Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ
Indices & Index Lawsเลขยกกำลังและกรณฑ์
IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ
1. Warm-upวอร์มอัพ
Repeated multiplication and the square rootการคูณเลขเดิมซ้ำ และรากที่สอง
- Work it out: $2\times2\times2\times2 = \;?$หาค่า: $2\times2\times2\times2 = \;?$
Answer:เฉลย: $16$You multiplied four 2s.
Every rule in this lesson starts with one question: “how many 2s?”คูณ 2 ไปสี่ตัว
ทุกกฎในบทนี้เริ่มจากคำถามเดียว: “มี 2 กี่ตัว?”
- $\sqrt{9}\times\sqrt{9} = \;?$$\sqrt{9}\times\sqrt{9} = \;?$
Answer:เฉลย: $\sqrt{9}\times\sqrt{9}=3\times3=9$Root times itself gives the number: $\sqrt{9}\times\sqrt{9}=3\times3=9$ Later in this lesson, this fact gets a new name: $9^{1/2}$.รูทคูณตัวเอง ได้เลขเดิมกลับมา: $\sqrt{9}\times\sqrt{9}=3\times3=9$ ต่อไปในบทนี้ ข้อเท็จจริงนี้จะได้ชื่อใหม่: $9^{1/2}$
2. Same multiplication, new nameคูณแบบเดิม ชื่อใหม่
$2^{3}$ is a short way to write $2\times2\times2$.$2^{3}$ คือวิธีเขียนสั้น ๆ ของ $2\times2\times2$
You have multiplied like this for yearsคูณแบบนี้มาหลายปีแล้ว
From today: a shorter way to write this line.จากวันนี้ · เขียนบรรทัดนี้ให้สั้นลง
- $2^{3} = \;?$$2^{3} = \;?$
Answer:เฉลย: $2^{3}=2\times2\times2=8$This is the warm-up multiplication with one 2 less.
Only the way of writing it is new.นี่คือการคูณตอนวอร์มอัพ แต่มี 2 น้อยลงหนึ่งตัว
ของใหม่มีแค่วิธีเขียน
- Which one is $3^{4}$?อันไหนคือ $3^{4}$?
Answer:เฉลย: $3^{4}=3\times3\times3\times3=81$The base is the number you multiply.
The index counts how many times.
Every rule after this uses the same idea.ฐานคือเลขที่เอามาคูณ
เลขชี้กำลังนับว่าคูณกี่ตัว
ทุกกฎหลังจากนี้ใช้ไอเดียเดียวกันนี้
3. Change the numbersเปลี่ยนตัวเลข
Any base, any counting number on top.ฐานอะไรก็ได้ ตัวนับเป็นเท่าไรก็ได้
- $(-2)^{3} = \;?$$(-2)^{3} = \;?$
Answer:เฉลย: $(-2)^{3}=(-2)\times(-2)\times(-2)=-8$Two minuses cancel and the third one is left. That is why a negative to an odd power stays negative.ลบสองตัวหักล้างกัน เหลือลบตัวที่สาม · เลขติดลบยกกำลังคี่เลยยังติดลบ
4. Multiplying two powersคูณเลขยกกำลังสองตัว
Multiplying powers = counting one long line of 2s.คูณเลขยกกำลัง = นับ 2 ทั้งแถวยาว
$2^{3}\times2^{4}$: write out all the 2s$2^{3}\times2^{4}$: เขียนตัว 2 ออกมาให้หมด
One long line of 2s. Count them.2 คูณกันแถวเดียวยาว ๆ · นับว่ามีกี่ตัว
- So $2^{3}\times2^{4}=2^{n}$. What is $n$?ดังนั้น $2^{3}\times2^{4}=2^{n}$ $n$ เท่ากับเท่าไร?
Answer:เฉลย: $n=7$ — three 2s then four more: $2^{7}$Count the 2s, don't memorise: $\text{three 2s}+\text{four 2s}=\text{seven 2s}$ $3+4=7$ $2^{3}\times2^{4}=2^{7}$นับจำนวน 2 ไม่ต้องท่อง: $\text{three 2s}+\text{four 2s}=\text{seven 2s}$ $3+4=7$ $2^{3}\times2^{4}=2^{7}$
- Are $2^{3}\times2^{4}$ and $(2^{3})^{4}$ the same or different?$2^{3}\times2^{4}$ กับ $(2^{3})^{4}$ เหมือนกันหรือต่างกัน?
Answer:เฉลย: $2^{3}\times2^{4}=2^{7}$, $(2^{3})^{4}=2^{12}$Side by side add; stacked multiply: $2^{3}\times2^{4}=2^{3+4}=2^{7}$ $(2^{3})^{4}=2^{3\times4}=2^{12}$ Students often mix up these two. Count the factors to tell them apart.เรียงข้างกัน = บวก · ซ้อนกัน = คูณ: $2^{3}\times2^{4}=2^{3+4}=2^{7}$ $(2^{3})^{4}=2^{3\times4}=2^{12}$ นักเรียนมักสลับสองแบบนี้ นับจำนวนตัวคูณเพื่อแยกให้ออก
5. Dividing powersหารเลขยกกำลัง
Dividing powers subtracts the indices. This gives two new results: $a^{0}$ and $a^{-n}$.การหารเลขยกกำลังคือการลบเลขชี้กำลัง ซึ่งให้ผลใหม่สองแบบ: $a^{0}$ และ $a^{-n}$
- $2^{5}\div2^{2}=\dfrac{2\times2\times2\times2\times2}{2\times2}$. Cancel, then: $2^{5}\div2^{2}=2^{n}$. What is $n$?$2^{5}\div2^{2}=\dfrac{2\times2\times2\times2\times2}{2\times2}$ ตัดกันก่อน แล้ว $2^{5}\div2^{2}=2^{n}$ · $n$ เท่ากับเท่าไร?
Answer:เฉลย: $n=3$ — two 2s cancel, three surviveMultiplying adds to the count. Dividing subtracts from it: $a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$.การคูณเพิ่มตัวนับ การหารลดตัวนับ: $a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$
- Use the rule again: $2^{3}\div2^{3}=2^{3-3}=2^{0}$. Now work out $8\div8=\;?$ใช้กฎเดิมอีกครั้ง: $2^{3}\div2^{3}=2^{3-3}=2^{0}$ · ทีนี้หาค่า $8\div8=\;?$
Answer:เฉลย: $8\div8=1$ — so $2^{0}$ has no choice but to equal $1$One question, two methods, same answer: $2^{3}\div2^{3}=2^{3-3}=2^{0}$ $8\div8=1$ $\Rightarrow\ 2^{0}=1$ $\text{any base}:\ a^{0}=1$โจทย์เดียว สองวิธี คำตอบเดียวกัน: $2^{3}\div2^{3}=2^{3-3}=2^{0}$ $8\div8=1$ $\Rightarrow\ 2^{0}=1$ $\text{any base}:\ a^{0}=1$
- Use the rule again: $2^{2}\div2^{5}=2^{2-5}=2^{-3}$. Now work out $\dfrac{4}{32}$ as a fraction. Your answer is $2^{-3}$.ใช้กฎเดิมอีกครั้ง: $2^{2}\div2^{5}=2^{2-5}=2^{-3}$ · ทีนี้หาค่า $\dfrac{4}{32}$ ตอบเป็นเศษส่วน · คำตอบที่ได้คือ $2^{-3}$
Answer:เฉลย: $\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}$ — so $2^{-3}=\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2^{3}}$$2^{-3}=\frac{1}{8}=\frac{1}{2^{3}}$.
A negative index puts the number under a 1.
It does not make the answer negative.$2^{-3}=\frac{1}{8}=\frac{1}{2^{3}}$
เลขชี้กำลังติดลบทำให้เลขนั้นไปอยู่ใต้เลข 1
มันไม่ได้ทำให้คำตอบติดลบ
- Last check before the next level. $2^{-3}=\;?$ตรวจครั้งสุดท้ายก่อนไประดับต่อไป $2^{-3}=\;?$
Answer:เฉลย: $2^{-3}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}$Minus in the index means flip: $2^{-3}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}$ $\neq -8,\qquad \neq -6$ Say “flip” out loud every time a minus appears in an index.เลขชี้กำลังติดลบ = พลิกเป็นเศษส่วน: $2^{-3}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}$ $\neq -8,\qquad \neq -6$ เห็นลบบนเลขชี้กำลังเมื่อไหร่ ให้พูดว่า “พลิก” ทุกครั้ง
6. Half a powerกำลังครึ่งตัว
$a^{1/2}=\sqrt{a}$. A root that is not a whole number is a surd.$a^{1/2}=\sqrt{a}$ · รูทที่ไม่ลงตัวเรียกว่ากรณฑ์
$\sqrt{48}$: the exam asks for an exact answer$\sqrt{48}$: ข้อสอบต้องการค่าที่แน่นอน
- $\sqrt{48}$$48$ is not a square number. It has a square factor.$48$ ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ แต่มีตัวประกอบที่เป็นกำลังสอง
- $=\sqrt{16\times3}$Take out the biggest square factor.ดึงตัวประกอบกำลังสองที่ใหญ่ที่สุดออกมา
- $=\sqrt{16}\times\sqrt{3}$Split the root over the product.แยกรูทตามผลคูณ
- $=4\sqrt{3}$$\sqrt{16}=4$. The $3$ stays under the root.$\sqrt{16}=4$ · เลข $3$ อยู่ใต้รูทต่อ
- By the add-rule, $9^{1/2}\times9^{1/2}=9^{\frac12+\frac12}=9^{1}=9$. So $9^{1/2}$ is the number that times itself gives 9. Which is it?ตามกฎบวกเลขชี้กำลัง $9^{1/2}\times9^{1/2}=9^{\frac12+\frac12}=9^{1}=9$ · แปลว่า $9^{1/2}$ คือตัวเลขที่คูณตัวเองแล้วได้ 9 — ตัวไหน?
Answer:เฉลย: $9^{1/2}=3$Half index = square root: $9^{1/2}\times9^{1/2}=9^{\frac12+\frac12}=9^{1}=9$ $\sqrt{9}\times\sqrt{9}=9$ $\Rightarrow\ 9^{1/2}=\sqrt{9}=3$เลขชี้กำลัง $\frac12$ คือรากที่สอง: $9^{1/2}\times9^{1/2}=9^{\frac12+\frac12}=9^{1}=9$ $\sqrt{9}\times\sqrt{9}=9$ $\Rightarrow\ 9^{1/2}=\sqrt{9}=3$
- Use the same method: simplify $\sqrt{50}$.ใช้วิธีเดิม: จัดรูป $\sqrt{50}$ ให้ง่ายที่สุด
Answer:เฉลย: $\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}$Take out the square factor: $\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}$ $\text{check}:\ (5\sqrt{2})^{2}=25\times2=50$ If squaring your answer misses the original number, the split was wrong.ดึงตัวประกอบกำลังสองออกมา: $\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}$ $\text{check}:\ (5\sqrt{2})^{2}=25\times2=50$ ถ้ายกกำลังสองคำตอบแล้วไม่ได้เลขเดิม แสดงว่าแยกตัวประกอบผิด
- The root splits over $\times$. That is how $\sqrt{48}$ worked. Does it also split over $+$? Test $\sqrt{9+16}$ and $\sqrt{9}+\sqrt{16}$.รูทแยกผ่าน $\times$ ได้ นั่นคือวิธีที่ใช้กับ $\sqrt{48}$ · รูทแยกผ่าน $+$ ได้ด้วยไหม? ลองเทียบ $\sqrt{9+16}$ กับ $\sqrt{9}+\sqrt{16}$
Answer:เฉลย: Not equal: $5\neq7$ไม่เท่ากัน: $5\neq7$Splits over $\times$ not over $+$: $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}$ $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$ $5\neq7$ One counter-example, $9$ and $16$, proves the rule is false.
Remember this pair for the exam.รูทกระจายผ่าน $\times$ ได้ · ผ่าน $+$ ไม่ได้: $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}$ $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$ $5\neq7$ ตัวอย่างค้านคู่เดียว $9$ กับ $16$ ก็พิสูจน์ได้ว่ากฎนี้ผิด
จำคู่นี้ไว้ใช้ในห้องสอบ
7. Exam formรูปแบบข้อสอบ
The same three steps, in exam wording, with marks.สามขั้นเดิม ในภาษาข้อสอบ พร้อมคะแนน
$a^{m/n}$: three steps, always in this order$a^{m/n}$: สามขั้น เรียงลำดับนี้เสมอ
Root before power keeps the numbers small.ถอดรูทก่อนยกกำลัง · ตัวเลขเล็กตลอดทาง
- Exam: Evaluate $27^{-2/3}$. (2 marks)ข้อสอบ: หาค่า $27^{-2/3}$ (2 คะแนน)
Answer:เฉลย: $27^{-2/3}=\dfrac{1}{27^{2/3}}=\dfrac{1}{(\sqrt[3]{27})^{2}}=\dfrac{1}{3^{2}}=\dfrac{1}{9}$2 marks: $\text{M1}\ \ 27^{-2/3}=\dfrac{1}{27^{2/3}},\ \ \sqrt[3]{27}=3$ $\text{A1}\ \ \dfrac{1}{3^{2}}=\dfrac{1}{9}$ An answer of $9$ loses the answer mark. An answer of $-18$ loses both marks.2 คะแนน: $\text{M1}\ \ 27^{-2/3}=\dfrac{1}{27^{2/3}},\ \ \sqrt[3]{27}=3$ $\text{A1}\ \ \dfrac{1}{3^{2}}=\dfrac{1}{9}$ ตอบ $9$ เสียคะแนนคำตอบ · ตอบ $-18$ เสียทั้งสองคะแนน
- Exam: Solve $2^{x}=\dfrac{1}{8}$. (2 marks)ข้อสอบ: แก้สมการ $2^{x}=\dfrac{1}{8}$ (2 คะแนน)
Answer:เฉลย: $\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2^{3}}=2^{-3}$, so $x=-3$2 marks: $\text{M1}\ \ \dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2^{3}}=2^{-3}$ $\text{A1}\ \ 2^{x}=2^{-3}\ \Rightarrow\ x=-3$ Once the bases match, the indices must match too.2 คะแนน: $\text{M1}\ \ \dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2^{3}}=2^{-3}$ $\text{A1}\ \ 2^{x}=2^{-3}\ \Rightarrow\ x=-3$ พอฐานตรงกันแล้ว เลขชี้กำลังต้องตรงกันด้วย
- Exam: Solve $\dfrac{9^{\,x+1}}{27^{\,x}}=\dfrac{1}{9\sqrt{3}}$. (5 marks)ข้อสอบ: แก้สมการ $\dfrac{9^{\,x+1}}{27^{\,x}}=\dfrac{1}{9\sqrt{3}}$ (5 คะแนน)
Answer:เฉลย: $x=\dfrac{9}{2}=4.5$5 marks: $\text{M1}\ \ 9^{x+1}=3^{2x+2},\ \ 27^{x}=3^{3x}$ $\text{M2}\ \ 3^{(2x+2)-3x}=3^{2-x}$ $\text{M3}\ \ 9\sqrt3=3^{2}\times3^{1/2}=3^{5/2}$ $\text{M4}\ \ \dfrac{1}{3^{5/2}}=3^{-5/2}$ $\text{A1}\ \ 2-x=-\dfrac52\ \Rightarrow\ x=\dfrac92$ The mark most often lost is the reciprocal: $\dfrac{1}{9\sqrt3}$ carries a negative index.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ 9^{x+1}=3^{2x+2},\ \ 27^{x}=3^{3x}$ $\text{M2}\ \ 3^{(2x+2)-3x}=3^{2-x}$ $\text{M3}\ \ 9\sqrt3=3^{2}\times3^{1/2}=3^{5/2}$ $\text{M4}\ \ \dfrac{1}{3^{5/2}}=3^{-5/2}$ $\text{A1}\ \ 2-x=-\dfrac52\ \Rightarrow\ x=\dfrac92$ คะแนนที่หายบ่อยสุดคือส่วนกลับ · $\dfrac{1}{9\sqrt3}$ เลขชี้กำลังต้องติดลบ
- Simplify $\dfrac{(a^{5})^{2}}{a^{3}\times a^{4}}$, giving your answer as a single power of $a$.ทำ $\dfrac{(a^{5})^{2}}{a^{3}\times a^{4}}$ ให้ง่ายที่สุด · ตอบเป็นเลขยกกำลังของ $a$ ตัวเดียว
Answer:เฉลย: $a^{3}$The symbol picks the rule: $(\ )^{n}\ \Rightarrow\ \text{multiply}:\ (a^{5})^{2}=a^{10}$ $\times\ \Rightarrow\ \text{add}:\ a^{3}\times a^{4}=a^{7}$ $\text{fraction line}\ \Rightarrow\ \text{subtract}:\ a^{10-7}=a^{3}$ Students often swap the first two rules.
A bracket multiplies the indices. A $\times$ adds them.สัญลักษณ์เป็นตัวเลือกกฎ: $(\ )^{n}\ \Rightarrow\ \text{multiply}:\ (a^{5})^{2}=a^{10}$ $\times\ \Rightarrow\ \text{add}:\ a^{3}\times a^{4}=a^{7}$ $\text{fraction line}\ \Rightarrow\ \text{subtract}:\ a^{10-7}=a^{3}$ นักเรียนมักสลับสองกฎแรก
วงเล็บให้คูณเลขชี้กำลัง $\times$ ให้บวก
8. Exercise setชุดโจทย์
Each question changes one thing from the question before it.แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว
- Write as a single power: $3^{4}\times3^{5}$.
Answer:เฉลย: $3^{9}$This is the level 3 method with new numbers.วิธีเดียวกับระดับที่ 3 แต่เปลี่ยนตัวเลข
- Evaluate $16^{-3/4}$.
Answer:เฉลย: $\dfrac{1}{8}$ (flip → $16^{1/4}=2$ → $2^{3}=8$)Same three steps as $27^{-2/3}$. A fourth root and cube here: root first, not power.สามขั้นเดิมเหมือน $27^{-2/3}$ · ข้อนี้มีรากที่สี่กับกำลังสาม: ถอดรากก่อน ไม่ใช่ยกกำลังก่อน
- Simplify $\dfrac{p^{5}\times p^{4}}{p^{6}}$.
Answer:เฉลย: $p^{3}$The base is a letter, so you cannot work out values.
Use the index rules.ฐานเป็นตัวอักษร จึงหาค่าเป็นตัวเลขไม่ได้
ใช้กฎเลขชี้กำลัง
- Simplify $(2x^{3})^{2}\times x^{-4}$.
Answer:เฉลย: $4x^{6}\times x^{-4}=4x^{2}$Power of a power, then the coefficient squared, then a negative index.
All three steps are from this lesson.กำลังซ้อนกำลัง ยกกำลังสัมประสิทธิ์ด้วย แล้วเลขชี้กำลังติดลบ
ทั้งสามขั้นมาจากบทนี้
- $\sqrt{72}=n\sqrt{2}$. Find $n$.
Answer:เฉลย: $n=6$ ($72=36\times2$)The simplified form is given.
Work backwards to find the square factor.โจทย์ให้รูปอย่างง่ายมาแล้ว
ย้อนกลับไปหาตัวประกอบกำลังสอง
- (3 marks) (a)(ก) Evaluate $8^{2/3}$. (b)(ข) Hence write down $8^{-2/3}$.
Answer:เฉลย: (a) $4$ (b) $\dfrac{1}{4}$Two parts with marks, worded as in 0580.
‘Hence’ means: use your answer to part (a).สองข้อย่อย มีคะแนน ใช้ภาษาแบบข้อสอบ 0580
‘Hence’ แปลว่า ให้ใช้คำตอบจากข้อ (a)
- A student writes $2^{-4}=-16$. What did they mix up, and what is the correct value?
Answer:เฉลย: Minus in the index means flip, not negative: $2^{-4}=\dfrac{1}{2^{4}}=\dfrac{1}{16}$Find the mistake in someone else's working.
It is the most common wrong answer in this topic.หาจุดผิดในวิธีทำของคนอื่น
นี่คือคำตอบผิดที่พบบ่อยที่สุดในหัวข้อนี้
All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี