Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Direct & Inverse Proportionแปรผันตรงและแปรผกผัน

IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upวอร์มอัพ

  1. $3$ pens cost $12$ baht. What do $5$ pens cost?ปากกา $3$ ด้าม $12$ บาท · $5$ ด้ามราคาเท่าไร?
    Answer:เฉลย: $12\div3=4$ /pen,  $4\times5=20$ bahtYou just did direct proportion: find the one-unit rate, then scale. The whole chapter formalises this instinct.เมื่อกี้คือแปรผันตรงแล้ว: หาอัตราต่อหนึ่งหน่วย แล้วคูณขยาย · ทั้งบทคือการจัดระเบียบสัญชาตญาณนี้
  2. $3$ painters take $6$ days. How long do $6$ painters take (same job, same pace)?ช่างทาสี $3$ คนใช้ $6$ วัน · ถ้า $6$ คนใช้กี่วัน (งานเดิม ฝีมือเท่าเดิม)?
    Answer:เฉลย: $3$ daysวันMore painters, fewer days: inverse: $3\times6=18\ \text{painter-days}$   $18\div6=3\ \text{days}$   $\text{direct: both grow together}$   $\text{inverse: one grows, one shrinks}$ช่างเยอะขึ้น วันน้อยลง = ผกผัน: $3\times6=18\ \text{painter-days}$   $18\div6=3\ \text{days}$   $\text{direct: both grow together}$   $\text{inverse: one grows, one shrinks}$

2. Direct: find k firstแปรผันตรง: หา k ก่อน

$y\propto x$ means $y=kx$ — one constant runs everything.$y\propto x$ คือ $y=kx$ — ค่าคงที่ตัวเดียวคุมทั้งหมด

Proportion questions are two lines longโจทย์แปรผันยาวแค่สองบรรทัด

  1. $y\propto x$$y$ is proportional to $x$ — a statement, not yet something you can compute with.$y$ แปรผันตรงกับ $x$ — เป็นแค่คำบอก ยังคิดเลขไม่ได้
  2. $y=kx$Swap the symbol for an equation. One unknown appears: $k$.เปลี่ยนสัญลักษณ์เป็นสมการ · โผล่ตัวไม่รู้ค่ามาหนึ่งตัวคือ $k$
  3. $12=k(4)$Divide both sides by $4$ to get $k$.หาร $4$ ทั้งสองข้างเพื่อหา $k$
  4. $k=3$$k$ is found. It never changes again in this question.ได้ $k$ แล้ว · ค่านี้จะไม่เปลี่ยนอีกตลอดทั้งข้อ
  5. $y=3x$Now the formula is complete.ตอนนี้สูตรครบแล้ว
  6. $y=3(10)=30$Line 2 — use it on the new $x$. Every proportion question is these two lines.บรรทัดที่ 2 — เอาไปใช้กับ $x$ ตัวใหม่ · โจทย์แปรผันทุกข้อคือสองบรรทัดนี้
  1. $y$ is directly proportional to $x$, and $y=12$ when $x=3$. Find $k$ in $y=kx$.$y$ แปรผันตรงกับ $x$ โดย $y=12$ เมื่อ $x=3$ · หา $k$ ใน $y=kx$
    Answer:เฉลย: $k=12\div3=4$Line 1 done: the relationship is $y=4x$, forever. $k$ is the 'price per pen' from the warm-up wearing algebra.บรรทัดแรกเสร็จ: ความสัมพันธ์คือ $y=4x$ ตลอดไป · $k$ ก็คือ 'ราคาต่อด้าม' จากวอร์มอัพในชุดพีชคณิต
  2. Same relationship ($y=4x$). Find $y$ when $x=5$, and find $x$ when $y=32$.ความสัมพันธ์เดิม ($y=4x$) · หา $y$ เมื่อ $x=5$ และหา $x$ เมื่อ $y=32$
    Answer:เฉลย: $y=20$;  $x=32\div4=8$Line 2 in both directions. Once $k$ is pinned, the relationship answers every question about the pair.บรรทัดสองใช้ได้สองทิศ · ตรึง $k$ ได้เมื่อไร ความสัมพันธ์ตอบได้ทุกคำถาม

3. Direct with powersแปรผันตรงกับกำลัง

$y\propto x^{2}$: same two lines, squared input.$y\propto x^{2}$: สองบรรทัดเดิม แค่ป้อนกำลังสอง

  1. $y\propto x^{2}$, and $y=18$ when $x=3$. Find $y$ when $x=5$.$y\propto x^{2}$ โดย $y=18$ เมื่อ $x=3$ · หา $y$ เมื่อ $x=5$
    Answer:เฉลย: $k=18\div9=2$,  $y=2\times25=50$Only line 1 changes: $y=kx^{2}$   $k=18\div3^{2}=2$   $y=2\times5^{2}=50$ Read the words: 'proportional to the square of $x$' sets line 1.เปลี่ยนแค่บรรทัดแรก: $y=kx^{2}$   $k=18\div3^{2}=2$   $y=2\times5^{2}=50$ อ่านโจทย์ให้ดี — 'แปรผันตามกำลังสองของ $x$' คือบรรทัดแรก
  2. $y\propto x^{2}$. If $x$ is doubled, $y$ is …?$y\propto x^{2}$ · ถ้า $x$ เพิ่มเป็นสองเท่า $y$ จะ…?
    Answer:เฉลย: $\times4$Double $x$, quadruple $y$: $(2x)^{2}=4x^{2}$   $\times2\ \Rightarrow\ \times4$   $\times3\ \Rightarrow\ \times9$ Factor-thinking answers these with no $k$ at all.$x$ เป็นสองเท่า $y$ เป็นสี่เท่า: $(2x)^{2}=4x^{2}$   $\times2\ \Rightarrow\ \times4$   $\times3\ \Rightarrow\ \times9$ คิดเป็นตัวคูณ ไม่ต้องหา $k$ เลย

4. Inverse: the product stays putแปรผกผัน: ผลคูณอยู่กับที่

$y\propto\tfrac1x$ means $xy=k$ — one grows, the other shrinks.$y\propto\tfrac1x$ คือ $xy=k$ — ตัวหนึ่งโต อีกตัวหด

  1. $y$ is inversely proportional to $x$. If $x$ doubles, $y$ …?$y$ แปรผกผันกับ $x$ · ถ้า $x$ เพิ่มสองเท่า $y$ จะ…?
    Answer:เฉลย: Halvesลดลงครึ่งหนึ่งThe product $xy$ stays fixed: $y=\dfrac{k}{x}$   $xy=k$   $\text{painters}\times\text{days}=\text{total work}=k$ผลคูณ $xy$ คงที่: $y=\dfrac{k}{x}$   $xy=k$   $\text{painters}\times\text{days}=\text{total work}=k$
  2. $y\propto\dfrac1x$, and $y=6$ when $x=4$. Find $y$ when $x=8$.$y\propto\dfrac1x$ โดย $y=6$ เมื่อ $x=4$ · หา $y$ เมื่อ $x=8$
    Answer:เฉลย: $k=6\times4=24$,  $y=24\div8=3$Inverse: multiply the pair for $k$: $k=6\times4=24$   $y=24\div8=3$   $x\ \text{up},\ \ y\ \text{down}$ผกผัน: หา $k$ ด้วยการคูณ: $k=6\times4=24$   $y=24\div8=3$   $x\ \text{up},\ \ y\ \text{down}$

5. Exam formฟอร์มข้อสอบ

Words → equation → k → answer, for marks.คำพูด → สมการ → k → คำตอบ เก็บคะแนนเป็นขั้น

  1. '$y$ is inversely proportional to the square of $x$.' Which equation starts the working?'$y$ แปรผกผันกับกำลังสองของ $x$' · เริ่มทำด้วยสมการไหน?
    Answer:เฉลย: $y=\dfrac{k}{x^{2}}$The first mark of every proportion question is this translation line. Write it before touching any numbers.คะแนนแรกของโจทย์แปรผันทุกข้อคือบรรทัดแปลภาษานี้ · เขียนก่อนแตะตัวเลขเสมอ
  2. Exam: $y$ is inversely proportional to the square of $x$, and $y=2$ when $x=3$. Find $y$ when $x=1.5$. (4 marks)ข้อสอบ: $y$ แปรผกผันกับกำลังสองของ $x$ โดย $y=2$ เมื่อ $x=3$ · หา $y$ เมื่อ $x=1.5$ (4 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $y=\tfrac{k}{x^{2}}$: $k=2\times9=18$;  $y=18\div1.5^{2}=18\div2.25=8$4 marks: $\text{M1}\ \ y=\dfrac{k}{x^{2}}$   $\text{M2}\ \ k=2\times3^{2}=18$   $\text{M3}\ \ y=\dfrac{18}{1.5^{2}}=\dfrac{18}{2.25}$   $\text{A1}\ \ y=8$ Sanity check: $x$ shrank, so $y$ must grow.4 คะแนน: $\text{M1}\ \ y=\dfrac{k}{x^{2}}$   $\text{M2}\ \ k=2\times3^{2}=18$   $\text{M3}\ \ y=\dfrac{18}{1.5^{2}}=\dfrac{18}{2.25}$   $\text{A1}\ \ y=8$ เช็ค: $x$ เล็กลง $y$ ต้องโตขึ้น
  3. Exam: $y$ is inversely proportional to the square of $x$. When $x=4$, $y=3$. Find both values of $x$ for which $y=12$.  (5 marks)ข้อสอบ: $y$ แปรผกผันกับกำลังสองของ $x$ · เมื่อ $x=4$ ได้ $y=3$ · หาค่า $x$ ทั้งสองค่า ที่ทำให้ $y=12$  (5 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $k=48$,  $x^{2}=4$,  $x=2$ or $x=-2$5 marks: $\text{M1}\ \ y=\dfrac{k}{x^{2}}$   $\text{M2}\ \ k=3\times4^{2}=48$   $\text{M3}\ \ 12=\dfrac{48}{x^{2}}$   $\text{M4}\ \ x^{2}=4$   $\text{A1}\ \ x=2\ \text{ or }\ x=-2$ The last mark needs both roots — square-rooting always gives $\pm$.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ y=\dfrac{k}{x^{2}}$   $\text{M2}\ \ k=3\times4^{2}=48$   $\text{M3}\ \ 12=\dfrac{48}{x^{2}}$   $\text{M4}\ \ x^{2}=4$   $\text{A1}\ \ x=2\ \text{ or }\ x=-2$ คะแนนสุดท้ายต้องตอบสองค่า — ถอดรากได้ $\pm$ เสมอ
  4. $6$ identical machines fill a tank in $14$ hours. Every machine works at the same rate. Find how long $4$ of these machines take to fill the same tank.เครื่องจักรเหมือนกัน $6$ เครื่อง เติมน้ำเต็มถังใน $14$ ชั่วโมง · ทุกเครื่องทำงานอัตราเท่ากัน · ถ้าใช้ $4$ เครื่อง จะใช้เวลากี่ชั่วโมงกับถังใบเดิม
    Answer:เฉลย: $k=6\times14=84$ machine-hours,  $84\div4=21$ hoursFewer machines, more time: inverse: $\text{direct: more}\to\text{more},\ \ k=y\div x$   $\text{inverse: more}\to\text{less},\ \ k=xy$   $k=6\times14=84\ \text{machine-hours}$   $84\div4=21\ \text{hours}$   $21\gt 14\ \ \text{(fewer machines, longer)}$ Check the size of the answer before writing it — it catches the wrong method.เครื่องน้อยลง เวลามากขึ้น = ผกผัน: $\text{direct: more}\to\text{more},\ \ k=y\div x$   $\text{inverse: more}\to\text{less},\ \ k=xy$   $k=6\times14=84\ \text{machine-hours}$   $84\div4=21\ \text{hours}$   $21\gt 14\ \ \text{(fewer machines, longer)}$ ดูขนาดคำตอบก่อนเขียน — จับวิธีผิดได้เร็วที่สุด

6. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. $y\propto x$ and $y=20$ when $x=4$. Find $y$ when $x=7$.Two lines: find $k$, use $k$.สองบรรทัด: หา $k$ ใช้ $k$
  2. $y\propto x$ and $y=7$ when $x=4$. Find $y$ when $x=10$.A decimal $k$ tests the recipe, not new ideas.$k$ ทศนิยมวัดความแม่นของสูตร ไม่ใช่ไอเดียใหม่
  3. The cost of a circular pizza is proportional to the square of its radius. A $10$-inch pizza costs $180$ baht. What should a $15$-inch cost?A real object carrying $x^{2}$ — and the factor shortcut from level 2 gets there faster.ของจริงที่พก $x^{2}$ มาด้วย — ทางลัดแฟกเตอร์จากขั้นที่ 2ถึงเร็วกว่า
  4. $y\propto\dfrac1x$ and $y=12$ when $x=2$. Sketch-level: what happens to $y$ as $x\to$ very large, and which graph family is this?Proportion and the graph families are the same objects — $k/x$ IS the reciprocal curve.การแปรผันกับครอบครัวกราฟคือของชิ้นเดียวกัน — $k/x$ ก็คือกราฟส่วนกลับ
  5. $y=kx^{2}$ and $y=45$ when $x=3$. For what $x>0$ is $y=125$?Solving for the input — the un-squaring move from Rearranging.ย้อนหาอินพุต — ท่าถอดกำลังสองจากเรื่องย้ายข้างสูตร
  6. $p$ is inversely proportional to $\sqrt{q}$, and $p=8$ when $q=9$. Find $p$ when $q=36$. (4 marks)New letters, new power, same two lines — the exam's favourite variation.ตัวแปรใหม่ กำลังใหม่ สองบรรทัดเดิม — เวอร์ชันโปรดของข้อสอบ
  7. For inverse proportion, a student writes $k=y\div x$. What should it be, and how can you remember?The one place the two halves of the chapter collide — name the difference out loud once and it stays.จุดเดียวที่สองครึ่งของบทชนกัน — พูดความต่างออกเสียงหนึ่งครั้งแล้วมันจะติด

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี