Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ
Ratio & Proportionอัตราส่วนและสัดส่วน
IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ
1. Before we startก่อนเริ่ม
Two moves you already haveสองท่าที่ทำเป็นอยู่แล้ว
Ratio is these two moves. Every question asks: what is one part worth?อัตราส่วนคือสองท่านี้ · ทุกข้อถามว่า หนึ่งส่วนเท่ากับเท่าไร?
- Cancel it down: $\dfrac{12}{18}=\dfrac{2}{?}$ทอนลง: $\dfrac{12}{18}=\dfrac{2}{?}$
Answer:เฉลย: $\dfrac{12}{18}=\dfrac{2}{3}$$12\div6=2$ and $18\div6=3$. Simplifying a ratio does the same move.$12\div6=2$ และ $18\div6=3$ · การทอนอัตราส่วนก็ทำแบบนี้
- $35$ sweets split into $5$ equal piles. How many in each pile?ลูกอม $35$ เม็ด แบ่งเป็น $5$ กองเท่าๆ กัน กองละกี่เม็ด?
Answer:เฉลย: $35\div5=7$That is the single most useful line in this whole topic: total ÷ number of parts = one part.นี่คือบรรทัดที่ใช้บ่อยที่สุดในบทนี้: ทั้งหมด ÷ จำนวนส่วน = หนึ่งส่วน
2. Simplest formรูปอย่างต่ำ
A ratio counts parts, so it cancels like a fraction. Both sides need the same unit.อัตราส่วนนับ "ส่วน" จึงทอนได้เหมือนเศษส่วน · สองฝั่งต้องหน่วยเดียวกัน
Parts, not amountsนับ "ส่วน" ไม่ใช่จำนวน
$2:3$ means $2+3=5$ equal parts: $2$ to one side, $3$ to the other.$2:3$ คือ $2+3=5$ ส่วนเท่าๆ กัน · ฝั่งหนึ่งได้ $2$ อีกฝั่งได้ $3$
- $12:18$ in its simplest form is:$12:18$ ในรูปอย่างต่ำคือ:
Answer:เฉลย: $2:3$Cancel it like a fraction: $12\div 6=2,\ \ 18\div 6=3$ $12:18=2:3$ A ratio is a fraction lying on its side.ทอนเหมือนเศษส่วน: $12\div 6=2,\ \ 18\div 6=3$ $12:18=2:3$ อัตราส่วนคือเศษส่วนที่วางนอนอยู่
- $2$ m $:$ $50$ cm in its simplest form is:$2$ m $:$ $50$ cm ในรูปอย่างต่ำคือ:
Answer:เฉลย: $200:50=4:1$Same unit first, cancel second: $2\text{ m}=200\text{ cm}$ $200:50$ $200\div 50=4,\ \ 50\div 50=1$ $2\text{ m}:50\text{ cm}=4:1$ Mixed units is the most common lost mark here.หน่วยตรงกันก่อน แล้วค่อยทอน: $2\text{ m}=200\text{ cm}$ $200:50$ $200\div 50=4,\ \ 50\div 50=1$ $2\text{ m}:50\text{ cm}=4:1$ หน่วยไม่ตรงกัน คือจุดเสียคะแนนบ่อยที่สุดของขั้นนี้
- $8:12:20$ cancels down to $2:3:?$$8:12:20$ ทอนลงเหลือ $2:3:?$
Answer:เฉลย: $8:12:20=2:3:5$Three parts, same move: $8\div 4=2$ $12\div 4=3$ $20\div 4=5$สามส่วน ท่าเดิม: $8\div 4=2$ $12\div 4=3$ $20\div 4=5$
3. Sharing a quantityแบ่งของตามอัตราส่วน
Total ÷ number of parts = one part. Everything else is multiplying.ทั้งหมด ÷ จำนวนส่วน = หนึ่งส่วน · ที่เหลือคือการคูณ
Draw the table first, every timeวาดตารางก่อนเสมอ ทุกข้อ
The same table solves all three: total given, one share given, or difference given.ตารางเดียวกันแก้ได้ทั้งสามแบบ: ให้ยอดรวม ให้ฝั่งเดียว หรือให้ผลต่าง
Share $60$ in the ratio $2:3$แบ่ง $60$ ตามอัตราส่วน $2:3$
- $2:3$Two parts for one person, three for the other.คนหนึ่งได้ 2 ส่วน อีกคนได้ 3 ส่วน
- $2+3=5\ \text{parts}$Add the parts first. This is the move people skip.บวกจำนวนส่วนก่อน · ท่านี้แหละที่คนชอบข้าม
- $60\div5=12$One part is worth $12$.หนึ่งส่วนมีค่า $12$
- $2\times12=24$Multiply each share by the value of one part.เอาค่าหนึ่งส่วนคูณจำนวนส่วนของแต่ละคน
- $3\times12=36$Second share on its own line.อีกส่วนอยู่คนละบรรทัด
- $24+36=60 \;\checkmark$The two shares add back to the total. Always check this line.สองส่วนบวกกลับได้ยอดรวมพอดี · ตรวจบรรทัดนี้ทุกครั้ง
- Share $35$ sweets in the ratio $2:3$. First: how many equal parts is the $35$ being cut into?แบ่งลูกอม $35$ เม็ด ตามอัตราส่วน $2:3$ ก่อนอื่น: $35$ ถูกตัดเป็นส่วนเท่าๆ กันกี่ส่วน?
Answer:เฉลย: $2+3=5$Sides added = the blocks: $2+3=5\text{ parts}$ Nothing in a ratio question works before this number.บวกสองฝั่ง = จำนวนบล็อก: $2+3=5\text{ parts}$ โจทย์อัตราส่วนทำต่อไม่ได้ ถ้ายังไม่มีเลขนี้
- So what is one part worth?แล้วหนึ่งส่วนเท่ากับเท่าไร?
Answer:เฉลย: $35\div5=7$One part is the whole topic: $35\div 5=7$ $1\text{ part}=7\text{ sweets}$หนึ่งส่วน คือหัวใจของทั้งบท: $35\div 5=7$ $1\text{ part}=7\text{ sweets}$
- Finish it: how many sweets does the person with the bigger share get?ทำต่อให้จบ: คนที่ได้ส่วนมากกว่าได้ลูกอมกี่เม็ด?
Answer:เฉลย: $3\times7=21$Both shares, then check: $3\times 7=21$ $2\times 7=14$ $21+14=35$ Add your two answers back; they must make the total.หาทั้งสองฝั่ง แล้วตรวจ: $3\times 7=21$ $2\times 7=14$ $21+14=35$ บวกคำตอบสองฝั่งกลับ ต้องได้ยอดรวมเสมอ
4. The same thing three waysเรื่องเดียวกัน สามหน้าตา
Ratio, fraction and percentage are three costumes on one idea.อัตราส่วน เศษส่วน เปอร์เซ็นต์ คือของอย่างเดียวกันใส่เสื้อคนละตัว
One bar, three answersแท่งเดียว ตอบได้สามแบบ
The $3$ in $2:3$ is the other side. The $5$ in $\tfrac{2}{5}$ is the whole bar.$3$ ใน $2:3$ คืออีกฝั่ง · $5$ ใน $\tfrac{2}{5}$ คือทั้งแท่ง
- What fraction of the class are girls?นักเรียนหญิงเป็นเศษส่วนเท่าไรของห้อง?
Answer:เฉลย: $\dfrac{2}{5}$Bottom is the whole bar: $\text{top}=\text{your side}=2$ $\text{bottom}=2+3=5$ $\tfrac{2}{5}$ Writing $\tfrac23$ here is the commonest ratio slip in the exam.ตัวล่างคือทั้งแท่ง: $\text{top}=\text{your side}=2$ $\text{bottom}=2+3=5$ $\tfrac{2}{5}$ เขียน $\tfrac23$ ตรงนี้ คือจุดพลาดเรื่องอัตราส่วนที่เจอบ่อยที่สุด
- What percentage of the class are girls?หญิงเป็นกี่เปอร์เซ็นต์ของห้อง?
Answer:เฉลย: $\tfrac25=0.4=40\%$Ratio, fraction, decimal, percentage: $2\div 5=0.4$ $0.4\times 100=40\%$อัตราส่วน เศษส่วน ทศนิยม เปอร์เซ็นต์: $2\div 5=0.4$ $0.4\times 100=40\%$
5. When the total is not givenเมื่อโจทย์ไม่ให้ยอดรวม
The same first move works when one share is given, or when the difference is given.ให้มาแค่ฝั่งเดียว หรือให้มาแค่ผลต่าง · ก็ยังเริ่มด้วยท่าเดิม
The total goes missingยอดรวมหายไป
Exams give one share or the difference instead of the total.ข้อสอบให้ฝั่งเดียว หรือผลต่าง แทนยอดรวม
- Money is split $2:3$. The smaller share is $140$ baht. What is one part worth?เงินถูกแบ่ง $2:3$ · ฝั่งที่น้อยกว่าได้ $140$ บาท · หนึ่งส่วนเท่ากับเท่าไร?
Answer:เฉลย: $140\div2=70$Divide by the blocks given: $140=2\text{ parts}$ $140\div 2=70$ Same first move; the new choice is which number to divide.หารด้วยจำนวนบล็อกที่โจทย์ให้: $140=2\text{ parts}$ $140\div 2=70$ ท่าแรกเหมือนเดิม ที่ใหม่คือเลือกว่าจะหารด้วยเลขไหน
- So how much money was there altogether?แล้วทั้งหมดมีเงินเท่าไร?
Answer:เฉลย: $5\times70=350$$2+3=5$ blocks at $70$ each, so $350$. Check: $140+210=350$ ✓$2+3=5$ บล็อก บล็อกละ $70$ ได้ $350$ · ตรวจ: $140+210=350$ ✓
- Red and blue counters are in the ratio $5:2$. There are $18$ more red than blue. How many parts is that difference?เบี้ยแดงกับน้ำเงินอัตราส่วน $5:2$ · แดงมากกว่าน้ำเงิน $18$ อัน · ผลต่างนี้คือกี่ส่วน?
Answer:เฉลย: $5-2=3$The difference is $5-2$ blocks: $5-2=3\text{ parts}$ $3\text{ parts}=18$ผลต่างคือ $5-2$ บล็อก: $5-2=3\text{ parts}$ $3\text{ parts}=18$
- Now finish the question: how many counters are there altogether, red and blue combined?ทำต่อให้จบ: มีเบี้ยแดงกับน้ำเงินรวมกันทั้งหมดกี่อัน?
Answer:เฉลย: one part $=18\div3=6$ · whole bar $=5+2=7$ parts · $7\times6=42$One block first, then the bar: $18\div 3=6$ $5+2=7\text{ parts}$ $7\times 6=42$ $\text{check}:\ 30-12=18$ Total, one share or difference given: find one block first.หาหนึ่งบล็อกก่อน แล้วอ่านทั้งแท่ง: $18\div 3=6$ $5+2=7\text{ parts}$ $7\times 6=42$ $\text{check}:\ 30-12=18$ ให้ยอดรวม ให้ฝั่งเดียว หรือให้ผลต่าง · หาหนึ่งบล็อกก่อนเสมอ
6. Scaling up and downขยายและย่อตามสัดส่วน
Get to ONE of the thing, then multiply up. Recipes, prices, best buy.หาค่าของ "หนึ่งหน่วย" ก่อน แล้วค่อยคูณขึ้น · สูตรอาหาร ราคา คุ้มกว่ากัน
- A recipe for $4$ people uses $300$ g of rice. How much rice for 1 person?สูตรสำหรับ $4$ คน ใช้ข้าว $300$ g · 1 คนใช้ข้าวกี่กรัม?
Answer:เฉลย: $300\div4=75$ gDown to one first: $300\div 4=75\text{ g}$ $1\text{ person}=75\text{ g}$ย่อลงมาที่หนึ่งก่อน: $300\div 4=75\text{ g}$ $1\text{ person}=75\text{ g}$
- So how much rice for $6$ people?แล้ว $6$ คนใช้ข้าวกี่กรัม?
Answer:เฉลย: $6\times75=450$ gThen up to any number: $6\times 75=450\text{ g}$แล้วขยายขึ้นกี่หน่วยก็ได้: $6\times 75=450\text{ g}$
- Which is better value? A: $3$ pens for $45$ baht · B: $5$ pens for $70$ bahtอันไหนคุ้มกว่า? A: ปากกา $3$ ด้าม $45$ บาท · B: $5$ ด้าม $70$ บาท
Answer:เฉลย: B, at $14$ baht a penB ด้ามละ $14$ บาทCompare per one, never totals: $A:\ 45\div 3=15\text{ baht}$ $B:\ 70\div 5=14\text{ baht}$ $14<15\ \Rightarrow\ B$เทียบต่อหนึ่งหน่วย ไม่เทียบยอดรวม: $A:\ 45\div 3=15\text{ baht}$ $B:\ 70\div 5=14\text{ baht}$ $14<15\ \Rightarrow\ B$
7. Exam formแบบข้อสอบ
Two ratios that share a name, joined into one.อัตราส่วนสองอันที่มีชื่อร่วมกัน เอามารวมเป็นอันเดียว
Make the shared name matchทำตัวที่ใช้ร่วมกันให้เท่ากัน
Both share $B$. Scale $2:3$ by $2$ so $B$ is $6$ in both, then read across.ทั้งคู่มี $B$ ร่วมกัน · คูณ $2:3$ ด้วย $2$ ให้ $B$ เป็น $6$ ทั้งคู่ แล้วอ่านรวดเดียว
- Exam: $A:B=2:3$ and $B:C=6:5$. Altogether $A$, $B$ and $C$ have $600$ items. How many does $C$ have? (3 marks)ข้อสอบ: $A:B=2:3$ และ $B:C=6:5$ · $A$, $B$, $C$ รวมกันมี $600$ ชิ้น · $C$ มีกี่ชิ้น? (3 คะแนน)
Answer:เฉลย: $A:B:C=4:6:5$, one part $=600\div15=40$, $C=5\times40=200$3 marks: $\text{M1}\ \ 2:3=4:6,\ \text{so }B=6\text{ in both}$ $\text{M2}\ \ A:B:C=4:6:5,\ \ 15\text{ parts}$ $\text{A1}\ \ 600\div 15=40,\ \ C=5\times 40=200$ Both ratios must call $B$ the same number before you join them.3 คะแนน: $\text{M1}\ \ 2:3=4:6,\ \text{so }B=6\text{ in both}$ $\text{M2}\ \ A:B:C=4:6:5,\ \ 15\text{ parts}$ $\text{A1}\ \ 600\div 15=40,\ \ C=5\times 40=200$ ทั้งสองอัตราส่วนต้องเรียก $B$ เป็นเลขเดียวกันก่อน ถึงจะต่อกันได้
- Exam: In a box, red : blue $=3:4$ and blue : green $=6:7$. There are $40$ more green counters than red counters. Work out the total number of counters in the box. (5 marks)ข้อสอบ: ในกล่อง แดง : น้ำเงิน $=3:4$ และ น้ำเงิน : เขียว $=6:7$ · เขียวมากกว่าแดงอยู่ $40$ ตัว · หาจำนวนตัวนับทั้งหมดในกล่อง (5 คะแนน)
Answer:เฉลย: $R:B:G=9:12:14$; $5$ parts $=40$, one part $=8$; $35\times8=280$5 marks: $\text{M1}\ \ 3:4=9:12,\ \ 6:7=12:14$ $\text{M2}\ \ R:B:G=9:12:14$ $\text{M3}\ \ 14-9=5\text{ parts}=40$ $\text{M4}\ \ 40\div 5=8$ $\text{A1}\ \ (9+12+14)\times 8=280$ The $40$ is the gap, not the total. That is where students lose marks.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ 3:4=9:12,\ \ 6:7=12:14$ $\text{M2}\ \ R:B:G=9:12:14$ $\text{M3}\ \ 14-9=5\text{ parts}=40$ $\text{M4}\ \ 40\div 5=8$ $\text{A1}\ \ (9+12+14)\times 8=280$ $40$ คือผลต่าง ไม่ใช่ยอดรวม · ตรงนี้แหละที่คะแนนหาย
- Two builders share a bonus in the ratio $7:3$. One of them gets $80$ baht more than the other. Work out the larger share.ช่างสองคนแบ่งโบนัสในอัตราส่วน $7:3$ · คนหนึ่งได้มากกว่าอีกคน $80$ บาท · หาส่วนแบ่งของคนที่ได้มากกว่า
Answer:เฉลย: $7-3=4$ parts $=80$, one part $=20$, larger $=7\times20=140$ bahtName the job of the number: $\text{“altogether”}\ \to\ \text{whole bar}\ \to\ \div (7+3)$ $\text{“the larger share is }80\text{”}\ \to\ \text{one piece}\ \to\ \div 7$ $\text{“}80\text{ more”}\ \to\ \text{the gap}\ \to\ \div (7-3)$ $80\div 4=20$ $7\times 20=140\text{ baht}$ If you read it as the total, you get $56$. The first line is wrong.ตั้งชื่อหน้าที่ของเลขที่โจทย์ให้: $\text{“altogether”}\ \to\ \text{whole bar}\ \to\ \div (7+3)$ $\text{“the larger share is }80\text{”}\ \to\ \text{one piece}\ \to\ \div 7$ $\text{“}80\text{ more”}\ \to\ \text{the gap}\ \to\ \div (7-3)$ $80\div 4=20$ $7\times 20=140\text{ baht}$ อ่านเป็นยอดรวมจะได้ $56$ · บรรทัดแรกผิด
8. Exercise setชุดฝึก
The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับข้อคือบทเรียน · แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว
- Share $84$ in the ratio $3:4$.
Answer:เฉลย: $36$ and $48$$7$ parts, one part $12$.$7$ ส่วน หนึ่งส่วน $12$
- Write $45$ min $:$ $2$ hours in its simplest form.
Answer:เฉลย: $3:8$$2$ hours $=120$ min, then divide both by $15$.$2$ ชั่วโมง $=120$ นาที แล้วหารทั้งคู่ด้วย $15$
- Two people share money in the ratio $4:5$. The larger share is $85$ baht. How much was shared altogether?
Answer:เฉลย: $153$ bahtOne part: $85\div5=17$. The total is $9\times17$.หนึ่งส่วน: $85\div5=17$ · ยอดรวมคือ $9\times17$
- Sand and cement are mixed in the ratio $7:2$. There is $60$ kg more sand than cement. How much cement is there?
Answer:เฉลย: $24$ kg$7-2=5$ parts are $60$ kg. One part: $60\div5=12$. Cement: $2\times12$.$7-2=5$ ส่วนคือ $60$ กก. · หนึ่งส่วน: $60\div5=12$ · ปูน: $2\times12$
- In a bag, red $:$ blue $:$ green $=3:5:2$. What percentage of the bag is blue?
Answer:เฉลย: $50\%$$10$ parts, blue is $5$, so $\tfrac12$.$10$ ส่วน น้ำเงิน $5$ ส่วน คือ $\tfrac12$
- A recipe for $8$ biscuits uses $180$ g of butter. How much butter for $20$ biscuits?
Answer:เฉลย: $450$ gOne biscuit $=22.5$ g, then $\times20$.หนึ่งชิ้น $=22.5$ g แล้วคูณ $20$
- $x:y=3:4$ and $y:z=8:9$. Find $x:y:z$ in its simplest form.
Answer:เฉลย: $6:8:9$Double $3:4$ to $6:8$ so $y$ reads $8$ in both.คูณ $3:4$ ด้วยสองได้ $6:8$ ให้ $y$ เป็น $8$ เหมือนกันทั้งคู่
All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี