
- Factorise fully $6x^{2}-9x$
Answer:เฉลย: $3x(2x-3)$'Fully' means every common factor: the $3$ and the $x$. $3(2x^{2}-3x)$ stops halfway and loses a mark.'ทั้งหมด' แปลว่าดึงทุกตัวที่ซ้ำ · ทั้ง $3$ และ $x$ · ถ้าเขียน $3(2x^{2}-3x)$ คือหยุดครึ่งทาง โดนหักคะแนน
- Expand and simplify $(x+2)(x+3)-(x+1)(x-1)$
Answer:เฉลย: $x^{2}+5x+6-(x^{2}-1)=5x+7$Two expansions, a minus before a bracket, and collecting like terms: four levels chained. Nothing new is taught.ขยายสองก้อน + ลบหน้าวงเล็บ + รวมพจน์เหมือน · สี่ขั้นต่อกันในข้อเดียว ไม่มีอะไรใหม่เลย
- $(x+3)(x+\square)=x^{2}+10x+21$. Find $\square$.
Answer:เฉลย: $\square=7$Given the answer, find the missing piece. This checks real understanding, not memorised steps.ให้คำตอบมา ให้หาชิ้นที่หายไป ข้อนี้วัดความเข้าใจจริง ไม่ใช่จำขั้นตอน
- Solve $3(x+2)=x+11$ (3 marks)
Answer:เฉลย: $3x+6=x+11 \Rightarrow 2x=5 \Rightarrow x=\tfrac{5}{2}=2.5$No scaffolding: expand, collect $x$ on one side, and expect a fraction answer.ไม่มีนั่งร้านช่วย: ขยายวงเล็บ รวม $x$ ไว้ข้างเดียว แล้วเตรียมคำตอบเป็นเศษส่วน
- A student expands $(x+3)^{2}$ and writes $x^{2}+9$. What went missing, and what is the full expansion?
Answer:เฉลย: The middle term. $(x+3)^{2}=(x+3)(x+3)=x^{2}+6x+9$Squaring a bracket is a double expansion, not squaring each term on its own.ยกกำลังสองวงเล็บ คือขยายสองชั้น ไม่ใช่ยกกำลังสองทีละพจน์
All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี