Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ
Quadratic Equationsสมการกำลังสอง
IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ
1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม
Two moves · this lesson runs both backwardsสองท่า · บทนี้ใช้ทั้งสองแบบย้อนกลับ
Factorising runs panel 1 backwards: find the $2$ and $3$ again. Panel 2 then solves it.แยกตัวประกอบคือช่อง 1 ย้อนกลับ: หา $2$ กับ $3$ คืนมา · แล้วช่อง 2 ก็แก้สมการให้จบ
- Expand $(x+2)(x+3)$.กระจาย $(x+2)(x+3)$
Answer:เฉลย: $x^{2}+5x+6$Sum → middle, product → end: $2+3=5\ \to\ 5x$ $2\times3=6\ \to\ +6$ $(x+2)(x+3)=x^{2}+5x+6$ Today's lesson is this line read backwards.บวก → ตัวกลาง · คูณ → ตัวท้าย: $2+3=5\ \to\ 5x$ $2\times3=6\ \to\ +6$ $(x+2)(x+3)=x^{2}+5x+6$ บทวันนี้คือบรรทัดนี้ อ่านย้อนทิศ
- $5\times\square=0$. What must $\square$ be?$5\times\square=0$ $\square$ ต้องเป็นเท่าไร?
Answer:เฉลย: $\square=0$Only zero forces a factor: $5\times\square=0\ \Rightarrow\ \square=0$ $5\times\square=6\ \Rightarrow\ \square\ \text{could be anything}$มีแค่ศูนย์ที่บังคับตัวประกอบได้: $5\times\square=0\ \Rightarrow\ \square=0$ $5\times\square=6\ \Rightarrow\ \square\ \text{could be anything}$
2. Read it backwardsอ่านย้อนกลับ
Factorising is expanding, read right-to-left.แยกตัวประกอบก็คือการกระจาย อ่านจากขวาไปซ้าย
The pair hides in the last numberคู่ตัวเลขซ่อนอยู่ในเลขตัวท้าย
Pairs from the last number, signs and all · the middle number picks the winner.คู่มาจากตัวท้าย ใส่เครื่องหมายให้ครบ · ตัวกลาง เป็นคนเลือก
- So the whole game is: find two numbers with sum $5$ and product $6$. Which two?เกมทั้งเกมคือ: หาเลขสองตัวที่บวกกันได้ $5$ และคูณกันได้ $6$ — สองตัวไหน?
Answer:เฉลย: $2$ and $3$Four moves, every time: $1\times6:\ 1+6=7\ \times$ $2\times3:\ 2+3=5\ \checkmark$ $x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3)$ List pairs from $1\times$ the last number upwards, both signs, and add each pair.สี่จังหวะเดิม ทุกครั้ง: $1\times6:\ 1+6=7\ \times$ $2\times3:\ 2+3=5\ \checkmark$ $x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3)$ ไล่คู่จาก $1\times$ เลขตัวท้ายขึ้นไป เขียนทั้งสองเครื่องหมาย แล้วบวกทีละคู่
- Factorise $x^{2}+7x+12$.แยกตัวประกอบ $x^{2}+7x+12$
Answer:เฉลย: $(x+3)(x+4)$To check a factorisation, expand it. The result must be the expression you started with.ตรวจการแยกตัวประกอบ ให้กระจายกลับ · ต้องได้นิพจน์เดิม
3. Minus signs join inเครื่องหมายลบเข้ามาเล่น
Same game, but the two numbers can be negative.เกมเดิม แต่เลขสองตัวติดลบได้
Front not $1$? Near × near, far × farตัวหน้าไม่ใช่ $1$? ใกล้คูณใกล้ ไกลคูณไกล
Near × near is the inner pair, far × far the outer. Add them: that is the middle term.ใกล้คูณใกล้ คือคู่ด้านใน · ไกลคูณไกล คือคู่ด้านนอก · บวกกัน = พจน์กลาง
- One thing changes: the signs. Factorise $x^{2}-x-12$.เปลี่ยนอย่างเดียว: เครื่องหมาย · แยกตัวประกอบ $x^{2}-x-12$
Answer:เฉลย: $(x-4)(x+3)$The product's sign sets the pattern: $-12<0\ \Rightarrow\ \text{one}+,\ \text{one}-$ $-4\times3=-12,\quad -4+3=-1$ $(x-4)(x+3)$ A positive product means both signs the same. Read the product first, every time.เครื่องหมายผลคูณกำหนดแพตเทิร์น: $-12<0\ \Rightarrow\ \text{one}+,\ \text{one}-$ $-4\times3=-12,\quad -4+3=-1$ $(x-4)(x+3)$ ผลคูณเป็นบวก = เครื่องหมายเหมือนกันทั้งคู่ · อ่านผลคูณก่อนทุกครั้ง
- Now the middle term vanishes entirely. Factorise $x^{2}-25$.คราวนี้ตัวกลางหายไปเลย · แยกตัวประกอบ $x^{2}-25$
Answer:เฉลย: $x^{2}-25=(x+5)(x-5)$Difference of two squares: $x^{2}-25=x^{2}+0x-25$ $5\times(-5)=-25,\quad 5+(-5)=0$ $(x+5)(x-5)$ $x^{2}-49=(x+7)(x-7)$ The pair is always $+a$ and $-a$, so the middle cancels.ผลต่างกำลังสอง: $x^{2}-25=x^{2}+0x-25$ $5\times(-5)=-25,\quad 5+(-5)=0$ $(x+5)(x-5)$ $x^{2}-49=(x+7)(x-7)$ คู่เลขเป็น $+a$ กับ $-a$ เสมอ ตัวกลางเลยหักกันหมด
- Front no longer $1$: factorise $2x^{2}+7x+3$.ข้างหน้าไม่ใช่ $1$ แล้ว: แยกตัวประกอบ $2x^{2}+7x+3$
Answer:เฉลย: $(2x+1)(x+3)$Inner plus outer is the middle: $(2x+1)(x+3)$ $\text{near}\times\text{near}=1\times x=x$ $\text{far}\times\text{far}=2x\times3=6x$ $x+6x=7x\ \checkmark$ Swap the $1$ and the $3$ and it lands on $5x$ instead.ใกล้คูณใกล้ บวก ไกลคูณไกล = ตัวกลาง: $(2x+1)(x+3)$ $\text{near}\times\text{near}=1\times x=x$ $\text{far}\times\text{far}=2x\times3=6x$ $x+6x=7x\ \checkmark$ ถ้าสลับ $1$ กับ $3$ จะได้ $5x$ แทน
4. The zero trickทริกเลขศูนย์
A product is zero only when a factor is zero.ผลคูณเป็นศูนย์ได้ ต่อเมื่อมีตัวประกอบเป็นศูนย์
- $A\times B=0$. What do you know about $A$ and $B$?$A\times B=0$ เรารู้อะไรเกี่ยวกับ $A$ กับ $B$ บ้าง?
Answer:เฉลย: At least one of $A$, $B$ is $0$.อย่างน้อยหนึ่งใน $A$, $B$ เป็น $0$Only zero gives information: $A\times B=0\ \Rightarrow\ A=0\ \text{or}\ B=0$ $A\times B=6\ \Rightarrow\ \text{nothing}$มีแค่ศูนย์ที่บอกอะไรได้: $A\times B=0\ \Rightarrow\ A=0\ \text{or}\ B=0$ $A\times B=6\ \Rightarrow\ \text{nothing}$
- Now the factors are brackets: $(x+2)(x+3)=0$. Solve it. Find both values of $x$.ทีนี้ให้ตัวประกอบเป็นวงเล็บ: $(x+2)(x+3)=0$ แก้หา $x$ ทั้งสองค่า
Answer:เฉลย: $x=-2$ or $x=-3$Two brackets, two small equations: $x+2=0\ \Rightarrow\ x=-2$ $x+3=0\ \Rightarrow\ x=-3$สองวงเล็บ สองสมการเล็กๆ: $x+2=0\ \Rightarrow\ x=-2$ $x+3=0\ \Rightarrow\ x=-3$
- $(x-5)(x+1)=0$. The roots are:$(x-5)(x+1)=0$ รากคือ:
Answer:เฉลย: $x=5$ or $x=-1$Ask what makes it zero: $x-5=0\ \Rightarrow\ x=5$ $x+1=0\ \Rightarrow\ x=-1$ Do not copy the roots from the brackets. $(x-5)$ and $(x+5)$ give opposite roots.ถามว่าอะไรทำให้เป็นศูนย์: $x-5=0\ \Rightarrow\ x=5$ $x+1=0\ \Rightarrow\ x=-1$ อย่าลอกรากจากวงเล็บ · $(x-5)$ กับ $(x+5)$ ให้รากตรงข้ามกัน
5. Zero on one side firstจับศูนย์ไว้ข้างหนึ่งก่อน
Rearrange to equal zero, then factorise. Always.ย้ายข้างให้เท่ากับศูนย์ก่อน แล้วค่อยแยกตัวประกอบ ทุกครั้ง
Zero on one side, then factoriseย้ายให้เป็นศูนย์ก่อน แล้วค่อยแยกตัวประกอบ
- $x^{2}+5x=6$Subtract $6$ from both sides: write $-6$ under both.ลบ $6$ ทั้งสองข้าง · เขียน $-6$ ใต้ทั้งสองข้าง
- $x^{2}+5x-6=0$All terms are on one side. The other side is $0$.ทุกพจน์อยู่ข้างเดียว · อีกข้างเป็นศูนย์
- $(x+6)(x-1)=0$Two numbers that multiply to $-6$ and add to $+5$: that is $+6$ and $-1$.หาสองเลขที่คูณได้ $-6$ บวกได้ $+5$ · ก็คือ $+6$ กับ $-1$
- $x+6=0$A product is zero only when one bracket is zero.ผลคูณเป็นศูนย์ได้ ก็ต่อเมื่อวงเล็บใดวงเล็บหนึ่งเป็นศูนย์
- $x=-6$Subtract $6$ from both sides.ลบ $6$ ทั้งสองข้าง
- $x-1=0$Now the other bracket.ทีนี้วงเล็บอีกอัน
- $x=1$Two roots, one per line. Check: $(-6)(1)=-6$ ✓สองคำตอบ บรรทัดละหนึ่ง ตรวจ: $(-6)(1)=-6$ ✓
Zero on one side, FIRSTให้ข้างหนึ่งเป็นศูนย์ ก่อนเสมอ
$A\times B=8$ tells you nothing. $A\times B=0$ means $A=0$ or $B=0$.$A\times B=8$ ไม่บอกอะไรเลย · $A\times B=0$ แปลว่า $A=0$ หรือ $B=0$
- The $0$ made it work. Now $A\times B=6$. What do you know?เพราะเลข $0$ วิธีนี้ถึงใช้ได้ · แล้วถ้า $A\times B=6$ ล่ะ รู้อะไรบ้าง?
Answer:เฉลย: Almost nothing — only $=0$ gives information.แทบไม่รู้อะไร — มีแค่ $=0$ ที่ให้ข้อมูลThe method needs the zero: $x^{2}+2x=8\ \Rightarrow\ (x+4)(x-2)=8$ $\text{try }x+4=8:\ x=4$ $(4+4)(4-2)=16\ne 8\ \times$ Brackets are worth nothing until the other side is $0$.วิธีนี้ต้องมีศูนย์: $x^{2}+2x=8\ \Rightarrow\ (x+4)(x-2)=8$ $\text{try }x+4=8:\ x=4$ $(4+4)(4-2)=16\ne 8\ \times$ วงเล็บไม่มีค่าอะไรเลย จนกว่าอีกข้างจะเป็น $0$
- Solve $x^{2}+5x=-6$.แก้สมการ $x^{2}+5x=-6$
Answer:เฉลย: $x^{2}+5x+6=0 \Rightarrow (x+2)(x+3)=0 \Rightarrow x=-2$ or $x=-3$Rearrange, factorise, zero trick: $x^{2}+5x+6=0$ $(x+2)(x+3)=0$ $x=-2\ \text{or}\ x=-3$ Every quadratic in this course walks through the same three doors.ย้ายข้าง แยกตัวประกอบ ทริกศูนย์: $x^{2}+5x+6=0$ $(x+2)(x+3)=0$ $x=-2\ \text{or}\ x=-3$ สมการกำลังสองทุกข้อในคอร์สนี้ เดินผ่านสามประตูเดิมนี้
- To solve $x^{2}=5x$, a student divides both sides by $x$ and gets $x=5$. What do you say?โจทย์ $x^{2}=5x$ นักเรียนคนหนึ่งหารด้วย $x$ ทั้งสองข้าง ได้ $x=5$ · จะบอกเขาว่ายังไง?
Answer:เฉลย: $x(x-5)=0 \Rightarrow x=0$ or $x=5$$x(x-5)=0 \Rightarrow x=0$ หรือ $x=5$Never divide by $x$: $x^{2}-5x=0$ $x(x-5)=0$ $x=0\ \text{or}\ x=5$ Dividing by something that could be zero deletes the root $x=0$.อย่าหารด้วย $x$: $x^{2}-5x=0$ $x(x-5)=0$ $x=0\ \text{or}\ x=5$ หารด้วยอะไรที่อาจเป็นศูนย์ จะลบรากที่ $x=0$ ทิ้งไป
6. When it won't factoriseตอนที่แยกไม่ออก
The quadratic formula catches everything the brackets miss.สูตรควอดราติกเก็บทุกข้อที่วงเล็บเอาไม่อยู่
Where $a$, $b$ and $c$ come from$a$, $b$, $c$ มาจากไหน
$a$ sits in front of $x^{2}$, $b$ in front of $x$, $c$ stands alone.$a$ อยู่หน้า $x^{2}$ · $b$ อยู่หน้า $x$ · $c$ อยู่ตัวเดียว
Type it in three chunks, then do it twiceกดเป็นสามก้อน แล้วทำสองรอบ
Bracket the whole top, then divide. $\pm$ means the same line twice.ใส่วงเล็บครอบเศษทั้งก้อนแล้วค่อยหาร · $\pm$ คือกดบรรทัดเดิมสองรอบ
- Try the usual game on $x^{2}+3x-3=0$: two integers with sum $3$ and product $-3$?ลองเล่นเกมเดิมกับ $x^{2}+3x-3=0$: หาจำนวนเต็มสองตัวที่บวกได้ $3$ คูณได้ $-3$?
Answer:เฉลย: No integer pair exists.ไม่มีคู่จำนวนเต็มNo integer pair exists: $3\times(-1)=-3,\quad 3+(-1)=2\ \times$ $(-3)\times1=-3,\quad -3+1=-2\ \times$ $\text{roots exist, but not tidy}$ The formula is for cases like this.ไม่มีคู่จำนวนเต็ม: $3\times(-1)=-3,\quad 3+(-1)=2\ \times$ $(-3)\times1=-3,\quad -3+1=-2\ \times$ $\text{roots exist, but not tidy}$ สูตรมีไว้ใช้กับข้อแบบนี้
- Your turn. Write down $a$, $b$, $c$ for $2x^{2}+7x+3=0$.ลองเอง · อ่าน $a$, $b$, $c$ จาก $2x^{2}+7x+3=0$
Answer:เฉลย: $a=2$, $b=7$, $c=3$$a=2$, $b=7$, $c=3$All three are positive here, so nothing to watch. The next one is not.ข้อนี้บวกหมดทั้งสามตัว ยังไม่มีอะไรต้องระวัง · ข้อต่อไปไม่ใช่แบบนี้
- Harder. Write down $a$, $b$, $c$ for $x^{2}-4x-7=0$.ยากขึ้น · อ่าน $a$, $b$, $c$ จาก $x^{2}-4x-7=0$
Answer:เฉลย: $a=1$, $b=-4$, $c=-7$$a=1$, $b=-4$, $c=-7$The sign belongs to the number: $a=1,\quad b=-4,\quad c=-7$ $b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4(1)(-7)=16+28=44$ $\text{drop a sign}:\ 16-28=-12\ \times$ This is the most common lost mark in the formula.เครื่องหมายเป็นของเลขที่ตามมา: $a=1,\quad b=-4,\quad c=-7$ $b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4(1)(-7)=16+28=44$ $\text{drop a sign}:\ 16-28=-12\ \times$ นี่คือคะแนนที่หายบ่อยที่สุดของสูตรนี้
- Back to $x^{2}+3x-3=0$. The formula is already written. Type the three numbers into it.กลับมาที่ $x^{2}+3x-3=0$ · สูตรเขียนไว้ให้แล้ว · พิมพ์เลขสามตัวลงไป
Answer:เฉลย: $x=\dfrac{-3\pm\sqrt{3^{2}-4(1)(-3)}}{2(1)}$$x=\dfrac{-3\pm\sqrt{3^{2}-4(1)(-3)}}{2(1)}$Once the three numbers sit in the right holes the thinking is finished. What is left is typing.พอเลขสามตัวลงช่องถูกแล้ว การคิดก็จบ · ที่เหลือคือการกดเครื่องคิดเลข
- Use it: solve $x^{2}+3x-3=0$, answers to 2 dp.ลองใช้เลย: แก้ $x^{2}+3x-3=0$ ตอบทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answer:เฉลย: $x=\dfrac{-3\pm\sqrt{21}}{2} \Rightarrow x=0.79$ or $x=-3.79$'2 d.p.' means use the formula: $x=\dfrac{-3\pm\sqrt{9+12}}{2}=\dfrac{-3\pm\sqrt{21}}{2}$ $x=0.79\ \text{or}\ x=-3.79$ $\pm$ always means two answers.'ทศนิยม 2 ตำแหน่ง' = ให้ใช้สูตร: $x=\dfrac{-3\pm\sqrt{9+12}}{2}=\dfrac{-3\pm\sqrt{21}}{2}$ $x=0.79\ \text{or}\ x=-3.79$ $\pm$ แปลว่ามีสองคำตอบเสมอ
- One more rep: solve $2x^{2}-5x-1=0$, answers to 2 dp.อีกหนึ่งรอบ: แก้ $2x^{2}-5x-1=0$ ตอบทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answer:เฉลย: $x=\dfrac{5\pm\sqrt{33}}{4} \Rightarrow x=2.69$ or $x=-0.19$$x=\dfrac{5\pm\sqrt{33}}{4} \Rightarrow x=2.69$ หรือ $x=-0.19$Signs go in before the keys: $a=2,\quad b=-5,\quad c=-1$ $x=\dfrac{5\pm\sqrt{25+8}}{4}=\dfrac{5\pm\sqrt{33}}{4}$ $x=2.69\ \text{or}\ x=-0.19$ใส่เครื่องหมายก่อนกดปุ่ม: $a=2,\quad b=-5,\quad c=-1$ $x=\dfrac{5\pm\sqrt{25+8}}{4}=\dfrac{5\pm\sqrt{33}}{4}$ $x=2.69\ \text{or}\ x=-0.19$
7. Make it a square: completing the squareเติมกำลังสองสมบูรณ์
Any $x^{2}+bx$ is a perfect square minus a correction. Then take the square root of both sides to solve.$x^{2}+bx$ ทุกตัวคือกำลังสองสมบูรณ์ลบตัวแก้ · พอเป็นกำลังสองแล้ว ถอดรากทั้งสองข้างได้
Squares all open up the same wayกำลังสองกระจายออกมาแบบเดียวกันหมด
No expanding needed: the last number is half the middle, squared.ไม่ต้องกระจายเลย · เลขตัวท้ายคือครึ่งของพจน์กลางยกกำลังสอง
You added $144$ that was never there: give it straight backเราเติม $144$ ที่ไม่เคยมี · ต้องคืนทันที
Add it and take it off on the same line. Same value, new shape.เติมแล้วหักออกในบรรทัดเดียวกัน · ค่าเท่าเดิม รูปร่างใหม่
Now unwrap it, one layer at a timeทีนี้แกะกลับ ทีละชั้น
The $\pm$ goes on the square-root line, not at the end.$\pm$ อยู่ที่บรรทัดถอดรูท ไม่ใช่ตอนท้าย
- $x^{2}+24x+\square$. What number in the box makes this a perfect square?$x^{2}+24x+\square$ เติมเลขอะไรในกล่อง ถึงจะเป็นกำลังสองสมบูรณ์?
Answer:เฉลย: $144$ — because $24\div2=12$ and $12^{2}=144$, so $x^{2}+24x+144=(x+12)^{2}$$144$ — เพราะ $24\div2=12$ และ $12^{2}=144$ ดังนั้น $x^{2}+24x+144=(x+12)^{2}$$x^{2}+bx$ always needs $\left(\tfrac{b}{2}\right)^{2}$ on the end. Here that is $12^{2}=144$, and the square is $(x+12)^{2}$.$x^{2}+bx$ ต้องเติม $\left(\tfrac{b}{2}\right)^{2}$ ตรงท้ายเสมอ · ในที่นี้คือ $12^{2}=144$ และกำลังสองคือ $(x+12)^{2}$
- Write $x^{2}+8x+3$ in the form $(x+p)^{2}+q$.เขียน $x^{2}+8x+3$ ในรูป $(x+p)^{2}+q$
Answer:เฉลย: $(x+4)^{2}-13$Half the middle, then correct: $\tfrac12(8)=4\ \Rightarrow\ (x+4)^{2}$ $(x+4)^{2}=x^{2}+8x+16$ $-16+3=-13$ $(x+4)^{2}-13$ Check by expanding: you must get $x^{2}+8x+3$ back.ครึ่งของตัวกลาง แล้วหักกลับ: $\tfrac12(8)=4\ \Rightarrow\ (x+4)^{2}$ $(x+4)^{2}=x^{2}+8x+16$ $-16+3=-13$ $(x+4)^{2}-13$ ตรวจโดยกระจายกลับ ต้องได้ $x^{2}+8x+3$ เหมือนเดิม
- $(x+2)^{2}=5$. Square-root both sides. What is $x+2$?$(x+2)^{2}=5$ ถอดรูททั้งสองข้าง · $x+2$ เท่ากับอะไร?
Answer:เฉลย: $x+2=\pm\sqrt{5}$$x+2=\pm\sqrt{5}$$\pm$ on the root line: $(\sqrt{5})^{2}=5,\quad (-\sqrt{5})^{2}=5$ $x+2=\pm\sqrt{5}$ $x=-2\pm\sqrt{5}$ Write $\pm$ on the same line as the root sign, before moving anything else.$\pm$ บรรทัดถอดรูท: $(\sqrt{5})^{2}=5,\quad (-\sqrt{5})^{2}=5$ $x+2=\pm\sqrt{5}$ $x=-2\pm\sqrt{5}$ เขียน $\pm$ บรรทัดเดียวกับเครื่องหมายรูท ก่อนย้ายอะไรทั้งนั้น
- Use it: solve $x^{2}+6x+2=0$. Give exact answers (type sqrt).ลองใช้เลย: แก้ $x^{2}+6x+2=0$ · ตอบค่าexact ไม่ปัดเศษ (พิมพ์ sqrt)
Answer:เฉลย: $(x+3)^{2}=7 \Rightarrow x=-3\pm\sqrt{7}$'Exact' means leave the surd: $(x+3)^{2}-9+2=0$ $(x+3)^{2}=7$ $x=-3\pm\sqrt{7}$ Exact also means you must not round.'exact' คือเก็บรูทไว้: $(x+3)^{2}-9+2=0$ $(x+3)^{2}=7$ $x=-3\pm\sqrt{7}$ exact แปลว่าห้ามปัดเศษด้วย
8. Minus in the middle: the sign-safe squareพจน์กลางติดลบ: เติมกำลังสองไม่พลาดเครื่องหมาย
The square is always $+$ inside and $-$ outside. The bracket copies the sign of the middle term.ตัวยกกำลังสองเป็น $+$ ในวงเล็บ และ $-$ ข้างนอกเสมอ · วงเล็บลอกเครื่องหมายของพจน์กลาง
Only the middle sign changesเปลี่ยนแค่เครื่องหมายตรงกลาง
The minus of $-10x$ goes into the bracket. It never goes onto the $25$.ลบของ $-10x$ เข้าไปอยู่ในวงเล็บ · ไม่เคยไปติดที่ $25$
Solve $x^{2}-10x+5=0$ by completing the squareแก้ $x^{2}-10x+5=0$ ด้วยการเติมกำลังสองสมบูรณ์
- $x^{2}-10x+5=0$Half of $10$ is $5$.ครึ่งของ $10$ คือ $5$
- $(x^{2}-10x+5^{2})-5^{2}+5=0$$+5^{2}$ inside. The same $-5^{2}$ outside.ใส่ $+5^{2}$ ในวงเล็บ · เอา $-5^{2}$ ตัวเดิมออกข้างนอก
- $(x^{2}-10x+25)-25+5=0$Work out $5^{2}=25$.คิด $5^{2}=25$
- $(x-5)^{2}-20=0$The middle is $-10x$, so the bracket is $(x-5)$. And $-25+5=-20$.พจน์กลางคือ $-10x$ วงเล็บจึงเป็น $(x-5)$ · และ $-25+5=-20$
- $(x-5)^{2}=20$Move the $20$ across.ย้าย $20$ ข้ามฝั่ง
- $x-5=\pm\sqrt{20}$Square-root both sides. Write $\pm$ on this line.ถอดรูททั้งสองข้าง · เขียน $\pm$ ที่บรรทัดนี้
- $x=5\pm2\sqrt{5}$$\sqrt{20}=\sqrt{4}\times\sqrt{5}=2\sqrt{5}$.$\sqrt{20}=\sqrt{4}\times\sqrt{5}=2\sqrt{5}$
- $x^{2}-10x+\square$ is a perfect square.
What goes in the box?$x^{2}-10x+\square$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์
ในกล่องต้องเป็นอะไร?
Answer:เฉลย: $+25$Half, square, always plus: $10\div2=5$ $5^{2}=+25$ $x^{2}-10x+25=(x-5)^{2}$ครึ่งหนึ่ง ยกกำลังสอง บวกเสมอ: $10\div2=5$ $5^{2}=+25$ $x^{2}-10x+25=(x-5)^{2}$
- Which is the correct first line for $x^{2}-14x+3=0$?บรรทัดแรกที่ถูกของ $x^{2}-14x+3=0$ คือข้อไหน?
Answer:เฉลย: $(x^{2}-14x+7^{2})-7^{2}+3=0$Same first line every time: $14\div2=7$ $(x^{2}-14x+7^{2})-7^{2}+3=0$ $(x-7)^{2}-49+3=0$บรรทัดแรกเหมือนเดิมทุกครั้ง: $14\div2=7$ $(x^{2}-14x+7^{2})-7^{2}+3=0$ $(x-7)^{2}-49+3=0$
- Write $x^{2}-8x+3$ in the form $(x+p)^{2}+q$.
Type it like $(x-1)^2+5$.เขียน $x^{2}-8x+3$ ในรูป $(x+p)^{2}+q$
พิมพ์แบบ $(x-1)^2+5$
Answer:เฉลย: $(x-4)^{2}-13$In, out, fold: $(x^{2}-8x+4^{2})-4^{2}+3$ $=(x-4)^{2}-16+3$ $=(x-4)^{2}-13$ Check: $(x-4)^{2}-13=x^{2}-8x+16-13=x^{2}-8x+3$.ใส่ เอาออก พับ: $(x^{2}-8x+4^{2})-4^{2}+3$ $=(x-4)^{2}-16+3$ $=(x-4)^{2}-13$ ตรวจ: $(x-4)^{2}-13=x^{2}-8x+16-13=x^{2}-8x+3$
- Now the plus version: $x^{2}+10x-5$.
Which is equal to it?ทีนี้ตัวบวก: $x^{2}+10x-5$
ข้อไหนเท่ากับมัน?
Answer:เฉลย: $(x+5)^{2}-30$Plus middle, plus bracket: $(x^{2}+10x+5^{2})-5^{2}-5$ $=(x+5)^{2}-25-5$ $=(x+5)^{2}-30$พจน์กลางบวก วงเล็บบวก: $(x^{2}+10x+5^{2})-5^{2}-5$ $=(x+5)^{2}-25-5$ $=(x+5)^{2}-30$
- $y=x^{2}-10x+5$.
Complete the square. Then write down the minimum point.
Type it as $(x, y)$.$y=x^{2}-10x+5$
เติมกำลังสองสมบูรณ์ แล้วบอกจุดต่ำสุด
พิมพ์เป็น $(x, y)$
Answer:เฉลย: $(x-5)^{2}-20\ \Rightarrow\ (5,\,-20)$Read the point off the form: $y=(x-5)^{2}-20$ $x-5=0\ \Rightarrow\ x=5$ $y=0-20=-20$ A square is never below $0$. So $y$ is smallest when the bracket is $0$.อ่านจุดจากรูปสำเร็จ: $y=(x-5)^{2}-20$ $x-5=0\ \Rightarrow\ x=5$ $y=0-20=-20$ กำลังสองไม่มีทางต่ำกว่า $0$ · $y$ จึงน้อยสุดตอนวงเล็บเป็น $0$
- Solve $x^{2}-6x-2=0$ by completing the square.
Give exact answers.
Type it like 2+-sqrt(5), or use the ± and √ keys.แก้ $x^{2}-6x-2=0$ ด้วยการเติมกำลังสองสมบูรณ์
ตอบค่า exact ไม่ปัดเศษ
พิมพ์แบบ 2+-sqrt(5) หรือใช้ปุ่ม ± กับ √
Answer:เฉลย: $(x-3)^{2}=11\ \Rightarrow\ x=3\pm\sqrt{11}$Same layout, then unwrap: $(x^{2}-6x+3^{2})-3^{2}-2=0$ $(x-3)^{2}-11=0$ $(x-3)^{2}=11$ $x-3=\pm\sqrt{11}$ $x=3\pm\sqrt{11}$เขียนแบบเดิม แล้วแกะออก: $(x^{2}-6x+3^{2})-3^{2}-2=0$ $(x-3)^{2}-11=0$ $(x-3)^{2}=11$ $x-3=\pm\sqrt{11}$ $x=3\pm\sqrt{11}$
9. Exam: the rectangleข้อสอบ: สี่เหลี่ยมผืนผ้า
Form the equation from words. Then reject the impossible root, and write down the reason.ตั้งสมการจากโจทย์เรื่องราว · แล้วตัดรากที่เป็นไปไม่ได้ทิ้ง พร้อมเขียนเหตุผล
The story problemโจทย์เรื่องราว
- Exam: form an equation in $x$ and solve it to find the width of the rectangle. (4 marks)ข้อสอบ: ตั้งสมการในรูป $x$ แล้วแก้เพื่อหาความกว้างของสี่เหลี่ยม (4 คะแนน)
Answer:เฉลย: $x(x+3)=40 \Rightarrow x^{2}+3x-40=0 \Rightarrow (x+8)(x-5)=0 \Rightarrow x=5$ (reject $x=-8$)4 marks: $\text{M1}\quad x(x+3)=40$ $\text{M1}\quad x^{2}+3x-40=0$ $\text{A1}\quad (x+8)(x-5)=0\ \Rightarrow\ x=5,\ x=-8$ $\text{A1}\quad \text{width}=5\ \text{cm},\ \text{reject }x=-8$ Keeping $-8$ loses the last mark. A length cannot be negative.4 คะแนน: $\text{M1}\quad x(x+3)=40$ $\text{M1}\quad x^{2}+3x-40=0$ $\text{A1}\quad (x+8)(x-5)=0\ \Rightarrow\ x=5,\ x=-8$ $\text{A1}\quad \text{width}=5\ \text{cm},\ \text{reject }x=-8$ ถ้าเก็บ $-8$ ไว้ เสียคะแนนสุดท้าย · ความยาวติดลบไม่ได้
- Both roots are on your page. Which final line earns full marks?มีรากทั้งสองอยู่ในกระดาษแล้ว · บรรทัดสุดท้ายแบบไหนได้คะแนนเต็ม?
Answer:เฉลย: State both roots, reject the impossible one with a reason.แสดงรากทั้งคู่ แล้วตัดตัวที่เป็นไปไม่ได้พร้อมเหตุผลReject in writing: $x=5\ \checkmark$ $x=-8\ \times\ (\text{length}<0)$ $\text{width}=5\ \text{cm}$ In 'form and solve' questions, one root usually does not fit the context.เขียนตัดทิ้งให้ชัด: $x=5\ \checkmark$ $x=-8\ \times\ (\text{length}<0)$ $\text{width}=5\ \text{cm}$ โจทย์แนวตั้งสมการแล้วแก้ มักมีรากหนึ่งตัวที่ไม่เข้ากับบริบท
- Exam: A rectangle has length $(2x+1)$ cm and width $(x-2)$ cm. Its area is $30$ cm$^2$. Find the value of $x$, correct to $2$ decimal places. (5 marks)ข้อสอบ: สี่เหลี่ยมผืนผ้ายาว $(2x+1)$ cm กว้าง $(x-2)$ cm · พื้นที่ $30$ cm$^2$ · หาค่า $x$ ทศนิยม $2$ ตำแหน่ง (5 คะแนน)
Answer:เฉลย: $2x^{2}-3x-32=0 \Rightarrow x=\dfrac{3+\sqrt{265}}{4}=4.82$ (reject $x=-3.32$)5 marks: $\text{M1}\quad (2x+1)(x-2)=30$ $\text{M1}\quad 2x^{2}-3x-32=0$ $\text{M1}\quad a=2,\ b=-3,\ c=-32$ $\text{A1}\quad x=\dfrac{3\pm\sqrt{265}}{4}=4.8197\ldots,\ -3.3197\ldots$ $\text{A1}\quad x=4.82$ Reject $-3.32$ because the width $x-2$ would be negative.5 คะแนน: $\text{M1}\quad (2x+1)(x-2)=30$ $\text{M1}\quad 2x^{2}-3x-32=0$ $\text{M1}\quad a=2,\ b=-3,\ c=-32$ $\text{A1}\quad x=\dfrac{3\pm\sqrt{265}}{4}=4.8197\ldots,\ -3.3197\ldots$ $\text{A1}\quad x=4.82$ ตัด $-3.32$ ทิ้ง เพราะความกว้าง $x-2$ จะติดลบ
- Solve $3x^{2}-11x-4=0$. Give both roots in exact form.แก้สมการ $3x^{2}-11x-4=0$ · ตอบรากทั้งสองแบบไม่ปัด
Answer:เฉลย: $(3x+1)(x-4)=0 \Rightarrow x=-\tfrac13$ or $x=4$Discriminant decides the method: $b^{2}-4ac=121+48=169=13^{2}$ $\text{perfect square}\ \Rightarrow\ \text{it factorises}$ $3x^{2}-11x-4=(3x+1)(x-4)$ $x=-\tfrac13\ \text{or}\ x=4$ $x^{2}+3x-3:\ 21\ \text{not square}\ \Rightarrow\ \text{formula}$ 'Exact' or 'surd form' means factorise. '2 d.p.' means use the formula.discriminant ตัดสินวิธี: $b^{2}-4ac=121+48=169=13^{2}$ $\text{perfect square}\ \Rightarrow\ \text{it factorises}$ $3x^{2}-11x-4=(3x+1)(x-4)$ $x=-\tfrac13\ \text{or}\ x=4$ $x^{2}+3x-3:\ 21\ \text{not square}\ \Rightarrow\ \text{formula}$ 'ตอบค่า exact' หรือ 'ติดรูท' = แยกตัวประกอบ · 'ทศนิยม 2 ตำแหน่ง' = ใช้สูตร
10. Exercise setชุดโจทย์
The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว
- Solve $x^{2}+9x+20=0$.
Answer:เฉลย: $(x+4)(x+5)=0 \Rightarrow x=-4$ or $x=-5$Identical to the taught chain, numbers changed. Builds confidence and proves the sum-product move transferred.สายเดียวกับที่สอน เปลี่ยนแค่ตัวเลข สร้างความมั่นใจ และพิสูจน์ว่าท่าบวก-คูณติดตัวไปแล้ว
- Solve $x^{2}-\dfrac{9}{4}=0$.
Answer:เฉลย: $\left(x+\tfrac{3}{2}\right)\left(x-\tfrac{3}{2}\right)=0 \Rightarrow x=\pm\tfrac{3}{2}$Difference of two squares again, but the square is a fraction this time.ผลต่างกำลังสองอีกรอบ แต่คราวนี้ตัวที่ยกกำลังสองเป็นเศษส่วน
- Solve $t^{2}+2t-35=0$.
Answer:เฉลย: $(t+7)(t-5)=0 \Rightarrow t=-7$ or $t=5$New letter, same idea. Students who memorised 'x' freeze here.เปลี่ยนตัวอักษร ความคิดเดิม เด็กที่ท่องว่าต้องเป็น 'x' จะค้างตรงนี้
- Solve $(x-2)(x+5)=8$.
Answer:เฉลย: $x^{2}+3x-18=0 \Rightarrow (x+6)(x-3)=0 \Rightarrow x=-6$ or $x=3$Not $=0$ yet, so the zero trick cannot be used. Expand first.ยังไม่ใช่ $=0$ ทริกเลขศูนย์เลยใช้ไม่ได้ · ต้องกระจายวงเล็บก่อน
- A quadratic equation has roots $x=4$ and $x=-2$. Write the equation in the form $x^{2}+bx+c=0$.
Answer:เฉลย: $(x-4)(x+2)=0 \Rightarrow x^{2}-2x-8=0$Given the answers, rebuild the question. Procedure-memorisers cannot start this one.ให้คำตอบมา ให้สร้างโจทย์คืน · คนที่ท่องขั้นตอนมาจะเริ่มไม่ถูก
- Solve $2x^{2}+5x-1=0$. Give your answers correct to 2 decimal places. (3 marks)
Answer:เฉลย: $x=\dfrac{-5\pm\sqrt{33}}{4} \Rightarrow x=0.19$ or $x=-2.69$'2 decimal places' is the exam's code for the formula. Three marks split."ทศนิยม 2 ตำแหน่ง" คือรหัสของข้อสอบว่าให้ใช้สูตร · มีสามคะแนนแบ่งไว้
- To solve $x^{2}=9x$, a student divides both sides by $x$ and writes $x=9$. Find the mark they lost and the full answer.
Answer:เฉลย: Dividing by $x$ lost the root $x=0$. Correct: $x^{2}-9x=0 \Rightarrow x(x-9)=0 \Rightarrow x=0$ or $x=9$Marking someone else's error is harder than avoiding your own.การตรวจข้อผิดของคนอื่นยากกว่าการไม่ผิดเอง
All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี