Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ
Direct & Inverse Proportionแปรผันตรงและแปรผกผัน
IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ
1. Warm-upวอร์มอัพ
- $3$ pens cost $12$ baht. What do $5$ pens cost?ปากกา $3$ ด้าม $12$ บาท · $5$ ด้ามราคาเท่าไร?
Answer:เฉลย: $12\div3=4$ /pen, $4\times5=20$ bahtThat is direct proportion: find the one-unit rate, then scale up. This chapter teaches the method with algebra.นี่คือแปรผันตรง: หาอัตราต่อหนึ่งหน่วย แล้วคูณขยาย · บทนี้สอนวิธีนี้ด้วยพีชคณิต
- $3$ painters take $6$ days. How long do $6$ painters take (same job, same pace)?ช่างทาสี $3$ คนใช้ $6$ วัน · ถ้า $6$ คนใช้กี่วัน (งานเดิม ฝีมือเท่าเดิม)?
Answer:เฉลย: $3$ daysวันMore painters, fewer days: inverse: $3\times6=18\ \text{painter-days}$ $18\div6=3\ \text{days}$ $\text{direct: both grow together}$ $\text{inverse: one grows, one shrinks}$ช่างเยอะขึ้น วันน้อยลง = ผกผัน: $3\times6=18\ \text{painter-days}$ $18\div6=3\ \text{days}$ $\text{direct: both grow together}$ $\text{inverse: one grows, one shrinks}$
2. Direct: find k firstแปรผันตรง: หา k ก่อน
$y\propto x$ means $y=kx$. The same constant works for every pair.$y\propto x$ คือ $y=kx$ · ค่าคงที่ตัวเดียวใช้ได้กับทุกคู่
Proportion questions are two lines longโจทย์แปรผันยาวแค่สองบรรทัด
- $y\propto x$$y$ is proportional to $x$. You cannot calculate with this yet.$y$ แปรผันตรงกับ $x$ · ยังคำนวณไม่ได้
- $y=kx$Swap the symbol for an equation. One unknown appears: $k$.เปลี่ยนสัญลักษณ์เป็นสมการ · โผล่ตัวไม่รู้ค่ามาหนึ่งตัวคือ $k$
- $12=k(4)$Substitute the given pair. Divide both sides by $4$.แทนคู่ที่โจทย์ให้ · หาร $4$ ทั้งสองข้าง
- $k=3$$k$ is found. It never changes again in this question.ได้ $k$ แล้ว · ค่านี้จะไม่เปลี่ยนอีกตลอดทั้งข้อ
- $y=3x$Now the formula is complete.ตอนนี้สูตรครบแล้ว
- $y=3(10)=30$Line 2: use $k$ on the new $x$.บรรทัดที่ 2: ใช้ $k$ กับ $x$ ตัวใหม่
- $y$ is directly proportional to $x$, and $y=12$ when $x=3$. Find $k$ in $y=kx$.$y$ แปรผันตรงกับ $x$ โดย $y=12$ เมื่อ $x=3$ · หา $k$ ใน $y=kx$
Answer:เฉลย: $k=12\div3=4$Line 1 done: the relationship is $y=4x$, forever. $k$ is the 'price per pen' from the warm-up wearing algebra.บรรทัดแรกเสร็จ: ความสัมพันธ์คือ $y=4x$ ตลอดไป · $k$ ก็คือ 'ราคาต่อด้าม' จากวอร์มอัพในชุดพีชคณิต
- Same relationship ($y=4x$). Find $y$ when $x=5$, and find $x$ when $y=32$.ความสัมพันธ์เดิม ($y=4x$) · หา $y$ เมื่อ $x=5$ และหา $x$ เมื่อ $y=32$
Answer:เฉลย: $y=20$; $x=32\div4=8$Line 2 in both directions. Once $k$ is pinned, the relationship answers every question about the pair.บรรทัดสองใช้ได้สองทิศ · ตรึง $k$ ได้เมื่อไร ความสัมพันธ์ตอบได้ทุกคำถาม
3. Direct with powersแปรผันตรงกับกำลัง
$y\propto x^{2}$: same two lines, squared input.$y\propto x^{2}$: สองบรรทัดเดิม แค่ป้อนกำลังสอง
- $y\propto x^{2}$, and $y=18$ when $x=3$. Find $y$ when $x=5$.$y\propto x^{2}$ โดย $y=18$ เมื่อ $x=3$ · หา $y$ เมื่อ $x=5$
Answer:เฉลย: $k=18\div9=2$, $y=2\times25=50$Only line 1 changes: $y=kx^{2}$ $k=18\div3^{2}=2$ $y=2\times5^{2}=50$ Read the words: 'proportional to the square of $x$' sets line 1.เปลี่ยนแค่บรรทัดแรก: $y=kx^{2}$ $k=18\div3^{2}=2$ $y=2\times5^{2}=50$ อ่านโจทย์ให้ดี — 'แปรผันตามกำลังสองของ $x$' คือบรรทัดแรก
- $y\propto x^{2}$. If $x$ is doubled, $y$ is …?$y\propto x^{2}$ · ถ้า $x$ เพิ่มเป็นสองเท่า $y$ จะ…?
Answer:เฉลย: $\times4$Double $x$, quadruple $y$: $(2x)^{2}=4x^{2}$ $\times2\ \Rightarrow\ \times4$ $\times3\ \Rightarrow\ \times9$ Factor-thinking answers these with no $k$ at all.$x$ เป็นสองเท่า $y$ เป็นสี่เท่า: $(2x)^{2}=4x^{2}$ $\times2\ \Rightarrow\ \times4$ $\times3\ \Rightarrow\ \times9$ คิดเป็นตัวคูณ ไม่ต้องหา $k$ เลย
4. Inverse: the product stays putแปรผกผัน: ผลคูณอยู่กับที่
$y\propto\tfrac1x$ means $xy=k$. One grows, the other shrinks.$y\propto\tfrac1x$ คือ $xy=k$ · ตัวหนึ่งโต อีกตัวหด
- $y$ is inversely proportional to $x$. If $x$ doubles, $y$ …?$y$ แปรผกผันกับ $x$ · ถ้า $x$ เพิ่มสองเท่า $y$ จะ…?
Answer:เฉลย: Halvesลดลงครึ่งหนึ่งThe product $xy$ stays fixed: $y=\dfrac{k}{x}$ $xy=k$ $\text{painters}\times\text{days}=\text{total work}=k$ผลคูณ $xy$ คงที่: $y=\dfrac{k}{x}$ $xy=k$ $\text{painters}\times\text{days}=\text{total work}=k$
- $y\propto\dfrac1x$, and $y=6$ when $x=4$. Find $y$ when $x=8$.$y\propto\dfrac1x$ โดย $y=6$ เมื่อ $x=4$ · หา $y$ เมื่อ $x=8$
Answer:เฉลย: $k=6\times4=24$, $y=24\div8=3$Inverse: multiply the pair for $k$: $k=6\times4=24$ $y=24\div8=3$ $x\ \text{up},\ \ y\ \text{down}$ผกผัน: หา $k$ ด้วยการคูณ: $k=6\times4=24$ $y=24\div8=3$ $x\ \text{up},\ \ y\ \text{down}$
5. Exam formฟอร์มข้อสอบ
Words → equation → k → answer, for marks.คำพูด → สมการ → k → คำตอบ เก็บคะแนนเป็นขั้น
- '$y$ is inversely proportional to the square of $x$.' Which equation starts the working?'$y$ แปรผกผันกับกำลังสองของ $x$' · เริ่มทำด้วยสมการไหน?
Answer:เฉลย: $y=\dfrac{k}{x^{2}}$The first mark of every proportion question is this translation line. Write it before touching any numbers.คะแนนแรกของโจทย์แปรผันทุกข้อคือบรรทัดแปลภาษานี้ · เขียนก่อนแตะตัวเลขเสมอ
- Exam: $y$ is inversely proportional to the square of $x$, and $y=2$ when $x=3$. Find $y$ when $x=1.5$. (4 marks)ข้อสอบ: $y$ แปรผกผันกับกำลังสองของ $x$ โดย $y=2$ เมื่อ $x=3$ · หา $y$ เมื่อ $x=1.5$ (4 คะแนน)
Answer:เฉลย: $y=\tfrac{k}{x^{2}}$: $k=2\times9=18$; $y=18\div1.5^{2}=18\div2.25=8$4 marks: $\text{M1}\ \ y=\dfrac{k}{x^{2}}$ $\text{M2}\ \ k=2\times3^{2}=18$ $\text{M3}\ \ y=\dfrac{18}{1.5^{2}}=\dfrac{18}{2.25}$ $\text{A1}\ \ y=8$ Check: $x$ shrank, so $y$ must grow.4 คะแนน: $\text{M1}\ \ y=\dfrac{k}{x^{2}}$ $\text{M2}\ \ k=2\times3^{2}=18$ $\text{M3}\ \ y=\dfrac{18}{1.5^{2}}=\dfrac{18}{2.25}$ $\text{A1}\ \ y=8$ ตรวจ: $x$ เล็กลง $y$ ต้องโตขึ้น
- Exam: $y$ is inversely proportional to the square of $x$. When $x=4$, $y=3$. Find both values of $x$ for which $y=12$. (5 marks)ข้อสอบ: $y$ แปรผกผันกับกำลังสองของ $x$ · เมื่อ $x=4$ ได้ $y=3$ · หาค่า $x$ ทั้งสองค่า ที่ทำให้ $y=12$ (5 คะแนน)
Answer:เฉลย: $k=48$, $x^{2}=4$, $x=2$ or $x=-2$5 marks: $\text{M1}\ \ y=\dfrac{k}{x^{2}}$ $\text{M2}\ \ k=3\times4^{2}=48$ $\text{M3}\ \ 12=\dfrac{48}{x^{2}}$ $\text{M4}\ \ x^{2}=4$ $\text{A1}\ \ x=2\ \text{ or }\ x=-2$ The last mark needs both roots. Square-rooting always gives $\pm$.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ y=\dfrac{k}{x^{2}}$ $\text{M2}\ \ k=3\times4^{2}=48$ $\text{M3}\ \ 12=\dfrac{48}{x^{2}}$ $\text{M4}\ \ x^{2}=4$ $\text{A1}\ \ x=2\ \text{ or }\ x=-2$ คะแนนสุดท้ายต้องตอบสองค่า · ถอดรากได้ $\pm$ เสมอ
- $6$ identical machines fill a tank in $14$ hours. Every machine works at the same rate. Find how long $4$ of these machines take to fill the same tank.เครื่องจักรเหมือนกัน $6$ เครื่อง เติมน้ำเต็มถังใน $14$ ชั่วโมง · ทุกเครื่องทำงานอัตราเท่ากัน · ถ้าใช้ $4$ เครื่อง จะใช้เวลากี่ชั่วโมงกับถังใบเดิม
Answer:เฉลย: $k=6\times14=84$ machine-hours, $84\div4=21$ hoursFewer machines, more time: inverse: $\text{direct: more}\to\text{more},\ \ k=y\div x$ $\text{inverse: more}\to\text{less},\ \ k=xy$ $k=6\times14=84\ \text{machine-hours}$ $84\div4=21\ \text{hours}$ $21\gt 14\ \ \text{(fewer machines, longer)}$ Check the size of the answer before you write it. It finds a wrong method.เครื่องน้อยลง เวลามากขึ้น = ผกผัน: $\text{direct: more}\to\text{more},\ \ k=y\div x$ $\text{inverse: more}\to\text{less},\ \ k=xy$ $k=6\times14=84\ \text{machine-hours}$ $84\div4=21\ \text{hours}$ $21\gt 14\ \ \text{(fewer machines, longer)}$ ดูขนาดคำตอบก่อนเขียน · จับวิธีผิดได้เร็วที่สุด
6. Exercise setชุดโจทย์
The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว
- $y\propto x$ and $y=20$ when $x=4$. Find $y$ when $x=7$.
Answer:เฉลย: $k=5$, $y=35$Two lines: find $k$, use $k$.สองบรรทัด: หา $k$ ใช้ $k$
- $y\propto x$ and $y=7$ when $x=4$. Find $y$ when $x=10$.
Answer:เฉลย: $k=1.75$, $y=17.5$A decimal $k$ tests the recipe, not new ideas.$k$ ทศนิยมวัดความแม่นของสูตร ไม่ใช่ไอเดียใหม่
- The cost of a circular pizza is proportional to the square of its radius. A $10$-inch pizza costs $180$ baht. What should a $15$-inch cost?
Answer:เฉลย: $k=1.8$, cost $=1.8\times225=405$ baht — or factor route: $\times1.5^{2}=\times2.25$A real object with $x^{2}$. The factor shortcut from level 2 gets there faster.ของจริงที่มี $x^{2}$ ด้วย · ทางลัดแฟกเตอร์จากขั้นที่ 2 ทำให้ถึงคำตอบเร็วกว่า
- $y\propto\dfrac1x$ and $y=12$ when $x=2$. Sketch-level: what happens to $y$ as $x\to$ very large, and which graph family is this?
Answer:เฉลย: $y=\tfrac{24}{x}$ — $y\to0$; the reciprocal two-branch graph from Curved Graphs.Proportion and the graph families are the same thing. $k/x$ is the reciprocal curve.การแปรผันกับครอบครัวกราฟคือของชิ้นเดียวกัน · $k/x$ ก็คือกราฟส่วนกลับ
- $y=kx^{2}$ and $y=45$ when $x=3$. For what $x>0$ is $y=125$?
Answer:เฉลย: $k=5$; $5x^{2}=125 \Rightarrow x^{2}=25 \Rightarrow x=5$Solve for the input: use the un-squaring step from Rearranging.ย้อนหาอินพุต: ใช้ท่าถอดกำลังสองจากเรื่องย้ายข้างสูตร
- $p$ is inversely proportional to $\sqrt{q}$, and $p=8$ when $q=9$. Find $p$ when $q=36$. (4 marks)
Answer:เฉลย: $p=\tfrac{k}{\sqrt q}$: $k=8\times3=24$; $p=24\div6=4$New letters, new power, same two lines. The exam often uses this variation.ตัวแปรใหม่ กำลังใหม่ สองบรรทัดเดิม · ข้อสอบชอบใช้แบบนี้บ่อย
- For inverse proportion, a student writes $k=y\div x$. What should it be, and how can you remember?
Answer:เฉลย: $k=x\times y$ — inverse keeps the product constant (crew $\times$ days). $y\div x$ is the direct-proportion line.This is where the two halves of the chapter meet. Say the difference aloud once to remember it.จุดที่สองครึ่งของบทมาเจอกัน · พูดความต่างออกเสียงหนึ่งครั้งจะจำได้
All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี