Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Rounding & Boundsการปัดเศษและขอบเขต

IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upวอร์มอัพ

  1. Round $3.47$ to $1$ decimal place.ปัด $3.47$ เป็นทศนิยม $1$ ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: $3.5$Rounding throws information away: $7\ge5\ \Rightarrow\ \text{round up}$   $3.47\to 3.5$การปัดเศษทิ้งข้อมูลไป: $7\ge5\ \Rightarrow\ \text{round up}$   $3.47\to 3.5$
  2. Round $0.00347$ to $1$ significant figure.ปัด $0.00347$ เป็นเลขนัยสำคัญ $1$ ตัว
    Answer:เฉลย: $0.003$Significant figures count from the first non-zero digit — the sf skill feeds directly into the bounds that follow.เลขนัยสำคัญนับจากตัวแรกที่ไม่ใช่ศูนย์ — สกิล sf นี้ป้อนตรงเข้าเรื่องขอบเขตข้างหน้า

2. The blur around a numberหมอกรอบตัวเลข

'$12$ to the nearest cm' is really an interval: $11.5\le x\lt 12.5$.'$12$ ปัดเป็น cm' จริงๆ คือช่วง: $11.5\le x\lt 12.5$

Half a unit each wayครึ่งหน่วยทั้งสองฝั่ง

  1. $12\ \text{cm (nearest cm)}$The number written down. The real length is not exactly $12$.เลขที่เขียนไว้ · ความยาวจริงไม่ได้เท่ากับ $12$ เป๊ะ
  2. $\tfrac{1}{2}\times1=0.5$Half of the rounding unit. Rounded to the nearest cm, so half of $1$ cm.ครึ่งหนึ่งของหน่วยที่ปัด · ปัดเป็น cm ก็คือครึ่งของ $1$ cm
  3. $12-0.5=11.5$Half a unit each way gives the two walls.ครึ่งหน่วยทั้งสองทาง ได้กำแพงสองข้าง
  4. $12+0.5=12.5$Upper bound on its own line — one statement per line.ขอบบนอยู่คนละบรรทัด หนึ่งบรรทัดหนึ่งประโยค
  5. $11.5\le x<12.5$Lower wall is included. $12.5$ is not — it would round up to $13$.กำแพงล่างรวมด้วย · $12.5$ ไม่รวม เพราะมันจะปัดขึ้นเป็น $13$
  1. A stick is $12$ cm to the nearest cm. Write down its lower bound.ไม้ยาว $12$ cm (ปัดเป็น cm) · ขอบเขตล่างคือ?
    Answer:เฉลย: $11.5$ cmHalf the rounding unit below the stated value — $11.5$ itself rounds up to $12$, so it belongs.ลงมาครึ่งหนึ่งของหน่วยที่ปัด — ตัว $11.5$ เองปัดขึ้นได้ $12$ เลยนับเป็นของช่วงนี้
  2. Same stick. Write down its upper bound.ไม้อันเดิม · ขอบเขตบนคือ?
    Answer:เฉลย: $12.5$ cmWritten as $12.5$, not included: $11.5\le x\lt 12.5$   $12.5\to 13\ \text{ (outside)}$ Convention: state the upper bound as $12.5$ even though $x$ is strictly less.เขียน $12.5$ แต่ไม่รวมค่านี้: $11.5\le x\lt 12.5$   $12.5\to 13\ \text{ (outside)}$ ธรรมเนียม: เขียนขอบบนเป็น $12.5$ แม้ $x$ จะน้อยกว่าจริง ๆ

3. Bounds travel through formulasขอบเขตเดินทางผ่านสูตร

Biggest result: feed in the right mix of biggest and smallest.อยากได้ผลลัพธ์สุดขั้ว ต้องป้อนส่วนผสมขอบให้ถูกข้าง

  1. A rectangle's sides are measured as $8$ cm and $5$ cm (nearest cm). To get the greatest possible area, which bounds go in?สี่เหลี่ยมวัดด้านได้ $8$ cm กับ $5$ cm (ปัดเป็น cm) · อยากได้พื้นที่มากสุดที่เป็นไปได้ ต้องป้อนขอบไหน?
    Answer:เฉลย: $8.5\times5.5$Product: both at their upper bound: $\text{max area}=8.5\times5.5$   $\times,\ +:\ \text{max}\to\text{max}$   $\div,\ -:\ \text{bounds cross over}$คูณกัน: ใช้ขอบบนทั้งคู่: $\text{max area}=8.5\times5.5$   $\times,\ +:\ \text{max}\to\text{max}$   $\div,\ -:\ \text{bounds cross over}$
  2. Compute that greatest area: $8.5\times5.5$ = ? cm$^2$คิดพื้นที่มากสุดนั้นเลย: $8.5\times5.5$ = ? cm$^2$
    Answer:เฉลย: $46.75$ cm$^2$Nearly $7$ cm$^2$ above nominal — measurement blur compounds when quantities multiply. That is why exams care.เกินค่าปกติเกือบ $7$ cm$^2$ — ความเบลอของการวัดมันทบกันเวลาคูณ · ข้อสอบถึงได้แคร์เรื่องนี้
  3. And the least possible area of that rectangle?แล้วพื้นที่น้อยสุดที่เป็นไปได้ล่ะ?
    Answer:เฉลย: $7.5\times4.5=33.75$ cm$^2$The truth lies between $33.75$ and $46.75$ — an $13$ cm$^2$ window from two innocent-looking measurements.ความจริงอยู่ระหว่าง $33.75$ กับ $46.75$ — หน้าต่างกว้าง $13$ cm$^2$ จากการวัดหน้าตาใสซื่อสองครั้ง

4. Exam form: division crosses overฟอร์มข้อสอบ: การหารไขว้ขอบ

Max of $\tfrac{a}{b}$ = max $a$ over min $b$.ค่ามากสุดของ $\tfrac{a}{b}$ = $a$ มากสุด หาร $b$ น้อยสุด

  1. Speed $=\dfrac{\text{distance}}{\text{time}}$. For the greatest possible speed, feed in …?อัตราเร็ว ${}={}$ระยะทางเวลา · อยากได้ค่ามากสุด ต้องป้อน…?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{\text{UB}}{\text{LB}}$Top up, bottom down: $\text{max}\ \dfrac{a}{b}=\dfrac{\text{UB}}{\text{LB}}$   $\text{max}\ (a-b)=\text{UB}-\text{LB}$ตัวบนเอาขอบบน ตัวล่างเอาขอบล่าง: $\text{max}\ \dfrac{a}{b}=\dfrac{\text{UB}}{\text{LB}}$   $\text{max}\ (a-b)=\text{UB}-\text{LB}$
  2. Exam: A runner covers $400$ m (nearest $10$ m) in $50$ s (nearest second). Find the greatest possible average speed, in m/s to $2$ dp. (3 marks)ข้อสอบ: นักวิ่งวิ่ง $400$ m (ปัดเป็นสิบเมตร) ใน $50$ s (ปัดเป็นวินาที) · หาอัตราเร็วเฉลี่ยมากสุดที่เป็นไปได้ เป็น m/s ทศนิยม 2 ตำแหน่ง (3 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\dfrac{405}{49.5}=8.18$ m/s (2 dp)3 marks: $\text{M1}\ \ 405,\ \ 49.5$   $\text{M2}\ \ \dfrac{\text{UB}}{\text{LB}}=\dfrac{405}{49.5}$   $\text{A1}\ \ 8.18\text{ m/s}$ The Extended mark is the pairing: upper distance with lower time.3 คะแนน: $\text{M1}\ \ 405,\ \ 49.5$   $\text{M2}\ \ \dfrac{\text{UB}}{\text{LB}}=\dfrac{405}{49.5}$   $\text{A1}\ \ 8.18\text{ m/s}$ คะแนนตัวตัดสินคือการจับคู่ ระยะขอบบน กับ เวลาขอบล่าง
  3. Exam: A car speeds up from $u=9.6$ m/s to $v=24.0$ m/s, each correct to $1$ decimal place, in a time $t=5.2$ s, also correct to $1$ decimal place. Its acceleration is $a=\dfrac{v-u}{t}$. Calculate the upper bound of $a$, in m/s$^2$, correct to $3$ significant figures.  (5 marks)ข้อสอบ: รถเร่งจาก $u=9.6$ m/s เป็น $v=24.0$ m/s · ทั้งคู่ปัดเป็นทศนิยม $1$ ตำแหน่ง · ใช้เวลา $t=5.2$ s ปัดเป็นทศนิยม $1$ ตำแหน่งเหมือนกัน · ความเร่ง $a=\dfrac{v-u}{t}$ · หา upper bound ของ $a$ หน่วย m/s$^2$ ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว  (5 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\dfrac{24.05-9.55}{5.15}=2.82$ m/s$^2$ (3 sf)5 marks: $\text{M1}\ \ v\le 24.05,\ \ u\ge 9.55,\ \ t\ge 5.15$   $\text{M2}\ \ \text{max top}=24.05-9.55=14.5$   $\text{M3}\ \ \text{min bottom}=5.15$   $\text{M4}\ \ \dfrac{14.5}{5.15}=2.8155\ldots$   $\text{A1}\ \ 2.82\text{ m/s}^{2}$ Marks go on $u$: it is subtracted, so its lower bound makes the top biggest.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ v\le 24.05,\ \ u\ge 9.55,\ \ t\ge 5.15$   $\text{M2}\ \ \text{max top}=24.05-9.55=14.5$   $\text{M3}\ \ \text{min bottom}=5.15$   $\text{M4}\ \ \dfrac{14.5}{5.15}=2.8155\ldots$   $\text{A1}\ \ 2.82\text{ m/s}^{2}$ จุดที่เสียคะแนนคือ $u$ — มันถูกลบ ต้องใช้ขอบล่าง ตัวบนถึงจะมากสุด
  4. A rectangular field measures $24$ m by $15$ m, each to the nearest metre. $90$ kg of fertiliser, to the nearest $10$ kg, is spread evenly over it. Find the least possible amount of fertiliser per square metre, in kg/m$^2$, correct to $3$ significant figures.สนามสี่เหลี่ยมกว้างยาว $24$ m คูณ $15$ m · ปัดเป็นเมตรที่ใกล้ที่สุดทั้งคู่ · โรยปุ๋ย $90$ kg (ปัดเป็นสิบ kg ที่ใกล้ที่สุด) ให้ทั่วสนาม · หาปริมาณปุ๋ยต่อตารางเมตรที่ น้อยที่สุด หน่วย kg/m$^2$ ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ $3$ ตัว
    Answer:เฉลย: $\dfrac{85}{24.5\times15.5}=0.224$ kg/m$^2$ (3 sf)Least: small top, big bottom: $\text{same direction across }\times,\ \ \text{opposite across }\div$   $\text{bottom (area)}=24.5\times15.5=379.75$   $\text{top (mass)}=85$   $\dfrac{85}{379.75}=0.2238\ldots=0.224\text{ kg/m}^{2}$ The area is on the bottom, so the least answer needs the biggest field.น้อยสุด: บนเล็ก ล่างใหญ่: $\text{same direction across }\times,\ \ \text{opposite across }\div$   $\text{bottom (area)}=24.5\times15.5=379.75$   $\text{top (mass)}=85$   $\dfrac{85}{379.75}=0.2238\ldots=0.224\text{ kg/m}^{2}$ พื้นที่อยู่ตัวล่าง — คำตอบน้อยสุดต้องใช้สนามใหญ่สุด

5. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. $9$ kg to the nearest kg: write both bounds.Half a unit each way.ครึ่งหน่วยทั้งสองฝั่ง
  2. $6.30$ m to $2$ dp: bounds?The rounding unit is $0.01$ — half of it is $0.005$.หน่วยที่ปัดคือ $0.01$ — ครึ่งหนึ่งคือ $0.005$
  3. A crowd is $38\,000$ to $2$ sf. Bounds?Sig-fig rounding hides the unit ($1000$ here) — find it first.ปัดแบบนัยสำคัญซ่อนหน่วยไว้ ($1000$ ในข้อนี้) — ต้องหาหน่วยก่อน
  4. Sides $6$ cm and $4$ cm (nearest cm): greatest perimeter?Perimeter adds, so all inputs at UB — mensuration meets bounds.เส้นรอบรูปคือบวก อินพุตทุกตัวใช้ขอบบน — เมนซูเรชันเจอขอบเขต
  5. A length has bounds $7.25$ and $7.35$. What was the stated value, and to what accuracy?Bounds back to the rounding — the midpoint and the gap tell you both.จากขอบย้อนหาการปัด — จุดกึ่งกลางกับความกว้างช่องบอกครบ
  6. $V=\dfrac{m}{d}$. $m=250$ g (nearest $10$), $d=8.0$ g/cm$^3$ ($1$ dp). Find the lower bound of $V$ to $3$ sf. (3 marks)Minimum of a quotient: LB on top, UB underneath — the crossover in exam dress.ค่าน้อยสุดของเศษส่วน: ขอบล่างบน ขอบบนล่าง — การไขว้ในชุดข้อสอบ
  7. A student writes the upper bound of $12$ (nearest unit) as $12.49$ 'because $12.5$ rounds up'. What is the convention and why?The one philosophical inch of this chapter, settled by convention.หนึ่งนิ้วเชิงปรัชญาของบทนี้ จบด้วยธรรมเนียมปฏิบัติ

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี