Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ
Differentiation (Intro)อนุพันธ์เบื้องต้น
IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ
1. Warm-upวอร์มอัพ
- What is the gradient of the line $y=3x+2$?ความชันของเส้น $y=3x+2$ คือ?
Answer:เฉลย: $3$A line has one gradient: $y=3x+2\ \Rightarrow\ m=3$ $\text{line: one }m\text{ everywhere}$ $\text{curve: }m\text{ changes with }x$เส้นตรงมีความชันค่าเดียว: $y=3x+2\ \Rightarrow\ m=3$ $\text{line: one }m\text{ everywhere}$ $\text{curve: }m\text{ changes with }x$
- The gradient of a curve at a point $P$ is the gradient of the _______ drawn at $P$.ความชันของเส้นโค้งที่จุด $P$ คือความชันของ_______ที่ลากแตะตรง $P$
Answer:เฉลย: tangentเส้นสัมผัส (tangent)Tangent gradient, now exact: $\text{last lesson: draw, then measure}$ $\text{today: }\dfrac{dy}{dx}\text{ computes it}$ความชันเส้นสัมผัส แต่คิดได้แม่นยำ: $\text{last lesson: draw, then measure}$ $\text{today: }\dfrac{dy}{dx}\text{ computes it}$
2. The gradient machineเครื่องผลิตความชัน
$x^{n}\to nx^{n-1}$: bring the power down, drop it by one.$x^{n}\to nx^{n-1}$ · ดึงกำลังลงมาคูณ แล้วลดกำลังหนึ่ง
From curve to gradient formulaจากเส้นโค้ง สู่สูตรความชัน
- $y=x^{n}$Any power of $x$.$x$ ยกกำลังอะไรก็ได้
- $\frac{dy}{dx}=nx^{n-1}$The power comes down as a multiplier.กำลังลงมาเป็นตัวคูณ
- $\frac{dy}{dx}=nx^{n-1}$Then the power itself drops by one.แล้วกำลังลดลงหนึ่ง
- $y=x^{3}$Try it on a real one: $3$ comes down, $3-1=2$.ลองกับของจริง: $3$ ลงมา แล้ว $3-1=2$
- $\frac{dy}{dx}=3x^{2}$Power to the front, then one off the power.เอากำลังลงมาข้างหน้า แล้วลดกำลังลงหนึ่ง
- $y=x^{3}$. Write down $\dfrac{dy}{dx}$. (Type like 3x^2.)$y=x^{3}$ · เขียน $\dfrac{dy}{dx}$ (พิมพ์แบบ 3x^2)
Answer:เฉลย: $3x^{2}$Two motions, always in this order: multiply by the power, then subtract one from it.สองจังหวะ เรียงแบบนี้เสมอ: คูณด้วยกำลังก่อน แล้วค่อยลบกำลังหนึ่ง
- $y=5x^{2}$. Find $\dfrac{dy}{dx}$.$y=5x^{2}$ · หา $\dfrac{dy}{dx}$
Answer:เฉลย: $10x$Coefficients ride along: $5\cdot(2x)=10x$. Each term is handled on its own.สัมประสิทธิ์นั่งรถตามมา: $5\cdot(2x)=10x$ · แต่ละพจน์จัดการแยกกันเอง
- $y=7$ (a number alone). What is $\dfrac{dy}{dx}$?$y=7$ (ตัวเลขโดดๆ) · $\dfrac{dy}{dx}$ คือ?
Answer:เฉลย: $0$Constants vanish, and $x$ alone becomes $1$. Say these two special cases aloud once.ค่าคงที่หายไป และ $x$ โดดๆ กลายเป็น $1$ · สองกรณีพิเศษที่ควรพูดออกเสียงสักหนึ่งรอบ
3. Gradient at a pointความชันตรงจุดที่ต้องการ
Differentiate once, then feed in the $x$.ดิฟครั้งเดียว แล้วป้อนค่า $x$
- $y=x^{2}-3x$. Find the gradient of the curve at $x=4$.$y=x^{2}-3x$ · หาความชันของเส้นโค้งที่ $x=4$
Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=2x-3$; at $x=4$: $2(4)-3=5$Two substitutions: $y$ gives height, $\dfrac{dy}{dx}$ gives gradient. The exam asks for one. Students often give the other.การแทนค่ามีสองแบบ: แทนใน $y$ ได้ความสูง แทนใน $\dfrac{dy}{dx}$ ได้ความชัน · ข้อสอบชอบถามอย่างหนึ่งแล้วรับอีกอย่างมาหักคะแนน
- $y=x^{2}-6x$. At which $x$ is the gradient zero?$y=x^{2}-6x$ · ความชันเป็นศูนย์ที่ $x$ เท่าไร?
Answer:เฉลย: $2x-6=0 \Rightarrow x=3$Zero gradient = turning point: $\dfrac{dy}{dx}=0\ \Rightarrow\ \text{flat tangent}$ $\text{flat tangent}\ \Rightarrow\ \text{turning point}$ $2x-6=0\ \Rightarrow\ x=3$ความชันเป็นศูนย์ = จุดวกกลับ: $\dfrac{dy}{dx}=0\ \Rightarrow\ \text{flat tangent}$ $\text{flat tangent}\ \Rightarrow\ \text{turning point}$ $2x-6=0\ \Rightarrow\ x=3$
4. Turning pointsจุดวกกลับ
Set $\dfrac{dy}{dx}=0$, solve, find $y$, then name min or max.$\dfrac{dy}{dx}=0$ แก้สมการ หาค่า $y$ · แล้วบอกว่าต่ำสุดหรือสูงสุด
- $y=x^{2}-8x+3$. Find the turning point (as $x,y$).$y=x^{2}-8x+3$ · หาจุดวกกลับ (ตอบเป็น $x,y$)
Answer:เฉลย: $2x-8=0\Rightarrow x=4$; $y=16-32+3=-13$ — $(4,-13)$Same vertex, two roads: $\text{square: }(x-4)^{2}-13$ $\text{calculus: }2x-8=0\ \Rightarrow\ x=4$ $y=16-32+3=-13$ Calculus is the road that also works for cubics.จุดยอดเดียวกัน มาได้สองทาง: $\text{square: }(x-4)^{2}-13$ $\text{calculus: }2x-8=0\ \Rightarrow\ x=4$ $y=16-32+3=-13$ ทางแคลคูลัส ใช้กับกำลังสามได้ด้วย
- Is $(4,-13)$ a minimum or a maximum of $y=x^{2}-8x+3$? What is the fastest way to know?$(4,-13)$ เป็นจุดต่ำสุดหรือสูงสุดของ $y=x^{2}-8x+3$ · รู้ได้เร็วที่สุดยังไง?
Answer:เฉลย: Minimumจุดต่ำสุดFor quadratics the shape decides instantly. For cubics (next level) you check the curve's behaviour around each point instead.กับกำลังสอง รูปทรงตัดสินได้ทันที · กับกำลังสาม (ขั้นถัดไป) ต้องดูพฤติกรรมเส้นโค้งรอบๆ จุดแทน
5. Exam form: the cubicฟอร์มข้อสอบ: กำลังสาม
Two turning points: find them and name them. No graph is given.จุดวกกลับสองจุด หาเจอและเรียกชื่อถูก · โดยไม่มีกราฟให้
- Exam: $y=x^{3}-12x$. Find the $x$-coordinates of both turning points. (3 marks)ข้อสอบ: $y=x^{3}-12x$ · หาพิกัด $x$ ของจุดวกกลับทั้งสอง (3 คะแนน)
Answer:เฉลย: $3x^{2}-12=0 \Rightarrow x^{2}=4 \Rightarrow x=\pm2$3 marks: $\text{M1}\quad \dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-12$ $\text{M2}\quad 3x^{2}-12=0$ $\text{A1}\quad x^{2}=4\ \Rightarrow\ x=\pm 2$ A cubic turns twice, so both roots are needed.3 คะแนน: $\text{M1}\quad \dfrac{dy}{dx}=3x^{2}-12$ $\text{M2}\quad 3x^{2}-12=0$ $\text{A1}\quad x^{2}=4\ \Rightarrow\ x=\pm 2$ กราฟกำลังสามวกสองครั้ง ต้องตอบทั้งสองราก
- Same curve: the turning points are $(2,-16)$ and $(-2,16)$. Which is the maximum?เส้นเดิม: จุดวกกลับคือ $(2,-16)$ กับ $(-2,16)$ · จุดไหนคือจุดสูงสุด (แบบท้องถิ่น)?
Answer:เฉลย: $(-2,16)$Differentiate, set to zero, solve, substitute, then decide maximum or minimum. That chain is a standard 5–6 mark Extended question.ดิฟ · จับให้เท่ากับศูนย์ · แก้ · แทนกลับ · แล้วดูว่าสูงสุดหรือต่ำสุด · เชนนี้คือข้อ 5–6 คะแนนมาตรฐานของ Extended
- Exam: The curve $y=x^{3}+ax^{2}+9x$ has a turning point at $x=3$. Find the $y$-coordinate of its other turning point. (5 marks)ข้อสอบ: กราฟ $y=x^{3}+ax^{2}+9x$ มีจุดวกกลับที่ $x=3$ · หาค่า $y$ ของจุดวกกลับ อีกจุดหนึ่ง (5 คะแนน)
Answer:เฉลย: $y=4$ (the other turning point is $(1,4)$)5 marks: $\text{M1}\quad \dfrac{dy}{dx}=3x^{2}+2ax+9$ $\text{M2}\quad 27+6a+9=0$ $\text{M3}\quad a=-6\ \Rightarrow\ y=x^{3}-6x^{2}+9x$ $\text{M4}\quad x^{2}-4x+3=0\ \Rightarrow\ x=1,\ 3$ $\text{A1}\quad y=1-6+9=4$ The question asks for $y$, so substitute back into the curve.5 คะแนน: $\text{M1}\quad \dfrac{dy}{dx}=3x^{2}+2ax+9$ $\text{M2}\quad 27+6a+9=0$ $\text{M3}\quad a=-6\ \Rightarrow\ y=x^{3}-6x^{2}+9x$ $\text{M4}\quad x^{2}-4x+3=0\ \Rightarrow\ x=1,\ 3$ $\text{A1}\quad y=1-6+9=4$ โจทย์ถาม $y$ ต้องแทนกลับเข้าสมการเส้นโค้ง
- $y=x^{2}-7x+2$. The gradient of the curve is $3$. Find the value of $x$ there.$y=x^{2}-7x+2$ · ความชันของกราฟเท่ากับ $3$ · หาค่า $x$ ตรงจุดนั้น
Answer:เฉลย: $2x-7=3\Rightarrow x=5$Read where the $3$ goes: $\text{at }x=3\ \Rightarrow\ \dfrac{dy}{dx}\text{ at }3$ $\text{gradient is }3\ \Rightarrow\ \dfrac{dy}{dx}=3$ $\text{turning point}\ \Rightarrow\ \dfrac{dy}{dx}=0$ $2x-7=3\ \Rightarrow\ x=5$ A number put in evaluates; a number on the right solves.ดูว่าเลข $3$ ไปอยู่ตรงไหน: $\text{at }x=3\ \Rightarrow\ \dfrac{dy}{dx}\text{ at }3$ $\text{gradient is }3\ \Rightarrow\ \dfrac{dy}{dx}=3$ $\text{turning point}\ \Rightarrow\ \dfrac{dy}{dx}=0$ $2x-7=3\ \Rightarrow\ x=5$ เลขที่ใส่เข้าไปคือแทนค่า เลขที่อยู่อีกฝั่งคือแก้สมการ
6. Exercise setชุดโจทย์
The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว
- $y=x^{5}$: find $\dfrac{dy}{dx}$.
Answer:เฉลย: $5x^{4}$Power down, power minus one.กำลังลงหน้า กำลังลบหนึ่ง
- $y=4x^{3}-6x^{2}+x-9$: find $\dfrac{dy}{dx}$.
Answer:เฉลย: $12x^{2}-12x+1$Four terms and every rule at once, including the constant that vanishes.สี่พจน์ ใช้ครบทุกกฎ · รวมค่าคงที่ที่ต้องหายไป
- A ball's height is $h=20t-5t^{2}$. Find $\dfrac{dh}{dt}$ and say what it measures.
Answer:เฉลย: $\dfrac{dh}{dt}=20-10t$ — the ball's (vertical) speed at time $t$.New letters, same method. The derivative of position is speed, which is why physics uses it.ตัวแปรใหม่ วิธีเดิม · อนุพันธ์ของตำแหน่งคืออัตราเร็ว ฟิสิกส์เลยยืมไปใช้ตลอด
- $y=x^{2}-4x+7$: find the turning point, then verify by completing the square.
Answer:เฉลย: $2x-4=0\Rightarrow x=2$, $y=3$ — and $(x-2)^{2}+3$ agrees: $(2,3)$.Calculus and the vertex form give the same answer. Cross-checking shows both methods work.แคลคูลัสกับรูปจุดยอดให้คำตอบเดียวกัน · ตรวจไขว้คือวิธีรู้ว่าทั้งคู่แม่นจริง
- The gradient of $y=x^{2}+kx$ at $x=3$ is $10$. Find $k$.
Answer:เฉลย: $2(3)+k=10 \Rightarrow k=4$The method run backwards: an unknown inside the derivative.ใช้วิธีเดิมย้อนทาง · ตัวไม่รู้ค่าซ่อนในอนุพันธ์
- $y=2x^{3}-9x^{2}+12x$. Find both turning points and state which is the maximum. (6 marks)
Answer:เฉลย: $6x^{2}-18x+12=0\Rightarrow x^{2}-3x+2=0\Rightarrow x=1,2$. Points $(1,5)$ and $(2,4)$; maximum at $(1,5)$.The full closer: factorising from the Quadratics lesson does the middle step.ข้อปิดท้ายฉบับเต็ม: การแยกตัวประกอบจากบทสมการกำลังสองรับช่วงตรงกลาง
- Asked for the gradient of $y=x^{2}$ at $x=3$, a student answers $9$. What did they compute, and what is the gradient?
Answer:เฉลย: $9$ is $y(3)$ — the height. The gradient is $\dfrac{dy}{dx}=2x$ at $3$: $6$.Height versus gradient: the main point of the lesson, one last time.ความสูง vs ความชัน · จุดแยกหัวใจของบท ทวนอีกหนึ่งรอบปิดท้าย
All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี