Simultaneous Equationsสมการ Simultaneous

IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

The two moves this topic runs onสองท่าที่ทั้งบทนี้ใช้

Every step here is one of these two moves, on two equations at once.ทุกก้าวในบทนี้คือสองท่านี้ ทำกับสองสมการพร้อมกัน

1. Solve $2x+3=11$.แก้สมการ $2x+3=11$
   Answer:เฉลย: $x=4$One equation, one unknown: you can always finish this. Today is entirely about turning messier situations back into this.สมการเดียว ตัวแปรเดียว · แบบนี้ปิดเกมได้เสมอ ทั้งบทวันนี้คือการแปลงสถานการณ์ที่ยุ่งกว่าให้กลับมาเป็นแบบนี้
2. $x+y=10$.  Make $y$ the subject.$x+y=10$  ทำ $y$ ให้เป็นตัวตั้ง
   Answer:เฉลย: $y=10-x$Remember this exact move. Later in this lesson it stops being a warm-up and becomes a whole method.จำท่านี้ไว้ให้แม่น เดี๋ยวในบทนี้มันจะไม่ใช่แค่วอร์มอัพ แต่กลายเป็นวิธีทำทั้งวิธี

2. Two clues at onceสองเงื่อนไขพร้อมกัน

One clue = many pairs. Two clues = one pair.เงื่อนไขเดียว = หลายคู่ · สองเงื่อนไข = คู่เดียว

One equation, two unknownsหนึ่งสมการ สองตัวแปร

Every pair adds to $10$. One equation leaves endless pairs.ทุกคู่บวกกันได้ $10$ · สมการเดียวมีคู่ได้ไม่รู้จบ

Each clue is a straight lineแต่ละเงื่อนไขคือเส้นตรงหนึ่งเส้น

Pairs for one clue lie on one line. Two lines cross once, at $(7,3)$.คู่ของเงื่อนไขหนึ่งอยู่บนเส้นเดียว · สองเส้นตัดกันครั้งเดียว ที่ $(7,3)$

1. $x+y=10$.  If $x=3$, what must $y$ be?$x+y=10$  ถ้า $x=3$ แล้ว $y$ ต้องเป็นเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $y=7$One clue, endless pairs: $x=3\ \Rightarrow\ y=7$   $x=4\ \Rightarrow\ y=6$   $x=2.5\ \Rightarrow\ y=7.5$เงื่อนไขเดียว มีคู่ไม่รู้จบ: $x=3\ \Rightarrow\ y=7$   $x=4\ \Rightarrow\ y=6$   $x=2.5\ \Rightarrow\ y=7.5$
2. A second clue arrives: $x-y=4$.  Which pair fits both clues?เงื่อนไขที่สองมาแล้ว: $x-y=4$  คู่ไหนผ่านทั้งสองเงื่อนไข?
   Answer:เฉลย: $x=7,\;y=3$Many pairs fit one clue, but only one pair fits both. The rest of the topic finds that pair fast.หลายคู่ผ่านเงื่อนไขเดียว แต่มีคู่เดียวที่ผ่านทั้งสอง · ที่เหลือของบทคือวิธีหาคู่นั้นให้เร็ว

3. Add or subtract to cancelบวกหรือลบให้ตัวแปรหาย

Same sign subtract, opposite sign add.เครื่องหมายเหมือนกันให้ลบ · ตรงข้ามกันให้บวก

Label ① and ②, then cancelติดเลข ① ② แล้วค่อยหักล้าง

Number every line. Each move names the lines it used: ① − ②.ติดเลขทุกบรรทัด · ทุกก้าวบอกว่าใช้บรรทัดไหน: ① − ②

Opposite signs, so addเครื่องหมายตรงข้าม ก็บวกกัน

1. $2x+y=11$Equation one. Ring it ①. Say "equation one".สมการแรก วงเลข ① ไว้ อ่านว่า "สมการหนึ่ง"
2. $x-y=1$Equation two, ②. Look at $y$: $+y$ on one side, $-y$ on the other.สมการที่สอง ② · ดูที่ $y$: ข้างหนึ่ง $+y$ อีกข้าง $-y$
3. $3x=12$Opposite signs, so add the two equations. Write the move on the left.เครื่องหมายตรงข้าม ก็บวกสองสมการกัน · เขียนสิ่งที่ทำไว้ซ้ายบรรทัด
4. $x=4$Divide by $3$.หารด้วย $3$
5. $2(4)+y=11$Put $x=4$ back into ①.เอา $x=4$ ไปแทนใน ①
6. $8+y=11$$8$: subtract it from both sides. Write $-8$ under each side. Then strike the pair.ลบ $8$ ทั้งสองข้าง · เขียน $-8$ ไว้ใต้ทั้งสองข้าง แล้วขีดฆ่าคู่ที่ตัดกัน
7. $y=3$What is left after the strike.เหลืออะไรหลังขีดฆ่า
8. $(x,y)=(4,3)$Check in the equation you have not used: $4-3=1$ ✓ตรวจด้วยสมการที่ยังไม่ได้ใช้: $4-3=1$ ✓

1. $x+y=10$ and $x-y=4$.  Add the two equations: left side + left side, right side + right side. What is $x$?$x+y=10$ กับ $x-y=4$  บวกสองสมการเข้าด้วยกัน: ซ้ายบวกซ้าย ขวาบวกขวา แล้ว $x$ เท่ากับเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $2x=14 \Rightarrow x=7$Opposite signs cancel on adding: $(x+y)+(x-y)=10+4$   $2x=14$   $x=7$เครื่องหมายตรงข้าม บวกแล้วหายไป: $(x+y)+(x-y)=10+4$   $2x=14$   $x=7$
2. Adding gave $2x=14$, so $x=7$.  Put $x=7$ back into $x+y=10$: what is $y$?บวกกันแล้วได้ $2x=14$ จึงได้ $x=7$  แทน $x=7$ กลับลงใน $x+y=10$: $y$ เท่ากับเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $7+y=10 \Rightarrow y=3$The second value has its own mark. Finding $x$ and stopping is the mark most often lost in this topic.ค่าตัวที่สองมีคะแนนของมันเอง · หา $x$ ได้แล้วหยุด คือคะแนนที่หลุดบ่อยที่สุดในบทนี้
3. To eliminate a letter right now, you should:ถ้าจะกำจัดตัวแปรตอนนี้เลย ต้องทำอะไร?
   Answer:เฉลย: Subtract: $2y=4$, so $y=2$, then $x=5$.ลบ: $2y=4$ ได้ $y=2$ แล้ว $x=5$Same signs, so subtract: $2x-2x=0$   $5y-3y=2y=4\ \Rightarrow\ y=2$   $x=5$   $\text{same sign}\ \Rightarrow\ \text{subtract}$   $\text{opposite sign}\ \Rightarrow\ \text{add}$เครื่องหมายเหมือนกัน ต้องลบ: $2x-2x=0$   $5y-3y=2y=4\ \Rightarrow\ y=2$   $x=5$   $\text{same sign}\ \Rightarrow\ \text{subtract}$   $\text{opposite sign}\ \Rightarrow\ \text{add}$
4. For which pair does adding eliminate a letter?ชุดไหนที่การบวกทำให้ตัวแปรหาย?
   Answer:เฉลย: Pair A only.ชุด A เท่านั้นStart every elimination question here: which letter matches, and what its signs are. Choose wrong and nothing cancels.โจทย์ elimination ทุกข้อเริ่มตรงนี้: ตัวแปรไหนที่เท่ากัน และเครื่องหมายเป็นแบบไหน · เลือกผิดก็ไม่มีอะไรหาย

4. Multiply first to matchคูณก่อนให้เท่ากัน

Nothing matches? Make it match.ยังไม่มีอะไรเท่ากัน? ทำให้มันเท่ากันซะ

Make the x's matchทำ x ให้เท่ากัน

Same lowest common multiple idea as adding fractions. One move, then it is level 2 again.คิดแบบ ค.ร.น. เดียวกับตอนบวกเศษส่วน · ทำท่านี้ท่าเดียว แล้วกลับเป็นขั้นที่แล้ว

② × 2 makes ③: a new line, not a replacement② × 2 ได้ ③: เป็นบรรทัดใหม่ ไม่ได้มาแทน

Multiplying keeps the old line. ① ② ③ all stay: substitute into the easiest.การคูณไม่ได้ลบบรรทัดเดิม · ① ② ③ อยู่ครบ · เลือกอันที่ง่ายที่สุดไปแทนค่า

1. As they are written now, does adding or subtracting remove a letter?ตอนนี้ บวกหรือลบแล้วมีตัวแปรหายไหม?
   Answer:เฉลย: Neither — make a match first.ไม่ทั้งคู่ — ต้องสร้างคู่ที่เท่ากันก่อนBuild the matching pair first: $2x\ \text{and}\ 3x\ \Rightarrow\ \text{no match}$   $\times\ \text{both sides keeps it true}$สร้างคู่ที่เท่ากันก่อน: $2x\ \text{and}\ 3x\ \Rightarrow\ \text{no match}$   $\times\ \text{both sides keeps it true}$
2. Careful with the move. Multiply $2x+3y=12$ by $3$. Which line is right?ระวังตัวท่าคูณให้ดี คูณ $2x+3y=12$ ด้วย $3$ · บรรทัดไหนถูก?
   Answer:เฉลย: $6x+9y=36$Every term, both sides: $3(2x+3y)=3(12)$   $6x+9y=36$   $6x+9y=12\ \times\ \text{(one term missed)}$ต้องคูณทุกพจน์ ทั้งสองข้าง: $3(2x+3y)=3(12)$   $6x+9y=36$   $6x+9y=12\ \times\ \text{(one term missed)}$
3. Finish it: subtract $6x+4y=26$ from $6x+9y=36$, and find $y$.ปิดจ๊อบ: เอา $6x+9y=36$ ตั้ง แล้วลบ $6x+4y=26$ ออก หา $y$
   Answer:เฉลย: $5y=10 \Rightarrow y=2$$y=2$, then $2x+6=12$ gives $x=3$. Write both values, then check in the untouched equation: $3(3)+2(2)=13$ ✓.$y=2$ แล้ว $2x+6=12$ ได้ $x=3$ · เขียนครบทั้งสองค่า แล้วตรวจในสมการที่ยังไม่ได้ใช้: $3(3)+2(2)=13$ ✓

5. The other route: substitutionอีกเส้นทาง: วิธีแทนค่า

Two routes, one answer. When both agree, that is the check.สองทาง คำตอบเดียว · ถ้าสองทางตรงกัน แปลว่าถูกแน่

1. New route, same clues: $x+y=10$ and $x-y=4$.  House rule: make $y$ the subject of the first equation.เส้นทางใหม่ เงื่อนไขเดิม: $x+y=10$ กับ $x-y=4$  กติกาบ้านเรา: ทำ $y$ ให้เป็นตัวตั้งจากสมการแรก
   Answer:เฉลย: $y=10-x$Make the letter the subject first, then everything else follows. It is the same habit as finding an inverse function.ทำตัวแปรให้เป็นตัวตั้งก่อน แล้วที่เหลือจะตามมาเอง · เป็นนิสัยเดียวกับตอนหาฟังก์ชันผกผัน
2. Now $y$ is a parcel worth $10-x$. Deliver it into the other equation: $x-(10-x)=4$.  Solve for $x$.ตอนนี้ $y$ คือห่อของที่ข้างในเป็น $10-x$ เอาไปส่งใส่อีกสมการ: $x-(10-x)=4$  แก้หา $x$
   Answer:เฉลย: $2x-10=4 \Rightarrow x=7$Both methods, same pair: $2x-10=4\ \Rightarrow\ x=7$   $y=10-7=3$   $(7,3)\ \text{again}$สองวิธี ได้คู่เดียวกัน: $2x-10=4\ \Rightarrow\ x=7$   $y=10-7=3$   $(7,3)\ \text{again}$
3. $y=x+1$ and $3x+2y=17$.  After substituting, which line is correct?$y=x+1$ กับ $3x+2y=17$  แทนค่าแล้ว บรรทัดไหนถูก?
   Answer:เฉลย: $3x+2(x+1)=17$, so $5x+2=17$, $x=3$, $y=4$.$3x+2(x+1)=17$ ได้ $5x+2=17$, $x=3$, $y=4$Brackets around the whole parcel: $3x+2(x+1)=17$   $5x+2=17\ \Rightarrow\ x=3$   $y=4$ Same habit as composite functions: the whole expression goes into the space.ใส่วงเล็บครอบทั้งก้อน: $3x+2(x+1)=17$   $5x+2=17\ \Rightarrow\ x=3$   $y=4$ นิสัยเดียวกับฟังก์ชันประกอบ: ยกทั้งก้อนใส่ลงไปในช่อง

6. From story to equationsจากโจทย์ปัญหาเป็นสมการ

The new skill is translation, not solving.ทักษะใหม่คือการแปลโจทย์ ไม่ใช่การแก้

One bill, one equationหนึ่งบิล หนึ่งสมการ

Write both equations first. That earns a mark before any algebra.เขียนสองสมการให้ครบก่อน · ได้หนึ่งคะแนนก่อนเริ่มพีชคณิต

1. 3 pens and 2 pencils cost 47 baht. 2 pens and 3 pencils cost 43 baht. Let $p$ = price of a pen, $q$ = price of a pencil. Which pair of equations matches this?ปากกา 3 ด้ามกับดินสอ 2 แท่ง ราคา 47 บาท · ปากกา 2 ด้ามกับดินสอ 3 แท่ง ราคา 43 บาท ให้ $p$ = ราคาปากกา, $q$ = ราคาดินสอ สมการคู่ไหนแปลตรงตามนี้?
   Answer:เฉลย: $3p+2q=47,\;\; 2p+3q=43$The only new skill here is translation: counts multiply prices, and each bill becomes one equation. These give $p=11,\;q=7$.ขั้นนี้มีทักษะใหม่แค่การแปลโจทย์: จำนวนชิ้นคูณราคา และบิลหนึ่งใบคือสมการหนึ่งบรรทัด · คู่นี้ได้ $p=11,\;q=7$
2. An adult ticket costs $a$ baht, a child ticket $c$ baht. 3 adults and 2 children pay 390 baht. Write the equation.ตั๋วผู้ใหญ่ราคา $a$ บาท ตั๋วเด็ก $c$ บาท ผู้ใหญ่ 3 คนกับเด็ก 2 คนจ่าย 390 บาท เขียนเป็นสมการ
   Answer:เฉลย: $3a+2c=390$The sentence becomes a line: $3\ \text{adults}\ \Rightarrow\ 3a$   $2\ \text{children}\ \Rightarrow\ 2c$   $3a+2c=390$ That line alone earns M1, before any algebra happens.แปลประโยคเป็นสมการหนึ่งบรรทัด: $3\ \text{adults}\ \Rightarrow\ 3a$   $2\ \text{children}\ \Rightarrow\ 2c$   $3a+2c=390$ แค่บรรทัดนี้ก็ได้ M1 แล้ว ก่อนจะเริ่มพีชคณิตด้วยซ้ำ
3. The same family also knows: 1 adult + 1 child together cost 150 baht, so $a+c=150$.  Find the adult price $a$.ครอบครัวเดียวกันรู้อีกอย่าง: ผู้ใหญ่ 1 + เด็ก 1 รวมกัน 150 บาท ดังนั้น $a+c=150$  หาราคาตั๋วผู้ใหญ่ $a$
   Answer:เฉลย: $a=90$  (and $c=60$)Substitute, then check: $c=150-a$   $3a+2(150-a)=390$   $a+300=390\ \Rightarrow\ a=90$   $c=60$   $90+60=150\ \checkmark$แทนค่า แล้วตรวจ: $c=150-a$   $3a+2(150-a)=390$   $a+300=390\ \Rightarrow\ a=90$   $c=60$   $90+60=150\ \checkmark$

7. One straight, one curvedเส้นตรงเจอเส้นโค้ง

A line and a curve: substitution still works. The quadratics lesson completes the solution.เส้นตรงกับเส้นโค้ง: แทนค่าก็ยังใช้ได้ · แล้วบทสมการกำลังสองช่วยทำต่อจนจบ

1. New pair: $y=x+3$ and $y=x^{2}-3$. Elimination needs matching terms, but there are none. What still works?คู่ใหม่: $y=x+3$ กับ $y=x^{2}-3$ · วิธีกำจัดต้องมีพจน์ที่เข้าคู่กัน แต่นี่ไม่มีเลย · อะไรยังใช้ได้?
   Answer:เฉลย: Set them equal: $x^{2}-3=x+3$Both start with $y=$: $y=x+3,\ y=x^{2}-3$   $x^{2}-3=x+3$   $\text{one equation, one letter}$ทั้งคู่ขึ้นต้นด้วย $y=$: $y=x+3,\ y=x^{2}-3$   $x^{2}-3=x+3$   $\text{one equation, one letter}$
2. Solve $x^{2}-3=x+3$: find both values of $x$.แก้ $x^{2}-3=x+3$: หาค่า $x$ ทั้งสองตัว
   Answer:เฉลย: $x^{2}-x-6=0 \Rightarrow (x-3)(x+2)=0 \Rightarrow x=3$ orหรือ $x=-2$Zero on one side, factorise, take both roots. This is level 4 of the Quadratic Equations lesson.ย้ายเป็นศูนย์ แยกตัวประกอบ เก็บรากทั้งคู่ · ท่านี้มาจากบทสมการกำลังสอง ระดับ 4
3. Each $x$ needs its $y$. Using $y=x+3$: give $y$ for $x=3$, then for $x=-2$.$x$ แต่ละตัวต้องมี $y$ ของมัน · ใช้ $y=x+3$: หา $y$ ของ $x=3$ แล้วก็ของ $x=-2$
   Answer:เฉลย: $(3,\;6)$ andและ $(-2,\;1)$Full marks means pairs: $(3,6)$ and $(-2,1)$. Check both in the curve: $3^{2}-3=6$ ✓ and $(-2)^{2}-3=1$ ✓.คะแนนเต็มต้องตอบเป็นคู่: $(3,6)$ กับ $(-2,1)$ · ตรวจกับเส้นโค้ง: $3^{2}-3=6$ ✓ และ $(-2)^{2}-3=1$ ✓

8. Exam formรูปแบบข้อสอบ

Four marks, and where each one lives.สี่คะแนน แต่ละคะแนนซ่อนอยู่ตรงไหน

The mark scheme for a worded simultaneous questionmark scheme ของโจทย์ปัญหา simultaneous

M1 M1 are setup and method. Write them down even if the arithmetic slips.M1 M1 คือการตั้งสมการกับวิธีทำ · เขียนเก็บไว้ ถึงเลขจะพลาด

1. Exam: At a café, 2 coffees and 3 teas cost 190 baht; 2 coffees and 1 tea cost 130 baht. Let $x$ = price of a coffee, $y$ = price of a tea. Find $x$ and $y$.  (4 marks)ข้อสอบ: ที่คาเฟ่แห่งหนึ่ง กาแฟ 2 แก้วกับชา 3 แก้วราคา 190 บาท · กาแฟ 2 แก้วกับชา 1 แก้วราคา 130 บาท ให้ $x$ = ราคากาแฟ, $y$ = ราคาชา หา $x$ และ $y$  (4 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $2x+3y=190,\;2x+y=130 \Rightarrow 2y=60 \Rightarrow y=30,\;x=50$4 marks: $\text{M1}\ 2x+3y=190,\ 2x+y=130$   $\text{M1}\ 2y=60$   $\text{A1}\ y=30$   $\text{A1}\ x=50$   $100+90=190\ \checkmark$4 คะแนน: $\text{M1}\ 2x+3y=190,\ 2x+y=130$   $\text{M1}\ 2y=60$   $\text{A1}\ y=30$   $\text{A1}\ x=50$   $100+90=190\ \checkmark$
2. A student forms both equations correctly, subtracts correctly, writes $y=30$, and stops. Out of 4 marks they score:นักเรียนคนหนึ่งตั้งสมการถูกทั้งคู่ ลบถูก เขียน $y=30$ แล้วหยุด จาก 4 คะแนน เขาได้:
   Answer:เฉลย: 3 out of 4.3 จาก 4One value is not the answer: $y=30\ \Rightarrow\ 3\ \text{of}\ 4$   $x=50\ \Rightarrow\ 4\ \text{of}\ 4$ Find the first value, then substitute back for the second, every time.ได้ค่าเดียว ยังไม่ใช่คำตอบ: $y=30\ \Rightarrow\ 3\ \text{of}\ 4$   $x=50\ \Rightarrow\ 4\ \text{of}\ 4$ หาค่าแรกได้แล้ว ต้องแทนกลับหาค่าที่สองเสมอ
3. Exam: At a market, $4$ apples and $3$ mangoes cost $175$ baht. $3$ apples and $5$ mangoes cost $211$ baht.  (5 marks)ข้อสอบ: ที่ตลาด แอปเปิล $4$ ผล กับมะม่วง $3$ ผล ราคา $175$ บาท · แอปเปิล $3$ ผล กับมะม่วง $5$ ผล ราคา $211$ บาท  (5 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $a=22$, $m=29$;  $5(22)+2(29)=110+58=168$ baht5 marks: $\text{M1}\ 4a+3m=175,\ 3a+5m=211$   $\text{M1}\ 12a+9m=525,\ 12a+20m=844$   $\text{M1}\ 11m=319\ \Rightarrow\ m=29,\ a=22$   $\text{M1}\ 5a+2m=5(22)+2(29)$   $\text{A1}\ =110+58=168\ \text{baht}$5 คะแนน: $\text{M1}\ 4a+3m=175,\ 3a+5m=211$   $\text{M1}\ 12a+9m=525,\ 12a+20m=844$   $\text{M1}\ 11m=319\ \Rightarrow\ m=29,\ a=22$   $\text{M1}\ 5a+2m=5(22)+2(29)$   $\text{A1}\ =110+58=168\ \text{baht}$
4. Solve the simultaneous equations  $x=4y+3$  and  $3x+5y=43$.แก้สมการพร้อมกัน  $x=4y+3$  และ  $3x+5y=43$
   Answer:เฉลย: $3(4y+3)+5y=43\Rightarrow 17y=34\Rightarrow y=2$,  $x=4(2)+3=11$The form picks the method: $\text{both}\ ax+by=c\ \Rightarrow\ \text{elimination}$   $\text{a letter alone}\ \Rightarrow\ \text{substitution}$   $3(4y+3)+5y=43$   $17y=34\ \Rightarrow\ y=2,\ x=11$   $3(11)+5(2)=43\ \checkmark$ The parcel goes into the other equation. Its own equation gives $3=3$.หน้าตาของสมการ เลือกวิธีให้เอง: $\text{both}\ ax+by=c\ \Rightarrow\ \text{elimination}$   $\text{a letter alone}\ \Rightarrow\ \text{substitution}$   $3(4y+3)+5y=43$   $17y=34\ \Rightarrow\ y=2,\ x=11$   $3(11)+5(2)=43\ \checkmark$ เอาก้อนไปแทนในสมการอีกอัน · แทนในอันเดิมจะได้ $3=3$ เปล่าๆ

9. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. Solve: $2x+3y=16$ and $3x+2y=14$.
   Answer:เฉลย: $x=2,\;y=4$The main worked example with new numbers: multiply by 3 and by 2, subtract, finish. Proves the whole routine transferred.ข้อตัวอย่างหลักตัวเดิม แค่เปลี่ยนตัวเลข: คูณ 3 คูณ 2 แล้วลบ แล้วปิดให้จบ พิสูจน์ว่าท่าทั้งชุดติดตัวไปแล้ว
2. Solve: $5x+2y=4$ and $3x+4y=1$.
   Answer:เฉลย: $x=1,\;y=-\tfrac12$Same routine, but the answer is a negative fraction. This tests sign discipline, not the concept.ท่าเดิม แต่คำตอบเป็นเศษส่วนติดลบ ข้อนี้ไม่ได้วัดความเข้าใจ วัดวินัยเรื่องเครื่องหมายล้วนๆ
3. Solve: $2p-q=3$ and $3p+q=17$.
   Answer:เฉลย: $p=4,\;q=5$New letters, same idea. Memorising 'x and y' causes hesitation here: it shows who learned the pattern.เปลี่ยนตัวอักษร ความคิดเดิม · ท่องมาว่า ‘x กับ y’ จะลังเลตรงนี้: บอกได้ว่าเรียนรู้แพตเทิร์นหรือไม่
4. The lines $y=2x+1$ and $y=x+4$ cross at point $P$. Find the coordinates of $P$.
   Answer:เฉลย: $P(3,\;7)$It looks like a graphs question, and $y=2x+1$ is back. Both right-hand sides equal $y$, so set them equal.หน้าตาเหมือนโจทย์กราฟ แถม $y=2x+1$ กลับมาอีก · ฝั่งขวาทั้งคู่เท่ากับ $y$ เลยจับมาเท่ากันได้เลย
5. The pair $x=2,\;y=3$ is the solution of both $ax+y=9$ and $x+by=8$. Find $a$ and $b$.
   Answer:เฉลย: $a=3,\;b=2$Given the answer, rebuild the setup. Memorising only the elimination steps cannot start this: the best check here.ให้คำตอบมา แล้วย้อนกลับไปสร้างโจทย์ · ท่องแค่สเต็ปกำจัดตัวแปรจะเริ่มไม่ถูก: ข้อวัดความเข้าใจดีที่สุดในชุด
6. 4 pens and 3 rulers cost 110 baht. 2 pens and 5 rulers cost 90 baht. Find the price of each item.  (4 marks)
   Answer:เฉลย: pen $=20$ baht, ruler $=10$ baht  (M1 equations, M1 eliminate, A1 first value, A1 second value)Like a real exam question: a worded problem, marks stated, translation needed, and both values required.ชุดใหญ่แบบข้อสอบจริง: โจทย์เป็นคำพูด บอกคะแนน ต้องแปลเองและตอบครบสองค่า
7. Solving $4x+3y=24$ and $4x-y=8$, a student subtracts the second from the first and writes $2y=16$, so $y=8$. Find the slip and the correct solution.
   Answer:เฉลย: $3y-(-y)=4y$, not $2y$. Correct: $4y=16 \Rightarrow y=4,\;x=3$Subtracting a negative is where elimination goes wrong most often. Spotting someone else's sign slip is a good last check.ลบพจน์ที่ติดลบคือจุดที่ elimination พลาดบ่อยที่สุด · การจับผิดเครื่องหมายของคนอื่น เป็นการตรวจปิดท้ายที่ดี

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี