Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ
Inequalitiesอสมการ
IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ
1. Warm-upวอร์มอัพ
Which is bigger: $-3$ or $-7$?อันไหนใหญ่กว่า: $-3$ หรือ $-7$? Answer:เฉลย: $-3$'Bigger' always means further right on the line. Owing 3 baht beats owing 7.'ใหญ่กว่า' คืออยู่ขวากว่าบนเส้นจำนวนเสมอ · ติดหนี้ 3 บาทยังดีกว่าติด 7
What is the smallest integer satisfying $x>2$?จำนวนเต็มเล็กสุดที่ทำให้ $x>2$ จริง คือ? Answer:เฉลย: $3$The whole chapter lives in that distinction: $>$ excludes the boundary, $\ge$ includes it.ทั้งบทอยู่ที่จุดแยกนี้จุดเดียว: $>$ ไม่รวมขอบ $\ge$ รวมขอบ
2. Four symbols, one lineสี่สัญลักษณ์ หนึ่งเส้น
Read and draw $\lt \;\le\;>\;\ge$ on the number line.อ่านและวาด $\lt \;\le\;>\;\ge$ บนเส้นจำนวน
Open dot excludes, closed dot includesจุดโปร่งไม่รวม จุดทึบรวม
Open dot: the endpoint is out. Closed dot: it is in.จุดโปร่ง: ปลายทางไม่รวม · จุดทึบ: รวม
Which inequality does this show?เส้นนี้แสดงอสมการอะไร? Answer:เฉลย: $x\ge-1$Two reads, always: which way does it go (direction), and does the endpoint count (dot).อ่านสองอย่างเสมอ: ไปทางไหน (ทิศ) กับปลายนับไหม (จุด)
List all integers $x$ with $-2\lt x\le1$.เขียนจำนวนเต็มทั้งหมดที่ $-2\lt x\le1$ Answer:เฉลย: $-1,\;0,\;1$Each end gets its own check. Mixed symbols ($\lt $ one side, $\le$ the other) are the exam's favourite.ปลายแต่ละข้างตรวจแยกกัน · สัญลักษณ์คละข้าง ($\lt $ ฝั่งหนึ่ง $\le$ อีกฝั่ง) คือของโปรดข้อสอบ
3. Solve like an equationแก้เหมือนสมการ
Same moves as equations, plus one new rule.ท่าเดียวกับสมการ · บวกกฎใหม่แค่ข้อเดียว
Solve $5-2x\lt 11$ one line at a timeแก้ $5-2x\lt 11$ ทีละบรรทัด
Only the divide by $-2$ touches the symbol. Every other move leaves it alone.มีแค่ตอนหารด้วย $-2$ ที่แตะเครื่องหมาย · ท่าอื่นไม่ยุ่งกับมันเลย
Divide by a negative and the sign turns roundหารด้วยจำนวนลบ เครื่องหมายต้องกลับด้าน
$4-2x<10$Subtract $4$ from both sides: $-4$ under each, strike the pair.ลบ $4$ ทั้งสองข้าง เขียน $-4$ ใต้ทั้งสองข้าง แล้วขีดฆ่า
$-2x<6$Divide by a negative: the sign flips.หารด้วยจำนวนลบ · เครื่องหมายกลับข้าง
$x>-3$The flip: $\lt$ became $>$.พลิก: $\lt$ กลายเป็น $>$
$x=0:\;\; 4-2(0)=4<10 \;\checkmark$Test $0$ from $x>-3$: it works.ลองแทน $0$ จาก $x>-3$ · จริง
Solve $3x+2\lt 11$. (Type the answer like x<3.)แก้ $3x+2\lt 11$ (พิมพ์คำตอบแบบ x<3) Answer:เฉลย: $3x\lt 9 \Rightarrow x\lt 3$Positive moves never touch the symbol: $3x+2\lt 11$ $3x\lt 9$ $x\lt 3$ The answer is a ray, not a single point.ท่าที่เป็นบวก ไม่แตะเครื่องหมาย: $3x+2\lt 11$ $3x\lt 9$ $x\lt 3$ คำตอบเป็นช่วง ไม่ใช่จุดเดียว
Double inequalities: one move hits all three parts.อสมการสองชั้น: ทำท่าเดียวโดนทั้งสามส่วน
List all integers $x$ with $-3\le 2x+1\lt 7$.เขียนจำนวนเต็มทั้งหมดที่ $-3\le 2x+1\lt 7$ Answer:เฉลย: $-4\le2x\lt 6 \Rightarrow -2\le x\lt 3 \Rightarrow -2,-1,0,1,2$Two inequalities glued together: $-3\le 2x+1\quad\text{and}\quad 2x+1\lt 7$ $-4\le 2x\lt 6$ $-2\le x\lt 3$ $x=-2,\,-1,\,0,\,1,\,2$ Every move hits all three parts, or one of the two halves stops being true.อสมการสองอันแปะติดกัน: $-3\le 2x+1\quad\text{and}\quad 2x+1\lt 7$ $-4\le 2x\lt 6$ $-2\le x\lt 3$ $x=-2,\,-1,\,0,\,1,\,2$ ทุกท่าต้องทำครบทั้งสามส่วน ไม่งั้นข้างใดข้างหนึ่งจะเป็นเท็จ
$4\lt 2x\le10$. A student divides only the middle by $2$ and writes $4\lt x\le10$. What went wrong?$4\lt 2x\le10$ · นักเรียนหารเฉพาะตรงกลางด้วย $2$ ได้ $4\lt x\le10$ · พลาดตรงไหน? Answer:เฉลย: $2\lt x\le5$Do the same to every part: the equation rule, with three parts.ทำอะไร ทำให้ครบทุกส่วน · กฎของสมการ แต่มีสามส่วน
5. Quadratic inequalitiesอสมการกำลังสอง
Sketch it, find the roots, read the $x$ off the picture. (Edexcel Higher)วาดรูป หาราก แล้วอ่านช่วง $x$ จากรูป (Edexcel Higher)
$x^{2}\le 25$ is not $x\le 5$$x^{2}\le 25$ ไม่ใช่ $x\le 5$
$x=-6$ gives $36$, and $36\le 25$ is false. So the negative side has a wall too.$x=-6$ ได้ $36$ แล้ว $36\le 25$ เท็จ · ฝั่งลบก็มีกำแพงเหมือนกัน
The sketch above shows $y=x^{2}-25$ dipping below the axis between $-5$ and $5$. Solve $x^{2}\le 25$. (Type like -5<=x<=5.)รูปข้างบนคือ $y=x^{2}-25$ ที่ลงไปใต้แกนระหว่าง $-5$ กับ $5$ · แก้ $x^{2}\le 25$ (พิมพ์แบบ -5<=x<=5) Answer:เฉลย: $-5\le x\le 5$Below the axis happens only between the roots. $\le$ keeps both ends, so the answer is one chain.ใต้แกนเกิดเฉพาะช่วงระหว่างราก · $\le$ เก็บปลายทั้งสอง คำตอบจึงเป็นสายเดียว
$x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2)$. The bars show where the curve is above the axis. Solve $x^{2}+3x+2>0$.$x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2)$ · แถบสีคือช่วงที่เส้นโค้งอยู่เหนือแกน · แก้ $x^{2}+3x+2>0$ Answer:เฉลย: $x\lt -2$ or $x>-1$Above the axis happens on both arms. The answer is two rays joined by or, never one chain.เหนือแกนเกิดที่แขนทั้งสองข้าง · คำตอบจึงเป็นสองเส้นเชื่อมด้วย หรือ ไม่ใช่สายเดียว
Exam: solve $4x^{2}>25$. (3 marks)ข้อสอบ: แก้ $4x^{2}>25$ (3 คะแนน) Answer:เฉลย: $x\lt -2.5$ or $x>2.5$Roots $\pm2.5$, and $>$ means above the axis: the outside pair. Two rays, joined by or.ราก $\pm2.5$ และ $>$ คือเหนือแกน · เอาคู่ด้านนอก · สองเส้น เชื่อมด้วย หรือ
6. Regions: inequalities in 2Dอาณาเขต: อสมการในสองมิติ
A line splits the plane; the inequality picks a side.เส้นตรงผ่าระนาบ อสมการเลือกฝั่ง
Which side? Put one point in and lookฝั่งไหน? แทนจุดเดียวแล้วดู
True at the test point → shade its side. False → shade the other side.จุดทดสอบจริง → แรเงาฝั่งนั้น · เท็จ → แรเงาฝั่งตรงข้าม
The dashed line is $y=x+1$; the shaded region is above it. Which inequality is shaded?เส้นประคือ $y=x+1$ ส่วนแรเงาอยู่เหนือเส้น · แรเงาแทนอสมการไหน? Answer:เฉลย: $y>x+1$Same dot logic as the number line, upgraded: dashed line = open dot, solid line = closed dot.ตรรกะจุดโปร่ง/ทึบจากเส้นจำนวน อัปเกรดขึ้นมา: เส้นประ = จุดโปร่ง เส้นทึบ = จุดทึบ
$y\ge 2x-4$ is drawn. Testing $(0,0)$ gives $0\ge -4$: true. Which picture is right?วาด $y\ge 2x-4$ ไว้แล้ว · แทน $(0,0)$ ได้ $0\ge -4$ · จริง · รูปไหนถูก? Answer:เฉลย:Solid line, side Aเส้นทึบ ฝั่ง ATwo clues, two decisions: the symbol sets the line style, the test point sets the side.สองเบาะแส สองการตัดสิน: เครื่องหมายกำหนดชนิดเส้น จุดทดสอบกำหนดฝั่ง
Is the point $(3,1)$ inside the region $y\lt x-1$? Type yes or no.จุด $(3,1)$ อยู่ในเขต $y\lt x-1$ ไหม? พิมพ์ yes หรือ no Answer:เฉลย:yes — $1\lt 3-1=2$ ✓อยู่ — $1\lt 3-1=2$ ✓Substitute and compare: $y=1$, $x-1=2$, and $1\lt 2$ is true. So $(3,1)$ is inside.แทนค่าแล้วเทียบ: $y=1$, $x-1=2$ และ $1\lt 2$ จริง · ดังนั้น $(3,1)$ อยู่ในเขต
The shaded triangle (edges included) is cut out by $x=1$, $y=x$ and $x+y=6$. One inequality is $x\ge 1$. Write the other two. (2 marks)สามเหลี่ยมที่แรเงา (รวมขอบ) ถูกตัดด้วย $x=1$, $y=x$ และ $x+y=6$ · อสมการหนึ่งคือ $x\ge 1$ · เขียนอีกสองอัน (2 คะแนน) Answer:เฉลย: $y\ge x$ and $x+y\le 6$Three boundaries, three inequalities. One test point inside settles the direction of all of them.สามเส้นขอบ สามอสมการ · จุดทดสอบข้างในจุดเดียวตัดสินทิศทางได้ครบทุกอัน
7. Exam formฟอร์มข้อสอบ
Integer lists and final lines: where the marks are.ลิสต์จำนวนเต็มกับบรรทัดสุดท้าย · จุดที่คะแนนอยู่
Exam: $n$ is an integer and $-8\le 3n\lt 10$. List all possible values of $n$. (3 marks)ข้อสอบ: $n$ เป็นจำนวนเต็ม และ $-8\le 3n\lt 10$ · เขียนค่า $n$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด (3 คะแนน) Answer:เฉลย: $-\tfrac83\le n\lt \tfrac{10}{3} \Rightarrow n=-2,-1,0,1,2,3$Fraction walls, then round inwards: $-8\le 3n\lt 10$ $-\dfrac83\le n\lt \dfrac{10}{3}$ $-2.67\le n\lt 3.33$ $n=-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3$ Check both ends: $n=3$ is in, $n=-3$ is out.กำแพงเป็นเศษส่วน · ปัดเข้าข้างใน: $-8\le 3n\lt 10$ $-\dfrac83\le n\lt \dfrac{10}{3}$ $-2.67\le n\lt 3.33$ $n=-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3$ ตรวจสองปลาย: $n=3$ อยู่ · $n=-3$ ไม่อยู่
Solve $7-3x\ge1$. Which final line earns the mark?แก้ $7-3x\ge1$ · บรรทัดสุดท้ายแบบไหนได้คะแนน? Answer:เฉลย: $x\le2$The final-line mark is pure flip-discipline. One test value would have caught both wrong options.คะแนนบรรทัดสุดท้ายคือวินัยเรื่องพลิกล้วนๆ · แทนเลขตรวจตัวเดียวก็จับตัวเลือกผิดได้ทั้งคู่
Solve $x^{2}>9$. Which final line earns the mark?แก้ $x^{2}>9$ · บรรทัดสุดท้ายแบบไหนได้คะแนน? Answer:เฉลย: $x\lt -3$ or $x>3$Above the axis is the outside pair. Write it with or. A chain there scores zero.เหนือแกนคือคู่ด้านนอก · เขียนด้วย หรือ · เขียนเป็นสายเดียวได้ศูนย์
Exam: $n$ is an integer with $-4\lt 5-3n\le 11$ and $n^{2}>1$. List all possible values of $n$. (5 marks)ข้อสอบ: $n$ เป็นจำนวนเต็ม ที่ $-4\lt 5-3n\le 11$ และ $n^{2}>1$ · เขียนค่า $n$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด (5 คะแนน) Answer:เฉลย: $n=-2$ and $n=2$5 marks: $\text{M1}\ \ -4-5\lt -3n\le 11-5\ \Rightarrow\ -9\lt -3n\le 6$ $\text{M2}\ \ \div(-3)\ \text{and flip}:\ \ 3\gt n\ge -2$ $\text{M3}\ \ n=-2,\,-1,\,0,\,1,\,2$ $\text{M4}\ \ n^{2}\gt 1\ \Rightarrow\ n\gt 1\ \text{or}\ n\lt -1$ $\text{A1}\ \ n=-2,\ 2$ The mark most often lost is the second condition: $-1$, $0$, $1$ must go.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ -4-5\lt -3n\le 11-5\ \Rightarrow\ -9\lt -3n\le 6$ $\text{M2}\ \ \div(-3)\ \text{and flip}:\ \ 3\gt n\ge -2$ $\text{M3}\ \ n=-2,\,-1,\,0,\,1,\,2$ $\text{M4}\ \ n^{2}\gt 1\ \Rightarrow\ n\gt 1\ \text{or}\ n\lt -1$ $\text{A1}\ \ n=-2,\ 2$ คะแนนที่หายบ่อยสุดคือเงื่อนไขที่สอง · ต้องตัด $-1$, $0$, $1$ ทิ้ง
Solve $4-x^{2}\lt -32$. (Type the answer like x<-6 or x>6.)แก้อสมการ $4-x^{2}\lt -32$ · (พิมพ์แบบ x<-6 or x>6) Answer:เฉลย: $x\lt-6$ or $x>6$Two rules, one question: $4-x^{2}\lt -32$ $36\lt x^{2}\ \Rightarrow\ x^{2}\gt 36$ $x\lt -6\ \ \text{or}\ \ x\gt 6$ $\text{check }x=-7:\ \ 4-49=-45\lt -32$ $x^{2}\gt$ a number gives two arms outwards; $x^{2}\lt$ a number gives one range between.โจทย์เดียว ใช้สองกฎ: $4-x^{2}\lt -32$ $36\lt x^{2}\ \Rightarrow\ x^{2}\gt 36$ $x\lt -6\ \ \text{or}\ \ x\gt 6$ $\text{check }x=-7:\ \ 4-49=-45\lt -32$ $x^{2}\gt$ เลข = สองแขนออกนอก · $x^{2}\lt$ เลข = ช่วงเดียวตรงกลาง
8. Exercise setชุดโจทย์
The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว
Solve $2x+5\lt 9$. Answer:เฉลย: $x\lt 2$The equation steps with the symbol kept. Build confidence first.ท่าสมการเดิมแต่คงเครื่องหมาย · เอาความมั่นใจก่อน
Solve $\dfrac{x}{3}-1>2$. Answer:เฉลย: $\dfrac{x}{3}>3 \Rightarrow x>9$A fraction joins in. Clear it as in the Fraction Equations level of Algebra basics.มีเศษส่วนโผล่มา · เคลียร์แบบเดียวกับขั้นสมการติดเศษส่วนในบทพีชคณิตพื้นฐาน
Draw $x\ge-1$ on a number line — describe the dot and direction. Answer:เฉลย: Closed (filled) dot at $-1$, ray pointing right.Same fact as level 1, asked as a drawing instead of a reading.ข้อเท็จจริงเดิมจากขั้นแรก แต่ถามเป็นการวาดแทนการอ่าน
Solve $x^{2}-x-6\le 0$. Answer:เฉลย: $(x-3)(x+2)\le0 \Rightarrow -2\le x\le3$Factorising from the quadratics chapter, read with this chapter's sketch.แยกตัวประกอบจากบทสมการกำลังสอง อ่านด้วยรูปของบทนี้
A number line shows an open dot at $-2$, an open dot at $3$, and shading running outwards from both. Write the inequality. Answer:เฉลย: $x\lt -2$ or $x>3$Picture back to symbols. The outward shape needs or, not a chain.จากรูปย้อนกลับเป็นสัญลักษณ์ · รูปที่ชี้ออกต้องใช้ หรือ ไม่ใช่สายเดียว
Write down the three inequalities that define the triangle with vertices $(0,0)$, $(4,0)$, $(0,4)$ (edges included). (3 marks) Answer:เฉลย: $x\ge0$, $y\ge0$, $x+y\le4$The region chapter's endgame: a shape is a system of inequalities.ปลายทางของเรื่องอาณาเขต: รูปทรงหนึ่งรูปคือระบบอสมการ
To solve $-2x>8$, a student divides by $-2$ and writes $x>-4$. Find the error and the correct answer. Answer:เฉลย: Dividing by a negative flips the symbol: $x\lt -4$. Check $x=-5$: $-2(-5)=10>8$ ✓The chapter's one new rule, tested as error-marking, with a ten-second check.กฎใหม่ข้อเดียวของบท ทดสอบผ่านการตรวจข้อผิด · พร้อมท่าตรวจสิบวินาที